（应用数学专业论文）非线性拟抛物方程的适定性研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 近年来随着拟抛物型方程的应用日趋广泛，对其各种定解问题的理论研 究也越来越重要对于由非线性拟抛物型方程描述的各种物理现象，人们关注 的问题是用以反映物理现象的数学模型的合理性，而解的存在唯一性是模型 合理的首要前提 本文研究了几类非线性拟抛物方程的初边值问题和柯西问题，主要内容 如下： 1 利用经典的g a l e r k i n 方法证明了一类拟抛物方程的初边值问题的整体 强解的存在性与唯一性 2 利用压缩映像原理及傅立叶变换的方法，证明了两类拟抛物方程在一 定条件下局部解和整体解的存在唯一性，并给出了整体解的渐近性质 3 利用一种改进的积分估计法，首先讨论了一类与广义立方双色散方程 等价的变换问题整体广义解的渐近性质，而后研究了原问题整体广义解的渐 近性质最后将本文定理结论应用到实际模型中，得到了其解的渐近性质 关键词：非线性拟抛物方程；初边值问题；柯西问题；整体解；渐近性 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n r e c e n t y e a r s ，w i t h t h e i n c r e a s i n g l y e x t e n s i v e a p p l i c a t i o n o f p s e u d o - p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，t h et h e o r ys t u d y o ft h i si s s u eb e c o m e sm o r e i m p o r t a n t t h ec o n c e r n e dp r o b l e mi st h a tt h er e a s o n a b i l i t yo ft h em a t h e m a t i c a l m o d e li nf o r mo fn o n l i n e a rp s e u d o - p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，w h i c ha r i s ei nm a n yk i n d s o fp h y s i c a lp h e n o m e n a f o rar e a s o n a b l em o d e l ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n sa r et h em o s ti m p o r t a n tp r e r e q u i s i t e s i nt h i sp a p e r ，t h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dc a u c h yp r o b l e mo f s e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a rp s e u d o - p a r a b o l i ce q u a t i o n sa r es t u d i e d t h em a i n c o n t e n t si nt h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 u s i n gc l a s s i c a l g a l e r k i nm e t h o d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e g l o b a ls t r o n gs o l u t i o nf o rac l a s so fp s e u d o - p a r a b o l i ce q u a t i o n sa r ep r o v e d 2 b a s e do nt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l ea n dt h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n t h e o r y ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o no ft w oc l a s s e so f n o n l i n e