（概率论与数理统计专业论文）多险种奖惩系统的设计.pdf

中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 多险种奖惩系统的设计 专业： 概率论与数理统计 学位申请人：李彦丽 导师及职称：方积乾教授 摘要 单一风险的奖惩系统( b m s ) 已被广泛地应用于车辆保险中，并取得了很好 的效果。医疗保险与车险具有近似的风险特征及精算基础，因而本文考虑将车 险中的奖惩系统引入医疗保险中。传统关于奖惩系统的研究和讨论，大部分集 中于单一风险责任情形，而在实际情况中，多种风险责任的情形例如综合险种 的最优b m s 设计对保险公司来说可能更具有吸引力。以往关于多变量奖惩系 统的研究都是在独立性的假设下进行的。而在医疗保险中，许多疾病之间都是 非独立的，因而建立具有相关风险的最优奖惩系统对奖惩系统引入医疗保险具 有重要的意义。 本文主要研究了基于二元混合p o i s s o n g a m m a 分布，分别在独立与非独立 条件下建立了相应的最优奖惩系统，将奖惩系统推广到非独立的情形。通过模 拟数据和实例分析，探讨了在不同相关程度下，两种奖惩系统保费之间的联系 以及适用条件。 关键字：医疗保险；奖惩系统；相关风险 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 d e s i g no fb 0 n u s - m a l u ss y s t e mi nm u l t i r i s k i n s u r a n c e m a j o r：p r o b a b n i 哪t h e o r y 釉dm a t h e m a t i c a is t a t i s t i c s n a m e ：l iy a n l i s u p e r v i s o r ：f a n gj i q i a n a b s t r a c t b o n u s m a l u ss y s t e i i l ( b m s ) w i 廿ls i n 百er i s kh a sb e e n 丽d e l ya p p l i e dt o t h ea u t o m o b i l ei n s u i m l c e ，a n di th a sb r o u g h tg o o de l j f e c t f o rm es i m i l a rr i s k c h a r a c t e r 趾db a s i ca c t u a r i a lk n o w l e d g eo fm e d i c a lm s w a l l c ea i l da u t o m o b i l e i n 吼i r a l i l c e ，i 仃y t 0i n 仃o d u c em eb o n l 】s m a l u s s y s t e mw m c hi su s e di n a u t o m o b i l ei n s u r a n c ei n t om em e d i c a li n s u r a n c e t t a d i t i o n a lr e s e a r c ha i l d d i s c u s sa b o u tb m sa r ef o c u s e d0 ni n s u r a i l c ew l l i c hh 弱s i n 酉er i s k b u ti nf a c t 1 eb m sh a v i n gm u l t i r i s k ，s u c h 嬲a 1 lm s k i n s u r a l l c e ，i sm o r ea t 仃a c t i v et ot l l e i i l s u r a i l c ec o r n p a i l y h lt l l ep a s t ，m er e s e a r c ha b o u tm u l t i v 耐a t eb m si su i l d e r n l eh y p o m e s e so fi l l d e p e n d e n c e i i lm e d i c a li n s l l r a n c e ，m a n yd i s e a s e sa r en o t i n d 印e 1 1 d e n t s oc r e a t i l l gb m sh a 、r i n gd 印c i l d e n tr i s k i ss i 印i f i c a n tt 0m e i n 臼o d u c t i o no fb m si n t o 廿l em e d i c a li n s u r a i l c e 1 1 l i sp 印e ri sf o c u s e do nt l l ed e s i 弘o p t i m a lb m s h a v i n gt 、) l ，ok i n d so fr i s k 幅c hh a v ead i s t r i b u t i o no fp o i