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v6 5 4 4 4 9 一类广义协相补问题组的解的存在性以及迭代算法 专业：运筹学与控制论 研究生：丁可导师：黄南京教授 摘要在近来的文章中，j yc h e n ，n cw o n ga n dj - cy a of 3 6 1 介绍了一 类c o - c o m p l e m e n t a r i y 问题，构造了一种可以包含很多解变分不等式和补问题 为特例的算法，并且证明了这类算法的收敛性。n a n j i n gh u a n g 1 5 1 研究了 一类集值映像的广义非线性隐拟变分不等式，在非紧性条件下证明了解的存 在性和收敛性。 受到上述文章的启发，在这篇文章里，我们引入并研究了一类新的广义集 值映像的协相补问题组，它包含了很多变分不等式和补问题为特例，构造了一 类新的迭代算法，通过投影算子技巧，证明了这类广义集值映像的补问题组的 解的存在性以及这类算法收敛到广义协相补问题组的的解。 设x 是h i l b e r t 空间，并赋以泛数| ，及内积( ，) ，a c b t x ) 是x 的一族 非空有界闭凸子集，令k 1 ，虬是x 中的闭凸子集，g l ，9 2 ，m l ，m 2 ：x 矗x ， f ，g ：x x x - - + x ，u ，v ：x 斗c b ( x ) 我们考虑如下问题： 找。，y x ，u ( z ) ，口v ( y ) ，使得g i ( x ) k i ( z ) ，i = 1 ，2 f ( x ，u ，y ) ( k 1 ( z ) 一g l ( 茹) ) + ， g ( z ，v ，y ) ( k j ( ) 一9 2 ( v ) ) + ，( ) 其e e ( k i ( 。) 一g l ( z ) ) + ，( k 2 ( y ) 一9 2 ( f ) ) 是对偶锥，k ：x - 2 x ，k 1 ( z ) = m 1 扛) + k l ，硷( ) = m 2 ( y ) + k 2 ，i = 1 ，2 本文证明了当g ；：x - x ，( i = 1 ，2 ) 是强单调和l i p s c h i t z 连续，m l ： x _ 置i = 1 ，2 是l i p s c h i t z 连续，f ：x xxx - x 是分别关于第一二 三变量l i p s c h i z t 连续，关于第一变量强单调，g ：x x x _ x 是分别关 四川i 大学硕士学位论文 于第一二三变量l i p s c h i z t 连续，关于第三变量强单调，u ，vl i p s c h i z t 连续 以及各l i p s c h i t z 连续和强单调参数满足一定的条件时，广义补问题组( - k ) 有 唯一的解并且如果x ，y x ，“u ( z ) ， v ( y ) 是( ) 的解当且仅当 茹，y x ，u ( z ) ，”y ( ) ，满足下列条件： z = z 一9 1 ( z ) + 仇1 0 ) + 尸k 。( 9 1 0 ) 一p f ( x ，札，y ) 一仇1 0 ) ) y = y 9 2 ( y ) + m 2 ( ) + b r 。( 9 2 ( z ) 一p c ( z ，u ，y ) 一m 2 ( ) ) 此外，本文还讨论了在u = v = i ，k l = j 岛= k 的条件下，针对问 题( ) 构造一类新的扰动迭代算法：对于任意给定的x o ，y o x ，使 ( 1 一t n ) z 。+ t n ( z 。一9 1 ( x 。) + m l ( x 。) + 尸( 9 1 0 。) 一p f ( x 。，y 。) 一m l ( z 。) ) ) ， ( 1 一t n ) + t n ( 一9 2 ( y n ) + m 2 ( y n ) + 攻。( 9 2 ( y 。) - p g ( x 。，y n ) 一m 2 ( y 。) ) ) ， 0 s t n 1 ，n = 0 ，1 ，2 并且证明了这类迭代算法在一定条件下收敛到( ) 的解 关键词：相补问题；解的存在性；迭代算法 四川大学硕士学位论文 i i i t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o na n da l g o r t i t h m s f o ran e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e d c o c o m p l i e m e n t a r 】t yp r o b l e m s m a j o r ：o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n d c o n t r o lt h e o r y p o s t g r a d u a t e ：k ed i n g a d v i s o r ：p r o f n a n j i n gh u a n g a b s t r a