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江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 摘要 1 7 世纪，惠更斯对悬挂在墙上的两个钟摆的研究( 悬挂在同一个柱子上) 掀起 了物理学家对动力学系统同步现象的研究热潮，这时研究的是周期系统的同步。 2 0 世纪8 0 年代以来，对同步现象的研究开始转移到混沌系统上来。1 9 9 0 年物理 评论快报上关于混沌控制和混沌同步的最初两篇论文标志着混沌同步的研究朝 着应用方向发展。在过去的十几年里，在人们对耦合混沌系统的深入研究下，发 现了许多不同的同步形式，其中包括完全同步、相同步、广义同步、滞后同步、 部分同步、间歇滞后同步、哈密顿系统的测度同步等等。 本文的第一章简单回顾了混沌同步研究的历史与现状，描述了各种混沌同步 现象的产生和性质，同时介绍了复杂网络以及复杂网络上的混沌同步行为。 第二章中简单介绍了混沌控制的几种常用方法：o g y 方法、反馈控制方法、 b a c k s t e p p i n g 控制方法、自适应控制方法。 第三章首先介绍了含有两个奇怪吸引子的n e w t o n - l e i p n i k 系统，然后应用 b a c k s t e p p i n g 控制方法，将n e w t o n - l e i p n i k 系统控制到一稳定状态并跟踪到期望 轨迹。数值模拟验证了其可行性和有效性。 第四章通过自适应控制的方法将n e w t o n - l e i p n i k 系统控制到一稳定状态并 使其同步到另一系统，数值模拟验证了其可行性和有效性。 第五章简单介绍了复杂网络中混沌同步的可行性及其发展前景。 关键词：n e w t o n - l e i p n i k 系统；混沌同步；b a c k s t e p p i n g 方法；自适应控制； 复杂网络 i 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 h i s t o r i c a l l y , t h es t u d yo fs y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n ai nd y n a m i c a ls y s t e m sh a s b e e nas u b j e c to fg r e a ti n t e r e s ts i n c et h ee a r l i e rd a y so fp h y s i c s ，w h e nh u y g e n sf o u n d t h el o c k i n gb e t w e e nt w ow e a k l yc o u p l e dp e i l d u l 狃ti n1 7 t hc e n t u r ye a r l ys t u d i e so n s y n c h r o n i z a t i o n sw e r em a i n l yr e l a t e dt of r e q u e n c y o r - p h a s e - l o c k i n g s o fp e r i o d i c m o t i o n s r e c e n t l yt h ei n v e s t i g a t i o no fs y n c h r o n i z a t i o nh a sb e e ne x t e n d e dt oc h a o t i c s y s t e m s s i n c e1 9 9 0p e c o r aa n dc a r r o l lp u b l i s h e ds y n c h r o n i z a t i o ni nc h a o t i cs y s t e m s i np h y s i c sr e v i e wl e t t e r , c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a sb e c o m eas i g n i f i c a n tt o p i c m a n yd i f f e r e n tf o r m so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n sh a v eb e e nf o u n d ， i n c l u d i n g c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z a t i o ns y n c h r o n i z a t i o n ， l a gs y n c h r o n i z a t i o n ，p a r t i a ls y n c h r o n i z a t i o n , a n d m e a s u r es y n c h r o n i z a t i o ni n h a m i l t o n i a n s y s t