（光学专业论文）利用有限元法对光子晶体光纤基本特性的研究.pdf

摘要 摘要 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ：p c f ) 因其具有独特的传光特性，受 到各国科学家的关注，成为近年来光学领域中的新的研究热点。它是一种带有 缺陷的二维光子晶体结构，即光纤结构的横截面上周期性地分布着并沿光纤轴 向延伸的微气孔结构，因而使得光子晶体光纤具有传统光纤无法实现的新的传 光特性。空气孔的大小和分布直接影响着光纤的光学特性，如光传导模式、色 散特性等。 ， 本文利用有限元法对光子晶体光纤的基本特性进行了研究。根据有限元法 的基本理论，利用有限元软件a n s y s 和f e m l a b 建立了光子晶体光纤的理论 模型，并给出了具体的求解步骤和方法。基于所建立的模型，对光子晶体光纤 的电场分布、色散特性以及温度和压力位移形变特性进行了模拟和较为详细的 分析，并得到了一些有价值的结论，对未来光子晶体光纤的设计和传感应用有 极为重要的指导意义。 本文的主要内容包括以下几部分： 简要介绍了光子晶体光纤的基本特性和应用以及几种研究光子晶体光纤的 常用数值分析方法。 详细介绍了有限元分析方法。 利用有限元法建立了普通单模光纤的模型，将模拟结果与实际测得的参数 进行了对比，验证了有限元法计算和设计光纤的可靠性。随后建立了光子晶体 光纤的理论模型，并对其电场分布进行了模拟，与实验结果进行了比较，证明 所建立模型的正确性。 基于所建立的光子晶体光纤模型，对其色散特性进行了研究。分析了光子 晶体光纤结构参数的改变对其色散系数的影响。研究得到的色散曲线与色散值 与实验测得的实际数据非常相近，结果明显优于国内报道的大部分光子晶体光 纤的模拟结果。为光子晶体光纤的设计提供了理论依据。 研究了光子晶体光纤温度特性和压力位移形变特性。分析了其对外界温度 的敏感性，并研究了在有外界压力下，不同结构的光子晶体光纤位移形变的规 律。在该领域，国内只有一篇模拟仿真分析的报道，且结果有明显的错误，因 摘要 此本文的温度特性和横向应力特性的分析结果对未来光子晶体光纤传感研究有 很重要的指导意义。 关键词：光子晶体光纤有限元法色散温度特性压力位移形变 a b s t r a c t a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f ) h a v eb e e nc o n c e r n e db ys c i e n t i s t sb e c a u s eo ft h e i r u n i q u eo p t i c a lp r o p e r t i e s t h er e s e a r c hi nt h i sf i e l dh a sb e c o m et h en e wh o ts p o ti n r e c e n ty e a r s p c fh a st h et w o d i m e n s i o nd e f e c tp h o t o n i cc r y s t a ls t r u c t u r e ，t h a ti s ， a l o n gt h ea x i a le x t e n s i o n , t h em i c r o - p o r es t r u c t u r e sd i s t r i b u t ep e r i o d i c a l l yi nt h e t r a n s v e r s es u r f a c e ，w h i c hm a k e sp c fc a r la c h i e v en e wt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c s t h a tt r a d i t i o n a lf i b e r sc a nn o t t h es i z ea n dd i s t r i b u t i o no fa i r - h o l e sh a v ed i r e c t l y i m p a c to nt h eo p t i c a lp r o p e r t i e s ，s u c ha so p t i c a lt r a n s m i s s i o nm o d ea n dt h ed i s p e r s i o n e h a r a c t e r i s t i c i nt h i s p a p e r , f i n i t ee l e m e n tm e t h o di s u s e df o r r e s e a r c h i n g t h eb a s i c c h a r a c t e r i s t i c so fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e r b a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt h e o r y , t h es o f t w a r ea n s y sa n df e m l a ba r eu s e dt oe s t a b l i s