（应用数学专业论文）z连续偏序集理论中几个问题的研究.pdf

z 一连续偏序集理论中几个问题的研究 摘要 产生于上世纪7 0 年代初期的论域理论是理论计算机科学的一个重要领域，旨 在为计算机函数式语言的研究奠定数学基础序和拓扑的相互结合、相互作用是 这一理论的基本特征正是这一特征使得论域理论成为理论计算机科学与拓扑学 研究者共同感兴趣的领域；也使这一理论与许多数学学科产生了密切的联系论 域理论一经形成，就引起了人们广泛的兴趣它处于数学、逻辑和理论计算机科 学等学科的交汇处，是比较活跃的研究领域本文将对论域理论，特别是z 连续 偏序集理论作进一步的探讨 首先，总结了论域和z 一连续偏序集的相关概念和性质，并加以补充主要是 讨论了z 一并理想格的性质，以及子集系统意义下的z 一代数交结构和z 一代数闭包 算子的性质和联系一个z 一代数闭包算子可以生成一个带顶元的z 一代数交结构 反之，一个z 一代数交结构也可以生成一个z 代数闭包算子进一步，每个带顶元 的z 一代数交结构都是z 一代数格，且每个z 一代数格都同构于带顶元的z 一代数交结 构此外，在连续格中引入拟紧元、拟基以及特殊拟基的概念，在研究了它们的基 本性质的基础上，利用特殊拟基给出了一个构造算术格的方法，得到了如果b 是 连续格l 的一个特殊拟基，则b 的所有圆理想赋予包含序后所得的偏序集是一个 算术格进一步，利用某个集合的满足一定条件的子集族来刻画连续格、代数格 以及算术格，从而给出了它们的一个表示定理 其次，在与拓扑理论相结合方面，一部分，说明了偏序集p 上的下极限收敛类 生成的拓扑恰好是其上的s c o t t 拓扑，得到了下极限收敛关于s c o t t 拓扑是可拓扑 化的当且仅当p 是连续的并利用下极限收敛的概念来刻画任意偏序集的交连续 性，借助于下极限收敛和拓扑之问的联系来研究交连续的偏序集的一些拓扑性质， 从而加强了交连续的偏序集的序理论性质和拓扑性质之间的联系另一部分，区 别于以往仅仅用拓扑理论来研究连续映射的扩张问题的方法，我们利用序理论通 过拓扑空间的闭集格来研究连续映射的扩张问题，给出了从稠密子空间到死空 间的连续映射连续扩张到整个空间的充要条件 再次，在与代数理论相结合方面，我们研究了元素的分解和z 一代数性之间的 关系，引入z 一有限性和z 一可加性来研究完备格中元素的分解，有限分解以及有限 分解的唯一性，给出了偏序集中的元素可以分解的充要条件并利用z 一并理想格的 性质来刻画偏序集中元素的分解，证明了如果2 一并理想格z v 尸是p 一代数的且尸的 每个主理想是z v 尸的p 有限元，则p 在心( p ) 中有有限分解 最后，在与范畴理论相结合方面，我们引入双有限的上有界偏序集的概念， 并研究了它们和它们之间的d 连续映射的性质，得到了双有限上有界偏序集兄 博士学位论文 和s 的乘积r s 是双有限上有界偏序集，而且所有从r 到s 的d 连续映射组成的 集合并赋予逐点偏序后得到的偏序集啤一s 】d ，也是双有限上有界偏序集，从而 证明了以双有限的上有界偏序集为对象，以d 连续映射为态射的范畴b f b p 是 笛卡尔闭的 关键词：子集选择；拟紧元；交连续偏序集；z 一连续偏序集；z 一并理想；双有限的 上有界偏序集；口一连续映射；笛卡尔闭范畴 z 一连续偏序集理论中几个问题的研究 a b s t r a c t d o m 撕nt h e o r yp r o d u c e di nt h ee a u r i yl9 7 0 8i sa d li m p o r t a n ta r e a o ft h e o r e t i c a l c o m p u t e rs c i e n c e ，d e s i g i l e df o rt h es t u d y o fc o m p u t e rf u n c t i o n a ll a n g u a g 邵t ol a y t h ef o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c s t h ei n t e r a c t i o nb e t 矾俄no r d e ra n dt o p 0 1 0 盯p l a y s a ni m p o r t a mr o l ei nt h i st h e o 眄w h e ne o n t i n u o u sl a 饥i c e st h e o r yd e v e l o p e d ， t h e yh a v eb e e ns t u d i e de 赋e n s i v e l yb ym a n yp e o p l e 行o mv 耵i o u s6 e l d sd u et o i t ss t r o n gc 0 i l i l e c t i o nt o 柏g e b r a ，l o g i c s ，g e n e r a lt o p o l o 斟a n dc o m p u t e rs c i e n c e t h i sd i s s e r t a t i