（光学专业论文）单模光波导受限衍射光束参量分析.pdf

福建师范人学理学硕上学位论文 福建师范大学学位论文使用授权声明 本人( 姓名) 胡盐题学号2 q q 鱼墨2 专业迸堂所呈交的论 文( 论文题目：单模光波导受限衍射光束参量分析) 是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果。本人了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交的学位论文并允许论文被查阅和借阅：学校可 以公布论文的全部或部分内容；学校可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 学位论文作者签名蛐指导教师签名垒鲤 签名日期z 芝幺。笸：笙 福建师范大学理学硕士学位论文 摘要 全光通信网是当前与未来发展的主要方向之一，光信号处理、光电子集成、光纤传感 器及传感系统等多种技术得到了迅速发展，并在很多领域中得到了广泛的应用，介质光波 导是这些器件和系统研究设计的基础。因此，本文研究了多量子阱光波导与单模光纤端面 衍射光束的特性及其光束参量，为介质光波导在集成光学器件中的应用提供理论支持和指 导。 在傍轴条件下，以对称结构的多量子阱光波导为研究对象，分析了在多量子阱光波导 衍射端面加上狭缝对出射光束进行限制的远场衍射场分布。计算出衍射光束的半值全角宽 度、振幅下降到1 尼的远场发散角、光束传输因子砰、近场模场半宽度、远场发散角分别 随狭缝半宽度变化的曲线。为了方便分析和计算，采用数线拟合的方法，拟合了半值全角 宽度、振幅下降到1 尼的远场发散角、近场模场半宽度各自随狭缝半宽度变化的曲线，计 算出拟合引起的桐对误薨评价拟合的糌确度。分别用半值全加宽度和扳幅下降到l f e 的 远场发散角分析了二阶矩法、微分算子法、匹配效率法三种高斯近似的合理性以及精确性。 基于波导端面出射光束的砰因子接近于1 ，提出对衍射远场的振幅分布高斯近似。采用最 大匹配效率法得到其高斯近似的远场发散角。 推导出单模光纤在圆孑乙限制下衍射光束远场的振幅分布，并基于此分析了衍射光束的 半值全角宽度、振幅下降到1 e 的远场发散角、光束传输因子、近场模场半宽度、远场发 散角分别随圆孔归一化半径变化的曲线，并拟合出各自随圆孔归一化半径的函数表达式， 计算出拟合引起的相对误差曲线，分析了拟合的精确度。采用衍射远场分布半值全角宽度 和振幅下降到1 e 的远场发散角分析了二阶矩法、微分算子法、匹配效率法三种高斯近似 的合理性和精确性， 基于单模光纤衍射远场分布解析函数表达式，分析了单模光纤衍射光束的束内功率为 5 0 和8 6 ，5 的远场发散角各自随光纤归一化频率变化的曲线，拟合出各自曲线的函数表 达式。计算出拟合引起的相对误差，评价了拟合的精确性与合理性。因二阶矩算法和微分 算子算法确定的远场发散角角半径存在差异，提出采用匹配效率法计算远场发散角角半 径，计算出远场发散角角半径与光纤归一化频率的关系曲线，并拟合出其函数表达式，应 用相对误差分析了拟合的精确度。 这些结论，在一定范围内为分析和计算介质光波导衍射光束提供了理论支持。 关键词：多量子阱光波导；单模光纤；远场衍射；光束参量；曲线拟合；相对误差 福建师范大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t a 1 1 一o p t i c a ln e t w o r ki st h ec u r r e n ta n df u t u r ed e v e l o p m e n to fo n eo ft h em a i nd i r e c t i o no ft h e i n d u s t r yh a sb e c o m eac o n s e n s u s ，o p t i c a ls i g n a lp r o c e s s i n g ，i n t e g r a t e do p t o e l e c t r o n i c ，f i b e ro p t i c s e n s o r sa n ds e n s o rs y s t e m s ，a n do t h e rt e c h n o l o g yh a v e b e e nd e v e l o p i n gr a p i d l y , aw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a s ，d i e l e c t r i cw a v e g u i d e si sb a s ef o rt h a tt h e s ed e v i c e sa n ds y s t e m so f d e s i g n s t h e r e f o r e ，t h i sa r t i c l eh a ss t u d i e dt h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h el i g h tb e a mp a r a m e t e r so f m u l t i q u a n t u mw e l l sw a v e