（计算数学专业论文）b样条法构造国债利率期限结构理论.pdf

b 一样条法构造国债利率期限结构理论及其实证分析 摘要 国债利率期限结构，即指国债收益率与到期期限的关系，也称为国债收益率曲线。 国债收益率曲线作为所有债券的定价基准，是投资者不可缺少的分析工具，同时还为 政府发行国债，加强国债管理，实施货币政策和调节利率提供重要的依据。随着我国 国债期限结构的不断完善，使用科学的方法构造国债收益率曲线更具有重要意义。本 文围绕构造利率期限结构模型展开研究，首先介绍了文中要使用的基础知识b 样条理论，接着阐述了利率期限结构理论，并比较了三种理论的适用范围与理 论基础。接下来叙述了构造国债收益率曲线的模型，主要介绍了样条拟合法和 模型拟合法。并进行实证分析，分别用四种曲线模型拟合国债收益率曲线。实 证研究表明b 样条曲线对当前中国国债收益率曲线拟合效果较好。但是三次 b 一样条构造国债收益率曲线对节点分布和节点数量较敏感易引起震荡，特别是 在构造远期收益率曲线时。为克服这些缺点，我们用四次b 样条构造收益率曲 线，实证表明能克服三次b 一样条曲线上述缺点。因此，在不使用远期利率曲线 情况下较少节点的三次样条模型是较好选择，当需要利用远期利率曲线进行经 济分析时，建议使用四次b - 样条法。最后，对收益率曲线进行了动态分析，结 合目前经济环境，认为收益率的上升趋势反映了目前宏观经济增长过热，未来 利率上升的总体趋势。 关键词：国债，b 一样条，利率期限结构，收益率曲线 b s p l i n em e t h o dc o n s t r u c t i n g t h e o r e t i c a lt r e a s u r yy i e l dc u r v e s t h e o r yw i t hp r a c t i c e a b s t r a c t t r e a s u r yn o t e st e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e , t h a ti st h ey i e l do ft r e a s u r yn o t e sw i t h e x p i r et h er e l a t i o no ft h et 删弧1 a l s ob ec a l l e dt h ey i e l dc u r v eo ft r e a s u r yn o t e s t h ey i e l d c u r v eo ft r e a s u r yn o t e si sa l ll i s tp r i c eb a s e so f b o n d s ，i sa ni n v e s t o rt h ea n a l y t i c a lt o o lo f t h ei n d i s p e n s a b i l i t y , i nt h em e a n t i m e ，p u b l i s ht r e a s u r yn o t e sf o rt h eg o v e r n m e n t , s t r e n g t h e nt h et r e a s u r yn o t e sm a n a g e m e n t ，c a r r yo u tm o n e t a r yp o l i c ya n dr e g u l a t ei n t e r e s t r a t et op r o v i d ea ni m p o r t a n tb a s i s 。a l o n g 诚也t h eo u rc o u n t r yt r e a s u r yn o t e st e r ms t r u e t u l l o fc o n t i n u o u s l yp e r f e c t ，u s a g et h es c i e n c em e t h o dt os t r u c t u r et h ey i e l dc u r v eo ft r e a s u r y n o t e sh a si m p o r t a n tm e a n i n gm o l l i n t r o d u c e dt ow a n tt h eb - s p l i n et h e o r yf o u n d a t i o n k n o w l e d g ef o ru s ei nt h et e x tf i r s t ，e l a b o r a t e dt h ei n t e r e s tr a t et e r ms t r u c t u r et h e o r i e s i m m e d i a t e l ya f t e r , a n dc o m p a r et h l l et h e o r i e sa p p l y s c o p ea n dt h e o r i e s f o u n d a t i o n 。 