（计算数学专业论文）高阶精度的数值格式研究.pdf

摘要 本文主要研究流体力学中一些重要方程的高精度数值格式的 设计，以及基于这些方法的数值模拟重点介绍了双曲守恒律方程 ( 组) 的w e n o ( w e i g h t e de s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y ) 格式的一些娜 速方法讨论和一些非线性孤立子方程的数值格式，此外，本文还考 虑了w e n o 方法在求解浅水方程中的一些应用 由于w e n o 格式具有高精度高分辨率的优良性质，使其受到 广泛的研究，同时在实际中也取得了很好的应用本文首先综合介 绍了双曲守恒律方程的有限差分和有限体积迎风型w e n o ，中心 w e n o 格式等，讨论了负权的处理和多维问题的解决方法q i u 和s h u 设计了l a x - w e n d r o f f 类时间离散的有限差分w e n o 格式， 虽然具有编程复杂的缺点，但是利用这种时间离散方法可以避免许 多特征分解，在有些地方可以利用线性权去代替非线性权而保持无 振荡高分辨的性质，因此大大缩短计算时间，从而具有较高的计算 效率我们利用q i u 和s h u 设计的思想，把l a x - w e n d r o f f 时间离 散和中心w e n o 空间离散结合起来求解双曲守恒律方程，结果表 明，这样做同样具有计算效率高的良好性质 在w e n o 格式中，由于非线性权的计算以及方程组问题的特 征分解具有很高的开销使得w e n o 格式在时间推进上比较缓慢 本文的另一项工作是讨论了w e n o 格式中，通过尽量减少非线性 权的计算来节省计算消耗，并比较它的优缺点 浅水方程与可压缩流e u l e r 方程具有相似性，并且受许多高性 能格式对计算气动力学的推动，把这些格式移植到计算浅水动力学 中成了一项很有实际意义的工作本文把前面提到w e n o 格式应 用到浅水方程的求解中，我们得到了比较满意的数值结果 非线性方程的孤立波解的数值研究近几十年来一直受到人们 的重视，并已经成了非常有意义也是非常重要的课题本文分别构 造了在非线性方程中占有重要地位的k d v 方程和r l w 方程的基 于p a d 6 逼近的高精度差分格式p a d 6 逼近格式是一种紧致的格 式，这种格式利用较小的节点模板来逼近空间导数，并取得较高阶 的精度利用所构造的格式进行数值模拟，得到了很好的结果 关键词：高阶格式，计算流体力学，w e n o 格式，中心格式，p a d 6 逼近，k o r t e w e g - d ev r i e s 方程，r l w 方程，渍坝 1 1 1 a b s t r a c t t h i st h e s i sp r e s e n t ss o m er e s e a r c h e so f 址g ho r d e rn u m e r i c a ls c h e m ei n c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c sa n ds o m en u m e r i c a ls i m u l a t i v er e s u l t s w e m o s t l yd i s c u s st i m e - s a v i n gs t r a t e g i e so ft h ew e n o ( w e i g h t e de s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y ) s c h e m ea n dn u m e r i c a ls c h e m ed e s i g no fs o m en o n l i n e a r s o l i t a r ye q u a t i o n s s o m ea p p l i c a t i o n s o ft h ew e n os c h e m ei ns h a l l o we q u a - t i o n sa r ea l s oc o n s i d e r e di nt h i st h e s i s w e n oi s h i g h - o r d e ra n dh i g h - r e s o l u t i o nn u m e r i c a ls c h e m et os o l v e h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s f i r s t l y , w ei n t r o d u c eg e n e r a la p p r o a c h e so f 丑n i t ed i f i e r e n c ea n df i n i t ev o l u m eu p w i n dw e n o c e n t r a lw e n 0 a n dd i s c u s ss t r a t e g i e so fh a n d l i n gn e g a t i v el i n e a rw e i g