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跳扩散模型中回望期权的定价研究 摘要 期权是赋予其持有者在支付一定的期权费后所获得的在将来预先确定时间 以预先确定的价格购买或出售某项标的资产的权利。几十年来，期权作为一种 防范风险和套期保值的有效手段得到了飞速发展。因此，对期权问题的研究成 为现代金融学研究的重要内容，而期权定价问题则是其核心内容。 为了满足金融市场及不同的投资者的特殊需求，也为了防范自己所面临的 风险，在标准期权合同的基础上，运用期权理论和分析方法，设计创造出各种 具有不同特征的变异期权品种。回望期权就是其中的一种，它是一种路径依赖 型期权，它在到期日的收益依赖整个期权有效期内标的资产价格所经历的最大 值或最小值。由于具有路径依赖特征，所以使得回望期权定价比标准期权定价 复杂。 本文利用随机分析，偏微分方程和广义i t o 公式探讨了跳一扩散过程下的回 望期权的定价问题。首先介绍了衍生产品定价的有效方法：一对冲原理和期 权复制原理。然后，并以b s 基本假设下欧式浮动执行价格看跌回望期权定价 模型为基础，主要做了以下的研究工作：第一，讨论了跳一扩散价格过程下的 回望期权定价问题，建立了定价模型；第二，以扩散价格过程的回望期权定价 模型为基础，讨论了有交易成本的回望期权定价问题，建立了定价模型；第三， 将所讨论的问题进一步推广，探讨了跳一扩散价格过程下且有交易成本的回望 期权定价问题，得到了该模型下期权价格所满足的微分方程。 关键词：期权定价；回望期权；跳一扩散过程；交易成本；i t o 公式 a s t u d yo ut h ev a l u a t i o no fl o o k b a c ko p t i o n s i naj u m p d i f f u s i o nm o d e l a b s t r a e t a no p t i o ni sac o n t r a c tt h a tg i v e st h eh o l d e rt h er i g h t ( b u tn o tt h eo b l i g a t i o n ) t o b u vo rs e l la nu n d e r l y i n ga s s e tb yac e r t a i nt i m e f o rap r e d e t e r m i n e dp r i c ea f t e r p a y i n go f ft h eo p t i o np r e m i u m s i n c et e n s o fy e a r s ，o p t i o nd e v e l o p 5a tv 。r yf a s t s d e e da st h ew a yo fk e e p i n ga w a yr i s ka n de d g i n g s ot h es t u d y o fo p t i o n sq u e s t i o n b e c o m e si m p o r t a n tc o n t e n ti nm o d e mf i n a n c e ，b u tt h eo p t i o np r i c i n gi st h ec o r eo f t h ea l lt h eq u e s t i o n s o nt h ef o u n d a t i o no fs t a n d a r dc o n t r a c gm o r ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c se x o t i c f i n a n c ed e r i v a t i v e sw e r ed e s i g n e di no r d e rt os a t i s f yt h ef i n a n c em a r k e ta n dt h e d i f f e r e n ti n v e s t o re s p e c i a ln e e d s ，a n dk e 印a w a yt h er i s kw h i c hm a n yi n v e s t o r sm i g h t f a c e o n eo ft h e mi st h el o o k b a c ko p t i o n s ，t h e ya r ep a t hd e p e n d e n to p t i o n sw h o s e p a y o f f sd e p e n do nt h em a x i m u mo rm i m m u mo f u n d e r l y i n ga s s e tp r i c ea t t a i n e do v e r ac e r t a i np e r i o do ft i m e i ti sm o r ec o m p l i c a t e dt op r i c et h el o o k b a c ko p t i o n s ， b e c a u s eo f t h ep a t hd e p e n d e n c e t