（概率论与数理统计专业论文）局部紧空间上e过程平稳分布集的构造.pdf

摘要 给定一个马氏过程，那么这个马氏过程是否存在平稳分布? 若平稳分布存 在且不唯一，如何构造此马氏过程的平稳分布集，是随机过程理论中的一个基 本问题唐守正在紧距离空间上随机连续的f e u e r 过程不变测度集的构造 一文中论述了紧距离空间上的f e l l e r 过程是存在有平稳分布的，并且由此解决 了其平稳分布集的构造问题s p m e y n 和r l t w e e d i e 也在m a r k o vc h a i n sa n d s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ) ) 一书中讨论了局部紧可分空间上的离散时间e - 链平稳分布 的存在性和平稳分布集合的构造问题 本文的主要目的是把上述结果推广，得到结果：状态空间为局部紧可分距 离空间的e - 过程平稳分布也是存在的( 见定理1 1 的证明) ，并由此也解决了 e 一过程平稳分布集的构造问题( 见定理1 2 的证明) 关键词 e 过程，平稳分布，淡收敛，弱收敛，等度连续，胎紧 a b s t r a c t g i v e nam a r k o vp r o c e s s ，w h e t h e rt h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ft h em a r k o v p r o c e s se x i s t sa n di ft h e r ei sn o to n l yo n es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n ，h o wt oc o n s t r u c t t h es e to fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o ni st h eb a s i cp r o b l e mi nt h et h e o r yo fs t o c h a s t i c p r o c e s s t a n gs h o u z h e n gd i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ff e l l e r p r o c e s si nt h ec o m p a c ts p a c ei nt h ep a p e rt h ec o n s t r u c t i o no fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ft h ef e l l e rp r o c e s si nc o m p a c tm e t r i z a b l es p a c e a n di tt h e r e f o r es o l v e st h e p r o b l e mo f t h ec o n s t r u c t i o no fs e to fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n i nt h eb o o k ，m a r k o v c h a i n sa n ds t o c h a s t i cs t a b i f i t y , s p m e y na n dr l t w e e d i ed i s c u s s e dt h ee x i s - t e n c eo fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o na n dt h et h ep r o b l e mo ft h ec o n s t r u c t i o no fs e to f s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ft h ee - c h a i ni nt h el o c a i l yc o m p a c ts e p a r a b l es p a c e t h i sp a p e ra i m st os p r e a dt h ec o n c l u s i o na b o v ea n dg e t st h er e s u l t s ：t h es t a - t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ft h ee - p r o c e s si nt h el o c a l l yc o m p a c ts e p a r a b l em e t r i z a b l e s p a c ee x i s t s ( s e ei nt h ep r o o f o ft h e o r e m1 1 ) a n dt h e r e f o r ea l s os o l v e st h ec o n s t r u c - t i o no fs e to