ht h em o d e lo fp h o t o n i c c r y s t a lf i b e ra n dg i v et h es p e c i f i cs t e p sa n dm e t h o d b a s e do nt h em o d e l ，t h ee l e c t r i c f i e l dd i s t r i b u t i o n , d i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c ，a sw e l la st e m p e r a t u r ea n dc h a r a c t e ro f d i s p l a c e m e n tu n d e rp r e s s u r ea r er e s e a r c h e d d e t a i l e ds i m u l a t i o na n a l y s i sa n da n u m b e ro fv a l u a b l ec o n c l u s i o n sa r ef o u n d ，w h i c hh a v ei m p o r t a n ts e n s ef o rt h ed e s i g n a n da p p l i c a t i o no fs e n s i n go fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e ri nt h ef u t u r e t h i sa r t i c l ei n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e c t i o n s ： t h eb a s i cp r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n so fp c fa sw e l la ss e v e r a lc o m m o n l yu s e d n u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o dh a v eb e e nb r i e f l yi n t r o d u c e d d e t a i l so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a v eb e e ni n t r o d u c e d am o d e lo fs i n g l e m o d eo p t i cf i b e ri se s t a b l i s h e db yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i t ss i m u l a t i o nr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i mt h ea c t u a l p a r a m e t e r sm e a s u r e di n e x p e r i m e n t s ，w h i c hv e r i f i e st h er e l i a b i l i t yo ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oc a l c u l a t e a n dd e s i g nt h eo p t i c a lf i b e r s u b s e q u e n t l y , ap h o t o n i c c r y s t a lf i b e rm o d e l i s e s t a b l i s h e da n dt h ed i s t r i b u t i o no fe l e c t r i cf i e l di ss i m u l a t e d t h er e s u l t sa r ec o m p a r e d t ot h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t st op r o v et h ec o r r e c t n e s so ft h em o d e l b a s e do nt h ee s t a b l i s h e d p h o t o n i cc r y s t a l f i b e r m o d e l ，t h ed i s p e r s i o n c h a r a c t e r i s t i c sa r es t u d i e d t h er e l a t i o n so fs t r u c t u r a lp a r a m e t e r sa n dt h ec o e 伍c i e n t i i l o fd i s p e r s i o na r ea n a l y z e d t h ed i s p e r s i o nc u r v e sa r es i m i l a rt ot h ee x