g u i d ea n dt h es i n g l em o d ef i b e re n ds u r f a c ed i f f r a c t i o nb e a m ，i ti s p r o v i d e st h et h e o r ys u p p o r ta n dt h ei n s t r u c t i o nf o rt h ea p p l i c a t i o no ft h ed i e l e c t r i cw a v e g u i d e si n i n t e g r a t e do p t i c a ld e v i c e s i np a r a x i a lc o n d i t i o n ，t h er e f r a c t i v ei n d e xs y m m e t r i cm u l t i q u a n t u mw e l l sw a v e g u i d ei ss t u d i e d ， t h ef a r - f i e l dd i f f r a c t i o nf i e l dd i s t r i b u t i o no ft h ew a v e g u i d ei nm u l t i p l eq u a n t u mw e l l so u t p u te n d w i t hs l i tr e s t r i c t e di sa n a l y z e d t h ec u r v e so fd i f f r a c t i o nb e a mf u na n g l ea th a l fm a x i m u m t h e a m p l i t u d ed r o pt o1 et h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ，t h eb e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r ，t h en e a rf i e l d m o d ef i e l dh a l f - w i d t h ，f a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l ee a c ho n eo ft h e ma l o n gw i t ht h es l i th a l f - w i d t h a r eo b t a i n e d ，r e s p e c t i v e l y t of a c i l i t a t ea n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o n ，t h ec u r v e f i r i n gm e t h o di se m p l o y , t h ec u r v e so ff u l la n g l ea th a l fm a x i m u m ，t h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l eo fa m p l i t u d ed r o pt o1 e t h en e a rf i e l dm o d ef i e l dh a l f - w i d t ha l o n gw i t ht h es l i th a l f - w i d t hc h a n g ei sf i t t e d ，r e s p e c t i v e l y , a n d t h er e l a t i v ee r r o rw h i c ht h ef i t t i n gc a u s e di sc a l c u l a t e df o ra p p r a i s a lf i t t i n gp r e c i s i o n t h ef u na n g l e a th a lfm a x i m u ma n dt h ea m p l i t u d ed r o pt o1 胞t h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l ei sa n a l y z e dt h a tt h e s e c o n dm o m e n t ，d i f f e r e n t i a lo p e r a t o lt h ee q u i v a l e n tm a t c h i n ge 伍c i e n c yo ft h r e em e t h o dg a u s s i a n a p p r o x i m a t i o no fw a v e g u i d em o d ef i e l di sr e a s o n a b l ea n da c c u r a t e b a s e do nt h ef a c t o r o f b e a mi sc l o s et ou n i t ，t ot h ef a r - f