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中立摘监 摘要 保持弧长约束的插值与逼近在曲线的设计中具有重要意义，宅是 由w h n g & d a m m e 首先提出来的。用n u r b s 方法解决带约束条彳牛的曲 线瞧蘑设计具有重要豹意义。本文给出了载造弧长约束条传下g 逶续 的组合有理二次b e z i e r 插值曲线的方法，它不仅捅值于给定型值点， 舔麓稆邻掰鳘值意闻弧长遥近给定毽。本方法着熏解决了根据弧长约 束条件确定内权因子。并盥给出tn u r b s 表示形式。 权因子的应用骚为设计工作摄供了灵活性，假从另一方面考虑也 对没计人员和用户提出了更高的要求。扶数学上援示出权阁予的本质 意义重大。本文解决t - - 次有理b e i z i e r 曲线与二次b e i z i e r 曲线，二 次n u r b s 魑线与二次b 撵条莛线，三次n u r b s 趣线与三次b 檬条 曲线的映射关系；并对一般的k 次n u r b s 曲线与k 次b 样条曲线的 浚瓣关系佟7 探讨。 李强簿在已知三个型值点时，通过直接给出控制顶点和权因予的 方法得至n 用二次n u r b s 精确表示因弧的方法，德只给出踊弧的圆心 角小予万的情况。豳此针对所有情况给出了用二次n u r b s 精确表示 圆弧曲线的实用方法：基予李强等的工作指出有关文献中三次n u r b s 精确表示骊弧豹雾法的适鼷牲艰割，提是了耀三次n u r b s 精确表示 铡弧的一个改进算法。 关键词：样条函数；n u r b s 曲线；权因子；圆弧曲线 英文摘要 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho n a p p r o x i m a t i o na n di n t e r p o l a t i o nw i t hc o n s t r a i n e d l e n g t h i s i m p o r t a n t i ni n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s i n t h i s p a p e r ，a c o n s t r u c t i n gm e t h o di sp r e s e n t e d ，w h i c hp r o d u c e so n e g 1c o n t i n u e c o m p o s e db e z i e ri n t e r p o l a t i o nc u r v eo fd e g r e et w ow i t hc o n s t r a i n e d l e n g t h t h ek e yo ft h i sm e t h o di s h o wt oc h o o s ei n s i d e w e i g h t s a c c o r d i n gt ot h ec o n s t r a i n e dl e n g t h a n dt h ec u r v ei se x p r e s s e dw i t h n u r b s o f d e g r e e t w o t h e a p p l i c a t i o no f w e i g h t sg i v e sm o r ef l e x i b l ei nd e s i g n ，b u ti t n e e d st h ed e s i g n e r sa n dt h eu s e r sh a v et ob em o r ee x p e r i e n c e di n w e i g h t s t h er e s e a r c ho nw e i g h t s n a t i v ei sm o r ee x p o c h a l i nt h i s p a p e r , w es l o v et h er e l a t i o n so fr a t i o n a lb e z i e rc u r v eo fd