p e r i m e n t a ld a t a a n dt h er e s u l t sr e p o r t e di nt h i sa r t i c l ea r eb e t t e rt h a nm o s to ft h er e s u l t si nc h i n a , w h i c hg i v e nt h et h e o r e t i c a lb a s i so fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e rd e s i g n t h ep r o p e r t i e so ft e m p e r a t u r ea n dd e f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fd i s p l a c e m e n t u n d e r p r e s s u r ea r es t u d i e d t h es e n s i t i v i t yo f t h eo u t s i d et e m p e r a t u r ei sa n a l y z e d t h e l a wo fd e f o r m a t i o no fd i s p l a c e m e n ti nd i f f e r e n ts t r u c t u r e so fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e r u n d e ro u t s i d ep r e s s u r ei ss t u d i e d i nt h i sf i e l d ，o n l yo n es i m u l a t i o na r t i c l eh a sb e e n r e p o r t e di no u rc o u n t r y , b u tt h er e s u l t sh a v eo b v i o u se r r o r s t h e r e f o r e ，t h er e s u l t so f t h i sa r t i c l eh a v ev e r yi m p o r t a n tg u i d i n gs i g n i f i c a n tf o rt h er e s e a r c ho fp h o t o n l cc r y s t a l f i b e rs e n s o ri n t h ef u t u r e k e y w o r d s ：p h o t o n l cc r y s t a lf i b e r , f i n i t ed e m e n tm e t h o d ，d i s p e r s i o n , d e f o r m a t i o n d i s p l a c e m e n tu n d e rp r e s s u r e i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：磊素 加7 年j 月；1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 南蔫 沙罗年厂月；1 日 ， 第一章引言 第一章引言 2 l 世纪是信息的时代，信息科学和信息技术正以前所未有的速度向前发展。 信息技术的进步将加速科学技术的发展，对人类社会的进步与发展产生重大影 响。光纤作为一种重要的信息通道，对信息技术的发展发挥着极其重要的作用。 1 9 6 6 年，美籍华人高锟博士和霍克哈姆发表论文，预见了低损耗光纤能够 应用于通信，奠定了现代光纤通信的理论基础。1 9 7 0 年8 月，美国康宁公司首 次研制出损耗为2 0 d b k m 的光纤，从而拉开了光纤通信时代的序幕。与传统的 电通信相比，光纤通信具有损耗低、传输频带宽、容量大、体积小、重量轻、 抗电磁干扰等优点，自其出现以来发展非常迅速。而第1 根光子晶体光纤自1 9 9 6 年由r u s s e l l 等研制出后n 1 ，就受到了广泛关注，并成为光学与光电子学研究的 热点。 1 1 1 光子晶体 第一节光子晶体光纤概述 1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 在研究材料的辐射特性时暖1 ，j o h n 在研究光子局域态 随折射系数的变化关系时阳3 ，发现介电常数呈周期性变化的结构会使材料中光子 模的性质发生变化，从而分别提出了“光子晶体 的概念。光子晶体就是将不 同介电常数的介质材料在一维、二维或三维空间组成具有光波长量级的折射率 周期性变化的结构，使在其中传播的光子形成光子带隙，频率落在此带隙的光 子将被禁止在光子晶体中传播，当在光子晶体中引入缺陷使其周期性结构遭到 破坏时，光子带隙就形成了具有一定频宽的缺陷区，一些具有特定频率的光波 就可以在这个缺陷区传播，因此光子晶体可以控制光在其中的传播。 光子晶体按照折射率周期性变化的空间维度可以分为三类：如图1 1 所示。 