（运筹学与控制论专业论文）the+extremal+matrix+of+rsmatrices.pdf

a b s t r a c t k e y w o r d s i r r e d u c i b l em a t r i x ，s h a r p ，e x t r e m a lm a t r i x ，r s m a t r i x 砸擀慨r舭鼢阱卟 一一一一一一溯 1i n t r o d u c t i o na n dn o t a t i o n l e ta = ( a j ) b ea ( 0 ，1 ) - m a t r i xo fo r d e rna n dl e t 厶d e n o t et h es e t , f l ，2 ，艇；f o rg i v e ns u b s e t s 琏a n d 多o f 磊， 8 建添，躜b et h es u b m a t r i x o fa c o n s i s t i n go fa l l r o w sn u m b e r e do ，o t o ，a n da l lc o l u m n sn u m b e r e d 黟 如8 ai ss a i dt ob er e d u c i b l e 娃t h e r ee x i s tn o n e m p t ys u b s e t s “，0o f 霸s u c h t h a i 。 n 卢一垂，“u 声一厶，a a ，卢j = 0 0 t l m r w i s e 。ai si r r e d u c i 接e e q u i v a l e n t l y , ai sr e d u c i b l ei ft h e r ee x i s tap e r - m u t a t i o nm a t r i xps l c ht h a t p a p 驴# 善三) ， w h e r eba n dda r es q u a r em a t r i c e s s i n c et h ep r i n c i p a ld i a g o n a ll 8h a v en o e f f e c to nt h ei r r e d u c i b i l i t yo fa ，w es u p p o s ei nt h i sp a p e rt h a t 魄 = 0 ，i = 1 ，2 ，骼u n l e s ss p e c i a l i yi n d i c a t e ai s t h ea d j a c e n c ym a t r i xo fad i g r a p hgw i t hnv e r t i c e sa n dda r c sa i si r r e d u c i h l e 蠢a n do r & vi f 溉d i 豁a p hi ss t r o n g i yc o n n e c t e d 弑、ap r i m a l s u b g r a p ho f gi st h eg r a p ho b t a i n e df r o mg b yd e l e t i n go n e - c o r t e x ，s a y ，a n d a l lt h ea r c sg o i n go u tf r o mio ri n t oi t t h ea d j a c e n c ym a t r i xc o r r e s p o n d i n gt o t h i sp r i m a ls u b g r a p hi st h ep r i n c i p a ls u b m a r i x 囊o f 矗o b t a i n e d 姆d e l e t i n g r o wa n dc o l u m nio f a i nr e f 4 ，b s c h w a r zc o n j e c t u r e dt h a ti fg i sa s t r o n g l yc o n n e c t e dd i g r a p h w i t h o u tl o o p s ，w i t h 嚣3 v e r t i c e sa n d 纛a r c 8 ，w h e r e 鎏嚣t ) i 2 1 + i g 礼( 忆一1 ) ，t h e ng h a sa s t r o n g l yc o n n e c t e dp r i m a ls u b g r a p h h ev e r i f i e dh i s c o n j e c t u r ef o r 丸3 ，4 ，5 t h ec o n j e c t u r ei sag e n e r a l i z a t i o no far e s u l to f b r u a l d ia n d h w a a g 蕊，l e m m al + 2 b ；。 ， f o rag i v e n ( 0 1 1 ) m a t r i xa ；( a i j ) o fo r d e rn ，w ed e n o t eb y 鳄( a ) a n d s ( ) ，i l ，t h en u m b e r o ft h eo f f d i a g o n a l o sa n dl s ，r e s p e c t i v e l y , i n t h eu n i o no fr o wa n dc o l t t m nio fa ，a n d 谤s 棼；w ed e n o t et h et o t a ln u m b e r o fi si na o b v i o u s l y , 霹馨+ 4 ( a = 2 魏) ，i 一1 ，( 1 j h s ( 以) = ；s i ( 舢 ( 2 ) 。蛹i i nr e f 1 ，d a v i dl o n d o ns h o w e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mw h i c hi m p l i e dt h e v a l i d i t yo ft h ec o n j e c t u r ef o ra l ln l e m m a1 。