（应用数学专业论文）神经元网络一个积分微分方程行波解的存在唯一性.pdf

神经元网络一个积分微分方程行波解的存在唯一性 摘要 本文进一步研究了产生于神经元网络的一个积分微分方程： v u , ( z ) = f ( v , w ) + o k ( z v ) h c u ( y ) 一o ) d y ，r 的行波解存在唯一性问题文【1 】给出行波解的存在唯一性定理，分别用分析向 量场和泛函分析方法证明了定理的结论，但其证明并不完备 本文以文【1 】的研究为基础，把积分微分方程化为自治的常微分方程组，求 出所得自治系统的不动点，分析不动点周围的向量场根据相量场说明满足条 件的行波解是否唯一存在 首先，考虑参数叫：o 的情况，分析四个不动点周围向量场，确定从鞍 点( 一1 ，o ) n 达稳定结点( 1 ，卢) 的轨线即为满足条件的行波解( 丁( z ) ，u ( z ) ) 进一步证 明存在唯一的波速如满足条件的行波解满足u ( v o ，o ) = 0 其次，考虑叫( 伽一，伽+ ) 时，分析有两个不动点，四个不动点和六个不动点 出现时的向量场，分别说明在不同情况下满足条件的行波解是否唯一存在 最后归纳总结，指出满足条件行波解的存在性与突触常数n 有关，对充分 大的q 得出完善的定理结论 关键词：神经元网络，积分微分方程，行波解，存在唯一性 内蒙古人学硕十学位论文 e x i s e n c ea n du n i q u e n e s so ft r a v e l i n g 後v e s o l u t i o no fs o m ei t e g r a ld i f f e r ，e n t i a l e q u j 气t i o n sa r i s i n gf o r mn e u r o n a ln e t w o r k s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t he x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o no f t h ei n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： ， 秒玩z ) = ，( 配坩) + o l g ( z y ) h ( u ( y ) 一p ) d y _ ，r a r i s i n gf r o mn e u r o n a ln e t w o r k s t h et h e o r e mo fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sw a ss t u d i e db y t h ea r t i c l e 1 ，a n dt h ec o n c l u s i o n so ft h et h e o r e mw e r ep r o v e db ya n a l y s i so fv e c t o rf i e l d a n df u n c t i o n a la n a l y s i sm e t h o d s ，b u tt h ep r o o fi sn o ts t r i c t t h i sp a p e rw a sb a s e do nt h ec o n c l u s i o n so ft h ea r t i c l e 【1 】，t r a n s f o r m e dt h ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t ot h ea u t o n o m o u ss y s t e mo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o b t a i n e df i x e d p o i n t so ft h ea u t o n o m o u ss y s t e m a n a l y z e dv e c t o rf i e l dn e a rt h e 缸e dp o i n t sa n di t s s u r r o