一维光子晶体，折射率仅在空间一维呈周期性排列，光子禁带将出现在该方向 上，在其余二维上均匀；二维光子晶体，折射率在空间二维均呈周期性排列， 第三维上均匀，光子禁带将出现在二维平面内各个方向上；三维光子晶体，折 第一章引言 射率在空间三维均呈周期性排列光子禁带将出现在各个方向上 一 ( t ) 堆光子昌件：堆光予量件 = 三堆光子体 图l1 光子晶体的空间结构示意图 光子晶体概念的提出向人们展示了 术的发展和应用带来了新的生机与活力 方面的一次变革。 1 2 光子晶体光纤 种新的控制光子的机制，为光通信技 它的发现是光和电磁波传播控制技术 1 9 9 2 年，ps t j r u s s e l l 首次独到的提出了具有规则微结构的光子晶体光纤 的概念并在1 9 9 6 年的o f c 会议上首次发表了研究成果。同年，rs tj r u s s o l l 和他的组员jck n j 曲t 等人在英国南安普顿大学实验室成功制出世界上第一根 光子晶体光纤“1 。 光子晶体光纤( p c f ) 又称为多孔光纤( 1 - i f ) ，微结构光纤( m o f ) 。与传 统光纤不同，光子晶体光纤的包层含有沿轴向规则排列的空气孔，纤芯则是破 坏了包层周期性结构的缺陷。纤芯的缺陷可以用折射率高于包层的材料，也可 以用折射率低于包层的材料。 光子晶体光纤按照导光机制的不同可以分为两类：全内反射型光子晶体光 纤( t o t a l i n t 船n a l r e f l e c t i o n , t i r ) 和光子带隙型光子晶体光纤( p h o t o n i c b a n d g a p ， p b g ) 州。 图1 _ 2 所示为全内反射型光子晶体光纤。其结构类似于传统光纤，只是包 层结构发生了变化。从光纤横截面上看，包层周期性分布着六角形结构排列的 空气孔，纤芯位置缺失一个空气孔，是没有空气孔的二氧化硅棒。纤芯和包层 的实体部分材料相同，都是石英。传统光纤通过掺杂使得纤芯的折射率高于包 层的折射率，从而实现全内反射导光。全内反射型光子晶体光纤的导光机制与 2 第一章引言 传统光纤类似，其纤芯是实心，包层则是空气孔和熔石英构成的微结构，包层 的有效折射率低于纤芯的，能够满足全内反射条件，但这种光子晶体光纤具有 一些传统的全反射光纤所不具备的特性。这种新的导光机理被称为改进的全内 反射因此全内反射型光子晶体光纤也被称为折射率引导型光子晶体光纤( i n d e x g u i d i n g p c f ) 。 全内反射型光子晶体光纤不要求包层空气孔具有严格的周期性，也不要求 空气孔具有较大的直径，而且实现起来相对简单。虽然其导光机理与传统光纤 类似，研究方法也有相似之处，但其表现出了极为不同的性能。如果将纤芯尺 寸做得足够小，超短脉冲在传播过程中将与纤芯相互作用，表现出非常明显的 非线性现象， 翳翁兰善 ( a ) 光纤结构( b ) 光纤羲面c ) 结构爰导光示意圈 图12 改进的全内反射型光子晶体光纤结构及导光示意幽 许多非线性效应如光孤子的产生“1 ，拉曼散射”1 ，自陡峭现象”3 都已经被观察到。 这为研究非线性过程创造了一个良好的研究对象。目前绝大多数的研究和应用 都是基于此种光子晶体光纤的。 图1 3 为光子带隙型光子晶体光纤。它的包层也是由石英和空气二维光子 晶体构成，具有严格的间距、大小和周期性排布，但它作为传光通道的纤芯是 空气孔。它具有完全不同于全内反射的传光机制，它的纤芯引入了折射率低于 包层材料的空气孔缺陷，因此光的传输就不能运用全内反射原理，而必须完全 借助于光子禁带效应。最早提出光子晶体光纤概念的时候，就是希望利用光子 带隙效应来导光。在这里光是在空气孔中而非石英中传播。当光入射到纤芯一包 层界面上时会受到包层空气孔的强烈散射，对某一特定的波长和入射角，多重 散射产生干涉，使得光线又回到纤芯中传播即在满足布拉格条件的情况下， 3 南 第一章引言 会产生光子带隙，光线只能沿中心空气孔进行传播 0 圈一 ( a ) 光纤结构( b ) 光纤截面 ( o ) 结相五寻光示意田 图l3 光子带隙型光子品体光纤结构及导光示意图 从理论上讲，这种空心光纤结构克服了传统单模光纤传输光脉冲的缺陷， 由于光是在空气中传播，作为材料属性的吸收、色散以及非线性效应已经不复 存在，所以传输信号的损耗和失真都非常小。但由于其独特的导光机制，设计 和制造时要求较大的空气孔直径和较大的空气填充率，还要求空气孔的排列很 精准，因为制造工艺上的原固，这种结构目前被证实还存在较高的损耗并且传 播的带宽非常窄。 第二节光子昌体光纤的特性 普通光纤纤芯的主要材料是二氧化硅，即使尽量降低杂质吸收，但本征吸 收和瑞利散射也是很难避免的，因而光纤损耗总要存在。另外，虽然单模光纤 可以避免模式色散，结构色散也可以做得很低，但材料色散也是本征性的，它 的存在使光脉冲展宽，限制了传输速度。当采用波分复用技术在一根光纤中传 输多个信道时，随着光功率的增加，将出现交叉相位调制和四波混频等非线性 现象。虽然可以通过增加纤芯有效面积减小非线性的影响，但过大的通光孔径 又不能保证单模传输。这三个因素可以说是限制普通单模光纤向更大容量发展 难以逾越的障碍。 光子晶体光纤的出现使光纤的结构发生了革命性的变化，其优异性能主要 表现在几个方面：极宽的单梗传输频带，灵活的色散特性，易于实现的高双折 射特性等。 