h i sp a p e rm o s t l ys t u d i e so n eo f t h ev a l u a t i o n so f f l o a f i n gs t r i k ep r i c el o o k b a c k o p t i o n si n aj u m p d i f f u s i o nm o d e l ，b yu s i n gt h es t o c h a s t i c a n a l y s i s ，p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dg e n e r a li t of o r m u l a f i r s t l y , w ei n t r o d u c ee f f e c t i v em e t h o d s o fo p t i o np r i c i n g ：a e d g i n gp r i n c i p l ea n do p t i o nr e p l i c a t i n gp r i n c i p l e s e c o n d l y ，o n t h ef o u n d a t i o no f t h eo p t i o np r i c i n gm o d e lo ff l o a t i n gs t r i k el o o k b a c ko p t i o n s ，u n d e r t h eb a s i ca s s u m p t i o no fb - so p t i o np r i c i n gm o d e l w em o s t l yd i s c u s st h ef o l l o w i n g w o r k ：( 1 ) w es t u d yt h eo p t i o np r i c i n gi naj u m p d i f f u s i o np r o c e s sa n ds e tu pt h e o p t i o np r i c i n gm o d e l ；( 2 ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h ed i f f u s i o np r o c e s sm o d e lw e s t u d yt h eo p t i o np r i c i n gw h e nt h e mi st r a n s a c t i o nc o s ti nt h et r a n s a c t i o na n dw es e t u pt h eo p t i o np r i c i n gm o d e l ；( 3 ) w ef a r t h e ro u rd i s c u s s i n gq u e s t i o n ，s t u d yo p t i o n p r i c i n gi na ni n e f f i c i e n t f i n a n c em a r k e t , t h a ti s 硒t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h e u n d e r l y i n ga s s e tp d e i n gi saj u m p d i f f u s i o np r o c e s sa n dt h e r ei st r a n s a c t i o nc o s ti n t h et r a n s a c t i o n ，w ed e r i v et h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o no ft h eo p t i o np r i c i n gm o d e l f i n a l l y k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，l o o k b a c ko p t i o n s ，j u m p d i f f u s i o np r o c e s s t r a n s a c t i o nc o s t ，i t of o r m u l a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 盒胆王些盍堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：袁i 鸷军 签字日期：h 6 年 月；j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 目b 王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：袁目军 签字日期：铆年妻月刍1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名 签字日强t 年r 其j | h 电话 邮编 致谢 首先把特别的感谢和敬意献给我尊敬的导师杜雪樵教授! 