（等离子体物理专业论文）高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟.pdf

摘要 自从高温超导体发现以来，其微观机制一直被人们所关注，特别是对于正常态的一 些反常性质的解释更具有挑战性。 本文首先回顾了人们为高温超导体而提出的一些模型及理论，主要介绍了单带、两 带、三带与扩展h u b b a r d 模型，以及唯象边缘费米液体理论。然后详细叙述了用来研究 相互作用费米子系统基态性质的约束路径量子蒙特卡罗方法，通过二维单带h u b b a r d 模 型中电子系统的基态能量以及各种关联函数的计算，检验了这种算法的可行性与正确 性。 在本文中我们运用约束路径量子蒙特卡罗方法，对二维三带h u b b a r d 模型中的环形 电流相存在的可能性进行了探讨。为了解析地表示环形电流相，针对电流的不同流动形 式，我们定义了相应的二次量子化形式的算符及其关联函数。在具体模拟中，我们对所 有可能自旋组合的关联函数进行了测量。 模拟结果表明，在适当的h a m i l t o n i a n 量参数范围内，对应于闭合回路算符的关联 函数在相同距离上比其他所有算符对应的关联函数大一个数量级，因此证明了在三带 h u b b a r d 模型中存在环形电流相。 模型 关键词：高温超导体、约束路径量子蒙特卡罗方法、环形电流相、三带h u b b a r d a b s t r a c t s i n c et h ed i s c o v e r yo ft h eh i 曲t e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t o r s ，m u c ha t t e n t i o nh a sb e e np a i d t ot h es e a r c ho ft h em i c r o s c o p i cs u p e r c o n d u c t i n gm e c h a n i s m e s p e c i a l l y , t h ee x p l a n a t i o no f t h ea n o m a l o u sn o r m a l s t a t ep r o p e r t i e si sm o r ec h a l l e n g i n g f i r s t l y , t h em o d e l sa n dt h e o r i e sp r o p o s e df o rt h eh i g ht e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t o r sa r e r e v i e w e d ，i n c l u d i n gt h eo n e - ，t w o - ，t h r e e - b a n da n d t h ee x t e n d e dh u b b a r dm o d e l sa sw e l la s t h ep h e n o m e n o l o g i c a lm a r g i n a l f e r m i - l i q u i dt h e o r y s e c o n d l y , t h ec o n s t r a i n e dp a t hq u a n t u m m o n t ec a r l om e t h o dt oc o m p u t et h eg r o u n d s t a t ep r o p e r t i e so fi n t e r a c t i n gf e r m i o ns y s t e m si s d e s c r i b e di nd e t a i l t h ev a l i d i t yo ft h ea l g o r i t h mh a sb e e nv e r i f i e dt h r o u g ht h ec a l c u l a t i o no f t h eg r o u n d s t a t ee n e r g ya n dt h ev a r i o u sc o r r e l a t i o nf u n c t i o n so ft h ee l e c t r o n i cs y s t e mi nt h e t w o d i m e n s i o n a lo n e b a n dh u b b a r dm o d e l 。 