（应用数学专业论文）有限脊波变换及其在图像处理中的应用.pdf

摘要 大量事实证明，小波主要适用于表示具有各向同性奇异性的对象，对于各向 异性的奇异性，如数字图像中的边界以及线状特征等，小波并不是一个很好的表 示工具。这也正是基于小波的一系列处理方法，在如图像去噪等应用中，均不可 避免地在图像边缘和细节位置造成些模糊的原因所在。但是这些如边缘或纹理 的不连续特征恰恰是信号最重要的信息。随着脊波的出现，这个问题便得到了很 好的解决。 本文研究了有限脊波变换在图像处理中的一些应用，提战了一种图像去噪算 法和两种水印算法。图像去噪算法是改进了文 1 6 的算法得到的，即将二进离散 脊波代替了正交离散脊波。一种水印算法是先通过图像二进小波变换提取原图像 的模值图像，并对它进行均匀地分块，然后分别对每个子块进行有限脊波变换， 最后找出能量最高的脊波系数作为水印嵌入位置；另一种图像水印算法是结合脊 波域j n d 模型，将二值水印图像嵌入到按密钥确定的脊波系数中。两种水印算法 的水印检测都采用了相关函数来进行。最终，通过仿真实验，验证了上述算法的 合理性。 由于有限脊波变换存在“折叠”效应这明显缺陷，本文采取了维纳滤波的 办法取得了一定的效果，但是如何更加有效地消除它的影响足笔者下一步要做的 工作之一。 关键词： 有限脊波变换r a d o n 变换小波变换图像去噪鲁棒性 a b s t r a c t an n b e ro ff a c t sh a v ea p p r o v e dt h a tw a v e l e tm a i n l ya d a p t st 0t h ei s o 虹o p i c s i n g u l 撕t ) ro b j e c t b mt ot h ea n i s o t r o p i cs i n ”l 撕吼s u c ha st h ev e 玛eo fi m a g ea n dt h e w i r e l m ec h a r a c t e r w a v e l e ti sn o tt h eb e s tt 0 0 1 _ ni sm er e a s o nt h a taa 聃yo f p m c e e d i n g m e a l l sb a s e do n 啪v e l e t ，1 i k ei m a g ep m c e e d i n g ，c a u s em eb l u ro fi m a g ee d g e sa n d d e t a i l s b u tt h e s ea r et l l em o s ti m p o n a n ti n j o f m a t i o no fas i g n a l _ s i n c er i d g e l e ti s p r o p o s e d ，t h ep r o b k mi 8s o l v e dw e l l ht h ep a p e r ，w es t i l d yt h ea p p l i c a t i o no ff i n i t er i d g e l e t 缸弛s f o mi n i m a g e p r o c e s s i l l g a n d p r o p o s e a a 1 9 0 r i m mo fi 瑚g ed e n o i s i n ga i l d t w ow a t e 册舭i n g a l g 耐t 1 1 m s t l l ef i r s ta l g o r i t h mi so b t a i n e db ys l 小s 石t u t i n gm ed ”d i cd i s c r e t e 砌g e l e tf o r 廊伍。一d i s c r e t cr i 如e l e t 1 6 】o n eo ft w ow a t e m a r k i n gm e t h o d si so b t a i l l e d 叠sf o l l o 、s f i r s t ，百v e nan a t l l m li m a g e ，d y a d i cw a v e l e ti sp e r f b n n e df o ri ta n dam o d u a li m a g ei s g o t 曲e n i t i sp a r t i t i o n e d i n t os m a ub l o c k s ，a n de a c h b l o c k i sp e r f o r i n e d b yf r j t t h e m o s ts i g n i f i c a n tc o e 艏c