（运筹学与控制论专业论文）系列连接弹性梁的控制设计与稳定性分析.pdf

中文摘要 本研究论文是作者在硕士研究生学习期间参加的一个国家自然基金项目( 系 列连接弹性振动系统的控制问题) 中的一个专题，主要是研究系列连接的t i m - o s h e n k o 弹性梁系统在边界和连接点加控制的条件下，所形成的闭环系统的稳定 性与结构研究在反馈控制之下系列连接弹性梁系统的适定性、渐近稳定性、指 数稳定性、谱确定增长条件等性质对于单根弹性梁振动系统来说，专家学者们 常采用乘子办法来得到系统的这些性质，也有些学者采用谱分析方法来做，在这 种情况下，系统的特征值往往都比较容易求出，并且性质上也比较简单；但是对 于系列连接弹性梁振动系统来说，由于其复杂性，乘子是很难找到的，其特征值 也很难求出，并且往往具有多重性、非可分离性等特点，这就需要我们去寻找其 它方法来解决这个问题本文处理系统的最大特点在于把系统微分方程用矩阵形 式来描述，把每根梁都放在矩阵中统一地去处理，利用渐近分析的技巧，给出谱 的分布区域，然后根据指数型函数的性质，利用谱的分布得到系统本征向量r i e s z 基的性质，从而得到系统的谱确定增长条件 本文主要得到两方面的结果，一方面，对于一端固定一端自由的系列连接的 t i m o s h e n k o 弹性梁系统，假设在连接点处其横向位移和旋转角度是连续的，而剪 切力和弯曲力矩不连续，在此情况下，通过在连接点处和右端点处施加反馈控制 器，得到闭环系统的渐近稳定性及( 广义) 本征向量的r i e s z 基性质，从而得到系 统满足谱确定增长条件，并证明得到在t l = 3 时，闭环系统是指数稳定的 另一方面，对于两端固定的系列连接t i m o s h e n k o 弹性梁系统，假设在连接点 处其剪切力和弯曲力矩是连续的，而横向位移和旋转角度不连续，在此情况下， 通过在连接点处施加反馈控制器，并设置补偿器，得到闭环系统的稳定性及( 广 义) 本征向量r i e s z 基性质，从而得到谱确定增长条件 本文是以系列连接的t i m o s h e n k o 梁系统为研究对象进行研究的，由于我们 采用的方法具有一般性，这样的方法可以推广应用到其他系统模型的研究中，诸 如：系列连接的弦系统和e u l e r b e r n o u l l i 弹性梁系统以及网络结构弹性梁系统等 关键词：t i m o s h e n k o 梁边界反馈控制稳定性谱确定增长条件岛半群r i e s z 基 a b s t r a c t t h i sr e p o r ti so n ep a r to ft h er e s e a r c ho nt h ec o n t r o lp r o b l e mo fs e r i a l l yc o n n e c t e d e l a s t i cs y s t e mw h i c hw a sd o n eb ya u t h o rd u r i n gp o s t g r a d u a t es t u d e n ts t u d y i n g t h ea i m i st os t u d yt h ef e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no ft h es e r i a l l yc o n n e c t e dt i m o s h e n k os y s t e ma n d t od i s c u s st h es y s t e m sp r o p e r t i e ss u c ha sw e l l - p o s e d ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y , s p e c t r u md e t e r m i n e dg r o w t hc o n d i t i o ne t c i nt h ec a s eo fs i n g l eb e a m ，t h e s e p r o p e r t i e sw e r eu s u a l l yd i s c u s s e db yu s i n gm u l t i p l i e rm e t h o dw h i c hi ss t i l la ni m p o r t a n t w a yt os t u d yt h es y s t e ms t a b i l i t y u n d e rt h i sc s s et h ee i g e n v a l u e su s u a l l yc a nb e c a l c u l a t e da n dt h ep r o p e r t i e so ft h e mi ss i m p l