c t i nar e c e n tp a p e r 3 6 ，j yc h e n ，n cw o n ga n dj - cy a oi n t r o d u c e dac l a s so fc o - c o m p l e m e n t a r i yp r o b l e m s ，a n dc o n s t r u c t e dan e w si t e r a t i v ea l g o r i t h mw h i c hi n c l u d e ds o n l ek n o w na l g o r i t h m 塔s p e c i a lc a s e st o s o l v ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ，a n dt h ea u t h o r a l s op r o v e st h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v e ss e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h i sa l g o r i t h m a n dn a n j i n gh u a n g 1 5 1s t u d i e dan e wc l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r i m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sf o rs e t - v a l u e dm a p p i n g s ，a n dp r o v e dt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a ri m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s f o rs e t - v a l u e dm a p p i n g sw i t h o u tc o m p a c t n e s sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v e s e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m s m o t i v a t e da n di n s p i e db yt h e s ew o r k s ，i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n d s t u d y an e w s y s t e m s o f g e n e r a l i z e dc o - - c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s f o rs e t - - v a l u e d m a p p i n g s a n dc o n s t r u c ts o m en e wi t e r a t i v ea l g o r t i t h m s w ep r o v et h ee x s i t e n c e o ft h es o l u t i o n sf o rt h i sc l a s so fg e n e r a l i z e dc o c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m sf o r s e t v a l u e dm a p p i n g sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db y t h ea l g o r i t h m s l e txb eah i l b e r ts p a c ee n d o w e dw i t han o r m ”| | a n di n n e rp r o d u c t ( - ，) l e tc b ( x ) b e t h ef a m i l i yo fa l ln o n e m p t ys u b s e t so fx l e tk 1 ， b et h ec o n v e xa n dc l o s e ds u b s e to fx ，g l ，9 2 ，m l ，m 2 ：x - x ，f 1g ： xxx x _ + x ，u ，v ：x _ c b ( x ) w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： 堕川盔堂堡堂焦亟塞一一1 v f i n d 。