1l e ta 垃话如珏韩i r r e d u c i b l e 簿 m a t r i x 醇o - d e r s a t i s f y i n g a i t 0 ，i ；1 ，一，礼，i f s ( a ) 【n ( n 1 ) 2 】+ 1 ，t h e n t h e r ee x i s t l e a s t 蜉嚣i r r e d u c i b l ep r i n c i p a ls u b m a t r i za o f 丑， t h i si sab e a u t i f u lr e s u l t ，h o w e v e r t h el o w e rb o u n do fs ( a ) i sn o tn e c e s s a r m 孙r 嚣= 5 ，d a v i dl a n d o ns h o w e dt h a tl e m m a1 ，lh o l d sf o rs ( a ) 1 0 ，a n d t h eb o u n dc a n tb ef l i r t h e ri m p r o v e d ，i nt h i sp a p e r + 1 粥8 ei n t e r e s t e d 娃 s e a r c h i n gf o raf i n e rb o u n df o rs ( a 1 n o ww eg i v ef ( ) l l o w i n gd e f i n i t i o n s 2 ， d e f i n i t i o n1 1l e tab ea ni r r e d u c i b l em a t r i xo fo r d e r 札，a n d a 。b ct h c p r i n c i p a ls u b m a t r i xo b t a i n e db yd e l e t i n gr o wa n dc o l u n l nio fa 1 e a c h a 。( i = 1 ，2 ，一，n ) i sr e d u c i b l e ，w ec a l lar s - m a t r i x , a n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i g r a p ho far s - g r a p h i t sc l e a rt h a tad i r e c tc y c l ei sr s g r a p h d e f i n i t i o n1 2l e td n = ，( n ) ，w ec a l ld ni ss h a r p 矿t h e 如l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ： r ，o ra n y i r r e d u c i b l em a t r i xa s a t i s f y i n gs ( a ) 2d n ，t h e r ee x i s t sa tl e a s t o n ei r r e d u c i b l ep r i n c 咖a ls u b m a t r i xo fo r d e r ( n 一1 ) 轨4 f 圳t h e r ee x i s t s a ni r r e d u c i b l em a t r i xao fo r d e rn ，s u c ht h a ts ( a ) = d n 一1 ，a n da l lt h ep r i n c 啦a ls u b m a t r i c e so fo r d e r ( n 一1 ) i naa r er e d u c i b l e i fam a t r i xs u i t a b l et oc o n d i t i o n ( 2 ) e x i s t s w ew i l lc a l li ta ne x t r e m a l m a t r i xo fo r d e rn d a v i dl o n d o nd e m o n s t r a t e dt h a tf ( n ) = n ( n 一1 ) 2 + l f o rn = 5i sn o t s h a r p ，b u td 5 = 1 0 i ss h a r p ，a n dt h es h a r pv a l u eo fd 3 ，d 4i s4 , 7r e s p e c t l y h e p o i n t e do u t t h a ti t sap r o b l e mw h e t h e r f ( n ) = 【n ( n 一1 ) 2 】+ 1f o rn 6 i s s h a r po rn o to p e n i ns e c t i o n2w eo b t a i ns o m ep r o p e r t i e sa b o u tr s g r a p h ，i t sh e l p f u lt og e t t h eb o u n do fd n i ns e c t i o n3w es h o wt h a td s = 1 4i ss h a r pf o rn = 6 b ye n u m e r a t i o nb y ac p r o g r a m w ea l s oc o n j e c t u r et h a tg e n e r a l l yd n = n ( n 一3 ) 2 + 1i ss h a r p f o rag i v e nn 2s o m er e s u l t sa b o u tr s g r a p h w e l lg i v es o m ep r o p e r t i e so fr s g r a p h5 8f o l l o