i e l dd i f f r a c t i o na m p l i t u d ec a nb ea p p r o x i m a t eb yg a u s s i a n f u n c t i o n ，a n dt h ef a rf i e l dd i v e r g e n c ea n g l eo fi t sg a u s s i a na p p r o x i m a t i o ni sc a l c u l a t e db y m a x i m u me f f i c i e n c ym a t c h e dm e t h o d t h ef a r - f i e l da m p l i t u d ed i s t i l b u t i o ne x p r e s s i o no ft h es i n g l e - m o d eo p t i e a lf i b e rw h i c ho u t p u t e n ds u r f a c er e s t r i c t e di sd e f t v e d b a s e do nt h ea m p l i t u d ed i s t r i b u t i o ne x p r e s s i o na n dt h ec u r v e s o ft h ef u l la n g l ea th a l fm a x i m u m ，t h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l eo fa m p l i t u d ed r o pt o1 e ，t h e b e a mp r o p a g a t i o nf a c t o r ，n e a r - f i e l dm o d ef i e l dh a l f - w i d t h ，f a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l ew i t ht h e n o r m a l i z e dc i r c u l a ra p e r t u r er a d i u sa r es t u d i e d a n dt h e i rr e l a t i o n s h i p sc u r v e sa r ef i t t e do u tb y f u n c t i o n s t h er e l a t i v ee r r o rc a u s e db yf i r i n gi sc a l c u l a t e d ，a p p r a i s a lf i t t i n gp r e c i s i o n u s e dt h e f u l la n g l ea th a l fm a x i m u ma n dt h ea m p l i t u d ed r o p st ot h e1 ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l eh a d a n a l y z e dt h es e c o n dm o m e n tm e t h o d ，t h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o rm e t h o d ，t h ee q u i v a l e n tm a t c h i n g e f f i c i e n c ym e t h o do f t h et h r e eg a u s s i a na p p r o x i m a t i o na r er e a s o n a b l ea n da c c u r a t e ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h ef a r - f i e l dd i f f r a c t i o nd i s t r i b u t i o na n a l y t i cf u n c t i o ne x p r e s s i o no fs i n g l e m o d e o p t i c a lf i b e r , t h ec u r v e so ft h e i rf a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l eo ft h eb e a mp o w e ro f5 0 a n d8 6 5 w i t ht h ef i b e rn o r m a l i z e df r e q u e n c ya r es t u d i e d ，a n dt h ec h iv e sf u n c t i o ne x p r e s s i o na r ef i r e do u t 。 