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一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配置方法全离散 i o 1中文摘要 抛物型积分微分方程多出现在记忆材料的热传导、多孔粘弹性 介质的压缩、原子反应、动力学等问题中。国内外的许多学者如陈 传淼 4 、y7 _ h 。m e 、m c f e 。n 1 0 等，对此类方程的数值求解方法 进行过大量的研究。有限元方法、有限差分方法、谱方法以及样条 配置方法都是此类方程常用的数值解法。有限元方法、有限差分方 法都已经有了较成熟的结论【4 ，1 0 ，而谱方法的研究较少。 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程的时间空间全 离散，空间方向采用谱方法，时间方向采用一阶和二阶的有限差分 方法，得出了其相应的稳定性和误差估计，并通过数值计算说明误 差与理论估计一致。 主要结果如下： ( 1 ) 给出了g 血f e r k i ”谱方法空间半离散格式的稳定性和误差估 计，以及数值例子。 ( 2 ) 给出了谱配置方法空间半离散格式的稳定性和误差估计。 ( 3 ) 给出了基于空间谱配置方法的一阶和二阶精度的全离散格 式，得到了稳定性和误差估计。 关键词：弱奇异核；偏积分微分方程；伪f e r k z ”谱方法；谱配 置方法；分片插值 i i 湖南师范大学硕士学位论文 0 2 a b s t r a c t t h ei n t e g r 。一d i f f e r e t i a le q u a t i 。no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i c a t i o l l ss u c h 蹦h e a tc o n d u c n o ni 1 1m a t e r i a l sw i t hm e m o r mc o m p r o s s i o i l ( ) f v i s c o e l a s t l cn l e d i a ，n l l ( l e a ir e a c t o r d y n a n l i c s e t c a a n vw ( ) i k sh n v ( ，】) ( ，t 、i j d o n eb yc h u a 小m i a oc h e n ( 4 ，v t h o n l 6 e ，w m c l e a u ( 1 0 】，e t cd o n l 幽t i ca n d 0 v e r s e a sf e m ，6 n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，s p e c t r a lm e t h 。da n ds p l i n ec o l l ( 】c a t i o nm e t h o da r et h em e t h o d sw eo f 色nu s e dt od e a lw i t ht h i sk i n do fe q u a t j o n s ， a n d 、v eh a ea i r e a d yg e ts o m em a t u r er e s u l t so nf e m 4 ，l o 】a n d n l t ed i f k l l e n c e 瑚e t h o d ，b u tw eg e tf e wr e s u l t sf r o ms p e c t r a ln l e t h o d v c o n s i d e rt h es p a t i a la n dt e m p o r a lf u l ld i s c r e t es c h e m eo fap a i t i a l i n t e g r o d i 丑b r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p ew i t haw e a 】( 1 y8 i n g u l a rk e r n e l t h ee q u a t i o ni sd i s c r e t i z e di n s p a c eb yg a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o da n ds p e c t r a lc o l l o c a 乜o nm e t h o d ，a n di nt i m e 矗r l i t ed i f f e r e n c e so f 打r s ta n ds c c o l l d 。