（应用数学专业论文）p滞后型脉冲泛函微分系统的稳定性研究.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。掘我所知，除了文中特别如以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 域撰写过的研究成果，乜不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 必的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 水研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：j 含扑 导师签字 学位论文版权使用授权书 小。j 札沦文作学完全丁觯堂焦确关保留、使用学位论文的规定，有权保目并向 l l , i 尔仃火1 j 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文破查阅和借阅。本人授权登 盟u ju ：瞄学位论义的全部或部分内容编入有关数掘库进行检索t 可以采用影印、缩印 jc k 拍“复制= r 段保存、汇编学位睑文。( 保密的学位论文在解密后适用岑授权书) # 1 扛沦义作者签名：0 舍羽一 导师签字 # 1 扛沦义作者签名：寸q ? 枷一 导师签手 铃：，：il n j ：2 0 0 岁年牟月l ，f 1 签字r 期：2 0 0 s 年年月j s 同 出奎堕堇盔堂亟堂焦鲨塞! p 一滞后型脉冲泛函微分系统的稳定性研究 王金环 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究p 滞后型脉冲泛函微分系统 l ( f ) = ，( t ，函) ，t t o ，t ， z ( t ) = z ( 一) + j 忙( t 一) ) t = 靠，k = 1 ，2 ， ( 1 ) i 亩b = 妒， 的稳定性和有界性 p 一滞后型脉冲泛函微分系统是一种十分重要的脉冲泛函微分系统，它包含了 许多有界滞量和无界滞量的脉冲泛函微分系统，在自然科学中有着广泛的应用背 景，因此具有重要的研究价值近两年刚刚建立p 一滞后型脉冲泛函微分系统的 基本理论【，而关于稳定性的结果还很少见，因此还有许多工作要做众所周知， l y a p u n o v 第二方法并结合r a z u m i k h i n 技巧是研究脉冲泛函微分系统稳定性的一 种行之有效的工具，在较少的限制下可以保证所需要的稳定性，应用起来比较方 便另外文【2 2 提出一种新的方法，即用多个含部分变元的l y a p u n o v 函数来研究 泛函微分系统的稳定性，其中每个l y a p u n o v 函数中只含有变量z 的部分变元，满 足较少的条件，构造起来比较容易基于上述思想，我们研究了系统( 1 ) 的稳定性 和有界性全文分为两章 在第一章中，我们先介绍了p 函数的概念，然后给出关于l y a p u n o t ：函数的 一个比较原理，在此原理的基础上得到了系统( 1 ) 关于两个测度的稳定性、实际稳 定性的比较结果其次利用l y a p u n o v 函数并结合r a z u m i k h i n 技巧得到若干关于 两个测度的一致稳定、一致渐近稳定和实际稳定性的直接判定结果，并举例说明了 定理的实用性本章最后用两个l y a p u n o v 函数在较少限制条件下得到了系统( 1 ) 的( h 。，h 卜一致强实际稳定定理本章的结果改进并推广了以往有界滞量和无穷延 滞脉冲泛函微分系统的结果，应用起来更加广泛 在第二章中，我们主要用含部分变元的l y a p u n o v 函数和r a z u m i k h i n 技巧得 到了系统( 1 ) 的一致有界性和一致最终有界性定理在定理中我们减弱了对y 函 数导数条件的要求，不必要求y 函数沿系统( 1 ) 的解的d i n i 导数常负或定负，可 以减弱到导数为正，这样应用起来比较方便与以往不同的是，我们将这种含部分 些丕盟整盔堂堡主芏垡迨塞2 变元的l y a p u n o v 函数方法推广到两个测度上去，得到了系统( 1 ) 关于部分变元的 ( ，h ，) 一有界性定理，这方面的结果还很少见，本章最后给出了例子说明定理的 应用性 关键词：脉冲泛函微分系统，p 一滞后型，l y a p u n o v 函数，r a z u m i k h i n 技 巧，稳定性，有界性，两个测度， 分类号：0 1 7 5 2 1 坐丕咂堇丕堂塑主堂垡鲨皇 3 s t a b i l i t ys t u d yf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m sw i t hp - d e l a y w a n gj i n h n a n s c h o o lo fm a t h e m a t i c ms c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i ms y s l e l n sw i t hp d e l a