a rp s e u d o p a r a b o l i ce q u a t i o n sa r ep r o v e du n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s t h e n ， t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h eg l o b a ls o l u t i o ni so b t a i n e d 3 t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fa u x i l i a r yp r o b l e mw h i c hi se q u i v a l e n tt o g e n e r a l i z e dc u b i cd o u b l ed i s p e r s i o ne q u a t i o ni sd i s c u s s e db yu s i n gai m p r o v e d i n t e g r a le s t i m a t em e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nf o r t h eo r i g i n a lp r o b l e mi ss t u d i e d f i n a l l y ，a p p l y i n gt h et h e o r e mo ft h i sp a p e r , t h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h ep r a c t i c a lp r o b l e mi si n v e s t i g a t e da g a i n 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp s e u d o p a r a b o l i ce q u a t i o n ；i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； c a u c h yp r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者( 签字) ： 孙阴雨 日期：d 7 年汐汨d f 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 以具有实际背景的偏微分方程作为研究对象的数学物理方程，不仅研究 内容非常丰富，而且其应用范围也十分广泛，是数学理论联系实际的重要桥梁 在物理学、力学、电磁学、化学等自然科学和工程技术领域中，大量的数学模 型都要用偏微分方程来描述例如，在水坝的温度应力分析中需要用热传导方 程来描述，在电磁现象研究中会抽象出m a x w e l l 方程，在大型水利工程中研究 河渠不稳定流动时须用到s a i n t v e n a n t 方程数学物理方程就是以描述物理现 象和物理过程的偏微分方程为主要研究对象的- f - j 学科学习和研究数学物 理方程的基础理论和基本方法，有助于人们认识自然现象，遵守客观规律并能 动的改造世界因此研究偏微分方程是促进数学物理方程这门学科发展的必 要前提十七世纪工业生产的高度发展，促进了力学、天文学和物理学的相应 发展，这就要求数学工具的革新，于是微积分产生了此后不久，从工程技术以 及力学、天文学和物理学方面相继提出许多微分方程问题，逐渐形成数学物理 方程这一学科对数学物理偏微分方程的深入研究，反过来又大大地促进了力 学、天文学、物理学的发展，最终也推动了工程技术和工业生产的发展 对偏微分方程的研究历史悠久，1 9 0 0 年希尔伯特在巴黎的国际数学大会 上提出了著名的2 3 个数学问题，其中第1 9 、2 0 与2 3 问题都涉及如何系统地 研究偏微分方程的边值问题首先是椭圆型问题，而且指出了这种研究与变分 法的关系，实际上已经孕育了现代偏微分方程理论的问题与方法的萌芽其后 出现了偏微分方程( 包括线性与非线性的) 的巨大发展问题不断深化，新概 念新方法层出不穷例如，上个世纪二、三十年代兴起的希尔伯特空间方法以 哈尔滨工程大学硕士学位论文 及五十年代出现的广义函数论已成了“常规武器”进入六十年代后期，几何 拓扑概念和代数概念的渗入又在强迫着人们实行或准备实行“设备更新” 更重要的是，当代“知识爆炸 的局面提出的新问题丰富的无与伦比，例如非 线性发展方程问题就是当今研究的热点对于非线性发展方程的经典解的整 体存在性的研究，已经有了很多结果t