r e s p e c t i v e l y t h er e l a t i v ee r r o rw h i c hc a u s e db yf i t t i n ga r ee a l e u l a t e dt oe v a l u a t i n gt h ea c c u r a c y a n dr e a s o n a b l eo ft h ef i t t i n g t h er e s u l to fs e c o n dm o m e n ta l g o r i t h ma n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r a l g o r i t h mt od e t e r m i n et h ef a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l er a d i u sh a v es o m ed i f f e r e n c e s ，s ot h e e q u i v a l e n tm a t c h i n ge f f i c i e n c ym e t h o di se m p l o y e df o rf a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l e ，a n dt h ec u r v e o ff a r - f i e l dd i v e r g e n c ea n g l ea l o n gw i t ht h er a d i u so ft h ef i b e rn o r m a l i z e df r e q u e n c yi so b t a i n e d 。 a n di t sf u n c t i o ne x p r e s s i o ni sf i r e d 。t h ep r e c i s i o no ff i r i n gi sa n a l y z e db yt h er e l a t i v ee r r o r , k e y w o r d sm q ww a v e g u i d e ；s i n g l e m o d eo p t i c a lf i b e r ；f a r - f i e l dd i f f r a c t i o n ；b e a m p a r a m e t e r s ；c u r v ef i t t i n g ；r e l a t i v ee r r o r l i 福建师范大学理学硕士学位论文 中文文摘 随着信息科技领域日新月异的进步，人们对信息的需求量与日俱增，促使了光 纤通信器件理论和技术的迅速发展，已有众多介质光波导产品进入市场。集成光学 器件成为研究的热点，如基于平面光波导技术制作的阵列波导光栅( a w g ) 波分复用， 复用器、凹面光栅解复用器和波导光开关等光纤通信器件。光波导模场分布、端面 衍射场特性和端面间非接触耦合特性是这些器件设计的基础。本文分析了多量子阱 光波导端面受限衍射，计算出衍射远场光束的光束参量与狭缝半宽度的关系，讨论 了光纤端面受到限制的衍射远场光束参量与圆孔归一化半径的关系，研究了光纤衍 射远场的发散角与光纤归一化频率的关系，并且分别讨论了各自高斯近似的合理性 以及精确性。 第一章回顾介绍本课题的研究背景，以及平面光波导的研究现状以及量子阱光 波导研究的现状，圆光波导的研究现状。 第二章基于瑞利一索末菲标量衍射积分公式，在傍轴条件下，推导出多量子阱 光波导在狭缝限制下衍射远场的光束振幅分布解析表达式。基于此分析了衍射光束 的半值全角宽度( f w h m ) 和振幅下降到l e 的远场发散角分别与狭缝半宽度之间的 关系，通过数值计算得到其各自关系曲线，并采用曲线拟合的方法得到其各自函数 关系表达式，计算出拟合引起的相对误差曲线依此评价拟合的精确度。研究了光束 传输因子砰、近场模场半宽度、远场发散角分别随狭缝半宽度d 变化的曲线，分析 了光束传输因予砰、近场模场半宽度、远场发敞角各自随狭缝半宽度变化的趋势。 为了方便分析f i n - i , - i 。罅，采玎j 曲线拟合的方法，拟合了近场模场半宽度随狭缝半宽度 变化的曲线，计算出拟合引起的相对误差，评价拟合曲线与实际曲线之间的相对误 差。通过衍射远场分布的半值全角宽度和振幅下降到l i e 的远场发散角分析了二阶 矩、微分算子和匹配效率三种不同算法得到的高斯近似模场半宽度锵来的误差。当 狭缝大于一定值时，出射光束可近似为端砸无受限衍射，波导端面出射光束的光束 传输因子肝接近于1 ，提出对无受限衍射远场的振幅分布采用最大匹配效率法进行 高斯近似，并基于近似的结果作图直接比较近似的与实际的振幅分布。 第三章同样是根据瑞利一索末菲标量衍射积分公式，推导出单模光纤端面受限 衍射的远场振幅分布解析表达式。作为衡量衍射效应强弱的一个标志一中央亮条纹 强度半最大值伞角宽度，计算出半最大值仝角宽度随圆孔归一化半径变化的关系曲 1 1 1 中文文摘 线，并采用曲线拟合方法，得到两者之间的函数关系式。分析了衍射光束振幅下降 到1 e 的远场发散角随圆孔归一化半径变化的函数关系。采用近场模场半径、远场 发散角角半径和光束传输因子描述和评价单模光纤出射光束的光束质量。