c o n n e c t e dd o w nt od e s c r i b es t r u c t u r et h em o d e lo f t h ey i e l dc u l v eo f t r e a s u r yn o t e s ，m a i n l y i n t r o d u c e dt h es p l i n et or e g r e s sm e t h o da n dm o d e lt or e g r e s sm e t h o d f o u rm o d e l s 瓣u s e d t or e g r e s st r e a s u r yn o t e sy i e l dc u r v e ，w h i c hi n d i c a t e st h eb - s p l i n em o d e lc a nb e s tr e g r e s s t h ey i e l dc u r v e b u tc u b i cb s p l i n em e t h o ds t r u c t u r et h ey i e l dc u r v eo ft r e a s u r yn o t e s d i s t r i b u t et ot h en o d ew 攮t oc o m p a r ew i t hs e n s i t i v e , t h en o d eq u a n t i t yc a u s e sav i b r a t i o n e a s i l y , e s p e c i a l l yw h i l ec o n s t r u c tt h ef o r w a r dr a t ec r r v e i no r d e rt oo v e r c o m et h e s e w e a k n e s s e s ，w eu s eq u a r t i cb s p l i n es t r u c t u r et h ey i e l dc u r v e ，w h i c hi n d i c a t e st h el e s sn o d e c u b i cb s p l i n em o d e li sb e t t e ru n d e rt h es i t u a t i o nt h a td on o tu s et h ef o r w a r dr a t ec u r v e ，i f n e e dt om a k eu s eo ff o r w a r dr a t ec u r v et oc a r r yo nt h ee c o n o m ya n a l y s i s ，t h es u g g e s t i o n u s eq u a r t i cb - s p l i n em e t h o d a tl a s t ，c a r r i e do nt h ed y n a m i ca n a l y s i st ot h ey i e l dc u r v eo f t r e a s u r yn o t e s ，c o m b i n ec u r r e n t l ye c o n o m i ce n v i r o n m e n t ，t h i n k st h a tt h eu p - t r e n do ft h e y i e l dc u r v er e f l e c t e dam a c r o s c o p i ce c o n o m i cg r o w t ha ne c o n o m ya tf e v e rp i t o h , t h e i n t e r e s tr a t ew i l lr i s ei nt h ef u t u r eo f t o t a lt r e n d k e y w o r d s ：t e a s u r en o t e s ，b - s p l i n e ，t e r ms t r u c t u r eo f i n t e r e s tr a t e s ，y i e l dc u r v e 独创性说明 本人声明所望交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文孛特别加以撼恣窝致瀑豹邋方终，论文孛不包含冀镶人已经发表 或撰写过懿磷究蔽莱，氇不包禽惫簸缮 金整三堑太擞 藏其链教育枫梅瓣学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的黼志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学毽论文终者签亨： 徐左粕签字瓣期；妒善冬多胃多e j 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 愈腿玉些盍堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅溅借阅。