（概率论与数理统计专业论文）组合模型在我国经济预测中的应用.pdf

声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：逝 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。i 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：! 童立垩指导教师签名：垂塑垫 签名日期： 2 d lf 年j 月四日 吖 i d f_r1，0 1 r r - f i 摘要 时间序列预测法是一种历史资料延伸预测，是对时间序列所反映的社会经济现象的 发展过程和规律性进行引申外推，预测其发展趋势的方法时间序列预测有多种方法，如 神经网络方法和传统时间序列分析方法等，这些方法多用于处理平稳时间序列问题，并 具有一定的优势，但同时存在不足之处，预测精度往往不能达到预期的效果a r i m a 模 型因在对线性时间序列问题的预测中往往可以取得较高的预测精度，而得到广泛应用 统计学习理论是主要解决小样本的机器学习理论，其核心是通过控制学习机器的复 杂度来实现对学习机器推广能力的控制支持向量机( s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e ，s v m ) 是在 这一理论下发展起来的一种通用学习方法支持向量回归( s u p p o r tv e c t o rr e g r e s s i o n ， s v r ) 是支持向量机在解决回归问题时的推广形式它以结构风险最小化为原则，借助核 函数解决分类和回归问题s v r 作为一种新的神经网络技术已经被成功的应用在金融预 测领域 本文主要讨论了组合模型对我国g d p 值预测的绩效问题多个模型的组合可以达到 较为理想的预测效果，因此，越来越受欢迎并已得到了广泛应用一些单一模型不能灵活 体现时间变动对趋势的影响，为克服单一模型的不足，充分利用各种模型的优点，达到 增加结果的可靠性和提高预测精度的目的，本文通过确定合理权系数，将a r i m a 模型、 指数平滑模型、s v r 模型加权组合鉴于a r i m a 模型和s v r 模型各自在处理线性及非 线性问题中的优势，将两种模型组合组合方式为：先用a r i m a 对原始数据建立适当的 模型并完成预测，再对此过程中产生的残差用s v r 进行拟合，将两部分预测结果对应 相加，即得到了模型间组合预测结果与此相类似，用指数平滑模型预测，对此过程中产 生的残差再用s v r 拟合，同样加和两部分的预测值得到预测结果实验结果表明：通过 确定权系数的组合模型较单一模型的预测精度有所提高，而模型间组合的预测效果更佳 为了说明组合模型的高精度不是偶然产生的，对另外一组数据同样采用组合模型进 行预测对旅游外汇收入分别建立a r i m a 模型、指数平滑模型、s v r 模型，并将三种模 型利用加权系数法进行组合比较预测结果得出结论：组合模型的预测精度较单一模型有 较大程度的提高 关键词：自回归求和滑动平均；支持向量回归：指数平滑：组合模型 l。k 一 t 1 _ 1 - - a b s tr a c t gt h ee c o n o m i co f t i m es e r i e sf o r e c a s t i n gi sa ni m p o r t a n ta r e ao ff o r e c a s t i n gi nw h i c hp a s to b s e r v a t i o n so f t h es a l t l ev a r i a b l ea r ec o l l e c t e da n da n a l y z e dt od e v e l o pam o d e ld e s c r i b i n gt h eu n d e r l y i n g r e l a t i o n s h i p w eh a v eal o to ft i m es e r i e sf o r e c a s t i n gm e t h o d s ，s u c ha sn e u r a ln e t w o r ka n dt h e t r a d i t i o n a lt i m es e r i e sa n a l y s i sm e t h o d s ，w h i c hg e ta d v a n t a g e si nd e a l i n gw i t hs t a t i o n a r yt i m e s e r i e s ，t os o m ee x t e n t ，d o e sn o ta c h i e v et h eh o p ef o rr e s u l t s a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n g a v e r a g e ( a