e g r e et w o a n db e z i e rc u r v eo f d e g r e et w o ，n u r b sc u r v eo fd e g r e et w oa n db s p l i n ec u r v eo f d e g r e et w o ，n u r b sc u r v eo f d e g r e et h r e ea n db s p l i n e c u r v eo fd e g r e et h r e e a n dw ed i s c u s st h er e l a t i o no f g e n e r a ln u r b s c u r v eo f d e g r e eka n db s p l i n ec u r v eo f d e g r e e k a n a p p r o a c ho fr e p r e s e n t i n gc i r c u l a ra r c sw i t hn u r b so fd e g r e e t w ow a sg i v e nb yo t h e r s ，b u ti tw a sb a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h e a r ca n g l ei sl e s st h a n 玎a na p p r o a c ho f r e p r e s e n t i n gc i r c u l a r a r c s w i t hn u r b so f d e g r e et w oi sp r e s e n t e di nt h i sp a p e ra n dt h ec e n t r a l a n g l ei sb e t w e e n0a n d 2 玎ap e r f e c tl a w r e p r e s e n t i n gc i r c u l a ra r c s w i t hn u r b so f d e g r e et h r e ei sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：s p l i n e sf u n c t i o n ；n u r b sa r c s ；w e i g h t s ；c i r c u l a ra r c s i i 第一一。章绪论 1 , 1 背荣知识及本文工份麓介 保持弧长约策的插德与遥近在曲线的设计中具有重袋意义，它怒 麸实际鞠邋中擒象出来秘诗簿几侮阀题，建f 翦w a a g & d a m m e 1 首先摄 出来躲，丽麓文献 4 、5 】桴继对弧长约寒的她线设计作了商意义鲍工 售。 1 9 9 1 年淫鞴拣稳缎织 i s o ) 歪式鞭毒了王渣产爨咒鹰定义数s t e p 拣毽，髂为产燕数据交换的蒗嚣标壤。在s t e p 标准中蠼定是喹罂黪 线潼瑟臻鬟| i 霜n u r b s 表示，戮魏掰n u r b s 方法躺决带约束条件懿 鹣线鞠甏设计翼蠢羹要熬意义。零交在繁二章绘涎瑙n u r b s 方法瓣 决僳待弧长约束酌懿绫攒值与遥邂闻题辩对权霞予的处爨方演。 n u r b s 方法奁c a d c a m 与计算瓿罄形学领域获褥越来越广泛 的艨用，n u r b s 方法驰优点如t t 4 l ： ( 1 ) 霹麓一个统一静袭遮式瓣辩精确袭示标潍豹躲耩彩状帮蠡爨 麴线、翁嚣； f 2 ) 蘸i 襟缀控制矮点及权困予为器释形状设计键供了充分的焚满 羧。投嚣予酌弓j 入或为几簿遵续榉象鞠线鼹甏中形状参数勰瞥 代物； ( 3 ) 计冀稳定强速度校当蠊： ( 4 ) n u r b s 鼬线麴露在线性燮换下砖尼砖不变黪。线性变换系掺 缝，l 、旋转、平移、剪变、平行与逶援投影游； 【5 ) 已其煮功怒竞萋熬凡 爵王蒸，其中毽疆节点稀入骛剿除、苇点 翻澎、秀除、分萄等筑籍法与程穿，这骛工具可辫予藕个设计、 分析、枷l ：与查谢过程中； 熟n u r b s 方竣也存羟缺点，翅投因予麴应拜i 虽为我淤王圣 ? 