o nw i hd of u r t h e rs t u d yo nd o m a i nt h e o r y i np a r t i c u l a rt h et h e 0 可 o fz c o n t i n u o u sp o s e t s f i r s to fa 1 1 s o m er e s u l t sa b o u td o m a i n sa n dz c o n t i n u o u sp o s e t sa r es u m - m a r i z e da n ds u p p l e m e n t e d t h ep r o p e r t i e so ft h el a t t i c eo fz j o i ni d e a _ l sa r e c o n s i d e r e d ，a n dd 曲n i t i o n sa n df a u c t sa b o u tz a l g e b r a i ci n t e r s e c t i o ns t r u c t u r e 8 ， z 出g e b r a i cc l o s u r eo p e r a t o r sa i l dt h ei n t e r r e l a t i o nb e t w e e nt h e m i nt h es e 璐e0 f s u b s e ts y s t e i i l sa r ed i s c u s s e d o no n eh a n de v e 盯z a l g e b r a i cc l o s u r eo p e r a t o r i n d u c e sat o p p e dz a l g e b r a i cn s t r u c t u r e ，o nt h eo t h e rh a n de 、，e r yz a l g e b r a i c n s t r u e t u r ei n d u c e daz a l g e b r 越cd o s u r eo p e r a t o r m o r e o v e r ，e v e 巧t o p p e d 二 a l g e b r a i cn s t r u c t u r ei saz a l g e b r a i cl a t t i c ea n de v e 盯z a l g e b r a i cl a t t i c ei si s o m o r p h i ct oat o p p e dz a l g e b r a i cn s t m c t u r e f i u r t h e r m o r et h ec o n c e p t so fq u a s i c o m p a u c te l e m e n t s ，q u a 8 i - b a s e sa n ds p e c i a lq u a s i b a 8 e si nc o n t i 姗o u sl a t t i c e sa r e i n t r o d u c e d a r e ri i l v e s t i g a t i n gc h a r a c t e r i z a t i o n so fq u a s i c o m p a c te l e m e n t sa n d q u a s i 书a s e si nc o n t i n u o u sl a t t i c e s ，ap r o c e d u r ef o rg e n e r a t i n ga r i t h m e t i cl a t t i c e s b ys p e c i a lq u a s i b a s e si sg i v e n i fb i sas p e c i a jq u a s i - b a s ef o rac o n t i n u o u s1 a t t i c e 厶t h e nt h ep o s e to fa l lr o u n di d e a l so fb o r d e r e db yt h ei n c l u s i o no r d e ri sa n a r i t h m e t i cl a t t i c e a n dt h e nt h er e p r e s e n t a 七i d n sf o re o n t i n u o l l sl a t t i c e s ，a l g e b r a i c 1 a t t i c e sa n d 甜i t h m e t i c1 a t t i c e sa r ef o r m u l a t e db yc e r t a i nf a m i l yo fs u b s e t so fa g i v e ns e t s e c o n d ，i nc o i i l b i n a t i o nw i t ht h et o p