r i m a ) i so n eo ft h ep o p u l a rl i n e a rm o d e l si nt i m es e r i e sf o r e c a s t i n gi nr e c e n t y e a r s s t a t i s t i c a ll e a r n i n gt h e o r y ( s l t ) f o c u s e so nt h el e a r n i n gt h e o r yo fs m a l ls a m p l e s t h e c o r eo ft h et h e o r yi st oc o n t r o lt h eg e n e r a l i z a t i o no fl e a r n i n gm a c h i n eb yc o n t r o l l i n gt h e c o m p l e x i t yo fm o d e l s s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e ( s v m ) i sag e n e r a ll e a r n i n g a l g o r i t h m d e v e l o p e df r o ms l t s u p p o r tv e c t o rr e g r e s s i o n ( s v r ) i st h ee x p a n s i o no fs v m t or e g r e s s i o n p r o b l e m s s v mi s am e t h o do fm a c h i n el e a r n i n gb a s e do ns t r u c t u r a lr i s km i n i m i z a t i o n p r i n c i p l eo ft h es t a t i s t i c a ll e a r n i n gt h e o r y , u s i n gk e r n e lf u n c t i o nt os o l v ec l a s s i f i c a t i o na n d r e g r e s s i o np r o b l e m i nr e c e n ty e a r s ，s u p p o r tv e c t o rr e g r e s s i o n ( s v r ) ，an o v e ln e u r a lt e c h n i q u e ， h a sb e e ns u c c e s s f u l l yu s e df o rf i n a n c i a lf o r e c a s t i n g t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h ep e r f o r m a n c eo fu s i n gc o m b i n a t i o nm o d e lt of o r e c a s t c h i n a sg d p u s i n gh y b r i dm o d e lo rc o m b i n i n gs e v e r a lm o d e l sh a sb e c o m eac o m m o n p r a c t i c et oi m p r o v et h ef o r e c a s t i n ga c c u r a c y c o m b i n a t i o no ff o r e c a s t sf r o mm o r et h a no n e m o d e lo f t e n l e a d st o i m p r o v e df o r e c a s t i n gp e r f o r m a n c e m o s to ft h ei n d i v i d u a lm o d e l s e v a l u a t e ds h o w e dp o o ra b i l i t yt od e t e c td i r e c t i o n a l c h a n g e m a k i n gu s eo ft h ef a v o r a b l e s p e c i f i cp r o p e r t yt h a tc o m b i n e dm o d e l sm a yp u tf o r w a r dt ot h ef o r e c a s t i n gs y s t e a n ，t h ep a p e r s e t su pt h em o d e lw h i c hc o m b i n e de x p o n e n t i a ls m o o t h i n gm o d e l ，a r i m am