e h o w e v e r ，f o rs e r i a l l yc o n n e c t e ds y s t e m ， i ti sd i f f i c u l tt of i n dam u l t i p l i e rf o rt h es y s t e m t h ee i g e n v a l u e so fs y s t e ma r ev e r y c o m p l e xa n du s u a l l yc a nn o tb eo b t a i n e d s oa n o t h e rw a ys h o u l db ef o u n dt os o l v et h i s p r o b l e m f r e q u e n c yd o m a i nm e t h o di su s e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fs e r i a l l yc o n n e c t e d t i m o s h e n k oe l a s t i cs y s t e mi nt h i sr e p o r t t h ed i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo ft h i sr e p o r ti s t h a tt h em a t r i xf o r mi su s e dt od e n o t es y s t e m ，b yt h et e c h n i q u eo fa s y m p t o t i ca n a l y s i s ， t h ed i s t r i b u t i o no fs p e c t r u mi sg i v e n t h e nt h er i e s zb a s i sp r o p e r t yo ft h ee i g e n v e c t o m a n d g e n e r a l i z e de i g e n v e c t o r so ft h eo p e r a t o ri sp r o v e d s ot h es p e c t r u md e t e r m i n e d g r o w t hc o n d i t i o nh o l d s b yu s i n gt h i sm e t h o d ，w en o to n l ys t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h e c l o s e dl o o ps y s t e m ，b u ta l s og o tt h ep r o p e r t i e so ft h es p e c t r u md i s t r i b u t i o na n dt h e s p e c t r u md e t e r m i n e dg r o w t hc o n d i t i o n t w or e s u l t so ft h es e r i a l l yc o n n e c t e dt i m o s h e n k 的b e a m sc a nb eg o t t e ni nt h i s r e p o r t o no n eh a n d ，s e r i a l l yc o n n e c t e dt i m o s h e n k ob e a m sw i t hj o i n ta n db o u n d a r y f e e d b a c kc o n t r o l si ss t u d i e d s u p p o s e dt h a tt h el e f te n do fw h o l eb e a mi sc l a m p e d a n dt h er i g h te n di sf r e e a ti n t e r m e d i a t en o d e s ，t h ed i s p l a c e m e n ta n dr o t a t i o n a l a n g l eo fb e a m sa r ec o n t i n u o u sb u tt h es h e a r i n gf o r c ea n db e n d i n gm o m e n tc o u l db e d i s c o n t i n u o u s t h ec o l l o c a t e dv e l o c i t yf e e d b a c ko ft h eb e a m sa ti n t e r m e d i a t en