分析了 近场模场半径、远场发散角角半径和光束传输因子砰各自与圆孔归一化半径之间的 关系曲线，并拟合出近场模场半径、远场发散角角半径和光束传输因子膨各自与圆 孔归一化半径之间的函数关系表达式。采用相对误差对拟合函数的准确度进行了分 析，拟合的函数表达式和实际情况比较吻合。通过衍射远场分布的半值全角宽度和 振幅下降到1 e 的远场发散角分析了二阶矩、微分算子和匹配效率三种不同算法得 到的高斯近似模场半径带来的误差。 第四章基于单模光纤无受限衍射远场场振幅归一化分布解析表达式，分析了衍 射光束束内功率为5 0 和8 6 5 所对应的发散角半角与光纤归一化频率的关系。并 采用曲线拟合方法，拟合了各自与光纤归一化频率的解析函数表达式，计算出拟合 引起的相对误差，分析了拟合曲线与实际曲线的精确性，分析结果显示拟合的结果 和实际情况比较吻合。 由于基于二阶矩算法和微分算子算法定义的远场发散角角半径有一定的差异， 因此提出采用等效匹配效率法确定远场发散角角半径，并给出基于等效匹配效率法 的远场发散角角半径的解析函数关系表达式，并拟合出匹配效率法得到的远场发散 角角半径随归一化频率变化的函数关系表达式。 最后总结了本论文的主要工作，展望了下一步的工作计划。 i v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题背景 2 0 世纪后半叶人们开始认识到，如果用光波作载波，通信系统的容量可能增加几个数 量级，然而两个主要问题没有得到很好的解决：一，相干光源；二，合适的传输媒质。1 9 6 0 年t h e o d o r em a i m a n 发明了激光器，第一个问题解决了，然后人们的注意力集中到寻找用 激光进行通信的途径。在1 9 6 6 年，英籍华人高锟博士和g e o r g eh o e k h a m 提出光纤可能是光 传输通道的问题解决最佳选择，他们预言：高纯度的光纤洁净透明，光束在其中传播5 0 0 m 时还有1 0 的剩余能量。1 9 7 0 年，美国康宁( c o m i n g ) 公司首次宣布他所研制的高纯硅酸盐 玻璃单模光纤损耗已小于2 0 d b k m ，使得光纤通信商业化成为可能，引起人们广泛的关注， 至0 1 9 8 2 年，工作于1 5 5 p m 的光纤损耗进一步降低到0 2 d b k m 。同时，室温下运行的g a a s 半导体激光器研究成功。小型光源和低损耗光纤的问世，使全世界范围内掀起了发展光纤 通信的高潮【卜8 1 。 随着通信技术的发展以及人们对信息与日俱增的需求，光通信对光通信设备的性能及 其小型化都提出了更高的要求，集成光学的发展成为了必然。上个世纪六十年代初，由美 国贝尔实验室的m i l l e rse 提出了光路集成的概念【引，直到六十年代末，才正式提出集成光 学的设想，从此掀起了集成光学研究的新热潮。集成光学这一新学科的诞生引起全世界范 围内各个领域科学家的极大关注。由于集成电子学的成功，使得各国科学家纷纷选择最有 潜力的发展方向、不断的发展和完善各种集成光学器件。时至今日，经过几十年的发展， 集成光学已成为一门光学和薄膜电子学交叉的新学科，越来越受到人们的重视。目前，集 成光学元件己在通信、军事、电力、天文、传感等应用领域中发挥着重要作用。集成光学 元件的最大优点之一是它能将常规的具有各种功能的分立光学元件集成到同一光学衬底 表面，并且具有多个分立光学元件所构成的庞大光学系统处理光信号的同样功能【6 8 】。与分 立光学元件相比较，集成光学元件具有体积小、结构紧凑坚固、抗干扰能力强、稳定可靠、 灯命长等优，囊。尤j c 址祚所纠f 部门的心川，皿儿有常j ；! i i 光学系统无法比拟的优越性。 集成光予器a t 1 。- u , j - 片- l - - 通过 l f i f i i 光波导技术实现的，由具有不同折射率的透明介质构成 一个多层结构，其中折射率较高的芯层就构成了光的传输层。这种多层结构可以通过化学 气1 i u o c & 或火焰水氧等办法得剑，然后通过光刻、蚀刻等成熟的半导体工艺将波导制作成 各种形状的光波导，从而得到我们所需要实现的功能。通过控制波导的结构、大小以及折 射率，平面光波导可以实现各种光通信器件如d w d m ( d e a s ew a v e l e n g t h - d i v i s i o nm u l t i p l e x i n g ， 密集波分复m - 器) t 3 1 、o a d m ( o p t i c a la d d d r o pm u l t i p l e x e r ，光分插复用器) 、光开关1 6 1 、衰 褐建帅琵大学理学坝士学位论文 减器以及o x c ( o p t i e a lc r o s sc o n n e c t ，光交叉连接) 等i 1 1 。平面光波导技术基本上建立在 目前已经成熟的半导体工艺上，多种功能可以集成到同一个器件上，与光纤耦合方便。介 质光波导模场分布、光波导端面衍射光束场分布和端面间接触或者非接触耦合特性是这些 器件在设计时的基础【1 8 垅】。 