擞 供了灵活性，但从另一方丽考虑电对设计人员和用户提 = n 了更高的要 求。疆瓣投固予酾，t 嚣藏糍彝j 己俘链囊远没有教矮示出米，澍毅溪予 仍只是停留在凭惜直觉、经验使用，而没有从数学上揭示出其本展。 文 6 对空添毒n , - 次b e z i e r 鏊线浆毅霹予豁注矮 乍了有意义嚣霖讨， 解决了空间三次b e z i e r 曲线和有理三次b e z l e r 曲线蚋映射关系。本文 第三章解决了二次b e i z i e r 醢线与二二次有理b e i z i e r 曲线，二次b 样条 熬线与二次n u r b s 热线，三次b 撂条熬线与三次n u r b s 夔线躲映 射关系；并对一般的k 次n u r b s 曲线与k 次b 样条曲线的映射菠系 氍了攘讨。 对于解析形状中最简单也最媳有代表性的圆锥圆弧的n u r b s 表 示藏a 已镦过禳多工律_ “。本文第疆牵在总结盼窿工俸成采静丽曝， 徽了嚣方瑟互终l 7 j ：一燕慰文熬 t 3 1 孛- - 次n u r b s 表示爨嚣豹方法 进行了进步推广，讨论了0 的情况；二是针对文献( 1 3 1 中指出的 文献 1 4 、1 5 】孛熬不足，给瀣了三次n u r b s 精确表示西秣瓣一个馥避 算法。 辩章绪论 1 2 弧 殳约束r 的三次样条捕值 上节，我们已经提到过，w a n g & d a m m e 酋次提山并解决了有弧 欧约束的乎面蘸线设计问题，下面我们将简述w a n g & d a m m e 的i m - ； 成果。 有弧长约束豹乎嚣鳆线闽题数学表述妇下： 对于给定的函数f ( x ) c 1 0 , 1 】，以及给定区间【0 , 1 上的一个分划 n = 扛。，一，靠l0 = x ， o 甜：h2 0 媛随线的絷i 段在端点r 。及e ；处分嘲岛直线p z p ：。及 魏。禳窃e 3 组合有理= 次b e z i e r 插值陆线的构造 3 1 选彀雨搂锾点瓣黢见篱稳逡方法 欲构造插假于型值点q 。，q l 一，q 。的二次n u r b s 曲线，我 们首先构造插值于型俄点q 。，q l i 一，q 。的组合有理二次b e z i e r 擂 蓬莛黢。 由带2 知，构造攒值于型值点q 。，q i ，一，q 。的组含有理= 次 b e z i e r 描值曲线，其酋骥问题怒寻找内控制点r j ( 即介于q 。，q ； 之闯酌箍裁顶点 ， = l ，封。显然露舞下定理： 定理餐予丝蒯建魏彳壬惑一条凸麴线“g ，荬弧长不趣过 a b 与b c 边长之和( 如阁1 ) 。 融既定璎，我翻可采取蟊下舱一羧咒秘梅造方法( 藤器2 ) ， 选取幽控剿点r ，i = l ，辩： ( 1 ) 作三角形q o r o ，使 q 。r 小h l r 。q ，【“ ( 2 ) 对f _ l ，聆一l ，延长r ；q ；，并在萁延& 线上选联点r ， 第= 室弧燕约束祭仕下的n u r b s 捕债蛳线 使3 ，。羔i q 。r 。| + t r 。q 。| f 。 a r 3 2 内权因予的确定 我彳f 】取所有垂簋赢q 。，q l - ，q 。缝酶毂闲子为t ，内控铡点 r ；处的投因予记秀夏，i = l ，撑，爨l 攮篷于型谯点q 。，q ；，q 。 的组台有理二次b e z i e r 插值曲线的第i 段为 删= 等盖势、o 0 ，故非负内权因子可按如下步骤确定 若鲫。为负值，则面= 脚，= ：；否则转 第章瓶陡约束条件f 的n u r b s 插值n f l 线 若6 0 ，1 = 珊则万= 1 = m ，二：否则转 分别取面= 瓦= 0 9 ，! 做m 插值l l “线，根据需要或经验f j j ： 决定取舍哪条曲线。 综上所述，我们即构造了控制顶l i 为 q o ，r i ，q i ，r2 j 一，q ，r 。，q 。 ( 2 1 4 ) 权因子为 1 ，瓦，1 ，叵，1 ，瓦，1 ( 2 1 5 ) 的组合二次有理b e z i e r 插值曲线。该曲线插值于点q 。，q l ，q 。 且在相邻两型值点q 。，q i 间的曲线弧长逼近给定值 l i ( f = 1 ，船) 。该曲线是g 1 连续的。 4 插值曲线的n u r b s 表示 将型值点q 。，q l 一，q 。