( 1 e r t l r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，w eg e tt h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g ( ! n c eo ft h cs o l l l t l 。n ，a n dw ea l s op i e s e n tt h ee r j o io fn u m e r j c a le x p e r j i n e 儿t s ， p i m l a i yr e s u l t sa sf o l l o w s ( 1 ) t h e8 t a b i l i t ya n de h o rb o i u l do fg a l e i 。k i ns p e c t r a lm e t l l ( ) ds p a t l a ls c n l 卜 d l s c r e t i z a t i o na n dt h er e s u l t so fn u m e ii c a le x p e r i m e n t sa ieg j v e n ( 2 ) t h es t a b j l i t ya n dc o n v e r g e i l c eo fs p e c t r 舡c o l l o c a t i o nm e t h o ds i ) a t i a l s e m i d i s c r e t i z a t i o na r eg i v e n ( 3 ) w eg i v ef u 儿d i s c r e t es c h e m eo ft h e 行r s ta n ds e c o n do d e ro ft h i se q u a _ t i o n ，a n dg e tt h es t a b m t ya de r r o re s t i m a t e k e yw o r d s w e a k i ys i n g u i a rk e r n e l ；p a r t j a ii n t e g r o d i 0 1 _ e ：n t j a lc q t l 一一 t l ( j i l ；g a l e i k n ls p p c t i a ln l e t h ( ) d js p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d ；i ) i ( ? c e w i s el i i l 【、a i i 1 1 t e r p o i a t l o n 湖南师范大学硕士学位论文 第一章序言 我们将研究下面这类偏积分微分方程数值解的谱方法格式 “。( t ，z ) 一片卢0 一s ) u 。( s ，z ) d s = ，( t ，z ) ( 11 ) ( 其中核卢( t ) = q t _ 1 2 ，在扛。点是奇异的) 一1 三z 三1 ，o o ，o 茎臼1( 15 ) 时间导数满足 f d 黜( ，z ) h 2 。曼c ( 。，= 】! ) f 小 ) 肚“， 、 1 1u j t o ，一1 墨臼l 由于弱奇异核，问题( 11 ) 一( 13 ) 的正则性受到限制，因此对a 也有一 定的要求。正则性条件佗2 、亿3 的证明将在第六章中给出。 本文安排如下： 第一章介绍了要讨论的偏积分微分方程以及数值求解的谱方法， 给出全文的正则性条件。 第二章介绍了一些预备知识与与一些基本引理。 第三章和第四章分别给出了g “f c t 、k z ，。谱方法和谱配疆方法空间 半离散的格式，并分别得出了其稳定性和误差估计。所得的误差界 与参考文献的一些文章所得的结果一致。 第五章，给出了基于谱配置方法的时间空间一阶和二阶的全离 散格式，其中，空间方向采用向后e u f e r 格式，积分项采用分片线性 插值。得到了全离散的稳定性和误差界。 第六章对使得全文结果成立的正则性条件给予了证明。 一些归纳性评价在第七章。 最后一章给出了数值实例。 4 湖南师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1定义及数值求积公式 我们给出在本文中将用到的一些定义和一些基本结果。先给出 l 2 空间以及上面定义的内积和范数 l 2 ( n ) = u ：q 一皿可测；厶t ，2 ( z ) 出 l ，e ( p ) = 2 p l 。 