4 第一章引言 1 2 1 无截止单模特性 对于传统的阶跃型光纤，光纤光学中定义归一化频率n 町为 v = 2 a - p ( 刀f 一，z 2 2 ) m ( 1 - 1 ) 几 其中，m 和他分别为纤芯和包层的折射率，p 为芯层半径。当y 2 4 0 5 时， 光纤维持单模运转。也就是说传统光纤存在一个截止波长，入射波长大于截止 波长时，光纤为单模，入射波小于截止波长时，光纤中为多模。 在光子晶体光纤中，可定义类似与传统光纤的归一化频率，表达式为 = 孚( 刀三一刀拶2 m 2 ， 其中，z c d 和7 2 分别为光子晶体光纤纤芯折射率和包层等效折射率。p 定义 为等效芯层半径。刀是关于波长的函数，当波长减小时，波束截面收缩，光 波模式分布向中心区域集中，因此刀增大，2 厶和刀的差减小，从而与波 长减小相抵消，使得趋于定值。理论计算及实验表明，当包层空气孔参数满 足d a 0 2 时，光子晶体光纤具有单模特性 1 l 】。当这个比值增大时，短波方 向出现多模现象，但长波方向仍为单模。 光子晶体光纤这种无截止单模特性与光纤的绝对尺寸无关，无论其尺寸放 大或缩小，仍可保持单模传输，因此可以根据特定需要来设计光纤模场面积。 b a t h 大学已经研制出了工作在4 5 8 n m ，纤芯直径是2 3 t m 的单模光子晶体光纤 1 2 1 。这种光子晶体光纤的模场面积约为普通单模光纤的1 0 倍，当用于传输高功 率光时而无须担心出现非线性效应，还可以应用于光放大器和激光器。 1 2 2 灵活的色散特性 色散是指不同频率的电磁波以不同的相速度和群速度在介质中传播的物理 现象。在光纤传输理论中，由不同的物理机理引起的色散有两类：波长色散和 5 第一章引言 模式色散。 由于光子晶体是由同种材料制成，所以纤芯和包层可以做到完全的力学和 热学的匹配，使纤芯和包层的折射率差不会因为材料的不相容而受到限制。包 层的有效折射率是波长的函数，因而产生了零色散波长可调，近零超平坦色散， 高负色散等不同于传统光纤的色散特性。 为了克服色散对通信容量的限制，可以采用适当的技术补偿色散，使色散 导致的光信号传输畸变减至最小。补偿光纤的负色散值越大，所需光纤的长度 就越小。经过合理设计包层的几何结构，光子晶体光纤不但可以在单一波长下 得到很大的负色散值，而且在较宽的波长范围内也可以取得理想的色散效果。 b i r k s 等人研究表明，p c f 中可以实现- 2 0 0 0 p si ( n m k m ) 的色散n 3 1 ，这种光 纤能够对长度是其1 0 0 倍的光纤进行色散补偿。 光子晶体光纤的反常色散特性也为短波长光孤子的传输提供了可能性，使 得制作可见光波段的光孤子光纤激光器成为可能。目前在光子晶体光纤中已成 功产生了8 5 0 n m 光孤子n 4 1 5 3 ，将来波长还可能进一步降低。 1 2 3 高双折射特性n h 8 3 在传统的单模光纤中，弛。模有两种正交的偏振状态。其横向电场分别为 x 轴方向和y 轴方向，记为职工模和弛。y 模。如果光纤是理想的，即截面是标 准的同心圆，折射率分布也是理想轴对称的，则两个正交的模式相位常数完全 相等，传输特性完全一样。实际的光纤纤芯可能不再是标准的圆柱，纤芯折射 率也可能因内部残余应力、扭曲等因素的影响而非理想的轴对称分布。这种非 理想的状态导致模和模的相位常数不相等，从而导致两个正交的偏振状态模式 在传输过程中产生附加的相位差，这就是单模光纤中的双折射现象。 传统光纤取得双折射的方式主要有两种：一是使截面非圆形，二是使光纤 本身材料具有双折射。这两种方式在技术上都较难实现，且双折射特性较弱， 还受到扭转、弯曲、拉伸等外界影响。但对于光子晶体光纤来说，只需改变截 面的圆对称性就能实现高双折射。它的大小空气孔直径之比决定双折射的大小， 即使弯曲和形变，也能很好的保持传输光的偏振态。 6 第一章引言 第三节光子晶体光纤的应用 光子晶体光纤以其优异的光学性能受到了日益广泛的关注。在国外，光子晶 体光纤的研究已取得重要进展，并已开始实用化。作为一种新型的功能光纤， 光子晶体光纤的研究和应用主要集中在利用其大模场面积时的单模特性、高非 线性特性、色散特性和高双折射特性来设计制造各种光电器件，如光纤激光器、 放大器、光开关、滤波器、波长转换器及孤子发生器和光纤偏振器。 2 0 0 3 年德国的科研人员采用4 m 长大模场面积掺镱双包层光子晶体光纤制 成激光器，并获得了2 6 0 w 的单模输出功率n 钔。2 0 0 4 年，国内研究人员利用3 m 长大模场面积双包层掺镱光子晶体光纤制作的高功率光纤激光器的单模输出功 率达到了5 0 w 啪1 。s o u t h a m p t o n 的研究人员率先在光子晶体光纤中实现了r a m a n 放大，获得了4 2 d b 的r a m a n 增益口1 | 。n o r t h w e s t e r n 大学的研究小组率先在光子 晶体光纤中实现了参量放大，在6 1 m 的光子晶体光纤中实现了1 3 d b 的增益晗别。 特殊设计的光子晶体光纤的色散可达- 2 0 0 0 p s n m k m ，可以在1 0 0 n m 范围内补偿 相当与自身长度3 5 倍的常规光纤1 。这些成果无疑使光子晶体光纤器件向实际 应用的迈进做出了很大的贡献。 第四节研究光子晶体光纤常用的数值分析方法 在理论研究方面，光子晶体光纤的理论研究方法、理论模型是研究分析光 子晶体光纤的重要工具。随着光子晶体光纤研究的发展，各种理论分析方法、 理论模型也随之不断发展起来。