本人在两年多的 研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始自终得到杜老师的悉心指导， 无论从课程学习，论文选题，还是到收集资料。论文成稿，都倾注了杜老师大 量的心血。由衷地感谢杜老师在学业指导及各方面所给予我的关心以及从导师 言传身教中学到的为人品质和高尚的道德情操，杜老师渊博的学识，严谨认真 的治学态度，诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，必将使我终身受益，并激 励我勇往直前。在此再次向导师表示我最衷心的感谢和敬意! 在两年多的学习和论文创作过程中，理学院的多位老师及许多同学朋友给 了我无私的帮助，在此一并表示我真诚的谢意! 最后，我还要感谢我的家人和亲人们，他们是我学习和生活的精神动力， 是他们时时刻刻的关爱，支持，爱护和鼓励，使我战胜困难，完成学业! 作者：袁国军 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 1 1 关于金融衍生产品的基本概念 1 1 1 金融衍生产品的基本概念 金融衍生产品( d e r i v a t i v e ，以下简称衍生产品) 又称为金融衍生工具 ( d e r i v a t i v ei t y s t r u m e n t s ) 或金融衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ) ，它是一种新型 的金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t ) 的价格，即金融衍生产品的价值是由其标的资产价值衍生 ( d e r i v e d ) 而成的。标的资产可以是债券，股票，货币等基础金融工具，也可 以是其他实物资产，还可以是金融衍生产品本身。 从金融工程学的角度看，远期合约，期货合同和期权合同是三种最基本的 衍生产品。之外，金融市场还存在着各种各样的以各种形式对资产所有权进行 重新包装的金融衍生产品，如金融互换( s w a p s ) ，按揭抵押证券( m o r t g a g e b a c k e d s e c u r i t i e s ) ，资产抵押证券( a s s e t b a c k e ds e c u r i t i e s ) ，结构化债券( s t r u c t u r e dn o t e s ) ， 可转换证券( c o n v e r t i b l es e c u r i t i e s ) 等。这些衍生产品各有特色，但是它们均可以 看成是上述三种基本衍生产品及债券，股票等基础金融工具不同的组合产物。 下面，我们对这三种基本衍生产品做简要的介绍。 ( 1 ) 远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 所谓远期合约，是合约双方关于在未来某一特定的时间和地点进行标的资 产买卖的一项协议。其中。同意购买标的资产的一方称为远期合约的做多方 ( 1 0 n gp o s i t i o n ，即买方) ，而同意出售标的资产的另一方称为远期合约的做空方 ( s h o r tp o s i t i o n ，即卖方) 。远期台约透常用于金融机构之间或金融机构与其客户 之间。 远期合约具有4 个重要参数：一，交割价格( d e l i v e r yp r i c e ) ( 或远期价格， f o r w a r dp r i c e ) ，即双方约定的标的资产的买卖价格。二，交割日( d e l i v e r yd a t e ) ( 或到期日) ，即双方约定的进行标的资产交割的确切时间。三，交割数量 ( d e l i v e r yq u a n t i t y ) ，即双方约定的交割资产的数量。四，交割地点( d e l i v e r yp l a c e ) ， 即双方进行标的资产交割的实际场所。 ( 2 ) 期货合同( f u t u r ec o n t r a c t s ) 从基本内容上看，期货合同与远期合约非常相似，即它也是合同双方关于 在未来某一特定的时间和地点进行标的资产买卖的一项协议。其中，同意购买 标的资产的一方称为期货合约的做多方( 买方) 。而同意出售标的资产的另一方 称为远期合约的做空方( 卖方) 。但是，期货合同与远期合约存在着本质的区别， 主要表现在以下几个方面： 第一，期货合同是标准的金融工具，主要体现在标的资产的交割数量及其 质量，交割日，交割地点和交割价格等合同条款方面，而远期合约是非标准化 的合同。 第二，期货合同的清算是通过期货清算所( c l e a r i n gh o u s e ) 完成的，清算所是独 立的第三方，充当中间人的角色，从而可使得信用风险降低到最低限度，而远 期合约双方则要面对对方可能违约的信用风险。 第三，期货合同交易双方的损益是盯住市场( m a r k e d t o m a e k e d ) ，逐日清算 的。 第四，期货市场受到金融监管当局和有关法规的管制，而远期市场则不在 监管的范畴之内。 ( 3 1 期权合同( o p t i o nc o n t r a c t s ) 期权合同可以分为两大类型，即看涨期权( c a l lo p t i o n ) ( 或买权) 和看跌期 权( p u t o p t i o n ) ( 或卖权) 。看涨期权赋予其持有者在规定的时闯内以事先预定的 价格购买某种标的资产的权利，而看跌期权则赋予其持有者在规定的时间内以 事先预定的价格出售某种资产的权利。 无论看涨期权还是看跌期权，它们都有下面4 个基本参数： 第一，标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) ，即期权合同持有者行使权利时所购买 或出售的资产。标的资产的种类很多，不仅可以是股票，债券，货币，利率等 金融资产，也可以是黄金及其他一些商品。 第二，执行价格或敲定价格( e x e r c i s ep r i c eo rs t r i k ep r i c e ) ，即期权合同所 规定的标的资产的买入或卖出价格。执行价格一旦固定，不再随标的资产市场 价格的变化而变化。 第三，到期日( e x p i r a t i o nd a t e ) ，即期权合同所规定的有效期限或合同做多 方行使权利的时间。 第四，权利金( o p t i o np r e m i u m ) ，即期权合同的做多方为得到购买或出售资 产的权利，而向合同的做空方所支付的一定的费用，也就是期权合同的价格。 需要注意的是，对于期权合同持有者而言，其拥有的是可以根据自己的意 愿决定是否行使买入( 或卖出) 的权利( r i g h t ) ，而不是承担必须买入( 或卖出) 标的资产的责任或义务( o b l i g a t i o n ) 。期权合同赋予其持有者的这种相机决策权 利( c o n t i n g e n tc l a i m s ) ，是其区别于远期合约和期货合同的根本之所在，也是构 成其价值的基本因素。 1 1 2 衍生产品的基本功能 衍生产品有三种主要的用途：风险管理，获得收益，以及金融工程。 一、风险管理 衍生产品最主要和最基本的功能在于实现风险的转移，从而为投资者提供 套期保值的有效工具或途径。套期保值者的主要动机就是进行风险管理，当面 临一个难以承受的风险时。套期保值者就可以利用衍生产品去降低或消除这种 2 风险。 在一个不确定的世界里，风险通常被认为与投资收益始终相伴，具有负效 用的因素。有了衍生工具后，各种风险的价格便可以得到量化，从而使风险与 投资收益相分离，成为一种特殊的商品。通过一定的交易价格，投资者可以将 自己不愿意承担的风险转移给那些愿意承担风险的专家或者追求风险收益的投 机者，从而达到对投资风险进行管理的目的。 二、获得收益 不论是对于运用衍生产品进行风险管理的投资者或者运用衍生产品进行投 机的风险爱好者来说，进行衍生产品交易均有可能使他们获得定的收益，有 时，这种收益还相当可观。比如：若当市场平稳或价格走低时，出售看涨期权 会获得收益。 三、金融工程 运用衍生产品构建特殊产品是金融工程中相对较新的领域。金融工程师们 从一系列数目繁多的看涨期权，看跌期权，期货以及其他衍生产品做出选择和 进行不同的组合，就像厨师从香料架中选取配料或化学家在实验室里混合化合 物一样，以便构造出不同的产品，满足不同投资者的需求。 1 2 期权定价理论的产生与发展 期权是一种在某一确定的时间内按某一固定的价格购买或出售某种资产的 权利。它可以分为两大类型：看涨期权和看跌期权。看涨期权赋予其持有者( 合 同的做多方) 在规定的时间，以事先预定的价格，从看涨期权的出售者( 合同 的做空方 处购买一定数量标的资产的权利。而看跌期权则赋予其持有者在规 定的时间，以事先预定的价格，向看跌期权的出售者出售一定数量标的资产的 权利。 另一方面，根据期权合同持有者在合同有效期内行使权利自由程度的不同， 期权又可以分为欧式期权和美式期权。对于美式期权合同的持有者来说，他可 以在到期日前( 包括到期日) 的任何一天行使权利，而欧式期权的持有者只能 在到期日那天行使权利。需要注意的是，期权是一种权利，这就是说你可以选 择执行或者不执行期权。 另外，按照标的资产类型的不同，期权可分为股票期权，利率期权，货币 期权，期货期权，黄金期权，商品期权等。 此外，期权还有标准期权和奇异期权之分。所谓的标准期权( p l a i nv a n i l l a o p t i o n s ) ，通常是指在期权市场上被投资者广泛了解和接受的期权商品或者说是 普通的期权。如上面所说的股票期权，利率期权，货币期权，期货期权等。另 一方面，凡是不属于标准期权的期权，就应归入奇异期权的范畴。奇异期权大 致有如下几种基本形式，即改变标准收益结构的奇异期权，路径相关的奇异期 权，高维期权和高阶期权。其中路径相关的奇异期权主要有：障碍期权，亚式 期权和回望期权等。 1 2 1 早期期权定价理论的研究 一般认为，期权是一种在上世纪7 0 年代以后才出现的创新金融工具，但是 事实并非如此。 期权交易可以追溯到很久以前。早在公元前3 5 0 0 前，古罗马人和腓尼基人 在进行货物交易的合同中，就已经运用了与期权相类似的合同条款。不过最早 的有史料记载的期权交易是由古希腊的哲学家撤勒斯( t h a l e s ) 进行的。此外， 人们在回顾期权发展的历史时，引用最多的是在1 7 世纪荷兰的“郁金香热( t u l i p c r a z e ) ”中期权被广泛应用的例子。 