e m s ，a n d s oo n i nt h i s p a p e r ，w ef o c u s o i lt h e s t u d y o f s y n c h r o n i z a t i o ni nc o u p l e dc h a o t i co s c i l l a t o r s ， a n dan u m b e ro fi n t e r e s t i n g p h e n o m e n aw e r er e v e a l e d a p p r o x i m a t es y n c h r o n i z a t i o ni n t h es t r o n gc o u p l e d s y s t e m sa n dt h ec h a o sr e s y n c h r o n i z a t i o ni nt h es t r o n gc o u p l e ds y s t e m sa n dt h e p a t t e r n si nt h e2d i m e n s i o n sc o u p l e ds y s t e m sw e r ed i s c u s s e d i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yr e v i e wt h eh i s t o r ya n dc u r r e n tp r o g r e s so nt h es t u d i e so f c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n c o m p l e xn e t w o r k sa n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n so nt h e c o m p l e xn e t w o r k sw e r ea l s od i s c u s s e d i nc h a p t e r 2 ，w ei n t r o d u c es e v e r a lc o m m o n l yu s e dm e t h o d so ft h ec h a o sc o n t r o l ： o g ym e t h o d s ，f e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d ，b a c k s t e p p i n gc o n t r o l ，a d a p t i v ec o n t r o l m e t h o d s i nc h a p t e r3 ，w e f i r s t l yi n t r o d u c e st h ec h a o t i cs y s t e mn e w t o n l c i p n i ks y s t e m w h i c hp o s s e s s e st w os t r a n g ea t t r a c t o r s a n dt h e nt h eb a c k s t e p p i n gd e s i g nc o n t r o l a p p r o a c hi su s e dt oc o n t r o ln e w t o n - l e i p n i ks y s t e mt o as t e a d ys t a t ea sw e l l 雒 t r a c k i n go fad e s i r et r a j e c t o r y t h ep r o p o s e dc o n t r o l l e ri so b t a i n e db yas y s t e m a t i c d e s i g na p p r o a c ha n dc o n s i s t si nr e c u r s i v ep r o c e d u r e st h a ti n t e r l a c et h ec h o i c eo fa i i 江苏大学硕士毕业论丈：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 l y a p u n o vf u n c t i o na c c o r d i n gt ot h ed e s i g no fa c t i v ec o n t r 0 1 n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a r ep r o v i d e dt ov e r i f yt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s s i nc h a p t e r 4e f f e c t i v ea d a p t i v ec o n t r o l l e r sa r ep r o p o s e df o rs t a b i l i z i n gc h a o st