ya sf o l l o w s ix t ( ) = ，( t ，i 。) ，t t o ，t 7 - k ， 2 ( ) = z ( t 一) + 如( z ( z 一) ) ，t = 7 ，k = 1 ，2 ， ( 1 ) k 邓 h n p u l s i v ef u n c t - i o n a ld i f f e i e n t i a ls y s t e m sw i t hp - d e l a ya r ev e r yi m p o r t a n ti m p u l s i v e f u n c l - i o n a ld i f f e le n l i a ls y s l ，e l l i sw h i c hc o n t a i nm a n yi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e n l sw i lhf i n i t ed e l a ya sw e l la sw i t hu n b o u n d e dd e l a ya n dh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n s i nl l & t u l es c i e n c e ，c h e r e f o r ei t i si m p o r t a n tt ob es t u d i e d i nt h el a s tt w oy e a r s t h eb a s i c th e m l yo nb n p u l s i v ef u n c t , i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hp - d e l a yi sj u s te s t a b l i s h e di s ) ，b u t l h e1 ) i ( ) i p 1 1 i e so fi t ss o h l t i o u si d , i es e h t o ms t u d i e d t h e r e f o l e ，w es t i l lh a v ei n l l c hw o r k t od oa sw ea l lk n o w i ti sa l le f f e l i v et o o lf o rl y a p u n o vf u n c t i o n sc o u p l e dw i t hr a z u m i k l f i nt e c h n i q u et oi n v e s t i g a t et h es 1 a b i l i t yf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f me n t i a ls y s t e m s i tc a l lg u a l g i l l 。e et i l es t a b i l i t yu n d e rl e s sr e s t r i c t i v ec o n d i t i o n sw h i c hc a nb ea p p l i e dm o r e c o n v e n i e n t l y i na d d i t i o n ，an e wa p p r o a c hi si n t r o d u c e di n 【2 2 ，t h a ti s ，t h es ta b i l i t yf o r f u n c li o n a ld l i f o r e n t i a ls y s t e m sc a nb ei n v e s t i g a t e db yt h em e t h o do fs e v e r a ll y a p u n o v f u n c t i o n sc o l l ts l u i n gp a r li m ( ：o i i l p o l l e t i t so fz ，w h e r ee v e r yl y a p u n o vf u n c t i o ns a t i s f i e s w e a k e rc o n d i t i o n sa n di se a s i e rt ob cc o n s t r u c t e db a s e do nt h ei d e a sa b o v e ，w es t u d yt h e s ta b i l i t ya n dt , i 、eb o u n d e d n e s sf o rs y s t e m ( 1 ) t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc b a p t e l o n e t w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no ft h ep f u n c t i o n t h e nw eg i v e s