s s o n _ g 舭1 1 i l a ic r e a t em eo p t i m a lb m sb o t l li i l i n d 印e 1 1 d e n ta 1 1 dd 印e i l d e n ts i t i l a t i o i l s 1 1 d u 曲m ei m i t a t e dd a t aa i l dr e a ld a t a a n a l y s i s ，id i s c u s st l l ec o r u l e c t i o na n da p p l i c a b l ec o n d i t i o no fm et 、) l ，ob m st o d i 脓e n td e 目e eo fd e p e n d e i l c e k e yw o r d ：m e d i c a li n s u r a l l c e ；b o n u s - m a l u ss y s t e m ；d 印e n d e n tr i s k 原创性及学位论文使用授权声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：杏乎葡 日期：础年扩月3 。日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交 论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅， 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用 复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：薪面导师签名： 日期：z 譬年5 月扣日日期：年月 日 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 第1 章引言 1 1 研究背景及研究意义 “奖惩系统1 l - b m s 的英文为“b o n u sm a l l l ss y s t e i i l ，。在我国又称为无赔款 优待系统n c d 【2 】系统，从其本质上来看，奖惩系统即对于发生了一次或多次 索赔的投保人合理地增收保费，给予惩罚即“m a l u s ”；而对于没有任何索赔发生的 投保人合理地给以保费折扣，给予奖励即“b o 肌s ”。b m s 已广泛地应用在机动车 辆保险【3 】中，取得的效果【4 】主要表现在： ( 1 ) 愿意参保的被保险人数增加，保费的绝对收取额随之增加； ( 2 ) 被保险人由于享受了满意的折扣，所以对保险人的忠诚度上升，稳定了客 户； ( 3 ) 由于表现良好的人能享受高折扣，而表现较差的人享受的折扣较低，体现 了公平性，同时也减少了被保险人的逆选择，降低了道德风险； ( 4 ) 由于参保人数的提高，为我们进一步制定合理而有效的费率奠定了基础； ( 5 ) 减少小额赔付，降低保险公司运营成本，提高管理效率。 健康保险( 尤其是医疗费用保险) 在保险期限、方式、损失发生的必然性、未 到期责任准备金的计提、保费的计算、风险控制的手段以及保险事故的多发性和 易变性等很多方面都与财产保险类似，下面就医疗费用保险的险种特点与汽车保 险作一比较。 ( 1 ) 保险期限 医疗费用保险的保险期限是短期性的，期限通常为一年。 ( 2 ) 保险金的赔付方式 医疗费用保险( 保险健康保险) 适用补偿原则，即被保险人所获得的保险金以 实际发生的损失为限，被保险人通过各种途径( 包括获取保险金) 所获得的医疗费 用补偿不得超过实际花费的金额。 ( 3 ) 损失发生的不确定性 根据美国的划分方法，医疗费用保险又可分为住院手术保险( 基本医疗费用 中山人学硕：卜学位论文多险种奖惩系统的设计 保险) 和大额医疗费用保险。住院手术保险的保障范围主要包括：门诊服务费用； 住院的病房和床位费以及一般的护理费；各种住院杂费；手术费用和住院医生费 用。大额医疗费用保险的保障范围和住院手术保险相似，它们的主要区别是：大 额医疗费用保险提供的保障更多。具体地说就是，保障的费用项目更多，对特定 的医疗费用赔付限定少而且总的保险金额较高，甚至不封顶。而住院手术保险通 常限定保险金额，限定支付的额度。 被保险人若要获得以上保险范围内的保险金给付有一个前提，即必须在保险 期限发生意外或身患疾病。而发生意外或身患疾病都是不确定的。以患病为例， 其不确定性主要体现在以下一些方面： 首先，疾病易受多种因素的影响，一种疾病的发生、发展取决于社会、经济、 文化、心理、个人行为、生物遗传、卫生保健水平及医疗服务水平等多方面的影 响。 其次，医疗服务提供和医疗费用发生有多大的不确定性，一方面个人对自身 健康的关注，对高质量医疗服务的无限渴求，使费用的支出往往处于高度弹性的 境界；另一方面一个人患同一种疾病在不同的医院、由不同的医生治疗，可能发 生费用的结果也不一样，同样一种疾病在不同的年龄、不同的体质，有无合并症， 治疗时机的选择，其结果差别也非常大，医疗费用也会有很大差异。 ( 4 ) 保费计算方法 医疗费用保险在保险费率的厘定上主要采用经验费率法。