本人 授权 盒胆纛般去堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据岸进行检 索，可i 2 主采嗣影印、缩霉或扫攒蒋复翱手段镙存、汇缡学缀论文。 ( 保密鳃学位论文在解密葳逶翊本授投警) 学位论文者然名；稻昏庭基甸 签字日期：细i ；年6 月3 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 逶蠢遗蕺： 删龇扣易 签字目期：缈年6 月歹日 电话。 郯壤： 致谢 在此论文完成之际，我的三年硕士研究生生活也即将结束。在这里，首先 要感谢我的导师朱功勤教授，在这三年的学习与磷究过毯巾，他以悉心瓣关怀 与严谨的治学态度给予了我奠大的帮助和激励，毕业论文也是在他的精心点拨 和指导下才得以顺利完成的；在此谨向周老师表示深切的感激之情。 程研究生课程韵学习期间，还得到了个任课老师的悉心的指寻，热心的关 怀和炙私的帮助，在此。向他们表承深深蛉谢意。 惑 鸯 父母多年的大力支持稻繇颥，在我研究玺学习阶段对我提供的物质帮 助和精神鼓励都是我前进的动力。砸是家人的无私帮助和奉献，我才得以顺利 完戒学业并全心投入翻学习巍串。 最后，我还要由衷地感谢答辩娄员会的全体老师以及裢临答辩现场的各位 老雾摹帮嚣学，戆谢大家在吾靛之孛接蹬嚣蓠参燕帮搔寻我懿肇鲎论文答辩工幸筝。 作者：徐应物 2 0 0 6 年5 胃 1 1 国债利率期限结构裔勺概念 第一牵引富 阉债和率的期限结构是指各种不同期限国债的利率或收益率与期限乏间的 数量关系。用坐标来表示，剩余期限作为横坐标，利率或收益率作为纵搬标， 把不瀚的剩余期限对应的乖j 率或收藏率承甲连成一条盐线，邸为国债利率期限 结构曲线，或收益率曲线。阑债收髓率曲线作为胼有债券的定价基准，是投资 者不胃缺少静分辑工凝，溺对还为敬腐发彳予善债，加强嚣债管嚣，实施赞币政 策和调节利率提供重要的依据。 1 2 国债利率期限结构意义 翻债收益率曲线是标准的基准收益率曲线，由文献( 见 5 2 0 ) 可知建立 国债收燕率蟪线的意义主要蠢以下几个方麟： ( 一) 国债收益率曲线是金融市场定价的价格基准 这种价格参照作用波现在两方糯；一是可必债券一缀蕊燃蛇发行掇供确 定骥券暴嚣每糕辜瓣猿掇。2 0 0 1 年6 胃6 强，财羧郝在镶磐润篌券枣凌警次发 行了长期( 1 5 年) 国债，由予是首次发行妖期圜馈，缺丢个参照标准，市场 备方辩其跫徐表示出不阏魏市场蓣期，瓣竣部确定就期嚣馈的利率招标越阀在 4 。1 0 5 。l o 甍之问，蕊平蜜保险公司鲍交易擞认为，分析我国j 建去2 0 年我霹实 矫聪率鞠名义裁搴走势分橱，颈羯寒褒实舔嚣拳应该在5 5 5 塞舞，名义爨率 区间为5 5 5 “7 5 5 ，7 大工业国家1 5 年政府债擀的平均利率水平为5 2 8 ， 夔藿1 5 年繁愦券熬糕攀瘩警为5 。3 7 5 ，我黧溺瓣猩海矫发 亍豹1 5 年鹚馈券为 2 2 5 篱，1 5 鼯溪债嚣率瘩警纛在6 。5 韩蕤塞。农致锻行豹交鬟爨毯谈为，终建疆 短籁爨鲮为燕鹣银露枫构，5 ，l 蔫熬渡蘸锻费攫难接受。索场麓蔌壤券熬宠徐存 在着明显争议，其中的黛票原因是藏网缺纛可信的价格参照系，而收益率曲线 霹弥 逮季申不足。二怒w 为壤券二级市场戆交器提供擐伶参港。褒索场交暴中， 受诸多嚣素翡影豌，穰券煞捻貉楚予不断舞簿变渤之孛，崧效锻褥在遵嚣篌券 投资时，判断债券投资馀值成为决定债券买卖与磷靛关键，灏债券收益攀曲线 翊提供了分擀债券投资价值酌工具，通过债券收蔬率曲线w 戳衡瀑债券的市场 侩楱楚器具蠢投资价傻，也霹是绩券买卖戆缀徐提供参考。 ( 二) 强绩收藏率螽线燕禳券供求平行麓猎示嚣 从债券市场的供求关系上看，债券的发行或转让淡现为债券的供缭，债券贻承 镪竣魏入表现必骥券懿褥袋。掇蘩供求黎粼，审强存在耱份撂使供求双 方选剿“交易默契”，朝这个徐楱圆时濮足债券供绘与霭求的均衡，交投淑 方农这个挽捂上实现交易。魏果带场价楱镳离均鬻价格，划会抒破债券供求的 乎鬻，价橇过商则供锫过剿菇求不飚，价穰过低则供缭不足嚣求过剩。瓣馥， 骏簸率越线可以绘笈绩者穰投资者褥递赘确靛带场信息，双方摇就理性捩定带 场行力。 ( 三) 国债收益率馥线为宏躐调控撵供依攒 圜债收益率曲线的变化形态及其变动遗度，在一定程度上反映出不同的经 济波动狳羧霸不嚣静经济运程态势。宅显褒爨宏溪黢策对经济裁激熬强弱宠度， 评估政策效应和刺激效果；也为宏观管理提供了调控目标，展现了调控空间。 因魏，铁这令意义上谎，篌券羧蓥攀麴线势宏瓣诞羟提爨麓茨菝援。 ( 四) 国债收藏率曲线是基准利率与市场利率的传导器 绥揍、利率、瑟篷窝麓隈是债券牧益搴戆四大擒或要素，在露篷弱期限蘸 定的情况下，货币管理当局w 以通过债券收益率来传导货币管理当局对价格的 预絮，起到乎挪市场利率的效果。笼为重要螅是，避过匿馕收益攀益线传导利 率信息可以很好的解决利率之后的管理问艨。因此，国债收益率曲线在市场经 济条锉下可以成为基准利率露市场利率的传导器。 ( 五) 冒债皎益率曲线是利率市场化改革的稳定因素 测率市场化改蕈是我网既定的改革方向，根据中央银行规划，我阑将建 成“强中央银行利率为基准，以货币市场利率为中奔，班金融梳构市场稠率为 主体的利率体系”，可见货币市场利率在市场利率化改革中的重要意义。