o d e s a n dt h er i g h te n da r eu s e dt os t a b i l i z et h es y s t e m ，t h e nr i e s zb a s i sp r o p e r t i e so ft h e c l o s e dl o o ps y s t e ma r ep r o v e dt ob et r u e h e n c et h es p e c t r u md e t e r m i n e dg r o w t h c o n d i t i o nh o l d s f u r t h e r m o r e ，t h ec l o s e dl o o ps y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l ef o rt h e c a s eo fn = 3 o na n o t h e rh a n d ，s t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fn - c o n n e c t e dt i m o s h e n k ob e a m si sd i s - c u s s e d s u p p o s e dt h a tb o t he n d so ft h eb e a m sa r ec l a m p e d a ti n t e r m e d i a t en o d e s ，t h e s h e a r i n gf o r c ea n db e n d i n gm o m e n ta r ec o n t i n u o u s ，b u tt h ed i s p l a c e m e n ta n dr o t a t i o n a l a n g l eo fb e a m sa r ed i s c o n t i n u o u s s h e a r i n gf o r c ea n db e n d i n gm o m e n ta ti n t e r m e d i a t e n o d e sa r eo b s e r v e d t h ec o m p e n s a t o r sa r es i g n e dt ou s et oo b t a i nt h ed i s p l a c e m e n t s a n dt h a tt h ec l o s e dl o o ps y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e b yad e t a i ls p e c t r a la n a l y s i s o ft h es y s t e m ，i ti ss h o w nt h a tt h ec l o s e dl o o ps y s t e mi so fr i e s zb a s i sp r o p e r t yu n d e r s o m ec o n d i t i o n s h e n c et h es p e c t r u md e t e r m i n e dg r o w t hc o n d i t i o nh o l d s a l t h o u g ht h es t u d yo f t h i sr e p o r ti sm a i n l yo ns e r i a l l yc o n n e c t e dt i m o s h e n k o e l a s t i cs y s t e m ，t h i sm e t h o du s e di nt h i sr e p o r tc a nb eg e n e r a l i z e di nt h es t u d yo fo t h e r m o d e l s ，s u c ha ss e r i a l l yc o n n e c t e de u l e r b e r n o u l l ie l a s t i cs y s t e m ，n e t w o r kc o n f i g u r a t i o n e l a s t i cs y s t e ma n ds oo i l k e yw o r d s ：t i m o s h e n k ob e a mb o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o ls t a b i l i t ys p e c t r u m d e t e r m i n e dg r o w t hc o n d i t i o nc os e m i g r o u pr i e s zb a s i s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：桦建丛 签字日期： 。