h t sa n dh o wt os o l v em u l t i - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s q i ua n ds h u 4 4 d e v e l o p e dal a x - w e n d r o f ft i m e d i s c r e t i z a t i o np r o c e d u r ef o rf i n i t ed i f f e r e n c ew e n 0s c h e m e sw h o s ec o s ti s m o r ee f f e c t i v et h a nt h er u n g e - k u t t at i m ed i s c r e t i z a t i o n sb ya v o i d i n gt h e l o c a lc h a r a c t e r i s t i cd e c o m p o s i t i o n so rt h en o n l i n e a rw e i g h t sf o rp a r to ft h e p r o c e d u r e t h e i ri d e ai sa p p l i e dt oc e n t r a lw e n o b a s e do nf i n i t ev o l u m e m e t h o d w et h e nd i s c u s ss o m e o p t i m i z a t i o ns t r a t e g i e so f w e n o s c h e m ei n c l u d - i n gr e d u c i n gc o m p u t a t i o n o fn o n l i n e a rw e i g h t sa n dc h a r a c t e r i s t i cd e c o m p o - s i t i o n b ys o m en u m e r i c a le x a m p l e s w ec o m p a r et h e i rm e r i t sa n dd e m e r i t s s h a l l o ww a t e re q u a t i o n sh a v ew e l lc o m p a r a b i l i t yw i t h c o m p r e s s i b l ee u - l e re q u a t i o n s t h ew e n o s c h e m e ，w h i c hi sp r o v e ns u c c e s s f u li nt h ee u l e r e q u a t i o n ，i sa p p l i e d t ot h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n t h en u m e r i c a lr e s u l t si s s a t i s f i e d s o l i t a r ys o l u t i o no f n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa r es t u d i e d w i d e l y i n r e c e n td e c a d ey e a r s a tl a s ti nt h i st h e s i s ，w er e s p e c t i v e l yc o n s t r u c tn u m e r - i c a ls c h e m e st os o l v ek o r t e w e g - d ev j i 船e q u a t i o na n dr e g u l a r i s e dl o n g - w a v e e q u a t i o n t h es c h e m e sa r ep r o v e ns u c c e s s f u lb yc o m p a r i n gt h en u m e r i c a l e x a m p l e sw i t ho t h e rs c h e m e s k e y - w o r d s ：h i g h o r d e ra c c u r a c y c o m p u t a t i o n a l f l u i dd y n a m i c s w e i g h t e d e s s e n t i a l l yn o n - o s c i l i n t o r y c e n t r a ls c h e m ep a d d a p p r o x i m a t i o nk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n r e g u l a r i s e dl o n g - w a v ee q u a t i o n d a mb r e a k 