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赋范二次剩余码 赋范二次剩余码 研究生：曹明 指导教师：董学东 学科专业：应用数学 摘要设p 为奇素数，在有限域g f ) 中，p e r r o n 对模p 的二次剩余给出了分布 定理t i u 和w a l l a c e 利用p e r r o n 定理，构造了素数p ；一1 ( r o o d 4 ) 时，字长 为p 如一1 ) 的赋范二次剩余码g ；这类码是弱自对偶的，维数d i m c ；p ，并且 极小距离d p 一1 本论文将赋范二次剩余码推广到任意奇素数p 时的般情 形，并部分证明了关于维数的猜想出m g = p 首先，对任意奇素数p ，我们定义了赋范二次剩余码这类码的生成矩 阵g 具有如下性质：1 ) 行向量坐标以p 幻一1 ) 个有序对( 。，g ) 来记，这里。，y g f ) 且o 2 ) 首行风在坐标位置( z ，g ) 上取值1 ，当且仅当坐标( z ，口) 的 范数n ( x ，y ) = x 2 6 圹是枇的二次剩余这里5 是任取的模p 的二次非剩 余3 ) 对15n 0 一1 ) ，第( n + 1 ) 行r 。是风对应区组b 。的循环移位，而 第( p + 1 ) 行兄，是全l 向量i 其次，我们证明了赋范二次剩余码的一些性质这些性质包括码g 的生成矩 阵g 的行向量区组b 。的值的二次剩余分布是对称的；生成矩阵g 除全l 行外行重量 为峙! ：码c ；的极小距离至多为l 与坐；码q 是自对偶的 再次，我们用射影特殊线性群p s l ：0 ) 作用于码g ，得到了很有趣的群作用 性质：p s l 2 ( p ) 是码c ；的自同构群- a u t ( c ；) 的子群，它对码g 坐标位置的作用是 可传递的 应用这些结果，我们证明了码g 的极小距离d p 一1 最后，我们给出了关于维数的猜想出m g = p 的部分证明 关键词二次剩余分布；模p 的二次剩余；赋范二次剩余码；射影特殊线性群 1 赋范二次剩余码 1 引言 二次剩余及其主要结论一直以来都是纠错码理论的应用基础【1 】【2 】 3 【4 】 上个世纪五十年代，p e r r o n 在5 i 中给出了奇素数域g f 。，) 中二次剩余的分布定 理t i u 和w a l l a c e 在f 6 1 中巧妙的运用了这一部分内容，定义了p = 4 m + 1 时 的赋范二次剩余码q 这类码具有如下性质： ( 1 ) 赋范二次剩余码是弱自 对偶码，( 2 ) 射影特殊线性群是码q 自同构群的子群，( 3 ) 码g ，的极小距 离d p 一1 本论文主要目的是将文【6 1 中的结果推广到任意奇素数p 时的一般情 形，并部分证明了文6 1 中关于赋范二次剩余码维数的猜想 本论文在第二章预备知识中，给出了关于g f 0 ) 中二次剩余的分布定理及推 广定理在二次剩余及其分布的理论基础上，在第三章中，定义了赋范二次剩余 码g ：，它是码长为p ( p 一1 ) 的一类二元线性纠错码码q 的码字以有序对( a ，b ) 为 坐标，其中吼b g f ( p ) ，b 0 这类码有一些很好的性质，具有相对较低的维 数，而极小距离相当高对p = 4 m + l 的情况，我们还给出t t i u 和w a l l a c e 6 】 对维数猜想d i m c p = p 的部分证明 在第四章中，给出了赋范二次剩余码的两个 实例 本文中未说明的符号与术语可参考文献 4 i f 2 预备知识 在这一章中，我们简单回顾一些关于= 次剩余以及= 次剩余分布的重要结 果为了方便阅读，我们还给出了有关结果的证明 2 1 二次剩余的概念及性质 定义2 1 1 【8 】8设素数p 2 ，d 是整数，pfd ，如果同余方程 z 2i d ( m o d p ) ( 1 1 ) 有解，则称d 是模p 的二次剩余；若无解，则称d 是模p 的二次非剩余 2 赋范= 次剩余码 例如：当p = 7 时，di1 ，2 ，一3 ( r o o d 7 ) 都是模7 的二次剩余；di 一1 ，一2 ，3 ( m o d 7 ) 都 是模7 的二次非剩余 定理2 1 1 【9 】设p 为奇素数，模p 的完全剩余系中有j ( p 一1 ) 个二次剩余 有；( p 1 ) 个二次非剩余，且 1 2 ) 2 2 ，( ；( p 一1 ) ) 2 即为所有的摸p 的二次非剩余 证明：若同余方程( 1 1 ) 有解，则至多有两个解由 ( p z ) 2 ；( 一z ) 2 i n ( m o 却) 可知，( l 1 ) 式必有一根适合 1 曼z ；( p - 1 ) 当口2 ；b 2 ( m 。