1 年 f 月心日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权丞盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：钵忠太 导师签名：锄砰厂 l 签字日期：毒驴刁年月岁日签字日期： d 7 年月厂多日 第一章绪论 振动是自然界中普遍存在的一种现象例如声波、水波、电磁波等的产 生与传播就是一种最常见的振动现象另外，机器在运转时会发生振动；桥 梁在受到外力作用时会发生振动，航天器在受到太阳风等的影响时会发生 振动等等，可以说在我们的日常生活中，振动无处不在在这形形色色的振 动现象中，有一些是可以被人们利用的，如乐器的振动产生动听的音乐； 声带和耳膜的振动使我们能够交谈；电磁波的振动被用来进行远程通讯和 探测；晶体内的振动和单摆的振动给我们提供了计时的钟表等等另一方 面，有些振动却是对人类有害的，比如机器的振动会产生噪音，消耗能量， 降低效率；桥梁的振动会减损其使用寿命甚至折断；航天器的振动会影响 其正常工作，如精确定位和姿态控制等等所有这些问题都说明对振动现 象的研究具有十分重要的实际意义，对可以利用的振动现象要研究其运动 规律以便更好地加以利用；对有害的振动要研究抑制振动的方法以减少其 影响，也就是对系统的控制本文我们要解决的就是弹性梁振动系统的镇 定问题，通过设计控制方案，对弹性振动系统施加控制，抑制其振动，使其 能够在一定时间内镇定下来，并对其镇定的程度进行分析，得到相关的结 论 本章我们将回顾一下弹性梁振动系统的应用和振动系统的控制研究及 发展情况，并在第四小节给出了本文的结构 1 1 弹性梁振动系统的应用 梁系统作为一种振动系统，在众多领域都发挥着重要的作用在建筑结 构工程上，梁作为网架结构杆件一个必不可少的单元，广泛应用于楼房， 桥梁，铁路等的建造之中，具有省材，美观，安全实用等许多优点例如北 京2 0 0 8 奥运会的主会场馆。鸟巢”和游泳场馆。水立方”十分巧妙的设计， 都是很科学的使用了梁作为其建筑框架的主要部分除此之外，内燃机曲 轴，转子轴承系统以及加筋地基等同样都具有梁的性质，船体以及直升飞 机螺旋桨可以视为薄壁梁( t h i nw a l lb e a m ) 随着科学技术的进步，在空间 飞行器、机器人弹性臂的设计和制造中，为了达到系统的某种目的，需要应 第一章绪论 用梁的控制理论，例如目前的国际空间站的框架构造，在一定程度上就需要 利用网络连接弹性梁系统控制设计来解决1 9 世纪末2 0 世纪初，由于机械 工业、建筑业、桥梁建筑、铁路建设等的发展要求，许多工程技术人员、数 学家、力学专家开始集中精力研究弹性控制系统这一研究课题过去主要 采用以e u l e r - b e r n o u l l i 梁方程为模型去研究，但该模型在用来描述现实事物 的振动时不是很理想，在该模型中考虑的刚柔运动耦合项具有严重的缺 陷1 9 2 8 年t i m o s h e n k o 所著的v i b r a t i o np r o b l e m si ne n g i n e e r i n g 标志着数 学理论与工程实践的结合，书中利用力学分析方法，给出了各种振动模型的 数学描述，同时也给出了求解的简单方法他在书中给出了著名t i m o s h e n k o 梁方程，该方程能够很理想地描述出现实中事物的振动行为，至今仍是科 学家，工程学家们研究的一个热点在其后的许多年研究中，各种复杂对象 振动的数学模型相继导出在近一个世纪的时间中，系统振动问题一直受 到科学工作者的关注，特别是由于轻型材料的出现和科学技术的高精密要 求，柔性结构材料的动力学效应必须加以考虑为了使系统振动达到某种 要求，这就需要我们进行控制，所以含柔性结构系统的振动问题分析以及 受控系统的稳定性分析提到研究的日程此外，斯坦福大学的s t e f a ub i l b a o 在他的著作【2 】中，构造了一种t i m o s h e n k od w n ( d i 西t a l lw a v e g u i d en e t w o r k ) 电 路，能够精确的模拟出t i m o s h e n k o 梁系统的行为，把边界条件以及初始条 件很精确地融入到d w n 中，这对于t i m o s h e n k o 系统的应用来说是一个比较 新颖的方向，这样可以更有效地借助计算机来做许多工作，尤其对于乐器 声音的仿真方面具有很重要的作用 1 2 振动控制的研究进展及方法 在近些年来，分布参数控制理论愈来愈受到人们的关注这是因为众 多高科技领域对系统的性能要求愈来愈高，如体积小，重量轻，精确度高， 