参数化，参数化方法有多种】，我们 在此采取如下的累加弦长参数化方法 设定 蕊= 0 ，瓦= 1 ，戤= 瓦 式中d = i q 。一q 。j 。 1 q t q 。 盘 控制顶点p o ，p 1 一，p 2 。取法同( 2 1 4 ) ，权因子，c o - ，0 9 1 。取 值同式( 2 1 5 ) ，节点矢量取为 6 式中 批帝瓶长约束条件下勺n i3 r b s 捕值川l 线 “o = “l = “2 1 1 2 + 1 2 u 2j ，+ 2 i t 2 f + i 。l l2 ，+ 2 则得二次n u r b s 曲线 0 9 一n ：( “) p “” 1 ，- - ，n 式中n f 2 ) 为定义在节点矢量u 上的二次规范b 样条基函数，其定义如 下： i 2 ( “) = f 叫 u 。，嘭“，) = ( ； ( t 一咿1 ，b j e e 2 , j = 0 , 1 , 2 且三个控制顶点b o , b 。，b ：不共线。令 击f击、 2 己i 乙珊jp j j = o lt o 称为曲线r ( f ) 的权心。 采取如下记号： 旷附 n ：mr ( f ) l lj 馏d ，j = 0 , 1 , 2 , 3 于是有理曲线( 3 2 1 ) 的齐次表示式为 ( 3 1 2 ) 22 r ( f ) = b j ，：( f ) ( 哆p ) ，q = c 0 9 ，p ， ( 3 1 3 ) ，= oj = 0 权心有如下几个几何性质 定理1权一2 1 t o 是如下三条直线的交点，它们分别由三组点 决定：b ：和r ( ) ，b 。和r ( ) ，b 。和r ( ) 。换言之，三条直线b ：、 0 ) b ，、c o b 。与曲线r ( ，) 依次相交于点，r ( ) ，r ( ) ，r ( ) 。 篓j 皇型望垦曼；些垡! j 堡羔垫曲堡 i l q ! 商线c o b 。与曲线r ( t ) 的交点r ( t t ) 由方程 心小褰筹挚，巩加 ( 3 ) 决定，其中0 t 。1 ， + 五= 1 0 , 1 ，2 上式右边在用( 3 12 ) 式后，可改写为： 华b 。+ 等b 。+ 争“。 b ， 其中，u o ，1 ，2 ，j , o ，女互不相同，旷= + + 2 l g g l ( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 式对应系数，可得与( 3 1 4 ) 等价的方程： 兰生：兰鱼：生互垫 t o p b u ，2 ( f e ) 。鼠，2 ( “)峨b 女，2 ( ) 缈 w ( t 女) 经过直接计算和验证，分别可得t ：= ，f 1 = ，t 。= 号 关于权心，有如下的四点交比不变性质记点 m 0 2 ：c o o b o + c o ：一b ：， + 2 它是直线r o b 。与弦b o b 2 的交点 定理2 四点b ，、r ( - d 、m 、m 。之交比为常数，即 c r o s s r a t i o ( b l ，r ( ) ，m0 2 ) 2 2( 3 1 6 ) 证经直接计算，m 和r ( ) 可用b 和m 。：表示为 ：l b 十j 型二生mm ， 0 + 1 + 国2脚o + f - d l + 脚2 塑墨空型型堡璺墨业些生堡壁垒塑丝 r 告) = 2 m ， b ，+ 一塑竺! m 。 啦 十2 拼l 十酗! 虬 黼就 刿6 四点变比 定理3 设射影坐标系如。，b ，b ：， 以顶点b j ，= 0 , 1 ，2 构成的 = - - 蹙形凳坐标三边形，隧位为攀往点，瓣有理整线( 3 1 1 ) 盼齐 次射影坐标表拣为( b o ，2 ，马，2 ( f ) ，b ：，：( 嘞。 记三角形b o b l b 2 的重心为e e = e = 艄缸 定理4 网对点 b j ，b j ( ，= 0 , 1 ，2 ) 与 e 唯一确定了扩大空 阉虱鑫囊嚣一个蓊影变换f ，葵对应斡三除交换楚阵 牛= p ( 珞p l p 2 ) d i a g ( r 9 0 ，0 9 l ，o ) 2 ) ( p o p l p 2 ) ，( 3 1 7 ) 其中常数p 0 ：此射影变换f 把二次b e z i e r 曲线 b ( t ) = b 巾( f ) b j ( 3 1 8 ) 曼：至i 女! 