致谢 本文的研究工作是在导师刘儒勋教授的精心指导和热情关怀 下完成的，在此向他表示衷心的感谢刘老师几年来的言传身教， 以及他严谨的作风，渊博的知识，治学和谦逊的为人都让我受益非 浅，并将继续作为我今后学习和研究工作的榜样 非常感谢在科大做博士后研究的邱建贤博士的帮助和指导，与 他的讨论让我少走了许多弯路陈发来，侯定丕，冯玉瑜等老师开的 基础课使我受益非浅，得以顺利完成学业在此一并深表谢意还 要感谢数学系数值计算小组的其他所有成员汪继文，张强，张鹏， 张瑞，张磊，融华，周浩，鲁亚东和吴铃铃等以及科学计算与计算 机图形实验室的所有成员，与他们的讨论让我在学习和生活上有了 很大的提高 衷心感谢p b 9 7 0 1 和s a 0 1 0 1 的所有同学，特别是我生活多年 的室友以及留守科大继续学习的同学，感谢他们给了我在科大的美 好回忆感谢我在科大的所有朋友，给我的无私帮助和鼓励，让我 觉得快乐还要感谢数学系的所有老师，特别是我的班主任黄稚新 老师和张韵华老师，感谢他们辛勤的工作 谨以此文献给我勤劳的父母，感谢他们为我的学业所付出的艰 辛以及对我无微不至的关怀 第一章绪论 1 1流体力学数值方法概述 流体力学一直以来郡是科学家研究的热门学科描述流体运动的 方程一般情况下是非线性的守恒方程( 组) ，并且不能解析求解这一类 方程( 组) 为此，寻求数值方法求解流体运动方程是当前流体力学研究 的重要途径近几十年来，随着计算机科学的发展，计算流体力学不 断有新的阶段出现，从而已经成为了- - i 1 非常热门的研究学科计算 流体的兴起大大促进了流体力学的发展，许多原来被认为难以解决的 问题都得到了不同程度的进展同时，计算流体力学在许多工程领域 如航空航天，造船，气象，海洋等都得到了广泛的应用，显示出了解决 科学理论与实际问题的巨大能力和潜力 数值方法的构造与研究在计算流体力学的数值模拟中具有重要的 地位有限差分方法和有限元方法是求解流体力学偏微分方程的两类 最重要的数值方法，而有限差分方法是计算流体力学中求解双曲守恒方 程最经典，也是最主要的数值方法：其简单，方便的优点使其被科学家 广泛的研究早期的数值方法研究主要偏重理论上，c o u r a n t ，f r i e d r i c h s 和l e w y 首先发表了经典论文证明连续的椭圆型，抛物型和双曲型方程 组解的存在和唯一性，并针对线性方程的初值问题，提出了著名的特 征线方法和判别稳定性的c f l 条件随后， c o nn e u m a n n ，r i c h t m y e r ， h o p f , l a x 等人非线性双曲守恒律方程的数值方法理论，为含激波问题 的数值模拟打下了理论基础在此基础上，发展了各种各样的激波捕 捉方法，如人工粘性方法，开关法和流通量分裂方法等后来发展了 许多高分辨的差分格式，如t v d 格式，e n o 格式，这些格式由于其 处理激波和解决复杂流体问题的能力而广获好评 由于有限差分方法存在着许多困难，如稳定性，收敛性，边界条件 的处理，不规则区域的求解等等这些困难使得后来发展了一系列的针 对具体问题设计的特殊方法，比如有限元方法，谱方法等这两种方法 大大弥补了有限差分方法的不足，在许多领域都取得了很大的成功 有限元方法，谱方法和有限差分方法由于各自的优点和优势，被成为 数值计算中的三大计算方法后来，基于流体力学所处理问题的不同发 展了许多有效的数值方法，如格子气( l a t t i c e - g a s ) 方法，l a g r a n g e 界 面跟踪方法( f r o n t - t r a c k i n g ) 和e u l e r 界面捕捉方法( f r o n t c a p t u r i n g ) ， 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) ，多重网格法等 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 兰三兰竺兰 ! ! 兰童兰皇兰堡竺查墼叁奎望兰兰童 当前，计算机技术的发展为计算流体力学提供的强有力的支持， 计算能力空前的提高，使得数学和工程工作组能够进行更为复杂更为 精细的数值模拟计算机数值模拟也日益成为与实验与理论研究相并 列的研究方法随着计算流体力学问题研究复杂程度的提高，人们对 这些问题必须进行更加细微，更加深入的研究，在许多问题的研究中， 低阶数值精度的格式已经不能满足所需要的要求，因此高精度的数值 格式成为人们研究的热点 本文主要研究流体力学中一些重要方程的高精度数值格式的设计， 以及基于这些方法的数值模拟重点介绍了双曲守恒律方程( 组) 的 w e n o 格式和一些非线性孤立子方程的数值格式发展了基于l a x - w e n d r o f f 时间离散的中心w e n o ( c w e n o ) 格式，讨论了w e n o 格式 的一些节省时间的策略和这些策略的优缺点，并且设计了正则长波方程 ( r e g u l a r i s e dl o n g w a v e e q u a t i o n ) ，k d v 方程( k o r t e w e g - d e v r i e se q u a t i o