w s l e m m a2 1l e tgi sas t r o n g l yc o n n e c t e dd i g r a p ho fo r d e rn w i t ha ( 札一1 ) d i r e c tc y c l ea si t s8 u b g r a p h t h e ng i sn o tr s - g r a p h p r o o f ：l e tv l v 2 v n - l v zb et h e ( n 一1 ) 一d i r e c tc y c l ec k 一1o f g ，o b v i o u s l y ，g v n i sas t r o n g l yc o n n e c t e dg r a p ho fg ，f o ri tc o n t a i n sg 一1a si t ss u b g r a p h l e m m a2 2l e tg 拈as t r o n g l yc o n n e c t e dt o u r n a m e n tw i t hn ( n 3 ) v e r t i c e s ，t h e ng h a sd i r e c tc y c l e sw i t hl e n g t hk ( 3 n ) f r o ml e m m a2 1a n dl e m m a2 2 i t se a s yt os e e t h e o r e m2 1 盯g 拈as t r o n g l yc o n n e c t e dt o u r n a m e n to fo r d e rn ( n 4 1 t h e ngi sn o tr s - g r a p h 3 弧鼍a l s of i m n ( 1s o l l co t h e r 歉，s g r a p h l e tgi sad i g r a l ) h ，t j 1 7 ( g ) i sc a l l e dac y c l i cv e r t e x ，i fd + ( t ，) 一d v ) 一 1 、矾：c a l lad i r c c tw a l k _ 鄹l 甜懈1 t n 扣ab r a n c ho fd i g r a t h g ，i fi ts a t i s f i e st h ei b l l o w i n gc o n d i t i o n s ：f 1 ) v oa n dv ma t en o tc y c l i cv e r t i c e s ； ( 2 ) a n ye l e m e n ti ns e tw = v l ，u m li sc y c l i cv e r t e x ； ( 3 ) t h es u b g r a p hg w i ss t r o n g l yc o n n e c t e d ad i g r a p hgi sm i n i m a l l ys t r o n g l yc o n n e c t e di fgi ss t r o n g l yc o n n e c t e d b u te a c hs u b g r a p ho fgo b t a i n e db yd e l e t i n ga n ya r ci sn o t t h e o r e m2 2l e tgb em i n i m a l l ys t r o n g l yc o n n e c t e dd i g r a p h , gi sr s - g r a p hi fa n do n l y 玎t h e r e ，sn ob r a n c hw i t hl e n g t ht w oi ng p r o o f ：= f i r s t 。i fgi sad i r e c tc y c l e gh a sc e r t a i n l yn ob r a n c hw i t hl e n g t h t w o t h e r e f o r e w es u p p o s egi sn o td i r e c tc y c l e i ft h e r ei sab r a n c hw i t b l e n g t ht w o ，t h e nd e l e t i n gt h e c i r c u l a rv e r t e xo ft h eb r a n c hl e a d st oa s t r o n g l y c o n n e c t e ds u b g r a p h ，w h i c hi sc o n f l i c tw i t ht h ef a c tt h a tgi sa r s g r a p h =i fgi sad i r e c tc y c l e ，t h ec o n c l u s i o ni so b v i o u s s u p p o s egi sn o t d i r e c tc y c l e ，t h e ngc o n t a i n sb r a n d iw i t hl e n g t hk ( k 3 ) ，v 目v f g ) ，l e n s ( v ) = 札l ( t 占， ) a ( g ) ，蝣( 口) = 伽l 扣，钳) ( g ) f i r s t l y , i fv i sac i r c u l a rv e r t e x ，a n dw ed e l e t ev ，t h e r e a l w a y se x i s tav e r t e xue i t h e ri n 磁( 秽) o r i nn s ( v ) ，s 。t 4 5 ( 锃) = 0o r 嬉锃) o ，s ot h a tg vi sn o ts t r o n g l y c o n n e c t e d 。