u n d i n g i na c c o r d a n c ew i t ht h ev e c t o rf i e me x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o nw e r ep r o v e d f i r s t l y , f o rt h ep a r a m e t e rw = 0 b ya n a l y s i n gt h ev e c t o rf i e l da r o u n do ff o u rf i x e d p o i n t s ，t h et r a n j e c t o r yf r o mt h es a d d l ep o i n t ( 一1 ，o ) t ot h es t a b l en o d e ( 1 ，p ) w a f td e - t e r m i n e d ，w h i c hw a st r a v e l i n gw a v es o l u t i o n ( r ( z ) ，u ( z ) ) f u r t h e rm o r e ，t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h ev e l o c i t yv 0s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n sf o rt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s u ( v 0 ，0 ) = 0 s e c o n d l y ，f o rp a r a m e t e rw ( w 一，叫+ ) ，a n a l y z i n gv e c t o rf i e l d so ft w of i x e dp o i n t s f o u r f i x e dp o i n t sa n ds i xf i x e dp o i n t s d e t e r m i n e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o n a tl a s t ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o nd e p e n d e do n s y n a p t s ec o n s t a n ta ，l a r g es y n a p s ec o n s t a n tw a sp r o v e d k e y w o r d s ：n e u r o n a ln e t w o r k s ，i n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s i n 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内錾直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志义_ j 术研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：俩j 、- 鸯 闩期：2 口7 岁、多口 指导教师签名： f - 1；h j ： 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作荔完全了解学校仃父保留、侵j f 学位论义的舭定，l ! i i ：内蒙古大学有权将 学付：论文的全翻；i = l j 容或部分保留蚓：川斟家有关机构、翔；i j 送交学位沦文的复印件和磁啦，允 降勃前入仃天数据库进行拎象也可以采h 影印、缩印或! 。“也毖制手段保存、纵编学能论文。 力保扩，学院和导师f i , j 矢l i j 产权，作者柏：学期州取得的研究成粜弼一j f 蒙i 鼻大学。作者今后使 用涉及在学期1 日j 主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古火学就读期问导师的i 司意；若用于 发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学f 步i 色文f 1 1 者一签z ：互辽监一 。