n ) 的高精度数值格式 1 2高精度数值格式的基本构造方法 有限差分方法是计算流体力学中最重要的数值方法之一，它理论 上系统成熟，应用广泛，有效首先简单的介绍一下有限差分离散的一 般原理设在z 方向上有均匀网格剖分= ， ，其中h 称为网格剖分 尺度，并且令九为光滑函数毋的空间偏导数那么在网格点j 上有以 下导数( 如) j 的空间逼近 ( 札) j 一皇弓；= 鱼， ( 1 叫 ( ) j = 生与竽， ( 1 删 ( 如) j = 啦寻纽， ( 1 2 - 3 ) 上面三式分别成为向前差分，向后差分和中心差分导数( 札) j 的有限 差分逼近的一般表达式为 l = l ( 1 9 b j l 奶一h 1 ，一，奶+ r 一1 ，奶+ r ；h ) 利用t a y l o r 展开，可以证明中心差具有二阶的精度，而向前和向 后差分只有一阶的精度在实际中经常需要构造较高阶的数值逼近， 2 0 0 3 生 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 页 1 2 高精度数值格式的基本构造方法 中心差具有较高阶的数值精度，但是利用中心差代替微分方程中的的 空间导数往往会出现稳定性的问题 t a y l o r 展开方法式构造高阶数值逼近的一种非常有效的方法，考 虑以下的逼近形式 ( 九) j “i 奶佃 ( 1 2 4 ) 。s = - l 利用t a y l o r 展开，根据相容性要求，可以确定系数o 。，8 = 一f ，一z + 1 ，r 一1 ，r 对于给定的f 和r ，都存在唯一的一组系数使得差分逼近 具有f + r 阶的精度 另一种构造差分逼近的方法是算子法首先定义微分算子 d 奶= 【钆j j 和移位算子 e i l 奶= 饥 ， e 一；屯= ( b 鸭， e 奶= 奶+ 1 ， e _ 1 奶= 奶一1 ， 以及以下的一些平均算子和差分算子 p = 互1 ( e i l + e 一 ) ， j = e ；一e 一 6 + = e 一1 6 一= 1 一e 1 1 5 = 妻( 曰一e _ 1 ) ， 口= ；+ e _ ) 则可以得到许多算子关系式，比如： h d = l n e ， e = l + 5 + = 南 2 0 0 3 生 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 1 3 高阶时间离散 对这些算子关系通过t a y l o r 级数展开，可以得到许多高阶的逼近式 对于高阶导数，也可以利用t a y l o r 展开方法和算子方法去构造高 阶逼近式在此不予详述在n a v i o r - s t o k e s 方程，k d v 方程和r l w 方程的求解中都用必须逼近高阶导数利用l a x - w e n d r o f f 时间离散格 式的e u l e r 方程的求解也需要逼近高阶导数，这部分内容将在介绍时 间离散的时候详述 1 3 高阶时间离散 这里介绍两种构造高阶时间离散的方法这两种方法在以后的数 值模拟中将会被采用 1 3 1l ：t u n g e - k u t t a 方法 首先考虑利用r u n g e - k u t t a 时间离散方法求解半离散常微分方程 ( 组) 的初值问题 u 。t ( 纠= l ：( u 。) 。， ( 1 3 1 ) 其中l 是空阅离散算予所谓t v d 的时间离散方法是指总变差不增 加的方法，即驴+ 1 的总变差不超过u n 的总变差，t v ( u “+ 1 ) st v ( u n ) 考虑常微分方程( 组) 的r u n g e - k u t t a 时间离散 fu ( o ) = u n ， u ( ) = 乏毛( a i 七t ( ) + t 岛k l ( u ( ) ) ) ， = 1 ，2 ，一，m ，( 1 3 2 ) 【u 时l = u 帏) 若系数a 沌风满足 a 谴0 ，晟 0 ， 并且选取的时间步长满足稳定性条件，则r u n g e - k u t t a 时间离散方法 是t v d 的 有二阶和三阶的t v d - r u n g e - k u t t a 格式分别为： t ( 1 ) = 矿+ h t l ( u “) ， “+ 1 = ( t “+ t ( 1 + a t l ( u ( 1 ) ) 2 0 0 3 生 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 13 高阶时间离散 和 u ( 1 ) = “”+ a t l ( u ”) ， t 正( 2 ) = i u ”+ u ( 1 ) + t 二( u ( 1 ) ， t “+ 1 = t “+ ；u ( 2 + ；t 三( u ( 2 ) 1 9 8 6 年，z e n n a r o 7 0 发展了n c e - r u n g e k u t t a 方法，使得使用该 方法可以求得俨到t n + 1 之间任意中间层的值，利用该方法可以求解时 间积分问题，从而解决时间推进问题在此，只作简单的介绍，仅仅介 绍四阶n c e - r u a g e - k u t t a 方法首先考虑问题的四阶r u n g e - k u t t a 方 法 “州= u ”+ a t “o ， ( 1 3 3 ) 这里， 6 1 = b 4 百1 ，b 2 = b 3 = 1 ， 9 ( 1 ) = 工( 铲) ， 颦搿澄爱 s q 9 ( 3 ) = 工( u n + ；蛔( 2 ) ) ， 卜叫 g ( 4 ) = l ( u r l + a t g ( 3 ) ) 四阶r u n g e - k u t t a 方法不是t v d 的方法，但是可以经过一些改进 之后使之具有t v d 的性质下面介绍四阶n c e - r u n g e - k u t t a 方法，有 三次多项式 这里， 湍黧4 ( 3 c 。