s e c o n d l y , i f vi sn o tac i r c u l a rv e r t e x t h e nvi se i t h e ra ni n i t i a lo r t e r m i n a lv e r t e xo fad i r e c tp a t hw i t hl e n g t hk 3 s i m i l a r l y , d e l e t i n gv w i l ll e a dt os o m ev e r t e xne i t h e ri n 杰霪妇) o ri n 弼；f # ) ，s + t 东( 鞋) = 0o r d 十( 札) = 0 ，a n dg 一 i s n o ts t r o n g l yc o n n e c t e d t h e r e f o r e ，gi sr s g r a p h l e m m a2 。3l e t8b ea s t r o n g l yc o n n e c t e dd i g r a p h o r d e r n f 斡4 ) a n d w i t hah a m i l t o nd i r e c tc y c l e 聪t h e r ee x i s tt w o 协o tc o n s e c u t i v e 讥h a m i l - t o nc y c l e ) v e r t i c e sw h i c hc a na r r i v eo t h e rv e r t i c e s o n l yb yp a s s i n gt h e p a t ho nt h eh a m i l t o nc y c l e , t h e ng i sr s - g r a p h + p r o o f ：l e tv ( a ) = 1 ，2 ， ) ，1 2 一， 1b et h eh a m i l t o nd i r e c t c y c l e s u p p o s e ia n dja r et h et w ov e r t i c e sw h i c ha r es u i t a b l et ot h ec o n d i t i o n s c h e c kt h ed i r e c tp a t hi ，i + 1 ，i + n 一1 ，i fw ed e l e t ea n ya r co f t h e p a t h t h e ni c a n n o ta r r i v ei 十他一l ，t h u si fw ed e l e t ea n yv e r t e xo ft h ep a t h e x c e p t i a n d i + n l ，ic a n n o t a r r i v e + 嚣一l ：l f w e d e l e t e i o r + 霸一1 、s i m i l a r l y , j c a n ta r r i v ej + n 一1 t h e r e f o r e a n yp r i m a ls u b g r a p ho fgi sn o ts t r o n g l yc o n n e c t e d t h a ti st os a ygi sr s g r a p h t h e o r e m2 3f o r d n = n ( n 一3 ) + 5 ( n 4 ) ，t h e r e e x i s tr s g r a p hw i t h , 呶一1a r c s p r o o f ：w ec o n s t r u c ta nr s g r a p ha sf o l l o w s ： l e t 五一2b e at o u r n a m e n tw i t hn - 2 v e r t i c e s ， 1 ，2 ，n - 2 i si t sv e r t ( ! x s e t 。t h e r e sa na r ef r o mit oj ，i fa n do n l yi fi j n e x t ，a d d i n gt w ov e r t i c e s 一1a n dn ，t h e nc o n n e c ta r c s 0 ，i 十1 ) l1 曼i n 1 ) u ( 几，n 一1 ) ) ，w ( 、 4 d e n 0 1 et h i sg r a p l il 猡g o b v i o u s l y , v e r t e xla r i d 强一1s l t t i s f yl c m n t a2 3 ，t h u s gi sa l lr s g r a p h ，a n d t t = 0 ；2 ) + n + l = j ( n 2 5 n + 6 + 2 n 十2 ) = ；扎( n 3 ) + 4 e x a m p l e 2 1f o r 竹= 良训eo b t a i nt h ei o l l o w i n gg r a p ha n di t sc o r r e s p o n d i n g m a t r i x , w i t hd 6 = 1 3 i fw ei n v e s t i g a t ei t sm a t r i x ，i ts e e m st h a ti th a st h el e a s t0 st om a i n t a i n t h er s p r o p e r t y i no t h e rw o r d s ，c h a n g i n ga n yo f f d i a g o n a l0w i t h1w i l ll e a d s t oa tl e a s to n eo fi t sp r i n c i p l em a t r i xi si r r e d u c i b l e w h i c hi m p l i e st h a ti t sa n e x t r e m a lm a t r i x 。i nn e x ts e c t i o n 。w ew i l lp r o v et h a tf o r 霸= 6 3 o p e np r o b l e m d e f i n i t i o n3 1 l e t 旦。