o l o g i c a lt h e o r y ，o no n eh a n d ，晡忙p r o v e d t h a tt h et o p o l o 盯o n 尸i n d u c e db yt h ec l a s so f1 i m i n f - c o n v e r g e n c ei s 嘞c t l yt h e s c o t tt o p o l o 野o npa n dt h a tf o rap o s e tpt h el i n l - i n f - c o n v e r g e n c ei st o p o l o 分 i c a lf o rt h es c o t tt o p o l o g ) ri fa n do n l yi fpi sac o n t i n u o u sp o s e t m o r e o v e rt h e m e e tc o n t i n u i t yo fg e n e r a l lp o s e 七si sc h a l r a c t e r i z e di nt e r m so fl i m i n f - c o n v e r g e n c e b a s e d0 nt h ei n t e r r e l a t i o nb e t 研恍nl i m i n f c o n v e r g e n c ea n ds c o t tt o p o l o 目，w e i v 博士学位论文 c o n s i d e rt h et o p 0 1 0 舀c a lp r o p e r t i e so fm e e tc o n t i n u o u sp o s e t s ，e n r i c h i n gt h ei n - t e r p l a yb e t w e e nt o p o l o g i c a la n do r d e rt h e o r e t i c a la s p e c t so fm e e tc o n t i n u i t yo f p 0 8 e t s 0 nt h eo t h e r h a n d ，w ei r l v e s t i g a t et h ep r o b l e m o fe x t e n s i o n so fe o n t i n u o u s m a p p i n g s 行o mo r d e rt h e o r e t i c a la s p e c t s ，b ym e a n so ft h ef a m i l yo fc l o s e ds e t s a sac o m p l e t el a t t i c e ，w h i c hi sd i 乳r e n t 行o mj u s tu s i n gt h et o p o l o g i c a lt h e o r yt o s t u d yt h ep r o b l e mi nt h ep a s t m o r e o v e r ，an e c e s s a 可a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o ni s p r o v i d e di no r d e rt h a tac o n t i n u o u sm a p p i n g 白d mt h ed e 璐es u b s p a c et oab s p a c eh a sa c o n t i n u o u se x t e n s i o n0 v e rt h ew h o i es p a u c e a g a i n ，i nc o m b i n a t i o nw i t ht h e 越g e b r a i ct h e o 吼，ec o n s i d e rt h e r e l a t i o n s h i pb e t l 眦e nt h ed e c o 1 p o s i t i o 璐o ft h ee l e r n e n t si np o s e 乞sa n dt h ez a l g e b r 蚯c a 允e ri n t r o d u c i n gz 6 n i t e n e s sa n d 互a d d i t i v i t y ，w es t u d yt h ed e c o m p o s i t i o n s ， f i n i t ed e c o m p o s i t i o l l sa n du n i q u e n e s so ff l n i t ed e c o m p o s i t i o i l si nc o m p l e t el a t t i e e s n l r t h e 硼o r e ，i nv i r t u eo fs o m ez - j o i ni d e 础sl a t t i c e ，w