证明见 9 ，( 22 9 ) 。 引理2 2 对任意一o ，如果妒h ，( n ) n 俨( n ) ，则正交投影满 足误差估计 j j 妒一j 妒j j g 一。j j 妒j j 。( 21 2 ) 证明见 6 ，定理4 1 引理2 3 对任意一1 ，如果妒h 1 ( n ) n 俨( n ) ，则正交投影满足 误差估计 i 妒一尸妒1 i - e 1 一。i l 妒l l 。( 21 3 ) 6 湖南师范大学硕士学位论文 证明见【6 ，引理43 】 引理24 对任意“日1 ( q ) ，均有 陋一如uj | e ”j 。 证明见 1 7 ，定理1 2 。 湖南师范大学硕士学位论文 7 第三章g 0 2 e r 七i n 谱方法空间半离散 c 一9 日o i m ( 5 采用g 0 2 e r 咖谱方法对一类带弱奇异核的二维 偏积分微分方程进行了空闻离散，本章是【5 的方法在问题( 11 ) 一( 1 ，3 ) 上的应用。 3 1数值格式 设方程( 11 ) 的精确解为“，g 。f e r 。礼空间半离散的近似解为 札，“w ：( o ，引一嘴( n ) ，其中，n = 【一1 ，1 。( 1 1 ) 一( 13 ) 的离散格 式可以写成如下形式 ( z ? ：一一片( 一s ) ( w z z ( s ) ，x ) 4 s = ( ，( 。) ，x ) ， v x p ( q ) ， ( 31 ) u ( 0 ) = b v u o 、 么 令b u ( s ) = 一u 。( s ，z ) ，b ( - ，) 是与之对应的对称正定的双线型，那 6 对b ( 丫) 的性质作了详细的研究，在此我们引用其中的一些 结论。存在常数c l ，c 2 o ，对任意“，t ，h 1 ( n ) ，有 f b ( u ，”) j c l 。”f k l ，( 33 ) b ( ”，口) j c 2 旧( 34 ) 实际上，( 33 ) 可以由g n “c 的一s c 叫a r 。不等式，( 3 4 ) 可以由强制性 得到。 3 2稳定- | 生 下面给出格式的稳定性。 8 湖南师范大学硕士学位论文 引理3 1 如果b 是口 f 6 e n 空间中的正定自伴算子，b ( ，) 是相 应的d ( b 1 2 ) 上的对称双线型，p 是正类型核，则有 毋( 札) = j 后卢( 一s ) b 沁( s ) ，u ( f ) ) d s 出ov 丁 o ，u g ( ( o ，t ；d ( b 1 2 ) ) 证明 1 0 设 如) 罡，和 o ，存在常数国，使得 ；c 七j ； ”l | 妒t l l d s 一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配置方法全离散 1 9 证明见 4 ，引理5 。 定义q ( 声) 如下 q ( 咖) = 讲：( 庐) “( 55 ) n = 1 若q ( 咖) 芝o ，我们就称是正的。 引理52 假设序列 ) 器。f 。是正的，凸的，且设6 0 = 。o 2 6 ，= ，对j 三1 ，那么 6 。一，秒妒“2o ，v 庐= ( 妒1 ，) r n ，21 = 1j = 1 证明见 1 0 ，引理4 3 。 引理5 3 如果卢满足如下正则性条件 口c 2 ( r 十) ( 一1 ) j 卢o ( t ) 芝o ，t o ，7 = o ，1 ，2 那么 n“ q ( 妒) = 七“。，妒7 妒“ov 妒= ( 1 ，咖) r n ，2l t = 1 1 = l 证明 + 2 2 岫+ 1 + u ，= 佬+ 1 p ( s + 2 k ) 一2 卢( 5 + ) + 卢( s ) d s o ， 所以，序列 ) 器。是正的且凸的，令屿= 6 j ，根据引理5 2 ，可得 ” q ( 妒) = u 。妒妒“o n = lj = 1 定理5 1 如果卢弱奇异且是正的，那么( 5 3 ) 的解满足 i u 搿f f f l 加f i + 2 i 【 。j l ， 1 n = 1 证明在( 52 ) 中取) ( = ，可以得到 ( a 吩，) + ( b ( ，) ) = ( ，) ， ( 56 ) 2 0 湖南师范大学硕士学位论文 其中 ( a 旧，嵋) = ( 嵋，a 嘴) w = ；( 峭+ 峭。+ 峭一，a ) “ = j ( 嘴十暇，a ) _ + ：( a 嵋，a 噶) = ；( 嘴，磊) + ；( 盯1 ，反嘴) + 洲磊嘴嗡 = 去 ( 峭，峭) ( 嘴1 。，唿) + ( 峭，嵋1 ) ( 嘴，“) w ) + 钏a 嵋惰 = j a l l 峭l l 兔+ j l 侥； 知 那么( 5 ，6 ) 可以写为 ；酬嗡+ 洲反嗡+ b ( ( ) ，噶) = ( 厶，峭) 即 嗡一jj 哚。