d p ) 时，a + b 与* b 中必有一数是p 的倍数，由此可知 1 2 2 2 ，疋( p 一1 ) ) 2 模p 两两不同余，故得定理 倒2 1 1 求模1 3 的二次剩余 o ：1 ，2 ，3 ，4 ，5j6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 。2 ：1 ，啦9 ，3 ，1 2 ，1 0 ，1 0 ，1 2 ，3 ，9 ，4 ，1 ( m o d l 3 ) 可以看出，就模1 3 来说，二次剩余为1 ，3 ，4 ，9 ，1 0 ，1 2 ；二次非剩余为2 ，5 ，6 ，7 ，8 ，1 1 3 ( 1 2 ) b一 0的 + o ( = 铲一 2 o 为因叉 赋范二次剩余码 定理2 1 - 2 【8 j ( e l l l e r 判别条件) 设素数p 2 ，pfd 那么，d 是模p 的二次剩 余的充要条件是 d 牛i 1 ( t o o d p ) ；( 13 ) d 是模p 的二次非剩余的充要条件是 d 宁i l ( m o d p ) o a ) 证明： i 扫f e r m a t e u l e r 定理知，当p 十d ，m p ( d ，p ) = 1 时，有 d p 。j l ( m o d p 、 因而有 ( d 学一1 ) ( d 2 + 1 ) io ( m o d p )( 15 ) 所以( 1 5 ) 式左边必有一个因子被p 整除，而且只有一个因子被p 整除，否则， p i ( d 2 + 1 ) 一( d 呼一1 ) = p | 2 ， 这与p 为奇素数矛盾所以对于任何扫，d ) = l 的d 来说，同余式( 1 3 ) ( 1 4 ) 有且仅有 一式成立若d 是模p 的二次剩余，则必有z o 使得 $ ：d ( m o d p ) 因而有 z g 。1 ；d 一( m o d p ) 因为p f d ，所以p 十x o ，因此由f e r m a t e u l e r 定理知 z g 一1il ( m o d p ) 由以上两式就推出式( 1 3 ) 成立也就是说模p 的缩系中的孚个二次剩余都是 z 孚i l ( m o d p ) 的解因为 z 夸e 1 ( m 。却) 4 赋范二次剩余码 的解不超过p - 。1 个，且由e u l e r 定理知 1 。孚i l ( m d 劫) 有p 一1 个解，所以说模p 的缩系中另宁个解都是 d 警! 一l ( m o d p ) 的解，它们是横p 的二次非剩余证毕 由定理2 12 立即推出两个有用的结论 推论2 1 1 【9 】当p ；l ( m o d 4 ) 时，一1 为模p 的二次剩余： 当p ! - l ( m o d 4 ) 时，一l 为模p 的二次非剩余 推论2 1 2 1 8 】设素数p 2 ，p f d l ，p fd 2 。那么， ( 1 ) 若d 1 ，d 2 均为模p 的二次剩余，则d l d 2 也是模p 的二次剩余； ( 2 ) 若d l ，d 2 均为模p 的二次非剩余，则d l d 2 是模p 的二次剩余； ( 3 ) 若d 。是模p 的二次剩余，d 2 是模p 的二次非剩余，则d l d 2 是模p 的二次非剩 余 2 2 关于模p 的二次剩余分布定理及其推广 本小节中的定理和推论，将在后面结论的证明中反复用到 定理2 2 1 【7 】( 1 ) 设p = 4 k l 令r 一，r 2 是模p 的二次剩余( 包括o ) ，并 且( o ，p ) = 1 那么在2 k 个n + a 数中，个是二次剩余( 可能禽有0 ) ，k 个是二次 非剩余 ( 2 ) 设p = 4 k 一1 令n - 1 2 k - - 1 是模p 的二次非剩余，并且( o ，p ) = 1 。那么 在2 k 1 个n t + o 数中，k 个是二次剩余( 可能含有o ) ，k 一1 个是二次非剩余 ( 3 ) 设p = 4 k + 1 若a 是模p 的二次剩余，那么在2 + 1 个n + a 数中，k + 1 个 是二次剩余( 包含o ) ，个是= 次非剩余若a 是模p 的二次非剩余，那么在2 + 1 个r 。+ n 数中，个是二次剩余( 不包含0 ) ，k + 1 个是二次非剩余 5 赋范= 次剩余码 ( 4 ) 设p = 4 k + 1 若。是模p 的二次剩余，那么在2 个n ：+ 口数中，个是二次剩 余( 不包含0 ) ，k 个是二次非剩余若。是模p 的二次非剩余，那么在2 个n ，+ 。数 中，+ 1 个是二次剩余( 包含0 ) ，一1 个是二次非剩余 定理2 2 2 p ，设p = 4 k 一1 令r 1 ，7 2 1 。是捷p 的二次剩余( 包括d ) ，对于任 何n o ，在2 个r ；+ o 数中，女个是二次剩余，个是二次非剩余 俐设p = 4 k + l 令”l - ，7 2 k 是模p 的二次剩余( 不包含口) ，对于任何。 