i 蟛j ：至塑皇，。q j 纠 内蒙古人学硕十学位论文 序言 细胞的主要组成为细胞膜、细胞核、细胞质、细胞器等。重要说明的是细胞膜对离子 的选择通透性，从而导致神经原细胞膜的内外离子浓度不一样，成为静息电位产生的因 素之一静息电位是指神经元未受刺激是存在于细胞膜内外俩侧的电位，即产生静息电位 的因素有： ( 1 ) 细胞内外离子分布的不平衡； ( 2 ) 细胞膜上离子通道关闭和开放对离子产生不同的通透性； ( 3 ) 主动性离子泵的作用 而平衡电位是离子的内外膜浓度达到电化学梯度平衡时的膜电位，计算公式为n e r n s t 方程( 见f 3 1 ) 在这里联系很多生物学内容的细节问题，就不一一列举阐述了，详细的生物 学知识见文【4 】f 5 】 神经细胞( 神经元) 的基本工作是接收、传导、传递信号感受器官一神经元( 中枢神 经系统、大脑、脊髓) 一其他细胞( 肌肉、运动、腺) 神经元的构造一般可叙述为： ( 1 ) 胞体：包括细胞核和其他细胞器( 如e r 和线粒体) ； ( 2 ) 树突：向其它神经元接受信号； ( 3 ) 轴突：向胞体外传输信号； ( 4 ) 神经末梢( 突出末梢) ：轴突的末端分枝； ( 5 ) 髓鞘：覆盖和保护打的轴突 外界的刺激以电脉冲的形式传递在神经元内部，在一定的刺激下会产生动作电位为 了更好的模拟过程，做出模型对神经元结构功能了解是必要的因动作电位沿着轴突膜 传播可看作电路的循环，膜的双脂层相当于电容器，离子通道看作电阻，轴突膜上形成电 循环，即可直接应用物理学理论：库仑定律、欧姆定律、霍尔基夫定律等 h o d g h i n h u x l e y 在大鱿鱼的轴突上做实验得到h o d g h i n - h u x l e y 模型： ，i 厂 k = c m 等+ g k ( v 一取) + g n d ( y e o ) 一g l ( v e l ) ( 0 0 1 ) f 鲁砘( 1 一) + 觚 面d m 铷m ( 1 一) + 风m ， ( 0 0 3 ) 【面d h ：。水一j 1 ) + 阮 序言 以上系数可有实验得出： 口n ( y ) - o 。1 而- v + 1 0 ， 风( y ) ：0 1 2 5 e 丽- v ， q m ( y ) = 。1 话= - 累v 两+ 2 5 ， 。4 风( y ) = 4 e 面- v ，口l i l ( y ) = 。7 e 丽- v ，阮( y ) 。f 写1 f 面 这一系统的形式是变量v 、n 、m 、h 组成的四个非线性微分方程，截至系统得到v 是一 个周期解或一个行波解模拟轴突作为一个导体，考虑轴突膜上的电循环，细分各个离子 通道的动作电位电循环模型。可列出一系列的微分方程，还是以h o d g h i n - h u x l e y 方程为基 础 文【1 】主要研究足由d a v i dh t e r m a n 教授提出的模型： ， 口饥= f ( u ，加) + o k ( x y ) h ( u ( y ) 一o ) d y ， ( 0 0 5 ) ，r 毗= e g ( u ，叫) ( 0 0 6 ) 当= 0 时的情况 本文以文【1 1 的研究为基础，把积分微分方程化为自治的常微分方程，求出所得自治 系统的不动点，分析不动点周围的向量场，根据相量场分析满足条件的行波解足否唯一 存在 首先，考虑参数伽= o 的情况，分析四个不动点( 一1 ，o ) ，( 一1 ，o ) ，( 一1 ，1 ) ，( 1 ，p ) 周围向量 场，确定从鞍点( 一1 ，o ) 引出的轨线即为满足条件的行波解( 丁( z ) ，u ( z ) ) 进一步证明存在唯 一的波速v o 满足条件的行波解满足u ( v o ，0 ) = 0 其次，考虑加( 伽一，伽+ ) 时，分析有两个不动点：( 一1 ，妒一( 伽) ) ，( 1 ，妒+ ( 伽) ) ，四个不动 点：( 一1 ，妒一( 叫) ) ，( 一l ，妒一l ( 叫) ) ，( 一1 ，妒一2 ( 叫) ) ，( 1 ，妒+ ( 叫) ) ，有四个不动点：( 一1 ，妒一( 叫) ) ， ( 1 ，妒+ 1 ( 伽) ) ，( 1 ，妒+ 2 ( 叫) ) ，( 1 ，妒+ ( 叫) ) 和有六个不动点存在：( 一1 ，妒一( 叫) ) ，( 一1 ，妒一l ( 伽) ) ， ( 一1 ，妒一2 ( 叫) ) ，( 1 ，妒+ 1 ( 伽) ) ，( 1 ，妒+ 2 ( ) ) ，( 1 ，妒+ ( t u ) ) 出现时的向量场，说明在不同情况下满足条 件的行波解足否唯一存在 最后归纳总结，指出满足条件行波解的存在性与突触常数。