t h ep o s s i b i l i t yo ft h ee x i s t e n c eo ft h ec i r c u l a t i n gc u r r e n tp h a s e si nt h et w od i m e n s i o n a l t h r e e b a n dh u b b a r dm o d e lh a sb e e ns t u d i e dn u m e r i c a l l yb ya p p l y i n gt h ec o n s t r a i n e d - p a t h q u a n t u m m o n t ec a r l om e t h o d i no r d e rt oc h a r a c t e r i z et h ec i r c u l a t i n gc u r r e n tp h a s e s ，v a r i o u s o p e r a t o r si nt h es e c o n dq u a n t i z a t i o nf o r ma r ei n t r o d u c e da n dt h e i rc o r r e l a t i o nf u n c t i o n so f d i f f e r e n t s p i nc o n f i g u r a t i o n sa r en u m e r i c a l l yc o m p u t e d i no u rs i m u l a t i o n s t h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a t ，w i t h i nt h ep h y s i c a lr a n g e so f t h em o d e lp a r a m e t e r s ， t h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n so fh o l eh o p p i n g sg i v i n gr i s et oc l o s e dc u r r e n tf l o wp a t t e r n si nt h e c i r c u l a t i n gc u r r e n tp h a s e sa r el a r g e rb yo n eo r d e ro fm a g n i t u d et h a nt h o s eo f h o l eh o p p i n g s c o r r e s p o n d i n gt oo p e nc u r r e n tf l o w s t h i sp r o v i d e st h ee v i d e n c ef o rt h ee x i s t e n c eo ft h e c i r c u l a t i n gc u r r e n tp h a s e si nt h e t h r e e b a n dh u b b a r dm o d e l k e yw o r d s ：h i g h t e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t o r s ，c o n s t r a i n e dp a t hm o n t e c a r l om e t h o d ， c i r c u l a t i n gc u r r e n tp h a s e s ，t h r e e b a n d h u b b a r dm o d a l 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 l 刖舌 超导电性是在1 9 1 1 年由k a m e r l i n g ho n n e s “”在l e i d e n 大学实验室首先发现的。 这是在1 9 0 8 年该实验室将氦气成功液化后，得到4 2 k 的新的低温区，通过研究纯h g 在这个温区中的电阻，发现的一种宏观量子的现象。当温度降至某一临界温度乃时，电 阻突然消失，即“零电阻效应”，这种现象称为超导电性。1 9 3 3 年，m e i s s n e r 和r o c h s e n f e l d 对超导圆柱s n 和p b 在垂直其轴向外加磁场的情况下，测量了超导圆柱外面磁通密度分 布，发现不管加磁场的次序如何，超导体内磁场感应强度总是等于零。超导体即使在处 于外磁场中冷却到超导态，也永远没有内部磁场，即与加磁场的历史也无关。这个效应 称之为“m e i s s n e r 效应”或“完全抗磁性”。“零电阻效应”和“完全抗磁性”，即p = 0 和b = 0 成为后来人们判断超导态的两个重要依据。 到七十年代为止，人们发现周期表中的相当一部分元素、合金与化合物以及一些 重费米子都会呈现超导电性。其中最高的临界温度为超导化合物n b ：g e 中的2 3 2 k 。 般把临界温度小于2 3 2k 的超导体称为“常规超导体”。1 9 5 7 年， b a r d e e n c o o p e 卜s c h f i e f f e r ”1 的微观理论( b c s 理论) 问世，人们对超导微观机制才有了深 刻的认识。同时在这之前，还出现了很多解释超导现象的唯象理论，例如l o n d o n 理论、 p i p p a r d 理论、g i n z b u r g l a n d a u 理论等，这些都可以由b c s 理论导出。 