（概率论与数理统计专业论文）最优部分析因设计及构造.pdf

摘要 这篇论文主要考虑了试验设计中三种类型的最优部分因析设计他们是序贯设计 中的最优初始设计，2 4 1 最小低阶混杂设计或弱最小低阶混杂设计以及最优的混水 平超饱和设计 为了得到生产过程的一些信息，b u l l i n g t o n ，h o o la n dm a g h s o o d l o o ( 1 9 9 0 ) 和l i a n dl i n ( 2 0 0 3 ) 建议将整个试验分为试验次数相同的两部分，第一部分为2 m - p 设计 ( 初始设计) ，第二部分为2 , - p 的折叠翻转( 简称为折叠) 设计，这里m 为2 水平因 子的个数，n = 2 ”- p 为初始设计的试验次数在不考虑区组因子的影响时，l ia n d l i n ( 2 0 0 3 ) 提出组合最优设计的定义，并将其作为是街量初始设计好坏的标准在第 一章中，组合最优设计被推广到考虑区组因子的情形。并且这种新的设计被称为分区 组的组合最优设计当m 譬+ 1 ，我们证明标准的折叠方案，即改变所有的因子的 符号，是所有2 蜀，设计的最优折叠方案，并且我们得到了关于2 磊r 设计与其补设 计之间的关系利用这些结果，我们可以用组合最优的或者分区组的组合最优设计的 补设计来刻画组合最优或者分区组组合最优设计最后我们证明，当m 譬+ 1 和 n 一1 一m 2 时，组台最优设计或者分区组的组合最优设计不是最小低阶混杂设计 为了说明。我们 每造了包含1 6 秘3 2 个试验次数的一些组合最优设计或者分区组的组 合最优设计 为了衡量2 4 1 和2 m 4 2 设计的好坏，w ua n dz h a n g ( 1 9 9 3 ) 提出了最小低阶混杂 准则在第二章中，我们考虑了具有最小低阶混杂的2 “4 1 设计的构造，并且这些结果 可以推广到用于构造具有最小低阶混杂的2 ”4 2 设计首先，当m 器+ 1 时，我们 得到了具有最小低阶混杂的2 ”4 1 设计的结构利用这些结构，我们提出几种方法来 构造具有最小低阶混杂的2 m 4 1 设计当m 罴时，没有一般的方法可以用于构造 具有最小低阶混杂的2 m 4 1 设计在这种情形下，我 门得到了a 3 0 和4 3 l 的下界，在 这里a 和4 3 l 表示字长为3 的类型0 和类型1 的字的个数，并且提出了一种方法 可以用于构造弱最小低阶混杂的2 ”4 1 设计( a s o 和a s t 达到最小的设计) 为了实际应 用，我们构造了一些具有最小低阶混杂或者弱最小低阶混杂2 ”4 1 设计，这些设计补 充了w ua n dz h a n g ( 1 9 9 3 ) ，w ua n dm u k e r j e e ( 2 0 0 1 ) 以及z h a n ga n ds h a o ( 2 0 0 1 ) 中 的设计表 超饱和设计，由于其在因子筛选设计中的潜力，作为一种菲正规部分囡析设计受到 了越来越多的关注第三章我们主要考虑关于混水平超饱和设计的一些现有的准则， 即y a m a d aa n dm a t s u i ( 2 0 0 2 ) 提出的x 2 ( d ) 准则( 对于给定的设计d ) ，f a n g ，l i n a n dl i u ( 2 0 0 3 ) 提出的e ( h , o o ) 准则，以及x u ( 2 0 0 3 ) 提出的最小低阶矩准则( 记为 m m a ) ，我们得到了矿( d ) 的下界以及达到下界的充要条件，并且讨论了它与其他准 则之间的联系特别地，我们证明了妒( d ) 准则和二阶矩硒( d ) 等价，因此x 2 ( d ) 和m m a 有相同的最优的超饱和设计这些设计可以通过适当选取饱和正交表的部分 i i i i v 行和并置现有的最优的超饱和设计得到 第四章对本文的主要结果总结，并提出了几个值得进一步研究的问题 摘要 关键词：组合设计；组合最优设计；补设计；折叠；部分因析设计；广义最小低阶混 杂；最小低阶混杂；最小矩混杂；混水平；非正规；正交表；正规；分辨度；超饱和； u 一型设计；弱最小低阶混杂；字长型 学科分类号；0 2 1 2 5 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yc o n c e n t r a t e so nt h r e et y p e so fo p t i m a lf r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e - s i g n s fw h i c ha r eo p t i m a li n i t i a ld e s i g n si ns e q u e n t i a ld e s i g n s ，2 “4 1d e s i g n sw i t hm i n i - m u ma b e r r a t i o no rw e a km i n i m u ma b e r r a t i o na n do p t i m a lm i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e d d e s i g n s i no r d e rt oo b t a i ns o m ei n f o r m a t i o na b o u tt h ep r o c e s s ，b u l l i n g t o n ，h o o la n d m a g h s o o d l o o ( 1 9 9 0 ) a n dl ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) b o t hs u g g e s t e dt h a tt h e f i r s th a l fi sa2 , - - v d e s i g n ( i n i t i a ld e s i g n ) ，a n dt h es e c o n dh a l fi sa f o l d o v e ro ft h ef i r s td e s i g n w h e nn o t c o n s i d e r i n gt h eb l o c k i n gf a c t o r ，l ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) p r o p o s e d t h ed e f i n i t i o no fc o m b i n e d - o p t h n a ld e s i g n w h i c hw a s u s e da sac r i t e r i o nf o rs e l e c t i n gi n i t i a ld e s i g n s i nt h ef i r s t c h a p t e r t h ed e f i n i t i o n o f c o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n