2 ) b 萨。o # 3 。( 3 6 = 4 ”c 。) 萨b t o 乳1 2 3 ， ( 1 s - 5 ) 6 l ( p ) = 一3 +一 2 ，：= ， 、 。2 c 3 互1 ，c 4 = 1 用它去逼近“( 妒十o a t ) 具有四阶的精度，这样，在每一时间步内，利 用n c e - r u n g e - k u t t a 方法可以求得任意的中间值的逼近 63ll 一 p 一 0 9晚 。m + n u = 口+n u 令 2 0 0 3 篮 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文 第6 页 1 3 高阶时间离散 1 3 2l a x - w e n d r o f f 时间离散方法 另一种离散时间导数的途径是基于t a y l o r 展开的l a x - w e n d r o f f 时 间离散方法以一维标量双曲守恒方程 t “- t - ，( u ) 。= 0 为例考虑利用l a x w e n d r o f f 方法解决时间推进问题，通过t a y l o r 展开， 有 u i x , tq - a t ) 叫州) + t c o t u - 1 - t a t 2 魄2 u + 譬碑 ( 1 3 - 7 ) 如果需要得到时间上为k 阶精度的格式，那么只需截取上式前k - - 1 项，即我们需要逼近k 个时间导数项a u ，辞u ，砖u 为求得这些项的 值，我们需要利用原方程，对其求j 1 次导数 磷t + a 一1 a x f ( u ) = 0 分别取f - 2 ，3 ，可以求得各个时间导数的值魂u ，辞u 式的右端项，我们可以把它转化为以下形式 ( 1 3 8 ) 钟“对于上 a 以，( u ) = ( ，( u ) u t ) 。， 端浆 ，f t t t q - 3 i f ：戮州q - 。如， ( 1 s _ 9 ) a a k ，( u ) = ( u ) t ”( t ) “t t 廿，( t ) u 卅) z ， 、7 由此，就可以从n 时间层的空间离散值推进得到n + 1 层的数值 解比如若选取空间导数采用二阶中心差逼近，时间上采用二阶的精 度，就得到经典的二阶l a x - w e n d r o f f 格式写成流通量形式为t 警+ 盈芦扎 穗 刊1 jl ，n + 1 ) + ，( 哼) 一a f ( 盥芦) ( ，( 嗡1 ) 一，( 喈) ) 】 第二章双曲守恒律方程的w e n o 格式 2 1双曲守恒律方程的数值方法概述 在流体力学和工程计算中双曲守恒律方程的数值格式的设计具有 很重要的地位，尤其我们常常会遇到求解区域中有一些物理量有很大 的梯度变化或者间断的问题，如水跃问题，气动力学上的激波问题等， 模拟这一类问题时非常困难的在格式设计时，必须考虑物理意义下 物质质量，动量和能量守恒的性质，因此必须把格式写成守恒形式以 获得正确的弱解并且必须考虑数值格式的迎风性迎风格式采用从 传播方向上的值来逼近计算点，这样设计出来的格式没有非物理的数 值振荡，从物理上分析，迎风性的格式设计是合理的对于方程组的 情况，为保持格式的迎风性质，必须进行特征分解当今的许多数值 计算方法包括一些格子类方法，高分辨率方法等方法都经常采用了迎 风型的设计 双血守恒律方程格式设计的另一个重要的思想是高分辨率的思想 迎风格式虽然消除了非物理的数值振荡但是迎风格式只有一阶的精 度，这么低的精度在许多情况下是不够的，而且迎风格式会把数值解 中存在的激波抹平高分辨率格式就是为克服这些缺陷而设计的 为确保数值解的逼真和提高分辨率，数学家和计算工作者设计了 很多的方法来消除非物理振荡和提高数值精度1 9 6 5 年g l i m m 等人提 出了r i e m a n n 问题的思想，把每一网格的的交界面都看作是间断的 以r i e m a n n 问题的解为基础，g o d u n o v 提出了构造计算网格均值的的 g o d u n o v 格式的思想，这一思想引起了广泛的关注自7 0 年代以来，不 断出现关于推广和发展g o d u n o v 格式的工作，其中m u s c l ( m o n o t o n e u p w i n ds c h e m e o fc o n s e r v a t i o nl a w ) ，p p m ( p i e c e w i s ep a r a b o l i cm e t h o d ) 就是二阶和三阶的g o d u n o v 格式到了8 