fs t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o no ft h ee - p r o c e s s ( s e ei nt h ep r o o fo ft h e o r e m 1 2 ) k e yw o r d s e p r o c e s s ，s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n ，v a g u ec o n v e r g e n c e ，w e a kc o n v e r g e n c e t i g h t n e s s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：名知 签名日期：f 年弓月纠日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按 照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印 刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数 字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论 文的部分或全部内容 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：_ 籼 签名日期：加f 年s 月7 日 导师签名：；垂夕及弋叶、 签名目期；瑚f 年，月2 诣 一引言及主要结果 设( e ，) 是可测空间，p ( t ) = p ( t ，g ，a ) ，t 【o ，o o ) ，。e ，a ) 是 ( e ，) 上的马氏过程，即对vt 0 ，。) ，。e ，p ( t ，z ，) 是上的概率测度， 且对v t 0 ，。) ，a ，p ( t ，a ) 是可测的函数，且满足对v0 s 0 ，存 在5 0 ，当p ( 。，y ) 景) ，n = o ，l ，2 ，一m - 1 ，m l ，m = 击薹k 则，m 是下半连续的，且对每一个。，存在最大的n o ，使得 所以有 由此即得 z a m n ，0 n n o x - g a m n ，n o + l n m 一1 m ) _ 舯肛i m ) - 击薹k h m ) _ 邬去 ；l i r aff d # t 。l i r a + 。，ff m d # m 一：； 2 鬲1m 备- - 1 熙州) 一击 去薹砌小去 ：ff “a 一一1 jm 2f 脚1 1 2 令m 0 0 ，( 2 1 ) 式成立 引理2 2 获证 设c b ( e ) 表示e 上的全体有界连续函数设 肌：之1 ) 是上的概率测 度序列，如果对于任意的，o h ( e ) ，都有 k l i r af f d 肛t = 脚、 5 则称概率测度序列 p ：女21 ) 弱收敛于芦，记作 肛 与“，k o o 如果对任意的e 0 ，存在紧集，使得 s u p m ( k 。) ， 免1 则称概率序列 脚：l 是胎紧的 关于测度序列的淡收敛和弱收敛有下面的基本结果 引理2 3 ( 1 ) 设 肌：k 1 ) 是次概率测度序列，则存在 p 女：k 1 ) 的 子列 p 。：k 1 ) 和次概率测度p 。，使得 p n bj 0 卢。，k - - - + 0 0 ( 2 ) 若 胀：1 ) 是概率测度序列且是胎紧的，则存在 m ：k 1 ) 的子 列 肛。：21 ) 和概率测度肛。，使得 p n j 警p ，k 。 引理2 3 的证明见参考文献【7 】 设函数集wcg ( e ) ，如果对于任意的e 0 ，存在6 0 ，当p ( 。，y ) 6 时， 对任意的，w ，都有i ，( z ) 一，( v ) 0 使得当p ( 。，一) d 时， i ，( 。) ，( 。川 三 o e 为紧空间，故有有限d 网z 1 ，z 2 ，矗，使得对比e ，3 k ，p ( z ，z ) 6 。此 时 i ，( z ) 一，( 。女) f 昙( 2 2 ) 6 记 丸= ，= ( ，( z 1 ) ，- ，( z 。) ：f ( x ) f l 霄是r n 中的点集，并且对于每个，死 j 耋叭圳2 何船l m 。 即“为r “中的有界集，从而为完全有界集 对于s ，面有有限网五，五，我们证明，与五，五相应的函数，h a 是霄的s 网 实际上，对v ，? - i ，对应的，= ( ，( z 1 ) ，( z 。) ) 爿，从而有五： ( f & 1 ) 办( z 。) ) 使得 、l l 方( 奶) 一m i ) | 。 ； ( 2 3 ) ni = i ” 对于任意的。e ，取抚，使p ( 。，q ) d ，则由( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式有 ，( 。) 一，( z ) l i f ( x ) 一f ( = d l + i f ( x d s a = d l + i f a ：= d 一疗( z ) ee i + 百+ 5 26 所以有 i | ，一驯2 m a 努i f ( x ) 一矗( 。) i s 即feo ( s j ，e ) 孔是完全有界的 引理2 4 获证 2 2 关于e 一链的有关结果 设( e ，) 是可测空间，尸= p ( x ，4 ) ，z e ，a ) 是旧，占) 上的马氏 链，即对v 。