目前主要的理论分析方法有：有效折射率法、 平面波法、正交函数展开法、光束传播法、时域有限差分法、有限元法、多极 法等等。 1 4 1 有效折射率法( e f f e c t i v ei n d e xm e t h o d ) 蝴1 在该方法中，首先求解光子晶体光纤基本空间填充模( f u n d a m e n t a l s p a c e f i l l i n gm o d e ) 的有效折射率，然后将微结构包层区等效为一个经合适选取有 效折射率的均匀媒介，从而将光子晶体光纤等效为包含一个纤芯和一个包层的 阶跃折射率光纤。 如图1 4 所示，将包层的六角形元胞等效为圆形元胞，保持空气面积占元 7 第一章引言 胞面积的比例不变，可得到元胞的等效外半径6 = 人( 芝) 1 彪，式中人为两相邻 z 万 图1 - 4 光子晶体光纤的六角形单元胞和等效圆形单元胞 目前使用的有效折射率法有标量有限折射率法( s e i m ) 和全矢量有效折射率 法( f v e i m ) 。这两种方法相比较而言，标量有效折射率法适用于弱波导近似的 情况。随着空气填充比的增加，纤芯和基空间填充模之间的折射率差增大，标 量有效折射率法的准确性将降低。 有效折射率方法概念清楚，计算简单，能够粗略的阐述光子晶体光纤的各 种基本概念及部分光学特性，但这种方法不能精确预测诸如色散或双折射等模 式特性，这些特性与光子晶体光纤的几何结构密切相关。 1 4 2 平面波方法砼蚴1 平面波方法是光子晶体理论研究中物理概念最明晰的方法之一，可有效求 解光子带隙型光子晶体光纤。其基本思想是将周期性的介电结构分布与模式场 均用平面波展开，再通过求解电磁场的麦克斯韦方程计算能带结构、带隙位置 及宽度。这种方法可以分析光子晶体光纤的模式特性，并可以得到缺陷模，即 光子晶体光纤中束缚模的模场与传播常数。为得到较精确的结果，该方法必须 在展开式中包含许多平面波数，使得计算效率较低。主要缺点是：一方面计算 量很大，对计算设备要求很高，另一方面在计算时需要根据所给定的传播常数 计算各种模式所对应的波长，且只能预先给出一个确定的材料折射率，不能够 同时考虑材料色散和波导色散，对于总色散只能用材料色散加波导色散的方法 解决。 1 4 3 正交函数展开法汹1 8 第一章引言 正交函数展开法是将光子晶体光纤的横向折射率和横向电场用完备正交函 数展开，如厄米一高丝函数，利用波动方程得到关于传输常数的本征方程，通过 求解本征方程，从而得到传输常数对应的横向电场分布，进而可研究光子晶体 光纤的色散、双折射等。由于正交函数法利用了模场在光子晶体光纤中的局域 性，其计算效率得到了很大的提高。使用这种方法的关键是对光子晶体光纤的 横向折射率的分布的表达，对光子晶体光纤的横向折射率刻划的越精细，结果 就越准确。但现有的模型用h e r m i t e g a s s i a n 函数表示光子晶体光纤的中心折射 率缺陷，在光子晶体光纤中空气孔径较小的情况下对横向折射率的表示有较高 的精度，但在空气孔径较大时，这种方法对中心折射率缺陷的描述会出现较大 的误差。另外，基函数、e 和e 展开时的特征参数以及展开式阶数的选择，都对 结果有影响，而且当阶数较高时，计算速度较慢。 1 4 4 时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 陟制 时域有限差分法是k s y e e 在1 9 6 6 年首先提出来的一种电磁场数值计算方 法。它的基本方法是：在光子晶体光纤中，根据直角坐标系下的y e e 氏网格， 可以得到圆柱坐标下时域有限差分算法的网格结构以及电磁场分量在网格上的 分布。在这种差分格式中，每个网格点上的电场( 或磁场) 分量仅与它相邻的 磁场( 或电场) 分量及上一时间段该点的场值有关。在每一时间段计算网格空 间中各点的电场和磁场分量，随着时间段的推进，可以直接模拟电磁波的传播 及其与物体的相互作用过程。 f d t d 作为较成熟的电磁领域的计算方法，能结合计算机技术处理十分复杂 的电磁问题，已被广泛应用于电磁波传播、微波理论和技术、光学技术等领域。 随着计算机领域的飞速发展，f d t d 方法在一定程度上克服了其计算量偏大的弱 点，简单直观、易于编程的特点日益凸显，具有广泛的适用性。 该方法在分析弱导光纤时很有效，可以大大节省计算机内存和计算时间。 采用这种方法可以直接在数值空间模拟电磁波的传播以及它与物体的相互作用 过程，有效的应用于设计具有特定色散和偏振特性的光子晶体光纤。 1 4 5 超格子法 超格子法将p c f 的横向介电常数表示为两种周期性结构的叠加，这两种周 期性结构分别用余弦函数和正弦函数来展开，同时将横向电场按厄米一高丝函数 9 第一章引言 分解展开。利用正交函数的性质，将全矢量波动方程转化为矩阵本征值问题， 可求得光子晶体光纤的模式特性、色散特性、偏振特性等。 1 4 6 积分方程法( v i e m ) 口盯 积分方程法的基础是m a x w d l 方程的积分形式。通过对场中源区的离散， 可获得相应的代数方程，并数值求解，然后再根据毕奥一萨伐定律求解场域中每 个点场量的数值。 该方法对线性问题有较高的精度，适合开域情况，并且仅需对场源及非线 性区进行剖分，因此剖分数据准备简单，代数方程求解工作量小，占用计算机 内存小。