o u n s t a b l ee q u i l i b r i a i na d d i t i o n ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni sa c h i e v e db ye m p l o y i n g a c t i v ec o n t r o ls c h e m e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e dt ov e r i f yt h ef e a s i b i l i t y a n de f f e c t i v e n e s s ，s ot h er e s u l to ft h ec o n t r o li sm u t u a l l yv e r i f i e d 丽t l lt h et h e o r e t i c a l a n a l y s e sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s i nc h a p t e r 5 ，t h ep o s s i b i l i t ya n dd e v e l o p m e n to fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni nc o m p l e x n e t w o r k sa r ei n t r o d u c e di nb r i e f k e y w o r d ：n e w t o n - l e i p n i ks y s t e m ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，b a c k s t e p p i n g a p p r o a c h ，c o m p l e xn e t w o r k i i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名：旌 2 g 年j 2 月脂e l 指导教师签名： 2 0 呕年j 乙月谬日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名貂 日期：2 啷年1 2 - 月腾日 江苏大学硕士毕业论文：肫w f d ，l z 嘶m 泣系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 第一章绪论 本章在综述混沌学的起源和发展的基础上，介绍了混沌控制，同步研究的概 况与复杂网络上的一些同步现象。 1 1 混沌学的起源和发展 混沌是非线性系统表现出来的一种动力学行为。世界上的非线性系统比比皆 是：小到原子世界，大到宇宙，不论是自然科学，还是社会科学，不论是工程技 术领域，还是文化艺术部门，乃至集团部门和人际关系，各种各样的非线性系统， 基本覆盖了人类世界的各个领域【l 】。二十世纪下半叶以来，非线性科学得到了迅 猛的发展，其中对混沌的研究占了相当一部分。半个多世纪以来，人们对混沌运 动的规律以及它在自然科学各个领域中的表现已经有了比较充分的认识，混沌在 自然界和人类社会中广泛存在这一事实己经被普遍接受：而如何应用混沌研究成 果为人类服务已经成为非线性科学发展提出的重要课题之一【2 】。正因为混沌揭示 了自然界和人类社会普遍存在的复杂性、有序和无序的统一、确定性和随机的统 一以及它在自然科学和社会科学等领域中所表现的覆盖面之广、跨学科联系之 多、综合性强、发展前景和影响深远等，使得混沌的发现在国际上被称为是二十 世纪继相对论和量子力学问世以来的第三次物理学大革命，并且这场革命正在冲 击和改变着几乎所有科学和技术领域，向我们提出了巨大的挑战【3 1 【4 j 。 科学史上，最早发现混沌行为可以追溯到1 9 世纪法国数学家、物理学家和 天文学家庞加莱( j h p 血c a r e ) 的研究。他在研究保守系统天体力学时，以太阳 系的三体运动问题为背景，提出了“天体力学的新方法”以及关于轨道稳定性理 论，不仅证明了天体运动存在周期轨道，而且发现了三体引力相互作用可以产生 惊人的复杂性，一个确定性动力学方程的某些解具有不可预见性，这实质上就是 现在所谓的“混沌现象”。由于数学知识的不足，一直到2 0 世纪五六十年代，混 沌理论才在天体力学领域旱取得了第一次突破性的进展，提出了所谓k a m 定理 【5 1 。k a m 定理是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统能够所取得的 最成功的结果之一，它的提出被认为是创建混沌学理论的历史性标志以及现代混 沌学研究的第一个开端。1 9 6 3 年，美国气象学家e n l o r e i l z 取得了现代混沌学 1 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i l c 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 研究的第二个突破性进展，他在研究大气对流模型的数值计算中，发现了所谓的 “蝴蝶效应”，即系统长期行为对初值微小变化的高度敏感依赖性，以及产生确定 性系统的非周期性和长期行为的不可预测性等混沌特性，并发现了第一个混沌吸 引子b r e 皿吸引子，为以后的混沌研究开辟了崭新的道路【6 】。