有关，突触常数a 充分大 得出完善的定理结论 2 第一章本文研究的模型 1 1 神经元网络的一个积分微分方程 本文书要讨论的是神经元网络通道的一个积分微分方程： ， u t = f ( i f ，加) + q g ( x y ) h c i f ( y ，t ) 一o ) d y ( i i 1 ) - ，r 的行波解的存在唯一性 其中t ：i f ( x ，t ) 代表神经元网络中z 处的神经元在t 时刻的穿膜位势( m e m b r a n c e p o t e n t i a l ) ，硼为参变量；，足关于牡，w 连续可微的函数，且九 0 ，记f ( u ) = f ( i f ，o ) 为三次函 数，满足y ( o ) = f ( a ) = f ( i ) = o _ k x ( o ) o ，z ( 1 ) o 使得对z r 有：k ( z ) c e p 呲 h 为开关函数( h e a v i s d es t e pf u n c t i o n ) ： r1 ， z 0 ， h ( x ) = l0 ， z 0 卷积k 车【h ( i f p ) 】代表神经元之间的非局部联系：a 为突触常数( s 可礼印s e n s 钯疵) 设f ( i f ) 的极小值点为p 一( n ) ，极大值点为冉( n ) ，阈( t h r e s h o d ) o 满足： p ( n ) 0 p + ( o ) ( 1 1 2 a ) ( 1 1 2 b ) 设叫一：) r 3 f ( u ，枷) = o 的极小值，w + 为f ( i f ，叫) + a = o 的极小值则对任意叫( 一，叫+ ) ， 存在u = 妒一( 叫) p + ( n ) 使得： 且 ，( 妒一( ) ，w ) = 0 ，( 妒+ ( 叫) ，w ) + q = 0 九( 妒一( 彬) ，t u ) 0 ，九( 妒十( ) ，w ) 0 事实上，u = q o _ ( 叫) 足曲线- 厂( 札，叫) = o 的左枝，让= 妒+ ( 叫) 足曲线，( 札，叫) + o = o 的右枝， 例如令：，( u ，w ) = i f ( 1 一乱) ( u a ) 一叫( 见图1 1 ) 3 1 2 行波解的定义 心 、 l 八 d 、 一 j i “ 口 、 图1 1 f ( u ，w ) = u ( 1 u ) ( u a ) w 1 2 行波解的定义 本文主要研究的是方程( 1 1 1 ) 的行波解的存在唯一性，故在此给出行波解的定义 定义1 2 1 设牡( z ，) 为方程( 1 1 1 ) 的解，令u ( x ，t ) = u c z ) ，其中z = z 一可( 叫) t ，对固定的波 速v ( w 1 r ，若极限 f 士( 伽) = ：一l i m 士u ( z ) 2 + 士 存在，则称u ( z ) 为方程( 1 1 1 ) 的行波解 根据上述定义，假设这样的乱( z ) 存在，代入方程( 1 1 1 ) ，u ( z ) 应满足下式： ， 以( z ) = ，( 配w ) - t - a g ( z y ) h ( u ( y ) 一o ) d y ( 1 2 1 ) ，r 其中t ，= 口( 伽) ，r u ( z ) 满足边界条件，极限z 士( 加) = l i m 一4 - u ( z ) 存在 下面的内容丰要研究方程( 1 2 1 ) 的满足条件的行波解v ( z ) = u ( x ，t ) 的存在唯一性 1 3 文【1 】的存在唯一性定理 文【l 】：i - 要讨论积分微分方程( 1 2 1 ) 的行波解的存在唯一性，下面给出文【1 】定理的丰要 内容： 定理1 3 1 假设，c 1 ( 形) ，厶 1 ，满 足，( p ) w o ， 有2 f ( o ，w ) + q o 与7 5 程- ( 1 2 1 ) 有唯一解，在r _ y - 4 t ： 得u ( v o ，0 ) = p 和u 。