1 9 8 6 年，瑞士苏黎世i b m 实验室的j gb e d n o r z 和k a m 讧l l e r 发表了一篇题为 “p o s s i b l e h i g ht es u p e r c o n d u c t i v i t y i nt h el a - b a - c u 0s y s t e m ”的论文，报道了 l a b a - c u o 系氧化物的超导转变温度为3 6 k ，标志着人类发现了另一类更为复杂的超导 体一高温超导体。接下来b 的记录不断被刷新，现在已发现的高温超导体的最高临界温 度约为1 3 5k 。这些超导体都是在钙钛矿结构铜氧化物中发现的，都可以通过在绝缘母 化合物中掺入少量杂质而得到。它们在正常态下是金属，但电阻率很高、载流子浓度不 高，电子间存在很强的关联；正常态和超导态的性质有许多反常，与常规超导体的性质 相差很大。 经过十几年的研究，已经取得的共识是：在配对前，f 常态的性质已经无法用常规 费米液体理论描述，超导态的性质也不能用b c s 理论描写。配对吸引作用主要不是来 自电子一声子相互作用，而是某种电子本源的作用，并且是先配对后再相干凝聚。在高 温超导铜氧化物中，在正常态中就有能隙打开，并各向异性，以d 波为主，与超导能隙 高温超导体中环形电流相的量予蒙特卡罗模拟 有相同的对称性，但与b c s 能隙的s 波各向同性对称性不同。 另外，虽然到现在为止与高温超导机制相关的理论研究还没有一个公认的成熟的理 论，但是以研究高温超导机制为目标，一并研究正常态反常行为的各种各样的理论在不 断发展，提出了许多有启发性的想法。主要的理论研究可以概括为三种类型：第一性原 理的电子结构计算研究、模型哈密顿量( 以h u b b a r d 模型及其变种为主的) 严格解及数值 研究，以及高温超导机制模型的定性和准定量研究。同时也得到了一些很好的结论：高 温超导铜氧化物是一一个强关联的体系：有费米面存在，并具有较强的各向异性。 本文主要是运用约束路径量子蒙特卡罗( c p m c ) 方法来研究高温超导体中的二维 三带h u b b a r d 模型中是否存在环形电流相的问题。本文分五个部分加以阐述。继引言之 后，我们在第二章详细介绍了h u b b a r d 模型，介绍了单带、两带、三带以及扩展h u b b a r d 模型，并简单介绍了针对这些模型所进行的研究。在第三章，我们介绍了约束路径量子 蒙特卡罗方法，主要讨论了这个方法的理论依据、基本特点、实现步骤及简单应用。在 第四章我们运用c p m c 方法对高温超导体中的环形电流相进行了具体的量子蒙特卡罗 模拟，结论与展望将在第五章给出。 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 2h u b b a r d 模型 2 1 强关联电子体系 大量的实验数据表明，高温超导体是一个强关联电子体系。所谓的强关联电子体系 就是近单电子能带体系的对立物。 近单电子体系是指每个电子的能量状态几乎与其它电子的占有状态无关，除了必须 遵从泡利不相容原理在每个空间本征轨道上允许占据自旋相反的两个电子。通常以 哈特里一福克一斯莱特( h a r t r e e f o c k s l a t e r ) 为代表的自恰场能带计算，忽略库仑相互作 用。可以认为能带论适用的条件是u w ，那么这种体系就称为强关联电 子体系。用能带方法对强关联体系，如对绝缘体n i o 作计算时，发现所得的结果与实验 数据有很大的系统偏差，对于绝缘体y b a e c u 3 0 6 的能带计算也有类似的结果。即能带论 不能用来解释强关联体系，需要运用以h u b b a r d 模型为代表的一些模型来研究。对于最 简单的两个电子的体系，能级图1 ( b ) 表示同一空间轨道放置这两个电子的情形，两个电 子的能量并不相同，其差表示两个电子间的库仑排斥能，为强关联情形。当轨道波函数 图1 ：( a ) 弱关联：( b ) 强关联。 f i g 1 ( a ) w e a kc o u p l i n g ，( b ) s t r o n gc o u p l i n g 的空间分布扩展度大时，库仑排斥能较小，就回到图1 ( a ) 所示的单电子近似的情形。 有关高温超导体中强关联的实验数据很多，其中最主要的有以下几个： 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 1 ) 观测到的紫外光电子发射谱与计算得到的局域密度泛函能带之间的系统偏差。 2 ) 观测到的x 射线光电子谱中的卫星峰，伴随着一个双电子峰的过程。 3 ) 俄歇( a u g e r ) 谱中的双空穴能量漂移。 4 ) 母化合物中的自旋反铁磁关联。 从上面列出的结果中可以看出，对各种电子谱的测量是了解铜氧化物电子结构的关 键技术。还有光学测量，特别是喇曼( r a m a n ) 散射和光电导率( 反射和透射) 也提供了重 要的补充信息。 另外，通过一些检测手段，例如x 射线、电子衍射、中子衍射等，都可以确定高温 超导体的晶体结构。虽然许多难以精确确定的结构细节，如调制结构、非化学计量配比 氧含量、无序分布、孪晶结构以及局域短程序等结构缺陷，会影响晶体结构的精确确定 与载流子的数目但也同样能够得到结构的主要特征。这些主要特征包括：层状结构、 超导结构单元和蓄电库结构单元的划分、c u o ，双层( 甚至多层) 的特殊组合等。