坠些终! ! ! 壁篓题垡一 证磺然 b 。b ，b ：，e 中任三点不，e 线， bo , b ，b ：， 中任三点 不共线，敖上述醚刘点睦一确定了令袈彩变换乒磊 ( 段p l p 2 ) “p ，= e ， 其中e 。= ( 1 ，o ，0 ) 7 ，e 1 = ( o ，1 ，o ) 。，e 2 = ( o ，0 ，1 ) 7 因此对( 3 1 7 ) 定义的变 换矩阵争，有幔= 舢，p ，郎牛矫对应的掰影变换撼p ，映为自身 j = 0 , 1 , 2 , 5 l 够= ；妄蠼= ；嘉哆。= 五t q ，邵忿变换把e 映为 静，敲争为f 耩对应静交换矩阵。将f 俸爝予趋线b 国，囱( 3 1 8 ) 和( 3 1 - 3 ) ，有 拶拷民：，= 扣嬲p 删 即f 把b ( t ) 映为( 3 。1 1 ) 之r ( ，) 定理4 表明，在保持坐标三边形( 即控制多边形) 不变时， 将三角形的形心e 泱为权心的射影变换，可把非笱理二次b e z i e r 曲线映为有理二次b e z i e r 曲线，聪者的权系数( c o o ，0 3 i ，2 ) 来源于 权心氆在袋标三逑澎下酌齐次坐标。换言之，有毽髓线 l ，1 ) 来源 予射影坐标系 b 。，b ；，b ：，0 ) 中的非有理曲线( 3 1 8 ) ，它是将单位点 e 变为单位点的射影变换f 在射彩坐标系 b 。，b ，b ：， 中的像曲 线。 定理4 之( 3 。1 7 ) 式揭示了射影变换，的代数特糕，即有 第三章n u r b s1 1 1 1 线i ob 样条曲线 推论1 把非有理二次b e z i e r 曲线b ( f 1 映为有理二次b e z i e r 曲 线r ( f ) 的射影变换是相似变换，以权系数。，i ，峨为其特征值( 差 常数因了) ，以p 0 ，p 。，p ：为对应的特征向量。 两曲线b ( ，) 和r ( f ) 上对应点与权系数有如下的几何关系 定理5 对于任意的0 i 1 ，记 b ( i ) = 口，b ，r ( i ) = p j b ， 其中( ，a ，口：) 7 和( 风，崩，：) 7 分别是b d ) 和r ( i ) 关于三角 形b o b 。b ：的重心坐标，则有 垆p 小0 1 1 ，2 ( 3 1 9 ) 其中常数p 0 证考察变换矩阵 ”p ( p o p p 2 ) d i a g ( b 。么a o ，钐，) ( p o p 。p 2 ) 。 对应的射影变换f ，有 ”，= c 一阿= 弘呐= 私一蝴 可见变换矩阵p 和p 。至多差一常数因子，即得( 3 1 9 ) 定理5 表明，权系数峨是两曲线( 3 18 ) 和( 3 1 1 ) 上对应点b d ) 和r d ) ( 0 i 1 ) 的关于三角形b o b i b2 的重一la 。- 。，aj 个分量 z k p , ，至多差一个非零常数因子。注意到口，= b 巾( i ) ，故，可作 整三羹丝塑垦璺墨地丛墨壁燮箜塑丝一 为插值数掘，即有 推论2 当且仪当杈系数q 2 p 帕( i ) - 0 i 1 ，2 o 1 2 时，曲线( 3 1 1 ) 在i 处描值点r = 芦，b ，即r ( i ) = r + ，其r t 一 ( p o ，p 。，p ：) 7 是r + 关于三角形的熏心坐标 2 两条存逢二次b e l i e r 魏线酶校系数关系 设蠢理二次b e z i e r 麴线夏酾r 2 ( 0 表示为 喇= 骞等蹬社，嘲= 害蛾如，( 3 1 1 0 ， 0 蔓f s l - k = 1 , 2 其中三点b b b 2 不共线，记b m ，r k 的齐 次坐标表示分别为气和r 以) ，权心。窆f q 壹哆_ j 的齐次 | 胡| | ；qj 嫩标为n 。类似定理4 的证明，可得如下定理 定联6 四对点扣b ： ( ，= 0 , 1 ，2 ) 和轴，m ： 唯一确定了扩大 燮阉虱蠡身静一令羹砉影交换r ：7 0 一= b 站，歹= 1 2t o ) l = 0 2 2 ，萁鼹 应的三阶变换矩黪可表示为 币= p ( p o z n ) d i a g ( f 名o ，1 ，彩：，) ( 1 p 2 1 ) 。 