厘定费率时首先要 做的工作是收集经验数据，包括特定人群的疾病发生率、索赔频率、索赔总额、 费用、等待期、免赔额、保单的续保率、失效率和利率等。数据收集好后要对经 验数据进行分析，实际操作中收集数据和数据分析是同时进行的。这两步做好后 要根据经验数据计算出基础保费，在此基础算出风险保费进而计算出净保费。最 后根据净保费算出毛保费。 ( 5 ) 未到期责任准备金的计提 医疗费用( 短期健康保险) 未到期责任准备金的计提与汽车保险类似，主要采 用的方法有年平均法、八分法、月比例法和逐日计提法等几种。 ( 6 ) 风险控制的手段 医疗费用保险在条款设计时主要设置免赔额、设立共保比例以及限制赔付金 2 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 额等手段来控制风险。这与汽车保险条款中的控制方法也比较类似。 ( 7 ) 保险事故的多发性与易变性 医疗费用保险和寿险一样，也是以人的身体为标的，以身体因疾病或因治疗 疾病造成的花费、收入减少进行补偿为目的。人寿保险的主要风险因素是死亡率， 随着科技的进步和时代的发展，死亡率虽然变动，但较其他风险发生的概率波动 而言是相对稳定的。相对寿险而言，健康险的风险多发性、不确定性和易变性复 杂得多。人体生病和就医已经成为日常生活组成部分。 综上所述，医疗保险与车险具有近似的风险特征及精算基础，为保险公司将 b m s 制度引入医疗费用保险嘲创造了条件。我们可以借鉴车险中的奖惩系统的思 想，在医疗保险中引入奖惩系统。在车险中一般只考虑一种风险，而考虑多种风 险时也都是假设各风险是相互独立的，但是在医疗保险中，许多病之间都是非独 立的。因而设计具有相关风险的最优奖惩系统对于解决医疗保险奖惩系统引入问 题，具有重要的现实意义。 1 2 研究现状 关于奖惩系统引入医疗保险，王心旺，方积榭7 】将分类风险模型的最优奖惩 系统应用在糖尿病住院医疗保险中，探讨了具有不同索赔频率的分类风险模型的 最优奖惩系统设计，并以糖尿病住院医疗保险实例予以验证。胡平哺】在无赔款优 待模型在住院医疗保险定价中的运用一文中，根据住院费用，利用概率转移矩阵 建立奖惩系统。对于多险种的奖惩系统引入医疗保险的研究工作还很少。设计多 种风险责任的奖惩系统，就要用到多变量分布，n l j o l l i l s o n 和s k o t 【州于1 9 9 6 年 讨论了多变量的离散分布的一般理论。在此基础上，s k o c h e r l a l ( o t a 与 k k o c h e r l a k o t a 【1 0 1 于1 9 9 2 年讨论了三参数的二元p o i s s o n 分布缈( 丑，五，) ，这种分 布适合于相应的两种保单组合同质的情况，而对于不同质的相关风险保单组合则 不太适用。刘长标和袁卫【l l 】研究了保单组合两种保险责任的索赔次数向量的分 布，在独立性的假设下给出了二元混合p o i s s o n 模型，以及具有免赔额的二元混 合p o i s o n 模型，讨论了二元混合p o i s s o n - g a m m a 模型及有关的性质。对于多变量 最优b m s 设计的研究工作做的很少，p a r t r “1 2 】最早提出双变量混合p o i s s o n 分布， 中山大学硕上学位论文多险种奖惩系统的设计 在独立性的假设下，来设计最优b m s ，刘长标和袁卫【1 3 】对两变量混合p o i s s o n 分 布进行了推广，在g a m m a 结构函数下，建立了独立条件下的多变量最优奖惩系 统。刘长标和袁卫【1 4 】将奖惩系统由独立条件单变量的情形推广到风险相关的单变 量情形。张珊珊【1 5 】在硕士论文中引入一般的熵损失函数，研究独立多变量p o i s s o n 对数正态和p o i s s o n 逆高斯的最优b m s 。吴建祥【1 6 】构造了考虑索赔事故类型的奖 惩系统，将索赔事故分为财产损失和人身伤亡两种不同类型，假设索赔次数服从 不同分布条件下，应用期望值原理构建奖惩系统。高洪忠【l7 】关于汽车赔付次数的 一类新分布删分布类，此分布类涵盖了泊松分布、g 觚吼a 分布、负二项 分布、泊松一逆高斯分布、h o f 缸锄分布、广义负二项分布【1 8 】、泊松t w 分 布【l9 】等分布，在文中他给出了删分布类各个参数的最大似然估计，大大增加 了此分布类的应用价值。高洪忠【2 0 】在g p s j 分布类下建立了无赔款优待系统。高 洪忠和任燕燕【2 l 】将g p s j 分布类推广到二维的情形，并将这一模型应用到一组机 动车辆保险的索赔次数数据，考虑了由财产损失索赔次数，人身伤亡索赔次数组 成的二维模型，得到令人满意的拟合效果。非独立条件下的多变量最优b m s 的 设计研究比较复杂，所以在这方面的研究比较少。 1 3 本文的研究内容 针对目前对相关风险奖惩系统研究的缺乏和不足，本人尝试建立基于索赔次 数的具有相关风险的奖惩系统，为今后将奖惩系统引入医疗保险做一些初步的探 索工作。本文主要研究了基于二元混合p o i s s o n g 猢a 分布，分别在独立与非独 立条件下建立了相应的最优奖惩系统，将奖惩系统推广到非独立的情形。