但对于非线性问题，该方法计算量非常大。 1 4 7 多极法( m u l t i p l em e t h o d ) 猢1 多极法是一种较为准确的分析方法。这种方法是从分析传统多芯光纤的多 极方法发展而来的。它将电场或磁场的纵向分量展开为多极坐标下的傅立叶一贝 塞尔( f o u r i e r - b e s s e l ) 函数，通过利用b e s s e l 函数的加法定理，以及电场与磁场横 纵分量之间的关系，应用边界条件，得到关于电场或磁场的纵向分量展开系数 的特征方程。通过求解特征方程就可以得到模式的传播常数与相应的模场展开 系数。多极法类似于其他展开式方法，不同的是使用了很多展开式，这样每一 个结构孔都基于一个展开式。模式可以由每个元素的展开式组合得出，调整展 开式系数可以与边界条件匹配。展开式的性质不需要人为周期，而且多极法可 以得出光纤的传播常数，从而计算得到光纤的束缚损耗。 多极法是在分析传统多芯光纤的多极公式的基础上发展起来的，这种方法 具有精确度高、收敛快、可以处理各种光纤几何参数变化的情况的特点。不过 该法一般只适用于圆形空气孔，并且对于我们不熟悉的光纤几何结构进行模式 分析很困难。 1 4 8 转移矩阵法m 1 转移矩阵法是将磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组转化成转 移矩阵形式。转移矩阵描述了在边界条件下每个格点的场强与相邻格点场强的 关系，整个晶体的转移矩阵等于各个转移矩阵的乘积，这样可以利用麦克斯韦 方程组将场从一个初始位置出发，逐层推到整个晶体空间，得到整个结构中的 场分布。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统和有损吸收介质特别有效。 】0 第一章引言 由于转移矩阵小，矩阵元少，计算量较平面波法大大降低，只与实空间格 点数的平方成正比，同时可以比较方便的得到透射率和反射率。但是对于复杂 结构及多维情况其分析会变得很复杂，而且该方法求解电磁场的分布较为麻烦， 效率不是很高。 1 4 9 有限元法哺” 有限元法将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限个小 区域，每个小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离 散化，由此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近 似数值。 有限元法有很多优点：对不规则边界形状的处理很方便；适合场域内函数 变化程度差别较大的情况，特别适合于场域内介质种类较多，交界形状复杂的 情况，交界条件会自动满足；软件具有很强的适应性；能够方便的处理非线性 介质特性；求解容易、收敛性好，占用计算机内存少。最近发展起来的利用曲 线边界节点有限元的全矢量有限元法则更加可以避免伪解，很精确的分析光子 晶体光纤的多种性质m ，。 第五节本论文的研究内容 本文主要研究以下几个方面的问题： 1 利用有限元软件建立光子晶体光纤的有限元分析模型； 2 利用建立的有限元模型对比研究了普通单模光纤及光子晶体光纤的电场模 式分布； 3 理论研究了全内反射型光子晶体光纤的色散特性，并分析了光子晶体光纤的 结构参数对其有效折射率及色散参数的影响，将研究结果与上海瀚宇公司提 供的实验测量数据进行了比较； 4 数值模拟并研究了光子晶体光纤的温度特性和横向应力特性。 论文研究中创新性的工作有：研究中利用了有限元软件a n s y s 和c o m s o l ， 同时辅助利用了工具m a t l a b ，研究过程中所编写的一些计算程序对后续研究有 一定的帮助。研究得到的色散曲线与色散值与实验测得的实际数据非常相近， 结果明显优于国内报道的大部分光子晶体光纤的模拟结果。另外在光子晶体光 纤温度特性及横向应力特性的研究方面，通过文献检索，国内只有一篇模拟仿 1 1 第一章引言 真分析的报道，且结果有明显的错误，因此本文的温度特性和横向应力特性的 分析结果对未来光子晶体光纤传感领域的发展具有重要的指导意义和应用价 值。 第六节本章小结 本章首先对光子晶体光纤的概念以及特性和应用进行了概括性的介绍。然 后较详细的介绍了几种研究光子晶体光纤的常用理论研究方法及其优缺点。最 后对本论文的研究内容进行了阐述。 1 2 第二章有限元分析法 第二章有限元分析法 有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理 为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中( 这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系) 。自从1 9 6 9 年以来， 某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法( g a l e r k i n ) 或最d - - 乘法等 同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类 物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。 有限单元法最早可上溯到2 0 世纪4 0 年代。