其中常数p 0 诧射影交换r 把有瑾醢线t ( t ) 映为有理瞎线r 2 ( t ) 。 定理6 表明，艇影变换f 恕射影坐据系，b 。b 。国； 获为菇 映坐标系 b 。b 1 2 ，b ：， 。把l ( t ) 从前者坐标系中映到厝者坐标 第二三章n ij r i ：l si i i 线l ob 条线 系中得到r ，( t ) 而权一f l , m l ，：l f 是两个射映坐标系的基本点。 特别地，具有相1 叫控制多边形顶，、ib ，j = o ，1 ，2 权系数分别为 脚= 0 , i ，2 ，k = 1 , 2 的两条有赳! j 次b e z i c r 曲线r ( t ) 和r 2 ( t ) ，所处 的射影坐标系的坐标三角形相同，而正是权心0 ) 。和d ：各自构成坐 标系的基本点。 反之，考察这样的射影变换z ，对任意给定的0 0 ，j = 0 3 ，2 j = 0j = o 22 r 。= 局b ，房= 1 ，局 0 ，= 0 , i ，2 j = oj “0 时所产生的新的形如( 3 1 1 0 ) 的有瑷曲线r + ( ，) 具有与原曲线r ( ，) 相 同的( 雳手影不交意义下) 驹毪质，新曲线的衩系数哆+ 可表示为 ( 3 1 1 2 ) e 纨础“= 勰噜，鲁，套娥7 因此，在保持坐标三边形不变的意义下，掰曲线的杈心国是出权 0 经点r ( i ) 和点r 所决定的射影变换影射而来。 比 下面讨论控箭多迓形稻简时，有关( 3 1 i o ) 的两益线的湔积交 定理8 设l ( t ) 和r 2 ( t ) 的控制多边形顶点相同为b j , = 0 , 1 ，2 较系数分剐为甜竹，= 0 , 1 ，2 ，k = l ，2 设, 1 4 。悬线段i 瓦上任一内点 霹 1 1 ， 万 【l 露 。哆 游 秘0 怒 笙堇重型! ! ! i ! 堂堡21 壁堑些垡 赢线b 1 m 。交曲线_ ( t ) 茅ur 2 ( t ) 分别下点，j = r 1 ( ，；) 如= r 2 ( ，：) 0 t 1 ，2 0 ，= o ，1 ，2 ，节点矢量u = k “l “2 叱“4 “5 则确定二次n u r b s 曲线 i 当丛j ， 。u j , u j + 1 ( u is + z u j x u j + l h n：c”，2i：；j篇+iij；：；：蔫，“ek，+，”，+：】 i瓦i(百uj+3面-u而)2uj ，“e6 。+ 2 ， l( “j + 3 一+ i ) ( j + 3 一”j + 2 ) 。+ 2 “7 + 3 1 l0 ，其他 j = o ，1 ，2 ：壹m 壹彩，1 b ； j = o j = o 称为曲线r ( f ) 的权心。 采取如下记号： 旷阱n 褂踟，= 翟料j = 0 , 1 , 2 于是有理曲线( 3 2 1 ) 的齐次表示式为 ( 3 2 2 ) l2 o “ 一 甜 一叱 ) “ ( 2 ， 甜 ：删 i i )o 矿 整薹鎏型! ! 些i 些垡生曼壁堑曲篓一 r ( ，) = n 印( ，) ，p j ) ，n 。0 c 出，p ， ( 3 2 3 ) 锹心有如f 儿个儿伺性质 定理i板心憝赫下三条直线豹交点，它们分剐由二懿点 决定：b 2 和r ( 暖) ，b l 鞠r 瓴) ，b o 和r ( 蕊) ；换言之，三条直线b 2 、 o b 、c o b 。与曲线r ( r ) 依次相交于点，r ( 疋) ，r ( 玩) ，r ( 瓦) ；其中 玩，玩，1 1 2 k ，“，】 分别由下列等式确定 ： 嚣洲n 划n 。等鬻焉+ 等寒等= 嚣 甄：张沪喇归嚣与= 蔫 玩川m 小，刊”。芒蓑高+ 篆蓑嵩= 采篡 定理2 ( ，m l ，0 7 2 ) 7 是权心在基b o ，b l ，b 2 下的齐次坐标 定理3 设射影璧檬系麓。，b ；，b ：，辑 美矮点b j ，歹= 0 , 1 ，2 构成懿 三角形为坐标三边形，以为单位点，则有理曲线( 3 2 1 ) 的齐 次射影坐标表示为( 。