到了1 9 世纪后期，期权的店头交易市场开始出现。当时有位被后人称为“期 权之父”的名叫萨奇( r u s s e l ls a g e ) 的铁路大投机商对期权交易策略很有研究。 他提出的“转换( c o n v e r s i o n s ) ”和“逆转换( r e v e r s ec o n v e r s i o n s ) ”的期权交易 策略至今仍然被人们广泛使用。 然而，虽然人们已经开始了期权交易，但是并没有对期权进行理论研究， 特别是对期权定价问题的研究。期权的价格实质是一种风险价格，影响期权价 格的因索很多，包括标的资产当前的价格，执行价格。标的资产价格的波动率 和风险利率等因素。因此，长期以来，人们一直在致力于期权定价问题的研究 工作。直到1 9 0 0 年3 月1 9 日，法国数学家b a c h e l i e rl o u i s 发表了他的博士论 文一t h et h e o r yo f s p e c u l a t i o n ( 投机理论) ，首次给出了欧式看涨期权的定价 公式【l 】。该模型假设标的资产价格服从正态分布，单位时间方差为g r 2 ，且没有 漂移，那么看涨期权的价值为： 矿：舯( 掣) 一脚p 喜) + 盯而p 善) ( 1 1 ) c r ft r 4 ro t 其中s 是标的资产的价格，x 是执行价格，f 是到期日时间，o ( ) 和庐( ) 分别是 标准正态分布累积函数和正态分布密度函数。 b a c h e l i e rl o u i s 的期权定价理论宣告了现代金融学的诞生。然而，刚开始， 人们共没有注意这篇论文，直到5 0 年后，b a e h e l i e rl o u i s 的论文才开始得到它 应有的注意。但是这个模型存在两个方面的缺陷：一是标的资产的价格服从正 态分布，这使得价格出现负值的情况，与实际情况不符；另一个是平均预期价 格变化为零的假设，这个假设也违背了市场的实际情况，忽略了资金的时间价 值为正。尽管如此，b a c h e l i e r l o u i s 的研究结果。特别是他提出的有效市场的概 念，为后人的研究指出了方向。 在b a c h e l i e rl o u i s 的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研究。 但在其后的半个多世纪里进展不大，直到上世纪6 0 年代才有新的进展。其中主 4 要的成果有： 1 9 6 1 年，s p r e n k l e 提出了“股票价格服从对数正态分布的基本假设，其均 值和方差均是常数，并且肯定了价格发生漂移的可能性，他提出了一个看涨期 权定价模型【2 】。1 9 6 4 年b o n e s s 将货币时间价值的概念引入到期权定价过程， 还考虑了风险溢价的重要性，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差 异【3 】。1 9 6 5 年著名的经济学家s a m n e k s o n 把上述成果统一在一个模型中，该模 型考虑了期权和股票的预期收益率因风险特征的差异而不一致，并且认为期权 有一个更高的预期收益率【4 】。1 9 6 9 年，他又与m e l t o n 合作，研究了在资产组 合简单均衡模型中的期权定价【5 ，这样可以根据模型确定股票和期权的预期收 益。他们证明了期权问题可以用函数形式中的“公共概率”项来表示，这种函 数形式和实际概率表述的问题一样。根据这种表示法，经调整后的股票预期收 益率和期权的预期收益率是相同的。这一方法预示着风险中性期权定价方法的 发展。 虽然他们已经建立了各种各样的期权定价模型，因为这些模型都包含一些 主观的参数，如投资者的个人风险偏好、市场均衡价格等，因此，它们几乎没 有什么实用价值。 1 2 2 b l a e k - - s e h o l e s 期权定价理论 上世纪5 0 年代末6 0 年代初，m a r k o w i t z 的投资组合的均值一方差理论与 s h a r p e 的资本资产定价理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”。第二次“华尔 街革命”便是b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年发表的关于期权定价的经典论文【6 】 “t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”( 期权与公司债务定价) 后开 始的。在这篇论文中提出了著名的b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式。他们在股票 价格服从对数正态分布的假设下，运用无套利理论推导出基于股票不支付红利 的欧式期权定价公式： v = s n ( d 1 ) 一x e 。