适应面广，抗干扰能力强等，这就要求人们从更多的方面去研究系统，用 更精确的数学模型去描述系统，用更新的控制方案去操纵系统这样传统 的只限于对集中参数控制系统的研究已远远不够，从而迫使人们去研究分 布参数控制系统随着人造卫星上天，机器人的研究成功等高新科技的出 现，仅仅最近几十年，有关弹性体的研究论文的出现已数以千计，弹性体 2 第一章绪论 研究应用已遍及至诸如航天，经济，建筑，机器人的制造等众多领域在不 久的将来，弹性体研究前景将会越来越广阔，研究成果将会越来越激动人 心，应用范围也将会越来越广 随着科学技术的发展，研究弹性振动问题的目的不再是考察振动过程， 而是要实现系统的镇定，比如桥梁，机械臂镇定等问题，研究在外力作用下 系统解的变化2 0 世纪5 0 年代，随着现代控制理论的产生以及其在生产实 践中的重大作用，振动系统的控制问题，特别是反馈控制问题成为研究的 热门话题由于控制理论的应用涉及社会的各个方面，比如人1 ：3 控制，光污 染，噪声污染等，许多科学工作者在控制理论中作了大量的工作，比如最优 性控制，控制的工程实现等但这一时期控制多以分布力来表述，这种控制 方案在有些情况下在工程中的确不太容易实现2 0 世纪7 0 年代后期，系统 的边界控制成为一个重要的研究领域，由于边界控制易于在工程中实现， 特别是对含有柔性结构的系统，人们的研究重点逐渐转向到边界控制之下 系统的可控性及精确可控性，以及在边界反馈下闭环系统的稳定性和指数 稳定性方面这期间产生了一系列重要的研究方法，获得了许多重要的结 果2 0 世纪9 0 年代初期，随着材料科学的革命，智能材料作为传感器和执 行机构在振动控制中得以广泛应用，由于这种材料同时具有价格低廉，重 量轻，易成型并可粘贴或嵌人到各式各样的材料中等特点，当它作为感应 器和控制器嵌入到弹性体中时，不会明显地影响弹性体的材料结构性质， 并且作为控制器可直接用来控制局部振动而无须再施以外力和力矩，因此 分布参数的镇定控制再次成为人们关注的热点越来越多的专家学者投入 到分布参数的镇定控制研究当中 在研究振动问题包括系统的镇定问题中，有许多研究方法，这里作者 就线性分布参数控制系统的工作进行了粗浅的总结 在工程应用研究过程中，常用的方法是将系统的解按照相应的系统本 征向量展成无穷级数，以有穷和近似作为控制的出发点，这种方法称为模 态分析法这种方法的本质是先近似后控制由于在第一步近似时是将一 个偏微分方程转化为常微分方程描述的集中参数系统，第二步控制是基于 这个集中参数系统而设计，在有些情况下这种方法行之有效，但在有些情 况下会出现计算溢出计算溢出说明所设计的控制律不能对原来的分布系 统很好的发挥作用 3 第一章绪论 在控制理论的研究过程中。主要是研究系统的可观性、可控性、精确 可控性以及最优控制，系统的镇定等我们就系统的镇定所用的方法做一 简单介绍所谓系统镇定是用系统观测值反馈回系统实现系统的稳定化 为了达到系统的镇定，简单而自然的方法是取反馈控制使得闭环系统的能 量衰减( 这种控制律通常称为自然控制律) 为了研究闭环系统的能量衰 减率，从而产生了数学上的能量方法( 也称为乘子方法) 1 9 7 8 年q u i n n 和 r u s s e l lf 3 0 运用此方法得到了一维波方程边界控制的一致稳定性，c h e n 等 对任意空间维数的波方程获得类似的结果相关的文献还有很多，在这些 工作中都是用乘子方法得到闭环系统的稳定性至今仍有许多学者在研究 多维一自由度及多维多自由度的振动问题上使用这种方法乘子方法对研 究闭环系统稳定性的确是一个很不错的方法，但是它很难构造出来，学者 们往往在构造乘子上遇到困难 与乘子方法相伴发展的是频率域分析方法，它是直接从分析闭环系统 的频率出发研究系统的稳定性和指数稳定性运用这种方法进行研究的文 献也很多，我们就不一一例举 从研究结果来说，主要是研究闭环系统的稳定性以及闭环系统解的结 构：通常在研究解的结构时，主要是研究闭环系统的广义本征向量是否构 成r i e s z 基乘子方法可以用来研究系统的稳定性，方程通过乘以一个因子 再积分得到一个能量配置项函数，由此得到能量函数的指数衰减性质，但 通过此方法获得的信息很少，最多能够得到指数衰减，是无法进一步得到 系统指数衰减率等性质的；用频率域分析方法来研究受控系统的稳定性及 解的结构不失为一种好方法，但同时也是一个极为困难的方法，如果能够 求出闭环系统的频率以及相应的本征向量或广义本征向量，并能够得到广 义本征向量系统的r i e s z 基性质，那么闭环系统的解就可以按照基展开，整 个闭环系统的结构也就一目了然了同时用闭环系统的本征向量展开，取 有限项作为近似计算时，可以得到预期的阶数估计消除了前面提到的计 算溢出的现象然而在大多数情况下闭环系统的频率是难以确定的，特别 是在高维情形或多自由度情况算子扰动方法在研究稳定性及解的结构方 面，对某些类型的方程可能行之有效，但对有些方程恐怕还难以从抽象的 