（运筹学与控制论专业论文）the+kth+lower+bases+of+primitive+nonpowerful+signed+digraphs.pdf

a b s t r a c t i nf l y o u ，j s h a o ，h s h a n ，b o u n do nt h eb a s e so fi r r e d u c i b l eg e n e r - a l i z e ds i g np a t t e r nm a t r i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l 4 2 7 ( 2 0 0 7 ) ，2 8 5 3 0 0 】， t h ea u t h o r se x t e n d e dt h ec o n c e p to ft h eb a s ef r o mp o w e r f u ls i g np a t t e r nm a t r i c e st on o n p o w e r f u li r r e d u c i b l es i g np a t t e r nm a t r i c e s r e c e n t l y , t h ek t h l o c a lb a s e sa n dt h ek t hu p p e rb a s e s ，w h i c ha r e2 e n e r a l i z a t i o n so ft h eb a s e ， o fp r i m i t i v en o r l p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h sw e r ei n t r o d u c e d i nt h i sp a p e r w ei n t r o d u c ean e wp a r a m e t e rc a l l e dt h ek t hl o w e rb a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h sa n do b t a i ns o m eb o u n d sf o ri t f o rs o m ec a s e s t h eb o u n d sw eo b t a i na r eb e s tp o s s i b l ea n dt h ee x t r e m a ls i g n e dd i g r a p h sa r e c h a r a c t e r i z e d r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r w es h o wt h a tt h e r ee x i s t “g a p s i nt h e k t hl o w e rb a s e ss e to fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h s k e y w o r d s ：k t hl o w e rb a s e ，s i g n e dd i g r a p h ，p r i m i t i v e ，n o n p o w e r f u l 2 c o n t e n t s 1 a b s t r a c t 1 2 i n t r o d u c t i o n 4 3 p r e l i m i n a r i e s 8 4 t h ek t hl o w e rb a s e 1 0 5 r e f e r e n c e s 1 8 6 a c k n o w l e d g e m e n t s 2 0 1i n t r o d u c t i o n a s i g np a r e r nm a t r i xi sam a t r i xe a c ho fw h o s ee n t r i e si s + 一o r0 f o ras q u a r e s i g np a t t e r nm a t r i xa ，n o t i c et h a ti nt h ec o m p u t a t i o n so ft h ee n t r i e so ft h ep o w e r s a 2 ( k = 1 ，2 ，) ，t h ea m b i g u o u s s i g nm a ya r i s ew h e nap o s i t i v es i g ni sa d d e dt o an e g a t i v es i g n s oan e ws y m b o l 撑h a sb e e ni n t r o d u c e dt od e n o t et h ea m b i g u o u s s i g n ( s e e 4 1 ) ，a n dw ec a l lam a t r i xw i t he n t r i e sf r o mt h es e tf = 0 ，+ ，一，样 a g e n e r a l i z e ds i g np a t t e r nm a t r i x a d d i t i o na n dm u l t i p l i c a t i o ni n v o l v i n gt h es y m b o l a r ed e f i n e da sf o l l o w s 。 ( 一) + ( + ) = ( + ) + ( 一) = 样；a + 舞= 撑+ a = 样( f o r a l la r ) ； 0 舟= 襻0 = 0 ；b 样= 挣b = # ( f o ，a l lb f o j ) f r o mn o wo nw ea s s u m et h a ta l lt h em a t r i xo p e r a t i o n sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r a r eo p e r a t i o n so ft h em a t r i c e so v e rt h es e tf a ( g e n e r a l i z e d ) s i g n e dd i g r a p hs ( 【1 2 ，13 1 ) i sa d i g r a p he a c ho fw h o s ea r c si s a s s i g n e das i g n + ，一( o r 柳aw a l kw i nsi sa s e q u e n c eo fa r c s ：e l ，e 2 ，吼 s u c ht h a tt h et e r m i n a lv e r t e xo fe ii st h es a m ea st h ei n i t i a lv e r t e xo fe f + lf o ri = 1 ，2 ，k 一1 t h en u m b e rki sc a l l e dt h el e n g t ho fw ，d e n o t e db yf ( ) t h e s i g no fw i ns ，d e n o t e db ys g n ( w ) ，i sd e f i n e dt ob e1 - i , 笠ls g n ( e i ) t h ed e f i n i t i o n s o fc l o s e dw a l k ，c y c l ea n dl o o pi nsa r et h eu s u a lo n e sf r o mg r a p ht h e o r y t h e i r l e n g t h sa n ds i g n sc a nb ed e f i n e da n a l o g o u s l y t w ow a l k sw la n dw ji nsi sc a l l e d ap a i ro fsssdw a l k s ，i ft h e yh a v et h es a m ei n i t i a lv e r t e x ，s a m et e r m i n a lv e r t e x a n ds a m el e n g t h ，b u tt h e yh a v ed i f f e r e n ts i g n s l e ta = ( a i j ) b eas q u a r e ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i xo fo r d e rn t h e a s s o c i a t e dd i g r a p hd 似) ( p o s s i b l yw i t hl o o p s ) o fai sd e f i n e dt ob et h ed i g r a p h w i t hv e r t e xs e tv = 1 ，2 ，nja n da r cs e te = ( t 力la i j 0 j t h ea s s o c i a t e d ( g e n e r a l i z e d ) s i g n e dd i g r a p hs ( a ) o fa i so b t a i n e df r o md ( a ) b ya s s i g n i n gt h e s i g no fa i jt oe a c ha r c ( f ，j ) i nd ( a ) c o n v e r s e l y , i fsi sa ( g e n e r a l i z e d ) s i g n e d d i g r a p h ，t h ea d ja c e n c y ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i xao fsc a nb ed e f i n e d c l e a r l y ，w eh a v e ( a 2 ) i j2 m ( f ，) s g n ( w ) ，w h e r ew k ( i ，j ) d e n o t e st h es e to f w a l k so fl e n g t hkf r o mv e r t e xit ov e r t e xji ns ( a ) d e f i n i t i o n1 1 l 【41 ) as q u a r e ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i xai sc a l l e dp o w e r f u li f e a c hp o w e ro f a c o n t a i n sn o 样e n t r y i ti se a s yt os e et h a tas i g np a t t e r nm a t r i xai sp o w e r f u li fa n do n l yi ft h e a s s o c i a t e ds i g n e dd i g r a p hs ( a ) c o n t a i n sn op a i r so fs s sdw a l k s 4 d e f i n i t i o n1 2 1 4 1 ) l e tab ea ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i xo f o r d e rna n d a ，a 2 ，a 3 ，易pt h es e q u e n c eo f p o w e r so f a s u p p o s ea 2 i st h ef i r s tp o w e rt h a t i sr e p e a t e di nt h es e q u e n c e n a m e l y , s u p p o s ezi st h el e a s tp o s i t i v ei n t e g e rs u c h t h a tt h e r ei sas m a l l e s tp o s i t i v ei n t e g e rps u c ht h a ta f = a f 们t h e n1i sc a l l e dt h e b a s eo f ad e n o t e db yz ( a ) ，a n dpi sc a l l e dt h ep e r i o do f ad e n o t e db yp 似) as q u a r e ( 0 ，1 ) 一m a t r i xai sp r i m i t i v ei fs o m ep o w e ra 2 0 ，a n dt h ei e a s t s u c hki sc a l l e dt h ep r i m i t i v ee x p o n e n to fa ，d e n o t e db ye x p ( a ) ( 9 】) f o ra ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i xa ，w eu s ei a lt od e n o t et h e ( 0 ，1 ) 一m a t r i xo b t a i n e d f