( v o ，z ) 0 ，且有 1 i mu ( v o ，z ) = 0 ，l i m 。v ( v o ，z ) = p ：l i m 。以，z ) = 0 名一2 十名 ( 详见文1 1 1 6 5 页) 5 第二章参数w = o 行波解的存在唯一性 在本章中丰要讨论叫：o 时满足条件行波解的存在唯一性首先把积分微分方程化为 自治的常微分方程组，求出自治系统的不动点，分析各不动点的性态及不动点周围向量 场，求出从鞍点( 一1 ，0 ) 到稳定结点( 1 ，p ) 的轨线即为满足条件的行波解 2 1 积分微分方程的自治化 当叫= o 时，令v ( z ) = u ( v ，z ) ，此时方程( 1 2 1 ) 可写为： 移以( z ) = l ( u ) + o l k ( z y ) h ( u ( y ) 一o ) d y ，r 做变换，z y = z ，则有： u 巩( z ) = f ( u ) + a k ( x ) h ( u ( z z ) 一o ) d y - ，r 由推论( 1 3 1 ) 可知巩 0 ，故方程( 2 1 2 ) 可写为： 秒以( z ) = f ( u ) + a l oz ) 其 i o ( z ) = 厂k ( x ) d x 引入变量7 - = t a n h ( k z ) 名r ，即z =i n 鹄7 i ( - 1 ，1 ) ，这里取七= 2 0 ， 并令 m ，= 矗与k c 去n 鲁，如 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 这时要求方程( 1 2 1 ) 满足条件的行波解，即要求自治方程组( 2 1 4 ) 的解满足： 初始条件 ( 下( o ) ，u ( v o ，0 ) ) = ( 0 ，9 ) ； 边界条件 ：一l i r a 一。( t ( z ) ，v ( v ，z ) ) = ( 一1 ，0 1 。一l i r a 十。( t ( z ) ，u ( v , z ) ) = ( 1 ，口) 2 _ 一x z + 十。 文【l 】所给出的推论( 1 3 1 ) 可表述为下述引理： 6 卅 0 川 = p 以 )、， 社 吣 一 旷 “ i i = ： 丁 组r ，、【 程方治自 为变2程方 内蒙古人学硕十学位论文 引理2 1 1 存在唯一如 0 ，方程( 2 j 彳) 存在唯一行波解( 丁( z ) ，u ( v ，z ) ) ，使得( 下( o ) ，u ( 如，o ) ) = ( 0 ，p ) ，u ，( v o ，r ) 0 ，在( 一l ，1 ) 上，且有： ：1 i m 一( 7 - ( z ) ，u ( v ，z ) ) = ( - i ，o ) ：。l i r a 十( r ( z ) ，u ( 秽，z ) ) = ( 1 ，p ) 2 2 满足条件行波解存在唯一性的证明 上节把所研究的积分微分方程转化为等价的微分方程组( 2 1 4 ) ，文【1 】所给出加= o m t 的行波解存在唯一性的结论可表述为引理( 2 1 1 ) ，本节给出引理( 2 1 1 ) 的证明求出自 治系统的不动点，研究各不动点的性态，分析各不动点周围的向量场说明满足条件的行 波解存在唯一 2 2 1自治系统的不动点 因为所研究自治系统( 2 1 4 ) 为： i7 - 7 = k ( 1 7 - 2 ) ，7 - ( o ) = 0 lu ，= 昙u ) + 州r ) 1 故求丁，_ 七( 1 7 2 ) = 0 ，得7 - = 士1 ，代入方程u 7 = 石i 【，( ) + a ，( 7 - ) j 计算出c 厂的值，得到四个 不动点：( 一1 ，0 ) ，( 一1 ，口) ( 一1 ，1 ) ，( 1 ，p ) 2 2 2 研究不动点的性态 对自治方程组( 2 1 4 ) 线性化，得线性化矩阵： - 2 k r 扩0 。