0 ，在2 k 个n 十。数中，k 个是二次剩余( 包括口) ，k 个是二次非剩余 注：情况j ：p = 4 k 一1 元素班在q + n ，- - ，2 k + 8 中，当且仅当a 是模p 的 二次非剩余? 情况2 ：p = 4 惫+ 1 元素d 在r l + a ，r 2 + 口中，当且仅当n 是模p 的二 次剩余 证明： 定义。的赋= 次特征，x ：耳一a 小，：震森余， i l ，a 为二次非剩余， 在咒中，我们有 x ( 一1 ) = 1 舒x ( a ) = x ( 一a ) 车 p ；l ( m o d 4 ) 令a = 抚，且 f = ) ( ( 。) x ( z + 。) + 1 ； = 1 ，- - t ，p 一1 由于，) ( o ) x ( n ) = ) ( ( 一o ) ) ( ( o ) = o ，我 f 得 口= x ( z ) x o + 口) + 1 = 0 情况1 ：pi - 1 ( r o o d 4 ) ，i j x ( a ) = 1 满足z 0 ，- a 且x ( m ) = l 的z 个数是2 手，但是满足。0 ，一a 且x 睁+ 口) = l 的。个数仪为学一1 因而，存在一个f ，使得x 妇) = l 且x 晤+ o ) = 一1 从而， 口= x ) x 扛+ o ) + 1 = 0 赋范= 洗剩争鸡 现在令 一t = x 缸+ n ) ，观= 一x 她+ 、 z w 。x ( 曲= i= 一nx 缸) = i 如果值为一1 的口的加数项的个数为，那么值为l 的d 的加数项的个数为2 一i k 所阻，x 缸) = 一1 的个数和x 扣+ 。) 瓮l 的z 个数为譬一l 一；x ( 。) = x ( z + c 0 竺 一l 的g 个数为，从而口l 篇g 2 且d = 口1 + 口2 篇2 d ( 1 ) = 0 ，则f ( 1 ) = d 对 于x ( n ) = l 的情况，由于o o 是平方元，且y + 口是非平方元t 我们证喇丁定理的 第一都分 情况2 ：p 兰一1 ( n o 出) ，翻x ( d ) = - 1 在这种情况下，存在一个甜，使得x 治) = 一l 且x 扫+ b ) = l _ 蕾e 明其氽部分阉情 况i 情况3 ：p 兰1 ( r o o d 4 ) ，且x ( o ) 攀1 在这种情况下令 口- = x ( 叫a ) u 】0 2 = 一x ( 。+ a ) 同情撼l 讨论，褥到口，= 巩证明同理 情况4p 兰l ( m o d 4 ) ，且x ( b ) = 一1 令 a 。= x 如+ n ) ，j 。= 一x 睁十。) + 1 - x 缸p l x = 一1 证明其余部分同情况1 由这个推广定理立印得下面的推论， 推论2 2 ，1口j 设芦= 4 k 1 , z r 1 ，r 2 r 一1 是摸p 的二次剩余 取。为模p 的二次剩余，在2 七一i + r ；上a 数中，一1 个是二收剩余 剩余+ 倒设p = 4 + 1 令r t ，托是攘p 的二次剩余( 不包食d ) t 次非剩采，在2 k 个q + n 数中，七个是= 敬剩余，扑是二扶非剩余一 7 ( 不包含0 ) 个是= 次非 取口为摸p 豹= 赋范= 次荆余码 3 赋范二次剩余码 _ 在这一章中，我能要巍二次剥袅的基础土，研究码长为p 扣一1 ) 的瞌范二次 剩余码 3l 赋范二次剩余码的定义 设p 是奇素数，令 岛= z + 以| 。，f g f b ) ，营o 其中5 是横口的二狄非剩余 风有字典序，e # 若。 “或# 一“旦可 掣 幽：p 1 3 4 维数的猜想 引理3 4 11 6 】6 设p = 4 m + 1 ，则 ( 1 ) 生成矩阵g 中，向量玛g 前p 行线性无关 ( 2 ) 在g 前p 行中，至多有p 个线性无关的码字从而，码q 的维数和g 的秩至 多是p 1 7 堕垫三奎型全竺 在【6 】中，t t u 和口f l 口c e 提出猜想d i m c ；= p 在下面的定理中，我们部分证明了 此猜想 定理3 4 1 设p = 4 m + 1 ，r = c f ( v ) ， 口j 如果提咒的本原元，5 j g 厶d i m c p = p ， r 缈如果2 在昂中的乘法阶为宁，那么d i m q v + 。l 证明： ( 1 ) 设百是由g 的前p 行构成的p 。