不同的 结构单元，在影响正常态与超导态的性质上扮演着不同的角色。 图2 ：y b a 2c u 3 07 6 系的结构图 f i g 2 ：t h es t r u c m r eo f t h ey b a 2c u3o7 一ds y s t e m 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 _ _ s 0 、 ：s 图3 ：l a i s r c u o 4 的相图x 为掺杂度。 f i g ，3 ：t h e p h a s ed i a g r a mo f t h ec o m p o u n d l a l s r c u o 4 ，w i t h x r e p r e s e n t i n g t h ed o p p i n g l e v e l 图2 给出的是由高分辨中子衍射数据经峰形拟合法得出的以y b a ：c u ，o 。一；( y ；。一；) 为代表的结构示意图。晶体结构具有正交对称性，c 方向的晶格常数约为珥b 方向的三 倍，b 方向的略大于a 方向的，具体数值为口= o 3 8 1 7 7 n m ，b = 0 3 8 8 3 6 n m ， c = 1 1 6 8 7 2 n m 。 通过图3 中的以l a 。s rc u o ；为例的相图可以看出，随着j 从0 变化到1 ，会发生 四方一正方结构相变、金属一绝缘相变和正常态一超导态转变等等。 2 2 三带h u b b a r d 模型 已提出的描述高温超导体的模型很多，其中最基本的是e m e r y 模型6 卜。e m e r y 模型是一个三带h u b b a r d 模型，经过严格的正则变换，可以得到单带h u b b a r d 模型h 1 鲫 或卜l ，模型1 “，经由施瑞弗一沃尔夫( s c h r i e f i e r w o l f ) 变换可以得到自旋费米子呲础3 模型。 高温超导铜氧化物的普遍特征是电子在c u o ，平面内的准二维的运动，其中包括三 个不同的能带，分别是c u 3 d 。：、2 p ，、2 p y 。c u o 2 平面的结构如图4 所示。 高温赳导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 ： 1 c i ab 图4 ：氧化铜平面的结构，其中星号表示的是铜位，圆点表示的是氧位。 f i g 4 ：t h es t r u c t u r eo f t h ec u o2p l a n e s t h e s t a r sr e p r e s e n tt h ec us i t e sa n dt h ed o t so x y g e ns i t e s 二维三带h u b b a r d 模型的模型哈密顿量( h a m i l t o n i a n ) 可以写成三部分，即 h = h 4 七hp + h m ， h “= 白a m ，。+ b t j o - f ，= s ，e p ；o p ，。+ ，匕k p 。+ h c 1 f 2 1 a ) ( 2 1 b ) ( 2 ，l c ) h 一= f 品0 之p 。+ h c j ( 2 1 d ) ( f ，“4 。对应于铜位的哈密顿量，日，对应氧位的哈密顿量，h ，。为考虑铜氧之间的跃迁时 的哈密顿量。其中，d 二表示在格点f 上，铜的3 d 一，：轨道产生一个自旋为t y 的空穴，p 0 表示在格点，上，氧的2 p ，或者是2 p ，轨道产生自旋为仃的空穴，u 。，是铜元素的库仑排 斥能，因为氧元素的轨道之间的能带宽度比较大，所以忽略氧元素的库仑排斥能u ，占。 和毛分别是氧元素与铜元素的轨道能。，? ，表示相邻氧元素之间的杂化矩阵元，而，；：表 示相邻的铜元素与氧元素之间的杂化矩阵元1 ，可以分别表示为 r 1 1 = - - t p p 呓d = 汪 篡球蝴v 2 ， ( 2 2 ) ：，一亿或者一多心 ( 2 3 ) 其他 、7 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 在( 2 2 ) 式与( 2 3 ) 式中，立和岁分别表示沿轴和y 轴的单位矢量，并且j ，应理鳃成二维 矢量，所以f ，与量，p 可以作矢量的加减运算。 哈密顿量( 2 1 ) 中的参数决定了模型的不同特性，并且可以通过不同的方法来估计参 数的大小，例如，约束密度泛函和量子集团方法m h 2 。通过计算发现当这些参数在一 定的范围内时，恰好可以很好地描述高温超导体的一些性质，因此将处于这一范围内的 参数称为“物理参数”。一般选择，。兰0 6 5 e v ，t ，d 兰16 e v ，u “= 8 5 e v ，以及 a = s 。一白兰3 5 e v 。不过这些参数的选择也不是绝对的，可以根据所处理的具体问题 结合实验结果选择适当的值。 在研究高温超导体的各种特性时，人们对三带h u b b a r d 模型进行了大量的研究，其 中包括解析计算。3 与数值模拟n 7 m 3 4 1 两个方面，并得到了与实验数据符合的结果。 2 3 两带h u b b a r d 模型 由于利用三带h u b b a r d 模型讨论问题比较复杂，因此讨论系统的低能态的特性时， 一般都需要采用不同的近似，将三带模型转变成两带雎棚或者是单带模型以及有效的 r j 模型。 