0 年代，h a r t e n 提出了t v d 格式的概念，由此掀起了高精度高分辨率数值格式研究的热潮t v d 类格式在处理数值解的激波问题时具有很高的分辨率，并且数值解中 不出现非物理的振荡 在本质无振荡( e s s e n t i a l l yn o n - o s c i l l a t o r y , e n o ) 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 格式提出之前，具有总变差不增性质的t v d ( t o t a l v a r i a t i o nd i m i n i s h - i n g ) 数值格式一直是人们研究的热点然而，虽然t v d 格式具有高 分辨率的优点，但是这类格式的精度却还是不够高，在极值点附近，通 7 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕4 - 学位论文 第8 页 量三兰兰皇童兰竺童兰竺坚呈翌皇丝查! ! ；! 兰兰兰兰竺奎苎竺兰竺童童兰兰 常只有一阶的精度，且在多维情况下，只能是一阶精度因此，计算数 学家通过降低总变差不增的苛刻要求，提出了具有总变差有界( t o t a l v a r i a t i o nb o u n d e d ，t v b ) 性质的高精度，高分辨率的e n o 格式1 9 8 7 年，h a r t e n ，e n g q u i s t ，o s h e r 和c h a k a v a r t h y 首先发表了关于e n o 格式 的经典论文此后，这种本质无振荡类型的格式成为了研究的热门 e n o 格式在重构过程中，通过自适应的选择扩展节点模板( s t e n c i l ) ，以 达到高阶的精度，并且在间断附近具有本质无振荡的性质但是，由 于e n o 格式在重构时，在多个备选模板中仅选择了一个最优模板而摒 弃了其它模板，这样把很多有价值的信息都丢弃了，在每次模板扩展 中至少扔掉了一半的计算工作量因此，在e n o 的基础上，计算数学 家又提出了加权本质无振荡( w e i g h t e de n o ，w e n o ) 格式w e n o 格 式很好的克服了e n o 计算”虚功”太多的问题，w e n o 格式利用各 个备选模板的凸组合的方式重构，每个模板的权值也就是组合系数的 选取依赖于该模板上数值解的局部光滑性，这样，在同样的可选模板 情况下，在光滑区域，w e n o 具有比e n o 更高的精度，而在间断附 近，却保持有e n o 的性质 l i u ，o s h e r 和c h a n 3 8 】首先构造了一维空间上的三阶有限体积w e n o 格式，然后，j i a n g 和s a u 2 5 在多维空间上构造了三阶和五阶的有限差 分w e n o 格式，并且在该文中，提出了现有的光滑因子( s m o o t h n e s s i n d i c a t o r ) 和非线性权构造的基本框架之后，w e n o 格式得到了进一 步的发展，f r i e d r i c h s ，h u 和s h u 1 0 ，2 3 1 在二维三角域中构造了二阶。 三阶和四阶的有限体积w e n o 格式，b a l s a r a 和s h u 2 】发展了七阶到 十一阶的有限差分w e n o 格式 中心w e n o 格式通过交错网格的方式来实现重构，与迎风型的 w e n o 格式相比，中心w e n o 格式具有不要求解r i e m a n n 问题，不需 要特征分解，不需要进行流通量分裂的优点l e v y , p u p p o 和r u s s o 2 9 ， 3 0 ，3 1 】发现了中心w e n o 格式的t v b 性质，并且构造了多维的中心 w e n o 格式，q i u 和s h u 4 3 】讨论了五阶和九阶的中心格式虽然，中 心w e n o 格式求解方程组具有不需要特征分解的优点，但是随着精度 的提高，在激波附近会产生一些振荡，q i u 和s h n 还通过大量的算例 证明了，低阶的中心w e n o 格式可以不进行局部特征分解，但是高阶 的中心w e n o 格式为了削减振荡，进行特征分解是有必要的 自上世纪9 0 年代以来，w e n o 格式一直是人们研究的热点， w e n o 也得到了迅速的发展由于w e n o 格式具有高精度、高分辨 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第9 页 第二幸藏曲守恒律方程的w e n o 格式5 21 双曲守恒律方程的敷值方法概速 率的良好性质，因此特别适合间断问题的处理w e n o 格式在计算 流体力学尤其是不可压气动力学中得到了很好的应用，比如激波湍流 问题，航空声学问题等，w e n o 都能很好的解决一般格式所遇到的困 难 但是w e n o 格式由于选取的模板过大，使其在边界的处理上非 常麻烦，这个缺点阻碍了w e n o 的广泛应用紧致的高阶非线性格式 ( c o m p a c tn o n l i n e a rs c h e m e s ，c n s ) 