e e ，p ( z ，。) 是上的概率测度，且对v a ，p ( ，4 ) 是e 上的 非负可测函数，且满足c - k 方程定义预解链k a 。，对v0 1 ：o ，a ) = = ( 1 一e ) 一p 扛，4 ) ，。曰，a i = 0 7 o ， d fu 8 p 咒u s ， 何 一 若，是e 上的可测函数，记 p f ( x ) = p ( 。，d y ) f ( y ) ，v 。e ， 则p f ( x ) 也是e 上的可测函数若p 是上的测度，记 p p ( a ) = p ( d z ) p 如，以) ，v a ， 则肛p ( a ) 也是上的测度。上的o - 有限测度”如果有性质 ”) = ，r ( d x ) p ( x ，a ) ，a ，则称之为不变测度( 或平稳分布) 。 定理2 1若马氏链圣是常返的，则圣有唯一( 相差一常数倍) 的不变 襁4 度 ，对v a + ， 州引2 厶丌( 如) 风【萎h b ) l beg , 其中表示到a 的首次进入时 且不变测度”是有限的，如果存在细集c 使得 s u p e x t v o 。 定理2 1 的证明见参考文献【1 】 有关e 链不变测度的存在性有以下结果 定理2 2设圣是e - 链则 ( 1 ) 存在转移概率核n ，使得对v x e r ( ”) 与n ( 。，) ，k _ 0 0 ：( ，) 与n ( 。，) ，e 夕1 ( 2 ) 对坳，k ，f 瓦，有p i h p 。= i i 于是对v x e ，测度n ( x ，) 是不变测 度，且r i ( x ，e ) 51 ( 3 ) 西是概率有界的，当且仅当对v z e ，( 。，e ) = 1 定理2 2 的证明见参考文献 1 下面的几个定理是有关e 一链稳定性的结论相关内容的讨论及其有关证 明见参考文献 1 】 8 定理2 3 对任何紧集c e 坍l i r a i n s ( ，a ) 裟马一，z g 定理2 4 设西是e 一链则有 ( 1 ) m a x 。e n ( x ，e ) 存在，且等于0 或l 。 ( 2 ) 若m i n 。e n ( x ，e ) 存在，则等于0 或1 ( 3 ) 若存在紧集c c e ，使得 b ( 即 o 。) = 1 ，。e 则m 瓯e n ( x ，e ) 存在，且有 冀n 扛，e ) 2r a 。i g ni i ( x , e ) ( 4 ) 若c c e 是紧集，则有 j 酷( q e ) ( ：饕b b ) - 1 定理2 5设垂是e _ 链，cce 是紧集若r 叼 o o = 1 ，e ，且 有s u p 。c b 】 0 0 ，则西是概率有界的 2 3 概率核( z ，- ) 的性质 ( e ，) 是任意可测空间，p ( t ，。，j 4 ) 是其上的转移概率，若p ( t ，。，a ) 的平稳 分布集不空，则任取它的一个平稳分布p ，由 t t f ( 。) = m ) 即，。，d y ) 任取平稳分布p ，记 耳圭 a l p ( t ，。，a ) = 厶( 。) ，p n e v t o ) 容易验证气是的子一一代数令 ，= n 五， f 其中f 表示随机过程的平稳分布集则，是的子。代数 9 定理2 6 存在集合n ，对任意p f ，肛( ) = 0 ，当z n 。时，数值积 分j 岳p ( t ) g ( x ) d t 当s o 。时收敛 以下性质定理的有关证明及相关内容的讨论见文献 2 - 性质1 对任意。e ，n ( x ，) 是占上的概率，对任意a 占，n ( ，a ) 是 ，可测函数，且对任意弘芦， ( ，a ) = p ( 4 i ，) ，p a e ( 2 4 ) 证明：先把p ( t ) 看成c ( e ) c ( e ) 的算子，因为z n c 时， ；f o p ( t ) m ) 出叫于( f eg ( e ) ) 可以定义c ( e ) 上的线性泛函k a ( 曰) ( z n c ) ， k ( ，) = 7 ( 茹) k 显然是正泛函，忆| = 1 由黎斯表现定理，知存在概率测度n ( x ，) 使 ，( z ) = l ：r ( f ) = f ( y ) i i ( x ，d y ) 然后对z n 补充定义( z ，- ) = n ( y ，) ，其中任意取定y n c 这样对任意 。e ，r 1 ( x ，) 是上的概率 性质2 对任意c ，测度 ；o s p ( 柚，) d t - - 与n ( ”) ，s _ o 。 证明：对任意的g g ( 曰) ， 。咖) 并p ( t , x , d y ) 出 ：1 1 戮厂5 p ( t 她) a t j 5 _ 。5 o 、。、 2 j g ( v ) i i ( z 、d y ) 性质3 对任意肛f a ， 朋) = ( 州) p ( 如) 证明：因为n ( ，a ) = 肛( a 1 月，“一o n 1 0 性质4 对任意，el i ( e ，p ) ，肛f ， 7 2 f ( y ) ( ，d ) p 一。 ( 2 5 ) 证明：由( 2 4 ) 知，对任意，g ( e ) ，( 2 5 ) 式成立又因为g ( e ) 在三1 中 依工1 范数稠，由此易证对任意f l t ，( 2 。5 ) 式成立 性质5 对任意，l 1 ，t 0 ，) fp ( t ) ，( g ) ( x ，d y ) = f f ( ) ( m ，旬) 特别，对任意a ， 即，叫) ( z 删_ ( 叫) 即( z ，) 是p 的平稳分布 性质6 对任意a ， 忙，a ) = n ( v ，a ) 扛，d y )( 2 6 ) 证明：因为( 。，) f ，因性质3 得证( 2 6 ) 性质7 灿f 的充要条件为：对任意a ， p ( a ) = ，扛，a ) p ( d 。) ( 2 7 ) 证明：必要性即性质3 ，下证充分性若( 2 7 ) 式成立，则对任意，l 1 p ( t ) f d u = 即) m ) h ( 。p ( 如) = v ( 如) 聊) m ) ( 。，由) = f ”( d x ) f s ( ) ( x , d y ) = f ( g ) p ( 如) 性质8v 为任意概率测度，则 “( 且) 圭扛，4 ) p ( d z ) 是平稳分布。 证明：应用性质7 和性质6 珊，嘶( 剐2 ji i ( ) m ，剐”( 如) = f v ( d x ) ( 玑4 ) 兀( 。咖) = f n ( z ，a ) v ( 出) = ”( a ) 1 2 三主要结果的证明 3 1 定理1 1 的证明 第一步先证明，对v ，岛( e ) ，有： ( 1 ) s u p 。ei i p ( t ) 刘。 o 。， ( 2 ) 函数族 - ( t ) ，t 【o ，o 。) ) 是等度连续的 事实上，由于f q ( 四) ，则存在两个常数a 和b ( 一。 0 ，当p ( z ，们 d 时，有 p ( s ) f ( x ) 一p ( s ) ，( f ) l 0 ， i - p ( i p ( t ) f ( x ) 一( d ，( ) j = - 。p ( s ) f ( x ) d s 一；，p ( 8 ) f ( y ) d s l j 0j 0 一( t ) 舳) j = 一 = i 1z 。( 即) m ) 一p ( 8 ) m ) ) 如 抬p ( s ) ，( 旷p 舳凇s 0 ，有 - p ( t k ) p ( t ) = p ( t ) - p ( t k ) = 去序c 州冲 = “l ，f 。t k + t p ( s ) 如 = 拼删s 一新p ( s 阱新埘确 ( 3 z ) 又对v ，c d e ) ，妇e ，v t 【0 ，o 。) 有 i p ( s ) f ( x ) d s ls tr l l l 。 0 ，p ( s ) ，也是正连续函数，由( 3 1 ) 式，( 3 5 ) 式以及引理2 2 知 ( p ( s ) ，) s 鱼p ( t k ) ( p ( s ) f ) k + c o 2 拦恐p ( “) ( p ( s ) ，) = 丌( ，) 由此以及， g 倪( e ) ：g 0 ) 的任意性可得 i i p ( s ) i i 由此及对比e ，n ( x ，e ) 1 可知 r i p ( s ) = i i ，s 0 f 3 i o ) ( 如若不然，假设存在某个集合a ，使得fn ( ，d y ) p ( y ，a ) 厂“旬) 珊，a ) + ( i 曲) 帕， = ( ，d y ) p ( 玑e ) = ( ，e ) 如果( ，曰) 0 ，r i p ( t ) = ，即 对比e ，n ( x ，) 是尸( t ) 的平稳分布又设p 是p ( t ) 的任意一个平稳分布，即 对v t 0 ，有 p = p p ( t ) 从而有 肛= p p ( t ) 对w g ( e ) ，有 卢，= 肛_ 尸( t ) ， 由控制收敛定理，在上式中令t o o ，得 “，= i z t r f 由，c o ( e ) 的任意性，即有“= # t r 定理1 2 获得证明 1 7 参考文献 ( 1 s p m e y na n dr l t w e e d i e m a r k o vc h a i n sa n d s t o c h a s t i cs t a b i l i t y s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 3 2 】唐守正，紧距离空间上随机连续的f e l l e r 过程不变测度集的构造，数学年 刊，1 9 8 4 ，5 a ( 1 ) ：9 9 1 0 8 3 刘炳初，泛函分析，北京：科学出版社，1 9 9 8 4 】何声武，随机过程导论，上海：华东师范大学出版社，1 9 8 9 5 】严加安，测度论讲义，科学出版社，1 9 9 7 6 】张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，北京大学出版社，1 9 9 7 7 】p b i l l i n g s l e y c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s