当两个氧元素之间的跃迁比较大时，氧带退耦合，即哈密顿量h 。的本征能量如图 5 中的实线所示 图5 ：氧元素的p e r 轨道，沿着rx 方向具有5 带与d ；：一。：带的对称性。 f i g - 5 ：op e r b a n d sw h i c ha r ep u r e l y5a n d d ，一，s y m m e t r ya l o n g t h efxd i r e c t i o n 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 图6 ：两种氧的“金刚石式”p o 态：( a ) 图：以铜原子为中心。( b ) 图：中心被铜原子包围。 f i g6 ：t h et w ow a y so fd e f i n i n go x y g e nd i a m o n dp e rs t a t e s ：( a ) c e n t e r e do nc o p p e rs i t e s ，( b ) c e n t e r e db e t w e e n c o p p e r s i t e s 根据文献 2 7 中的讨论可以认为空穴的最低能态是在铜格点周围氧的p o 态与铜 的d p 对称的反键组合，可以理解为文献 1 1 中的铜位态的“金刚石式”的线性组合， 各种不同的组合如图6 所示，最低能级的态可以认为主要由这些“金刚石式”的轨道组 合而成。 实际上，沿着r x 方向，最低能带为d 。态，较高的能带为正交的s 对称态，并 且由于较大的成键与反键之间的差，两个氧p e r 轨道被每个原胞当中只有一个氧p e r 的 “金刚石式”的轨道代替。最后可知，所有的带都具有相同的自旋简并度与对称性，因 此可以说经过这种近似的模型为两带h u b b a r d 模型。 两带h u b b a r d 模型中所使用的参数，也可以用局域密度泛函理论计算得到，具体数 值由表一给出。文献 2 7 ，2 8 得到的数据由表中的a m m s ( a n n e t t ，m a r t i n ，m c m a h a n ，a n d s a t p a h y ) 列给出，文献 1 8 得到的数据则由h s c ( h y b e r t s e n ，s c h l u t e r ，a n dc h r i s t e n s e n ) 列给出。 表一：由局域密度泛函计算的两带h u b b a r d 模型中所使用的参数。若取平均场的铜 d 轨道的占据数( 盯) = 0 6 5 ，那么。一。的值应该包括库仑相互作用u ，与u 州的影响。 所有这些能量的单位均为：e v 。 8 圆 i j 玲u 壹塑望量堡主堡兰皇鎏塑些量三鍪堑主里塑垫 t a b l ei ：p a r a m e t e r sf o rt h et w o - b a n dm o d e lf r o mc o n s t r m n e d d e n s i t yf u n c t i o n a l 。8 l 。“l a t i o n s 占p 一白h a s b e e na d j u s t e dt oi n c l u d et h e a v e r a g ee f f e c t s o f u p a n d u 口d a s s u m i n g am e a n f i e l dc ud o c c u p a n c yo f ( ) = 0 6 5 ( r e f2 7 ) a l le n e r g i e sa r ei ne v a m m s h s c 占。一g d 3 4 - 5 9 3 1 5 1 t p d 1 6 1 3 f pp 0 6 5 0 6 5 u d 8 59 - 1 l 2 4 单带h u b b a r d 模型 在三带h u b b a r d 模型中，如果令f ，= 0 ，并且为了对f 。项运用微扰论，因此选择 f ，。 u 。，a 与虬一的值均在电荷转移能量的区域内，这种情况下可以把三带 h u b b a r d 模型变为有效的，一，模型“。其哈密顿量为 h h = h | + h ! ， c 2 4 a 、 也叫悉一p 百1 蛳，| ( 2 a u ) ( ) l 斗 j 日，= - t 魄c ，+ h c _ )( 2 4 c ) ( f ) 8 在卜l ，模型的哈密顿量中，h 。是反铁磁海森堡哈密顿量，h ，是由于电子跳跃的动 能，并且，s4 t 2 u 。文献 2 9 中运用变分的蒙特卡罗方法啪1 对这一模型半满情形下的 基态进行了研究。 如果换一种表象，便可以用h u b b a r d 算符的形式，把日，表现出来。“，从而得到单 带h u b b a r d 模型的哈密顿量。 单带h u b b a r d 模型的哈密顿量可以写为 h = k + 矿= 一f t 名c ，。+ c 二q 。) + u r i t _ l ( 2 5 a ) 其中，c 0 表示在f 位上产生一个自旋为盯的电子，f 为最近邻格点间的跳跃积分，( f ，j ) 表 示对最近邻求和，粒子数n ，。