r ec h a r a c t e r i z et h e d e c o m p o s i t i 0 璐i nap o s e tp a r l dp r0 _ v et h a ti fpi sp a l g e b r a i ca n de 、r e 呵p r i n c i p a li d e a l si s $ m 耐 f p - f i n i t ei nt h ez j o i ni d e a l sl a t t i c ez vp ，t h e np h a s 丘n i t e d e e o m p o s i t i o i l si n 也( p ) f i n a l l y ，i nc o m b i n a t i o nw i t h 也ec a t e g o 盯t h e o 吼，ei n t r o d u c eb i 矗n i t eu p p e r b o u n d e dp o s e t s ，w ea k di i e s t i g a t et h e i rp r o p e r t i e sa i l dt h e 口一c o n t i n u o u sf u n c t i o n sb e t w e e nt h e m f b rb i f i n i t eu p p e rb o u n d e dp o s e t s 兄a n ds ，t h e i rp r o d u c t a n dt h ef u n c t i o ns p a u e e 陴一司dw h i c hi st h es e to fa l l ld 一e o n t i n u o u sf u n c t i o 璐 f r o mrt oso r d e r e db yt h ep o i i l t w i s ep 越i a lo r d e r i n g 射ea l s ob i 6 n i t eu p p e r b o u n d e dp o s e t s h e n c et h ee a t e 9 0 r yb f b p ，i nw h i c ho b j e c t sa r eb i f i n t eu p p e r b o u n d e dp o s e t sa n da r r o w sa r ed 一c o n t i n u o u sf u n c t i o i l sb e t w e e nt h e m ，i sc a r t e - s i a 】c l o s e d k e yw b r d s ：s u b s e ts e l e c t i o n s ；q u a s i c o m p a c te l e m e n t s ；m e e tc o n t i n u - o u sp o s e t s ；z - c o n t i n u o u sp o s e t s ；z j o i ni d e a l s ；b i f i n i t eu p p e rb o u n d e d p o s e t s ；勿一c o n t i n u o u sm a p p i n g s ；c a r t e s i a nc l o s e dc a t e g o r i e s v 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 广义偏序集理论的研究背景和进展 广义偏序集理论是基于对论域理论和连续格理论的推广而产生的一种理论 对广义偏序集理论的研究离不开对论域理论和连续格理论的研究产生于上世 纪7 0 年代初期的论域理论是理论计算机科学的一个重要领域，旨在为计算机函数 式语言的研究奠定数学基础序和拓扑的相互结合、相互作用是这一理论的基 本特征正是这一特征使得论域理论成为理论计算机科学与拓扑学研究者共同 感兴趣的领域；也使这一理论与许多数学学科产生了密切的联系论域理论的提 出源于两种完全不同的背景一个来源于对计算机函数式语言的研究，另一个来 源于对纯数学理论的研究函数式语言是一种重要的计算机程序设计语言范型 它把程序看作函数，希望通过对函数施行基本运算，如四则运算、复合、递归等， 来达到所期望的结果那么，是否存在这样的数学结构，其上具有满足函数式语 言所要求的那种函数( 称为可计算函数) ，并且能够支持这些函数的基本运算呢? 