1 2 平面光波导以及量子阱光波导研究的现状 阶跃分布三层平面光波导的模式理论已经比较成熟，基于电磁场的边界条件和横向亥 姆霍兹方程得到的三层平面光波导的t e 模电磁场分量和t m 模电磁场分量，在弱导条件 下，对称三层平面光波导的t e o 模和t m o 模的模场分布很相近，光波导的模场分布常常由 平面波的t e o 模模场分布来表达【2 羽，波导模式场及其端口输出场分布常常被近似描述成高 斯函数形式【2 2 彩】，并且被广泛推广和应用，由于高斯光束的概念和高斯函数的积分变换等 运算方法比较成熟【2 们，在一定范围内高斯近似大大的方便了计算。 折射率非均匀分布的平面光波导的模场分布计算方面，经典的模式求解方法有w k b 法、微扰法、变分法、和多层波导分割法 4 , 6 1 。其中w k b 法由w e n t z e l - k r a m e r s b r i l l o u i n 三 人联合提出，该方法主要是借鉴量子力学中求解粒子波函数的薛定谔( s e h r 6 d i n g e r ) 方程的 近似方法。现在被广泛用于求解平面光波导和光纤的导模。w k b 法既可用射线光学理论又 可用波动光学理论给出，其中射线光学理论给出的过程比较直观，容易理解【6 】。但是经典 的w k b 方法局限于标量问题的求解，实际非均匀分布的平面光波导为矢量场，矢量场的振 幅分布不满足w k b 方程的解。因此，在实际的研究过程中，出现了许多种改进的w k b 方 法来研究非均匀光波导模式 3 1 - 3 6 】。 随着分子外延技术( m b e ) 和化学气相沉积法( m c v d ) 技术的发展，多量子阱结构中的 三阶非线性系数增强效应【3 7 4 0 1 ，为实现低功率、高速、室温工作开关和信号处理提供了可 能性，已成为某些光电子器件的重要器件单元，如调制器、光开关等等。国内外对这种光 波导的模场、传输等特性已经进行了某些分析报道，所采用的方法有等效折射率法、有限 元法、转移矩阵法等，其中等效折射率法是一种简单的近似分析方法，但是精度不够高； 有限元法是一种精度较高的近似分析方法，但是分析过程比较复杂繁琐：转移矩阵法是一 种精度分析方法，但是给出的特征方程缺乏明确的物理意义 4 , 6 , 4 1 】。 量子阱平面光波导模场分布的等效勰将量子阱光波导的芯层看成等效折射率表达的 单层。等效折射率方法有：等效法向反折射率法、平均折射率法和方均根近似法。等效解 的基本原理建立在周期性多层平面光波导，忽略了芯层和包层分界面全反射时的古斯一汉 森( g o o s h 螽e n c h e n ) 位移【3 6 t3 9 。4 1 1 。本文中多摄予阱光波导的模场分布由一种新改进的w k b 方法计算得出，该新改进的w k b 方法，在计算模场时考虑了芯层和包层分界面处全反射的 2 第l 章绪论 古斯一汉森位移，得n m = 0 的基模不存在截止现象，与平面非均匀介质光波导的实际情况 一致【3 8 j 。由于半导体激光器、调制器等大量的使用量子阱光波导f 3 7 】，在实际应用中难免会 出现光波导端面受限的情况，因此研究多量子阱端面受限衍射有着重要的意义。 1 3圆光波导的研究现状 2 0 世纪术，光纤技术已经成熟并且成为通信的主流。光纤通信不再局限于传输领域， 全光交换技术、全光网络技术的出现，正预示着全光通信时代的到来。光纤不只是一种传 输介质，它已经成为各种光功能器件的基础，比如光纤耦合器【1 】、光纤滤波器【2 1 、光纤放 大器、光纤激光器【5 ，2 5 1 、光控全光开关、全光缓存器等 2 7 , 4 2 。 由于高斯光束的概念和高斯函数的积分变换等运算方法比较成熟，现有的文献对光波 导模式场和端面衍射场的描述多采用高斯函数近似描述光波导端面输出场分布【4 玉4 5 1 ，而事 实上，光纤模场场分布为贝塞尔( b e s s e l ) 函数形式1 4 乒4 9 1 ，高斯函数近似将有可能引起较大 的误差。圆光波导基模衍射场远场分布存在中央亮斑【4 9 1 ，中央亮斑集中了圆光波导的绝大 部分能量，中央亮斑强度半最大值全角宽度( f w h m ) 是衍射光束形状特征的标志，经典的 理论研究忽略了中央亮斑这一衍射效应的本质问题，它在光波导和激光束参量的设计等方 面有实用意义，而现有文献缺乏对它们之间关系的分析。 光束的评价与描述有许多不同的方法，例如采用远场发散角、光斑半径以及模式等等， 根据不同的定义即使同一参数也有很多不同的结论，实际应用中很难做出选择。根据1 9 9 0 年，s i e g m a nae 建议采用光束质量因子膨2 因子统一描述和评价激光的光束质量【5 0 】，国际标 准组织( i s o ) 提出以光束传输因子砰来评价光束，同时对近场模场半径和远场发散角半径 提出了的定义，三个参数共同作为光束参数描述和质量评价的标准f 5 l 】，从而形成了一套完 整的理论体系。但是s i e g m a nae 建议的采用二阶矩算法计算的砰因子只适用于傍轴条件 的情况，对于非傍轴的情况，曹清等 5 2 , 5 3 1 和p o r r a sma t 5 4 】采用二阶矩算法进行了理论推广， 得到非傍轴情况下的光束传输因子计算公式。理论研究结果表明光束传输因子1 4 2 1 5 0 5 2 5 4 】，而半导体激光器的光束传输因子有相关报道存在 矿 l ，1 3 溯2 。多量子阱光波导的等效解将多量子阱光波导的芯 层秆成笛效折射牢的i 丫1 层1 1 寸，芯层的笛效折射r f , 为一。