u ，) 仁2 脚 由假设k ( z ) c e x p ( - p l x l ) 在r _ l ，可1 寸, 叫磊1i n 告) se 印( 一j d i 去i n 鲁i ) 名e ( - 1 ，1 ) 上： 1 ) 当7 - 一+ l 时，有鲁 1 ，刖i n 再l + r i = i n 雨l + r k ( 去l n 再1 + 7 - e 删鲁) 一鑫卅鲁) 一番 矗与k ( 去t n 鲁) 耵南两c ( 等待( 轰= 2 1 ) 2 k 等14 - 誊1 _ 。( 丁) r1 - 、舞+ 。 、7 2 ) 当7 _ 一l 时，有告 0 ，入2 = ：，7 ( o ) 0 ，入2 = ：，( n ) 0 ，相应的特征向量 为：( 1 ，o ) 和( o ，1 ) ，不动点( 一1 ，n ) 为不稳定结点； 3 ) 不动点( 一1 ，1 ) 对应的特征值分别为：a 1 = 2 k 0 ，a 2 = ，( 1 ) 0 ，相应的特征向量 为：( 1 ，o ) 和( o ，1 ) ，不动点( 一l ，1 ) 为鞍点； 4 ) 不动点( 1 ，p ) 对应的特征值分别为：a 1 = 一2 k 0 ，a 2 = ：，( p ) o ，u 0 ，一i 7 o ，u o 即可知舅除左右边界外的部分的向量场的方向是向右上方的 ( 二) 令历= ( 1 ，u ) i _ 1 7 l ，0 u 口) 首先在兄的左边界，r = 一1 线上的向 量场为： ， i 丁= 七( 1 一下2 ) = o ，r = 一1 lu = 昙【，( u ) + n j p ) j o ，o o ，o 0 ，一l o 即向量场的方向是向右上方的 ( 三) 令玩= ( 7 - ，u ) i - 1 丁s1 ，n o ，n 0 ，一i 7 - o ，n u 1 o 2 2 满足条件行波解存在唯一性的证明 即可知玩除左右边界外的部分的向量场的方向是向右上方的 ( 四) 令j 4 = ( 7 ，u ) | _ 1 rs1 ，1 usp 首先在颤的左边界，下= 一l 线上的向 量场为： i r = 七( 1 一r 2 ) = o ，下= 一1 1 【u 2 争，( u ) + q ，( 丁) 1 0 ，口 o ，。 0 ，一1 0 即量场的方向是向右上方的 ( 五) 令以= ( 7 - ，u ) 卜1 丁1 ，u p ) 首先在以的左右边界，1 - = 4 - 1 线上的向量 场为： 故玩的左右边界的向量场 7 7 = k ( 1 7 _ 2 ) = 0 ，7 _ = 土l u ，：三【，( u ) + u 向竖直向下， n ，( 7 - ) 】 o ，一1 7 - 1 u l = 丢i f ( u ) + n 珩) 】 3 即可知既除左右边界外的部分的向量场的方向是向右下方的 综上所述，矩形足不变集，起始于将从的上下边界进入，而起始于内部的轨 线将留在内( 见图2 1 ) 1 n r_、1l方 内蒙古人学硕十学位论文 ju j、 、 ， ， 一 i ， 、 、 彳之7 | | 尹l 1 1 ) ， 。，夕 ji r ， 夕 一 夕 。 ， 夕， 一 ， i ，毫) 声 77 1 ，0 ，1 芝乡 。 广 ， ， ， - ， 一 ， 夕 图2 1w = o ，不动点周围向量场 f i g2 1 w = 0 t h ev e c t o rf i e l do ff i x e dp o i n t s 2 2 4 求得满足条件的行波解 上面分析了周围的向量场，四个不动点( 一1 ，o ) ，( 一1 ，o ) ，( 一1 ，1 ) ，( 1 ，卢) 都在的边界 上，故可知： 1 ) 不动点( 一1 ，0 ) 是鞍点，故由鞍点的性质可知，当彳_ 一。o 时必有唯一不稳定流 形( 丁( z ) ，u ( z ) ) 达到鞍点( 一1 ，o ) 且与切向量( 1 ，o ) 相切在此应说明的足该不稳定流形位于等 倾线右边与的下边界之问的部分区域，是由于等倾线左右两边的向量场方向，这时 若假设该不稳定流形是从的下边界以下的部分到达鞍点( 一l ，0 ) ，而由舅的向量场分析 在某一时刻位于的下边晃以下的流行将向右上方偏转，在此时该流行产生极大值，即存 在u = 【，( u ) + o ，( 7 - ) 】= o 的时刻，这时将有f ( u ) = 一a i ( r ) 0 ，所求行波解满足： 考虑自治方程组( 2 1 4 ) ： 可得 ( r ( 0 ) ，u ( v o ，0 ) ) = ( 0 ，秒) ，p ( j d 一( n ) ，p + ( 口) ) 丁u=，：k(1昙-；，。