i e m sa r e s e l e c t e d ， a i l d e v e i l t i l a l l y m ew a t e r 玎1 a r k i s e m b e d d e d t h es e c o n dw a t e 皿衄r k 如ga l g o d t h me m b c d st l l eb i n a r ) ri m a g ew a t e r m 戤蟠n g i l lm es e l e c t e dc o e 蚯c i e n t sa c c o r d i n gt o 也es e c r e tk e yb 髂i n go nj n dm o d e li n 蛙1 e r i d g e l e td o m a i n ac o n l a t i o nf i m c d o ni su s e di nt l l ew a t e l l n a r kd e t e c t i o np m c e s s 遗 t w ow a t e m 枷n gm 如o d s f i n a l l y ，妣s ea l 酬恤塔v 嘶矗e d 血ev a h 曲yt l l r o u 曲m i i l l i c 叩e 幽e 幽 b e c a u s ef i n hr i d g e l e t 廿a 1 1 s f o 锄b r i i l g s 哳印一a r o 岫寸e 虢c t ，w i e n e r 丘n e ri su s e d f o rr e d l l c m g “si n f l u e n c ei n 也ep a p 盯撇dab e t t c rr c s l l l ti sg o t t e n b u ti ti so n eo f a u t h o f sn e x tw o r kh o wm o r ea v a i l 曲l yt or e d l l c em e r a p - 缸讲m 口e d b c t k e y w o r d s ：n n i t e 础d g e l e t1 r r a n s f o 珊r a d o n i h n s f o i m w a v e l e t1 h n s f o r m i m a g ed 嘲o i 3 诅g r o b s t 创新性声明 y 8 s 8 8 8 2 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期：型! ! ：! ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后。发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期：占! ! ! ：! ： 日期： c z 曲z ： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 脊波分析的产生背景 寻求客观事物的“稀疏”表示方法， 领域的专家学者致力于的研究目标。 小波理论兴起于上世纪8 0 年代中期， 一直是计算机视觉、数学、数据压缩等 并迅速发展成为数学、物理、天文、生 物、化学等多个学科的重要分析工具之一；其良好的时、频局域分析能力，对 维有界变差函数类的“最优”逼近性能，多分辨分析概念的引入以及快速算法的 存在，是小波理论迅猛发展的重要原因。小波分析的巨大成功尤其表现在信号处 理、图像压缩等应用领域。1 9 9 9 年，新的静止图像压缩标准j p e g 一2 0 0 0 的确立更 是小波分析发展史上的一座里程碑。 生理学家们认为，一种“最优”的图像表示方法应该具有如下特征m 】： 1 ) 多分辨特征：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性： 2 ) 局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的； 3 ) 方向性：其“基”应该具有多“方向”性。 事实上，具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光 滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是 点奇异。实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等众多领域中一个非常核 心的问题。 对于含“点奇异”的一维信号，小波能达到“最优”的非线性逼近阶。而在 处理二维或者更高维含“线奇异”的信号时，虽然由一维小波张成的高维小波基 在逼近性能上要优于三角基，却也不能达到理想的最优逼近阶。