p 一1 ) 阶矩阵，并且设瓦是由矩阵存生 成的码根据定理327 ，i 与凰，r 1 ，如l 线性无关所以，可得 d i m q = d i m 巧+ l = r a n k ( _ ) + 1 我们设声为在且= ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，p l ，1 ) ) 上，巧到岛自叻坐标位置的射影 显然，毋( g ；) 露是码长为p 的二元循环码当然，( 瓦) 是环易吲( 矿一1 ) 的理 想 考虑射影平面p 2 ( p ) 上的二次曲线r ： x 2 5 y 2 ：z 2 这里i x ：y ：司是齐次坐标由于r 是耳上的有理曲线，从而 舞7 ( 巴) l = p4 - 1 ( 参 a 1 0 】) 一则方程x 2 6 = z 2 在乃上有解所以，对于某元o b o ，点( n ，1 ) 和 点一o ，1 ) 的范数都为模p 的二次剩余进而，我们可以找到 1 “ 酥 “字，r 兰孕 使得 e = ( i ，1 ) ，扫一i 1 ，1 ) 为b l 中范数是模p 的二次剩余的点的集合所以 壬( r o ) = z 1 + 。p 一。1 + - - - + 。r + z p 一。r 而妒( r ) = 一庐( 凰) ， = l ，p 1 我们注意到p 形为4 m + l 因而，缸+ 1 ) l 庐( 风) 令9 ( 。) = g cd 渺( 咫) ，扩+ 1 ) ，显然， g ( x ) = 陋+ 1 ) 幢c d ( ( 风) ，l 十z + + z 9 1 ) ) 1 8 塑型塑 我们设2 在e 中的乘法阶为r 又设h ) 易吲，是1 + z + 矿+ + z 一一的不可 约因式，d = 枣g ( 。) 劂 磊矧 竺马a = 邑( q ) ， 其中a 是 ( z ) 在磊的扩域上的一个根所以， 0 = ( o ) = 1 + a + + q p 一1 由于， l + z ”= ( 1 + z ) ( 1 + 嚣+ 9 3 2 + + z p 一1 ) ， 继而。9 = 1 再由f 2 一= 邑( ) ，则a 2 。一1 = 1 从而必有_ j ( 2 d 1 ) l m o d p ，且有r l d = d e g h ( ) 所以，如果2 是f 口上的本原元，则1 十z + ， 不可约的所以， g ( 。) = 扛+ 1 ) 幢n d 渺( 凰) ，1 + z + + x p 一1 ) ) = 。+ l 即2 8 三 + 矿1 是 根据循环码的理论，可得d i m ( 巧) = p d e g ( x + 1 ) ：p 一1 ，从而意味 着d i 击巧p 一1 这样必有，d i i l l _ = p l 和d i m c v = p ( 2 ) 现在假设2 在露的乘法阶为吐2 则有如下分解， 1 + 茁+ + 茁9 1 = h i ( 茁) 2 ( z ) ， 其中 - ( z ) ， 。( z ) 忍m ，它们都是学次不可约多项式则 g c d 渺( r o ) ，l + z - b + $ p 一1 ) = g c d 向”+ 矿。一”+ r - + z2 r + 。p h ，1 + 茁+ + 岳p 一1 ) = g c d ( 1 + z ”一2 t 1 + - + 。蚌一。，+ x p - i r - “，尼i ( 。) 2 ( 。) ) = l o r l ( 。) ，o r 2 ( ) 所以 d e g ( g c d ( ( 风) 并且，d e g g ( x ) 1 + 孚= 学， l + 。+ + z p 一1 ) ) s 型2 从而 d i m ( 巧) = p 一蛔( z ) p 丁- 1 即d i m g = d i m 巧十1 d i m ( 巧) + 1 4 壁垫三查型塑 4 赋范二次剩余码的实例 例3 1 p = 5 ，取6 = 2 构造码长为2 0 昀q 兄码g 表格1 码长为2 0 的n q r 码 r o冗l岛蜀吼 1 ( o ，1 ) 0l0011 ( 0 , 2 ) 00l101 ( 0 , 3 ) oo1101 ( 0 , 4 ) 0l00l1 ( 1 ，1 ) 101001 ( 1 , 2 ) 0o01l1 ( 1 , 3 ) 00011l ( 1 ，4 ) 101oo1 ( 2 ，1 ) 0101ol ( 2 ，2 ) 1ooo1l ( 2 ，3 ) 1o0o1l ( 2 , 4 ) o1ol0l ( 3 ，1 ) 00lo11 ( 3 , 2 ) l1o001 ( 3 , 3 ) l10o0l ( 3 ，4 ) 00lol1 ( 4 ，1 ) l0o1o1 ( 4 , 2 ) 0110o1 ( 4 , 3 ) 01100 1 ( 4 , 4 ) 10ol01 2 0 堕薹三查型全璺 例3 2 p = 7 ，取6 = 6 构造码长为4 2 的j v q 五码g 表格2 码长为4 2 的n q r 码 r or 1r 2兄r 4r 5r 8 l ( o ，1 ) 11000011 ( 0 , 2 ) 101001o1 ( 0 1 3 ) lo0110o1 ( o ，4 ) l0o11001 ( o ，5 ) 10l00101 ( 0 , 6 ) 110000l1 ( 1 ，1 ) 11l00001 ( 1 , 2 ) ol010011 ( 1 , 3 ) o1o011o1 ( 1 ，4 ) 010011o1 ( 1 , 5 ) olo10011 ( 1 , 6 ) 11l000o1 ( 2 ，1 ) o1110o01 ( 2 , 2 ) l0101001 ( 2 , 3 ) 00l00111 ( 2 , 4 ) 0ol00 111 ( 2 , 5 ) 1o101o01 ( 2 , 6 ) o1l10ool 赋范。