o d e la n ds v r m o d e lc a ni m p r o v et h ea c c u r a c yo ff i xa n df o r e c a s tb yp r o p e rw e i g h s b e c a u s ea r i m aa n d a v ra r eo f t e nc o m p a r e dw i t hm i x e dc o n c l u s i o n si nt e r m so ft h es u p e r i o r i t yi nf o r e c a s t i n g p e r f o r m a n c e t h e nah y b r i dm e t h o d o l o g yt h a tc o m b i n e sb o t ha r i m aa n ds v rm o d e l si s p r o p o s e dt ot a k ea d v a n t a g eo ft h eu n i q u es t r e n g t ho fa r i m aa n ds v rm o d e l si nl i n e a ra n d n o n l i n e a rm o d e l i n g c o m p a r i n gw i t ht h o s e ，a h y b r i dm e t h o d o l o g yt h a t c o m b i n e sb o t h e x p o n e n t i a ls m o o t h i n gm o d e la n ds v rm o d e l e x p e r i m e n t a lr e s u l t sw i t hr e a l d a t as e t s i n d i c a t et h a tt h ec o m b i n e dm o d e lc a nb ea ne f f e c t i v ew a yt oi m p r o v ef o r e c a s t i n ga c c u r a c y a c h i e v e db ye i t h e ro ft h em o d e l su s e ds e p a r a t e l y 一i i r+i广 辽宁师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：a r i m a ；s v r ：e x p o n e n t i a ls m o o t h i n g ；c o m b i n a t一l，捌j 组合模型在我国经济预测中的应用 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 课题的研究背景1 1 2 国内外研究现状2 第二章时间序列模型的理论概述4 2 1 随机过程4 2 2 移动平均模型4 2 2 11 阶移动平均模型4 2 2 2q 阶移动平均模型5 2 2 3 m a ( q ) 的统计性质5 2 3 自回归模型5 2 3 1 1 阶自回归模型a r ( 1 ) 5 2 3 2p 阶自回归模型5 2 3 3 a r ( p ) 平稳( s t a t i o n a r i t y ) 条件6 2 - 3 4a r ( p ) 的参数特征6 2 4 自回归移动平均混合模型7 2 4 1 定义和性质7 2 4 2 偏相关函数7 2 5 平稳性检验8 2 6 平稳时间序列的概念9 2 7a r l m a 模型1 0 2 8a i c 准则和b i c 准则1o 2 9 建模流程1 l 第三章支持向量回归模型1 2 3 1 理论基础1 2 3 2 核函数1 3 3 3 最优超平面1 4 3 4 线性回归1 5 3 5 非线性回归1 6 辽宁师范大学硕士学位论文 3 6 本章小结：1 8 第四章组合模型在我国g d p 预测中的应用实例1 9 4 1 指数平滑法1 9 4 1 1 平滑方法1 9 4 1 2 简单滑动平均1 9 4 1 3 简单指数平滑计算公式1 9 4 1 4 利用指数平滑对数据进行平滑和预测的步骤1 9 4 1 5 确定系数口2 0 4 2 组合模型理论2 0 4 2 1 组合模型的应用情况2 0 4 2 2 几种常见组合预测权系数的确定方法2 l 4 3 实例应用2 2 4 4 我国g d p 值的特点分析2 2 4 5 时间序列模型与支持向量回归模型组合2 4 4 6 指数平滑模型与支持向量机回归模型组合2 6 4 7 支持向量回归模型预测2 8 4 8 加权组合预测2 8 4 9 分析比较2 8 第五章组合模型在我国外汇收入预测中的应用3 l 5 1 引言3l 5 2 数据分析和处理31 5 3 建立a r i m a 模型3 3 5 4 建立指数平滑模型3 4 5 6 组合多个模型的预测值j 3 5 5 7 结论及展望3 6 参考文献3 