在 1 】中，耻i n g 奖得主d s s c o t t 首先考虑了这个问题，并在 2 ，3 1 中做了进一步 的研究，从而找到了确定程序的指称语义学的数学模型s c o t t 论域理论1 9 7 6 年， p l o t k i n 在f 4 1 中指出需要更一般的数学对象用于建立非确定程序的指称语义学的 数学模型，从而进一步发展了论域理论在纯数学研究一边，7 0 年代中期，j d l a w s o n ，k h h o f 如a n n 等人在关于紧半格的结构理论的研究中，也发现了连续 格和代数格的结构从两种完全不同的背景出发，导致了同一对象的发现，刺激 了这一领域的研究1 9 8 0 年，d s s c o t t 等六位作者共同撰写了第一部关于连续 格理论的著名专著【5 】 论域理论一经形成，就引起了人们广泛的兴趣它处于数学、逻辑和理论计 算机科学等交汇处，是比较活跃的研究领域仅从数学的角度来看，论域和连续 格就可以成为多个学科的研究对象例如，从序结构的观点来看，连续格可以视 为代数格的自然推广；从逻辑的观点看，论域是一种有限可计算逻辑的理论模型； 从拓扑结构的观点看，连续格是紧的l a w s o n 交半格；从范畴论的观点看，论域理 论提供了新的笛卡尔闭的范畴模型同时，a b r 锄s k y 和j u n g 的论域环境和可观 察逻辑理论【6 l ；h u t h 的线性逻辑理论【7 】：e d a l a t 在离散动力系统、迭代函数系统方 面的工作f 8 ，9 | 等等也充分显示了论域理论与其他学科的联系以及将其应用于其他 领域的广阔前景正因为其多学科的特点，从上世纪8 0 年代开始许多国内外的研 究者开始了这方面的深入探索，使得论域理论的发展十分迅速，也取得了一系列 深刻和有深远影响的成果 z 连续偏序集理论中几个问题的研究 范畴论是众多数学学科进行整体研究的基本工具，范畴论的文献和专著参 见1 0 - 1 6 1 论域理论与范畴论的结合在程序设计语言的指称语义学研究中，起 着至关重要的作用论域与s c o t t 连续映射组成的范畴是计算机语言的指称语义 域，为了更好的支持程序设计语言，人们要求这样的语义域是笛卡尔闭的范畴， 也就是要求论域范畴有有限积( 如，为了支持函数的四则运算) 、关于s c o t t 连续函 数空间封闭( 如，为了支持函数的复合) 而论域理论的主要研究对象d o m 范畴以 及a l g d o m 都不是笛卡尔闭的，所以寻找它们的极大的笛卡尔闭的满子范畴就 是论域理论研究的一个基本问题围绕这一基本问题，s c o t t 发现了a l g d o m 上的 第一个笛卡尔闭的满子范畴一s c o t t 论域范畴；而后在f 4 】中p l o t k i n 利用有限偏序 集序列的双极限技巧，引入了双有限论域的概念，构造了s f p 对象范畴，即泸双有 限论域范畴，并猜测s f p 是有最小元和可数基的代数论域范畴沙a l g d o m 上的 最大的笛卡尔闭的满子范畴；后来s i n y t h 在1 9 8 3 年证实了这个猜测是正确的在【1 7 ， 1 8 1 中，j u n g 证明论域范畴d o m 有两个极大的笛卡尔闭的满子范畴，也就是f s 范 畴和l d o m 范畴 以论域为语法域的指称，以及s c o t t 连续映射为程序的指称，建立的程序语言 指称语义一般要求与操作语义等价，即它们刻画反映了程序的同一行为，也就是 通常所说的论域模型全抽象问题g d p l o t k i n 在1 9 7 7 年研究p c f 语言的全抽象 语义时发现以s c o t t 连续映射为p c f 语言的程序指称语义建立的论域模型不是全 抽象的f 1 9 i 这促使g b e r r y 将s c o t t 连续映射进行分类，它引入了称为稳定映射 的一类s c o t t 连续映射，并表明了p c f 语言的全抽象论域模型只能由稳定映射组 成【2 0 】，从而发展起来了稳定论域理论稳定论域理论不仅关注稳定映射，而且关 注与稳定映射相融洽的论域现在关注最多的一类论域是g b e r 巧引入的d i 论 域，另一类就是j u n g 发现的l 论域z h a n gg q 系统的研究了d i 一论域与稳定映 射组成的范畴的诸如笛卡尔闭性的性质，见文献 2 1 2 4 1 在f 2 5 1 中，t e l l r h a r d 与p m a l a c a r i a 研究了l 广论域与稳定映射组成的范畴的笛卡尔闭性关于【广论域的研 究还见f 2 6 ，2 7 1 p t a y l o r 在【2 8 】研究了连续l 论域与稳定映射组成的范畴的笛卡 尔闭性c h e ny x 在【2 9 ，3 0 】中系统的研究了代数l 广论域与稳定映射组成的范 畴的诸如笛卡尔闭性等基本性质 在纯数学研究一边，很多研究者也做了大量的工作，继续推广和完善论域理 论g g i e r z 和j d l a w s o n 等人把连续格理论推广到连续偏序集理论，拟连续以 及超连续偏序集理论，参见文献3 l 一3 5 1 及2 0 0 3 年同样是d s s c o t t 等六位作者共 同撰写了新版的关于连续格理论的著名专著【删等由于连续格上自然存在两种重 要的内蕴拓扑：s c o t t 拓扑和l a w s o n 拓扑这两种拓扑都具有很好的性质例如，连 续格上的l a w s o n 拓扑是紧的，而连续格上的s c o t t 拓扑是正的且s o b e r 的这就把 序结构和拓扑有机的结合起来了又因为任意连续偏序集上的s c o t t 拓扑都是完 博士学位论文 全分配格，而对任意的完全分配格都可以找到一个连续的偏序集使得该完全分配 格同构于此连续偏序集上的s c