，： ) ，i ：( “) ，2 ，：( “) ) 7 记三角澎b o b l b 2 瓣羞心烫e e = 静一艄弘 是缓4 黩黠点j ，b j 歹= 0 , i ，2 ) 与 e 国 难一确定了扩大空 间到自身的一个射影变换f ，其对应的三阶变换矩阵 中= p ( p o p i p 2 ) 胡a 嚣( 彬o ，i ，脚2 ) ( p o p i p 2 ) ， ( 3 2 4 ) 荚中零数p 0 ：毙瓣影变换f 怒二次b 样条鸶线 垫三童堕坚垦f ! ! 衄垡! ! 旦壁盘些垡 映为二次n u r b s 曲线r ( u ) ( 325 ) 几何解释：定理4 表明，：次n u r b s 曲线f 32 1 ) 来源于射影 坐标系 b o , b l ，b2 , 巾的二次b 样条曲线( 3 2 5 ) ，它是将单位点e 变为单位点的射影变换f 在射影坐标系 b 。，b ，b ：，) 中的像曲 线 定理4 之( 3 2 4 ) 式揭示了射影变换f 的代数特征，即有 推论1 把二次b 样条曲线h ( “) 映为二次n u r b s 曲线r ( “) 的 射影变换是相似变换，以权系数，q ，脚：为其特征值( 差一常数 因子) ，以p 0 ，p i ，p 2 为对应的特征向量， 两曲线b ( u ) 和r ( u ) 上对应点与权系数有如下的几何关系： 定理s 对于任意的“2 f 弛，记 b f f ) = q b ，r ( i ) = f l j b ， 其中位。，q ，口：) 7 和( f l o ，届，：) 7 分别是b ( f ) 和r f f ) 关于三角 形b o b 。b2 的重心坐标，则有 垆p 小o 1 2 ( 3 ：s ) 其中常数p 0 定理5 表明t 权系数珊，是两曲线( 3 2 5 ) 和( 3 2 1 ) 上对应点b f f ) 篁兰童型型壁旦! 型! 垡：复婪缝垂些些 和r ( f ) ( “， i “，) 的关于j 角形b 。b ，b ：的重心坐标之第j 个分 最之比，至多差 个非零常数闪子注意到口，= n 坩( i ) ，故国，可 作为捕值数据，即有 推论2 当且仅当权系数( o j = p n n m ( i ) ，u 2 i - 0 ， ，= 0 ，l ，2 ，3 ，节点矢量 u = k “：蚝“。蚝“。】，则确定二次n u r b s 曲线 rc“，=喜警，c，=歪3；n。j：c“，“：“。，c。3t， 式中， n ，2 ( “) ； 瓦等荽i ， 。u l , u j + i ( “，+ 2 一”) ( “j + l 一“，) 百(u-可xu石j+2-丽u)+上j+3蟹-+1坠)(uj+2-uj+t)(uju j + j + l ，“， ( “j + 2 一”) ( “+ 2 一“，+ 】) 。+ l “+ 2 1 瓦当鼍! 皇忑，。h + 3 j u ( “j + 3 “j + 1 ) ( “j + 3 一j + 2 ) 。+ 2 “7 + 3 1 其他 如一野 p = 丝 第二承n u r b s 曲线lb 样条线 ：窆f 础，佳甜一 i = 0l h 】 称为曲线r ( ，) 的权一已 ( 3 3 2 ) 采取如f 记号： 旷附q 埘阶 黼 ，j = 0 , 1 , 2 , 3 于是有理曲线( 3 3 1 ) 的齐次表示式为 r ( f ) = n j ，2 ( f ) ( 脚，p j ) ，q = c ) - c o ，p j ( 3 3 3 ) 权心有如下几个几何性质 定理1 权心是如下六个平面的交点，它们分别由六组点 决定；b z 、b 3 和r ( 砭3 ) ，b l 、b 3 和r ( 面3 ) b l 、b2 和r ( i - l 2 ) ，b o 、b 3 和 r ( 。3 ) ，b o 、b 2 和r ( 一u 0 2 ) ，b o 、b i 和r ( i - o i ) 。换言之，六个三角形 平面b 2 b 3 、b i b 3 、b l b2 、b d b 3 、a c o b o b 2 、a c o b o b l 与 曲线r ( f ) 依次相交于点r ( 死) ，r ( 甄3 ) ，r ( 甄：) ，r ( i - 0 3 ) ，r ( 瓦2 ) ，r ( i - o ) 其中_ 2 ，甄，玩：，u 一0 ，一u 0 ：，一u 0 。i ：，】，分别由下列等式确定： 标 0 ：( 巩，) = n 。：( 砭，)