m 所谓发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程广义地说， 它是包含时间参数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学 或其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程 对于非线性发展方程的研究主要考虑下面两个方面： ( i )在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题整体解存在且 唯一 ( i i )研究解的性态，特别是当，专o o 时的渐近性质以及在何种条件下， 问题不存在整体古典解，而必在有限时间内发生爆破现象 1 2 本文所研究问题的发展及本文的主要工作 拟抛物型方程是一类含时间和空间的混合偏导数的高阶发展方程拟抛 物方程与一些重要的物理过程有着密切的关系在土壤内湿气迁移现象中“， 在不同介质中的热传导，在多孔介质内液体的渗透和均匀液体穿过缝隙岩石 的渗透理论中，在研究二阶流体简单的剪切变流的不稳定和在粘土的加固理 论”等各种现象中，我们都可以用拟抛物方程模型来描述它们的内在规律n 对， 且这些过程常常是非线性问题 自拟抛物型方程提出以来，该方程的各种定解问题引起了广大学者们的 广泛关注，出现了大量讨论拟抛物型方程的专著和论文净”1 r e s h o w a l t e r ， t w t i n g ，w r u n d e l l ，g r z e g o r zk a r c h 等都曾在理论上做出大量工作 r e s h o w a l t e r 和t w t i n g 较早的研究了线性方程： 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 甜，一0 + 材，) + 饥u ，。+ 4 x ，- = 0 在条件i 班口g ，r ) o ，伊( o ) = 伊( + ) = o ：坳 o ，0 0 ， 历v ( 厂0 ) + “，) = 0 ，x a q ，f o 这里厂0 ) 是一个三次方型非线性函数，q 是r ”上的有界光滑域得到了一个 局部解存在性定理以及整体解存在性定理臼” 在本文第三章所讨论的方程( 1 - 4 ) - ( 1 - 5 ) 可以看作是粘性扩散方程 坼一h u ，= 9 0 ) 的一个变式只需令g ) = 0 ) + 甜便可以得到 在文献 3 8 中，王书彬与陈国旺研究了广义i m b q 方程的柯西问题 ”仃一a u “一a u = 厂0 ) ，x r n , ， 0 ， 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 甜g ，o ) = n o g ) “，g ，o ) = “。b ) ，x r ” 首先通过方程甜一a u = 0 的基本解，将上述方程简化为一个等价的积分方程， 得到了局部解的存在性定理，然后利用f o u r i e r 变换得到了一个能量等式，通 过这一能量等式得到了。- 与l l u l l 的整体估计与形2 , p 解的整体存在性最后 通过凸性方法证明了解的有限时间内爆破 通过文献 3 8 知，这类方法对解决广义i m b q 方程的柯西问题是非常有 效的此外这种方法同样适合我们第三章所讨论的非线性拟抛物方程 ( 卜4 ) 一( 1 - 5 ) 本文首次将此类方法用到拟抛物型方程上，提出了创新，并补充 和推广了已有的结论，为今后用此类方法研究问题提供了一个方法上的借鉴 在第四章中，我们研究一类一维非线性拟抛物方程的柯西问题： 坼一“删一“。+ ”= 9 0 k ， ( 1 6 ) u ( x ，o ) = 妒g ) ( 卜7 ) 在文献 3 9 中，王书彬与陈国旺研究了广义双色散方程的柯西问题： z b z k 一够删+ 一口够棚= g ( 甜) 。，z r ，t 0 ， u ( x ，o ) = 仞( x ) ，坼( x ，o ) = y ( x ) ( 这里口是给定的常数，伊( x ) ，y ( z ) 是给定的初值函数，g ( 甜) 是关于材的已知 函数) 在这篇文章中首先利用压缩映像原理得到问题局部解的存在性，然后 得到问题整体解的存在与唯一性，并且在某种条件下利用凸性方法得到了解 的b l o w - u p 通过文献 3 9 知，这类方法对解决广义双色散方程的柯西问题是非常有 效的此外这种方法同样适合我们第四章所讨论的问题( 卜6 ) 一( 卜7 ) 在第四 章中，不仅得到了问题整体解的存在与唯一性及解的爆破，而且利用一种改进 的积分估计法得到了解的渐近性质 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在第三章与第四章研究解的存在与唯一性时所采用的是同一类方法，步 骤如下： 1 选定一个适当的函数空间 2 定出一族函数映像一般是用线性定解问题逼近这一非线性定解问题， 建立起解与给定变元间的映像 3 证明此映像族有一不动点，得到非线性定解问题的至少一个解( 常用 的是压缩映像原理) 在物理学中，例如在某些波导的非线性波动过程中，若非线性弹性杆和介 质间有相互作用，且弹性杆是超弹性材料，那么根据h a m i l t o n i a n 原理”。