从2 0 世纪7 0 年 代开始，全球掀起了混沌研究的热潮，混沌研究取得了极大进展。1 9 7 1 年，法 国数学家d r u e l l e 和荷兰的e t a k e n s 首先提出用混沌来描述湍流形成机理的新 观点，发现了第一条通向混沌的道路【_ 7 1 。1 9 7 3 年，法国数学家、分形学创始人 b m a n d e l b o r t 提出了分形几何学，为探索种种不规则的回转曲折的相空间提供了 理想工具【8 】，从而对混沌的几何特性的研究作出了杰出贡献。1 9 7 5 年，华人学者 李天岩和他的导师j y o r k e 联名发表了一篇论文( ( p e d o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ) ) 9 1 ， 提出了著名的l i y o r k e 定理。l i y o r k e 定理描述了混沌的数学特征，揭示 了混沌的演变过程。这篇论文率先引入“混沌( c h a o 曲”一词，并为后来的学者广泛 接受。1 9 7 6 年，法国天文学家h e n o n 通过对l o r e n z 模型的简化得到了二维的 h e n o n 映射【l o 】，绘制了该系统的混沌吸引子，并研究了其复杂的结构特征。同年， 美国生物学家r m m a y 在n a t u r e ) ) 上发表了具有极复杂动力学的简单数学 模型一文【1 1 】，它向人们表明了混沌中的惊人信息，即确定的数学模型也可以产 生看似随机的行为。1 9 7 7 年夏，在意大利召开的第一次国际混沌会议标志着混 沌学的正式诞生。大会主持人之一、著名物理学家j f o r d 在会上指出，混沌学是 2 0 世纪物理学的第三次革命，“混沌消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻 想”，从而大大解放了人们的思想，使描述自然界的两种对立的方法论( 决定论和 概率论- ) 达到了和谐完美的统一。1 9 7 8 年，美国物理学家m j f e i g e n b a u n n 在研究 通过倍周期分叉通向混沌的过程中，发现了著名的f e i g e n b a u n n 常数【1 2 1 ，把混沌 学研究从定性分析推进到定量计算的阶段，成为现代混沌学研究的一个重要里程 碑。 2 0 世纪8 0 年代以来，许多学者将混沌学研究与几乎所有的自然科学交叉， 混沌学的研究开始向工程技术领域和社会经济领域渗透，形成了蓬勃发展的态 势。1 9 8 0 年美国数学家b m a n d e l b o r t 用计算机绘制了第一张m a n d e l b r o t 集的图 形【l3 1 。德国教授h 0 p e i t g e n 和r h c h t e r 利用分形流域的边界作出了绚丽的混沌 图象1 4 1 。1 9 8 3 年，蔡少棠以0 e h u a ) 发明了著名的蔡氏电路【15 1 ，蔡氏电路因其简 2 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。同年，加拿大物理学家 p g r a s s b e r g e r 在( ( p h y s i c s ) ) 上发表著名论文计算奇异吸引子的奇异程度，开 创了计算时间序列维数的热潮【l6 1 。1 9 8 4 年著名混沌学家郝柏林院士编著的 c h a o s ) ) 一书出版【1 7 1 ，阐述了混沌研究的一些理论结果。1 9 8 6 年，第一届中国 混沌会议在桂林召开，促进了全国范围内的混沌研究的广泛展开。1 9 9 0 年，我 国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网络中存在的混沌现 象【1 8 】。值得注意的是，在我国1 9 9 1 1 9 9 5 年的国家攀登计划关于“非线性科学 的重要项目中，混沌研究列于三十个项目中的第四位，充分说明了我国科学技术 界对混沌科学的重视程度。 1 2 混沌研究的意义 混沌学的研究对现代科学技术的发展产生了巨大的影响。现代科学使混沌理 论成为严密的科学，同时混沌的研究也成为现代数学发展的重要动力之一。混沌 对现代数学的影响是多方面的。在分析数学方面最突出的是微分动力系统，而混 沌是微分动力系统理论的重要内容。混沌研究对几何学的影响，突出表现在分形 几何学的发展，混沌学中刻画奇异吸引子、确定不同吸引域的分界线、描述k a m 环面破坏过程等都推动了分形几何学的发展。混沌研究还推动了统计数学的发 展，作为内在随机性的混沌既为算法信息论提供了物理对象，又促进了算法信息 论的纵向发展。混沌学、分形几何学、符号动力学等研究，又促进了离散数学的 发展。混沌研究对物理学的影响，主要体现在混沌的研究改变了物理学家对天体 运动以及天体力学的看法，促使人们开始抛弃天体运动中历代相传的决定论传 统。混沌研究对非线性动力学的发展起着全局性、本质性的影响。