c o u r a n t 第一次应用定义在三角 区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解s t v e n a n t 扭转问题。现代有限单 元法的第一个成功的尝试是在1 9 5 6 年，t u r n e r 、c l o u g h 等人在分析飞机结构时， 将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应 力问题的正确答案。1 9 6 0 年，c l o u g h 进一步处理了平面弹性问题，并第一次提 出了“有限单元法 ，使人们认识到它的功效。我国著名力学家，教育家徐芝纶 院士( 河海大学教授) 首次将有限元法引入我国，对它的应用起了很大的推动 作用。 随着计算机技术的发展，有限元的应用也以十分惊人的速度发展，现在有 限元法已被工程师和科学家们公认为是一种完善方便的分析工具，其应用领域 已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题；由静力平衡问题扩展到稳 定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、 粘塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁问题等连续 介质领域。 有限元法的基本思想是将一个连续域离散化为有限个单元并通过有限个结 点相连接的等效集合体，由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身 又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。有限元法利用在 每一个单元内假设的近似函数来分片的表示全求解域上待求的未知场函数，单 元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表示， 这样一来，一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点的数值就成为新 的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一 1 3 第二章有限元分析法 经求出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值， 从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸 的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将 不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。 第一节有限元基本计算过程 有限元法的基本过程可以归结为以下几步： ( 1 ) 各种参数的设置 确定实际问题所定义的区域、激励和边界条件。根据具体情况决定问题的 描述方程。利用几何结构及激励的对称性找出区域的对称轴，从而缩小计算区 域。这样做可以达到节省计算时间或提高计算精度的目的。 ( 2 ) 区域离散化 对整个计算区域离散化，即将区域用节点和有限元( 通常为三角形或矩形 单元) 表示。各个有限元的顶点由这些节点确定。有限元之间相互不重叠，整 个区域都被这些单元完全覆盖，节点和有限元都按次序编号。每个单元都对应 一个激励值和一种材料( 可用介电常数或磁导率来表示) 。 在任何有限元分析中，区域离散是最重要的一步，因为区域离散的方式将 影响计算机内存需求、计算时间和数值结果的精确度。对于一维区域，单元通 常是短直线段，它们连接起来组成原来的线域；对于二维区域，单元通常是小 三角形或者矩形，矩形单元最适合离散矩形区域，而三角形单元可以用来离散 不规则区域；在三维求解中，区域可以划分成四面体、三棱柱或矩形块，其中 四面体是最简单、最适合离散任意体积区域的单元。 因为区域离散过程完全可以同其他步骤分开，所以我们通常可以将它当作 预处理工作。 ( 3 ) 插值函数的选择 通常，插值函数可选择为一阶( 线性) 、二阶( 二次) 或者高阶多项式。相 比较而言，高阶多项式的精度较高，但通常得到的公式也比较复杂，因此广泛 采用的还是基本的线性插值。一旦选定了插值函数我们就能导出一个单元中未 知解的表达式。 ( 4 ) 有限元局部处理 1 4 第二章有限元分析法 对每个有限元依次进行局部处理，即根据特殊的形函数求得某个有限元的 局部激励矩阵和局部系数矩阵。在进行局部计算时，坐标都已由整体坐标转化 为局部坐标，同时由于形函数的选取，这些局部矩阵的各元素已可以用代数法 求出，并由相应有限元的几何坐标、激励和材料特性决定。 ( 5 ) 矩阵方程的建立 将某个单元的局部激励矩阵和局部系数矩阵的各个元素相加到整体激励矩 阵和整体系数矩阵中，从而形成求解节点势函数值的矩阵方程。在实际计算机 编程中，这一步与( 4 ) 有机结合，即处理某一单元的局部元素的同时把结果加到 整体元素之中，这样对每个有限元处理完时就立刻得到了整体矩阵。把由边界 条件确定的节点势函数值代入矩阵方程，可以消减方程的阶数，从而减少计算 量。 在这一步中我们可以使用里兹方法或迦辽金方法来导出方程组的公式。有 两类边界条件经常