ru2)，：2i：j 阱= 料 ( 2 4 1 ) 对上式积分可得积分曲线： 阶m + 糟如 ( 2 4 2 ) 1 2 内蒙古人学硕士学位论文 令r = 一l 代入( 2 4 2 ) 得： u ( 一- ) = 口+ 糟d z = 。 记 0 即) = 错如 这时f ( 口) 是关于u 的连续函数 首先证明存在v o = 口( 0 ) 0 ，使得0 一f ( v o ) = 0 ，即f ( v o ) = 0 t 因为 即，= 错如 ：丁镰掣如+ 夕等等如 = n + 毋 i 已 耻j 黼妇如= j 紫如 其中，为充分小正数 对于 n = l 鬻妇 其中被积函数g 荆是关于丁的连续函数，即当充分小时，对任意u 0 ，都有 只= 错如 罢 对于 n = 等芒掣妇 1 3 2 2 满足条件行波解存在唯一性的证明 o 使 等半严11 - 2 伊局秒j 即有 n 如= 错出 一 内蒙古人学硕十学位论文 ：垒( 一t o 一2 ) 而当t ， 侈即j ( t ，) 0 由l 可得，当 充分小时，有f ( 秽) 0 ；由l l 可得，当o o 有f ( v o ) = p ，日p u ( v o ，0 ) = 0 下证存在唯一的v o ，使u ( v o ，0 ) = 0 假设存在t ，1 v 2 ，满足u ( 秒l ，丁) u ( v 2 ，7 ) 7 ( - 1 ，0 ) ，r u ( v l ，0 ) = u ( v 2 ，o ) = 0 ，即对 于u 1 现存在两条轨线u ( t ，l ，r ) 和( 现，丁) 在两轨线之间找一点a ( u o ，t o ) ，设过点a 的对应 于波速移1 ，i ) 2 的轨线分别记为：0 ( v 1 ，7 ) ，0 ( v 2 ，7 - ) 由分析自治系统的向量场可知： 5 ( v 1 ，r ) 与u ( u 2 ，7 ) 必相交于点b ( 巩，7 1 ) ， 痧池，r ) 与u ( v l ，丁) 必相交于点c ( u 2 ，仡) ， 且玩( 仉，丁1 ) 阱( 巩，丁1 ) ，辨( 沈，丁2 ) u r ( u 2 ，吃) ， 即 ，( 巩) + n j ( 丁1 ) ，( u 1 ) + a ( 丁1 ) 而r 碍广) 、丽而 ，( 观) + a ! ( r 2 ) ，( 觇) + a i ( t 2 ) 孤f 鼋厂) 、孤可 由上式可得口1 睨矛盾，故假设不成立( 见图2 3 ) 1 5 2 2 满足条件行波解存在唯一性的证明 l v 彳歹 i ， ， 1 1 ，l ， ? ，。哦” i 一 g o i , 0 7 1? 1 1 1 d l 一】彩 名 i 玲一 图2 3 存在唯一的枷，使，( 如，0 ) = 口 f i g2 3 t h eu n i q u et j o 髓t i 8 移i i 唱u ( 蜘，o ) = 口 对于伊( p - , 冉) 存在唯一的波速伽，使得c ，0 ) = p ( 见图2 4 ) u 形j l i l _ _ 一 1 ，i f 1 i o 已沙 图2 4 存在唯一满足条件行波解 f i g2 4 e x i s tt h eu n i q u et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n 1 6 内蒙古人学硕十学位论文 2 3 相位图中所存在的轨线 结合对的向量场分析与各不动点的性态，在相位图中可画出其他轨线， 例如： 1 ) 从的上边界进入的轨线； 2 ) 由鞍点( 一1 ，n ) 进出的轨线； 3 ) 由鞍点( 一1 ，o ) 引出的不稳定流形到达稳定结点( 1 ，p ) ，即为所求的行波解； 4 ) 从的下边界进入的轨线( 见图2 5 ) l u | l l ， l ：砺。 1 - l 一 1 ，t )一 1 0 ! 