嗡+ 2 a b ( ( ) ，) ) 2 圳厶k 馏 ? 嘴限一| | 嵋。哺+ 2 k ( ( b 1 2 ) ，日1 2 ) ) 2 训，n f 嘴 ( 57 ) 将( 57 ) 从1 一求和 nn 嘴悔一j | 垛嗡+ 2 七( g 札( b 1 2 ) ，b 1 2 婚) s2 忱i n = 1n = 1 由引理5 3 可得 所以 2 ( ( b 1 2 ) ，b 1 2 嘴) n = 1 v 2 七如( b 1 2 妇) b 1 肛嘹出 n = 1 ：2 正2q _ ( b 1 2 ，) d a ，o v 彤i l 斋l f 品j | 知十2 女l ，t 。| j w l | u 茹 | _ ( 58 ) 设i ( 嘴2 。嬲怯 j w | | 咄幅剑嘴情钏嘿惰+ 2 七峭 = 1 f | 如u o + 2 七| | | | l 嘴lj 一二鲞堡塑童量垄堡塑坌丝坌之兰堂里墨之查全查塾：! l 而 v f f 如u 情= ( 如”( 掘) ) 2 = 艺( u ( 吼) ) 2 啦= f 务戤为g 。“s s 点， j = u j = 0 由f i b “o = f f u o ，可以得到 i u 影j l sl l u o l + 2 | | 厶| | ， 21 证毕。 定理52 如果卢弱奇异且是正的，初值珈光滑，并假设u 满 足正则性条件冗2 ，且 | | n u o u 。i i c 一。l i 乱o l l ， 那么( 52 ) 和f l1 ) 的解满足 i l 咄u ( ) l l g 一8 ( i l u 。l l 。+ j ： “| | 地i i ，d s ) + g k 厝” i l “。i i + i i u 。i 】。 d s + g l l e ( ，n ) m n = 1 证明兄w 是由( 25 ) 定义的俄把投影，令 e n2 嚼一u ( k ) = ( ，胥一r ( 。) ) + ( r u ( 如) 一u ( k ) ) = 口n + p n ， ( 41 5 ) 在点为 ( 兄饥( ) ，x ) 十片”( f ，。一s ) b ( 兄_ t l ( s ) ，) d s 2 ( ，x ) + ( r 毗( t 。) 啦( t 。) ，x ) + ( e ( r 毗( t 。) ) ，x ) + ；”( t 。一s ) ( b ( r “( s ) ，x ) 一b ( r “，x ) ) d s ， f 59 1 因为对任意) ( 略( q ) ，有曰_ v ( r 扎，x ) = b ( r “，) ( ) ，( 5 9 ) 可以写为 ( r ，“c ( t n ) ，) ( ) + 厝“卢( k s ) b ( r v u ( s ) ，) ( ) d s 2 ( 厶，x ) + ( r u t ( t 。) “t ( t 。) ，) ( ) + ( e ( r 札：( 。) ) ，) ， ( 51 0 1 由( 52 ) 减去( 51 0 ) 可得 ( 觑坼j ， ) 一( 只t k ( f n ) ，x ) + q 几( b ( ，x ) ) 一片“卢( t 。一s ) b ( r “( s ) ) d s = ( ，k ，x ) 一( 。，x ) 一( r u 。( t ，。) “t ( 。) ，x ) 一( e ( r 。( 。) ) ，x ) 2 2 湖南师范大学硕士学位论文 ( 岛瑶，) 一( 岛r u ( t 。) ，) ( ) v v + q 。( b k ( 【，) ( ) ) g 。( b ( 兄让，x ) ) = ( e ( 厶) ，x ) 一( r u c ( ) 一地( 如) ，x ) 一( e ( 冗u t ( t 。) ) ，x ) + ( r _ 乱f ( k ) ，x ) + 片”卢( 如一s ) b _ ( r u ( s ) ，) ( ) d s 一( 晚r u ( t 。) ，) ( ) 一口。( b ( r u ，x ) ) ， 整理可得 ( a 铲，x ) + ( b ( 占，) ( ) ) = ( e ( ) ，) ( ) + ( u t ( 。) ，) ( ) 一( a r t ( t 。) ，) ( ) + 后”( k 一5 ) 臼k ( 只“( 占) ，x ) d s g 。( b ( 兄_ “，x ) ) f 51 1 1 定义i ；1 1 9 1 i i 如1 野( ) ( ) = ( e ( 厶) ，) ( ) ， 珂( x ) = ( “t ( t 。) ，) 一( a t r u ( 。) ，x ) ， 君( x ) 一鼻”( f 。