由于所选取的模板较小但是却保持 有较高的精度，引起了广泛关注，将w e n o 技巧应用到c n s 而发展起 来的w c n s 格式不仅吸收了c n s 模板小的优点，而且保持了w e n o 高精度，高分辨率的性质这是一项很有意义的工作，但是，有得必有 失，w c n s 是一种隐式的格式，并且w c n s 也没有根本上克服w e n o 的缺陷 纵观当今流行的数值求解计算流体力学的方法，每种方法都有其 自身特点及其使用范围，从而看不到一种方法能够一统天下的局面 除了本质无振荡类格式以外，我们看到还有许多方法在蓬勃发展间断 g a l e r k i n 方法具有高精度，非线性稳定和适于并行计算的优点，并且间 断g a l e r k i n 方法适合复杂区域的计算和具有捕捉激波的能力，使其受 到许多工程学家和数学家的广泛注意，但是间断g a l e r k i n 方法对方程 组的求解却具有比较多的限制国内的同行也做了许多工作，比如时 空守恒格式，动力差分格式等，这些工作也都是非常有意义的，应该引 起人们的注意在流体力学气动力学方程，浅水波方程和高r e y n o l d s 数的n a v i o r - s t o k e s 方程等的求解，这些方法都得到了很好的结果虽 然，国内同行对w e n o 的研究开始比较晚，但是，沈孟育，侯中喜等 人的工作是值得注意的 2 1 1e n o 简介 首先以一维标量方程 “t + ，( “) 。= 0 ，。 口，6 】 为例简要回顾一下半离散e n o 格式的构造首先考虑空间变量的高精 度e n o 格式的构造问题时间离散采用t v d - r u a g e - k u t t a 方法，这部 分内容将在另外的章节介绍做网格剖分为 n = z 0 的情况，首先根据迎风思想，选择初值节点模板 s ( o ) ( j ) = ) 显然，要扩展模板，有两种可能的选择，记甜( j ) = t 勺一1 ，) ， s 譬( j ) = 扛，z f + 1 ) e n o 通过比较这两个节点模板上的n e w t o n 差商 n ( 1 ) = ，【q 一1 ，】= x j l - - 血x j - 1 ，6 ( 1 ) = ，睁j ，q + 1 】= 夏f 3 i + 鬲1 - - f j 的大小来进行选择，若i o ( 1 ) lsp ( 1 ) l 则扩展后的两节点模板为s ( j ) ， 否则为s u ) ，记为s ( e n o 消除振荡的核心就在于每次扩展模板都 尽量选取光滑的模板，而利用n e w t o n 差商可以比较光滑程度 假定经m 一1 次模板扩充后s ( m - l u ) = q ，。j + 。，r + s = m 一1 第m 次扩展节点节点有两种可能，即是左插入点z j 一，_ l i 或是向右插 入点。j + n 1 计算m 阶差商 n ( “) = ，陟一，一l ，- - ，即+ ，】，6 ( ”) = ，渤一，一，勺+ 什l 】 比较两者绝对值得大小，若h a ( “) i 陋( ”) i ，则选择左插节点- r - 1 ，否 则右插节点q + 5 + 1 ，从而可确定s ( “) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 1 页 第二幸双曲守恒律方程的w e n o 格式21 双曲守恒律方程的数值方法概述 在最终确定的模板s ( k ) ( j ) 上插值得到一1 次多项式p j + l 2 ( o ) ，使 得对0 7 上的任一元素跏都有g ，弓+ 1 r 2 0 j 如= 如果，( u ) 0 ，则节点模板必须做相应的调整，使其具有迎风效 果，初始模板应改为剐o ) ( j ) = 忙什l 从插值多项式构造过程可以发现e n o 是通过比较差商的绝对值 的大小来自适应的选择模板，从而构造出高精度的流通量基于以上 构造的e n o 格式有以下不足之处： 1 ) 在模板扩展过程中，考虑了k 个备选模板，总共包含2 k 一1 个 节点，却仅仅选择一个模板做插值重构得到具有阶精度的数值流通 量实际上，如果能够合理利用这2 k 一1 个节点，在光滑区域，可以 得到2 k 一1 阶的精度 2 ) e n o 模板扩展过程中使用了太多的逻辑”冲结构，这种结构在 向量机上的计算效率是非常低的 3 ) 当式o ( m ) 和b ( “) 都非常接近于零时，一个很小的改变都可能改 变不等号的方向，从而选取了不一样的模板在光滑区域虽然自适应 的模板选取实际上没有必要但是，这种改变可能导致精度的降低 上世纪9 0 年代发展起来的w e n o 格式能够很好的解决以上的问 题，w e n o 格式利用各个备选模板的凸组合的方式重构，每个模板的 权值也就是组合系数的选取依赖于该模板上数值解的局部光滑性这 样，在同样的模板情况下，在光滑区域，w e n o 具有比e n o 更高的 精度，而在间断附近，保持了e n o 所拥有的本质无振荡的性质 2 1 2 迎风型的w e n o 格式 同样考虑一维标量方程，首先介绍有限差分w e n o 格式的重构思 想在网格点z = q 上，同样有( 2 1 1 ) 形式的差商逼近，这里五+ 1 。 