一) t | 图2 5 相位图中轨线分布 f i g2 5 t h et r a j e c t o r yi np h a s ep l a n e 1 7 第三章行波解的存在唯一性 在上一章中，我们利用分析向量场的方法，讨论了当t t ，= o 时，积分微分方程( 1 2 1 ) 满 足条件的行波解的存在唯一性在本章中采用相同的方法分析向量场，讨论w ( t t ，一，+ ) 时 满足条件的行波解的存在唯一性验证文【1 】中提出的结论的准确性 考虑积分微分方程： 3 1 准备工作 口l 匕( z ) = ，( 阢) + q k ( z ) 日( ，( z z ) 一o ) d z ( 1 2 1 ) ，r 其中z = z 一移( 伽) 由定理( 1 3 1 ) 的结论可知要找方程( 1 2 1 ) 的满足u ( o ) = 口且以 0 ( z r ) ，有界 单增的行波解一波前解u s 并n u ( o ) = 口且眈 0 f + o o t ，以= ，( 配叫) + n k ( x ) d x巩 0 ，即方程( 3 1 1 ) 的情形，以 o 情况可类似得出 把方程( 3 1 1 ) 化为自治系统： f 一= 七( 1 一r 2 ) 1u 7 = 争，( 以) + q 珩) 1 边界条件变为： 名。l i m 一( r ( z ) ，u ( ，z ) ) = ( 一1 ，妒一( t t ，) ) z 。l i r a 十。( 7 ( z ) ，u ( v ，z ) ) = ( 1 ，妒+ ( ) ) ；名一z t 初始条件变为：( 丁( o ) ，u ( o ) ) = ( 0 ，1 9 ) 文【l 】所给出的定理( 1 3 1 ) 可表述为下述引理： ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 引理3 1 1 假设，c 1 ( 铲) ，厶 0 ，满足，( ) w o ，2 f ( o ，t t ，) + 口 o ；任意w 0 ，则有以下结论： 对任意叫( 叫一，伽+ ) ，t u w o ，自治方程组( 量j 3 ) 有唯一解( 7 ( z ) ，u ( 名) ) ，波速为u ( 叫) ， 满足初值条件( 丁( o ) ，u ( o ) ) = ( 0 ，秒) i 此为对w ( 伽一，蛳1 有： 。l i m 一( 1 - ( z ) ，u ( t ，z ) ) = ( 一1 ，妒一( 叫) ) 2 。l i m 十( r ( z ) ，u ( 口，z ) ) = ( 1 ，妒+ ( ) ) 对叫( w o ，叫+ ) 有： 。一l i m 一( t ( z ) ，u ( u ，z ) ) = ( 一1 0 0 ，妒+ ( 叫”。墨，( 丁( z ) ，【，( ”，z ) ) = ( 1 ，妒一( 叫) ) 0 一z 卜r ( 3 2 分析自治系统 上节把所研究的积分微分方程转化为等价的自治方程组( 2 1 3 ) ，随之文f l 】所给出的 定理( 1 3 1 ) 行波解存在唯一性的结论即转化为引理( 3 1 1 ) ，本节将验证引理( 3 1 1 ) 结 论的准确性当参数叫改变时，分别求出自治系统的不动点研究各不动点的性态，分析有 两个不动点，有四个不动点，有六个不动点存在时各种情形的不动点周围的向量场，说明 在各种情形下行波解的存在唯一性 1 9 3 2 分析自治系统 3 2 1 求自治系统的不动点 考虑自治系统( 3 1 3 ) ： i r 7 = 七( 1 7 2 ) 伽时，得u = 妒一( 伽) ； 2 ) 当w 锄o m a x 时，有一个不动点：( 一1 ，妒一( 伽) ) ； 2 ) 当叫 伽啪时： 1 当伽一+ 詈 w o w m w m i 。时，只有下面一种情况：伽( 一，蜘) 自治系统( 3 1 3 ) 有四个不动点：( 一1 ，妒一) ) ，( 一1 ，妒一l ( 叫) ) ，( 一1 ，妒一2 ) ) ，( 1 ，妒+ ) ) ( 见图3 4 ) 心乏心 ；、k “q i产 l 吩 屯 ，。 p ，。一 0 “ - ) 、 一夕7 - 瓤删 文 咖) j 电 o t ；| | 图3 4 四个不动点：( 一1 ，妒一( 叫) ) ，( 一1 ，妒一1 ( 叫) ) ，( 一1 ，妒一2 ( 叫) ) ，( i ，妒+ ( 叫) ) f i g3 4 f o u rf i x e dp o i n t s ( 一1 ，妒一( 加) ) ，( - 1 ，妒一l ( 叫) ) ，( 一1 ，妒一2 ( 叫) ) ，( 1 ，妒+ ( 叫) ) 2 当叫m 。 w o 叫m