一s ) 日( r “( s ) ，x ) 出一( 局v ( 局v “，x ) ) 分别对耳，坷，珂做出估计 j 叩( x ) | = i ( e ( 厶) ，) ( ) l l l e ( ) x l fsj e ( 工。) ) ( 1 j 毋( ) ) f = l ( “t ( 。) ，x ) 一( a r u ( 。) ，x ) i 冬| ( 饥( ，。) 一a “( 。) ，) ( ) f + f ( e ( a “( 屯) ) ，x ) + ( 况矿，x ) “ = f 呷( ) ( ) j + i 霄( x ) l 十 唁( x ) i 根据带积分余项的t a 2 。r 展开 l 霄( x ) i = f ( u c ( 。) 一a c u ( t 。) ，) ( ) i 茎 i u 。( t 。) 一玩u ( t 。) l 1 1 ) ( 1 | = | 1 j ：_ ：一1u 托( s ) ( t 。一- 一s ) d 5 1 ) ( j g 正曼，l 札“| | d s i i ) ( | | ， f r 于( x ) l = l ( e ( 画u ( k ) ) ，x ) j 茎g 一。| | 氛“( k ) | | 。| | x i g 一4 正曼1 m t 怯d s | | x | | w i 哼( x ) j = j ( 岛户“，x ) w isl | 磊p ”1 1 ) ( i 、脏1 - 1l 风| | d s l x f j “ = g 芷：， r “t ( 。) 一n “t ( k ) i _ d s i i x l | c ；上：二，月啦( 如) 一知毗( 如) j j ( ：! s jj x j | sc ” 庇，s ， 所以 i 毋( ) i 茎g 皮，训“圳+ ”峪如 二兰堂塑童兰茎堡塑坌丝坌空堡登璺墨垄鲞全塑堂 ：! ! ： i 毋( x ) j = j ； “卢( t 。一s ) b ( r _ “( s ) ，x ) d s 一( b ( r u ，x ) ) = i ( 且( 兄_ v u ，) ) l = f ( 日( r “，x ) ) l 2 j e n ( b ( p ，x ) ) + e 礼( b ( u ，x ) ) = l ( e 。( b ”) ，x ) 】 在( 51 1 ) 中令x = 俨，类似于( 5 8 ) 的推导，可得 ；磊| | 日“| l ；，+ ；l | 磊扩1 1 ；，+ b ( ( p ) ) 目n ) ：妻口( 8 n ) 0 1 1 j j 俨i j 知一l 铲一1 i i 知+ 2 ( ( b z 日，b z 俨) ) 2 k 壹l 口( 扩) j ，( 51 2 ) t = 1 将( 51 2 ) 从l 到_ v 求和 j 日慵一j 伊憾+ 塞2 自( ( 启- 。9 ) ，b z 伊) 茎2 七登圭】p ( 目。) f ， 7 l = i t t = lt = i 即 伊幅j 妒情+ 2 女壹登f 口( 俨) f _( 51 3 ) i = 1 n = 1 向 j 日( 目”) j a j e ( 厶) 目“j ， f 口( 目”) fse 正量，( f f n 。| i + 4 f 毗o 。) d s j l 日n | | ， n o l a 7 ， oe j 坷( 俨) l 茎 ( e 。( 日u ) ，i 茎妻慨( 口u ) 引 t 0 5 i n = 11 没归”怯2 攫黑渺怯，据引理5 1 ，可得 f 51 4 ) f 5 5 1 f 51 6 ) n n 2 至 学( 目“) j 茎2 恢( b “) p m = 萌( 日“) 归m 怯 n = jn = 1 g 露”j j b 毗i j d s ；i 目mj i ( 51 7 ) sc j ”l i 。fj 。d sj | 日mj 根据( 5 1 4 ) 一( 51 7 ) 可以得到日”的估计 p “j 知s j m ；j 知删目。i ，+ e k 。厝“( i m 。t f f + 心。l j2 ) 如+ ga t 一一肝“忆，忆，s + c i e ( i ) f i ) fj 目m i i ， n = 1 2 4 湖南师范大学硕士学位论文 即 而 口i l l l 口m i i 1 1 口0 1 1 + g 七j ： ( | | “能| i + l i “t l l 2 ) d s + g | 一a 露- i i 。1 1 。d s + g 苎1 | e ( 厶) n = l 目o | | v = f u 品一r v u o i l _ e | | u 品一r u o | f c lj ，o 一“o + f | u o r u o 【f ) sg 一4 l l u o l l 。 ( 52 ) 和( 1 1 ) 的解的误差为 ! 【嘣一u ( t ) i i _ v 茎i l 臼i i _ v + | i p | | l 臼。v jj + g l l 户i i si | p i | ”+ c ! | 矿| i + 片”i 胁| | d s ) | | p l i + c 一。 l l 讪】lj 。+ 片“i u c l | 。d s ) sg j 一。 i i o 【| 。+ 届l i u t l i ，d s ) + c 七片“( 1 i u tc j i + i i 扎c | | 。 d 。s + g a i 】e ( 厶) m 定理得证。 5 2二阶全离散格式及其稳定性、误差估计 通过5 1 节可以看到，用向后差商近似u 。只有一阶精度，接下来 我们考虑更高精度的格式。定义二阶向后差分算子 d 5 2 嵋= a 哚+ j 四， 礼= 2 ， 满足 ( d 2 v 品，) ( ) + 口。( b ( u ，) ( ) ) = ( ，x ) ， n 2 = ，( 。) ( 磊u 斋，x ) _ + q 1 ( b _ v ( 矿，x ) ) = ( ，x ) _ ， osi 曼 z ；为n 上的g n u s s 点 ( 51 9 ) 如 州 im蚓旧 诞 以归 所 一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配置方法全离散 2 5 ( 51 9 ) 是基于空间谱配置方法的二阶全离散格式。这里( 妒) 不再是 ( 29 ) 所定义的，因为( 29 ) 中妒取常数，时间离散只有一阶精度， 因此需重新定义( 妒) 。这里我们采用( 2 1 0 ) 的格式。 对于弱奇异核卢( t ) = t 一1 2 ，有r e 声( i 目) o 1 1 ，卢为正类型核并有 如下引理 引理5 4 假设卢三1 ( o ，t 】是正定核，那么( 2 1 0 ) 是弱正的，且满 足 三( 妒) 茎g 惫片i i 妒l d s + c 足2 丘“jj 妒“j f d s ， t 丁 证明见f l o ，引理4 8 _ 我们可以得到如下稳定性结果。 定理53 卢是( 1 1 ) 定义的弱奇异核，如果是正的，那么( 5 1 9 ) 的结果满足 _ i i 蚓| | _ s f “o i l r + 3 女i i 厶l - ， l n = 1 证明设女崤= 一，a = 1 ，2 那么 2 = 1 嵋+ 1 伊1 ， d f 2 j = 弘馋一2 嘴一1 + 事塌 = 2 1u 一；2u 品 因此 2 ( m ，) = 2 ( ，哚) w 一2 ( ，) w = ( 、) 一( 【噶“) + ( ，嘹) 一( ，) + ( 一，砘) - v 一( ，) = t 】| ij 知+ 0 m 吸| | 知 可以得到 以驯引”薯丛裂l 硅篙型裂蒿，。狙 z 。， + | i ，吩| | 知一j l | 。崤l l 斋， n 三2 、 7 将( 52 0 ) 从2 到n 求和，有 至( ，| 限一j 。f | 2 剖蟛嗡圳吲1 惰一剥嗡+ 划峨慨 2 6 湖南师范大学硕士学位论文 即 nn ( 忪，幅一划。峭删- 峭限一划z 怯+ ) j t 。2 ) n=2，t=2 2j ( i z u 品i 知一l l z 盯1 知) = ；( | 1 - 蜡l i 知f | - l l 备) 女( 反，) + 曼( d z ，崤) 洲嵋嗡一l 嘿嗡+ 忪哚嗡) + 捌，嘴嗡一忪垛嗡 + 俐嘴限一划蚶。情一剖情+ 划峨 i0 影j i 知一j | ! u 影一1j | 知一j i ! u j j 知一；0 u 品| l 知 ( 52 1 ) 将( 51 9 ) 从1 到求和得到 ( a 吩，嵋) + k 登( d ；z 吸，喝) v + 厶。( b t z ) d z ： 登( 厶，) n = 2 n = 1 根据( 5 2 1 ) ，可得 到吲嗡一划咄- 1 嗡一圳嘿恼一划嘴嗡+ q ( b 1 2 ) 出 | 嘴怯 q n 为弱正的，那么 | l 嘴限s 洲蟛- 1 嗡+ | 1 嗡+ 嘿+ ；e 怯 设i i u 删一。黝f | 峭 m i f u 舻【1 知j e l v 舻一1 备+ l l 哚| 知+ l i 嘿| | 知) + el | w | 崤l i - v 有 m 矿妒i l 知 ；( 1 i 哚i l + i i 嘿 l ) + 2 l | ，n i i i f u 舻l t t = 1 v 黟l 】- j ( 1 u 南l i v + l | u 品| j v ) + 2 k 1 j 1 1 n = 1 一类带弱奇异核偏积分微分方程谱配置方法全离散2 7 = l 时 ( 一蝶，) + b ( 9 1 ( ) ，) = k ( ，碥) l i u 由lj | | u 品| j + 七| | i 厂，| j ， 所以 j 蚓怯曼峨+ 3 a 登f l 厶一f i b 。