得到 了一类广义立方双色散方程( c d d e ) m 1 ： 一= 丢3 地2 恸，一b u x x + d u ，k ( 1 - 8 ) 其中材g ，) 是杆的纵向位移且与拉力垦錾丝成比例，u g ，f ) 表示横向位移，而 口，b ，c 0 与d 0 都是常数对于物理波在分层液体中传播的经典问题中，得 到如下形式的方程m 1 ： 一= ( c “3 + 幽26 ) 。+ ( z ，) 盯+ 删 有时波在不同媒介中传播，如在一维非线性弹性固体中传播，得到了带有 耗散项的双色散方程( d d e ) m 1 ： 一= c ( c u 2 + a u ，一b u 搿+ g z ，l + o g 2 ) 这里u 是纵向拉力，口，b ，c 0 ，g 0 且s 1 都是常数上述三类方程以及 b q ，i b q ，i m b q 方程 都是方程： u ，f 一甜盯一口“删+ b u 一一d u 捌= 厂 ) 联 ( 1 9 ) 的特殊情况当d 0 时此方程中出现了阻尼项，所以研究此类方程解的渐近 性质便有很大的理论价值及实际意义 6 哈尔暝工程大学硕士学位论文 在文献 4 8 中，作者研究了方程( 1 - 9 ) 的初边值问题 “，f 一甜嚣- - a u x 。, t + b u 一一咖删= f ( u l ，x q ， 0 ， u ( o ，t ) - u q ，f ) = o ，u x x ( o ，f ) = 材。o ，) = o ，o ， ( 1 1 0 ) u ( x ，o ) = l d o g ) ，u tg ，o ) = 甜。g ) ，x i i i ( 卜11 ) 这里材g ，) 是未知函数，“，。= “一，厂g ) 是非线性函数，叫o ，) ，a o ，b 0 ， d 0 且都为常数，u o g l “。g ) 是给定的函数得到了问题( 卜o ) - ( 1 - 1 1 ) 整体 广义解的存在性，其基本步骤如下： 首先，将问题( 1 - 9 ) 一( 卜1 1 ) 转化为与之等价的变换问题： 一v 搿一倒删+ b y 一一咖删= 厂( v ，l ，x q ，r 0 ， ( 1 1 2 ) v ，( o ，f ) = v 工o ，f ) = 0 ，1 ，艄( o ，f ) = 1 ，麒( ，f ) = o ，0 ， ( 卜1 3 ) v g ，o ) = 矽g ) ，u g ，o ) = g ) ，x 孬 ( 卜1 4 ) ( 令v ，g ，f ) = “g ，f ) ，织g ) = u o g ) ，虬g ) = 甜。g ) 便将问题( 卜9 ) 一( 卜i i ) 转化 为问题( 卜1 2 ) 一( 卜1 4 ) ) 利用g a l e r k i n 方法对问题( 卜i 2 ) 一( 卜1 4 ) 近似解的某 些模做估计，得到了此问题整体广义解的存在性定理： 假设f e c 3 ( 月) ，f ( j ) 下方有界，且矽5 ( q ) ，g e h 4 ( q ) ，则问题 ( 1 - 1 2 ) - ( 1 - 1 4 ) 存在唯一一个整体广义解： 1 ，c 旺o ，明；日5 ( q ) ) n c l ( t o ，卅；h 4 ( q ) ) n c 2 旺o ，刀；日3 ( q ) ) = a 其次，通过问题( 1 - 1 2 ) 一( 1 - 1 4 ) 的结论得到了原问题( 1 - 9 ) 一( 1 - 1 1 ) 的整体 广义解存在性定理： 假设f c 3 ) ，f g ) 下方有界，且u 。h 4 心l “。