嵌剩余码 ( 3 1 ) 0n1】 l001 ( 3 ，2 ) oiot0101 l ( 3 ，3 ) l001001l 伪 1001 0o1l 01o1 0lo1 ( 3 ，6 ) 00l1100l 1 ) 00o11101 ( 4 , 2 ) 0010l011 ( 4 , 3 ) llo0l00l ( 4 ，4 ) 110ol001 ( 4 , 5 ) 0010l011 ( 4 , 6 ) ooo1l1ol ( 5 , 1 ) 000o11ll ( 5 , 2 ) l001ol01 ( 5 , 3 ) o11o o10l ( 5 , 4 ) 000l11o1 惰，5 ) l00lolol ( 5 , 6 ) 0o001111 l “j “ ( 6 , 1 ) 10oo0l 】1 ( 6 , 2 ) 0l0010ll ( 6 , 3 ) 00l10011 ( 6 , 4 ) oo1lo oll ( 6 , 5 ) 0】001011 ( 6 , 6 ) 1o000111 赋范= 盘刺奈码 5 结论 本文讨论丁二二次剩袅与赋范二次剽袅码o ，设p 为奇素数，我们给出了关 于g f 0 ) 中二提剩余的分布定理及推广定理在二次剩余厦其分布的理论基 础上，定义了赋范二次剩余玛( ，它是码长为p 一1 ) 的一类二元线性纠错码 码g 的粥字以育序对( ，b ) 为坐标，其中。，6 a f ( p ) ，6 0 运类磷育一些撤好 薛性质t 具有相对较低的维数，面极小距离相当赢对p2 如z + 1 的情况，费们 部分证明了，抛和。黯e 芙于维数猪想d i r e r = p 最后，绘出了赋簸二次剩余 玛的两个实例 关于藏藏二扶裁余鹕岛的准确维数和译码是令后奔待进r 步妍究的问题 赋范二次剩余码 致谢 感谢我学业上和生活上的导师董学东教授感谢他三年来对我的言传身教和 潜移默化的教导本文的写作是在导师的悉心指导下完成的，无论是在学术上还是 在日常生活中，导师严谨的治学态度、渊博的专业知识、高尚的思想品质都给我 以深远的影响，使我在学习和工作中受益匪浅 还要感谢我的父母! 正是他们多年来对我的支持、关心、鼓励、帮助，给予 了我不断克服困难的动力和面对挫折的勇气 赋范= 次剩余码 n o r m q u a d r a t i c r e s i d u ec o d e s a b s t r a c t ：l e tpb ea no d dp r i m e i nt h ef i n i t ef i e l da f ( p ) ad i t - r i b u t i o n p r o p e r t yo fq u a d r a t i cr e s i d u e sm o d u l u spw a sg i v e nb yp e 。n o nt h eb a s i s 0 fp e r r o nt h e o r e m t i ua n dw a l l a c ec o n s t r u c t e dac l a s so fn o r mq u a d r a t i c r e s i d u ec o d e s g o f l e n g t h p ( p 一1 ) j w h e n p i s a p r i m e o f t h e f o r m4 m + 1 t h i s f a m i l yo fc o d e si sw e a k l ys e l f - d u a l ，t h ed i m e n s i o nko fi t s a s s o c i a t e dc o d eq i sa tm o s tp ，a n dt h em i n i m u md i s t a n c eo fi t i sa tl e a s tp 1 i nt h i st h e s i s ， w eg e n e r a l i z et h en o r mq u a d r a t i c r e s i d u ec o d e st oa r b i t r a r yf i n i t ef i e l d sa n d p a r t l yp r o v et