混沌学不仅发 现了许多过去未曾重视的非线性问题，解释了许多非线性现象的机理，而且引起 了力学基本观念的革命性转变，使人们开始认识到确定论与概率论并非相互排 斥、截然对立，牛顿力学既是确定论的，也可以是概率论的，混沌学为牛顿力学 和统计力学架起了相互沟通的桥梁。混沌理论的研究，对生物学的发展也产生了 重大影响，它改变了生态学种群演化理论，生物学领域种群生态学提出的简单数 学模型，曾推动了混沌理论的兴起，而混沌学研究的进展又将生物学作为除物理 学科以外的最早应用领域，混沌动力学也成为研究生物现象的主要理论工具之 3 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n z p 枷髓系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 对混沌学的研究，统一了在方法论和认识论上描述客观世界的两套相互独立 的体系确定论和随机论。确定论联系着有序性、可逆性和可预见性，随机论则 联系着无序性、不可逆性和不可预见性。这两大体系在各自的领域里，都成功的 描述过客观世界，但客观世界只有一个，世界到底是确定的还是随机的? 必然的 还是偶然的? 有序的还是无序的? 可否将世界分成一半对一半? 这是一个长期争论 而没有解决的问题。而混沌学的研究则揭示：世界是确定的、必然的、有序的， 但同时也是随机的、偶然的、无序的，有序的运动产生无序，无序的运动又包含 着更高层次的有序，现实世界就是确定性和随机性、必然性和偶然性、有序性和 无序性的辨证统一。寻找确定性非线性系统中的混沌现象，利用混沌动力学理论 和方法，分析新混沌系统的动力学行为，研究混沌系统的内在结构和性质特征， 探索混沌的控制问题，有利于促进混沌学的进一步发展，有利于混沌理论的完善。 而混沌学的发展和完善，将进一步充实系统工程的理论基础和方法，推动系统工 程的迅速发展和广泛应用，为我国的改革开放和社会主义现代化建设中出现的各 种复杂工程系统，提供必要的理论方法与技术支持。混沌研究的成果正在影响着 自然科学和人类社会的发展，并且还会在将来的科学发展中起重要作用。正如郝 柏林院士所断言的混沌研究“正在促使整个现代知识体系成为新科学”。对混沌理 论的进一步研究和应用必将极大地推动当代科学技术的进步，促进社会生产力的 大发展。 1 3 混沌控制的发展及展望 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制成 为混沌应用的关键环节。1 9 8 9 年，胡柏勒( a h u b l e r ) 发表了控制混沌的第一篇文 章【1 9 】，1 9 9 0 年奥特皿o t t ) 、格锐柏基( c g r e b o g i ) 和约克( j a y o r k e ) 提出的控制思 想产生广泛响应2 0 1 ，同年，佩考拉( l m p e c o r a ) 和卡罗尔口l c u ) 提出混沌同步 的思想f 2 l 】，接着迪托( w l d i 哟) 和罗意皿r o y ) 等完成了控制混沌的实验【2 2 】瞄】。 接下来的十多年，混沌控制和混沌同步的研究得到了蓬勃的发展，这一方向迅速 成为混沌研究的热点。各国的学者们提出了一系列控制混沌的方法i 2 4 。3 0 l ，使得混 沌控制目标由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道 4 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 的稳定；控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统，乃至于无穷维系统( 时 空混沌) 。对混沌控制的认识由最开始的抑制混沌，逐渐发展到混沌同步控制， 混沌反控制一即产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产生出所需的 混沌轨道。其间，各种控制混沌的方法也在光学、化学反应、流体、电子电路、 人工神经网络以及生物系统等大量实验和应用中得到验证。 1 4 复杂网络上的同步简介 在有了同步的一般性理论和分类标准，以及对低维系统的性质有了一定的了 解之后，人们开始将注意力转向了高维的系统混沌振子网络中的同步行为【3 3 1 。 在这方面，较早的尝试有对耦合微分动力系统【3 4 1 、全局耦合的哈密顿系统 1 3 5 】、神经网络【3 6 1 以及全局耦合的映射 3 7 , 3 8 1 等的研究。近年来，对复杂网络中的 各种同步现象的研究成为了新的热点3 9 , 4 0 l 。从理论上讲，对于理论系统中同步行 为的研究可以为对更复杂时空图的研究提供借鉴之处：而在物理、化学、生物甚 至是社会领域中网络上的同步现象都可以作为很好的研究模型【4 1 ，4 2 】。其中复杂网 络中的动力学在神经网络中的应用是一个比较典型的例子，如在蜂类的嗅觉系统 中，有嗅觉感受器的神经元组成了复杂的网络，它们被分为了很多小的集团。而 嗅觉系统对于不同味觉的感受就对应了不同集团的同时激发( 部分同步) 的同步 行为 4 3 , 4 4 1 。 近年来，复杂网络引起了许多相关领域研究人员的关注。