i se x t e n d e dt ot h ec 峨w h e n b l o c k i n g f a c t o ri ss i g n i f i c a n t ，a n dt h i sn e wc l a s so fd e s i g n si sc a l l e db l o c k e dc o m b i n e d - o p t i m a l d e s i g n s s t a n d a r df o l d o v e rp l a n s ( c h a n g i n gt h es i g n so fa l lf a c t o r s ) a r es h o w nt ob et h e o p t i m a lf o l d o v e rp l a n sf o r2 并d e s i g n sa n ds o m eg e n e r a lr e s u l t sa r eo b t a i n e dw h i c h r e l a t e2 n ”i - 9i n i t i a ld e s i g n sw i t ht h e i rc o m p l e m e n t a r yd e s i g n sw h e n m 警+ 1 ，w h e r e ，l = 2 ”p ，b ya p p l y i n gt h e s er e s u l t s ，w ea r ea b l et oc h a r a c t e r i z e2 筘c o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n so rb l o c k e dc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n si nt e r m s o ft h e i rc o m p l e m e n t a r y d e s i g n s i ti sa l s op r o v e dt h a tb o t h2 寄c o m b i n e d - o p t i m a la n db l o c k e dc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n s a r en o tm i n i m u ma b e r r a t i o nd e s i g n sw h e n m 警+ 1 a n dn - l - m 2 a n ds o m ec o m b i n e d - o p t i m a la n db l o c k e dc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n sw i t h1 6a n d3 2 r u n sa r ec o n s t r u c t e df o ri l l u s t r a t i o n f o rm e a s u r i n gt h eg o o d n e s so f2 m 4 1d e s i g n s ，w ua n dz h a n g ( 1 9 9 3 ) p r o p o s e dt h e m i n i m u ma b e r r a t i o nc r i t e r i o n t h es e c o n dc h a p t e rs h o w ss o m et h e o r e m sf o rc o n s t r u c t i n g2 m 4 1d e s i g n sw i t hm i n i m u ma b e r r a t i o na n dt h er e s u l t sc a nb ee a s i l ye x t e n d e dt o c o n s t r u c t2 m 2d e s i g n sw i t hm i n i m u ma b e r r a t i o n f i r s t l y , t h es t r u c t u r e so f2 m 4 1d e - s i g n sw i t hm i n i m u ma b e r r a t i o na r eo b t a i n e d w h e n m i 5 u ，w h e r eni st h et o t a ln u m b e r o fr u n s b a s e do nt h e s es t r u c t u r e s s o m em e t h o d sa r ed e v e l o p e df o rc o n s t r u c t2 “4 1 d e s i g n sw i t hm i n i m u ma b e r r a t i o nf o r 器 m 号a s w e l la sf o r 罟m 礼w h e n m 丽5 n ，t h e r e i sn o g e n e r a lm e t h o df o rc o n s t r u c t i n gt 4 1d e s i g n sw i t hm i n i m u m a b e r r a t i o n i nt h i sc a n e ，w eo b t a i nl o w e rb o u n d sf o ra 3 0a n da 3 1 ，w h e r ea 3 0a n da ma r et h e n u m b e r so ft y p e0a n dt y p elw o r d sw i t hl e n g t ht h r e er e s p e c t i v e l y a n dam e t h o df o r c o n s t r u c t i n g2 m 4 1d e s i g n sw i t hw e a km i n i m u ma b e r r a t i o nf a s oa n da 3 1a c h i e v i n gt h e l o w e rb o u n d s ) i sd e m o n s t r a t e d s o m e2 m 4 1d e s i g n sw i t hm i n i m u ma b e r r a t i o no rw e a k m i n i m u ma b e r r a t i o na r ec o n s t r u c t e df o rp r a c t i c a ln s e ，w h i c hs u p p l e m e n tt h et a b l e si n w ua n dz h a n g ( 1 9 9 3 ) ，w ua n dm u k e r j e e ( 2 0 0 1 ) a n dz h a n ga n ds h a o ( 2 0 0 1 ) i ia b s t r a c t s u p e r s a t u r a t e dd e s i g ni s af o r mo ff r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g na n dh a sr e c e i v e d m u c hr e c e n ti n t e r e s tb e c a u s eo fi t s p o t e n t i a l i nf a c t o r s c r e e n i n ge x p e r i m e n t s t h e t h i r dc h a p t e rm a i n l yc o n c e r n st h ee x i s t i n gc r i t e r i af o rm i x e d l e v e ld e s i g n s ，i e t h e x 2 ( d ) c r i t e r i o n ( f o rd e s i g nd ) p r o p o s e db yy a m a d a a n dm a t s u i ( 2 0 0 2 ) ，t h ee ( f 。) c r i t e r i o np r o p o s e db yf a n g ，l i na n dl i u ( 2 0 0 3 ) a n dt h em i n i m u mm o m e n ta b e r r a t i o n ( m m a ) p r o p o s e db yx u ( 2 0 0 3 ) a l o w e rb o u n do fx 2 ( d ) i so b t a i n e da l o n gw i t ht h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra c h i e v i n gi t t h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nx 2 ( d ) a n d o t h e rc r i t e r i aa r ed i s c u s s e d e s p e c i a l l y ，i ti ss h o w nt h a t 妒( d ) a n dt h es e c o n dp o w e r m o m e n tk 2 ( d ) a r ei nf a c te q u i v a l e n tt oe a c ho t h e ra n dh e n c et h et w oc r i t e r i a ，x 2 ( d ) a n dm m a s h a r et h es a m eo p t i m a ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s ，w h i c hc a nb ec o n s t r u c t e d b yc u t t i n g8 c e r t a i nb l o c ko fas a t u r a t e do r t h o g o n a la r r a ya n dj u x t a p o s i n gt h ee x i s t i n g o p t i m a lm i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n ss u i t a b l y i nc h a p t e r4 ，ws u m m a r i z et h em a i nr e s u l t s ，a n ds u g g e s ts o m ei n t e r e s t i n gp r o b - l e m sw o r t h yo ff u r t h e ri n v e s t i g a t i o n k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：c o m b i n e dd e s i g n ；c o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n ；c o m p l e - m e n t a r yd e s i g n ；f o l d o v e r ；f r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n ；g e n e r a l i z e dm i n i m u ma b e r r a - t i o n ；m i n i m u ma b e r r a t i o n ；m i n i m u mm o m e n ta b e r r a t i o n ；m i x e d - l e v e l ；n o u r e g u l a r ； o r t h o g o n a la r r a y ；r e g u l a r ；r e s o l u t i o n ；s u p e r s a t u r a t e dd e s i g n ；u t y p ed e s i g n ；w e a k m i n i m u ma b e r r a t i o n ；w o r d l e n g t hp a t t e r n a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n s ：p r i m a r y6 2 k 1 5 ；s e c o n d a r y6 2 k 0 5 a c k n o w l e d g e m e n t s m y s i n c e r e a p p r e c i a t i o n sg o t om ym a s t e rd i s s e r t a t i o n s u p e r v i s o r ，p r o f e s s o rr u n c h u z h a n g ，a n dt od r m i n q i a nl i u f o rt h e i rc o n s i s t e n tg u i d a n c ea n d e n c o u r a g e m e n to nm y r e s e a r c hw o r k ，f o rt h e i rp r e c i o u st i m eo np r o o f - r e a d i n gm y m a n u s c r i p t sw o r db yw o r d ， f o rt h e i rn u m e r o u sa d v i c eo ni m p r o v i n gm y w r i t i n gs k i l l ，a n df o rt h e i ri n v a l u a b l