= c o c u 为在位库仑势能。用n 表示系统的格点数，分 别用n t 与。来表示自旋向上与向下的电子数，那么所对应的电子数密度的表达式为 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 ( n ) = ( v t + 。) j v ，半满情形对应于( h ) = 1 。如果u ，0 ，则这个模型称为排斥单带 h u b b a r d 模型，若u 0 ，1 0 ，2 t t 0 时，引入c o s h 7 = e “”，那么幂指数可以写成 e x 一- a r u 莩一。t ”。) = e x p 一i 1 r u ：o ，t + 一。) 兀e x r i l r u 。，t n ，。) 2 = 圭o x p i 一扣u 孙一，。) n 荟e 冲，一，期 ( 3 9 ) 上式中运用了 0 t - h 1 尸= 0 r l i , i ) 2 ， k = l ，2 3 2 ) 当u 0 时，引入c o s h y 。= e “”，因此幂指数的表达式写为 e x p ( 一r u ：”，+ ”。 = e x r 一互1 r u 乏：。，+ ”，。一) i 兀e x 圭r u ( n , , + n , - 1 ) 2 = 三e 印h 咎一扩- ) 1 - - 。e x - b 棚厂，) ( 3 1 0 ) 上式中运用了 0 ，t 棚扩1 ) “= 1 一g 。t ，i ) 2 ， k = 1 ，2 3 - 3 ) 如果需要考虑系统中的自旋密度涨落与电荷密度涨落，那么则需要运用第三种 情况下的h s 变换 ex-ar u 军n 小x 一卜黔棚厂) 1 - i i o x , k ，o 扩+ 一y 如，t 棚厂1 ) ( 3 1 i ) jt 名l - 上式中的y 与y 分别为1 ) 、2 ) 中所定义的。 如果把n ，t , v ，l 改写成不同的形式，那样便会得到分立的h - s 变换的不同形式。通过 以e 讨论可知，在h - s 变换过程中，引入了一个附加变量x ，使得相互作用项消失。 高温超导体中环形电流相的量f 蒙特卡罗模拟 3 2 约束路径蒙特卡罗方法的两个基本特点 在基态的约束路径蒙特卡罗方法中，有两个最基本的特点，从而使得此方法要比其 它的量子蒙特卡罗方法更具有优势。这两个特点是，( 1 ) ：运用试探波函数，在模拟过 程中进行重要抽样，从而投影出基态波函数，( 2 ) ：约束路径近似。 ( 1 ) 基态波函数的投影 在运用量子蒙特卡罗方法时，最主要的是由试探波函数投影出系统的基态波函数。 投影方法的基本思想是：假设矗的精确能量本征值e o e 。 e ： o 。 ( 3 2 3 ) 这样便可以得到近似的基态波函数l 蛾) = l ) ，并且所有的s l a t e r 行列式都满足( 3 2 3 ) 式。 如果在模拟过程中运用约束路径近似，那么重要函数就可以改写为 o r 移) - - - m a x , ， ) ，0 ) ( 3 2 4 ) 这样就可以阻止随机行走者到达分界面而进入由试探波函数l ，) 定义的“一”的半 空间中。当r 呻0 时，( 3 2 4 ) 式保证行走者的分布在分界面处平滑的消失，约束路径 近似特别适合。但是对于有限的r ，概率多g ) 在分界面处不连续，因此行走者的分 布不会消失，可以通过对芦作适当的修正从而使得在分界面n 处可以比较平缓的趋 于零。 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 ， f j j o ，。 圈7 ：负符号问题的简略说明图。上边的水平线表示s l a t e r 行列式空间，圆点表示分界面m 在 分界面处( y ，f 庐) = 0 。随着胛的增加，s l a t e r 行列式随机行走，得到图中实线所示的轨迹。当行走 到界面时，由图中垂直线两边的虚线的对称性可知，随机行走者对基态波函数l 。) 的贡献互相抵 消。而在蒙特卡罗模拟中，却继续随机地进行抽样。由实线所示的路径的相对数目随着n 的增加指 数衰减。 f i g 7 ：s c h e m a t i ei l l u s t r a t i o no f t h es i g np r o b l e m t h et o pl i n er e p r e s e n t ss l a t e rd e t e r m i n a n ts p a c e ；t h e d o tr e p r e s e n t st h e “n o d e ”n ，w h e r ead e t e r m i n a n ti so r t h o g o n a lt ot h eg r o u n ds t a t e 1 妒7 ) a st h ep r o j e c t i o n c o n t i n u e s ( i n c r e a s i n gn ) ，s l a t e rd e t e r m i n a n t su n d e r g or a n d o mw a l k s ，t r a c i n go u t “p a t h s ”a ss h o w nw h e n a w a l k e rr e a c