i r ，满足关系： i i 。n r n 3 n 2 。 图2 - 1多量子阱光波导折射率分布示意图 由一种新改进的w k b 方法计算可得，对于折射率对称分布多量子阱光波导其特征方程可 表示为【3 6 】： 7 福建师范大学理学硕士学位论文 届习= 厅i 叫争隔一i i 七厩i ( 卧了m t c ( 2 - ) 式中，k = - 2 刑 2 为真空中的波数，a 为真空中的光波波长，m 为模式的阶数。 当多量子阱光波导的芯层等效为单层时，参考对称三层平面光波导的基模模场分布， 即m = 0 时，对称结构多量子阱光波导基模的芯层和包层归一化模场分布可表示为【4 5 , 7 , 3 6 ： u i 鬈o ) = c o s ( u e l )i z l 鱼，( 2 - 2 ) ia l lv l 呸( z ) = c o s 缈) e x p 一( i 剖一1 ) 】h 珥 ( 2 - 3 ) 式中，u 为多量子阱光波导的归一化芯层驻波参量，v 为归一化频率， 逝波参量，由波导的基本结构参数它们可分别表示为【3 6 】： u ：k 4 t - o n h 。一：1 。，一2 ( n 1 ) 磊2 y = 丢七厨二两。一丢后厢( 叫 ： w = 后甩备一力；口 矽为归一化包层倏 ( 2 q ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) 式中，a = n h l 2 + ( n - d h 2 2 为波导等效芯层半宽度。对于多量子阱光波导，矿u 2 + 旷；当 势垒层宽度为趋于无穷小时，即办2 l _ o 时，矿护+ w 2 。 2 2 2 衍射远场振幅分布 多量子阱光波导端面受到狭缝限制衍射的示意图如图2 2 所示。对称结构的多量子阱 光波导基模光束垂直入射到狭缝所在平面e1 ，狭缝紧贴波导输出端面，狭缝的半宽度为b ， 狭缝厚度的影响忽略不计。 l xjl 包层 口 翥己 芯层 肋b 0 - _ ， b 包层 - a 阳2 2多城予阱光波导端而受限衍射示意圈 8 第2 章多量子阱光波导端面受限衍射特性分析 波导的芯层中心和狭缝的中心都位于平面坐标原点0 处，观察面2 是以0 点为圆心r 为 半径的圆弧面，口为倾斜角，a 为芯层半宽度，三为p o 点到p 点的距离。 为了简化距离l 的表达式，借鉴瑞利判据“实际波面与参考波面之间的最大波像差不 超过2 4 时，此波面可看作是无缺陷的 ，在傍轴近似条件下，当r 2 x 2 a 时，考虑到简 化时引入的误差不超过2 4 ，l 的计算公式可化简为：l = r - x s i n o 。 因此，根据瑞利一索末菲标量衍射积分公式，一维受限衍射多量子阱光波导衍射远场 圆弧面上的场分布可以表示为【7 i 】： 甲( p ) = ! ! 警e 吵( p o ) e x p ( 一i k x sin口)dx(2-7) 式中，) 为狭缝处的振幅分布。 为了方便分析，仅考虑( 2 7 ) 式的积分部分，即多量子阱光波导经狭缝衍射后的空间频谱 双d ，其表达式为： s ( o ) = i 少( p o ) e x p ( - i c r s i n0 ) d x ( 2 - 8 ) 由( 2 8 ) 式可知，空间频谱双回为狭缝处场振幅分布毁p o ) 的傅立叶变换。 由( 2 2 ) 、( 2 3 ) 和( 2 8 ) 式可推导出折射率对称分布多量子阱光波导基模经狭缝衍射后的 空间频谱分布【7 2 l ： 当狭缝半宽度小于或者等于芯层半宽度时，即b a 时， s(口)=sl(口)十s2(口)(2-10) 式中& 为芯层模场经过无受限衍射后的空间频谱，即b = a 时( 2 9 ) 描述的空间频谱：& ( 回 为包层模场经过狭缝衍射后的空间频谱，它们的表达式分别为： s tc 目，= 兰与美等+ 皇专筹( 2 一1 1 ) s ：( 0 ) = c o s e 即，丽2 a f e 砷争 s t n 旷争一万w c 。s 旷告) 一 晰卟竹_ c o ws c ， ) 陋t 萄 9 祸建师范大学理学硕士学位论文 _ - _ _ _ - - _ - - _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - i i l l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ _ _ 一 式中，f = k a s i n 0 为空间频率【7 l 】。当6 _ 时，由( 2 1 0 ) 式描述的多量子阱光波导基模衍射场 空间频谱双d 与文献【7 l 】中介质平面光波导的结果一致。 以折射率对称分布的g a a s g a a l a s 多量子阱单模平面光波导为例，其基本波导参数如 下：h i = 3 5 0 ，n 2 = 3 2 0 ，n 3 = 3 3 0 ，h i = h 2 = 1 0 n m ，= 1 1 1 ，2 - - 0 8 5 1 m a ，a = 1 1 0 5 l a i n ，由( 2 1 ) 式 可得n e f f = 3 3 3 8 3 ，其归一化波导芯层参量u = o 4 4 7 2 ，包层衰减参量w = o 5 5 7 4 。