8 致谢4 0 一v 一 1 1 课题的研究背景 g d p ( g r o s sd o m e s t i cp r o d u c t ) 即国内生产总值，是一定时期内一个国家或地区的 经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，可反映该国家或地区的经济状况因此， 对g d p 的准确预测有助于建立合理的宏观调控机制，对国家经济的发展具有深远的影 响同时，对预测的准确性提出了更高的要求 目前，对g d p 的预测常用的方法有时间序列分析法、神经网络方法、灰色预测方法 等，然而单一的预测方法会存在各种各样的问题例如时间序列分析法要求处理平稳时 间序列问题；神经网络结构不易确定且容易出现过拟合现象；灰色预测理论以小样本为 研究对象为了使各种预测方法的不足降到最低，通常利用组合预测理论进行预测在 与各种单一预测方法的预测结果比较后发现：组合模型可以达到更高的预测精度 时间序列分析是数理统计学的一个分支，是处理动态数据的一种方法，以概率统计 学理论为基础分析时间序列数据对于非平稳的时间序列采用差分法使其平稳，用时间 序列分析方法预测，可以发挥时间序列方法处理平稳时间序列的优势用a r i m a 、a r c h 、 协整等一些方法可以估计收益率、预测风险、完成对资产定价等金融领域的系列问题 支持向量机( s u p p o r tv w c t o rm a c h i n e s ，s v m ) 是2 0 世纪9 0 年代美国n v a p n i k 教授提出的一种机器学习理论，以处理小样本情况为基础，支持向量机以结构风险最小 化原则为基础，克服了传统的机器学习以经验风险最小的缺点，利用最优化理论得出最 优解。综合考虑置信风险和结构风险，具有较好的泛化能力，可以达到较高的预测精 度支持向量机包含最大分离超平面、m e r c e r 核函数、线性规划、非线性规划和松弛变 量等多种技术s v m 主要用于回归和分类，在处理线性不可分问题时可以将原始数据映 射到高维空间，在高维空间实现线性分离，将分离后的结果映回到原空间在回归领域 的应用还有较大空间虽然支持向量机己具备很多优越性，但是在应用中还有一些问题 亟待解决，并且要求其理论更加完善 随着预测领域的不断发展，对预测的精度提出了更高的要求，而单一预测模型很难 得到既精确又可靠的预测结果，多种预测方法可以从不同的角度应用并发掘有用信 息如果只是单纯的将预测误差较大的方法舍弃，可能会造成有用信息的浪费如果对 多种单一模型进行适当组合，就可以弥补单一模型的缺点，使各种单一模型的优点得到 最大限度的发挥，从而提高预测精度，使历史数据得到充分的利用 组合模型在我国经济预测中的应用 组合预测理论中应用比较多的是确定权系数，常用的方法有等权平均法、最优加权 法、方差倒数法、变权组合预测法、无约束最小二乘法、递归等权组合预测法其中， 等权平均法不考虑各种单一模型的预测精度，最优加权法使组合模型的预测误差平方和 最小，方差倒数法对预测误差平方和较小的方法赋予较大的权重各种组合预测方法要 求权系数为正，如果出现负数则此方法失效 1 2 国内外研究现状 近年来，组合模型预测法得到了广泛应用，也取得了诸多成果预测领域的学术性 刊物财经科学、预测、投资理论与实践、管理工程学报等相继刊登了 唐小我教授 2 3 1 1 2 4 1 2 5 1 和曹长修教授( 2 6 1 【2 7 】【2 8 1 的多篇学术著作，为我国组合预测方法的研究 和完善做出了贡献 马琰【1 1 】利用组合模型完成了对航空客运量的预测，通过a r i m a 模型实现了对具有季 节变化、长期趋势、周期变化等复杂变化因素的航空客运量进行拟合并预测同时，利 用对原始数据需求不多且计算简单可行的灰色预测法再度拟合，然后应用多种求权系数 的计算公式分别组合季节指数模型、b - j 模型和灰色系数模型的预测结果，实例说明预 测精度较高，基本与实际数值的变化趋势相一致 林惠君与徐荣聪【9 j 用a r m a 模型和s v r 模型组合，在用a r m a 模型时不对时间序列进 行白噪声检验，不考虑序列的平稳性，直接建立模型再对含有有用信息的残差用s v r 模型拟合，因为残差是预测值与真实值的差值，所以将两部分的预测结果加和，就达到 了对整体预测的目的 国外也有关于组合预测方法的研究，j d i e t r i c h f l 2 1 等人发表在n o n l i n e a r p r o c e s s e si ng e o p h y s i c s 上的不同类型的组合模型的自适应概率洪水预报模拟， 利用气象模型与水文模型的组合使对洪水的预报时间缩短，为提前做好防洪工作打下了 基础 乔治州立大学的g p e t e rz h a n g 1 0 1 用a r i m a 和神经网络模型组合对时间序列进行 预测，充分发挥了a r i m a 模型处理线性问题的优越性及神经网络模型在非线性问题上的 完美拟合实践中很难确定一种既实用于线性问题也可以处理非线性问题的通用模型， 