，y x ，t u ( 2 7 ) ，u v ( ) ，s u c ht h a t g i ( x ) j 矗( 。) ，i = 1 ，2 f ( 2 7 ，钍，y ) ( k 1x ) 一9 1 ( 。) ) ， a ( x ，u ，y ) ( k 2 ( 9 ) 一仇( ) ) + ， ( ) w h e r e ( l ( 。) 一9 l ( z ) ) + ，( j 已( f ) 一9 2 ( ) ) a r et h ed u a lc o n e ，j t ：x 2 x k l 扛) = m 1 ( 2 7 ) + k l ，鲍( ) = m 2 ( y ) + 1 2 ，i = 1 ，2 i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e ，u n d e rt h ec o n d i t o nt h a t 仇：x - 4x ，i = 1 ，2i s s t r o n g l ym o n o t o n e a n dl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ，m l ：x _ x ，i = 1 ，2 i sl i p s c h i t z c o n t i n u o u s f ：x x x _ xi sl i p s c h i t zc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt ot h e f i r s t ，t h es e c o n d ，t h et h i r da r g u m e n t ，a n ds t r o n g l ym o n o t o n e w i t hr e s p c c tt o t h ef i r s ta r g u m e n t g ：x x xj xi sl i p s c h i t zc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt o t h ef i r s t ，t h es e c o n d ，t h et h i r da r g u m e n ta n ds t r o n g l ym o n o t o n e w i t hr e s p e c t t ot h et h i r da r g u m e n t ，ua n dva r el i p s c h i t zc o n t i n u o u s ，a n da l ll i p s c h i t z c o n t i n u o u sa n ds t r o n g l ym o n o t o n ep a r a m e t e r ss a r i s f yw i t hs o m ec o n d i t i o n s ， t h e n ( ) h a sau n i q u es o l u t i o n a n dx ，y x ，u u ( 2 7 ) ，v y ( ) i st h e s o l u t i o no f ( ) i f a n do n l yi f z ，y x ，u u ( z ) ，v v ( y ) ，s a t i s f yw i t h ： z = z g l ) + m l ( z ) + p k ，( g l ( z ) 一p f ( x ，u ，y ) 一m 1 扛) ) ， y ；y 一卯 ) + m 2 ( y ) + 尸( 9 2 ) 一p g 扛， ，y ) 一 切( ) ) u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t ，u = v = i ，k 1 = 鲍= k ，w e a l s oc o n s t r u c t t h ea l g o r i t h m ：f o ra n yg i v e n2 7 0 ，y 0 x ，s a t i s f yw i t h 岱+ 1 = ( 1 一t n ) z 。+ t n ( z 。一g l ( x 。) + m l ( x n ) + p k 。( g l ( x n ) 一p f ( x 。，y n ) 一m l ( x 。) ) ) ， y 。+ l = ( 1 一t n ) v n + t n ( v n 9 2 ( y 。) + m 2 ( y 。) + 尸k 。( 肌( f n ) 一p g ( x 。，y n ) 一m 2 ( ) ) ) ， 0 兰t 。