当r = 1 0 5 l a i n 时，f l 了( 2 7 ) ( 2 1 2 ) 式可得光波导的衍射场振幅分布如图2 3 所示： 刍 蚕 。刍 x 蚕 图2 - 3 衍射场振幅分布甄力 图2 3 ( 口) 表明，当狭缝归一化半宽度b a = 1 0 0 和b a = 1 0 时，其衍射场振幅分布几乎 重叠在一起，与光波导不受限衍射的分布几乎完全一样，即狭缝对衍射场振幅分布的影响 可以忽略不计，当狭缝归一化半宽度d a 1 0 时，可近似为波导端面无受限衍射即自由传输。 当狭缝归一化半宽度b a 5 时，衍射场的光斑直径逐渐变大，光斑的中央最大值随着狭缝 的减小而逐渐减小，同时出现旁瓣。图2 - 3 ( b ) 表明，当狭缝半宽度逐渐减小时，光束受狭缝 1 0 第2 章多量子阱光波导端面受限衍射特性分析 限制的衍射效应越来越明显，当狭缝归一化半宽度b a 2 时，光斑直径急剧变大，光斑的 中央最大值随狭缝减小急剧减小。 2 3 衍射光束参量分析 2 3 1 中央亮条纹强度半最大值全角宽度 作为衍射效应强弱的重要标志一中央亮条纹强度半最大值全角宽度4 口，其值的大小 直接的反映了光束受到限制的强弱程度。由( 2 7 ) ( 2 1 2 ) 式，我们计算了中央亮条纹强度 半最大值全角宽度4 口随狭缝归一化半宽度b a 变化的关系曲线如图2 4 的实线所示。 吣 勺 b a 图2 - 4半值全角宽度, 4 0 与狭缝归一化半宽度b a 的关系曲线 从图2 4 实线可知，中央亮条纹强度半最大值全角宽度4 口随狭缝归一化半宽度b a 的 增大单调递减。当狭缝半宽度小于两倍芯层宽度时，即b a 2 时，光束的半值全角宽度随着狭缝归一化半宽度缓慢的减小，最后趋于不变，说明狭缝对 波导出射光束的衍射效应逐渐减弱，最后几乎忽略不计。 为了明确半值全角宽度厶p 与狭缝半宽度b a 的函数关系，本文提出采用曲线拟合的方 法拟合图2 - 4 实线，得出半值全角宽度厶口与狭缝半宽度b a 的函数关系表达式： , 4 0 。= 0 8 5 1 4 e x p 卜1 2 5 3 ( b a ) o 拍8 8 】+ o 7 5 1 3 e x p - 4 7 7 3 ( b a ) 1 5 2 3 】+ o 1 3 9 1( 2 1 3 ) 由( 2 1 3 ) 式可得如图2 - 4 所示的虚线。图2 4 表明当狭缝归一化半宽度处于0 0 1 b a 1 0 范围内，r h ( 2 1 3 ) 式近似表示的半值全角宽度厶口随狭缝归一化半宽度b a 变化的函数关系 与实际情况比较吻合。 为了定量分析上述拟合的精确度，下面计算出拟合引起的相对误差j i ，拟合曲线相对 实际曲线的相对误差为： 桐处j j i | j 龅人? 7 ：j ：! l ! z 蝴i ? ? 7 ：位论义 l ：z l o 丁 - z l o 1 0 0 (214)b- 1 = 一 i z 一 。 4 口 、。 式中，4 a 为实际半值全角宽度，厶口为拟合的半值全角宽度。 由( 2 - 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 式可得拟合半值全角宽度z 3 0 与狭缝归一化半宽度b a 的关系引起的 相对误差曲线如图2 5 所示。 b a 图2 5 拟合半值全角宽度引起的相对误差曲线 由图2 5 可知，当狭缝半宽度o 1 b a 3 8 时，曲线拟合引起的相对误差的绝对值小于 3 ；当狭缝半宽度3 8 b a 1 0 时，相对误差的绝对值小于1 5 。从图2 5 可知，在一定 误差范围内，拟合函数表达式( 2 1 3 ) 能较好的描述实际半值全角宽度4 口与狭缝归一化半宽 度b a 之间的函数关系。 2 3 2 振幅下降到l i e 的远场发散半角 高斯光束远场发散半角的一般定义为远场高斯光束振幅下降到中心最大值l i e 处与z 轴的夹角【3 7 】，即 b ，。= 1 1 巴掣 ( 2 1 5 ) z 参照高斯光束的远场发散半角的定义，光波导的端面衍射远场光束的振幅下降到l 尼 的远场发散半角，由( 2 1 5 ) 式，数值计算得到振幅下降到l 尼的远场发散半角随狭缝归一化 半宽度b a 变化的关系曲线如图2 - 6 实线所示。 由图2 - 6 实线可知，多量子阱光波导远场衍射光束振幅下降到l i e 的远场发散半角随 狭缝归一化半宽度b a 的增大而单调递减。当狭缝归一化半宽度o 1 b a 2 时，振幅下降到1 e 的远场发散半角随狭缝归一化半宽度b a 的增大而缓慢下降，最 后趋于不变，即狭缝对衍射场分布的影响可忽略不计。 1 2 第2 章多量予阱光波导端砸受限衍射特性分析 连 吣 图2 - 6 振幅下降到l 尾的远场发散半角0 l 店与狭缝归一化半宽度b a 的关系曲线 采用曲线拟合法，拟合得到图2 - 6 实线的函数表达式，即多量子阱光波导远场衍射光 束振幅下降到1 e 的远场发散半角与狭缝归一化半宽度b a 的函数关系表达式为： 秒i ，。= 0 0 4 8 6e x p ( 一0 0 0 3 ( b a ) 4 9 7 8 ) + 1 3 7 8e x p ( - 2 2 4 9 ( b a ) ) + o 10 7 5 ( 2 - 1 6 ) 由( 2 1 6 ) 式可得振幅下降到l 尼的远场发散半角与狭缝归一化半宽度b a 的函数关系曲 线如图