为高阶w e n o 数值流通量同样考虑，( u ) 0 的情况，假设个备 选模板记为 s u ) = ( 一r ，一r + 1 ，q r + k 一1 ) ，r = 0 ，1 ，一1 ，( 2 1 2 ) 对五+ 1 z 每个模板都可以重构得到一个不同的近似值，从而可得到k 个不同的低阶流通量， k - 1 巧3 2 = p ( ( 巧+ l 2 ) = c r i ，( 嘶- r + i ) ，r = o ，1 ，k 一1 ， ( 2 1 3 ) t = 0 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 量三兰兰竺耋兰竺奎兰竺些坚呈兰查 ! ! ! 兰竺兰堡竺奎兰竺兰堡兰兰竺兰 这里的p ( r ) ( z ) 为模板研上的插值多项式 w e n o 就是利用这些低阶 的数值流通量的凸组合得到高阶流通量 ( 2 1 4 ) 现在要做的事情是确定权值，来使格式具有高阶精度为满足稳定 性和相容性，要求 k - 1 0 ，u r = 1 i = 0 对于函数，( u ) 光滑的情形，如果我们找到了d r ，称为线性权( l i n e a r w e i g h t s ) ，使得， 五+ 1 2 = d r 巧2 ，2 1 ( 2 1 5 ) i = 0 具有更高的精度，一般情况下可以使五+ l ，2 达到2 k 一1 阶的精度，那么 就可以把它作为格式的数值流通量为确定d r ，在大模板t = u 。k - 。1 母 上构造满足2 k 一1 阶插值多项式p ( 。) ，我们可以通过求解方程 k - i p ( x j + 1 2 ) = d r p ( r ) ( x j + 1 2 ) ( 2 1 6 ) i = 0 得到露女= 3 时，有 d o = 击，d l = i 3 ，比= 而3 ( 2 1 7 ) 由于p ( x ) 为具有2 k 一1 阶精度的插值多项式，因而这样构造的数值流 通量在光滑区域满足精度要求 为了在处理间断问题时，避免采用线性权而产生的强烈振荡须 引入光滑因子，来衡量数值解的陡度和光滑程度j i a a g 和s h u 设计 的光滑因子厨和非线性权u ，的构造方法得到了普遍的应用， 屏2 善驴h ( 刍p p 2 如 ( 2 1 8 ) 其中，p ( ) ( z ) 是在区间弓= ( 一i 2 ，q + 1 2 ) 上节点模板爵u ) 的插值多 项式取k = 3 时， 风= 一1 3 i f 一2 2 疗- l + 疗) 2 + ( 方一2 4 力一1 + 3 厶) 2 ， 卢1 = 酱( 疗一1 2 厶+ 乃+ 1 ) 2 + ( 疗一l 一方+ 1 ) 2 ， 风= 茜( 办一2 f j + l + f j - l - 2 ) 2 + ；( 3 f j 4 f j + l + j + 2 ) 2 2 v 叶+g h ! l = 胆 +疗 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 3 页 量三童兰竺兰堡竺奎竺竺兰些皇兰查塑：! 竺竺兰堡苎奎兰竺兰竺至童竺兰 然后，取非线性权为 驴莲k - 蠹1i a r 2 辞奔，一叭， _ 1 ， ( 2 1 9 ) 坼2 曩磊嘶2 两研刮 一叫 。 这里选取的s 是较小量，目的是防止分母为零，在大部分的文献中取 e = i 0 6 这样，得到的权值具有以下性质： 1 ) 在光滑区域，有坼zd r ，可以证明在光滑区域格式具有2 k 一1 阶精度； 2 ) 在激波附近，w e n o 流通量与e n o 的流通量相似，因为在有 间断通过的节点模板上权值接近于零 如果，协) 0 ，则备选节点模板必须做相应的调整，目的是使节点 模板具有迎风效果，此时只须做与，( u ) 0 的情况相对称的过程就可 以重构得到w e n o 流通量的值而对于一般的，( u ) ，则必须做流通量 分裂 ，( u ) = ，十( t ) + ，一( u ) ， 使得( ，+ ) ( u ) 0 ，( 厂) ( “) s0 w e n o 重构可以对，+ ( u ) 和厂( u ) 分开进行，然后组合成高阶的流通量一种简单的流通量分裂方法是 l a x - f r i e d r i c h s 分裂， ，+ ( t ) = 妄( ，( “) 士( m j ) ，a = m 口。i ，( t i ) 1 ( 2 1 1 0 ) 在方程组的情况下，这里的n 为，( u ) 的j a c o b i 矩阵的最大特征值的绝 对值 考虑二维守恒律方程 的有限差分w e n o 方法考虑在( 却，y 1 ) 点重构，( t ) 。，由于，( u k 只是 z 的导数，因此固定网格点上y 方向的值饥，只考虑z 方向，这样有限 差分w e n o 重构实际上是z 方向上的一维重构，同样，重构g ( u ) 。也 只是方向上的一维问题利用这种思想可以扩展到多维空间中 有限差分w e n o 格式的优点是编程实现容易，运行速度快，特别 是对于多维问题其优点特别明显，比较适合在空间几何尺度较规则的 区域应用但是对求解区域较复杂的情形，采用有限体积w e n o 格式 较好，有限体积w e n o 格式对网格的要求可以是不均匀的，可根据实 2 0 0 3 年中国科学技术