扼跏es 村 ( ) 媛，w e c a l la 一( 蛞) 壤 o n l y i l o j ( 8 1 ) 一m a t r i c e so | o r d e rn a = i sc o m p l e m e n tm a t r i xo fa ，i fa n d n 坷一1 ，i j ； 鳓一0 ，i j ； 2 = j i nt h i sw a yw e g e tab i j e c t i o n0 ：玩_ 甄s u c h t h a to ( a ) 一五 d e f i n i t i o n3 2l e ta i ，i = 1 ，n ，b et h er o wv e c t o r so i o ，1 ) * m a t r i x 蔗，两re v e r yd i s t i n c tr o l ov e c t o r s a ia n da s ，i ft h e r ee x i s ta ni n t e g e r 女，1s 七礼，s u c ht h a tb o t hk t hc o o r d i n a t e si na ia n d a r ej 0 ，w ec a l lt h et w o j0e n c o u n t e ra tt h ek t hc o o r d i n a t e t h e e n c o u n t e r i n gn u m b e ro fa ia n da j i st h et o t a ln u m b e ro fs u c hk s c l e a r l yt h ei n n e rp r o d u c to fa la n d 吩，d e n o t e db y ( a i ，嘭) i se q u a lt h e e n c o u n t e r i n gn u m b e ro fa ia n da 3 n o ww ed e f i n em o r eg e n e r a li n n e rp r o d u c tf o rm u l t i p l ev e c t o r s 5 、，；， o 0 0 o l 0 o 0 e 1 o l o o l o o 0 o 1 0 l 0 0 l 0 l 1 o 0 o 1 l l 0 l ，。 | | a o l o | 1 | | = 船掰蜥，、，【 d e f i n i t i o n3 3 l e t ( i i 一( a l l ，a i 2 ，一，8 。) ，1 i t ，b etv e c t o r s 西蠡” ai sc a l l e dt h ei n n e rp r o d u c to ft h etv e c t o r s f o ras i n g l ev e c t o ra 。，w e d e f i n et h ei n n e rp r o d u c ta st h es u mo fa l lc o o r d i n a t e so fa i e x a m p l e 3 1 t h e e n c o u n t e r i n gn u m b e r o ft h ef i r s tt w or o w si s2 ，a n dt h ee n c o u n t e r i n g n u m b e ro ft h ef i r s tt h r e er o w si s1 n e x t w e i n t r o d u c et h ef o l l o w i n gl e m m a s ，w h i c ha r eh e l p f u li ne n u m e r a t i n g t h ee x p e c t e dm a t r i c e sb yc p r o g r a m s l e m m a3 1l e ta = ( 堪嵇) 嚣n ，蠢i sa ni n t e g e r , 圭毒 托，ai s i r r e d u c i b l e 对a n do n l y 订t h ei n n e r p r o d u c to fa n yd i s t i n c tkr o w so a 妇 n o te q u a l 幻n 一 p r o o fs i n c et h ei n n e rp r o d u c to fa n yd i s t i n c tk ( i n c l u d i n gt h ec a s e “k = l ”) r o w so f a i s n o t 犯一瓠t h e r e i sn ok ( 舰一k ) z e r os u b m a t r i c e s ，k = 1 ，+ - ，n t h a ti s 。ai si r r e d u c i b l e ， c o r o l l a r y3 1 l e ta 一( a q ) 鼠，i ft h e r ee x i s t k ( 1 曼k 扎( n 一3 ) 2 + 5 j ， i ft h ec o n j e c t u r ei st r u e ，t h e ni t 8a hi m p r o v e m e n ta st ol o n d o n sb o u n d ， r e f e r e n c e s d a v i dl o n d o n ，i r r e d u c i b l em a t r i c e sw i t hr e d u c i b l ep r i n c p a ls u b n l a t r i c e s ，1 一i i m a ra l g e b r aa p p l ，2 9 0 ( 1 9 9 9 ) 2 5 7 2 6 6 r a b r l l a d i ，s g h w a n g ，o n t r i c e sw i t h1 si n p r e s c r i b e d a