墨1 ，n = 0 ，1 ，2 a n dw ep r o v et h ea l g o r i t h mc o n v e r g et ot h es o l u t i o no f ( ) u n d e rs o m e c o n d i t i o n s 四川大学硕士学位论文v k e yw o r d s ：c o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ；e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ；i t e r a t i v e a l g o r i t h m 四川大学硕士学位论文 l引言 众所周知，交分不等式和相补问题理论在研究机械，物理，非线性规划， 优化问题和控制理论，经济与金融，交通运输均衡及其他数学和工程的分支中 其到了重要的作用( 参见b a i o c c h ia n dc a p e l o 1 ，c o t t l e ，p a n ga n ds t o n e1 8 】， c r a n k 【9 】，l i na n dc r y e r 1 8 ，m o s c o 1 9 ) 。 经典的变分不等式是找f kc 彤，使得 ( f ( x + ) r ，z 一。+ ) 0 ，v x k( 1 1 ) 其中，f ：k _ r 8 是连续函数，k 是给定的闭凸集，它在许多领域有着重要 的应用。 ( i ) 方程问题如果k = r “，则问题( 1 1 ) 等价于找z + r “，满足 f ( x + ) = 0 ( 1 2 ) ( i i ) 优化问题 m i n i z e ，( z ) s u b j e c tt o ：z k( 1 3 】 其中，是连续可微函数，k 是闭凸集。这个优化问题和下列变分不等式问题 等价，找z + k ，使得 ( v f ( x ) t ，z 一。+ ) o ，v z k( 1 4 ) ( i i i ) 相补问题问题( 1 1 ) 也和补下列问题等价。找矿20 ，使得 ，( z + ) 0 ，且( f ( z + ) r ，。+ ) = 0 ( 1 5 ) ( i v ) 鞍点问题如果y 船，w 月m 是闭凸集，”：v w - r 是连 续函数。找( + ，叫) v w ，满足 丌扣+ ，叫) 冬7 r + ，t ? + ) 墨7 r 0 ，州+ ) ，v 0 ，w ) vxw ( 1 6 ) 四j i l 大学硕士学位论文 这个问题和下列变分包含问题等价 2 v 。7 r + ，w + ) + y ( + ) 弓0 “，一v 。7 r ( u ，w + ) + n w ( w ) j 0 “ ( 1 _ 7 ) 在近来的文章中，j yc h e n ，n cw o n ga n dj - cw a o 【3 6 】介绍了一类c o c o m p l e m e n t a r i y 问题，构造了一种可以包含很多解变分不等式和补问题为特 例的算法，并且证明了这类算法的收敛性。n a n j i n gh u a n gf 1 5 1 研究了一类 集值映像的广义非线性隐拟变分不等式，在非紧性条件下证明了解的存在性 和收敛性。 受到上述文章的启发，在这篇文章里，我 f r i l l 入并研究了一类新的广义集 值映像的广义协相补问题组，它包含了很多变分不等式和补问题为特例，构造 了一类新的迭代算法，通过投影算子技巧，证明了这类广义集值映像的广义协 相补问题组的解的存在性，以及这类算法收敛到广义协补问题组的解。 四川i 大学硕士学位论文 2预备知识 3 本文始终假设x 是h i l b e r t 空间，并赋以泛数l ，及内积( ，) ，设c b ( x ) 是x 的一族非空有界闭凸子集，令k l ，是x 中的闭凸子集，9 l ，9 2 ，n 1 ，m 2 ： x _ x ，f g ：x xxx _ x ，u ，v ：x - 4c b ( x ) 我们考虑如下问题： 找x ，y x ，札u ( 。) ， y ( ) ，使得g i ( x ) k ( 。) ，i = 1 ，2 f ( x ，u ，y ) ( k 1 ( z ) 一g ，( z ) ) + ， g ( 。， ，y ) ( k 2 ( p ) 一9 2 ( ) ) + ， ( 2 1 ) 其中( k l ( 。) 一g l ( z ) ) ，( j 已( y ) 一仍( ) ) + 是对偶锥，k i ：x 叶2 x ，硒( g ) = m 1 ( 茁) + k 1 ，k 2 ( y ) = m 2 ( 可) + k 2 ，i = 1 ，2 ( i ) 如果f ( x ，u ，y ) = s l z + a l u + b l y ，a ( x ， ，y ) = 岛z + a 2 v + b 2 y ，则 i ；1 月g ( 2 1 ) 转化为找：z ，y x ，札u ( z ) ， y ( ) ，使得 s 1 z + a l u + b l y ( k l ( x ) 一9 l ( z ) ) 4 ， s 2 x + a 2 + b 2 y ( k 2 ( y ) 一9 2 ( ) ) + ( 2 2 ) ( i i ) 如果s l = s 2 = e a l = a 2 = a ，b 1 = b 2 = 0 ，u = v ，则问题( 2 2 ) 转化为找z x ，u ，( z ) ，使得 t x + a u ( k 1 ( 卫) 一9 1 ( z ) ) + ，( 2 3 ) 这个问题称之为广义集值补问题，该问题被y a o 在【3 6 1 讨论过 ( i i i ) 如果u = v = i ，则问题( 2 1 ) 转化为找x ，y x 使得 f ( z ，y ) ( k 1 ( x ) 一9 1 ( z ) ) + ， g ( z ，可) ( k 2 ( y ) 一班( g ) ) + ( 2 4 ) ( i v ) 如果9 1 是单位映像，则问题( i i ) 可转化为下列问题：找z x ，u u ( z ) ，使满足 t x + a u ( k ( z ) 一z ) + ，( 2 5 ) 四川i 大学硕士学位论文 4 该问题称之为广义强非线性补问题，该问题被c h a n g 干u h u a n g 在 6 】中被 讨论过 ( v ) 如果阢9 1 是单位映像，则问题( i i ) 可转化为下列问题：找。