r o mab yr e p l a c i n ge a c hn o n z e r oe n t r yb y1 as q u a r e ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r n m a t r i xai sc a l l e dp r i m i t i v ei fl a li sp r i m i t i v e ( 2 ，3 ，5 ，7 ，1 0 】) a l s ow ec o u l dd e f i n et h ec o r r e s p o n d i n gc o n c e p t sf o r ( g e n e r a l i z e d ) s i g n e dd i g r a p h s w es a ys ( a ) i sp r i m i t i v ei fai sp r i m i t i v e ，a n ds ( a ) i sp o w e r f u li fai sp o w e r f u l i tf o l l o w st h a t e x p ( s ) = e x p ( a ) = e x p ( i a d ，l ( s ) = l ( a ) a n dp ( s ) = p ( a ) p r o p o s i t i o n1 3 ( 1ll1 ) l e ta b eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g np a t t e r nm a t r i x ( 1 ) t h e r ei sa ni n t e g e rks u c ht h a tt h e r ee x i s t sa p a i ro f s s s dw a l k so f l e n g t h kf r o me a c hv e r t e xxt oe a c hv e r t e xyi ns 似) r 2 jt f t h e r ee x i s t sap a i ro f ss sd w a l k so f l e n g t hk f o me a c hv e r t e xxt oe a c h v e r t e x 弘t h e nt h e r ea l s oe x i s t sap a i ro f s s s dw a l k so f l e n g t hk + lf r o me a c h v e r t e xxt oe a c hv e r t e x yi ns ( a ) 3 jt h em i n i m a l s u c hk ( a s 汛1 1 ) ) i s j u s tl ( a 、) t h eb a s eo f s ( a ) am a t r i xw i 血a l le n t r i e se q u a lt o 舟i sd e n o t e db y 材l e tab eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u l ( g e n e r a l i z e d ) s i g np a t t e r nm a t r i x t h e nt h eb a s el ( a ) = m i n k la 2 = 群j j ， a n dt h ep e r i o dp ( a ) = l ( 【8 】) t oi n t r o d u c et h ek t hl o w e rb a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h s ， l e t sr e c a l ls o m ed e f i n i t i o n so fg e n e r a l i z e de x p o n e n t s ( 【l 】) l e tdb eap r i m i t i v ed i g r a p hw i t hv ( d ) = 1 ，2 ，n ) l e txsy ( d ) t h e n e x p ( d x ) i st h es m a l l e s ti n t e g e rms u c ht h a tf o re a c hv e r t e xio fd ，t h e r ee x i s t sa w a l kf r o ms o m ev e r t e xi nxt ofo fl e n g t hm d e f i n i t i o n1 4 ll ) l e tdb eap r i m i t i v ed i g r a p ho f o r d e rna n d1sk 冬n t h e n f ( d ，k ) ：= m i n e x p ( d ，x ) ix v ( d ) a n di s l = k a n d f ( d ，k ) ：= m a x e x p ( d ，x ) lx y ( d ) a n dl x l = k ) a r ec a l l e dt h ek t hl o w e r m u l t i e x p o n e n ta n d t h ek t hu p p e rm u l t i e x p o n e n to f nr e s p e c t i v e l y l e tsb eap r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho fo r d e rn t h eb a s ef r o m u v ( s ) t ov y ( s ) ，d e n o t e db yl s ( u ，v ) ，i sd e f i n e dt ob et h es m a l l e s ti n t e g e rf s u c ht h a tt h e r ei sap a i ro fs s s dw a l k so fl e n g t htf r o mut ovf o re a c hi n t e g e r f z t h eb a s ea tav e r t e x “y ( s ) ( 1 3 】) ，d e n o t e db yb ( “) ，i sd e f i n e dt ob et h e s m a l l e s ti n t e g e rzs u c ht h a tt h e r ei sap a i ro fs s sdw a l k s o fl e n g t htf r o mut ov f o re a c hv e r t e xv