eh e l p o nm a n yo t h e rt h i n g st h r o u g h o u tt h et h r e ey e a r so fm y s t u d ya tn a n k a iu n i v e r s i t y m ys p e c i f i ct h a n k sg ot op r o f e s s o rd r d o n g g e nw a n g ，f o rh i sc r u c i a ls u g g e s t i o n so nt h e o r g a n i z a t i o no fm y t h e s i sa n dc o n t i n u o u se n c o u r a g e m e n td u r i n gh i sb u s y - w o r k i n gt i m e m yt r u et h a n k sg ot op r o f e s s o r sy u n r ux i a o ，h o n g k a n gf a n ，z h a o - j u nw a n gf o rt h e i rv a l u a b l ep r o p o n la n dc r i t i c a lc o m m e n t s m yt h a n k sa l s og ot o m i n g y a oa i ，j i a n p i n gz h u ，g 蝎1 1 1 2y a n g ，c h a n g g u ol i ，z h i q i a n gz h a n g ，z h i m i nd e n g ， c h a n g c h u nw u ，x i a n m i n gt a n ，y il i n ，z h e nw a n g ，j i a n f e n gy a n g ，b a o j i a n gc h e n ， j i a n p i n gs u n ，b a oz h a n g ，l i h u iz h a o ，y a n p i n gq u f o rt h e i ri n c a l c u l a b l et i m eo nd i s - c u s s i n g t h en e wl i t e r a t u r et o g e t h e ri no u rs e m i n a r s ，a n dy z h a o ，c h u n j i ew u ，y a n t i n g l i ，l i y a nx u ，x i a o h o n gl i u ，c h u n g u a n gz h o uf o rt h e i rs e l f - g i v i n gh e l pa to n et i m e a n da n o t h e ri nt h ep r e p a r a t i o no fm yd i s s e r t a t i o n f i n a l l y l1w o u l dl i k et ot h a n km yp a r e n t sa n dg i r lf r i e n d ，f o rt h e i rd e e pl o v ea n d t i m e l e s ss u p p o r t ia mv e r ym u c hg r a t e f u lt oa l lo ft h e m w i t h o u tt h e i rs u p p o r ta n dh e l p ，t h i s d i s s e r t a t i o nc o u i dn o th a v eb e e nc o m p l e t e d v c h a p t e rl c h o i c eo f o p t i m a lf o l d o v e rp l a n sa n di n i t i a ld e s i g n si n s e q u e n t i a le x p e r i m e n t s 1 1i n t r o d u c t i o n r e g u l a rt w o - l e v e lf r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n sa l et h em o s tc o m m o n l yu s e dd e s i g n s f o rf a c t o r i a le x p e r i m e n t s a2 m 一d e s i g nd e n o t e sad e s i g nw i t hmf a c t o r s n = 2 m 一 r u n s a n di sa2 一f r a c t i o no ft h ef u l lf a c t o r i a l2 ”d e s i g n w ed e n o t et h ef a c t o r s b y1 ，2 ，ma n dc a l l1 i2 ，ml e t t e r s t h ed e f i n i n gr e l a t i o ni sg i v e nb yaw o r d o fl e t t e r s t h en u m b e ro fl e t t e r si naw o r di sc a l l e di t sw o r d l e n g t ha n dt h eg r o u p g e n e r a t e db yt h epi n d e p e n d e n td 西曩i n gw o r d si s t h ed e f i n i n gc o n t r a s tg r o u p l e t a ( 口) d e n o t et h en u m b e ro fw o r d sw i t hl e n g t hii nt h ed e f i m n gc o n t r a s tg r o u po fa d e s i g nd t h ev e c t o ra ( o ) = ( j 哇l ( d ) ，a 2 ( d ) ， 。( d ) ) i sc a l l e dt h ew o r d l e n g t h p a t t e r no fd t h er e s o l u t i o no f ad e s i g ni st h es m a l l e s trs a t i s f y i n ga r 1 髓f u r t h e r d i s c r i m i n a t e2 “pd e s i g n s ，f r i e sa n dh u n t e r ( 1 9 8 0 ) p r o p o s e dt h en l i n i m l l i na b e r r a t i o n ( m r ) c r i t e r i o n ，w h i c hi st om i n i m i z e ( l ( d ) ，a 2 ( d ) ，a 。