k ( z ) ， 使满足 t z + a u ( k ( z ) 一茁) + ，( 2 6 ) 该问题称之为强非线性拟补问题，该问题被n o o r 在 2 7 1 中被讨论过 ( v i ) 如果9 1 是单位映像，a 是零映像，则问题( i i ) 可转化为下列问 题：找x k ( z ) ，使满足 j r l 。+ a u ( k ( 。) 一z ) ，( 2 7 ) 该问题称之为广义拟补问题，该问题被n o o r 在【2 8 中被讨论过 ( v i i ) 如果以g l 是单位映像，m 是零映像，则问题( i i ) 可转化为下列 问题：找岳x ，使满足 t x + a xex + ，且( 乳+ a x ，。) = 0 ， ( 2 8 ) 该问题称之m i l d l y 非线性补问题，该问题被n o o r 在 2 1 1 中被讨论过 ( v i i i ) 如果u 是单位映像，和m 是零映像，则问题( i i ) 可转化为下 列问题：找z x ，使满足g x x ， t x x + ，且( t x ，g x ) = 0 ，( 2 9 ) 该问题称之广义非线性补问题，该问题被n o o r 在2 9 1 中被讨论过 ( i x ) 如果g ，y 是单位映像，a 和m 是零映像，则问题( i i ) 可转化为 下列问题：找x x ，使满足 t x x + ，且( t x ，z ) = 0 ，( 2 1 0 ) 该问题称之广义非线性补问题，该i 0 1 题被h a b e t l e r 在 3 0 1 被讨论过 ( x ) 如果x = 舒，g ，u 是单位映像，t 和m 是零映像，则问题( i i ) 可转化为下列问题：找石x ，使满足 “x + ，且( z ，u ) = 0 ，( 2 1 1 ) 四川i 大学硕士学位论文5 该问题在f 35 1 中被讨论过 接下来，我们回忆一下本文主要结论中所需的一些概念和引理。 定义2 1 设n ：x x x 寸x 是一个非线性映射 ( i ) 关于第一变量o ! 一强单调，如果存在一个常数0 c 0 使得 ( y ( x ，) 一n ( v ，- ，) ，z y ) o li lz y1 1 2 ，v ( x ，y ) x x ( i i ) n 关于第一变量一l i p s c h i t z 连续，如果存在一个常数0 使得 i in ( x ，) 一n ( y ，- ) | | sf | | 。一ymv ( x ，y ) x x 我们可以类似地定义关于( ，) 第二第三变量强单调和l i p s c h i t z i a n 连续 定义2 2 设f ：x - - + x 是一个集值映像， f 是妒一l i p s c h i t z 连续，如果存在一个常数妒0 使得 h ( f u l ，f u 2 ) 妒j j 珏1 一牡2 ”，v 啦x ，i = 1 ，2 其中日( ，) 是c b ( x ) 中的h a u s d o r f f 度量 四j i l 大学硕士学位论文 3迭代算法 引理3 1 ( 1 1 ) 映射靠是非扩张的，即 尸k u p k v l isi l u u v u ，v h 引理3 2 ( 【3 4 】) 如果日( ( 口) ，( d ) ) _ o ( 口_ ) ，则 6 i i p r ( o ) v 一& | i - 4 0 ，v 日， 其中日( ，) 是由范数l i 产生的h a u s d o r f f 度量 引理3 3 如果k ( u ) = m ( u ) + k ，并且k cx 是一个闭凸子集，则对 于任何牡， x ，有 p k ( 。) = m ( u ) + 尸一一r e ( u ) ) 引理3 4 如果硒，k 2cx 是闭凸子集，并且噩( ) = m ( ) + k ，i = 1 ，2 ， 则。，y x ，u u ( 。) ，u v ( y ) 是( 2 1 ) 的解当且仅当z ，y x ，“ u ( z ) ，钉y ( 驴) ，满足下列条件： 。= 。一g l ( x ) - 4 - 竹l l ( 。) 4 - p k 。( g l ( x ) 一p p ( z ，“，y ) 一m l ( 石) ) ， y = 一9 2 ( y ) - i - m 2 ( y ) + p k 。