u ec o m p a r i s o nl e m m ao nl y a p u n o vf u n c t i o nf r o mw h i c hw eg e tt h ec o m p a r i s o nc r i t e r i a o ns t a b i l i t ya n dp r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s n r e so fs y s t e m ( 1 ) a n dw ea l s o g a i nt h ed i l e c f ，r e s u l t so fn n i f m + n ls t a b i l i t y , u n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dp r a c t i c a l s t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a q u i e sb yt h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dr a z u m i k h i n t e c l m i q u e a tt h es a m et i m e ，a , ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o l e l n s a t 1 a s t ，w ee s t a b l i s ht h ec r i t e r i ao n ( h o ，h ) 一u n i f o r m l ys t r o n g l yp r a c t i c a ls t a b i l i t y 山尔师范大学硕士学位论文 4 b yt w ol y a p u n o vf u n c t i o n sw h i c hs a t i s f yl e s sr e s t r i c t i v ec o n d i t i o n s t h er e s u l t si nt h i s d l a p t e ri m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m eo ft h ee a r l i e rf o u n d i n g so fi f d ew i t hf i n i t ed e l a y a n di n f i n i t ed e l a y ，t h e r e f o r et h ea p p l i c a t i o n s3 x em o r ee x t e n s i v e 1 1 1c h a p t e rt w o ，w es t u d yt h eh o u n d e d n e s so fs y s t e m ( 1 ) m a i n l yb yt h em e t h o d o fs e v e r a ll y a p u n o vf u n c t i o n sc o n t a i n i n gp a r t i a lc o m p o n e n t sc o u p l e dw i t hr a z u m i k h i n t e c h n i q u e t h ed e r i v a t i v eo fvf u n c t i o na l o n gt r a j e c t o r i e so fs y s t e m ( 1 ) i sn ol o n g e r r e q u i r e dt ob en o n p o s i t i v eo rn e g a t i v ed e f i n i t ea n dc a nb e w e a k e n e dt ob ep o s i t i v ew h i c h c a l lb ea p p l i e dm o r ec o n v e n i e n t l yd i f f e r e n tf r o me a r l i e rr e s u l t s ，w eg e n e r a l i z et h em e t h o d o fs e v e l a ll y a p u n o vf u n c t i o n sc o n t a i n i n gp a r t i a lc o n l _ p o n e n t st ot w om e a s u r e sa n ds e tu p t h e ( f 。