o t t 拓扑，所以连续偏序集范畴与完全分配格范畴是 对偶等价的这就是l a w s o n 吲及h o 舫1 a n n ，m i s l o v e l 3 8 】建立的l a w s o n h o 任m a i l 对 偶定理后来，z h a ods 和z h a ob 对该定理进行了推广【3 9 | 有关论域和拓扑结合 起来研究的文献还可见f 4 0 4 8 】 1 9 7 8 年，w a g n e r ，w i 曲t 和t h a t c h e r 在 4 9 】中发展了一种“统一的方法”使得 他们可以推广一般的代数偏序集的概念在这篇论文的结尾部分，作者提出连 续偏序集的概念可能也可以以类似的方法得到推广在随后的上世纪八九十年 代，有很多研究者沿着这个思路对连续偏序集的概念进行了推广并研究了它们的 性质，参见文献【5 0 - 6 7 】等等作为广义连续偏序集的几个特例，口连续偏序集就 是通常意义下的连续偏序集，关于这类连续偏序集的详细研究见文献3 6 1 ；m a r t i n e z 在 6 8 1 中研究了f 连续偏序集，给出了相应的性质和结论；而m m e y 在f 6 9 ， 7 0 1 中研究了弘连续偏序集并得到一个偏序集是口连续的当且仅当它是一个完 全分配的完备格大多数研究者把广义连续或者广义代数偏序集限制在w a g n e r ， w t i g h t 以及t h a t c h e r 意义下的子集系统中，而e r n 6 把子集系统意义下的广义代数 偏序集( 见【7 1 】) 和广义连续偏序集( 见 6 3 】) 推广到更加广泛的子集选择下并研究了 它们的拓扑性质 无疑，继续发展论域理论与数学其他学科的联系是令人关注的方向 1 2 本文的主要工作及结构 由于论域理论处于数学( 拓扑与l o c a l e 、范畴论、泛代数、泛函分析、分形与 非线性动力系统等) 、逻辑( 直觉主义逻辑、线性逻辑、模态逻辑、时序逻辑等) 和 理论计算机科学( 程序语义、可计算理论、a 一演算、并发程序语义等) 学科的交汇 处，是比较活跃的研究领域，所以本文继续对论域理论，特别是广义偏序集理论 作了一些探讨本文主要工作及章节安排如下： 在第2 章中，我们继续研究和完善广义连续偏序集的相关概念和性质，主要是 探讨了z 并理想格的性质，和广义连续格上的一种同态映射，为后面的讨论打下 基础在本章第4 节研究了子集系统意义下的广义交结构和，“义闭包算子，讨论 了它们的一些性质和联系 在第3 章中，我们主要考虑连续格的表示理论，在连续格中引入拟紧元和拟基 的概念，讨论了它们的性质，并利用拟基给出了一个构造算术格的方法，最后给 出了连续格的一个表示定理 在第4 章中，利用下极限收敛的概念来刻画任意偏序集的交连续性，并借助于 下极限收敛和拓扑之间的联系来研究交连续的偏序集的一些拓扑性质，从而加强 了交连续的偏序集的序理论性质和拓扑性质之问的联系 z 一连续偏序集理论中几个问题的研究 在第5 章中，我们从序理论方面利用拓扑空间的闭集格来研究连续映射的扩 张问题给出了从稠密子空间到码一空间的连续映射连续扩张到整个空间的充要 条件 在第6 章中，第1 节我们研究完备格中元素的分解和广义代数性之间的关系， 引入z 一有限性和z 一可加性来研究完备格中元素的分解，有限分解以及有限分解 的唯一性在第2 节中我们研究偏序集中的元素可以分解的充要条件并利用广义 理想格的性质来刻画偏序集中元素的分解 在第7 章中，我们引入双有限的上有界偏序集的概念，研究了它们的一些性 质，并考虑了以双有限的上有界偏序集为对象，以d 连续映射为态射的范畴的 笛卡尔闭性 最后，我们对论文进行了总结，并讨论了今后所要做的工作 1 3 预备知识 在本节中，我们将简单介绍一下广义偏序集理论所涉及到的基本概念和结论， 为后面的进一步研究提供基础更加具体的细节请参考文献 3 6 ，7 4 】 设p 是一个偏序集，s p 记 i p s = z pl 了s s ，z s ) ； t p s = z pi 了s s ，z s ) 在不引起混淆的情况下j ps 或1 ps 分别简记为上s 或下s 如果、 s = 只则称s 是 一个下集，类似的，如果ts = s ，则称s 是一个上集特别的，当s 是任一个单点 集 z ) 时，、【 z ) 和t z ) 分别简记为上z 和t z 在偏序集尸中，称点z 是子集s p 的一个下界如果对任意的s s 都有z s ； 对偶的，称点z 是子集s 的一个上界如果对任意的s s 都有s z 如果s 的所有 下界组成的集合有唯一的最大元，则称这个最大元为s 的下确界，记为s 或i n 俗； 如果s 的所有上界组成的集合有唯一的最小元，则称这个最小元为s 的上确界，记 为vs 或s u p s 为了特别说明s 的上确界或下确界是在特定的偏序集p 中所取得 的，我们分别记s 在p 中的上确界或下确界为v ps 或八ps 习惯上，记 z 暑，= i n f z ，可) ； z v y = s u p z ，可) 称偏序集p 的子集d 为有向集，如果d 是非空集合且d 的任意有限子集在d 中 都有上界如果偏序集p 