j o h nw i l e y s o n s ，n e w y 0 r k 1 9 6 8 8 】8 d r e v u z m a r k o vc h a i n s n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，2 n de d i t i o n ，1 9 8 4 【9 胡迪鹤，随机过程讲义，武汉大学出版社，2 0 0 0 1 0 w j a n d e r s o n c o n t i n u o u s - t i m em a r k o v c h a i n s ：a na p p l i c a t i o n - o r i e n t e d a p p r o a c h s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 1 1 1 陈木法，跳过程与粒子系统，北京师范大学出版社，1 9 8 6 1 2 吉田耕作，泛函分析，人民教育出版社，1 9 9 7 【1 3 张绍义，毛永华，依b o l t z m a n n - s h a n n o n 熵指数收敛速度，中国科 学，2 0 0 0 ，v 0 1 3 0n o 7 p 6 2 0 6 2 5 14 王梓昆，随机过程论，科学出版社，1 9 6 5 1 5 严士健，概率论基础，北京师范大学出版社，1 9 8 0 1 6 杨向群，可列马尔科夫过程构造论，湖南科技出版社，1 9 8 1 17 】钱敏平，候振廷，可逆马尔可夫过程，湖南科技出版社，1 9 7 9 】8 1 8 d a l d o u sa n dpd i a c o n i s s t r o n gu n i f o r mt i m e sa n df i n i t er a n d o mw a l k s a d v a p p l i e dm a t h s ，8 ：6 9 - 9 7 ，1 9 8 7 f 1 9 牛欣然，关于f e l l e r 过程的极限性质，湖北大学学报，2 0 0 5 ，v o l 2 7 ：4 3 4 4 2 0 黄亮，弱f e l l e r 链成为t - 链的条件，湖北大学学报，2 0 0 5 ，v o l 2 7 ：4 5 4 7 2 1 m f c h e n s t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o n so fi n f i n i t ep a r t i c l es y s t e m sw i t hn o n c o m p a c ts t a t es p a c e s ，a c t am a t h s c i ，1 9 8 9 ，9 ：1 ，7 - 1 9 f 22 陈木法，概率核的存在性和转移函数的可微性，北京师大学报，1 9 8 6 ，4 ，6 - 9 【2 3 】陈木法，马链的基本耦合，北京师大学报，1 9 8 4 ，4 ，3 - 1 0 2 4 d w s t r o o c ka n dm f c h e n a 7 r i n v a r i a n tm e a s u r e s ，l e c t u r en o t e si nm a t h s e m i n a l r ed ep r o b a b i f i t e s ，x v i i ，1 9 8 3 ，9 8 6 ，2 0 5 2 2 0 2 5 m f c h e r t ，s j y a ha n dw ，d d i n g p o t e n t i a l i t ya n dr e v e r s i b i l i t yf o rg e n e r a l s p e e df u n c t i o n s ( i ) ，c h i n a n n m a t h ，1 9 8 2 ，3 ，5 7 1 5 6 8 2 6 安鸿志，时间序列的分析与应用，科学出版社，北京，1 9 8 3 年 2 7 1 梁之舜、邓集贤、杨维权、司徒荣、邓永录( 中山大学数学系) ，概率论与 数理统计( 第二版) ，高等教育出版社，北京，1 9 8 8 年1 0 月 2 8 h a m i l t o nj d ，t i m es e r i e sa n a l y s i s ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s n e wj e r s e y 1 9 9 4 2 9 缪柏其( 1 9 9 8 ) 概率论基础，中国科技大学出版社 3 0 吴成庆，赵林城( 2 0 0 2 ) 马可夫链中密度函数核佶计积分绝对偏差的指数 界”中国统计学报”，v 0 1 4 0 ，n o 2 ，2 1 5 2 1 8 3 1 w e i ，l - ( 1 9 9 9 ) a s y m p t o t i c a l l yo p t i m a le m p i r i c a lb a y e se s t i m a t i o ni o n e w a y a n o v a m o d e l s y s t e ms c i e n