通过模 拟数据和实例分析，探讨了在不同的相关程度下，两种奖惩系统保费之间的联系 以及适用条件。 4 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 第2 章基于二元混合p o i s s o n g a m m a 分布的最优 b m s 设计 2 1 同质风险相关条件下的二元泊松索赔次数模型 在保险精算中，单变量的索赔次数模型一般采用泊松或混合泊松分布，在双 变量的情况下也是这样。双变量泊松分布【2 2 1 可以通过如下的双变量二项分布的混 合得到。 设( 五，五) 为双变量二项分布，其概率母函数为： g - ，托( t l ，f 2i ，1 ) = 【l + p i ( t l 1 ) + 仍( t 2 1 ) + 鼽( t i 一1 ) ( t 2 1 ) 】” ( 2 - 1 ) 设参数n 服从参数为九的单变量泊松分布，则( 五，置) 的无条件概率母函数 【2 3 】为： h 铲嘉争鸫圳 = e x p 矸( 一1 ) + 正( 乞一1 ) + 写( 一1 ) ( 乞一1 ) ) = e x p ( 0 + 墨) ( f l 一1 ) + ( 互+ 冬) ( 乞一1 ) + 写( f 。乞一1 ) ) ( 2 - 2 ) 其中公= 觑见，i _ 1 ，2 ，3 。 一般地，将双变量泊松分布的概率母函数定义为： g 毫，k ( ，乞) = e x p 五( 一1 ) + 如( 乞一1 ) + 乃( 乞一1 ) ) ( 2 - 3 ) 显然( 2 2 ) 与( 2 - 3 ) 是等价的，只是形式不同而已。 定理1 设( 五，五) 为二元泊松向量，其概率母函数由( 2 2 ) 式给出，则五，五独 立的充要条件是参数以= o 。 证明：设厂( ，j ) 为( 五，互) 的联合概率函数，则由概率函数与概率母函数的关系 知， 厂( ，s ) 为吒。恐( f 。，乞) 的展开式中巧艺的系数： 5 中山人学硕上学位论文 多险种奖惩系统的设计 = e x p 五( 一1 ) + 五( 乞一1 ) + 如( 乞一1 ) ) ：口啪+ 如+ 而，争绁争型争塑辱笙 智f ! 智_ ，! 盘 后1 2 e 一( + 如+ 也李；乏：i 器并磋 因此， 厂( ，j ) = e 一( + 也+ 也) “鬈5 i 籍) = 卑字e ”黔嘞t 袁， ，!s !智3 、元厶。 ( 2 4 ) 又由联合概率母函数与边际概率母函数的关系知， 五的边际概率母函数为： 吒( ) 2 吒，恐( ，乞) i f j ；- 2 e x p ( 丑+ 五) ( 一1 ) ) ( 2 5 ) 其中j = 3 - i ，i _ l ，2 。从而鼍的边际分布为单变量泊松分布，即： 五o cp ( 以+ 五3 ) ( 2 - 6 ) 充分性：若五= o 则由( 2 - 4 ) 式知： 竹= 字字 又由( 2 6 ) 知，五= o 时，五的边际分布为单变量泊松分布p ( 丑) ，因此 得证五，五独立。 必要性：若五，五独立，则由概率母函数的性质知： 吒，以( ，乞) = 吒( ) 吒( 乞) 这样，在( 2 - 7 ) 式中： 左边= e ) 叩 ( 一1 ) + 如( 乞一1 ) + 乃( 乞一1 ) 右边= e x p ( + 五) ( f l 一1 ) + ( 五+ 乃) ( 乞一1 ) ) = e ) 【p a ( 一1 ) + 五( 乞一1 ) + 以( + 乞一2 ) ) 6 ( 2 - 7 ) 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 代入( 2 - 7 ) 式有：e x p ( 一1 ) ( 乞一1 ) ) = 1 对于任意的 ，乞恒成立，从而五= o 。 2 2 二元混合泊松索赔次数模型 2 2 1 非同质风险的含义 在同质场合下，同一保单组合中的索赔频率参数( 五，五，五) 是固定的常 数，也就是说，该保单组合中的保单风险是一样的。即使利用先验信息对保 单进行分类，在现实中不可能得到完全同质的保单组合。若索赔频率参数 ( 五，如，乃) 为变动的，即为某一随机向量，这时，该保单组合中的保单风险是 不一样的，也就是说是非同质的。设( a ，以，如) 的联合密度函数为烈五，五，乃) 则索赔次数向量( 五，五) 的无条件概率函数为： ( ，j ) = j 抄( ，ji 五，五，乃培( ，如，五) d d 五d 乃 ( 2 8 ) 其中，条件概率函数厂( ，s i a ，五，乃) 由( 2 - 4 ) 式给出。 当( 五，五，乃) 中的3 个随机变量不完全相同时，( 2 8 ) 式的结构非常复杂。 为此，借用舶o u sa g ，k e m c hj 【刎的思想进行二元泊松分布的混合。假定 索赔频率参数( 丑，五，五) 具有相同的结构，也就是说，令五= q 五，其中哆为 相应的常参数， f = 1 ，2 ，3 ，a 为随机变量，相应的密度函数为 ( 五) 。这表明， 虽然保单组合的索赔频率不同，但是索赔的结构是一样的。