o j ，h j ) - b o u n d e d n e s st h e o ；e r o so np a r t i a lc o m p o n e n t sw h i c ha r es e l d e mk n o w na t p r e s e n t f i n a l l yw eg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o n so fo u lr e s u l t s k e y w o r d s ： i m p u l s i v ef u n c t i o n md i f f e r e n t i a ls y s t e m ，p - d e l a y ，l y a p n n o vf u n c l i o n 、 r a z u m i k h i nt e c h n i q u e s t a h i l i t y ， b o u n d e d n e s s ，t w om e a s u r e s c i a s s l 6 c a t i o n ：( ) 1 7 52 1 坐垄堕踅盔堂亟主堂垡逭窒 5 第一章p 一滞后型脉冲泛函微分系统的稳定性 1 1引言 在自然界中，许多事物的变化规律不仅依赖予当时的状态，还依赖于过去的状 态，并且还往往会带有瞬时突变现象，这些现象的数学模型可以用脉冲泛函微分系 统来描述在物理、生物、医学、人口动力学、控制论等领域，脉冲泛函微分系统 有着广泛的实际应用背景，因此对该系统的研究逐渐成为一个热点，但大都侧重于 对有界滞量脉冲泛函微分系统的研究 1 - - 4 , 7 , 1 1 - - l 6 】p 一滞后型脉冲泛函微分系统是 一种十分广泛的脉冲泛函微分系统，它包含了许多有界滞量和无界滞量的脉冲泛 函微分系统，更具有一般性近两年刚刚建立p 一滞后型脉冲泛函微分系统的基本 理论 而关于稳定性的结果还很少见在研究脉冲泛函微分系统稳定性时，运用 l 州；p l o 第二方法并结合r a z u m i k h i n 技巧是非常有效的，在较少的限制下可以 保证所需要的稳定性本文将这一方法应用到p 一滞后型脉冲泛函微分系统中，得 到若干关于两个测度的稳定性、实际稳定性的结果本章的结果改进并推广了以往 有界滞量和无穷延滞脉冲泛函微分系统的结果，应用起来更加广泛 5 l2 预备知识 考虑如下脉冲泛函微分系统 i 。( t ) = ，( t a ) t t o ， ，：( t ) = “t 一) 1 - 7 k ( z ( t 一) ) ，t = - r k ，k = 1 ，2 ， ( 1 ) l “。：协 其中z7 表示在 处的右导数， i t ( = z ( p ( ，日) ) ，o 【_ ，) o l ：r 0 i c 。( p ) = m ( ，( op ) ) = ( p ( p ) 、o 【一7 ，0 1 p ( f ，0 ) 称为p 一函数，它满足下列条件： ( t ) p ( f ，p ) 是定义在【o ，- o o ) 【一r 、0 1 上的实值连续函数； ( i i ) 对固定的，p ( f ，0 ) 关于0 严格单增； ( i i i ) p ( t ，0 ) = t ，t 件o ，+ o o ) ； ( i v ) p ( t ，o ) 一p ( e ，w ) a 0 ，t 【f 0 1 + 。) ， 为某一常数； ( ”) p ( ，一r ) 关于t 非减 些查垣亟盔堂亟圭堂垡鲨塞 对于系统( 1 ) ，我们有如下假设： ( h 】) 对所有k n = 1 ，2 ，) ，i k ( x ) c ( r ”，r ”) ，且0 t i r 2 o ， q 2 = h g 【r + ，r 十】：h ( 0 ) = 0 ，h ( s ) 0 ，s 、 0 ) ， 5 1 3 = 妒c r + ，r + 】：妒( s ) 8 ，8 o ) ， s ( h ，p ) = ( ，z ) ：h ( t ，o ) o ，j 妒c k ，使当h o ( 1 ，。) 0 及函数b k ，使当h ( t ，z ) 0 及函数口6k ，使当h ( 3 ( t ，。) 0 ，t o r + ，存在6 = j ( o ，e 】 o ，使当h o ( t o ，咿) 0 ，存在 1 1 = = t ( t o ，f ) 0 ，使当h o ( t o ，妒) 6 时有h ( t ，z ( t ) ) e ，t t o + t ( i v ) ( h o ，7 t ) 一一致吸引的：若( ) 中d 和丁都与t o 无关； ( t 1 ) ( o ，f n 卜渐近稳定的：若( i ) 和( 撕) 同时成立； 泓) ( o ，) 一一致渐近稳定的：若( 。曲和( i 。) 同时成立 注1 当h o ( t ，妒) = l f 纠l ，h o ( ，f ) = h ( t ，z ) = h 时，定义1 2 5 可转化为系统( 1 】 的一般意义下的稳定性定义 注2 适当选取上述定义中的舻，h o ，h 可以得到其它相应的稳定性定义。从而 将多种稳定性统起来，如轨道稳定性，部分稳定性，不变集的稳定性等， 坐壅哽塾盔芏塑主堂焦望塞 8 1 3p 一滞后型脉冲泛函微分系统关于两个测度的稳定性 在本节中，我们利用l y a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧给出p 一滞后型脉 冲泛函微分系统关于两个测度的稳定性、一致稳定性、一致渐近稳定性定理首先 给出一个引理，并由引理得到一个比较结果 引理1 3 1 假设 ( i ) v ：防( 如，一r ) ，十o 。) r “- m ，v ， n ，对于系统( 1 ) 的任意解。