而采用a r i m a 和a n n 组合之后的预测结果与真实值较为接近 对于组合理论的研究将越来越被重视，也会逐渐发展成熟，有望在生产生活中得 到普遍应用 1 3 本文的主要工作 辽宁师范大学硕士学位论文 第一章阐述了组合模型的研究现状，通过学习中外关于组合预测的文献，掌握多种 切实可行的方法分章介绍所涉及模型的理论知识、计算公式 第二章详述了时间序列预测理论和b o x j e n k i n s 方法及建模流程，如自回归移动 平均模型及其两种特殊形式， 第三章介绍了基于统计学习理论的核心思想，引入经验风险最小化原则下，主要阐 述了线性与非线性回归问题 第四章为本文的核心部分，为了比较组合模型的预测效果，介绍了便于操作的指数 平滑方法以及几种确定权系数的方法之后介绍各种模型的应用，利用中国统计年鉴 中1 9 7 8 2 0 0 9 的以1 9 7 8 年为不变价的g d p 值为基础数据分别利用e v i e w s 6 0 和 m a t l a b 6 5 建模对平稳后的数据根据相应的准则建立a r i m a 模型得预测值，经过判断， 此时的残差含有有用信息为充分利用这部分信息，对非平稳的残差序列用s v r 模型拟合 并预测，将a r i m a 模型预测结果与s v r 的预测结果加和得到第一组预测值同样，对原 数据建立指数平滑模型，仍然用s v r 预测残差，将两部分预测结果加和得到第二组预测 值然后用s v r 模型对原数据再预测得到第三组预测值考虑到各单一模型存在的不足， 本文尝试将a r i m a 模型、指数平滑模型、s v r 模型三部分预测结果用最优加权法进行组 合并与前三组预测值进行比较实验结果表明，组合模型的预测精度较单一模型有较大 幅度的提高 第五章为说明组合预测的高精度不是偶然产生的，用一组旅游外汇收入为数据，把 多种模型预测的结果加权组合，再比较各种模型的预测精度，同样可以得出结论：组合 模型的预测效果较单一模型有明显提高 最后做出总结，提出展望 组合模型在我国经济预测中的应用 第二章时间序列模型的理论概述 2 1 随机过程 定义：设r 是实数集r = ( 棚，佃) 的子集，俗称足标集，对任意固定t t ，z 是随机 变量，t t 的全体 e ；f t ) 是一个随机过程，记为( z ) 即每个固定的f 对应一个随机变量z ，当f 取遍集合丁中的值时，就得到随机过程 丁可取为： ( 1 ) 连续情况：t = ( 埘，佃) ；t = ( 0 ，+ c o ) ( 2 ) 离散情况：t = 一2 ，一1 , 0 , i ，2 ，；t = o ，1 ，2 ，3 由于足标集往往表示时间，所以随机过程又称时间序列 时间序列的主要特点：不同时刻的两个随机变量是相关的，即不同时刻的随机变量 不是相互独立的，协方差或者相关系数不等于o 2 。2 移动平均模型 2 2 1卜阶移动平均模型 1 定义： y f = + s ，+ 铅，一l 李e 中e ( q ) = 0 ，e ( s ? ) = 仃2 ，e ( e ，g ，) = 0 ，t s ( 2 1 ) 、0 和万2 为模型的未知参数，并且0 0 e 是白噪声过程的加权平均，所以表 达式2 1 称为卜阶移动平均模型，记为m a 0 ) 2 卜阶移动平均模型的性质： 均值函数：e 瞄) = e ( a + 。+ 如t 1 ) = e ( ) + e ( e 。) + e ( 0 s 1 1 ) = z ( 2 2 ) 自协方差函数：= e ( y t - ) 2 = e ( e ，+ 如f _ 1 ) 2 = e ( 占? + 2 0 6 f 占卜l + 口2 s 三1 ) = e ( s ? ) + e ( 2 0 9 ，s h ) + e ( 0 2 s ：1 ) = 仃2 + o + 0 2 莎2 = ( 1 + 0 2 ) 仃2 ( 2 3 ) 厂l = e ( e 一) ( 】j ：一i - i z ) = 研( s ，+ 铅卜1 ) ( 占，- l + 防卜2 ) = a 仃2 ( 2 4 ) y i = e ( z 一) ( r i 一) = 皿( 占，+ 铅卜1 ) ( s 卜i + o e 卜i 1 ) 】 2 e ( e f s ，t + o e 卜l s 卜t + e r i e 卜t i + 0 8 卜i o e 卜i 1 ) = 0 ， k 1( 2 5 ) 2 2 2g 一阶移动平均模型 1 定义o r = z + 占f + b 占卜l + + 岛s 卜g 其中e ( q ) = 0 ，e ( s ? ) = 仃2 ，e ( q t ) = 0 ，t j ( 2 6 ) 称、1 9 f ( f = 1 ，2 ，q ) 署1 1 t y 2 为模型的未知参数其中巳0 上式是g 阶移动平均模型， 记为m a ( q ) 2 2 3 m a ( q ) 的统计性质 均值函数：e m ) = 自协方差函数：= ( i + 0 1 2 + + 巧妙2 乃= ( 色+ 巳+ 1 1 9 l + + 