网络可以用来描述 个体与个体之间的关系，包括人与人之间的关系，计算机之间的通信连接，通信 网之间的网络联接，以及非线性振子之间的耦合。复杂网络就是具有复杂拓扑结 构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的。 复杂网络的节点可以是任意具有特定动力学和信息内涵的系统的基本单位，而边 则表示这些基本单位之间的关系或联系。例如，因特网、食物链网络、生物网络、 通讯网络、公路网、航空网络、电力网络、病毒传播网络等都是复杂网络。由于 我们生活中存在着大量的复杂网络，这促使我们去研究这些复杂网络的行为。 研究复杂网络现在用的主要是图论的方法【4 5 1 。在图论中，网络g - ( v ，e 1 的 概念是指由一个点的集合v ( g ) 和一个边的集合e ( g ) 组成的一个图，且e ( g ) 中的 5 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 每条边鬈有v ( g ) 的一对点i 点和j 点与之对应。记顶点数为n = i v l ，边数为 三= 吲。如果从i 点连到j 点的边与从j 点连到i 点的边对应同一条边，称为无向 网络( u n d i r e c t e d n e t w o r k s ) ，否则为有向网络( d i r e c t e d n e t w o r k s ) ，如果任意 蚓= 1 ，则称为无权网络，否则为加权网络。同时，网络当中还可能包含不同类 型的节点。图1 - 1 给出了一个简单的网络例子。 尘 3 摹 图1 1 ：一个由5 个节点，4 条边组成的无向网络。 f i g 1 1 ：au n d i r e c t e dn e t w o t k sc o n s i s t e do ff i v ep o i n ta n df o u re d g e s 表示网络的图的结构信息用矩阵b 来表示，如果节点i 与节点j 存在着连接 的边，那么矩阵的相应位置上置，我们就用1 来表示，如果不存在连接我们就用o 来表示，显然一个无向图的矩阵是对称矩阵。有了图论的表示方法之后，很显然 就想找到一些可以用来刻画网络的特征的量，己经提出的量有：1 度k 与度分布 p ( 蛐：对于一个点，与之有边联系的点的总个数称为这个点的度。为了描述整体网 络的特点，统计了网络各个点的度的分布，称为度分布。2 集聚系数c 用来描述 各个点与近邻之间的关系，也就是表示图中某一节点的两个最近邻同时也互相连 接的概率。一般来说，如果某个节点i 的度为k ，那么这k 个节点之间最多可能 有k ( k - 1 ) 2 条边。而实际存在的边数e 和总的可能边数的比值就定义为该节点的 集聚系数。网络中某个节点i 的集聚数c j = 2 e i ( 毛( 毛一1 ) ) 其中t 是节点i 的度，e 是与i 相连接的节点之间的实际存在的连接个数。3 平均集聚系数：所有点的集聚 系数的平均。4 最短路径：即在所有连通这两点的通路中最短的一个的长度( 经过 几条边1 5 平均最短路径：所有点间的最短路径的平均。6 网络的介数：顶点i 的介 6 江苏大学硕士毕立k g e z ：n e w t o n - l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 数含义为网络中所有的最短路径中，经过i 的数量。它反映顶点i 的影响力，是 网络拓扑结构的一个全局特征量。 科研工作者对实际生活中的复杂网络系统的一些拓扑结构进行分析，归纳出 了一些简单的理论模型。一方面，这些模型可以用来研究系统本身的拓扑性质， 使人们更清晰的认识网络的拓扑结构，从而指导人们如何有效地利用和构造网 络，如预防和控制传染病等。另一方面，为其他领域的研究提供了平台，如i s i n g 模型、混沌同步等。通常有下面三个模型，有较小的平均最短路径及较高的平均 集聚系数的网络称之为小世界网络m 1 ( s m a l lw o r l d ) 。而度分布有着幂律分布的网 络称之为无标度网络【4 7 ( s c a l ef r e e ) 。小世界网络和无标度网络是复杂网络的代 表。而在网络中任意两个节点间以概率p 来决定是否连接的网络称为随机网络 1 5 0 o 研究并分析这些网络的一个重要目的就是要理解建立在网络基础上的动力 学行为和网络的关系，并进而改善网络上的动力学行为和性能。同步现象广泛存 在于我们的生活中，如夏日夜晚的青蛙齐鸣、一群萤火虫的同时闪光和不闪光以 及剧场中观众鼓掌的频率逐渐相同等等。有些同步是有益的，如保密通讯、语言 涌现及其发展( 谈话的同步) 、组织管理的协调及高效运行( 代理同步) 等，我们需 要这种同步：有些同步是有害的，如传输控制协议窗口的增加、因特网或通讯网 络中的信息拥塞、周期路由信息的同步等，我们要尽量避免这种同步。 我们首先考虑由n 个动力系统组成的具有对称耦合的网络。该网络中各个 振子的具体运动方程可描述如下： 在这里，x j = 。，薯：，) ，毫= 厂 ) 是非线性方程，并可以产生混沌效应， n ( o 和c 分别是各个混沌振子的输出函数和振子之间的耦合参数。 l 是整个网络的拉普拉斯矩阵，它表示网络中各个振子的连接情况和整个网 络的拓扑结构。