( t ) = x ( t ，t o ，妒) ，当y ( s ，z ( s ) ) v ( t ，z ( ) ) ，p ( t ，一r ) s8 茎t ，t t o 时有 d + v ( t ，( t ) ) ( t ，v ( t ，。( t ) ) ) ，t t k ； ( 祝) 对每一个n ，存在函数讥n l ，且饥非减，使得 v ( 仉，z + i k b ) ) 墨讪女( y ( t f ，茹) ) ； ( ) 设7 ，( o ) = r ( 1 1 o ，u o ) 是系统 lu ( ) = ( t ，u ) ， t 2 t o 7 女， u ( h ) = 饥( “( 百) ) ，k n ， ( 13 1 ) 1 “( 亡0 ) = u 。o 在+ 。) 上的最大解 则当 订1 a x v ( s ，z ( s ) ) u o 时有 p 【t o ，- r ) 三5 三t o v ( t ，。( ) ) sr ( t ，t o ，u o ) ，t o 证明：设z ( n = ：e ( ，o o ，妒) 是系统( 1 ) 的任意锯为方便，我们不妨设0 曼o f l ( 矿) ( 1 3 3 ) 由”0 知r i ( t ) 单调不减，由t 的取法，当s t o ，矿】时有 y ( s ，z ( s ) ) 至t 1 b ) r 1 0 + ) = 矿( r ，z ( + ) ) ( 13 4 ) 坐查崾燕盔堂墅箬焦监整垒 若p ( 一r ) t o ，则当s 协【六一r ) ，c 0 ) 时有 v o ，( s ) ) su o 墨r 1 ( 矿) = 、，【r ，( r ) ) 结合( 】3 4 ) 式得v ( s ，z ( s ) ) 矿( 曩。( 矿) ) ，s 【p ( t r ) ，州 由条件( t ) 得 d + y 【r ，z ( r ) ) t 工j ( r ，y ( r ，z ( r ) n = 叫( 矿，r l ( 矿) ) = ，l ( 广) ， 这与( 1 3 3 ) 矛盾，故( 1 3 ，2 ) 成立 由条件( 乱) 有 y 【t i c ( r f ) 十“( z ( r f ) ) ) 妒l ( v ( r f ，$ ( ，f ) ) ) 妒l ( r l ( 丁f ，t o ，“o ) ) = i ( n 、如，“o ) 圭1 ， v ( t ，z ( t ) ) 茎n ( t ) sr 1 ( r f ) s 妒】( r 1 ( t f ) ) = 】，t 【o o ，7 1 ) 若p ( ，1 ，一r ) 则当t i p ( r l ，一r ) ，幻) 时有v ( t ，。( t ) ) s “os 7 l 故有州，絮；m 。( 。) ) 吩 类似( 1 32 ) 的证明。我们有 v ( t ，。( t ) ) sr 2 ( t ，f 1 ，r 1 ) 7 l ，q ) ， 其中，、2 ( t 、，、1 ) 是系统( 1 3 1 ) 在h ，也) 上过( r l ，r 1 ) 的最大解 以此类推，可得 v ( t ，z ( 啪( t ，h 1 c k i ) t 【 r k - 1 ，他) ， 其中“( t ，“t ，k 一1 ) 是系统( 1 31 1 在i t k - t ，t k ) 上的过“m1 ) 的最大解 ( r l ( t ，t o 、u o ) ， 【l o ，n ) ， lr z ( t 、n 、t 1 ) ，t 【t 1 n ) ， 令“。枷1 一 1 ( t ，瓢一r t t ) ，z 【一1 ，) ， 【 昆然，( t 、7 0 。z 。) 是系统( 13 1 ) 的最大解，且有 y ( ，z ( t ) ) sr ( t ，t o ，o ) ，t o 口 注：文献1 5 】已给出类似本引理不带脉冲的有关结果，本引理是文献【5 】中引理 3 1 的推广 下面我们由引理1 31 先给出一个比较结果 定理1 a 1 设 ( i ) ，一，h r ， 0 比，l 一致好； 堂壅堕毽盔堂塑主堂焦丝塞! q ( 。 ) v 口o ，v 是h 一定正，驴一渐小的； ( 溉) 对系统( 1 ) 的任意解x ( t ) = x ( t ，t o ，妒) ，当v ( s ，。( s ) ) sv ( t ，z ( t ) ) ，p ( t ，一r ) s $ 5 ，t 芝t o 时有 d + v ( t ，o ( ) ) sw ( t ，v ( t ，z 0 ) ) ) ，t 7 - k ，( t ，z ( t ) ) s ( h ，p ) ， 其中 的定义同引理1 3 1 ； ( , t v ) v ( r k ，m + k ( z ) ) 币t ( y 【r f ，z ) ) ，( f f ，) ，( 7 k ，z + i k ( z ) ) s ( h ，p ) ，n ， 其中讥的定义同引理1 3 ，1 ； ( u ) 存在o p o p ，使当( t 一，z ) s ( h ，p o ) 时有( t ，。