7 n ( d 2 )( 1 2 ) 其中d l = 1 n ( s x ) - i - ( r + o r 2 1 2 ) r lc r , f r ，如= d l 一盯靠，其e ps 是标的资产的 价格，x 是执行价格，r 是到期日时间，是无风险利率，而0 ) 是标准正态 随机变量的累积分布函数，即( 砷= p x 0 ，o + f ) 一x ( s ) n o ，c 2 ，) ，即x ( s + f ) 一x ( j ) 是期望为0 ，方差为 c 2 ，的正态分布， 则称( x ( r ) ，r 0 是布朗运动( b t o w nm o t i o n ) 或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。当c = 1 时，称 x ( f ) ，r o ) 为标准布朗运动。 布朗运动最初是由英国生物学家布朗( r b r o w n ) 于1 8 2 7 年根据多年观察 花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的。爱因斯坦( e i n s t e i n ) 于1 9 0 5 年首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显 著的发展。但是，在数学方面由于精确描述太困难而进展缓慢。直到1 9 1 8 年， 维纳对这一现象在理论上做了精确的数学描述，才使其有了很大的发展，在许 多领域得到广泛的应用。 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个 最基本，最简单同时又是最重要的随机过程。现在，布朗运动及其推广形式已 广泛应用于许多纯科学领域，如物理，经济，金融，生物，通信理论，管理科 学与数理统计等。 布朗运动( 又称维纳过程) 是一个连续时间过程，它具有三个重要性质：( 1 ) 它是一个马尔可夫过程。即该过程的所有未来值的概率只取决于其当前值，而 不受该过程在过去的取值或其他当前信息的影响，因此该过程的当前值就是作 出未来值最佳预测所需的全部信息。( 2 ) 维纳过程具有独立增量性。即该过程在 任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任意( 不相交) 的其他时间区间上变 化的概率分布。( 3 ) 维纳过程在任何有限时间区间上的变化服从正态分布 ( n o r m a l l yd i s t r i b u t e d ) ，其方差随时间的长度呈线性增加。 假设 z ( f ) ，t 0 为维纳过程，在时间区间f 上z ( t ) 的任何变化都记为z ， 它满足下列条件： ( 1 ) z 和址满足下列关系：a z = 8 。r 式中，占是均值为0 ，标准差为l 的正态分布的随机变量。 ( 2 ) 随机变i e t 是序列不相关的，即e ( 占。占，) = 0 成立，对一切r s ，故z 在 任意两个不同的时间区间上是相互独立。( 由此可推出z ( t ) 具有马尔可夫性和独 立增量性) 若将区间t 分为长度为出的h 个等长的小区间，即n 5 面1 ，则 z ( s + 丁) 一z ( j ) = r j = l 式中相互独立。由中心极限定理，可以证明该和( 即z ( s + t ) - z ( s ) ) 服从均 1 0 值为0 ，方差为n a t = t 的正态分布。 令，一0 ，维纳过程在时间无穷小时增量可表示为 d z = s 。磊，因s n ( o ，1 ) ，故 g ( d z ) = 0 ，v a r ( d z ) = n ( d z ) 2 】_ d t 。 2 1 2 泊松过程与更新过程 一泊松过程 泊松过程是一类重要的计数过程，下面首先给出计数过程的定义。 定义2 随机过程 ( f ) ，t 0 ) 称为计数过程，如果n ( t ) 表示t 时刻为止，某 一特定事件a 发生的次数，它具有以下两个特征： ( 1 ) n ( t ) 1 0 且取值为整数； ( 2 ) s 0 ) 的泊松过程，如果 ( 1 ) n ( o ) - o ； ( 2 ) 过程具有平稳独立增量； ( 3 ) 对任意的s ，t o p n ( t + s ) 一o ) ：h ：! 墨2 二p m ，h ：0 ，l ，2 ， n ! 从定义( 3 ) 中易见n ( t + s ) 一( s ) 的分布不依赖于s ，所以定义( 3 ) 蕴涵 了该过程的平稳增量性。另外，由泊松分布的性质可知e = m ，于是可 认为a 是单位时间内事件发生的平均次数，一般称五是泊松过程的强度或速率 或发生率。 下面给出泊松过程的一个等价定义： 定义3 设 ( o ，t 0 是一个计数过程，若满足 ( 1 ) n ( o ) = 0 ； ( 2 ) 过程具有平稳独立增量； ( 3 ) 存在a 0 ，当h 一0 时 尸 o + ) 一( f ) = 1 ) = ，枷+ o ( ) p n ( t + h ) 一( f ) 2 = d ( ) 则称 ( r ) ，t 0 ) 是泊松过程。 二更新过程 定义4 ( 更新过程) 设 x 。，h = 1 , 2 ) 是一串独立同分布的非负随机变量 分布函数为f ( x ) ( 为了避免平凡的情况，设，( o ) = p 以= o ) 1 ，记 = 瓯= f x d f ( x )，o k t - 1 ，瓦= 0 ，则称 n ( t ) = s u p n ：l t ) 为更新过程。关于更新过程有以下的更新定理。 