h e sn ，i t sf u t u r ep a t h sw i l lc o l l e c t i v e l yc a n c e li nt h e i rc o n t r i b u t i o nt o fy o ) ，i n d i c a t e db yt h e s y m m e t r i c d i s t r i b u t i o no f d a s h e d p a t h sa b o u t t h en o d a ll i n e t h em o n t ec a r l os a m p l i n g w i t hn ok n o w l e d g e o ft h i sc a n c e l l a t i o n ，c o n t i n u e st o s a m p l es u c hp a t h sr a n d o m l y t h er e l a c i v e n u m b e ro fp a t h sw i t hr e a l c o n t r i b u t i o n ( s o l i dp a t h s ) d e c r e a s e se x p o n e n t i a l l y a sni n c r e a s e s 3 3 单带h u b b a r d 模型中的c p m c 方法的实现 对二维单带h u b b a r d 型在文献【3 5 】 5 3 】中进行了详细的研究得n t1 6 x 1 6 格子中 的基态能量，以及d 波与j 波的对关联函数，自旋结构因子与电荷结构因子。另外， 在文n 5 4 5 5 h u n nc p m c 方法，对三带h u b b a r d 模型进行了研究。 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 3 3 1 约束路径蒙特卡罗方法的实现步骤 在约束路径蒙特卡罗模拟过程中，从试探波函数出发，得到基态波函数。通过以上 的讨论可知，基态波函数由( 3 2 1 ) 式得到，因此首先以单带h u b b a r d 模型为例写出在模 拟过程中的表达式。 在单带h u b b a r d 模型的模拟过程中运用二阶t r o t t e r 近似，将传播子口臼) 写为 b g ) = b x 2 b ，口归。，：，用，：= p “q 2 传递产生一个新的随机行走者。另外采取分 立的h s 变换。将b ，g ) 写为 b y g ) = g “”= p “。p 1 7 2 p g 。k 7 札一j “ ( 3 2 5 ) 其中p ( x ，) = 去；用仃来表示自旋，则b ；g ) = 兀。够扛，) 由( 3 2 5 ) 式够g 。) 可以写为 够g ，) = e x p - 【f u 2 + 5 p ) r x k ：c ，。 ( 3 2 6 ) ( 3 2 6 ) 式中，s p ) = 1 ，s “) = 一1 。概率p 应该写为p g ) = n ，p ( 一) ，并且 砥) = 渊比) 列如) ( 3 2 7 ) 在用b y g ) 传递的过程中比较复杂，在模拟过程中需要特别小心。 c p m c 的实现步骤： 1 对于一个随机行走者，用适当的试探波函数i y ，) 为初始状态波函数，计算其权 重刃与重要函数仉。 2 如果珂0 ，则用因子b ，2 来传递 1 ) 计算矩阵中= b 。，2 中，同时计算重要函数防= o r 协) 2 ) 如果d ：0 ，则改变随机行走者，权重以及重要函数 中卜中。 万卜口o j 畴0 7 卜o ； 3 如果2 中所得的万0 ，则继续用因子b ，g ) = r i ，b yx ，) 来传递 1 ) 计算矩阵内积的逆o 。：，。妒) - 1 2 ) 对于每一个场变量x a ) 通过( 3 2 4 ) 式计算芦( 一) ，格林函数g 。，的表达式为 g 。= 1 一心一r 。o r 甲7 1 ( 3 2 8 ) 高温超导体中环形屯流相的量子蒙特卡罗模拟 b ) 选择随机数，对x ，进行随机抽样，改变其权重，如果改变后的权重不等 于零，则再用b ( 工，) 传递随机行走者，并改变r 、o ，、o 。以及g “o c ) 在计算r 的过程中，需要作适当的镜像修正( m i r r o rc o r r e c t i o n ) 来调整权 重。 以上的式子中，上标t 指的是矩阵的转置。 4 重复步骤2 。 5 重复步骤2 - 4 ，使其对所有的随机行走者都进行一遍。 6 最后再运用一些具体的估算式来计算一些物理量的平均值。 在上述实现步骤过程中，为了使计算结果更为精确，还需要引入一些改进的方法。 例如为了控制随机行走者数目而运用的p o p u l a t i o n c o n t r o lp r o c e d u r e 。，调整权重的周期 性的重新正交归一随机行走者的修正的g r 孤s c h m i d t 5 7 1 过程，以及b p ”圳过程，m i r r o r c o r r e c t i o n 过程等等。 3 3 2 基态能量以及对关联函数的具体结果 用混合估算式估算基态能量，即 e m i 。