( 9 j ( z ) 一p g ( x ， ，可) 一m 2 ( ) ) ， 其中p 0 是常数 引理3 5 ( 【5 】) 设肛。是非负实数列，是【o ，1 之间的实数列，且：三铲= o o ，如果存在正整数t , i ，使得 p n + i ( 1 一) p 。+ 6 。，v n n l 其中，6 。0 对所有n 0 ，并且当礼_ o o 时，6 。- - - 4 0 ，则有l i r a 。- + o 。弘。= 0 基于引理3 4 ，我们可以构造问题( 2 1 ) 的解迭代序列 四j i l 大学硕士学位论文 使 迭代算法3 1 对于任意给定的x o ，y o x ，u o u ( z o ) ，v o v ( y o ) ，并且 x l = x o 一9 1 ( x o ) - fm l ( x o ) + 斥i ( 9 1 ( x o ) 一p f ( x o ，“o ，y o ) m 1 ( x o ) ) y l = y o 9 2 ( y o ) + m 2 ( o ) + p k 2 ( 9 2 ( u o ) 一p g ( x o ， o ，y o ) 一m 2 ( y o ) ) 因为u ( 勘) ，y ) 都是非空紧集，故存在“l v ( x 1 ) ，虮v ( z 1 ) ) 使得 i l u o u , i i 兰h ( u ( x o ) ，【，扛- ) ) ， i l 咖一 l | | sh ( v ( y o ) ，y 0 - ) ) ， 其中，( ，) 是在g b ( x ) 上的h a u s d o r f f 度量又设 x 2 = x l g l ( x 1 ) + m l ( x 1 ) + 尸：k l ( 9 1 1 ) 一p f ( x t ，u l ，y 1 ) m l ( x 1 ) ) y 2 = y t 9 2 ( y 1 ) + m 2 ( y 1 ) + p ( 9 2 ( 1 ) 一p g ( x l ，v l ，y 1 ) 一m 2 ( y i ) ) 连续上述过程，我们可以得到迭代序列，y 。，以及u 。u ( x 。) ，v 。y ( ) ， 使得 以及 u n 钍。+ 1 1 1 h ( u ( x 。) ，u ( 。+ 1 ) ) u 。一v n + l 1 h ( y ( 弘。) ，v ( y a - m ) ) ， t n + l = 。n g l ( z 。) + 7 2 1 ( ；t ：n ) + 珞。( g l ( x n ) 一p f ( z n ，珏。，g 。) 一r n i ( 石。) ) f n + 1 = 一卯( 。) + m 2 ( 鲰) + p k ：( 卯( g 。) 一p g ( x 。，y 。) 一m 2 ( ) ) ， f 3 1 四川大学硕士学位论文 4存在性和收敛性 8 在这一部分，我们通过( 3 1 ) 所定义的迭代算法讨论问题( 2 1 ) 的解的存在 性和收敛性 定理4 1t h e o r e m 3 1 设9 1 ：x x 是7 7 l 一强单调，( 1 一l i p s c h i t z 连 续，9 2 ：x - + x 是啦一强单调，( 2 一l i p s c h i t z 连续，m t ：x 斗x 是t l i p s c h i t z 连续( i = 1 ，2 ) ，f ：x x x _ x 是分别关于第一第二第三变量1 1 ，1 2 ，如 一l i p s c h i z t 连续，关于第一变量p 强单调g ：x xxx _ x 是分别关于 第一第二第三变量n 1 ，n 2 ，n 3 ，l i p s c h i z t 连续，关于第三变量q 一强单凋u 是 乒l i p s c h i z t 连续，y 是卢一l i p s c h i z t 连续，并且 厂一r 一 0s 2 、1 + 簖一2 叩1 + 2 ，y l + l + 矿2 一2 艘+ p 1 2 + p n l ) 1 ， ( 4 1 ) o 2 、气j 瓦+ 2 忱+ 、j _ i 磊+ p n 。卢+ 。) 1 ( 4 2 ) 则迭代算法( 3 1 ) 收敛到问题( 2 1 ) 的解 证明从( 3 1 ) 和引理3 3 可知， l i 茁。+ l z n l i i i 。n x n - - 1 一( 9 l ( 。) 一g x ( z 。一1 ) 1 i + i f 仇1 ( 宝“) 一m l ( x n 一) i i + i l p k 。( g l ( z 。) 一p f ( x 。，u 。，y 。) 一m l x 。) ) 一j k l ( g l ( x n 1 ) 一p f ( x n 一1 ，t 。一1 ，蜘一1 ) 一m l ( x 。一1 ) ) i l ( 4 3 ) 因为9 l 是a l i p s c h i t z 连续，叩1 强单调 | | 。n 一t n - i 一( 夕l ( z 。) 一g l ( x 。一1 ) ) f f 2 = | z 。一x n - 1 1 1 2 + l b l ( z 。) 一g l ( 茹。一1 ) jj 2 2 ( x n x n - i ，吼( z 。) 