h 3q ) ，则问题 ( 1 9 ) 一( 卜1 1 ) 存在唯一一个整体广义解： 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 uec 旺o ，刀；日4 ( q ) ) n c l 旺o ，明；h 3 ( q ) ) r 、c 2 旺o ，丁】；日2 ( q ) ) = b 然而，到目前为止，在已有文献中还没有对此问题解的渐近性质做过任何 讨论本文的第五章在文献 4 8 的基础上研究了问题( 1 - 9 ) 一( 卜1 1 ) 整体广义 解的渐近性质( 此时要求口，b ，d 是大于零的常数) 其基本步骤仍然是借助研 究变换问题( 1 - 1 2 ) 一( 卜1 4 ) 整体广义解的渐近性质，近而得到原问题 ( 卜9 ) 一( 卜1 1 ) 整体广义解的渐近性质采用一种改进的积分估计方法证明了， 当方程中的非线性项满足限定条件：若g ) 一l ，厂( 0 ) = 0 ，且存在k 0 及任 意j r ，令i g ) = 厂g ) + j ，e g ) = e z g 皿，满足e g ) 够g b 时，问题的整 体广义解的某些模按时间t 的指数形式衰减为零使文献 4 8 的结果得到了 补充和完善 1 3 一些定义及引理 定义1 1设qcr ”，0 t o o ，1 p ，1 q ，则 口( o ，丁；( q ) ) 2 甜( x ，f ) ir 恻巳。q ，衍 o o ) ，且 i i “o 口。，r 。n = ( j 了o “i l 。，衍) i 定义1 2设qcr ”，0 t o o ，1 p o o ，贝0 r ( 。，丁；( q ) ) = “( x ，) le s s 。s g u ；p r i l “l p ( f 1 ) 0 0 ) ，且 即正帅，2 e s s 。s 蚶u pl l “i i 帅， 定义1 3设qcr ”，0 t ，k 1 ，1 p o o ，1 q 0 0 ，贝0 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 l q ( o ，丁；胪p ( q ) ) = 心 ，) i胁鼽，。，西 ) ，且 甜。驴。，r ：矿。，。n = ( ，：l “i l 。，。n ，硪) i 定义1 4设qcr ”，0 t o o ，k 1 ，1 p o o ，贝4 r ( 叮；胪印) ) = 沁，) le s s 峨s u p r 甜w k p ( o ) 0 0 ，且 i l u l l l c 。r ；矿t ，c n 2 e s s 。s 鲋u ；p r “u t ，t q ， 定义1 5设qcr ”，0 t o o ，m 1 ，1 p ，q o o ，叫 ) 表示“对，的， 阶广义导数，则形删( o ，r ；( q ) ) = u ( x ，t ) ld u l q ( o ，丁；( q ) ) ，o ，聊) ，且 m 哪咿；舢 = 到m 叫堋；幽 定义1 6设qcr ”，0 t 0 0 ，k 1 ，m 1 ，1 p ，g 0 0 ，贝0 形m ( o ，t ；w 咖( q ) ) = 甜( x ，圳剧“口( o ，t ；w 却( q ) ) ) ，且 哪v ：n 鲫= 到m 叫哪朋 引理1 1( s o b oi6 v 嵌入定理c 蚰，)设qcr ”为有界域或无界域，且具有 锥性质，则 ( i ) 若印刀，则矿k , p ( q ) 嵌入口( q ) ：当印 刀时，p g j 车；当印：珂 刀一肋 时，p _ q o o 圳甜扎- 刀，则形”( q ) 嵌入c ( 孬) 且。c 。i l u l l 咖( 常数c ，c - 与“无 关，与后，玎，p ，q 有关) 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 引理1 2 ( h 6 1 d e r 不等式) 如果1 p 0 是问题：妒+ 力伊= 0 ，伊i 加= 0 的第一个特征值 引理1 4 ( g r o n w a li 不等式) 若“f ) _ ( o ，丁) ，且存在常数q ，c 2 ，使 得- y ( t ) c l + c 2f y ( f 沙，o t t ， 则有 y o ) c i p 吃 0 ，( 2 2 ) 一 ( 2 - 3 ) 的任葸解有估计： 0 z 1 1 2 + i i 2 互( 丁) ，( o ，丁) ( 2 4 ) ( 本文中巨( t ) 表示只与t 有关而与m 无关的常数，i = l ，5 够表示与所 无关的常数l r = 9o , 9 1 0 ) 证明定义 石( s ) = 厂( s ) 一q j 一厂( o ) ，c a = r a i n c o ，0 ； 蜀( s ) = g ( s ) - d l s - g ( o ) ，4 = m a x e o ，0 ) 由上面的定义知 石( o ) = o ，彳( s ) o ，从而石( s ) j 0 ； g l ( 0 ) = o ，g 。( 5 ) o ，从而g 。( s ) s o 以口册( f ) 乘( 2 2 ) 式，两边对j 从1 到聊求和，分部积分可得 j l 刹d 1 1 2 + n 1 2 ) + i 川2 = 一( 巾眦) ，“袱) + ( g ( ) ，n o ) ( 2 - 5 ) 由于 f ( u 掰) = 石( 甜柑+ c 。