这样，( 2 8 ) 式的 索赔次数模型便简化成为： ，( ，s ) = i 厂( ，si 力) ( 名) d 兄 ( 2 9 ) 2 2 2 二元混合泊松伽玛索赔次数模型 假定( 2 9 ) 式中结构变量名服从参数为 ，) 的伽玛分布，其密度函数为： 7 中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 m ) = 怎矿1 e x p ( - 触) 其中五o 。 ( 2 1 0 ) 定理2 在( 2 - 8 ) 式中假定二元索赔次数模型的概率函数厂( ，si ，五，乃) 由( 2 4 ) 式给出，并令丑= q 名，其中为相应的常数，扛l ，2 ，3 ，结构变量兄服 从参数为 ，) 的伽玛分布，其密度函数由( 2 1 0 ) 式给出，则相应的非同质风 险保单组合索赔次数模型为双变量负二项分布，其概率函数为： 竹= 睇“筝嵩瀚一绣 其中， 毋= ( 口l + 口2 + 鸭+ ) ，f = 1 ，2 ，3 ，幺= 1 一( b + 皖+ 岛) 。 证明：在定理的条件下，索赔次数向量( 五，墨) 的概率母函数为： g 1 k ( ，乞l 五) = e x p 名 q ( 一1 ) + ( 乞一1 ) + ( f 2 一1 ) ) 因此，其无条件概率母函数为： g x 。x ：( f l ，f 2 ) = ，g x 。，x ：( f l ，f 2 i 五) j l l ( 名) d 五 = x p 五咄( - 1 ) + ( 乞- 1 ) + ( 编- 1 ) ) 喾舻e x p ( 一肜) d 兄 = i e x p 五咄( 一1 ) + ( 乞一1 ) + ( 岛一1 ) ) 箐i 舻e x p ( 一肜) d 兄 占 l 心j = 口 一 ( 一1 ) + 口2 ( 乞一1 ) + ( f i 乞一1 ) ) 一口 = c h 芳+ 旁+ 芳一芳 一旁乞一芳订4 l bb9b j 9 8 “ = 鲜 1 一日f l 一岛乞一岛乞】叫 ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中，包= ( 口i + 口2 + + ) ，待l ，2 ，3 ，幺= 1 一( q + 岛+ 岛) 。将( 2 - 1 2 ) 式展开 成幂级数的形式， 其中巧磋的系数即为所求的概率函数： 竹= 爵“筝嵩黼一g 推论：在定理2 的条件下， 墨，置的无条件边际分布分别为负二项分布： 中山大学硕：上学位论文 多险种奖惩系统的设计 五o c 彻( 口，1 一，1 1 ) 五o c 加( 口，l 一) 肌旷等一酱 证明：由( 2 1 2 ) 式及边际概率母函数知： g 五( f 1 ) = 吒，也( ，乞) b = 劈 1 一岛一( q + 岛) f 1 一口 = 爵【q + 岛+ 幺一( q + 岛) ) 】叫 - 【l 一警”1 ) 】嵋 邛一嵩嬲尚”明吨 。 l 一( q + 岛) ( 1 一幺) 、 “ = 【1 一是( f l 1 ) r l 一，竹 其中m i = 等，所以五篮加( 吲训。 髓可证，五凇( 础训，其锄z = 酱。 由于毋= ( q + 吃+ 吩+ ) ，f = 1 ，2 ，3 五o c 加( 口，石知) ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 五o c 舫( 口，石知) ( 2 - 1 6 ) 特别地，当五与五相互独立时，即= o ，( 2 - 1 1 ) 就化简为： m 一= f 乎号乎 ； ，!s5 ：鱼：笪垡! 丝! 兰! r ( 口) ，! j ! ： 竺：竺i 壁：! ! ! ! 竺! ，! s ! r ( 口) ( 口i + 口2 + p ) h 抖口 2 3 独立的二元p o i s s o n g a m m a 最优b m s 设计 ( 2 1 7 ) 假定对投保人观察t 年，用墨，表示投保人在第j 年的第i 种责任风险保单的 索赔次数， 向。，岛：，钆；乞。，k ，k 是五。，墨：，；五。，置：，彳：，在叩= 力的条件 下的具体取值，利用x 墨：，五，；置，丘：，五，的独立性，得 p ( 墨。，矗：，毛。；也。，如：，如，1 名) = 密密呐= 密冉簪训 f = l ，= il = l ，= l 扩 将霸，霸：，霸，；如。，屯，简记为k ，根据b a y e s 公式，有： 州郴卜荫烹蔫发黑慌渤 宴史璧! 墨! ： j c o 冉i ；i 簪p 叫焉舻m ( 2 1 8 ) 蘧m 口+ 喜兄喈e 。“p 刖 222 = 旦广一 ( 2 - 19 ) r ( 口+ 吩) f 其中吩= ，f = l ，2 ；j = 1 ，2 ，1 。 ，= l 这是具有参数口+ 主吩和+ f 妻q 的g a l i 吼a 分布。这样，具有索赔历史k f = i 的投保人的最优平均索赔频率的估计值为： l o 中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 2 口+ 啊 以+ 。( k ) = e ( 名i k ) = j 争一 + f q ，= l 从而由期望值原理构造的最优b m s 计算公式为： 2 口+ 吩 + 。( k ) = ( 1 + 1 ，) 以+ 。( k ) = ( 1 + v ) + f q f = l ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) 其中v 为安全附加。 