这是由于一维小 波张成的二维可分离小波募只具有有限方向，即水平、垂直和对角造成的，即多 方向的缺乏是其不能“最优”表示具有线或者面奇异的高维函数的重要原因。 小波分析的不足，使人们开始从不同角度出发，试图寻找比小波更好的“稀 疏”表示工具【3 4 ，5 1 。脊波理论便是其中最有代表性、影响最深远的一种理论瞰司。 1 2 脊波分析的发展现状 1 9 9 8 年e 衄a n u e ljc a n d 括在其博士论文【2 3 j 及文献【2 4 1 给出了脊波变换的基本 理论，该理论巧妙地将二维函数中的“直线奇异”转化为“点奇异”，再用小波 进行处理，能获得对含“直线奇异”的二维或高维函数最优的非线性逼近阶。 有限脊波变换及其在图像处理中的应用 存这之后的同一年，d o n o h o 就给出了一种正交脊波的构造方法拉”。该正交脊波延 续了脊波变换将“直线奇异”转化为“点奇异”进行处理的思想，并且构成一组 l 2 ( r 2 ) 上的标准正交基。1 9 9 9 年，在文献圳中，e 蛐n a n u e ljc a n d e s 又提出了单 尺度脊波变换和c u r v e l e t 变换，它们都是由脊波变换发展而来，分别利用了函数 局部化和频带剖分的思想，将脊波理论发展到了一个更高的阶段，这两种变换都 能“近似最优”的表示直线和曲线奇异。到了2 0 0 3 年，侯彪、刘芳和焦李成给 = ： 了脊波变换的数字实现方法i ” ：2 0 0 5 年，由谭山等人又提出了脊波框架的理论。 与正交脊波不同的是，脊波框架【14 】的构造条件更加宽松，不需要受小波基性质的 约束，几乎各种小波基都能被用来构造此框架，而且脊波框架将正交脊波纳入其 构架而又具更广外延。冗余性的存在，在某些实际工程应用中使得框架往往比正 交基具有更好的性能，这也是脊波框架的优势之一， 本文主要介绍的是e l n l i l a n u e ljc a n d b 的脊波。它是以稳定的和固定的方式用 一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类。同时，它也具有基于离散变换的 “近于正交”的脊波函数的框架。在这些新的广泛的函数类上，利用各种特殊的高 维空间的不均匀性来模拟现实的信号。它应用现代调和分析的概念和方法，并使用 在小波分析和群展开理论中发展的技术，可用来处理神经网络的构造问题。同时 脊波具有具体的和稳定的使用脊函数的叠加来表示一个多变量函数f f x 】的形式， 而且对于相应的脊波空间中的函数，我们可以使用脊波字典中的有限个元素的叠 加来逼近函数f f x ) ，并使得这种逼近相对于f o i l f i c f 变换、小波交换和神经网络 来说能够获锝较好的定量的逼近速率。脊波将神经网络、统计学和调和分析等多 门学科的知识综合起来，并克服了这些学科涉及到的多变量函数逼近问题所遇到 的难题。 1 3 本文的工作 由于脊波对具有直线奇异的图像处理的优越性，因此在一些用小波处理图像 的情况下如果改用脊波来处理，势必取得类似或更佳的效果。基于此，本文围 绕着脊波域中的图像去噪和图像水印进行了初步研究。 论文的第二章简要的介绍了脊波理论的基础之一小波分析的基本理论。 着重阐述了= 进小波变换的原理和快速算法。同时给出了二进小波变换的分解和 重构的程序代码。为后面脊波的实际应用打下了理论基础。 第三章详细地介绍了由c 蛆d 懿提出的脊波变换的基本理论。包括连续脊波变 换的定义及相关性质和脊波变换的几种数字实现形式。 第四章是根据二进小波变换冗余性的特点。在文【1 6 】提出的去噪算法基础上， 进行了改进，得到一种基于二进离散脊波变换的图像去噪算法，二者通过仿真实 验结果的比较，证实了该算法的优越性。 第一章绪论 第五章提出了一种基于有限脊波变换的鲁棒水印算法。该算法是先对宿主图 像进行二进小波变换提取它的模值图像，再对模值图像进行分块，然后对每个子 块进行有限脊波变换，最后按照能量最高的规则选出嵌入水印的位置子块中 具有最高能量的脊波系数。水印的检测不需要原图像，实现了盲检测。即采用文 1 7 给出的闽值，通过相关系数与它的比较判断水印的存在性。仿真实验结果表明该 算法具有较强鲁棒性。 第六章是在文【1 7 利用人类视觉系统的规律特性建立起来的脊波域j n d 模型 的基础上，将一个二值图像嵌入由密钥选定的脊波系数里，从而得到一种有意义 图象水印算法。仿真实验结果也证明了该算法的有效性。 有限脊波变换及其在图像处理中的应用 第二章小波分析的基本理论 2 1 多分辨分析( m r a ) 定义2 1 设 巧) 一：为r ( r ) 的一串闭子空间序列，如果满足下面五条，则称 _ ) ，：为三2 ( 尺) 的一个多分辨分析m 3 1 1 1 ) 单调性：c _ 。