一9 1 ( 。一1 ) ) ( 1 + ( 一2 叩a ) l x 。x n - 1 | | 2 ( 4 4 ) 四川大学硕士学位论文 因为m l 是7 l l i p s c h i t z 连续 l | m l ( z 。) 一i p , , 1 ( x n - 1 ) i i 茎7 i 茁。一x n - t m( 4 5 ) 因为f k ，是非扩张的，g l 是强单调的， j l r ，( g l ( x 。) 一p f ( x 。，让。，。) 一7 1 2 1 ( x n ) ) 一p k 。( g l ( x 。一1 ) 一p f ( x 。l ，u 。_ ，g 。一1 ) 一m l ( z 。q ) ) l l | i ( g l ( x 。) 一p f ( x 。，“。，) 一m l ( x 。) ) 一( 9 1 ( 。一1 ) 一p f ( x 。一1 ，珏。一l ，聃。一i ) m i ( x n - i ) ) | | si | z 。一x n - 1 一( g l ( x 。) 一g l ( z 。一1 ) ) i i + lm l ( x 。) 一1 1 1 , 1 ( x n - 1 ) 1 i + l l x 。一x n - 1 一p ( f ( x 。，u 。，y 。) 一f ( x 。一1 ，趾。，g 。) ) l l + p l l f ( x 。一l ，乱。，蜘) 一f ( x 。一l ，u n - 1 ，y n ) l i + p i f ( x 。一1 ，u n - 1 ，) 一f ( x 。一1 ，? u n - 1 ，y n - l m( 4 6 ) 因为f 是关于第一变量p 强单调，关于第一变量t l - l i p s c h i t z 连续 l i x 。一t p ( f ( z 。，u 。，蜘，) 一f ( z 。一1 ，) ) ij 2 = 1 1 z 。一x n - 1 1 1 2 + p 2 l l f ( x 。，t 。，y n ，) 一f ( x 。一l ，u 。，y n ) ) 1 1 2 2 ( 。一x n - - 1 ，p ( f ( x 。，u 。，p 。，) f ( x 。一1 ，。，f 。) ) ) ( 1 + z ：矿一2 p p ) l l z 。一。一- | | 2 ( 4 7 ) 因为f 是关于第二变量t 2 - l i p s c h i t z 连续，u 是仁l i p s c h i t z 连续 f i p ( x 。一1 ，。，) 一f ( x 。1 ，“。一l ，y 。) i f 1 2 1 1 u 。一u n - 1 1 l 1 2 h ( u ( x 。) ，u ( 。一1 ) ) sz 2 毋l l x 。一x n - lm ( 4 8 ) 因为f 是关于第三变量3 - l i p s c h i t z 连续 i i f ( x 。一1 ，u 。一1 ，y n ) 一f ( x 。1 ，u n - l ，一1 ) i s z 3 1 1 y 。一y 。一1 1 1 ( 4 9 ) 四j 1 1 大学硕士学位论文 由( 4 4 ) ，( 4 5 ) ，( 4 6 ) ，( 4 7 ) ，( 4 8 ) ，( 4 9 ) 和( 4 3 ) l i 。+ l z 。i l ( 2 万丽+ 2 7 l + p l 。咖 + 而f i x n - - x n _ 1 i + p 1 3 l l u , , y n 一1 1 1 用类似的方法可以得到 1 0 i l y + 1 一y n f i l i g 。一g 。l ( 9 2 ( 执。) 一9 2 ( y 一1 ) i l + | i m 2 ( 骱) 一m 2 ( y n t ) i i + f f & - 。( 船( ) 一p c ( z 。，v 。，y n ) m 2 ( ) ) 一尸k 。( 9 2 ( 鼽。一1 ) 一p g ( x 。一1 ，v n - 1 ，斩。一1 ) 一m 2 ( y n 1 ) ) m( 4 1 1 ) 因为跏是已一l i p s c h i t z 连续，啦一强单调 0 。一掣。一1 一( 9 2 ( y 。) 一9 2 b n - 1 ) ) 1 1 2 s ( 1 + 嚣一2 啦) i 蜘一一i 2 ( 4 1 2 ) 因为，g 是关于第三变量口一强单调，n a - l i p s c h i t z 连续 1 1 3 ，。一o h 一1 一p ( g ( 。， 。，y n ) 一c ( x 。，口。，y n - o ) 1 1 2 = l 一一l l l 2 + p i i c ( z 。， 。，y 。) 一g ( 。，一1 ) i f 2 2 p ( y 。一* 。一l ，g ( z 。， 。，y 。) 一g ( $ 。，u 。，玑。一1 ) ( 1 + 矿礼i 一2 0 q ) u z 。一茹r , - i i l 2 ( 4 1 3 ) 因为仇2 是讹一l i p s c h i t z 连续 f f m z ( 聃。) 