v ( s ) a n de a c hi n t e g e rt f i ti se a s yt os e et h a t s ( m ，v ) a n d l s ( u ) a r ew e l ld e f i n e d ，a n dl ( s ) = m a x u e v ( s ) l s ( u ) = m a x u ，y 岱) l s ( u ，v ) r e c e n t l y , t h eb a s eo fas i g np a t t e r nm a t r i xa t t r a c t sm o r ea n dm o r es t u d e n t s ， t h e r ea r em a n yp a p e r sd i s c u s s e dt h i sp r o b l e m i n2 0 0 6 ，b l i ua n dl y o us t u d i e d b o u n d so nt h eb a s eo fp r i m i t i v en e a r l yr e d u c i b l es i g np a t t e r nm a t r i c e s ，s o o nt h e b a s e so nt h el o c a lb a s e sa n dt h ek t hm u l t i gb a s ei n d e xo fn e a r l yr e d u c i b l es i g n p a t t e mm a t r i xw e r eo b t a i n e di n 【3 ，5 】i n2 0 0 7 ，l y b ua n dj s h a os t u d i e dt h e b o u n do ft h eb a s i so fi r r e d u c i b l eg e n e r a l i z e ds i g np a t t e r nm a t r i c e si n l l1 a n d i n2 0 0 8 b l i ua n dq l ie x t e n d e dt h ec o n c e p to ft h ek t hl o c a lb a s e so fp r i m i t i v e n o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h ，t h ed e f i n i t i o na n dm a i nr e s u l ta sf o l l o w s d e f i n i t i o n1 5l1 6 1 3 1 ) l e tsb ea p r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho f o f - d e rna n dl e t 七b ea ni n t e g e rw i t hl k 儿w ec h o o s et oo r d e rt h ev e r t i c e so f s i ns u c haw a yt h a tl s ( 1 ) l s ( 2 ) l s ( n ) t h e ni ( s ，幼= l s ( 动括c a l l e dt h e k t hl o c a lb a s eo f s t h e o r e m1 61 1 6 1 ) l e tsb eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho f o r d e rn ， 而，1 k 巩w eh a v e ： f _ ，j z ( s ，k ) 2 ( n 一1 ) 2 + k = 2 n 2 4 ，l + k + 2 ( 2 ) e q u a l i t y h o l d si n ( i ) i f a n do n l yi f t h eu n d e r l y i n gd i g r a p h o f si si s o m o r p h i c f d d l p j ，( s ，k ) 2 ( n 一1 ) 2 + k 一1i f a n do n l yi f t h eu n d e r l y i n gd i g r a p ho f s 西 i s o m o r p h i ct od 2w h o s et w oc y c l e so f l e n g t hn 一1h a v et h es a m es i g ni ns ( 4 ) f o re a c hi n t e g e rfw i t h2 n 2 5 n + 5 + k ， 2 n 2 4 n + k + 1 t h e r ei sn o p r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho f o r d e rnw i t hl ( s ，k ) = f f o ras u b s e tx v ( s ) w i t hf x i = k ( 1 k ，z ) ，w ed e f i n et h eb a s eo f x ( 【1 2 】) t ob et h el e a s ti n t e g e rps u c ht h a tf o re a c hv e r t e xv v ( s1t h e r ee x i s t sap a i ro f s s s dw a l k so fl e n g t hpf r o ms o m ev e a e xi nxt ov ，d e n o t e db yl s ( x ) p r e s e n t l y ，y s h a oa n dj s h e nd e f i n i t i o n st h ek t hu p p e rb a s eo fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p hi n 【12 t h ed e f i n i t i o na n d m a i nr e s u l ta sf o l l o w s d e f i n i t i o n1 7 ( 1 1 2 1 ) l e tsb eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho f o r d e r na n dl e tkb ea ni n t e g e rw i t hl k n t h e nt h ek t hu p p e rb a s eo fsi s l ( s ，k ) = m a x l