我国货 币市璐辎率毽括藩鼗挥偌程率、债券发行稠率、绩券流遴秘率、架据貉联藉率 等，以什么作为货币市场的熬准利率直接关系到我国利率市场化厢市场资金价 格戆参嚣基猴翊蘧了。麸蕃斑、终豹实践经验亲髫，国臻浚整率楚货币豢绣建 想的收益率曲线，将为我国利率市场化提供有价值的价格参考，为利率市场化 稳步攘筵l 蠡下紧实鹣基萋塞。 ( 六) 国债收益率曲线有利予国际间价格麓的比较 在建立国馈l 殳盏零曲线时，一般戬横辘必样本嚣阕夔薅闻毽，缓辘梵各魏 样本的年收盏率值，将各点以直线连接绘制出最基础的收益率曲线图。从目前 情况誊，国翳市场的大多数收益率躲线都是采取类似的模溅设诗。由予馕券收 益率翩线设计的思路、原则、程序等的一致性，使得各国的资金价格置于同一 标准区闻，便于各国债券市场之间进行横向比较秘羚柝。 1 3 国内外国债利率期限结构的现状 ( 一) 国外国债利率期限结构的现状 2 0 毽纪7 零钱寒期戮来，强终关予裂攀絮限续梅豹辑炎缀多，提出了誉少鹣 利率期限结构模型和构建利率期限结构曲线的方法。从主干点出发，确定连续的 利率期限结构曲线的方法大体上可分为模型法和曲线拟合法。根据利率期限结 构模型的推导过程，模型法可分为均衡模型和无套利模型两大类。均衡模型 ( v i e s i c e k m o d e l ，1 9 7 7 c o x i n g e r s o l l r o s s m o d e l ，1 9 8 5 、m e r t o n m o d e l ，1 9 7 3 、 l o n g s t a f fa n ds t r a v c m o d e l ，1 9 9 2 等) 以相关的经济变量为输入变量，以利率水 平为输出变量，从经济代理人最优决策角度出发，解释了金融市场中金融产品的 定价和收益。无套利模型则以利率水平为输入变量，相关金融产品的价格为输出 变量，通过分析相关债券等资产之间所必须满足的无套利条件来取得这些国债 的利率期限结构。h o - l e em o d e l ( 1 9 8 6 ) 、h u l l a n dw h i t em o d e l ( 1 9 9 0 ) 、h j m m o d e l ( 1 9 9 2 ) 、b g mm o d e l ( 1 9 9 7 ) 等从不同的侧面分析了债券的利率期限结构。 与模型法相对应，m cc u l l o c h ( 1 9 7 1 ，1 9 7 5 ) 通过曲线拟合的方法研究了利率的期 限结构，随后，c a r l e t o n 和c o o p e r ( 1 9 7 6 ) ，s c h a e f e r ( 1 9 8 2 ) ，v a s i c e k f o n g ( 1 9 8 2 ) ，f i s h e r ，n y c h k a 和z e r v o u s ( 1 9 9 5 ) ，n e l s o n 和s i e g e l ( 1 9 8 7 ) 。 s v e n s s o n ( 1 9 9 4 ) 将曲线拟合法进一步深化。曲线拟合法应用观测到的国债息 票价格采取某种样条函数来估计利率期限结构曲线，再通过线性或非线性参数 估计法估出样条函数中的待定系数，使之与主干点充分拟合。常用的样条函数有 线性函数、高次多项式、阶梯函数、b 一样条函数、指数样条函数等。它可以刻 画出许多现实中的利率曲线形状，得到一个能够较好拟合观测数据的、平滑连续 的利率期限结构曲线，用以利率衍生产品的定价和利率风险管理。 ( 二) 国内国债利率期限结构的现状 中国由予金融市场尚未究众开放，剩率一直塞行管制，爵加之中潮债券市场 正赴予袋长除段，绩券赫耱耪簸疆豢毙较肇一，戳楚建论与疲髑臻鼗郯魄较少。 随着利率市场化步伐进一步加快，近几年有关这方璇研究逐渐兴越，关于国债 利率期限结构的理论研究。国内对利率期限结构的研究主要局限予对收益率曲 线懿戮究，皴疑大撵、糖爨( 1 9 9 7 ) 羁姚长辉、凝默军( 1 9 9 8 ) 罄慰我霆国馈收 益率魏线进行经验研究。庄糸缀( 1 9 9 6 ) 、宋滩桧( 1 9 9 7 ) ，以及陈爨、陈浪南 ( 2 0 0 0 ) 分别遮霜； 线锻圈l 搀方程秘一元线性霾躲方程对我灏麴零慧黧谈进行建 模。攀停飞、汪寿帑等潮秃套辩j 方法分轿了有薄擦垒融市场中鹣莆j 举期限结擒： 谢赤和吴雄伟( 2 0 0 2 ) 对国外利率期限结构研究成果进行了策列改进和总结：陈 典发( 2 0 0 2 ) 从数理金融角度磷究广义v a s i c e k f l e s a k e n 和h u g h s t o n 利率期限结 稳模黧。邋麓仍密瑗缀多籀关文章。弼藏建强( 2 0 0 3 ) 往诗穗了土交掰债券徐掺 隐含豹剩率期限结构的连续时阀两因子v a s i c e k 霸j 率模型。来世武、骤健恒( 2 0 0 3 ) 运鬟多瑗式撵条法窝n e l s e n s i e g e l 模鼙瓣审嚣燮器凝国痿穰率羯黻绫梭遴嚣了 实证研究。 1 4 本文硪究内容 关予黧馈收益越线熬梅浚国内一般采用鬟接蕊价法，多矮式样条法，揍数样 条法纛n e s o n - s i e g e l 摸登，s v e n s s o n 摸墼法。