一m 2 ( y n 1 ) l l 茎 y 2 1 1 u 一y n l i t ( 4 1 4 ) 因为是非扩张的，y 是f l - l i p s c h i t z 连续，g 是分别关于第一第二变量 四j i i 大学硕士学位论文 扎l ， f t , 2 - l i p s c h i t z 连续，可以得到 l l j k 。渤( ) 一p g ( z 。，y 。) 一m 2 ( y 。) ) 一j 麓。( 9 2 ( f 。一1 ) 一p g ( x 。一1 ，v n - 1 ，挑：) 一m 2 ( y 一1 ) ) i l sl l y 。一y n - 1 一p ( 啦( 饥。) 一9 2 ( y n 一1 ) i | + i i m 2 ( g 。) 一m 2 ( y 。一1 ) + l 一y , , - 1 一p ( g ( z 。，v n ，孙) 一g ( x 。，一1 ) 1j + p l l g ( = 。， 。，y n 一1 ) 一c ( x 。，v n - - 1 ，。一1 ) i i 1 1 + p l t c ( x 。，一1 ，) 一g ( z 。一1 ，v n - l ，y n 一1 ) t | 万丽| | 一i i + 7 = 1 1 y 。喵一。i i + 肌。h x n - - x n - 1 i i + 万万再丽吨一。i i + 肌咄扑 ( 4 1 5 ) 由( 4 1 1 ) ，( 4 ，1 2 ) ，( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) 和( 4 。1 5 ) 可得 i l y 。+ 1 一i l ( 2 、1 + ( j 一2 t 2 + 2 7 2 + p n 2 f 1 1 + p 2 n ；一2 p q ) j t y 一妇一1 + 肌l l i x 。一x n - 1 m 由( 4 1 0 ) 和( 4 1 6 ) 可得 i i x 。+ 1 一x n | j + i l + 1 一g 。l i ( 2 万而+ 2 7 。 + 万万i 再+ p 1 2 妒+ t m 。) f f x - = - 。1 1 + ( 2 万而+ 2 7 2 + 4 1 + p 2 n i - 2 p q + t m 2 卢+ 酬i ”。一鼽i i ( 4 1 7 ) 四川大学硕士学位论文 1 2 令 u m a x 2 v _ = 而+ 2 7 。+ v 6 _ = _ j 秭+ 。咖+ p n 。， 2 万丽+ 2 7 2 + v 1 + p 2 n ；- 2 p q + p n 2 f l + p 1 3 ) ， 且0su 1 ( 4 1 8 ) 由( 4 1 7 ) 和( 4 1 8 ) 可得 j j z 。+ 1 一z 。i i + | j 9 。+ 1 一o n 1 1 s 叫( 1 l z 。一x n - 1 l l + 1 | 鲰一y n - 1 1 1 ) ，0 叫 1 ( 4 1 9 ) 由( 4 1 9 ) 可知 z 。+ 1 ) 和( + 1 都是x 中的c a u c h y 序列令 z 扎+ 1 收 敛至u 石x ， 。+ 1 ) 收敛至0y x 由( 3 1 ) 可知 | i u 。+ l 一让。l l h ( u ( 。+ 1 ) ，u ( z 。) ) 曲| | 。+ l z 。i i ， 1 i 。十l 一”。| i h ( v ( x 。+ 1 ) ，v ( x 。) ) 卢l i 弘。+ 1 一y n m( 4 2 0 ) 因此， u 。) 和 都是x 中的c a u c h y 序列令 扎。) 收敛到珏，( ”。 收敛到 下证钍u ( z ) ，v y ( z ) 事实上 d ( u ，u ) ) l l u u 。| 1 + d ( u 。，u 扛) ) 墨l i u 一牡。i | + h ( u ( x 。) ，u ( z ) ) l l u 一钍。1 | + l i 。一z i l ，( 4 2 1 ) d 扣，y ( ) )sl l 一 o n 0 + d ( 珥。，y ( y ) ) 0 u 一珥。i l + 日( y ( 虮。) ，y ( 暑，) ) lj 一 。i i + 卢i i 掣。一可m ( 4 2 2 ) 其中d 0 ，y ( y ) ) ) = i n “f f 口z l i ：z y ( 彩) ，d ( u ，矿扛) ) ) = i n f l u 一2 ： z u ( z ) ) 令n o 。，可得d ( v ，y ( ) ) ) = 0 ，d ( u ，【，( z ) ) ) = 0 ，因此 “u ( 。) ，f y ( 剪) 即是x 。，蜘收敛到问题( 2 1 ) 的解 四川大学硕士学位论文 证毕 注3 1 当p 满足下列条件时 f p _ 背f p f l 1 一e 1 i i i ( 1 一e ，) 2 1 + 垮嚣半 碍一斤 其中e l = 2 丁干百瓤+ 2 饥， = f 2 + 几l 且 卜群【 ( 1 - 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