对最优b m s 的计算公式，川( k ) 进行适当的调整。由于安全附加是对每个投 保人比例增加的，因此，在构造最优b m s 时可以先不考虑；另外，假定用1 0 0 表示新投保人在第o 年没有索赔的保费水平，这样，在应用，( k ) 时，为了保 证b m s 财务上的平衡，可以作如下的调整，即每个人的后验保费水平除以保险 人对每个投保人收取的期望水平芳，于是，经过上述调整后的投保人的后验保费 水平为： k - ( 耻m 褊芳 ：l o o 壁! 竺堡竺2 口【+ f ( 口i + 吃) 】 ：l o o i 譬生 ( 2 - 2 2 ) 口 + f ( 口i + 呸) 】 、7 由上式可以看出，第什1 年的保费只与过去的总索赔次数n 有关，而与索赔 次数在历年的分布无关。所以对于独立的情形计算比较简便，只需要知道前t 年 总的索赔次数，就可以计算得到第t + 1 年的费率。 2 4 风险相关的二元p o i s s o n g a m m a 最优b m s 设计 当五与五不独立时，第t + 1 年的最优索赔频率的估计值为： l l 中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 五+ l = e ( 名1i 七l l ，后l f ；后2 l ，尼2 ，) = r 兄1 l ( 兄限，后“尼2 i ，尼2 ，) d 兄 r 兄n f = l rn p ( 后l ，七2 ，i 兄) ( 名) d 允 p ( 七l ；，后2 ，i 力) j l l ( 五) d 名 匕! = 二二兰兰：贮塾丛壶匕亿2 3 ， p m 】舻吨) + 俨1 旷州( 南卜 第t + 1 年的风险保费费率为： + 。：1 0 0 木到 墨，向，；也，k ) e ( 丑+ 。) 口 = 1 0 0 半 口 口 8 p ，嘞旷辨鲫( 南卜 鼻丽等喇( 南卜 兀，嚷，刊鲁ld 力 f = l，= o i 2 7 0 ( 2 - 2 4 ) 注意：，在一定程度上反映了两种风险之间比例关系，因而在实际 参数估计时，我们经常设定口。= 1 。 1 2 一口 卜 恕 + 向 ，蹦 力 p卜 吩 + 勉 + 嘶“ 卫一 p。 中山大学硕 ：学位论文多险种奖惩系统的设计 第3 章探索与模拟研究 通过自编的m a t l a b 程序，可以实现风险相关时最优b m s 费率的计算，当改 变口。，吃，口，的取值和历史索赔记录的取值岛。，墨：，毛，；岛。，岛：，如，时，可以自 动运行得到第t + 1 年的费率。 3 1 两种奖惩系统费率间的关系 下面通过几组数据来探讨具有相关风险的二元p o i s s o n g a m m a 的最优b m s 的费率及其与独立二元p o i s s o n g a l i l l i l a 的最优b m s 费率间的关系。 1 当参数= 1 ，吃= 2 ，= 0 5 ，口= 2 ，= 3 0 得到的索赔数据( 程序见附录) 如下 表： 表3 1 索赔数据 由投保人第一年的索赔历史，通过运行程序可以得到第二年的费率表如下： 中山人学颐l 学位论文多险种奖惩系统的设计 表3 3 索赔数据汇总 如果按独立情况考虑，总索赔次数n 服从凇( 口，) ，对于两变量 口i + 口2 + p 。i s s 。n g 跗1 1 i l a ，根据p a n r a t 的模式， 可以令口：l ，屈：鱼一， c c t + 仅， n 叱凇似，i 南) 即n 加 ，岛) ，按照b e s s o n j l 粗dc p a n r a t 在咖de t s y s t e m e sd eb o n u s m a l u s 【2 5 】一文中方法，对上表的总索赔数据，采用极大似然估计 方法对参数口，届进行估计。其中其中口满足下面的方程： 喜乃( 赤+ 赤+ + 廿h 扣 舯z = 揣罴骨羔价羔西志， 无= 而品而，石= 而品丽，= 7 ，万= 。2 6 6 6 9 ，两= o 1 。o o l ，瓦= o 1 6 6 6 8 利用m a t l a b 的迭代运算可以得到口极大似然估计值应= 。6 2 5 8 ( 程序见附录) ，而屋= 鲁， “ 龟= 兰= 1 6 6 6 6 3 ，= ( 1 + 幺) 届= 6 2 5 7 3 5 。 m 1 4 中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 将估计值幺= 1 ，幺= 1 6 6 6 6 3 ，舀= o 6 2 5 8 ，夕= 6 2 5 7 3 5 ，代入下面的费率公式： ，( k ) ：l o o 竺l 竺：l o o 丛型堕一 ”7 + ( q + 吃) 口 + ( q + ) 】 由投保人第一年的索赔记录，可以计算得到第二年的费率表： 表3 4 第二年的费率表( 按独立考虑) 通过对比表3 2 与表3 4 可以得到：当两风险的相关程度较高时( 嗷= o 5 ) ， 按独立情形算得的保费水平明显高于按非独立计算的费率，譬如当第一年总索赔 次数为2 时，索赔记录为( o ，2 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，0 ) 所对应费率分别为1 7 9 1 0 ， 1 4 6 1 4 ，1 7 9 1 0 ，以发生的概率为权重进行加权平均得到费率值为：1 5 4 2 8 。