h ec o n j e c t u r eo ft h ed i m e n s i o nd i m c p = p p r o p o s e db yt i ua n d w a l l a c e f i r s t l y ，l e tpb ea 以yo d dp r i m e ，an e w c l a s so fb i n a r yc o d e sc a nb ec o n - s t r u c t e dw h o s e g e n e r a t o rm a t r i xg i sw i t ht h ef o l l o w i n gc h a r a c t e r i s t i c s ：1 ) t h e c o o r d i n a t ep o s i t i o n sa r et h ep ( p 一1 ) o r d e r e dp a i r s ( z ，苕) ，w h e r e ，y 昂a n d y 0 2 ) t h e f i r s tr o w r 0o f t h e g e n e r a t o r m a t r i x g h a sa l i n ( 。，g ) = z + 狮 i fa n do n l yi ft h en o r m 2 6 9 2i saq u a d r a t i cr e s i d u em o d p ，w h e r e6i saf i x e d b u ta r b i t r a r i l yc h o s e nn o n - r e s i d u e 3 ) f o r1 n p 一1 ，t h e e n t r i e so ft h e m + 1 ) t h r o w 冗。a r eo b t a i n e db yab l o c k w i s ec y c l i cs h i f ti nt h ee n t r i e so fr o t h e 0 + 1 ) t h r o wo f g ，b ，i s t h ev e c t o r ic o m p o s e do f a l l l s s e c o n d l y , s o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fg a r ee s t a b l i s h e d i nt h eg e n 。 e r a t o rm a t r i xgo fan o r mq u a d r a t i c r e s i d u ec o d eo ，t h ed i s t r i b u t i o no f1 s i n e v e r yb l o c ki ss y i n m e t r ms oe x c e p ；f o rt h e l a s tr o w ，t h ew e i g h to fe v e r yr o wi s 譬a c c o r d i n g l y , t h e m i n i m u md i s t a n c eo fan o r mq u a d r a t i c r e s i d u ec o d eq 2 5 赋范= 次剩余码 i sa tm o s t 掣，a n dqi sw e a k l ys e l f - d u a l n e x t ，t h ep r o j e c t i v es p e c i ml i n e a rg r o u po ng f ( p ) i sa p p l i e dt oc o d e sq ， p s l 2 ( p ) f i x e st h en o r i l q u a d r a t i c - r e s i d u ec o d eg ，a n da c t st r a n s i t i v e l yo n t h ec o o r d i n a t ep o s i t i o no ft h ec o d e b yt h e s ec o n c l u s i o n s ，w ep r o v et h a tt h e m i n i m u md i s t a n c eo fan o r mq u a d r a t i c _ r e s i d u ec o d egi sa tl e a s tp 一1 f i n a l l y ，t h ec o n j e c t u r eo nt h ed i m e n s i o no ft h en o r mq u a d r a t i c r e s i d u e c o d e si sp