+ f k ( z ) ) s ( h ，p ) ，女n 则由系统( 1 31 ) 的零解的稳定性或一致稳定性可推出系统( 1 ) 相应的( h o ， ) 一稳定 性质 证明：设系统( 1 3 1 ) 的零鼹一致稳定，下证系统( 1 ) ( h o ，h ) 一致稳定， 由v ( t 3 ) 是 一定正的，存在0 口 0 ，o k ，使得 v ( t ，z ) 墨口( o ( ，。：) ) ，( t ，。) s ( h o ， ) ( 1 36 ) 设v0 ( e o ，3d 1 = 6 l ( e ) ? ) ( e ) ，使当0 曼t t 0sd l 时有 u ( t ，t o ，u 。) 0 ，使得 h ( t ，z ) 墨q o o ( 胪( ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h o ，d o ) 取如。胁絮。sc 。m z ( s ) ) ，0 6 m i l 慨1 ，础口) ，使8 ( 6 ) 6 1 没i o ( t n 妒) 6 ，则h o p ( o ，s 1 、妒( s ) ) sh o ( t o ，妒) 6 ，s 卜f ，0 3 ， 胃、h ( p ( t o ，5 ) ，f ( p ( o ，s ) ) ) 妒o ( d ) o - ，s 一r ，0 1 ( 注意当s 1 ，0 l 时有。( p ( o o ，s ) ) = 妒( s ) ) 由( 1 3 6 ) 有 v ( s ，$ 如) ) s 口( o 扣，z 扣) ) ) sa ( h o ( t o ，妒) ) n ( j ) d 1 ，p ( t o ，一r ) sss t o ， 故有1 i o 5 1 由( 1 3 5 ) ，( 1 3 ，7 ) 得 b ( h ( t ，z ( ) ) ) 墨y ( t ，。( t ) ) d o 6 ( ) p ( o ，一r ) t t o ， 坐查! ! 堇盔堂堡圭堂焦垒塞 ! ! 因此 ( t ，茁( ) ) e ，t 【p ( o ，一r ) ，o 卜 下证对系统( 1 ) 的任意解z ( ) = z ( t ，纠，当h o ( o ，妒) d 时有 h ( t ，o ( ) ) ，t2 o 否则，存在系统( 1 ) 的某个满足h o ( t o ，妒) o ：“s 扩 + 1 ( 某个k ) ，使得 h ( t + ，z ( 矿) ) e ，h ( t ，。( t ) ) e ，t 【t o ，7 - k ) 由于0 p o ，由条件( u ) 知h ( r k ，# ( 丁主) ) = h h ，z ( c - ) + k ( z ( r f ) ) ) p 这样存在t o ：7 k t os 使得e 墨h ( t o ，z ( o ) ) p 由条件( i i i ) ，( 抽) 及引理1 3 1 得 y ( f ，z ( t ) ) r ( t ，t o ，u o ) ，t 【t o ，t o 】， 其中，( t o ，“o ) 是系统( 1 31 ) 的最大解 由( 135 ) ，( 1 3 7 ) 得 6 ( e ) sb ( h ( t o ，z ( t o ) ) ) sv ( t o ，z ( t o ) ) o ，妒o k ( i i ) v ：b ( o ，一r ) ，+ o 。) r “- 只，v 咖，满足 b ( h ( t ，2 ) ) v ( t ，o ) ，( t ，o ) s ( h ，p ) ， y ( ，z ) s 口( 0 0 ，。) ) ，0 ，x ) s ( o ，如) ， 其中o ，b k ，妒o ( 6 0 ) o ； ( i v ) y ( ，z + ，k ( 。) ) v ( 百，z ) ，( 百，。) ，( 仉，z 十j k ( z ) ) s ( h ，p ) ，k ； ( ) 存在0 p o p 当h ( t 一，$ ) p o 时有h ( t ，z + i k ( z ) ) p ，t = o k ，k n 则系统( 1 ) 是( o ， ) 一一致稳定的 证明：设ve ：0 e p o ，取6 = d ( e ) 6 0 ，使n ( 6 ) 6 ( e ) ，妒o ( 6 ) e vt o r + ，不妨设t o 丁m “) ，m 为某个正整数，则当h o ( q o ) 6 时有 矿( p ( t o ，s ) ，妒( s ) ) h o ( t o ，妒) 占 5 0 ，s i r ，0 1 ( 1 3 8 ) 下证当h o ( t o ，p ) 6 时有 ( t ，z ( t ) ) e ，t 兰t o ， 其中x ( t ) = 。( ，t o ，妒) 是系统( 1 ) 的任意解 否则，存在系统( 1 ) 的满足h o ( t o ，妒) t o ，使 h ( t 1 ，。( 1 ) ) e ，h ( t ，z m ) e ，t o 墨t t 1 ( 13 9 ) 记k i t ) = = v ( t ，。