，z 2 ) 平移不变性：若 3 ) 二进制伸缩相关性：竺! 兰坐铮“( 2 x ) e0 。，z 4 ) 逼近性：n 一= o ) ，u _ = f ( r ) 冉zj e z 5 ) r i e s z 基的存在性：存在9 0 ) ，使得穗 一七) ) k ：是的r i e s z 基。 把g ( z ) 规范正交化得到 = 击【( 鲞( 删圳2 ) 一垂( 训” ( 2 - 1 ) 则妒( x ) 称为多分辨分析 巧) 冉z 的一个尺度函数， 竹i ( 曲= 2 业烈2 ，z t ) ) ：为 巧的规范正交基。 取为巧在巧+ 中的正交补空间，则有 “= o ，且v f j ，有：彬上( 2 2 ) 我们能得到 上。( r ) = 日( 2 3 ) 这样就把r 僻) 分解为相互正交箭子空间。这样形成的序列 够) 。：具有以下性质 ( 1 ) 平移不变性：，则，- o 一2 i ) ( 2 4 ) ( 2 ) 二进制伸缩相关性： ，( 2 x ) + i( 2 5 ) 因为妒c 巧，仍。是巧的规范正交基。则 烈功= 。仍，。= i 峨烈2 x t ) ( 2 6 ) i z，k _ 姊d 一 一 x r “ 巧 曲力( ( “ “ 第二章小波分析的基本理论 式中玩妒， 且l 1 = 1 。 对( 2 6 ) 式作f o u r i e r 变换 妒( 国) = e “2 和( 脚2 ) vz 上式可记为 妒( 动：2 ) 烈埘2 ) 其中h ( 曲= 苦 。p 一“，这是一个以2 石为周期的函数，且 i h ( 妫i2 + 1 日( 珊+ 石) 1 设y ，它等价于p ，上且矿_ ，则同样可有 纵x ) = 识，。( x ) = 压g 。烈2 x j i ) 其中凰= ，其f o 耐e r 变换为 烈叻= 击；乳。- l ”烈2 ) = g 2 ) 烈珊2 ) 式中 g ( 动= 去即4 ” 、， g ( 却也是一个以2 疗为周期的函数，且满足 g ( 妫百砑+ g + 枷而而j = o 由( 2 1 3 ) 式得 因此 状叻= p 油门万面万硼国2 ) ( 2 1 5 ) 作f a i l r i e r 反变换可得 纵x ) = 压( - 1 ) “舡。烈2 x 一七) ( 2 1 6 ) i y ( z ) 就是小波函数，n 。( x ) = 2 ”妖2 x 一_ | ) 构成r ( r ) 的标准正交基。 力 却 柳 ” 弘 p 陋 协 有限脊波变换及其在图像处理中的应用 2 2 小波变换 如果y 三2 ( r ) 满足 c r2 【等咖， ( 2 _ 1 7 ) 则称为一个母小波或基本小波，( 2 1 7 ) 式称为容许性条件阢3 3 ，3 4 1 ，称 虬。( x ) 爿。i 一坝! 兰) ，其中。，6 r ，口o( 2 1 8 ) 口 为小波。当z ，马6 连续变化时，虬。称为连续小波；当口，6 分别离散化为a ? 和n 时 则称虬。为离散小波。连续小波变换和离散小波变换分别定义为 町( 咖) 虬，列订；，( x ) 页乏甄 ( 2 1 9 ) 阿( m ) ，。列厂，( x ) 吒西”z n 6 0 ) 矗r ( 2 2 0 ) 个函数矿三2 ( r ) 称为一个正交小波，如果由 蚧 ( x ) ；2 7 7 2 ( 2 7 x 一i ) ，_ ，i z ( 2 2 1 ) 定义的函数族 竹，。) 是上2 ( 矗) 的规范正交基，即 ( 2 - 2 5 ) 第二章小波分析的基本理论 q ，。= = ( 专，寺) ( 2 - 2 6 ) 在实际应用中，常用下面的等价形式来定义小波变换，2 三( r ) 的小波变换 为 阿 加厂+ 虬( 加肌) 帆( 川) 出= 肌) ( 孚) 加( 2 _ 2 7 ) 其中虬( x ) = 叭争。 2 3 二进小波变换及小波快速算法 在大多数情况下，无须使用连续尺度s ，为了使小波变换能够快速数字化实 现，假定尺度s 在序列 2 ) j e ：上取值，这样就产生了二进小波变换。 定义2 2 函数矿三2 ) 称为一个二进小波，若存在两个常数 4 ，b ( o o 6 e 震和口【o ，2 石) ，定义双变 量函数j 口：r 2 一r 2 如下 一( ，屯) = 口_ 心矿( ( c o s 疗+ 屯s i n 口一6 ) 口) ( 3 一1 ) 上式中的函数沿“脊”z 。c o s 8 + 而s j n 日= 常数，脊的横截面为小波，故称之为“脊 波”。图3 1 ( a ) ( 见上页) 所示是一个脊函数。它的角度为口，并且沿直线 而c o s 一十而s i l l 口为常值，脊的横截面为小波：图3 1 ( b ) 、3 1 ( c ) 和3 1 ( d ) 分别表示将 图3 1 ( a ) 中的脊函数进行伸缩、平移、旋转后得到的图形。 