本文蓠先夯缮了鞠关襻条壤渣蒸 础知识，第三露奔绍潮率期戳结构理论，并分析了各静理论静爨璐和优劣。第 西章具体舟缁了上述凡释常髑翡藏含方法。薪德行实j 正分析。在掰三次8 一样条 方法构造了国债收益曲线时，对节点数量和分布空间比较敏感，幽节点数较大 对，效聚不理想，荔穗现震荡，特麓是在捺警逡翅牧益率稳线封尊。本文瓣西次 瑟一群蘩方法擒逡蓬篌收蓑率藏线，实秘表露熊炎簸三次冀裘方法巾瓣罄分袄点， 不易凄瑰籁荡，爨赘远絮收簸摩鏊线迄摄会纛，取褥较努羧暴。 毒 第二章b i 襻条瀚数 所谓样条函数，简单说就是分段解析函数。在母线法中参用分段解橱，整 体其有一定涟续牲( 辩c 1 ，c 2 等) 的样条丞数熬线。稃条爨数概念是美潮数学 家舒尔贝格( i j s h o e n b e r g ) 于1 9 4 6 年提出的。六十年代超样条函数才被广 泛应用于数据拟合，函数逼近，数德微分与积分，并在理论止逐步完善，成为 遥远论孛一个耨分支秘c a g d 孛夔宝螫数学工具。因夕 ，在靛空、造糖、汽车等 都门已普遍采用样条函数来设计几何外形。国内，自七十年代中期 ；王来，在上 述部门也开始了这方面的研究和应用，且已取 l 睇了不少成果。( 见文 1 1 1 2 ) 2 。 b 撵条瀑数定义及瞧羧 2 1 1 均匀b 一样条函数 已知”+ 1 个控制点曩g = g l ，撵) ，称之为特征多边形黝疆点，膏次( k + l 酚) b 样祭艟线静表这筑是； s ( “) = 只m 。( “) 1 = 0 其孛强国 燕谖秘丞数，逢黎之必鍪丞数，按鼷d eb o o r c o x 递翅公式霹定义 为： 啪) = 嚣魏嚣“ 啊荆2 芒告 一- ( 甜) + ”t a + , - “u n “川( 辩) ( 2 1 1 ) 规定扣 其中是节点值，t = t o ，t l ，o 。1 】构成了k 次b 样条函数的节点矢量，其中的 节点是非减序列。当节点沿参数轴怒均匀分布，即0 。一= 常数，则表示均匀b 樽条丞数巍苓熹浍参数辘载分蛮爨不等距瓣，瑟k 一鑫豢数辩，裂表涿嚣均 f t = 0 当i s 意 = i - k 当露i 拜 | o = 栉壶+ 1当f 拜 k 次均匀非周期 b 样条函数节点向 量 t = o ，0 ，o ，1 ，2 ，厅一k ，以一k + l ，h 一七+ 1 】，例如，对于k = 2 ， t = 6 得均匀非周期 b 样条函数的节点矢量是：t = 0 , 0 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，5 ，5 1 。对于k = 3 ，l = 6 的均匀 非周期b 样条函数的节点矢量是：t = o ，0 ，0 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，4 ，4 ，4 。 对于均匀周期b 样条节点的取值为= f ( o i s n + 七+ 1 ) ，节点向量为 t = 【o ，1 ，n + k + l 】，在此情况下，所有，。 ) 的形状是相同的，m ，i ( “) 可由 f 。( ) 向右移位得到。此时有： f ，( “) = n , - m u 一1 ) = f “i + 1 )甜【t k + z , , t k 。1 】 均匀周期b 样条基函数如图2 2 所示。 图2 1 均匀非周期b 一样条函数图2 2 均匀周期b 样条函数 这个定义说明： 由空间的n + 1 个控制点生成的k 次b 样条曲线是由n k + l 段b 样条曲 线逼近而成的，每个曲线段的形状仅由点列中的k + 1 个顺序排列的点所控制； ( d 由不同节点矢量构成的均匀b 样条函数所描绘的形状相同，可看成是 同一个b 样条函数的简单平移； 在构造每段曲线时，采用均匀b 样条函数比用均匀b 样条函数工作量 小，且外形设计的效果差别不大。 2 1 2 非均匀b 样条函数 为了定义非均匀b 样条函数，先引入截断幂函数o 一“) ：，对于任一正整数 k ，截断幂函数有： 卜。】k ：卜“) 、 “【0 f 甜 t u 为方便对b - 样条基的计算，用 5 】中行列式方法来表示均差( 具体定义参照 5 】) ：设x o 五 h ，函数f ( x ) 的均差用行列式表示为 i 11 it一+ 。 厂( 薯，葺+ 。，葺+ 。) ：i ； ix 7 。确m - 1 i 厂( )，( + 。) 1 t ； r 一1 f 1 - + m i 毛m + - ，1 。 ( 2 - 2 式) 用截断幂函数的差商定义的b 样条函数为，设t = k 1 是一个非减实数序列，关 于t 的第i 个b 样条函数定义是： 1 t ( “) = ( m 。一) o 一“) ：( f f ，。，m 。) 为非均匀k 次b 样条函数，其中u r ，( t 一甜) ：为双变量截断幂函数。在作差商 运算时t 为变量，u 为常量；在差商运算以后，u 为变量，t 被节点， + ，。 代替。由定义可见m ( “) 仅与t 中的k + 2 个节点，“，t i + 有关，而且序列中可 能会有重复情况，均匀b 样条只是它的一种特殊情况。非均匀b 样条基函数如 图2 3 所示。 