d 错 b z ， i y r f 虬7 其中j g r ) 为试探波函数，1 睢) 为约束路径蒙特卡罗方法得到的基态波函数a 在文献 6 0 】 中给出了4 x 4 的格子中，有4 个向上、4 个向下自旋电子的二维单带h u b b a r d 模型中 的各种形式的基态能量，参见图8 。 在图8 中，毛表示对哈密顿量直接对角化得到的能量，e 。为由混合估算式得到的 能量， e 。为对哈密顿量在试探波函数组成的态中求平均值所得的能量，e 为在j 虬) 中求平均值所得能量。e g 表示考虑g r o w t h 的基态能量，即在系统达到平衡以后，运用 g r o w t h 过程对平衡过程中所得的能量进行修正而得到。 计算表明，4 x 4 格子中( 4 个4 上) 的基态能量为= - 1 7 5 1 8 ( 3 ) ，e 。= 一1 7 5 0 5 0 ) ， 日= 一1 7 5 1 0 3 7 。对于6 x 6 格子( 1 3 个1 3 上) 的基态能量为e 。= e 。= 一3 6 0 5 ( 0 5 ) 。其中能 量的单位均为电子伏( e v ) 。 高温超导体中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟 l 4 x 4u 国翻埔礤 图8 ：4 4 的h u b b a r d 模型中，以时间步欧为变量的能量估计值。 实线为基态能量的变分上能带。 f i g 8 ：e n e r g ye s t i m a t o r sa s af u n c t i o no ft i m es t e pf o rt h e4 4h u b b a r dm o d e l s o l i ds y m b o l s i n d i c a t ee s t i m a t o r st h a ta r ev a r i a t i o n a lu p p e rb o u n d st ot h ee x a c te n e r g y 在文献 4 7 中，计算了1 6 1 6 晶格的对应于不同的电子数以及不同的相互作用强度 时的基态能量。在表三中给出用c p m c 方法得到的基态能量，并与其他方法得出的基态 能量作了比较，其中相互作用强度u = 4 ，下标s d 表示由随机对角化得到的结果，d m r g 表示由密度重整化群得到的结果，试探波函数的选取为自由电子波函数( f r e e ) ，或者是没 有约束的哈特里一福克( u n r e s t r i c t e dh a r t r e e f o c k ) 波函数。 通过对不同系统的基态能量的研究，可以发现对于相同的系统，当相互作用u 增大 的时候，基态能量的绝对值是减小的，其大小是增大的；如果u 固定，随着品格的增大， 基态能量的绝对值增大，其值减小；如果u 与晶格大小都固定，改变电子填充数，可以 看出，随着电子数的增多，基态能量的绝对值是减小的，其值增大。 另外对于二维、单带h u b b a r d 模型，还考虑了系统动量空间中的不同点的电子密度 p ( t ，砖) 、结构因子s ( t ，k y ) 以及实空问中的s 波与d 波的对关联函数，其中主要考虑 了不同系统中的对关联函数，其表达式为 只( f 。，j = ( 懿( 1 ) 。( o ) ) ( 3 3 0 ) 塞塑塑兰竺! 兰兰皇堕望盟量三茎塑翌堡丝 表三：用c p m c 方法得到的h u b b a r d 模型的基态能量值与其他方法的比较，相互作 用强度取u ：4 。其他结果有随机对角化以及密度矩阵重整化群所得的结果，圆括号内 的数表示统计误差。 t a b l ei i l ：h u b b a r d m o d e lg r o u n d - s t a t ee n e r g i e sf r o mc p m cs i m u l a t i o n sc o m p a r e d w i t ha v a i l a b l er e s u l t sf r o mo t h e ra p p r o a c h e s t h ei n t e r a c t i o ns t r e n g t h ui s4 t h e r ea r et h e s t o c h a s t i cd i a g o n a l i z a t i o n ( s d ) r e s u l t s ，t h ed e n s i t y - m a t r i xr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ( d m r g ) r e s u l t so nt w oc h a i n s t h es t a t i s t i c a le r r o r sa r ei nt h el a s to n e o rt w o d i g i t sa n d a r ei n d i c a t e si n p a r e n t h e s e s s 、7 s 【。1 弛 i 毋z f c p m ce s d f c ) i ( 。 4 x 45 f5 i f r e e ( 、i 川1 j - i l f r e e n 61 4 i1