拉普拉斯矩阵的对角线厶必须等于毛，其他地方和上面提到的邻 7 、，1卜k 一 乙l = 1 、乃 ，l 日 0 芦 c+ 、， 蕾 ，- ， ， = 再 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 接矩阵是一样的。在当前复杂网络的研究中，研究比较多的网络类型有两种，第 一种类型里，混沌振子组成的网络的中的混沌同步会随着耦合强度的增加而丧失 4 9 , 5 0 】。在由第二种类型的混沌振子组成的网络中，耦合强度的增加会促进整个网 络的混沌同步。文献【5 1 , 5 2 1 提出可以利用耦合系统的拉普拉斯矩阵l 的本征值来研 究混沌振子在复杂网络中的同步。耦合系统的拉普拉斯矩阵l 的本征值满足如 下关系：丑= 0 五五在由第一种类型的振子组成的复杂网络中，以 = 乃以来刻画整个系统的同步能力。越大，整个系统就越难同步。在由第 二种类型的振子组成的复杂网络中，以五( 拉普拉斯矩阵l 的最大非零本征值) 来刻画整个系统的同步能力。无越大，整个系统就越难同步。相反，整个混沌 系统就越容易同步。所以，我们可以把和五定义为整个网络系统的动力学参 数。用这种方法我们可以判断出小世界网络的同步能力比规则网络和随机网络都 强。 8 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 第二章混沌系统的控制 在讨论混沌控制时，首先考虑的是什么叫混沌控制? 也即混沌系统的定义。 与经典控制不同，对混沌的控制目前还没有统一的定义。但其出发点都是基于达 到两个目标：o ) 利用混沌的优点完成某一确定的任务；( 2 ) 为消除或抑制混沌使系 统稳定且有所希望的行为。更具体一点则可描述为：由于非线性动力学系统随着 参数的变化而出现分岔和混沌行为是很常见的现象，然而在许多情况下，系统出 现的这种分岔和混沌行为往往是不希望的，且常常是有害的。因此人们总希望能 够通过对系统的研究找到控制系统出现分岔和混沌的方法，从而使系统能够保持 所期望的运动状态。另一方面，当一个非线性系统处于混沌状态时，它包含有各 种各样不稳定的周期或准周期运动，如果能够找到一种方法使系统稳定到周期运 动上，那么就为利用混沌( 或更广义地说利用非线性) 找到了一条道路，当然混沌 的存在也不尽然是有害的，由于混沌的类随机性，因此可以将混沌信号应用于保 密通信：利用混沌对初始值的敏感性可以构造混沌神经网络对具有微小差别的模 式进行识别等等。 到目前为止，人们己提出了各种各样控制混沌的方法，并且也取得了较好的 效果。这些方法主要有：著名的o g y 方法、反馈控制方法、自适应控制方法、智 能控制方法、脉冲控制方法、最优控制方法，b a c k s t e p p i n g 控制法等。下面介绍 几种比较常用的控制方法。 2 1o g y 方法 o g y 的控制方法是o t t ，g r e b o g i 和y 0 r k e 在1 9 9 0 年提出的一种参数微调方 法，它是一种比较有效地控制混沌运动的方法，它建立在混沌吸引子中镶嵌有无 数个不稳定周期轨道的理论基础上，利用混沌运动对很小的参数扰动敏感和混沌 运动的遍历性，给混沌运动系统一个较小的参数扰动控制量，把系统运动状态控 制到某一周期轨道( 不动点) 。o g y 方法是基于混沌奇怪吸引子有着极其稠密的不 稳定周期轨道。混沌控制的首要任务就是设法把其中任一所需的周期轨道挑选出 来，并加以稳定控制。为了实现对某个特定轨道( 即不动点) 的稳定控制，必须在 系统靠近不动点时，对参数进行微扰，随时间适当调整微扰量，迫使系统运动移 9 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 向不动点一带，经过反复调整，最终使所需的运动轨道稳定住。该方法无需知道 系统全局的动力学模型，同时在特征值及特征矢量测量不精确的情况下可以实现 混沌控制，而且达到控制后，嵌套在混沌吸引子中的不稳定周期轨道只有微小的 变化。它的不足之处是只适用于离散动力学系统，通常只能控制低周期轨道。 2 2 反馈控制方法 反馈控制包括线性反馈和非线性反馈，这两种方法虽然不尽相同，但它们的 本质都是利用系统的状态变量作为用于控制的反馈信号。该方法无需等到系统靠 近不动点，可以在任意时刻施加控制，只是控制必须建立在系统模型已知的情况 下。 考虑如下系统： f z ( 七+ 1 ) = 1 + 砂( 七) 一口( x ( 七) ) 2 + ( 忌) 【y + 1 ) = 石 ) + “：( 七) ( 2 1 ) 设计控制器为： u ( k ) = ( 1 + 黟) ，( 七) 一口 ( 七) ) 2 ) 一岛y ( 七) 一k ：缸七) h y ，( 七+ 2 ) + 如y ， + 1 ) + 岛”( 七) 】 ( 2 2 ) 其中，a = 1 4 ，b = 0 3 ，y ，( 七) 为给定的参考信号，当毛= 0 6 4 ，乞= 1 6 时，控制 信号( 2 2 ) 能使得系统( 2 1 ) 跟踪给定的参考信号只 ) 。 2 3b a c k s t e p p i n g 方法 考虑如下形式的非线性系统 毫= 9 1 ( 而，f ) 而+ 正( 而，f ) 岛= 9 2 ( 西，而，t ) x 3 + 厶“，x 2 ，f ) i( 2 3 )、， 毫一l = g _ “，x n _ 1 ) t ) x 3 + f d ( 五，t d ，t ) 南= g 。