p p l 1 7 0 9 9 6 ) 4 8 9 5 0 8 t h e s p e c t r a l r a d i u s o f ( o ，1 ) 1 1 1 2 p o s i t i o n s ，s i a ，m j m a t r i xa n a l jw m o o n ，t o p i c so nt o u n a l n e i l t s ，i i o l t ，r i n c h a r ta n dw i n s t o n ，n e w ；? i ，z 盘1 9 6 8 ， b s c h w a r z ， a c o n j e c t u r ec o n c e r n i n gs t r o n g l y c 0 1 l n e ( ：t e d g r a p h s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 5 】l a b l _ u a d i ，t tj r y s e r ，c o m b i n a t ( ) r i a lm a l ，r i xt h e o r y ，c a m b r i d g e u n i t e l s i t yp r e s s 、c a m b r i d g e ，1 9 9 1 f f j lb o l i a nl i u ，c o m b i n a t o r i a lm a t t i xt h e o r y 【7 7 ，a b o u d y ，u s ，r m u l t 3 ，g r a p ht h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n f 8 1谭沽型i j 、c i h 、i 教程，清华大学f ；版社 r a p p e n d ix1 a 1 9 0 r it h mg r a p h # i n c l u d e ”s t d i o h 。 # i n c l u d e ”s t d l i b h ” # i n c l u d e ”i o s t r e a m h i n ts = 0 ： v o i dm a i n ( ) i n ta 【6 3 】 6 】； i n tb 【6 】【6 】； v o i d a b c ( i n tp 【】 6 】，i n tn ) ； f o r ( i n ti - o ；i _ 6 2 ；i + + ) f o r ( i n t j = 0 0 2 5 0 抖) a 【i 】d 】= o ； f o r ( i = 0 ；i = 5 ；i - h - ) f o r ( i n t j = 0 j = 0 ；i 一) a p p e n d i x i i a l g o r i t h ml a n g u a g e f o r ( i n t j = 4 6 ；j = 0 ；j - - ) i f ( a 【j 】 1 】= 0 ) f o r ( i n tk = 5 4 ；k = o ；k - ) i f ( a k 2 】一o ) v o i da b e ( i n t p 【】【6 】，i n tn ) ( i n t i j k l t ； i n tn e i j i = o ； f o r ( i n tl _ 5 8 ；1 0 ；1 1 ( i f ( a 【l 】 3 】_ = 0 ) f o r ( i n t m = 6 0 ；m 一o ；m 、 i f ( a m 4 - - o ) f o r ( i n tn = 6 0 ；n 一o ；n 、 i f ( a i n 【5 】一o ) f o r ( i n tp = 0 ；p 6 ；p 抖) b 0 】【p 】= a i 】m ； b 【l 】嘲= a 【j l p 】； b 【2 】嗍- a 嗍m ； b 【3 】【p 】2 a 【l 】匝】； b 4 】m - a m 】嘲； b 【5 】m - a i n m ； ) a b e o ) ，6 ) ； p r i n t f ( 0 2 d ，s = d 、n ”j ，s ) ； i n t a t 6 6 ； i n ts i g n = 1 ，s u m = 0 ，s i = 0 ； i 菇 + 避鬈，8 螃爨； q 2 p ，产a t ： f o r ( i = o ；i 6 ；玲吣 恕卸菇嗡囊叼 s i 忙4 ( + ( q + i 州) + 4 ( 4 ( q q ) + i ) ；- i f ( s i s ) r e t u r n ； s i = o ： f o r ( i = o ；i 6 ；i + + ) f o r o - - 0 ；_ i 6 j + + ) s 嘲十一4 p 凝) ； s u m = 3 0 - s u m ； i g s u m ! = l 舔 r e t u r n ； f o r o 。o ；i 6 ；螃 f o r 0 = 0 0 刈0 + + ) 蜒；i 串* + 莰堪姻： i f ( n e i j i 一5 ) r e t u r n ； n e i j i = o ； 彦下瑟刿麟喜燹2 * 4 零块 f o r ( i = o ；i 5 ；i + + ) 、 f o r o 两+ 1 i j w 淄0 州 南译o ；t 6 ；t + 吣 n e i j i + + ( + ( q + i ) + t ) ) 4 ( + ( 4 ( q q ) + t ) ) ； i f ( r m i j 列 r e t u r n ； 孙# o 囊4 ；i 十+ ) f o 哟一i + l0 6 0 十+ ) f o r ( k = j + l ；k 6 ；融) f 。r ( t o ；t 6 ；t + 吣 n e i + = ( + + ( q + i d ) + ( 4 ； i f ( n e u i = = 3 ) r e t u r n ； n e l l = o ； f o r ( i = 0 ；i 3 ；i + + ) f o r