而 按独立情形算得费率为2 9 4 2 1 0 ，远远大于非独立情形算得的保费。 ( 2 9 4 2 1 0 1 5 4 2 8 ) 1 5 4 2 8 = 9 0 7 。为了更直观的比较两者费率之间的关系，将 相同总索赔次数的费率分别进行加权平均，以索赔次数为横轴，以费率为纵轴做 出曲线图，如下图： 图3 一l 独立b m s 费率与非独立b m s 费率比较图 2 当参数q = 1 ，吃= 2 ，= o 1 ，口= 2 ，= 3 0 得到的索赔数据如下表： 1 5 中山大学硕上学位论文 多险种奖惩系统的设计 表3 5 索赔数据表 由第一年的索赔记录，通过运行m a t l a b 程序可以得到第二年的费率表如下： 表3 6 第二年的费率表( 非独立情形) 如果按独立二元p o i s o n g a m m a 情形计算，按照上面同样的方法对参数进行 估计，得到的参数估计值如下：幺= l ，幺= 1 9 0 9 3 0 ，盘= 1 2 4 2 4 4 ，夕= 11 1 2 0 8 6 按照费率公式厶( k ) 2 1 0 0 褊芳2 1 。面躺可以计算得 到第二年的费率表： 表3 7 第二年的费率表( 按独立考虑) 1 6 中山大学硕+ 学位论文 多险种奖惩系统的设计 情形算得的保费水平仍然明显高于按非独立计算的费率，譬如当第一年总索赔次 数为2 时，索赔记录为( 0 ，2 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，o ) 所对应费率分别为1 8 1 2 6 8 9 ， 1 6 5 1 5 7 2 ， 1 8 1 2 6 8 9 ，按发生的概率进行加权平均得到费率值为：1 7 2 3 4 7 。而按 独立情形算得费率为2 4 4 9 6 2 4 ，远远大于非独立情形算得的保费。 ( 2 4 4 9 6 2 一1 7 2 3 4 7 ) 1 7 2 3 4 7 = 4 2 1 3 比第一种情形下的9 0 7 有所下降。 将相同总索赔次数的费率分别进行加权平均，以索赔次数为横轴，以费率 为纵轴做出曲线图，如下图： 豫赔次数 图3 2 独立删s 费率与非独立酬s 费率比较图 与图3 1 相比，两曲线之间的距离在缩小，因而独立与非独立b m s 的费率差 别也在相应的减小。 3 当参数为口i = l ，吃= 2 ，= o 0 5 ，口= 2 ，= 3 0 时，产生的索赔数据如下表： 表3 8 索赔数据表 1 7 中山人学硕1 j 学位论文多险种奖惩系统的设计 下： 由投保人第一年的索赔历史，通过运行m a t l a b 程序得到第二年的费率表如 表3 9 第二年的费率表( 按非独立计算) 如果按独立二元p o i s o n - g a m m a 情形考虑，得到各参数估计值如下： 舀i = l ，西2 = 1 7 6 9 9 ，舀= 1 5 1 8 1 9 ，= 2 0 3 6 3 8 1 按照费率公式，2 僻) = l 。褊芳= 1 0 0 面踹可以计算 得到第二年的费率表： 表3 1 0 第二年的费率表( 按独立考虑) 通过对比表3 9 与3 1 0 可以发现当两风险的相关程度下降时( = o 0 5 ) ，按独 立情形算得的保费水平仍然明显高于按非独立计算的费率，譬如当第一年总索赔 次数为2 时，索赔记录为( 0 ，2 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，o ) 所对应费率分别为1 8 1 5 4 3 1 ， 1 7 1 7 4 2 4 ，1 8 1 5 4 3 1 ，按发生的概率进行加权平均得到费率值为：1 7 6 5 9 而按 独立情形算得费率为2 2 8 1 2 1 ，仍大于非独立情形算得的保费 ( 2 2 8 1 2 卜1 7 6 5 9 ) 1 7 6 5 9 = 2 9 1 8 比第二种情形下的4 2 1 3 有所下降。 将相同总索赔次数的费率分别进行加权平均，以索赔次数为横轴，以费率为 纵轴做出曲线图，如下图： 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 图3 3 独立b m s 费率与非独立b m s 费率比较图 通过对比图3 2 与3 3 发现，两曲线的距离在进一步的缩小，相应的费率差 别也在进一步的缩小。 4 当参数为= 1 ，吃= 2 ，= o 0 1 ，口= 2 ，= 3 0 得到的索赔数据如下表： 表3 1 1 索赔数据表 由投保人第一年的索赔历史，运行m a t l a b 程序得到第二年的费率表如下： 1 9 中山大学硕：l 学位论文多险种奖惩系统的设计 表3 12 第二年的费率表( 非独立情形) j _ = ! ：王一 01 2345 如果按独立二元p o i s o n g a m 瑚a 情形考虑，得到各参数估计值如下： 反= 1 ，幺= 1 9 8 9 6 1 ，舀= 1 8 7 4 9 ，夕= 2 7 8 3 8 2 0 按照费率公式厶僻) 2 1 。