“，毛，f ) 而+ ( 五，毛，f ) 其中工= k ，而，焉】r 彤为系统的状态变量，“r 为系统的控制输入， 1 0 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 z ：刷x r + 寸尺和g f ：r x r + - - r ( i = 1 ，以) 为光滑的非线性函数，且g j 0 。因 为非线性项z 和g i 仅与反馈状态j c l ，薯有关，所以系统( 2 3 ) 称为“严格反馈” 系统。 假设系统( 2 3 ) 的平衡点为原点，即x = 【0 ，0 】7 。我们的目标是寻找合适 的反馈控制器和相应的l y a p u n o v 函数，使闭环系统渐近稳定。通常情况下，对 于1 1 阶系统( 2 3 ) ，控制器的b a c k s t e p p i n g 设计共有1 1 个步骤。 第一步定义误差变量嵋= 五，则其导数为 川= 毫= g l x 2 + 五= g l w 2 + g l q + 五。 ( 2 4 ) 其中= 而一q 为误差变量，喁是待定的虚拟控制器，石。= 五。 选取l y a p u n o v 函数k 为 巧= 三嵋 ( 2 5 ) 则v 沿( 2 4 ) 式对时间的导数为 k = m 嵋= m ( 9 1 w 2 + g l q + 五，) = w i g l w 2 + m ( g l + ，) ( 2 6 ) 选取为 ：一土( q w l + 石，)( 2 7 ) g l 其中c 1 0 为一常数。将( 2 7 ) 式代入( 2 6 ) 式，得到 e = - c i 砰+ g l m ( 2 8 ) 考虑到闭环系统的全局稳定性，耦合项g 。m 将在下一步中消去。将( 2 7 ) 式代入( 2 6 ) 式，得到( 2 4 ) 式的闭环形式为 1 l 江苏大学硕士毕业论丈：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 第二步憋的导数为 嵋= 一c 1 m + 9 1 w 2 吃= 南一磁2 恐+ z 一鼍( 躺啪一警 = 9 2 w 3 + 9 2 吃+ 厶， 其中w 3 = x 3 一吃为误差变量，吃是待定的虚拟控制器， 石，= 六鼍( 聃忉一鲁a 款优 选取l y a p u n o v 函数k 为 v 2 ：k + 要谚 么 则k 沿( 2 1 0 ) 式对时间变量的导数为 选取为 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 畋= e + 如= c l 衍+ 9 2 w 2 w 3 + ( 晶m + 9 2 吃+ 厶，) ( 2 1 2 ) ：一上( 巳叱+ + 五。) 9 2 其中c 2 0 为一个常数。将( 2 1 3 ) 式代入( 2 1 2 ) 式，得到 ( 2 1 3 ) 畋= c l 订一c 2 嵋+ 9 2 w 2 ( 2 1 4 ) 其中耦合项g ：岵将在下一步消去。将( 2 1 4 ) 代入( 2 1 1 ) 式，得到( 2 1 1 ) 式的闭环形式为 = c 2 w 2 一9 1 m + 9 2 鸭 ( 2 1 5 ) 第i 步( 3 - 0 为一个常数。将( 2 1 9 ) 式代入( 2 1 8 ) 式，得到 谚= 一吼嵋+ m m + 。 k = l ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 其中耦合项g ，m m + 。将在下一步消去。将( 2 1 9 ) 代入( 2 1 6 ) 式，得到( 2 1 6 ) 式的闭环形式为 h 蹦 一 z = 厶 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一- l e i p n i k 系统的混沌同步与控制研究及复杂哟探 第n 步的导数为 l 啦= c j m g h m l + g f 嵋+ 1 吨= 毫吨刮+ z 一善每t z n _ 1 堋一百c a o t n _ i = g 。u + 厶 其中厶听茎等( 堋一百o a n _ 1 选取l y a p u n o v 函数k 为 】， 圪2 圪4 + 言嵋 则k 沿( 2 2 2 ) 式对时间的导数为 n - i 吃= 吃一l + 吃= 一q 以+ 既一1 一1 + ( g 。“+ 厶) k = l 选取控制器u 为 “：一一1 ( 巳+ 岛- 1 一l + 厶) 岛 其中q 0 为一个常数。将( 2 2 4 ) 式代入( 2 2 3 ) 式，得到 一 吃= 一龟以 k = l 将( 2 2 6 ) 代入( 2 2 3 ) 式，得到( 2 2 3 ) 式的闭环形式为 吃= q 一g “一l + g 。m ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 、厶 + g + o一岛 ，- ， + 嵋 吼 “心 一 = 江苏大学硕士毕业论文：n e w t o n 一也p 枷诸系统的混沌同步与控制研究及复杂网络初探 根据以上的递推