巳巳一，) 仃2 ，1 歹q 以= 0 ，k g 自相关溅乃= ( 巳咏一+ - + 岛巳+ 竹+ ) ，1 娜g p k = 0 ，k q 截尾性：m a ( q ) 的自相关函数在有限步之后，即g 步后( 七 g 时) 自相关系数等于0 2 3 自回归模型 2 3 11 一阶自回归模型触( 1 ) r = 伊一l + 占，其中e ( ) = 0 ，e ( 占? ) = 盯2 ，e ( 占，s ，) = 0 ，t s 2 3 2p 一阶自回归模型 定义： z = c + 仍一t + 驴2 e 一2 + + 妒p z p + 岛 其中e ( 占，) = 0 ，e ( 爵) = 仃2 ，e ( 毛占，) = 0 ，t s ( 2 7 ) 组合模型在我国经济预测中的应用 c 、伊，( _ = 1 ，2 ，p ) 和仃2 为模型的未知参数，其中咋0 表达式( 2 7 ) 中包括p 个解释变量，这些解释变量是被解释变量的滞后变量，因此该模型称为p 一阶自回归模 型，记为a r ( p ) 2 3 3 a r ( p ) 平稳( s t a t i o n a r i t y ) 条件 a r ( p ) ： l = c + 缈l z l + 0 2 r , 一2 + + 妒p z 一尸+ q 滞后算子表示为：( 1 - 1 , o l l - t 0 2 r - c p 口) e = q ( 2 8 ) 令中犯) = ( 1 _ 妒，三一妒2 r - ( p 。l p ) ，( 三) 滞后算子多项式，所以 ( 三) r = c + 毛 用z 代替三，得特征方程中( z ) = ( 1 一伊l z - ( p 2 2 2 一伊口z p ) = 0 ( 2 9 ) 如果特征方程的根在单位圆外，模型满足平稳条件 特征方程也可以表示成用代替z ( 五) = ( 一仍名矿1 一仍力旷2 一一伊p ) = 0 ( 2 1 0 ) 此时，如果特征方程的根在单位圆内，模型满足平稳条件 2 3 。4 a r ( p ) 的参数特征 e 以) 2 2 必1 一仍一仍一) y j = 9 l y j t + 9 2 y 卜z + + 9p y j p j = 1 , 2 ，3 p j = 9 l p j l + 驴2 p j 一2 + + 妒p p ，一p 歹= 1 , 2 ，3 = 仍7 l + 仍y 2 + + 伊p y p + 仃2 当7 p 一伊1 7 p 一妒2 y ，一纬= 0 根不同时，有：乃= c l + c 2 + + c p 拖尾性：自相关函数呈指数衰减 辽宁师范大学硕士学位论文 2 4 自回归移动平均混合模型 2 4 1 定义和性质 z = c + 伊l 一i + 伊2 e 一2 + + z 一| p + q + b g r _ l + + 吃s 卜窖 ( 2 1 1 ) 其中e ( e t ) = 0 ，e ( s ? ) = 盯2 ，e ( q 巳) = 0 ，f j 引入延迟算子l ，三( z ) = r 一。，r ( z ) = 】：一2 ( 1 - 驴, l - 伊2 l 2 一一伊p ) r = c + ( 1 + 0 1 l + 0 2 l 2 + + e w ) 8 f ( 2 1 2 ) 令( l ) ：1 一羔纺：一兰伊，：一l 卢lj = o 。( d ：1 一羔哆：一圭e ，岛：一l = lj = o ( l ) y = c + o ) 满足条件： ( i ) ( 三) 与o ( 三) 无公因子 ( i i ) 伊p 0 ，岛0 ( i i i ) 缱) 为白噪声序列 ( i v ) e ( y , e ，) 5 0 ( t 1 时时间序列亿) 平稳；若有一个 特征根a = l ，则亿) 非平稳对( 2 1 5 ) 式进行等价变换 e z l = 仍r l + + r p z 一1 + q 整理后简记为v r = p r l + 屈v 一l + + p , - l v r p l + 占，其中，p = 仍+ + q o p l ， 岛= 一纺一纺+ ：一纬，= 1 ，2 ，p 一1 作回归检查p 值亿) 非平稳，至少有一个 根，使妒l + 仍十+ 妒。= 1 即p = 0 ；若p + 6 一y i i 占，i = l ，z ，引入两个松弛变量：磊，占o ，i = l ， s 一不敏感函数作为损失函数，定义如下： i 孝i 。= i 善l ! i 妻 喜贝。 优化方程为： 满足约束条件： m i n 三1 n 1 2 + c 喜( 六+ 等) f ( x f ) - y i + s ，i = 1 ， y j f ( x i ) 六+ g ，i = 1 ，z 鼻，善0 , i = 1 ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 优化式( 3 1 2 ) 中前一项为提高泛化能力使函数更平坦，后一项使误差减小，常数c 调整其影响程度g 为一正常数，( t ) 与) ，的差别与的大小关系决定是否计入误差 当( ) 与儿的差别大于g 时误差记为l