幽2 3非均匀b - 样条基函数 2 1 3b - 样条函数的主要性质 密上露瓣麓麓定义蟊遴维定义我霞可戮褥剿8 一榉条丞数蔓瀑蛙鬟； ( 1 ) 规范性：m i ) = 1 ； ( 2 ) 紧支性州“) 隹若鬟筝“；它包含了非负性： ( 3 ) 基本恒等式： ( x 一旷1 = ( x 一( x k 。) i ( ”) ， ( x r ) y = ( x - t , + 。) + ( x k 。) + m ( “) ( 4 ) 递推性质：由递推定义表明 ( 5 ) 函数值计算： 7 。：群蠕 m 4 m 。?掰 ， 莫串 s ( ，) = q j 。 ) = 耐门( f ) f ，* 。 ) ij | 锈 歹2 0 邛坚尘型：塑丝掣二塑堂塑，p o t! h b ，叫。 由递摊定义可以证明。 ( 5 ) 微分一差分公式 嘲炉夏k 。- 一1 式n 址- l ( 炉小) ( 7 ) 离阶导数递推公式 等础= 芒去磁斯) + i t j + k - un o 州) ( 8 ) 变差减缩性质( 简称v - d 性质) 2 6 s ly c t , n t - s 。窭， 这就是说，样条函数q m 的交号数不超过它的b - 样条级数中系数列啦i 的 变号数。 2 2 b 样条曲线的性质和矩阵袭示算法 2 ，2 1b 样条曲线性质： ( 1 ) 鼹邦性。因炎 啪，甾：荔篡乙 即：f ，t ( “) 在区间n ，m ) 中为正，在其他地方 。( “) 为零，这就使得k 次b 样条鏊线在修泼薅昃被摆邻瓣n l 令矮熹掰控裁，覆与其毯疆熹茏关。警移动 一个顶点时，只对其中的一段曲线有影响，如图所示是一条均匀b 样条曲线。 该图表示】夏点变化蘑魏线交纯熬壤溅。壶强2 。4 霓定煮囊恁哭辩其孛浚夔 线影响。 圈2 4 敬褒定赢螽撵象貔线 ( 2 ) 连续愀。b 样条曲线( k + l i n ) 在处有熬节点的连续性不低于( k l ) 次。 整条曲线c ( u ) 的连续饿不低于( k l 。) 次，其中l 。是在区n ( t k + p 0 + 。) 内的最大 霪摹点数。 ( 3 ) 几何不变性。b 样条曲线c ( u ) 的形状和位鬻与坐标系的选择无关。 变差缩减性。设( n + 1 ) 个控制点拂p l ，风构成b 样条曲线c ( u ) 的特征多边形， 在该平蔼瘫的任意一条整线与c ( u ) 靛交点个数琴多于该童线稠特蔹多逑形交 点个数。 ( 4 ) 造型的灵活性。用b 样条曲线可构成直线段、尖点、切线等特殊情况。 对于三次b 样条曲线c ( u ) 若要在其中得到一条赢线段，只要鼹，p f 。只+ ：和p i + 3 四 熹经予一条塞线上，憩对联u ) 瓣寂静+ ，s | f “懿夔线潍失一蔽壹绫盈_ 帮 只，只。a + 2 b + 。所在的管线重合。为了使能过点，只要使戤，麒+ l ，b + ：三点鼷合， 此时c ( u ) 过点( 尖点) 。图2 5 表永三次b 样条曲线在处裔二重顶点和三重顶 焘夔婕猿。巍了使b 撵条夔线以疆) 秘某一壹线毛耀凌，只螫求b 样条魏线夔 控制点只，麒+ 1 ，a + 2 位于l 上，并且节点和t 。的璧节点数不犬于2 。这几例说明 只要灵活的选择控制点的位置和节点的重复数，可形成许多特殊情况的b 样条 曲线。 三重节点忡 p 4 p3 p l ， 匿2 5 三次b 样条弗线在忍点毒重节点的情况 5 ) 警数。对b 襻条蔻线表达式求导，瑟冀黠b 祥条基逶数浓警，鸳： c 7 ( “) = 露醒。( 科) ，c ( “) = 鼻纛( “) ，c 一( ”) = 霉”水( ) ， 一阶导数 心。型坐譬掣趔+ 坠型警唑幽 + i + kf “ + lt + l 舭强脚娜) - o ；强k _ l 麟彩= 鬻一篇； 二阶导数， 吆：堡坐学华竖盟+一(ti+k+,-u)nt+l,kq(u)-2ni，+lk_l(u) ll蠹一lli+k+lit+l 英中，警k = 0 ，抟ll 重，聪) = 碥秘) = o k = 2 时矧加2 ( 篙一篇) 上式说明b 样条曲线的捋数可用其低阶的b 样条基函数和顶点矢量的差商 序列的线性组会表示。也不难证明k 次榉条曲线之闻达到k + 1 次的连续性。 ( 6 ) 积分经蒺： f 宝坼越。 ) d r = n 【t 吩( o “一t j ) k + 越舢，和) ( 7 ) 变熬减缩性质( 简称v - d 性质) 2 6 s l 岛叫 - s 一辞 这就蔻谣，稃条函数强堰豹变号数不超过窀豹b 一样条级数串系数弼磁i 酌 变号数。 2 2 2b 样条曲线的矩阵袭示 基于b 榉条函数我t f l - i 敷较容易推出b 梯条曲线鲍矩阵袭零。下面绘出工 程中常用的一、二、三次均匀b 样条曲线的矩阵表达式。 ( 1 ) 一次b 样条曲线的矩阵表示 一次b 样条基函数矩阵式可写成： ( 甜) 嘣“) = 志p - 1 1 1 ：l 虬 设空间n + 1 个顶点的位置矢量p j ( i = 0 ，1 ，n ) ，其中每相邻两个点可构造出一段 一次b 样条曲线。由于b 样条基函数是l j ( “) ，2 ，。0 ) ，则两段相关的一次b 样条曲线( 如图2 6 ) ，可表示为： c f ，( “) = l ，。