d 眦+ ( o ) ； g ( u 肼) = g 。( 砧埘) + 4 甜埘+ g ( o ) 1 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 又 ( 一c 。“眦- f ( o ) ，。) m 。0 甜袱1 1 2 + 如； ( e , u 册+ g ( o ) ，“。) 毛0 甜m8 2 + a ， 将其代入( 2 - 5 ) 式，可得 豪n 0 2 卜( z ( ) ，p ( 蜀( ) 心) 肘s ( 蚓n 甜。1 1 2 心 即有 翱1 1 2 + l l u 1 2 ) m , ( j l u 1 1 2 + n “。1 1 2 ) + 也 对o ，丁，将上式对，从0 到，积分，又由假设甜。( 工，o ) 生专( 工) ，所以 k ( o ) 1 1 2 与0 u o x l l 2 即有 帆( o ) f | 2 + k ( o ) 0 2 c o n s t 由g r o n w a l l 不等式便可得到( 2 - 4 ) 引理2 2 在( h ) 的条件下，g u 。( x ) h 2 ( q ) n h o ( q ) ，并选使得 u m ( x ，o ) j 材。( x ) ，则有估计 0 “，。1 1 2 易( 丁) ，( o f 丁) ( 2 6 ) 证明以以( ，) 乘( 2 2 ) ，两边对s 从1n m 求和，分部积分可得 三丢( 9 “眦1 1 2 + i i 甜一1 1 2 ) + i i 甜麟0 2 = 一( 厂( ”。) “膦，) + ( g ( ) 扰眦，“。) 一9 0 2 + d ol l 材。| 1 2 即有 互l 州d u 榭1 1 2 + | u 2 ) 嘲+ 1 ) | | 1 1 2 + 仆。8 2 1 4 哈刃浜工程大学坝士学位论文 m ，( 1 l u 。i | 2 + l “1 1 2 1 两边对f 积分，由g r o n w a l l 不等式便可得到( 2 - 6 ) 引理2 3 在引理2 2 的条件下有估计 i i - e ( 丁) ，i l u m x t82 厶( 丁) ，( 0 t r ) ( 2 7 ) 证明 以( f ) 乘( 2 2 ) ，两边对s 从1 到掰求和，分部积分可得 k0 2 + 陋删0 2 = ( “嬲，) + ( 厂( “。) ，) + ( g ( “卅) ，) ( 2 8 ) 所以有 忙l 卜黼i i i i l l r a t i i + l l ：( “撇) l l 。i l u li l u n , t l l + l l g ( u , , , ) l li u m ，0 ( 1 i 甜一i i + i i 厂( u o ) l l 。0 “膦i i + l l g ( u 。) i l l g m t0 m , i l u 。，i | 由此可得0 i i - 易( 丁) ，再代入( 2 8 ) 得到，0 “删l i2 局( r ) 引理2 4 在引理2 2 的条件下还有估计 0 “一忙e ( t ) ，( 0 f 丁) ( 2 9 ) 证明 以五a - ( f ) 乘( 2 2 ) ，两边对s 从1 到m 求和，分部积分可得 陋1 1 2 = ( “删，“) = ( 材。，) 一( 甜一，甜懈，) 一( 厂( 甜掰) ，甜删) 一( g ( 甜脚) ，z ，m 棚) 0 ， 问题( 卜1 ) 一( 1 _ 3 ) 存在q o ，o o ) 上的整体强解 证明 由于厂( 咋) ，g ( “) 连续，故问题( 2 2 ) 一( 2 3 ) 存在局部解而由引 理2 卜2 2 可知，m f f ：- - t 0 ，问题( 2 2 ) 一( 2 3 ) 都存在【o ，丁】上的整体解 “。( x ，f ) 由引理2 卜2 4 及紧致性原理知，存在 ( x ，f ) ) 的子序列，仍记为 k ( ) ，使得 ( x ，) 专“( 五f ) 于p ( o ，t ；h 2 ( q ) n 叫( q ) ) 弱木收敛； u m t ( x ，t ) - - , u , ( x ，) 于r ( o ，t ；h 2 ( q ) n 磁( q ) ) 弱木收敛 在( 2 2 ) 式两边同乘任一d ( ，) c o ，并且对，在【o ，丁】上积分，得 ( u m t - - u m x x t - - u r a x x , d ( ，) 叱p = r ( 厂( 材袱) ，d ( f ) 比) 出+ r ( g ( ) ，d ( t ) w ，) d t 令m 专o o ，则 r ( 一掰删一甜黼，d ( f ) k p 专r ( 坼一一，d ( f ) k p 而 1 6 哈尔浜工程大学坝士学位论文 f ( 厂( 甜脚) 工，d ( f ) 嵋) 衍= 一r ( 厂( “榭) ，d ( t ) w ) d t ， 因u r a x ，都在r ( o ，丁；r ( q ) ) 中对朋一致有界，从而在r ( o ，丁；r ( q ) ) 中对 历一致有界，则有子序列( 仍记为) u r a ( x ，f ) ) ，使得u m xx ，) _ 蚝( x ，) 在 e ( o ，丁；r ( q ) ) = 易( q ) 中强收敛，且于9 几乎处处收敛( g = q 【o ，丁】) ，又 因0 厂( “。) 