怯+ 3 苎f ，n 怯：l i 。+ 3 a 登l 】，。怯 n = l n = 1n = 1 证毕。 u 彤| | s l u o f l + 3 i l 厶i i 定理5 4 如果( 11 ) 的解“满足正则性条件冗3 ，且是正的，那 么( 51 9 ) 和( 1 1 ) 的解满足 嘴一u ( ) i sc 一。 | | u o l l ，+ 詹“i j u t _ | 。d s ) + g 片( | | 毗。| + j f “。| | 。) ds + c 詹2j m 。i d s + g a 2 兵“( | | 地。_ | + i f u 。i i 。) d 。s + c i i e ( 。) l j ， t o n = 1 证明此定理的证明与定理52 的证明是平行的，仿照( 51 1 ) 的推导 其中 ( d 2 目n ，x ) + b ( ( ，x )口( x ) 、 n 2 ( 52 2 ) 日( x ) 一( e ( 厶) ，) ( ) ， 毋( x ) = ( u 。( 。) ，x ) 一( d 2 ) r u ( f 。) ，x ) ， 毋( x ) = 片”p ( t 。一s ) b ( r u ( s ) ，) ( ) d s q 。( b ( 兄，x ) ) 分别对它们进行估计 i ，? ( ) ( ) l = ( e ( 厶) ，) ( ) i 茎i | e ( ) x | | | j e ( 厶) l x | | w 攀( x ) l = | ( u 。( ) ，x ) 一( d ；2 月_ “( 屯) ，x ) i 曼i ( “。( k ) 一d 2 u ( ，。) ，) ( ) i ( e ( d 产札( 如) ) ，x ) l + i ( d f 2 p n ，x ) = l 叶( ) ( ) l + j 碹( ) ( ) j + i 哼( x ) l ， 2 8 湖南师范大学硕士学位论文 f 丁i ( ) ( ) f = i ( 。( t ，。) 一d ：2 扎( t 。) ，x ) j | l “c ( “) 一d 1 2 u ( k ) | | | | ) ( | | = l i 砘( “) 一a u ( f 。) 一j 留u ( 。) | | i i x i l ，v = i i u t ( 如) 一( 一2 ( u ( k 一- ) 一“( 如) ) + j ( t z ( t 。一2 ) 一u ( t 。) ) 川l l x l | - ， 分别对u ( t 。一。) 和u ( 。一。) 在u ( k ) 点使用带积分余项的t 。f w 展开， n23 时 叩( ) ( ) j 茎j i ( 正? u ( s ) ( t 。一一s ) 2 d s i ：l 一1u ( s ) ( t 。一。一s ) 2 d s ) x l i ( 2j 乏，1 1 u t “( s ) d s + ；4 七2 正! ：| | u t “( s ) l l d s ) i l x l i ( 正曼。f f 札t “( s ) i f d s + 二。f | 札m ( s ) | d s ) f | x | f 茎c 女二：| | u m ( s ) i l d s l l x i f - ， = 2 时 开( ) ( ) l ( 2 片l l “。( s ) | | 如+ k 麝| | u 。( s ) | | d s ) 恢 5g 1 1 “。( s ) i l d s l 【x l l - 1 曙( x ) i = l ( e ( d u ( t 。) ) ，) ( ) 1 c 一0 d 2 扎( “) f = g j v 一。| 1 一2 ( u ( k 一1 ) 一u ( 。) ) 十 ( u ( t 。一z ) 一u ( 如) ) i | 。【| x se 一。；( 2 二。 | u t i i 。d s + ；：。i l u t l | 。d s ) ) ( 1 | g 一仨：s l 霄( x ) j = l ( d ；纠p “，x ) i | | d f 2 p “i i i i x = f i i 一2 ( p “一1p ”) + j ( 户”一2 一p “) f i l f x f l sc ；皮，d s x 怯 c 虎。怯) ( | i g 人卜4 ：止：f j “c i 。d s |