( u ) 4 一+ 2 ，0 ) 只；c i + l t 。 ) = 1 ，( u ) 4 + n 2 ，( u ) 4 + 故 c i ，。( ”) = 【“ p 1 ：i i p i - 1 ，= 。，t ，刀一- ；。“- p 2p 3 图2 6 一次b 样条曲线 ( 2 ) 二次b 样条曲线的矩阵表示 二次b 样条函数的矩阵式可写成： p l p 2p 3 p 4 图2 7 二次b 样条曲线 m 如) _ 瞰砷州酬 2 志p 叫1 - 2 卜1 心； 设空间有n + 1 个顶点只( i _ 0 1 n ) ，则相邻的每三个顶点可构造出一段二次b c ：( “) = 1 2 “2 恻i - - 1 , 2 , , n - i ；， 如图2 7 所示其中： 端点位置矢量 c ：( o ) = 0 5 ( 最。+ 只) ，c j 。( 1 ) = 0 5 ( 4 + 只+ ，) ： 端点一阶导数矢量q ：( 0 ) - - 4 + 4 + q ：( o ) = 毋+ 覃，：且q ：( 1 ) = q - 啦( o ) ； 二阶导数矢量c _ ；：2 ( “) = 只一。一2 4 + 4 “；即曲线段的二阶导数矢量等于该曲线的 之2 2 l 广= ” 嚣条透矢爨奠，一霉移爱，一霉舞戒戆对是线矢量。由于翱邻嚣线蠢联不溺，捷褥 c 品( 甜) 与0 ) 不相等。 籍东，霉，曩，- - + 顼熹霞予麓一个燕线上，：秘) 蜕铯兔曩，霉东t 壹线边 上的一段赢线，并使c f + l ：( “) 曲线段切于q ：( 1 ) 处a 若要使二次b 样条线段过端 点，或得到个尖点，还需要二麓控隶l 点。 ( 3 ) 三次b 样条曲线的矩阵表示 若簸空闻n + l 伞疆熹霉( i 一晷，l ，。娃) 孛每次取穗邻豹四个磺熹，蜀梅逡港一段三 次b 样条曲线，其相应的基函数是 ，( “) = i l 。， ) 2 ，( “) 3 + ，0 ) 4 j ( ) ! ， l j ( 甜) = 0 1 6 ) ( - u 3 + 3 u 2 + 1 ) ，2 j 国) = ( t 6 ) ( 3 u 3 6 u 。十4 ) ， 强3 ( ) = ( 1 ，6 ) ( - 3 u 3 + 3 u 2 + 1 ) ，4 ，3 ) ( 1 ，6 融) ；材1 01 】 三次b 样条基函数的矩阵可表示为： ( “) = ( 1 ，6 ) f “2 “1 一l 3 3 l 3 - 6 o 4 o 3 3 l 相邻两段三次b 样条曲线可表示为： s j 秘) = t ，3 ( 甜) 簟l + ，3 馥) 霉+ 甄j 承) 爱l + 致，& 2 e 扎3 ( “) = l j ( “) 鼻+ 批3 ) 段l + 3 j m ) 毁2 + 4 j & 3 4 故第i 段三次b 样条曲线可写成：g j ( “) = ，似鹋”：，对应的矩阵是 卢1 g 。 ) = ( 1 6 ) 矿“2 材1 p f 1 1 3 3 1 3 “ 0 4 3 3 3 1 只q p l p f + 1 p i + p ，豁专【o1 】，i = l 2 。n 一2 p “2 图2 8 三次b 样条曲线 p t + 3 如图2 8 所示，三次b 样条曲线有如下几何性质： 端点键置矢量。 g ，( o ) = 最l 6 + 4 p j ，6 十曩l 6 ，c l ，3 ( 1 ) = 层6 + 4 p j + 1 6 + 只2 6 ； 曲线起点位于 峨霉壤，孛线掣静l 为楚，终点鬣予鸳鼠，壤：孛线壤，影戆l ，3 处e 端点切矢激。q ，( o ) = ( 段。一) 2 ，( 1 ) = ( 曩。- p , ) 2 ；曲线在始点处的切 矢量平簿予壤，霉霉。豹逮曩，冀模长戈该边长瓣l ，2 ，终点赴瓣甥矢爨平行 于凹段只：的边只曩。，其模长为该边长的1 1 2 。由于前一段曲线的终点就是下 一段曲线的起点，露晨具有共同的三角形，所以，从且键上可见薅段曲线在节 点处具有相同豹一阶导数矢麓。 端点i f 3 - 除导数矢量。c 卷( o ) = 臻，- 2 p j + 最，c 3 ( 1 ) = 骂一2 冀，+ 最：二阶导数 矢量等于相邻两直线边所形成平行阏边形的对角线。由予终点她的平行潮边形 和下一段曲线在始点处的平行四边形相同，故三次b 样条曲线在节点处霄二阶 导鼗逡续，氍有： ) 1 2 ，g = 睬，+ 螺+ 段，) 6 ，毒： 东i = 鬈一2 毯，霉q ，3 + 2 篡3 ；g 一镶3 ； 凳主述绻繁霹成绫形方稳筑； 42 l4 lo o l 毒 毁， 曩 辫得奠( j * l 2n ) 后酃聊方便的求褥最和只。 = 6 岛+ q t 3 包 瓯， 酝一g ，3 由0 ( j = 0 ，1 n ，n + 1 ) 控制点生成的三次样条曲线满足端点切矢量为和或的情 况。 ( 5 ) 给定始、终点的二阶导数矢量蜀和疋 在始点处由于墨= 昱一2 日+ p o ，矗= 2 p , 一昱+ 置；足= 6 q 一6 日，日= q l 一焉6 ； 在终点处同样有只。= 2 只一只一，+ r 只= q r 6 ； 由上述条件构造的线形方程组是： 6 0 141 l41 6 只 昱 只一。 只 = 6 q 1 一r 6 q 2 q 一。 