l s ( x ) ixsv ( s ) a n dl x i = n 6 t h e o r e m1 8r 1 2 1 ) l e t1 足na n dsb eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e d d i g r a p ho fo r d e rn 6 t h e n ， f j l ( s ，k ) ( 2 n i i ：= ) ( ，l 1 ) + 1 f 2 j “s ，k ) = ( 2 n p ( ，l 一1 ) + li f a n do n l yi f t h eu n d e r l y i n gd i g r a p ho f si s i s o m o r p h i ct od 1 p j l ( 5 ，k ) = ( 2 n 一足) ( ，z 一1 ) i fa n do n l yi ft h eu n d e r l y i n gd i g r a p ho fsi s i s o m o r p h i ct od 2a n d t h et w oc y c l e so fl e n g t hn 一1h a v et h es a m es i g n n o ww ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ft h ek t hl o w e rb a s ea sf o l l o w sw h i c hi st h e n a t u r a le x t e n s i o no ft h ea b o v et w ok i n d so fb a s e s d e f i n i t i o n1 9l e tsb eap r i m i t i v e l e tkb ea ni n t e g e rw i t h1 k n m i n i s ( x ) lx 冬y ( s ) a n d i x i _ 料 n o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p ho fo r d e rna n d t h e nt h ek t hl o w e rb a s eo f si s 砂( s ，k ) = c l e a r l y , o ( s ，1 ) 缈( s ，n ) a n dl ( s ，1 ) k s ，1 ) t h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o no f a m b i g u o u si n d e x i sn e e d e di nt h i sp a p e r d e f i n i t i o n1 1 0r 1 1 1 jl e tsb eap r i m i t i v en o n - p o w e r f u ，s i g n e dd i g r a p h t h e n t h e “a m b i g u o u si n d e x ”巧s ，d e n o t e db y ，( s ) ，i sd e f i n e dt ob et h el e a s ti n t e g e r r s u c ht h a tt h e r ei sa p a i ro f s s sdw a l k so f l e n g t h ，i ns t h e “a m b i g u o u si n d e x ” f r o mv e r t e xu t ov e r t e xv ，d e n o t e db yr u v ，i sd e f i n e dt ob et h el e a s ti n t e g e rrs u c h t h a tt h e r ei sa p a i ro f s s s dw a l k so f l e n g t hr f r o mut ov s u p p o s ea l ，a ka r ep o s i t i v ei n t e g e r sa n dg c d ( a l ，a k ) = l ( g r e a t 。 e s tc o m m o nd i v i s o r ) d e f i n et h ef r o b e n i u ss e ts ( a l ，a k ) = r l a l + + r k a i 厂l ，r ka r en o n n e g a t i v ei n t e g e r s t h ef r o b e n i u sn u m b e r b ( a l ，一，鲰) i st h el e a s ti n t e g e r s u c ht h a tm s ( a l ，a k ) f o re a c hi n t e g e rm i tf o l l o w st h a t ( 口l ，口七) 一1 s ( a l ，a k ) i ti sa l s ow e l lk n o w nt h a ti f a ，ba r e r e l a t i v e l yp r i m ep o s i t i v ei n t e g e r s ，t h e n 妒( 口，b ) = ( a 一1 ) ( 易一1 ) i nt h i sp a p e r ，t h ek t hl o w e rb a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h s a r es t u d i e d s o m eb o u n d so nt h ek t hl o w e rb a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e d d i g r a p h sa r eo b t a i n e d ，a n dt h ee q u a l i t i e so ft h e s eb o u n d sa r ec h a r a c t e r i z e d w e a l s os h o wt h a tt h e r ee x i s t s “g a p s ”i nt h ek t hl o w e rb a s e ss e to fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h si ns o m ec a s e s r e m a r k1t h em a i nr e s u l t so f t h i sp a p e rh a v eb e e np u