c o ) ) s e q u e n t i a l l y t h e r e h a v eb e e ne x t e n s i v ed i s c u s s i o n so nm ad e s i g n si nt h el i t e r a t u r e ，s u c ha sc h e n a n dw u ( 1 9 9 1 ) ，c b ( 1 9 9 2 。1 9 9 s ) ，c h e a 。s u na n dw h ( 1 9 9 3 ) 。c h e n a n d h e d a y a t ( 1 9 9 6 ) ，t a n g a n dw u ( 1 9 9 6 ) ，c h e n ga n dm u k e r j e e ( 1 9 9 8 ) ，c h e n g ，s t e i n b e r ga n ds u n ( 1 9 9 9 ) a n d b u t l e r ( 2 0 0 3 ) s y s t e m a t i cs o u r c e so fv a r i a t i o n si ne x p e r i m e n t sc a nb ee f f e c t i v e l ye l i m i n a t e db y p r o p e r l yg r o u p i n gt h er u n si n t ob l o c k s t h i sm o t i v a t e sp e o p l et os t u d yb l o c k e df r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n s t h e r ea y em a n yc r i t e r i af o rs e l e c t i n go p t i m a lb l o c k e dd e s i g n s ， s u c ha st h o s ep r o p o s e db y s i t t e r ，c h e na n df e d e r ( 1 9 9 7 ) ，c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) ，a n d m u k e r j e ea n dw h ( 1 9 9 0 ) z h a n ga n dp a r k ( 2 0 0 0 ) a n dc h e n g a n d w u ( 2 0 0 2 ) d i s c u s s e d t h e d i s a d v a n t a g e s o ft h o s ec r i t e r i aa n d p r o p o s e dt h e f l a l n eb l o c k e dd 1 i n i m ma b e r r a t i o n ( b m a ) c r i t e r i o ni n d e p e n d e n t l y i nt h i sp a p e r ，w eo n l yc o n s i d e r2 ”1d e s i g n sw i t ht w o b l o c k s l e td b = ( d ，b ) b ea2 ”1d e s i g nw i t ht w ob l o c k s ，w h e r edi st h e2 m - p d e s i g na n db i st h eb l o c k i n gf a c t o r d bc a na 工钆b et r e a t e d 雒a2 ( m + 1 卜扫+ d e s i g n d e n o t e db yd + l e ta i 0 ( o 廿) b et h en u m b e ro fl e n g t h w o r d st h a td o n tc o n t a i nbi n t h ed e f i n i n gc o n t r a s tg r o u po fd + a n d a ，1 ( 0 b ) b e t h en u m b e ro fl e n g t hi + 1w o r d s c o n t a i n i n gb i nt h ed e f i n i n gc o n t r a s tg r o u po fd + t h eb m ac r i t e r i o ni st om i n i m i z e ( a 毛o ( d 8 ) ，a 2 1 ( d 口) ，山0 ( d b ) ，a g - - 1 ，o ( d b ) ，a 1 ( d b ) ，如o ( d b ) ，) s e q u e n t i a l l y i np r a c t i c a l 雠ti no r d e rt oo b t a i n8 0 m ei n f o r m a t i o na b o u tt h ep r o c e s s ，狮o f t e n p a r t i t i o nt h ee x p e r i m e n ti n t ot w op 峨t h a t i ss e q u e n t i a ld e s i g n b u l l i n g t o n ，h o o l a n dm a g h s o o d l o o ( 1 9 9 0 ) a n dl ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) b o t hs u g g e s t e dt h a tt h ef i r s th a l fi s a l lo r t h o g o n a la r r a y , a n dt h es e c o n dh a l fi saf o l d o v e ro f t h ef i r s td e s i g n t h ep r o b l e m 21c h o i c eo f o p t i m a lf o l d o v e rp l a n sa n di n i t i md e s i g l l si ns e q u e n o a lc x p c r i m c n l 5 i sh o wt oc h o o s et h ei n i t i a ld e s i g n sa n dt i l ef o l d o v e rp l a n s l 、h e r ea r es e v e r a lp a p e r s d i s c u s s e dt h eo p t i m a lf o l d o v e rp l a n si nt h e s ep a p e r s ，l ia n dm e e ( 2 0 0 2 ) ，l ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) a n dy ea n dl i ( 2 0 0 3 ) m a i n l yc o n c e r n e dt h eo p t i m a lf o l d o v e rp l a n sf o rr e g u l a r o r t h o g o n a ld e s i g n s l i ，l i na n dy e ( 2 0 0 3 ) d i s c u s s e dt h eo p t i m a lf o l d o v e rp l a n sf o r n o n r e g u l a ro r t h o g o n a ld e s i g n s a n df a n g ，l i na n dq i n ( 2 0 0 3 ) c o n s i d e r e dt h eo p t i m a l f o l d o v e rp l a n sb a s e do nt h eu n i f o r m i t ye r i t e r i o n l ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) a l s ot a b u l a t e ds o m e 1 6 一a n d3 2 一r u ni n i t i a ld e s i g n sf o rp r a c t i c a lu s e i nt h e s et a b l e s ，t h e yd i d n l tc o n s i d e r t h eb l o c k i n gf a c t o r t h em a i np u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st o s t u d yh o wt o s e l e c tt h er e g u l a ri n i t i a l d e s i g n sf o rb l o c k e da n da n b l o c k e de a s e sa n dw h e t h e ro p t i m a li n i t i a ld e s i g n sa r em a d e s i g n sf o rm 警+ 1 a 1 lt h er e s u l t ss u p p l e m e n tl ia n dm e e ( 2 0 0 2 ) ，l ia n dl i n ( 2 0 0 3 ) ，a n db u t l e r ( 2 0 0 3 ) i ns e c t i o n2 ，t h ed e f i n i t i o no fc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g ni s e x t e n d e dt ob l o c k e dc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g na n d8 0 m eu s e f u il e m m a s & r ei n t r o d u c e d t h em a i nt h e o r e m sf o rs e l e c t i n gt h e o p t i m a li n i t i a ld e s i g n s & r ep r e s e n t e di ns e c t m n3 i ns e c t i o n4 i ti sp r o v e dt h a tb o t hc o m b i n e d - o p t i m a ld e s i g n sa n db l o c k e dc o m b i d 。 o p t i m a ld e s i g n sa r en o tm ad e s i g n sw h e n 仇警+ 1a n dn l m 0 ，1 ，2 s o m e e x a m p l e sa r e 西v e i li ns e c t i o n5f o ri l l u s t r a t i o n 1 2 d e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n sa n ds o m eu s e f u lr e s u l t s af o l d o v e rd e s i g ni sad e s i g no b t a i n e db yr e v e r s i n gt h es i g n so fo n ec o l u m no rm o r e c o l u m n so fa l li n i t i a ld e s i g n ( e g ，b 强，h u n t e ra n dh u n t e r ，1 9 7 8 ；w ua n dh a m a d a 、 2 0 0 0 ) d e n o t ea f o l d o v e rp l a n 鹧t h ec o l l e c t i o no fc o l u m n sw h o s es i g n s & r et ob e r e v e r s e di nt h ef o l d o v e rd e s i g n ，t h e ne a c hf o l d o v e rd e s i g ni sg e n e r a t e db yaf o l d o v e r p l a n i fa f o l d o v e rd e s i g ni so b t a j ! u e db yr e v e r s i n gt h es i g n so fa l lc o l u m n s ，w ec a l lt h i s t y p eo ff o l d o v e rp l a nt h es t a n d a r df o t d o v e rp l a n ，d e n o t e db yf a n d i faf o l d o v e rp l a n m r e s u l t st h es 锄ef o l d o v e rd e s i g nt ot h a to fa n o t h e rf o l d o v e rp l a nm ，w e c a l l7 1a n d 他 e q u i v a l e n tf o l d o v e r 讲a 璐d e n o t e a2 m 呻i n i t i a ld e s i g na n dt h ec o r r e s p o n d i n gf o t d o v e r d e s i g nb y d a n d 由r e s p e c t i v e l y , t h e n mc a l ld e s i g n