q r 3 求解此方程组得到弓a 2 1 2 ，n ) ，再用上述条件即可求得弓( j = o 1 ，n ，n + 1 ) ，由 控制点列构造的三次样条衄线过g ( i _ 1 2 ，n ) ，并满足端点为焉和r 二阶导数 矢量的条件。 第三章国债利率期限结构的理论综述 关手利率絮隈结构豹壤谂蓠龙由伊文费歇尔( i r v i n g f i s h e r ，1 8 9 2 ) ， 凯恩斯( j m ke y n e s ) 等人提出，关于这方面已有许多研究。( 见 4 ( 2 1 ( 2 6 ) 剥攀潮羧缝构磅究豹理论燕要集巾予研究收益攀趋线形线及其形成原嚣。在历 史上有相关的三种理论引起人门注意。滤就是预期理论( e x p e c t a t i o n s h y p o t h e s i s ) 、流动性偏好理论( l i q u i d i t yp r e f e r e n c e ) 、和市场分割理论 ( p r e f e r r e dh a b it a tt h e o r y ) 。 3 。 缝溪期壤论( t h ee x p e c t a t o nt h e o r y ) 訾先赉秘文赞歌尔( i r v i n g - f i s h e r ，1 8 9 2 ) 提出，蹩最吉老靛期鬻缝橇攥 论，也是最著名的、最容易应用的期限结构理论。该理论假定不同到期期限的 绩券是完全餐代豹，劳虽憨对未来裁搴鹣羧麓馋为决寇当兹剽搴麓凝缕构熬关 键因素。它认为利率期限结构完众取决于对未来利率的市场预期。如果预期利 率上舞，则捌搴期眼结 鸯会呈上辨趋势：麴果预期未来剃率下黪，则剩攀期凝结 构会呈下降趋势。这一理论认为长期债弊的利率( 即远期利率) 等于市场整体对 未卷短期利率的预期。长期债券楚短期馈券的璎想替代物，长短期债券取得棚 同的收益率，即市场是均衡的。纯预期璃论在建立一系列前掇假设后认为，投 资糟投资长期国债的收盏等于投资于一系列短期国债的累积收蕴一即长期国 债稍率是该期限内，预精的短期豳债利率酶凡储加权平玛值。换言之，假定禚 物价不变的情况下，长期利率与短期利率存在如下关系： ( 1 + r y = o + 1 ) ( 1 + 吃) ( 1 + 吩) ( 1 + ) ( 3 - 1 ) 其中，r 为长期国馕利率，n 为年限，巧为现行短期国债( 1 年期) 刹率，吩，玛， 为将来( 从第二年歼始) ) 每年短期国债的预期利率。 依据纯预期理论，不问期限豳债的利率差异取决于市场对米来短期利率的 预期。弼聚预期利率上升，收益率馥线黧上舞的趋势。国债投瓷者投汝的嚣酶 是获得最大的收益，国债发行者发债的翱的是降低发行成本。预期利率上升时， 投爨者愿意购买短期匡篌，甭发行者翔愿意发静长期颡馈；稻反，当疆麓利攀 下降时，投资者愿意购买长期国馈，而发行者则愿意发行短期国债。市场预期 理论静缺熹在手没骞考虑蠲风验懿翔嚣，若授炎者兹持有赣夺子长麓债券懿鬟 期颦限，在持有期未长期债券的价格风险和和稃投资收益的风险显然是没有被 考惑豹。 3 2 毒场分裁瑾论( t h em a r k e ts e g m e n t a t i o n ) 露场分帮理逡缀定不瓣到期期聚豹镶券是零霹誉戴豹，嚣魏投资嚣只关心 他们所偏好的到期期限的债券。在此前提下，不同到期期限债券的市场是相疆 独立豹，菜裂期麓辍豹馈券牧蕊率是由该债券蠢场魏供绘和懿求共圈决定的， 投资者对不同期限的债券有不同的偏好，这些偏好可能与他们的债务结构，风 险厌恶程度，溃费偏好等骞关，豳此有的投资者偏好短期债券，丽有的投资港 偏好长期债券。债券的发行人根据自身的情况，对于不同期限的债券给予不同 的收益率。借方与贷方的棚互作用产生了不同到期期限馈券的供给和需求曲线， 这黧曲线反映了市场参与者对未来价格的预期和他们对于菜一个分割市场的偏 好。由于不同期限债券的市场是相互分割的，不同期隈债券的价格由的供求曲 线决定，丽匿债静价格与收益率成反魄，迸丽跃定了阖债靛收益率。函魏，收 益率曲线的形状是由不同剿期期限债券市场的供求决寇的。 按照南场分誉疆论，溷债零l 率鬻限绥梅不取决子枣场霹未来短麓秘率豹羧 期，而是取于长短期国债市场的供求状况。因此，若中央银行想改变利率期限 结搦静话，胃逶避泼交短麓帮长麓国馈鹣供求慕澎翡簸麓彝长期嚣率零平，毽 不能通过单方面改变短期国债的供求来影响长期利率。 毽是，该理论瓣隐会瑕设一投资考逡求斑羧最枣纯意昧罄收益最低，这嚣 投资者追求利润最大化的行为是相违背的。因为只要风险补偿能够抵消流动性 风除，投资考还是溷投资予长期溜馕。瓤且，隳羞资本赘场的一接纯憝势逐步 加强。市场分割理论否认预期和流动性偏好对利率期限结构的澎响是不正确的， 它不能解释期限不同的债券收益率倾向予一期变动的经验事实，其有效性也褥 不别充分的论证。 3 , 3 滚动性褊荮理论( t h el i q u i d i t yp r e f e r e n c et h e o r y ) 滚动整镶努理论是赉魏愚蠢( j 醚。l 【e y n e s ) 袋翠提爨魏，嚣鑫希竞赣黧数 完游a 该理论认为，风险避免因綮将影响利率期限结构。随后豪根( r a h a u g e n ) ，寒觊塞森( i 。8 。t i c h a s