b l i s h e di nl i n e a ra l g e b r a a n di t sa p p l i c a t i o n s4 3 2 ( 2 0 i o j1 6 8 0 1 6 9 0 7 f o u n do nt h ed e f i n i t i o ni nt h i sp a p e r , t h ek t h1 0 c a lb a s e s t h ek t hu p p e rb a s e s a n dt h ek t h1 0 w e rb a s e s ，w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so ft h eb a s e o fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h sa r ei n t r o d u c e d f o rc o n v e n i e n c e ，t h e s et h r e et y p e so f b a s e sa r ec a l l e dg e n e r a l i z e db a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h s i n 【14 1 ，w es t u d i e ds o m es h a r pb o u n d sa n de x t r e m a ls i g n e dd i g r a p hf o rt h eg e n e r a l i z e db a s e so fp r i m i t i v en o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h sw i t hn o n z e r ot r a c e a n di n 2 0 0 9 ，b l i ua n ds c h e ny h u a n ge x t e n d e dt h eg e n e r a l i z e d 丁一b a s e so fp r i m i t i v e n o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h s s e ei n 1 5 2p r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c es o m en o t a t i o n sa n d p r o p e r t i e sw h i c hw en e e dt ou s e i nt h ep r e s e n t a t i o n sa n dp r o o f so fo u rm a i nr e s u l t s a ni m p o r t a n tc h a r a c t e r i z a t i o n f o rp r i m i t i v e n o n p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h si sg i v e na sf o l l o w s l e m m a2 alnl1 ) g si sa p r i m i t i v en o n - p o w e r f u ls i g n e dd i g r a p h , t h e nsc o n t a i n sa p a i ro f c y c l e sc 1a n dc 2 ( s a y , w i t hl e n g t hp la n dp 2 ，r e s p e c t i v e l y ) s a t i s f y i n g o n eo ft h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n s ： ( b 1 ) p li se v e n ，p 2i so d d , a n ds g n ( c d = - 1 ， 俾2 jb o t hp la n dp 2a r eo d d a n ds g n ( c 1 ) = - s g n ( c 2 ) f o rc o n v e n i e n c e ，w ec a l ls u c hap a i ro f c y c l e sc 1a n dc 2s a t i s f y i n g ( b1 ) o r 俾纠ad i s t i n g u i s h e dc y c l ep a i r t h e nt h ew a l k sw l = p 2 c 1a n dw 22p lc 2w i t h t h es a m el e n g t hp l p 2h a v ed i f f e r e n ts i g n s ：( s g n ( c 1 ) ) m = 一 ( s g n ( c 2 ) ) p 】 n 一1n 一2 f i g u r e1 n 一1 n 一2 3 l e td ib et h ed i g r a p hw i t ht h es e tv = il i n o fv e r t i c e sa n dt h es e t e = ( f ，i + 1 ) f1 i n 一1ju ( 圪，1 ) ，( n 一1 ，1 ) jo fa r c s l e td 2b et h ed i g r a p h w i t ht h es e tv = il1 i n lo fv e r t i c e sa n dt h es e te = “，i + 1 ) l1 i n 一1jt o ( ，z ，1 ) ，( n 一1 ，1 ) ，( ，l ，2 ) o f a r c s ( s e e f i g u r e1 ) l e m m a2 2 ( 【1 9 1 ) l e t n ，kb e p o s i t i v ei n t e g e r sw i t h1sk n t h e n f ( d t ，k ) = 1 + ( 2 n k 一2 ) 【( n 一1 ) k j 一【( ，l 一1 ) k j 2 k 8 l e m m a2 3 1 1 1 9 1 ) l e td b eap r i m i t i v ed i g r a p ho f o r d e rn ，a n dl e tsb et h e z p 聆g z 厶以掣c z p 。砌p n ，c 。，七， j ：戛咒一七一。， ：三丢兰：三：；： t h ef o l l o w i n gt w ol e m m a sa r eu