1 1 。 c o n s t ，而d ( f ) 峙厶( 绋) ；在区域g 上应用l e b e s q u e 逐项积 分定理，有 一f ( 厂( ) ，d ( t ) w 盯) d t - ) 一r ( 厂( 叱) ，d ( ，) k ) 功= r ( 厂( 蚝) 工，d ( f ) 嵋) 衍， 即有 r ( 厂( “。) ，d ( f ) 比) 西专r ( ( 蚝) 工，d ( ，) k ) 班； 而由于g ( z ，) 连续有g ( ( x ，) ) 专g ( “( x ，) ) 于q 【o ，t 】几乎处处收敛，并且 g ( u 肿) 于q = q 【o ，r 】关于脚一致有界 同理有 r ( g ( “肼) ，d ( f ) 比) 西一r ( g ( 虬) ，d ( ，) 心) 出， 从而有 f ( u t - - u x x t - - 一厂( 以) ，- g ( 材) ，d ( f ) q p f = o ，( s = l ，2 ，) 由 ( x ) ) 在r ( q ) 中成正交完备系及d ( ，) c 。的任意性，可知强解定义中 的( i ) ，( i i ) 都满足而由引理2 卜2 2 知，定理中的( i i i ) 也满足从而甜( x ，t ) 为问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 的整体强解 定理2 2 在定理2 1 的条件下，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体强解是唯一的 证明设u 为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的任意两个强解，令= 甜，则彩满足,v c o- - v 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 c o , 一缈删一够材= 厂( z ) ，一厂( k ) ，+ g ( 甜) 一g ( v ) 及齐次初始条件，将上式两边乘缈于q 积分，得到 撩彩q 嗍q i | 2 = - ( 砥q m 瓴缈) 一c 0 蚓1 2 + a o1 1 4 2 所以有 翱刮1 2 + i i q i l 2 ) m 。( i i 哝1 1 2 + i i 缈i | 2 ) ( 其中”表示在畋与匕之间的取值，0 t ab y 表示在u 与v 之间的取值) ，由 g r o n w a u 不等式便可得 1 2 + 2 = o 所以知 n ，三0 2 3 本章小结 本章研究了一类非线性拟抛物型方程的初边值问题首先利用了经典的 g a l e r k i n 方法的思想，构造了原问题的近似解，并对非线性拟抛物型方程中的 非齐次项函数限定了如下条件：厂下方有界且g 上方有界，得到了近似解的 几个先验估计：然后证明了原问题整体强解的存在性与唯一性 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章强非线性拟抛物方程的柯西问题 在这一章中，我们研究问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 方程( 卜4 ) 可以看作是粘性扩散 方程一a u ，= a g ( u ) 的一个变式只需令9 0 ) = 厂0 ) + 甜，便得到方程( 卜4 ) 本章引入如下记号：1 1 - 1 1 p2 1 1 - 1 1 ) ；1 1 1 1 t p2 1 1 1 1 旷，p ) ；并且1 1 - 1 1 = i i i i ：； ( ) = ，z 融 3 1 引理及其推论 引理3 俨1 令后1 ，1 p 0 0 ，假设厂g ) c 俅) ，厂( o ) = 0 ； “w 咖伍”) nr “) ，并且若。