( ) ) ，首先由条件( i i ) 及( 1 3 8 ) 得 v ( t ) n ( 九o ( ，z ( f ) ) ) 缸( 占) 6 ( e ) ，产( o ，一77 ) t t o 下证 v ( t ) 6 ( e ) ，t o t 墨t 1 ( 13l o ) 反证，否则考虑下面两种情况： ( ) j + ( o ，t t 】，使t o t + 7 - m ，满足v ( + ) b ( ) ，这样由y ( t ) 在【t o ，q - l l t ) 上的连 续性，存在f ( o o ，纠，使 v ( f ) = 6 ( e ) ，v ( t ) 0 但由f 的选择有 v ( s ) v ( 订 p ( y ( n ) ，p ( i ，一r ) 5ss f ， 且 ( i ，j ( i ) ) e p 由条件( m ) 得d 一矿( f ) s0 ，矛盾。 ( b ) jt ，( t l 】，使t m + t 7 - m + + l ( 某个k ) ，使得 v ( t + ) b ( e ) ，v ( t ) b ( e ) ，t o 曼t r m + k 由条件( 曲) 知 v ( n 。+ 七) 矿( 吒+ ) 6 ( e ) ， 些壅埂堇盔堂堡圭堂堡堡塞 1 3 故t + + k ，从而存在f ( t r n + k ，州，使 y ( ) = 6 ( ) ，v ( t ) y ( ) ，t o 曼 i 类似( a ) 的证明同样得矛盾，故( 1 3 1 0 ) 成立 另一方面，由于h c q - ，z ) e p o ，由条件( ) 得h ( h ，z ( t 1 ) ) p b 0 ( t 1 ，z ( t 1 ) ) s ( h ，p ) ，故有 v u l ，$ ( t 1 ) ) 三b ( h ( q ，z ( 0 1 ) ) ) b ( e ) ， 矛盾，故系统( 1 ) ( h o ， ) 一一致稳定 口 定理1 3 3 若将定理1 3 2 中的条件( i v ) 改为 ( i v + ) v ( t k ，十“( z ) ) s ( 1 + b k ) v ( i i ，z ) ，( r f ，) ，( y k ，+ 女( z ) ) s ( h ，p ) ，n ， 其中b 女0 ，主b k o o ；其它条件不变，则仍得系统( 1 ) ( o ， ) 一一致稳定 证明：记肼：嚣( 1 十) ，由登b o o 知1 m o 。 设ve ( 0 ，p n ) ，取6 = 6 ( e ) 南，使凹。( d ) b d ，伽f d ) f vt o r + ，仍设t o i t r r 【一l ，t n 。) ，则当h o ( t o ，妒) 6 时有( 1 3 8 ) 成立 要证当 o ( t o ，l p ) 6 时有h ( t ，( t ) ) e t o 反证，否则有( 13 9 ) 成立 记t ) = y ( t ，a ：( ) ) ，下证 v ( t ) m 。( 6 ) ，te 【t o ，1 1 考虑两种情况： 情况1 若t l ( t o ，r 。) ，则v ( o 在【t o ，t 1 上连续若( + ) 不成立，则存在i ( t o ：t 1 】 使 v ( 幻= ，( d ) ，y ( t ) 0 类似定理1 32 ( a ) 的证明可得矛盾 情况2 若“【t m 十，t r a + k + 1 ) ( 某个n ) 先证y ( ，) n ( 6 ) ，e 【t o ，_ n ) 类似情况l 易得结论 再由( i v ) 得 y ( 下r 。) s ( 1 + b m ) y ( 嚅) ( 1 + b m ) o ( 6 ) ， 即v ( ) ( 1 十6 。) o ( 6 ) ，t 【t o ，1 同理可证 y ( t ) ( 1 + b m + 耙) ( 1 + 6 m ) n ( 6 ) ，t 【t o ，7 h + k 十1 ) - 坐查匝整盔兰亟圭堂焦鲨皇 1 4 故有 v ( ) ( 1 + b m + k ) ( 1 十b m ) ( 6 ) 彳8 ( d ) 0 ，妒oek ； ( 乱z ) 对系统( 1 ) 的任意解z ( t ) = z ( t ，t o ，妒) ，当( t ，z ( t ) ) s ( h ，p ) ， v ( s ，c ( ) ) 0 ，妒o k ； ( 2 i ) v ：b ( 幻，一7 ，) ，+ ) r “r + ，v v o ，满足 b ( h ( t ，z ) ) 5v ( t ，z ) ，( t ，z ) s ( h ，p ) ， v ( t ，z ) 曼a ( h o ( ，z ) ) ，( t ，3 7 , ) s ( h o ，如) ， 其中n ，d k ，i p o ( 6 0 ) p ； ( i 扎) v ( r k ，z + i k ( z ) ) s ( 1 + b k ) y ( 巧，z ) ，( 百，z ) ，( n ，z 十“b ) ) es ( h ，p ) ，k n 、 o 。 其中b k 0 ，b k o ，m = 。矗( 1 十6 k ) ，h q 2 ，q n 2 ，且q ( s ) 非 一坐查盟芷盔堂亟主堂焦丝塞 l 增； ( u ) j0 p o p ，当h ( 一，z ) p o 时有h ( t ，z + k ( z 】) 0 使m n ( d ) = 6 ( p o ) ，对vt o r + ，当h o ( t o ，妒) d 时有 h