分析中得到所期待的结果，或者说算子扰动理论的结果还不足以满足实际 应用的需求 4 第一章绪论 1 3 关于弹性梁研究的现状 对于柔性结构梁，目前较为流行的模型主要有三种形式t e u l e r b e r n o u l l i 梁、r a y l e i g h 梁和t i m o s h e n k o 梁t i m o s h e n k o 梁模型是这三种梁模型中最为 精确的模型我们仅就t i m o s h e n k o 梁系统目前研究的进展情况阐述一下 在七十年代以前，大多采用分布控制去实现弹性振动系统的镇定；七十 年代以后，边界控制渐渐成为了专家学者们研究的主流在单根的t i m o s h e n k o 梁系统的情况下，系统镇定的文章已经有了很多，如k i m 和r e n a r d y 在 9 】 中运用乘子方法对单根t i m o s h e n k o 悬臂梁系统施加线性边界反馈，实现了 系统的指数镇定；m o r g f i l e 【1 0 研究了一端固定一端自由的t i m o s h e n k o 梁系 统，通过在自由端处设置控制，并对刚性体施加控制扭矩，运用基于系统 能量的l i a p u n o v 函数方法证明得到该系统是镇定的；f e n g 等人在【1 1 】中讨 论了t i m o s h e n k o 梁系统的非线性边界反馈问题，主要是利用非线性半群理 论来证明得到相应的闭环系统的适定性，并利用能量扰动方法证明得到当 t o o 时，系统是指数镇定的；s h i 等人在【1 2 】中就分布控制问题进行了分 析，主要研究了带有局部分布控制的非均匀的t i m o s h e n k o 梁系统，在没有 要求波速必须不相等的前提下，通过施加一些局部分布控制，利用倍频法 得到梁的振动是指数衰减的；另外对于单根t i m o s h e n k o 梁已经得到了关于 系统本征向量r i e s z 基性质的一些结果，如t 在【1 6 】中许跟起教授等人把系 统的本征向量是否构成r i e s z 基作为一个重要的工作进行了验证对于单根 t i m o s h e n k o 梁我们可以比较容易地得到系统谱的渐近表达，如【1 5 】和【1 6 】； 或者可以至少得到系统谱的一些性质，比如在f 2 1 】中得到了谱的简单性和可 分离性的结果；此外对于单根的情况，我们可以用【2 2 】中的结果直接验证得 到系统的r i e s z 基的性质当用谱方法研究上述单根梁系统边界控制时，系 统本征值往往是单重的，大多可以求出，因此分析起来相对比较容易些；而 当采用单根梁系统点控制时，摆在面前的一个主要问题就是本征值具有多 重性( 至少两重) ，分析起来就困难了，x u 和y u n g 在【1 4 】中就t i m o s h e n k o 点控制进行了讨论，在该文中通过施加点反馈控制器，然后利用对闭环系 统的本征值和本征函数的渐近分析，得到系统的一列( 广义) 本征向量构成 空间的一组r i e s z 基，从而在一定条件下得到系统满足谱确定增长条件，并 得到在一定条件下闭环系统是指数稳定的对于n 根系列连接的t i m o s h e n k o 5 第一章绪论 弹性梁系统，也已经有了一些结果，如s a d e k 和m e l v i n 在 1 8 】中研究了关于 其的最优控制问题；l e u g e r i n g 在【1 9 】中研究了t i m o s h e n k o 弹性梁网络连接 最优控制问题的动态域分解但是，关于n 根系列连接的t i m o s h e n k o 梁系统 的指数稳定性和谱确定增长条件的性质的文章却很少，这主要是由于弹性 振动系统的系列连接，相邻部件的固有频率的相互影响，使得新系统物理性 质远比单根弹性系统的性质复杂，其频谱也变得非常复杂，其本征值会出现 多重性和不可分离性等特点特别在各个梁的长度之比是无理数时，相应 闭环系统的频谱表现为混沌分布当然在一定条件下我们可以用乘子方法 得到系统的指数稳定性，但用此方法得不到系统解的结构，得到的信息也 仅仅最多到此就为止了，用此方法并不能得到系统的衰减率和谱确定增长 条件等性质，而这些性质在工程中是极其重要的尽管对于单根t i m o s h e n k o 梁的情况，我们可以比较容易地得到系统谱的渐近表达，从而在一定条件 下得到r i e s z 基的性质；但是对于本文中所讨论的系列连接的t i m o s h e n k o 弹 性梁系统来说，由于其本征值的分布的复杂性，本征值的渐近表达是很难 给出的，因此上述的一些结果都无法直接借鉴了，这也是本文在用谱分析 方法处理过程中所遇到的一个主要难点，所以为了解决系列连接弹性梁系 统是否具有p d e s z 基性质的问题，我们只能设法用其他的方法来判定得到 最近许跟起教授等人把【2 3 】中结果进行了推广，使之能够满足谱非可分离 