定理1 ( f e l l e r 初等更新定理) 记m ( ，) = 压( r ) 】，并称之为更新函数， ：e x 。，贝l j m ( t ) 一上 t“ ( r 斗) ，若：，1 ：0 。 a 证明见【1 7 】 定义5 ( 更新回报过程) 设胄o ) ：窆r 。，其中 ( 味，o 是一个更新过程 r 。，n ：1 ，2 ，独立同分布且与 ( f ) ，r o ) 独立，则称r ( f ) ：窆r 。为更新回报过 程。关于更新回报过程有以下的更新回报定理。 定理2 ( 更新回报定理) 若更新间隔五，砭，满足瓯 m ，每次得到的 嘲满姻 - o ) 是一族单调递增的f 的予一盯域，即匕e ，c f ( v t i 0 满足以下条件： ( o g ( t ，国) 关于【o ，t 】q 可测； ( 2 ) v t o , g ( t ，) 关于e 可钡，即v x 矗，( c o ：g ( t ，c o ) x ) f ； ( 3 ) f e ( g ( t ，) ) 2 d t o o ，e ( g ( t ，) ) 2 _ 0 。 满足假设1 的函数全体记作墨。 定义6 若随机过程x ( t ) 满足： d x = a ( x ，o a t + 6 ( x ，t ) a b ( t ) 其中，a b ( t ) 为布朗运动的增量；a ( x ，t ) 和b ( x ，r ) 为已知的( 非随机的) 二元连 续函数，r 对v x e r ，i 口( f ) l - ，b ( t ) e 写( 即满足假设1 ) 。这里的漂移系数和方差系 数是当前状态和时刻的函数，称此连续时间随机过程为伊藤过程。 因e ( d b ( t ) ) = o ，敌e ( d r ) = a ( x ，o a t ，d x 的方差为e ( d r ) 2 卜 e ( 积讦， 3 其中含有出，( 出) 2 和( 奶( d 8 ( f ) ) ，而( 出) ( 棚o ”= f ，( d r y 一，对于无穷小的d t ，含 3 ( 出) 2 和( 班) i 的项可以忽略不计，故阶为d t 的方差为v a r ( d x ) = 6 2 ( x ，o a t 。称 a ( x ，) 为伊藤过程的瞬时期望漂移率( d r i f tr a t e ) ，而b 2 ( j ，f ) 为方差的瞬时变化 率。 特别地，( 1 ) 当a ( x ，t ) = a ，b ( x ，f ) = 盯时，伊藤过程就是带漂移的布朗运动。 这里为漂移参数，盯方差参数，在任何时间区问址上，x 的变化表示为a x ， 服从均值为e ( 趟) = 脚，方差为l ：a r ( a x ) = 盯2 a t 的正态分布。( 2 ) 当 a ( x ，f ) = ，b ( x ，t ) = 耐时，其中1 ，盯均为常数，伊藤过程就是带漂移的几何 布朗运动。在金融市场中，人们经常假定股票的价格按照几何布朗运动变化。 2 1 4 跳跃过程 布朗运动( 维纳过程) 、伊藤过程都是扩散过程，即处处连续的随机过程。 但是在实际的金融市场中，某些经济变量的变化并不都是连续的变化，更贴近 实际情况的是将经济变量看作不频繁却离散跳跃的过程来建立模型。例如，可 以将石油价格看成布朗运动和跳跃过程的结合，在正常时期，石油价格的波动 是连续的，但在战争或其他突发事件开始或结束时，石油价格会发生较大的下 降或上升。 泊松过程是具有固定或随机跃度的跳跃过程。其中跳跃发生的时间服从泊 松分布，称这些跳跃为“事件”。记 为事件的平均发生率，在无穷小的时间区 间毋上，事件发生的概率为2 d t ，而事件不发生的概率为1 2 d t 。事件是跃度 为的跳跃。自身为一随机变量。 与维纳过程类似，记q 为一泊松过程，即 ，。f o ，概率为1 一a d t 阳2 1 ，概率为触 将变量x 的随机过程记为如下的泊松微分方程： d x = f ( x ，o a t + g ( x ，t ) a q 其中f ( x ，r ) ，g ( x ，r ) 为( 非随机的) 已知函数。 假设h ( x ，t ) 为x 和t 的一可微函数，下面将导出日的预期变化e ( d h ) 的表 达式。首先，将d h 展开成如下形式： d h ：掣d t + 等积：掣d t + 嚣o h 【厂( x ，r ) 破+ g ( x ，t ) a q a f硝 西错 ( 注意：与伊藤过程不同，a w 并不依赖于出，因而高阶趋于零的速度比d t 快。) 这样x 的变化是通过两种方式引起盯的变化：( 1 ) h ( x ，t ) 连续且确定的变化对 x 的漂移作出的反应；( 2 ) 存在泊松事件发生的可能性。若泊松事件发生，将 有一个大小为，留( 工，r ) 的随机改变。h ( x ，r ) 也将有相应的改变。因泊松事件 在区间 出上发生的概率为a d t。因此有： 研筹g ( x , t ) 蛔】- e u a h ( x + p g ( x , t ) ，f ) 一h ( x , t ) 】 斫，等号右边的期望是对 跳跃的跃度来求的。因此，h 的微分的期望可写成： e = 【詈+ f ( x , t ) o 以l - z l a t + e u a h ( x 州m f ) _ h ( x , t ) l a t 当处理连续过程时，则可以像处理伊藤引理那样使用上式。 有时会遇到伊藤过程和跳跃过程的混合，前者在所有时间内都起作用，而 后者不频繁的发生。