m ， 那么 并且 厂0 ) 矿”伍”) ， l i s ( u l l ”_ x ( m l l 叱p 这里k 似) 是仅依赖膨的常数 推论3 1 令后1 ，1 p 0 0 ，假设厂g ) c 忸) ，厂( o ) = o ； “g ，) c ( o ，t ；w 却0 ”) r 、r ( r ”) ) ，j , s t 若l l “0 c ( 0 疋p 【r 。) ) m ， 那么 并且 厂0 ) c ( 0 ，丁；形伍”) ) ， 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i i s ( 甜) l l c ( o , t ；w k p 足似删c 胪， 这里忱i c ( o 正胪，) ) 2e s s 。s g u s p r 陋i i 却，而k 似) 是仅依赖m 的常数 那么 引理3 2 嘲令七1 ，l p o o ，八s ) c “1 ( 尺) ，u , v e 形咖( 尺”) n r ( 尺”) ， i l 厂0 ) 一s ( v ) l l 。，p k 0 川。+ i i v 忆湘川。，+ m l 。，】p v 忆+ 0 川p + i i v 忆】p v k pj 并且 那么 那么 并且 那么 并且 推论3 2 令k 1 ，1 p o o ，假设 厂g ) c k + l0 ) ，z ，g ，ly g ，) c ( 0 ，t ；w 咖伍”) nr 伍”) ) u 胪，+ l l v i i c ( o , t ；w k p + c r + c r m i i f ( u ) 一s c v ) lc ( o ，r ；t ，仅。) ) - k ( m l l u - - v i l c ( o , t ；w l v 【r ) ) 引理3 3 令l p ，假设办g ) l i ( r ”) ，厂( x ) f ( 尺”) 水s u ( r ”) ， s l l p - l l h 。i s l l p ，这里o 幸厂融) = 上h ( y ) f ( x - y ) d y 推论3 3 令后1 ，l p o o ，假设办g ) 三1 融”) ，( 石) 形咖( 月”) 厅牛f e w t p ( r ”) ， 眇s l l 咖- l i b 。i l s l l ” 哈尔滨工程大学硕士学位论文 证明因为d g 率s x d ：t i l l 办( y 波厂g y 协，1 h 七再由引理3 3 即可证明 推论3 4 令七l ，1 p ，假设办g ) f 俅”) ， 那么 并且 厂g ，f ) c ( o ，r ；形咖伍”) ) ， 办 厂4 0 ，t ；w 帅伍”) ) 忪饥( 咿旷，( ) ) - 0 ( i i ) g g ) 满足方程g g ) 一g g ) = 万g ) ( i i i ) g g ) 口( r ”) ，且i i g g 虮= 1 这里有：若刀；1 ，1 g o o ：若刀= 2 ，1 g ；若刀3 ，1 q 妥 甩一z 推论3 5 z 4 - 1 p o o ，假设厂( x ，) c ( o ，丁；p ( 尺”) ) ， 那么 并且 g 木厂c ( o ，丁；f ( r ”) ) ， i i g s l l c ( o 。r ；矿【r ) ) i i s l l c ( o ，r ：旷【r 。) ) 2 l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 那么 并且 推论3 6 令七l ，l p ，假设厂g ，t ) e4 0 ，t ；w 幻伍”) ) ， g 木f c ( o ，t ；w 咖( r ”) ) ， l i g 幸州c 【o t ；w k e 1 1 4 c ( o , t ；w k p 3 2 局部矿却解的存在性 在这一部分首先考虑与i 司题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 等价的一个积分方程，然后通过 压缩映像原理证明了局部w k ，p 解的存在性 我们首先将方程( 卜4 ) 写成如下形式 l ，+ 甜+ 厂0 ) 】一l ，+ “+ 厂0 ) 】= “+ 厂0 ) ( 3 一1 ) 我们给出 + “+ 厂0 ) = g 木l + 厂0 ) 】 ( 3 2 ) 由问题( 3 - 2 ) 及( 1 - 5 ) 得到： “x , t ) = e - t u o g ) 一上口币- f 厂 g ，f ) 矽r + f p 却- r ) g 母l ( 矗f ) + 0 g ，f ) ) p f ( 3 - 3 ) 定义3 1 令后l ，1 p o o ，若材w 1 。( o ，t ；w 却忙”) ) ，v t 【o ，丁) ，“ 满足积分方程( 3 3 ) ，则称“= “g ，f ) 是问题( 卜4 ) 一( 卜5 ) 的w 七，解 下面我们利用压缩映像原理证明问题( 1 - 4 ) 一( 1 - 5 ) 存在局部w k , ，解，我 们定义： 函数空间x