性要求的情况，从而对于系统( 广义) 本征向量p d e s z 基性质的判定具有重要 的意义，在本文中，将采用向量矩阵形式来描述系列连接系统，很好地对系 统加以了刻画和描述，然后利用渐近分析的技巧，对算子谱进行详细的分 析，从而得到算子谱的分布等信息，并利用谱的性质得到了闭环系统的稳定 性以及r i e s z 基等性质，从而得到在一定条件下系统满足谱确定增长条件 1 4 文章结构简要说明 本文共分为5 章，中心内容为第三章和第四章 第一章为绪论，介绍了弹性振动系统的研究发展，研究方法及研究的 现状，及在研究系列连接t i m o s h e n k o 弹性梁系统镇定问题过程中所遇到的 主要难点和一些需要解决的问题 第二章给出了作者在分析过程中所用到的半群理论等基础知识 6 第一章绪论 第三章考虑一端固定一端自由的n 根系列连接的t i m o s h e n k o 梁系统的 适定性、稳定性及r i e s z 基性质假设在连接点处横向位移和旋转角度是连 续的，而剪切力和弯曲力矩是不连续的，我们通过在连接点处和自由端设置 反馈控制器，使之相应的闭环系统能量耗散，然后把该闭环系统放到一个 合适的h i l b e r t 空间中，通过对系统算子的谱分析，得出该系统渐近稳定， 并进一步证明在一定条件下相应的( 广义) 本征向量构成r i e s z 基，从而系统 满足谱确定增长条件并得到在三根梁连接的情况下= 3 ) ，系统是指数 稳定的 第四章考虑两端固定的1 1 根系列连接的t i m o s h e n k o 梁系统在连接点加 控制的镇定问题及r i e s z 基性质，假设在连接点处剪切力和弯曲力矩是连续 的，而横向位移和旋转角是不连续的，在这一章中我们在连接点设置反馈 控制器，并采用了设置补偿器的办法，使得闭环系统能量耗散，得到闭环系 统的渐近稳定性，并进一步对闭环系统算子谱渐近分析，在一定条件下得 到系统谱的渐近分布，然后利用半群理论和谱理论，证明得到了该系统( 广 义) 本征向量具有r i e s z 基性质，从而满足谱确定增长条件 第五章为结束语，提出了该研究的下一步的主要工作，以及待解决的 一些问题 7 第二章基础知识 2 1 线性算子半群基本概念及性质 本节设x 是b a n a c h 空间 定义2 1 1设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) ( o t ) 是x _ x 的有界线性 算子族，称t ( t ) ( 0st u 6 9 0 时，有 i i r ( , x ，4 ) n 怪丽1 1 1 6 0 = 1 ，2 ，) 下面我们介绍指数公式 当a 是x 上有界线性算子，生成半群t ( t ) ，且t ( t ) = e 础= 箱仍 然是x 上的有界线性算子若a 是无界线性算子，上式不成立，但我们有 下面的结论： 指数定理 设t ( t ) 是x 上的一个岛半群，4 是t ( t ) 母元，则： t ( 咖= 熙( j 一丢0 - - n z = n k - - o o 詈r ( 詈，4 ) n z 对比x 成立， 且极限关于t 在任何有界区间上是一致的 2 2 c o 半群生成理论 定义2 2 1设t ( t ) 是岛半群，则存在常数u 0 与m 1 ，使得 i i t ( t ) l i m e ，v t 之0 若u = 0 ，则称t ( t ) 为一致有界；若i i t ( t ) l l 1 ( 即：m = 1 ，u = 0 ) ，则称t ( t ) 为压缩半群 定理2 2 2 ( h i l l e - y o s i d a - p h i l l i p s ) 一个线性算子4 是g 半群 t ( ) ；t o ) 的无穷小生成元的充要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定算子； 1 0 第二章基础知识 ( 2 ) 存在实数m 与u ，使得当入 u 时有a p ( 4 ) ，和i i r c a ；a ) n i i 尚，( n n ) 推论2 2 3线性算子4 是一个满足i i t ( 0 1 i m 的岛半群的无穷小 生成元的充分且必要条件是 ( 1 ) a 是闭稠定的； ( 2 ) 若孵入 “，贝0 入p c a ) 且 i i r ( 入；么) n 1 1 0 ，使得1 1 4 = 1 l 7 1 1 x l i ，则r ( a ) 是x 中的闭子空间 定理2 2 7线性算子a ：口( 4 ) _ x 闭稠定且耗散，则对于姒 0 ， i i ( a 一4 ) z l l a l l x l l ，对于妇口( 4 ) 和入 0 成立 推论2 2 8若a 是闭稠定耗散算子，则对姒，跄a 0 ，有入c r r ( a ) u p ( a ) ， 特另u 有i i ( 入一4 ) 一1 l l 去，当入p ( 