黼芳2 l 。面躺可以计算 得到第二年的费率表： 表3 1 3 第二年的费率表( 按独立考虑) 观察表3 一1 2 发现对于相同的总索赔次数，保费变异程度降低，都比较接近。 而通过与表3 1 3 对比可以发现，按独立情形得到的保费仍然高于按非独立情形 得到的保费，但是高出的比例下降很多还以总索赔次数为2 进行考虑， ( 1 8 8 5 4 2 1 7 6 5 5 ) 1 7 6 5 5 = 6 7 9 。 将相同总索赔次数的费率分别进行加权平均，以索赔次数为横轴，以费率为 纵轴做出曲线图，如下图： 中山大学硕士学位论文 多险种奖惩系统的设计 图3 4 独立b m s 费率与非独立酬s 费率比较图 观察图3 - 4 发现，独立b m s 的费率比非独立情形的费率仅高出少许。两者 的差别进一步缩小。 5 当参数口i = 1 ，= 2 ，鸭= o 0 0 l ，口= 2 ，= 3 0 得到的索赔数据表： 表3 1 4 索赔数据表 由投保人第一年的索赔记录，通过m a t l a b 程序可以得到第二年的费率表如下： 表3 15 第二年的费率表( 非独立情形) ol2345 2 l 中山人学硕卜学位论文多险种奖惩系统的设计 如果按独立情形计算，按照上面同样的方法对参数进行估计，得到的参数估 计值如下：盘i = 1 ，幺= 1 9 9 9 2 5 ，在= 1 9 6 3 1 8 ，夕= 2 9 3 9 3 3 l 。 按照费率公式，：僻) 2 1 0 0 褊芳2 1 。面躺可以计算 得到第二年的费率表： 表3 16 第二年的费率表( 按独立考虑) 通过观察表表3 1 5 可以发现相同总索赔次数的保险费变异程度非常小，相同 总索赔次数的各保险费波动不差过1 。再与表3 1 6 对比可以发现相同总索赔次数 的保险费独立与非独立算得的结果差别不大，但是独立情形算得保险费率比非独 立时偏高。还以总索赔次数为2 时为例，( 1 8 3 1 8 4 1 8 1 6 9 6 ) 1 8 1 6 9 6 = o 8 2 。 将相同总索赔次数的费率分别进行加权平均，以索赔次数为横轴，以费率为 纵轴做出曲线图，如下图： 索赔次数 图3 5 独立b m s 费率与非独立b m s 费率比较图 观察图3 5 ，发现两条曲线几乎重合，因而独立b m s 与非独立b m s 费率几 乎相等。 列联表的z = 以( 军莩苦一1 ) ，p e a r s 。n 列联系数名= 。应用 中山大学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 m a t l a b 程序计算各组数据的p e a r s o n 列联系数( 程序见附录) 。 p 2 0 3 0 3 1 5 2 ，眨，2 0 1 1 1 2 9 1 ，石p 2 0 0 7 8 8 4 7 ，= i ，。o 0 5 2 1 4 4 ，吩p 2 0 0 4 7 6 4 4 。 我们可以发现随着的减小，名也随之减小。以的取值为x 轴，以名的取 值为y 轴，绘制曲线图，如下图： 一 i r 。 ，- - 一 ： 一，一一一一一- 一一一一一一。 ： ! ，一一一一一一_ 一一。 ! ，一7 。 二 ： fi i 图3 6 列联系数与的关系图 从图3 6 可以看出列联系数和基本上具有线性关系，鸭可以作为五与置 相关程度的度量。 对于具有相同索总赔次数的非独立两变量最优b m s 的费率，我们以发生的 概率为权重进行加权平均，得到的费率与独立两变量最优b m s 费率进行比较， 在不同相关程度下，以高出的费率比例为纵轴，以索赔次数为横轴绘制成下图： 索赔次数 图3 7 独立b m s 费率比非独立阴s 费率高出的比率 2 3 中山人学硕士学位论文多险种奖惩系统的设计 结论： 通过上面的分析可以得到，独立b m s 计算得到的保费均高于非独立b m s 的保费，且相关程度越高，费率高出的比例越大。从上图就可以看出随着相关程 度的降低，独立两变量最优b m s 费率与非独立两变量最优b m s 差别减小，当 = o 0 4 7 6 4 4 时两者的费率几乎相等。在保险实务中可以根据相关程度的大小来 决定采用相应的b m s ，独立两变量最优b m s 具有费率级别有限，易于操作的优 点，当相关程度很低时可以采用独立情形下最优b m s 。 非独立混合p o i s s o n g a m m a 最优b m s 费率关于主对角线呈对称分布，对于 相同的总索赔次数的费率，越靠近对角线越低，具有相同的总索赔次数，但是费 率却有所不同，主要是相关风险的影响，越靠近对角线的，风险较小，例如索赔 次数为( 4 ，o ) 的与索赔次数为( 2 ，2 ) 的，显然后者风险较小，因而对应的费率较小。 风险相关程度越高，费率差别越大。相关程度越低，费率差别越小。当相关程度 为0 时，具有相同总索赔次数的费率趋于一致，即为独立情形下的b m s 费率。 3 2 模拟研究与实例分析 3 2 1 模拟研究 模拟产生服从二元混合p o i s s o n g a m m a 分布的二元数组，因为五无条件边 际分布为负二项分布凇以，_ ) ，可以先产生五随机数，再利用条件分布 口l + 鸭+