的每个有向子集d 都有上确界，那么称p 是有向完备 的偏序集( d i r e c t e dc o m p l e t ep a r t i 出l yo r d e r e ds e t ) ，简称d 印d 称p 的子集f 为 可滤子集，如果f 是非空集且f 的每个有限子集在f 中都有下界有向的下集称 一4 博士学位论文 为理想；可滤的上集称为滤子或对偶理想特别的，称j ，z 是由z 生成的主理想， 丁z 是由z 生成的主滤子或者主对偶理想用，d ( p ) 表示p 的所有理想组成的集族， 当把j d ( p ) 看作偏序集时，其上的偏序为集包含序另外，符号z = v d 表示集 合d 是有向集且它的上确界是z 假设z ，尸，称z 有向小于秒，记为z 可，如果对任意的在尸中有上确界的 有向集d ，vd 可以推出存在d d 使得z d 记 u z = ! ，pl 可z ) ； 介z = 可piz 可) 如果z z ，则称z 是p 的个紧元偏序集尸的所有的紧元组成的集合记为k ( p ) ， 当把k ( p ) 看作偏序集时，其上的偏序为诱导序 命题1 3 1 【3 6 l 在一个偏序集p 中，下面的结论对任意的让，z ，! ，u p 都成立： ( 1 ) z 可哥z 可； ( 2 ) “z 可秒号秽； ( 3 ) ( z 钉，耖御) 哥zv t ，如果zv 可在p 中存在； ( 4 ) 0 z ，如果尸有最小元0 定义1 3 1 嘲如果偏序集p 满足逼近公理： ( 忱p ) z = v 。扎z ， 即对任意的z p 都有u z 是有向集且z = v 抄z ，那么称p 是连续的偏序集特别 的，称连续的d c 即为论域如果一个论域同时又是一个完备格，则称它为连续格 如果一个论域中每个主理想在诱导序下是完备格，那么称该论域为上广论域 定义1 3 2 【3 6 】 如果偏序集p 满足紧逼近公理： ( 比p ) z = v 。( l znk ( p ) ) ， 即对任意的z p 都有l znk ( p ) 是有向集且z = vl znk ( p ) ，那么称p 是代数 的偏序集特别的，称代数的却。为代数论域如果一个代数论域同时又是一个 格，则称它为代数格如果一个代数论域中每个主理想在诱导序下是完备格，那 么称该论域为代数l 论域 定义1 3 3 假设格l 是一个代数格如果k ( 己) 是厶的一个交子半格，即b 切，秒 k ( l ) ，z 可k ( l ) ，则称l 为算术格 命题1 3 2 f 3 6 】 假设己是一个代数格，则下列结论是等价的： ( 1 ) 三是算术格； ( 2 ) 有向小于关系是可乘的，也就是说，比，可l ，v ( z 八秒) = u z nu 可 定义1 3 4 称一个有向完备的偏序集三的一个子集u 是s c o t t 开集如果u 满足 下列条件： z 连续偏序集理论中几个问题的研究 ( 1 ) = t ； ( 2 ) 对任意的l 的有向子集d ，v d u 可以推出d n u j 2 f 称一个s c o t t 开集的补集为s c o t t 闭集所有l 的s c o 乞t 开集构成的集族称为有向完 备的偏序集l 上的s c o t t 拓扑，记为仃( l ) 假设，是一个从有向完备的偏序集s 到有向完备的偏序集t 的映射，称，是s c o t t 连续映射如果对任意的r 的s c o t t 开集，都有厂一1 仃( s ) 记所有的从有向完备的 偏序集s 到有向完备的偏序集t 的s c o t t 连续映射组成的集合为陋一刁，并赋予 其逐点偏序，即 ( v z s )，9 = 令厂( z ) 9 ( z ) 引理1 3 1 【驺1设s 和t 是有向完备的偏序集，则偏序集眵_ 纠在t s 中关于有限 集的上确界是封闭的，也就是说，对f s 一卅的每个在心_ 卅中有上确界的有向 子集d 在t s 中也有上确界且两者相等，其中t s 是所有从s 到t 的映射族和逐点偏 序构成的偏序集因此阻一卅是有向完备的偏序集 定义1 3 5 【3 6 1 设s 是一个有向完备的偏序集，称够_ 吲的一个有向子集d 是s 的 一个近似单位元如果vd = i d s ，其中i d s 是s 上的恒等映射 定义1 3 6 例称有向完备的偏序集s 上的s c o t t 连续映射万：s - s 是有限分离 的如果存在一个有限集b 使得对任意的z s 都有一个可r 满足6 ( z ) 秒z 称s 是有限分离的如果s 有一个由s 上的有限分离映射组成的近似单位元如果一 个有限分离的有向完备的偏序集同时又是一个论域，那么称其是一个f d 论域 定义1 3 7 f 3 6 】如果个f d 论域是代数的，则称其为双有限论域 定义1 3 8 【1 2 l一个范畴c 由下列内容组成： ( 1 ) 一个对象类0 6 ( c ) ，其中的元称为c 的对象，通常用以，b ，等来表示； ( 2 ) 一个态射类m d r ( c ) ，其中的元称为c 的态射对于c 的对象的每个有序偶( a ，b ) ， 对应有唯一的一个集日d m c ( a ，b ) ，简记为胃d m ( a ，b ) 何d m ( a ，b ) 中的元称为c 中 从对象a 到对象b 的态射若厂日d m ( a ，b ) ，则记为，：a b ； ( 3 ) 对于c 中对象的每个有序三元组( a ，b ，c ) 对应一个映射 日帆( a ，b ) 日o m ( b ，c ) _ 日d m ( a ，c ) ， ( ，9 ) h9o 厂， 其中go 门尔为，和夕的复合映射； ( 4 ) c 中的对象和态射满足下列条件： ( i ) 若( a ，b ) ( c ，d ) ，则日d m ( a ，b ) n 日帆( c ，d ) = 1 2 i ； ( i i ) 若，日d 仇( a ，b ) ，9 日d m ( b ，c ) ， 日o m ( c ，d ) ，则 昏 博士学位论文 ( o9 ) o ，= o ( 夕o 厂) ； ( i i i ) 拟d 6 ( c ) ，j i 出日帆( aa ) ，s t w 日0 仇( a ，b ) ，v g h 咖( c ，a ) ， ，oi d a = 厂，z d ao9 = 夕， 其中i “称为对象a 上的恒等态射 定义1 3 9 【1 2 l 假设c 和d 都是范畴如果 ( 1 ) 曲( d ) 是d 6 ( c ) 的子类； ( 2 ) 对于d 中的任意对象a 和b ，有 日咖( a ，b ) h 研n c ( a ，b ) ， 且d 中态射的复合以及任意的恒等态射都与c 中的相同，则称d 是c 的子范畴如 果d 是c 的子范畴，且对于d 中的任意对象a 和b ，有 日d m d ( a ，b ) = 日研n c ( a ，b ) ， 则称d 是c 的满子范畴 定义1 3 1 0 f 1 2 】 假设c 是一个范畴，以0 6 ( c ) 如果对c 中每个对象b ，日o m ( a ，b ) ( 或日。仇( b ，a ) ) 是单元集，则称a 为始( 或终) 对象 定义1 3 1 1 【1 2 j假设c 和d 都是范畴一个从c 到d 的函子f ，记作 f ：c d 是指一对函数：一个是对象函数，即将c 中的任意对象a 映为d 中的对象f ( a ) ； 另一个是态射函数，即将c 中的任意态射，：a b 映为d 中的态射f ( ，) ： f ( a ) 一f ( 口) 使得 ( 1 ) v a d 6 ( c ) ，f ( i d a ) = i d f ( a ) ； ( 2 ) v ，日o m ( a ，b ) ，9 日d m ( b ，c ) ，f ( 9 0 厂) = f ( 9 ) o f ( ，) 定义1 3 1 2 【1 2 】 范畴c 中的任意对象族 ali ，) ，其中，是指标集，的乘积是c 中的个对象a 和一个态射族 轨：a all ，) ，使得对于c 中的每一个对 象b 和任意的态射族 ，i ：b a li j ) ，存在c 中的唯一的态射，：b a 使得对任意的i j ，五= ao ， 定义1 3 1 3 【1 2 l 设c 是范畴，且具有有限乘积，a ，b 0 6 ( c ) 若c 中的一个对 象b a ( 或陋一b 】) 和一个态射 e ”n 2 a 口：b a a 啼b 7 _ z 一连续偏序集理论中几个问题的研究 使得对于c 中的任意对象c ，存在自然映射 入：日帆( c a ，b ) 叫日d m ( c ，b a ) ， 且对于c 中的任意态射，：c a b ， ：c b a ，下列等式成立： ( 1 ) e 口o f a ，bo ( a ( ，) i d a ) = ，； ( 2 ) a ( e 口o f a ，bo ( d a ) ) = 危， 则称( b a ，e o ) 为a 和b 在c 中的指数，对象b a ( 或陋一别) 称为a 和b 在c 中的 指数对象，态射e o 口f 为赋值态射 定义1 3 1 4 【1 2 l设c 是范畴，若c 满足下列性质： ( 1 ) c 有终对象； ( 2 ) c 有有限乘积； ( 3 ) 对任意的a ，b 0 6 ( c ) ，c 有指数对象b a ， 则称c 是笛卡尔闭范畴 命题1 3 3 设f s 是以f s 论域为对象，s c o t t 连续映射为态射的范畴，d c p o 是 以d 印。为对象，s c o t t 连续映射为态射的范畴，则f s 是d c p o 的一个笛卡尔闭的满 子范畴 命题1 3 4 如果b f 是以双有限论域为对象，以s c o t t 连续映射为态射的范畴， 那么b f 是d c p o 的一个笛卡尔闭的满子范畴 称函数z 为一个子集选择，如果它把每一偏序集p 都映到p 的某个子集族z 尸且 满足对尸的每个主理想上z 都存在s z p 使得上z = ls 常用的子集选择的例子， 参见【6 3 】，有： 4 ，其中a p 是偏序集p 的所有下集族； 召，其中b p 是偏序集尸的所有非空上有界集族； c ，其中c 尸是偏序集p 的所有链组成的集族； 口，其中口p 是偏序集p 的所有的有向子集族； 占，其中p 是偏序集p 的所有的单点集族； 厂，其中厂p 是偏序集p 的所有的非空有限集族； p ，其中p p 是偏序集p 的所有自己组成的集族 对于一个子集选择z 和一个偏序集p