4 ) 推论2 2 9设x 是b a n a c h 空间，一4 是x 中的闭稠定耗散算子，那么对 任意的a c ，跄入 0 ，或者都是预解点或者都是剩余谱点特别当a p ( 4 ) 时，有1 1 ( a i 一4 ) 一1 忙瓢1 】 第二章基础知识 由推论2 2 8 和定理2 2 2 我们得到下面的岛压缩半群的生成定理， 定理2 2 1 0 ( l u m e r - p h i l l i p s 定理) 若一4 是闭稠定耗散算子，且1 j 9 ( 4 ) ，则 4 生成一个岛半群t ( t ) ，并且满足归( t ) i l 1 推论2 2 1 1设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，则4 为压缩半群t ( t ) 的无穷小生成元的充分必要条件是 ( 1 ) ( 0 ，o o ) cp ( 4 ) ； ( 2 ) i i r ( a ，4 ) | | 专，对枞 0 推论2 2 1 2设a 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，若 4 耗散且( 0 ，o o ) cp ( a ) ，则a 为某一压缩半群的无穷小生成元 推论2 2 1 3 设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，且a 与都是耗散的，则a 是x 上某岛压缩半群的无穷小生成元 有界线性算子扰动理论 引理2 3 1设4 是一个线性算子，p ( 棚d ( 0 ，o o ) 如果l ”r ( 入，a ) l i m 佗= 1 ，2 ，a 0 ，则存在x 上的一个范数| | ，它和x 上的原有范数 等价且满足 ( 1 ) i i h m i i x l i ，对于z x 成立； ( 2 ) i a r ( a ，a ) z f ，对于z x 和入 0 成立 定理2 3 2设x 是b a n a c h 空间，a 是x 上满足i i t ( t ) l lsm 的岛半 群t ( t ) 的无穷小生成元如果b 是x 上的有界线性算子，则一4 + 召是x 上一 个满足i i s ( t ) l i m e ( w + m l 吲m 的岛半群s ( t ) 的无穷小生成元 下面考虑4 生成的半群t ( t ) ，a + 召生成的半群s ( t ) 的关系，为此考虑 算子h ( s ) = t ( t s ) s ( s ) ，对z d ( a ) = 口+ b ) ，s h ( s ) x 是可微的，以及 h ( s ) z = t ( t s ) b s ( s ) z ，对h ，( 3 净从0 到t 积分得到 ，t s ( t ) z = t ( t ) x + t ( t s ) b s ( s ) x d s ，对于z d ) 成立 ( 2 1 ) ，0 因为( 2 1 ) 两边算子有界，所以( 2 1 ) 对一切z x 成立，所以半群s c t ) 是积分 方程( 2 1 ) 的一个解而对于该积分方程我们有下面的定理 定理2 3 3 设t ( t ) 是满足i i t ( t ) l ism 的岛半群，召是一个有界算 子，则在x 上存在唯一的有界算子y ( t ) ，t 0 ，使得对每一个z x ，t v ( t ) z 1 2 第二章基础知识 在【0 ，。o ) 上连续，并且 ，t y ( 咖声t ( t ) z + t 一s ) b v ( s ) x d s ，对于z x 成立 ( 2 2 ) ，o 我们还可以给出下面几个类似的命题 定理2 3 4设4 是b a n a c h 空间x 上岛半群t ( t ) 的母元，b 为耗散算 子，d ( b ) 3d ( 4 ) ，且| i 踟f f a 1 1 缸l i + 用i ，其中z 刃似) ，卢0 ，0 q 0 ，以及m p ) 使得 i i t ( t ) l i m ( w ) e 一讲，v t 0 则称t ( t ) 是指数稳定的如果对每个z x 都有 1 i r at ( t = 0 ， t - - o o 则称t ( t ) 是强稳定的 下面给出半群指数稳定的充要条件， 定理2 4 2以下三个结论等价； ( 1 ) t ( t ) 指数稳定； ( 2 ) 1 i mi i t ( t ) l i = o ； t o o ( 3 ) q 3 0 u l o 净 a p ( 一4 ) 注 若r e a 蛐，则a p ( a ) 且有i i r ( a ，j t ) l l 丽1 ，即沿着蹰a = 咖+ e 上预解算子一致有界 推论2 4 4 ( 黄发伦定理) 设x 是h i l b e r t 空间，t ( t ) 是x 上一致有界的 岛半群，4 为母元，若r ( a ，a ) 在虚轴上一致有界，则t ( t ) 指数稳定 1 3 第二章基础知识 关于半群的强稳定，