伊藤引理的适当形式也综合了这两种效果。因此，若 d x = a ( x ，o a t + b ( x ，t ) a z + g ( x ，t ) d q 则函数t t ( x ，1 ) 的变化的期望为 聊】- 【詈州耶) 署+ 如却) 挈批 + e u a 【日( x + z g ( x ，f ) ，t ) 一h ( x ，r ) 】) 西 注意到二阶导数项仅仅与过程中连续部分所引起的方差有关，而跳跃部分的贡 献在于右边的最后一项，涉及h 在不同的离散点闯的差。 2 2 伊藤引理 这一节主要简单叙述一下伊藤引理和广义伊藤引理。 一伊藤引理 伊藤引理是由日本数学家伊藤在1 9 5 1 年提出的，它揭示了伊藤过程的函数 还是伊藤过程的规律。 d x = a ( x ，t ) d t + b ( x ，t ) d z 所表示的伊藤过程对时间是连续但不可徽的。然 而，在实际中经常要处理关于伊藤过程的函数，比如求这些函数的导数等。为 此，我们需要利用伊藤引理。 定理3 ( 伊藤引理) 假设j 8 ) 服从矗r = a ( x ，t ) d t + 6 ( 彳，t ) d z ，且函数f ( x ，f ) 关于x 至少是二阶可微的，关于f 是一阶可微的，则f ( x ，f ) 是一个伊藤过程， 且 订= 学+ 口暇m 罢+ i 1b 2 似 f ) 豢忡+ 6 ( 置d 瓦o f 忽。 伊藤引理可用泰勒( t a y l o r ) 展开式得到，下面求出该函数的全微分d f 。 普通微积分的规则是以x 和r 的一阶变化来定义这一微分的： d f ：竺硝+ 竺d t 8 x a t 若假设包含j 的高阶微分，则 招= 芸押+ 堡o t 出0 2 豢( 删) 2 + 三6 豢哗) 3 + 硝凹”7萌”7 在普通微积分中，这些高阶项在取极限时可以忽略。为了说明这点在此是否仍 然成立，为此展开上式右边的第三和第四项。首先代入d r 来确定( 拟) 2 ： ( c r ) 2 = 口2 ( x ，f ) ( 研) 2 + 2 a ( x ，t ) b ( x ，r ) ( 出) j + 6 2 ( x ，o a t ( 西) 2 和( 出) z 是廊的高阶无穷小量，忽略这些项，则 ( a x ) 2 = b 2 ( x ，t ) d t 而右边的第四项中，( 曲) 的展开式中的每一项关于出的阶数均大于1 ，都是西的 商阶无穷小量，对于更高阶的任何项，如( 田) 4 等，这一点都是成立的。因此 忽略这些高阶无穷小量，伊藤引理给出d f 的微分为 d f = o a f d t + 罢批+ ! 萨a 2 f 2 ( 蠲) 2乱 a x 8 x l 、。 将( 积) 和( d x ) 2 代入上式，可得 d f = a 谢f 州砧) 丽o f + 互16 2 ( 即) 豢m 舭罢记 与普通微积分的链式法则相比，上式多出了一项。 因此对b s 模型中描述的股票价格变化规律的几何布朗运动方程 c l s ( t ) = p s d t + o s d w ( t ) ，由i t o 引理得 品- - s , e x p ( t 一1 ，o 2 ) ( r f ) + 0 6 ，仃j ，其中q 再= 睇一暇， 岛( o ，1 ) ，两边取对数整理得k 亭) = 一去盯2 ) 口一f ) + 靠，f i ，由此可 l j 二 知若当前时刻为t ( t 0 ，盯为常数，矿( r ) 是一 个标准w i e n e r 过程。 考虑一个投资组合：出售一份欧式看涨期权同时持有份标的资产。则投 资组合的价值为：1 7 = 一c + a s ，其中c = c ( s ，) 表示期权的价格。看涨期权的价 格是标的资产价格s 和时问t 的函数。因为c 和n 都是随机变量，由n o 引理， 可得 如= 丝a t 出+ 鱼o s 豳+ 1 2 幽2 祟a s 办 z 和扣= 一面+ 蝴_ ( _ 尝一三拥2 塞m ( 前8 e - d s ( 3 2 ) ：卜西a c 一圭内2 筹+ ( 一万o c - d t + ( 一言) 蹴 ( 3 _ 3 ) 易见投资组合的随机部分出现在上式的最后一项：( 一兰) 甜忽。选择适当的 硝 鼻夤鼻2 a ，使随机项消失，则令2 蠢，则有讥= 一詈出一专c r 2 s 2 等d t ，此式不再 含有不确定的随机项，这表明该投资组合的价值是完全可以预见的，是无风险 的，由于假设市场不存在套利机会，由无套利定价原理，该投资组合的瞬时收 益率应该等于无风险利率r ，否则市场就存在无风险的套利机会。若该投资组合 的收益率大于无风险利率，则套利者就可以通过买入该组合的同时卖空无风险 债券来获得无风险收益；若该投资组合的收益率小于无风险利率r ，则套利者就 可以通过出售该投资组合的同时买入无风险债券来获得无风险收益。因此，有 d t i = r 兀击。即 m = ( _ 誊2 s 2 器胁珊_ r ( - c + s 喜) d t 4 ， 整理可得 尝+ 互1c r 2 豢郴嘉_ r c 枷 ( 3 - 5 ) 即为著名的b l a c k s c h o l e s 微分方程【6 】。它构成了推导包括期权在内的任何 一种衍生产品定价的基础，也就是说，b l a c k s c h o l e s 微分方程适用于标的资产 价格过