给定一可积的双变量函数，( 并) ，它的脊波系数定义为 乃( 口6 ，口) 。l 吒。，( x ) ，( x ) d k ( 3 - 2 ) 我们的假设保证了y 满足l 矿( a ) f 五2 d 五 卫 m 2 1 0 1 - 。 五 ( 4 埽) 称它为硬阈值方法；软阈值方法定义为： 糍 叠 溅 ；_ _ ! 蘩 谴，?蓦一凄 | _ 鬟 州重 i j ；： = ：= 纛 。 j 曩 霉时 ( a ) 硬阑值方法 峨_ 荆川以一m “ j 嗣 _ 谬 麓 彝誊i i j 毫 蒸! 鬻 j 溪 誊 篷 w 。 汐 i i l j 鏊蔓、 ( b ) 软阕值方法 ( c ) 更为复杂的闷值函数 图4 3 小波闷值收缩去嗓 有限脊波变换及其在图像处理中的应用 硬阈值和软阈值虽然在实际中得到广泛应用，但它们都存在不同程度的缺陷。 硬闽值方法；由于其收缩函数是不连续的，会在重构图像中出现一些“伪”噪声 点；软闽值方法虽然连续性好，但在处理绝对值大予阈值的小波系数是不是完全 保留而是作收缩处理，其结果会导致边缘的模糊。为克服这两种方法的缺点，一 种折中的方案就是通过更连续的途径，如图4 3 ( c ) 所示，它保留最大的系数，并且 从噪声到重要的系数之间是光滑的过渡。已有一些这样的函数提出来【5 7 ，5 ”，有的 方法还不只依赖一个阈值参数。 阀值去噪中一个关键问题是阈值的选取。小阈值产生的结果比较接近输入信 号，但这样的结果仍然是含噪的；大阈值恰好相反它把很多小波变换系数置为 零，系数的稀疏性产生的结果显得更加平滑，也就是说，丢失部分的系数还包含 有一些图像的奇异特性；选择大的阈值虽然在一定程度上减小了噪声，但会引起 图像的模糊和一些人为的噪声点。为了改善去噪的效果，人们纷纷对阈值的选择 进行了研究。目前使用较多的阅值方法包括：v i s h r i n k 阈值、s u r c s l l r i n k 阈值、 b a y e s “i l l ( 阈值和g c v 闽值，其中前两个阈值在b e s o v 空间是渐进 最优的；实验表明：基于数据驱动的，子带自适应的b a y e s s h r i k 阈值能够获 得接近于理想阈值的去噪效果，我们将在下面一节中详细讨论这一阈值；由g c v 准则得到的最优阙值也趋近于理想阚值，而且不需要估计噪声方差，所以常被采 用，令r ( 占) = 寺0 一_ | 2 s u r e 阈值 s 啪( j ) ：盯gr n i n f 丁( 艿) + 生笋一1 ( 4 _ 1 0 ) g c v 阈值 g c y ( 占) = a r g m i n r ( 万) ( o ) 2 叮( 4 一1 1 ) 其中， r 是某一系数层中，小波系数的个数。n 代表在对应的层中被置为零 的系数个数，w 和分别代表阈值处理前和处理后的小波系数，盯为噪声方差。 阈值可以分为全局阈值和局部适应阚值两类。其中，全局阈值是对各层所有 的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的；与全局阚值不同，局部阈值主要 是通过考察在一点或某一局部的特点，在根据灵活的判定原则来判定系数是“主 噪”还是“主信”，以实现去噪和保留有效特征之间的平衡，而且判定原则有时并 不一定是从系数的绝对值来考虑的，而是从别的方面，例如从概率和模糊隶属度 方面来考虑。实验结果表明，局部阈值的确比全局阚值对信号的适应性好，但需 要较繁琐的计算。 第四章基于脊波变换的图像去噪 4 2 3 小波系数的统计模型 近年来，自然图像及其变换系数的统计模型取得了一些新的进展。因此，统 计方法作为一种新的工具被应用在小波去噪中。其基本思想是：对小波变换系数 用先验概率分布进行建模。然后，问题转化为用先验信息和贝叶斯估计方法，对 无噪声的信号进行估计。 统计模型假定小波系数是由些概率分布函数表达的随机变量，目前最经常 使用的模型假设系数是独立分布的，并用高斯分布、l 即l a c i a n 分布、广义高斯分 布或其它分布来刻画系数的分布，如经典的软闽值收缩函数可从l a p l a c i 锄分布假 设得到。小波去噪中使用其它分布的方法也曾被提出。但将这些简单的分布作为 自然图像小波分解系数的模型是不够准确的。因为它们忽略了系数之间的相关特 性。 小波变换具有较强的去相关特性，交换后能得到较稀疏的图像表示，这种特 性在压缩编码和图像去噪中得到了广泛的应用。然而，变换后的小波系数之间仍 然还存在着许多相关性质。这些相关性主要分为以下两种情况：1 ) 在同一分辩率 的每个子带中，小波系数具有类聚特性的相关性，这种特性称为局域类聚特性或 层内相关性。在形态学编码和图像去噪中都已较好地利用了小波系数层