（应用数学专业论文）耦合动力系统的同步.pdf

耦台动力系统的同步中文提要 耦合动力系统的同步 中文提要 在过去的几十年，为了获得对非线性科学中同步这种无所不在现象的更多理解以 及它在通信光学、神经生物网络等不同领域的广泛应用，都使耦合动力系统的同步行 为吸引了很多的注意 在第一章我们介绍了研究的背景，如非线性科学的概述，同步以及混淹同步 在第二章我们讨论了耦合动力系统中，当外部耦合矩阵是nxn 阶实循环不可约， 行和为零且对角线以外的元素非负的矩阵，内部耦合矩阵是m m 阶对称正定矩阵时 耦合系统的同步问题在这部分首先讨论恒同耦合系统的同步，再讨论非恒同耦合系 统的同步，最后讨论了有周期外力驱动时耦合系统的同步 在第三章我们讨论了耦合动力系统中，当外部耦合矩阵是f , n 阶实对称不可约， 行和为零且对角线以外的元素非负的矩阵，内部耦合矩降是仇xm 阶非对称矩阵时耦 合系统的同步同题在这部分利用个具体的例子说明我们的主要方法 在第四章说明了本文的主要结论及一些展望 关键词：同步，恒同耦合，非恒同耦合，周期外力驱动 作者；缪雪晴 指导老师：秦文新 t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m s a b s t r a c t t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m s a b s t r a c t s y n c h r o n i z e dm o t i o ni nc o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m sh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n o v e rt h el a s tf e wd e c a d e s ，d u et ot h en e e di na c h i e v i n gab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ft h i s u b i q u i t o u sp h e n o m e n o ni nn o n l i n e a rs c i e n c ea n d i t sa p p l i c a t i o n si ns u c hd i v e r s ea r e a 8 a sc o m m u n i c a t i o n s ，o p t i c s ，a n dn e u r o b i o l o g i c a ln e t w o r k s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs y n c h r o n i z a t i o ni n c l u d i n gab r i e f i n t r o d u c t i o no fn o n , n e a rs c i e n c e sa n dt h ec o n c e p to fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n c h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h ed i s c u s s i o no ft h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dd y n a m i e a ls y s t e m sw i t ht h ee x t e r n a lc o u p u n gm a t r i c e sb e i n gn ni r r e d u c i b l ee i r c u l a n tr e a l m a t r i c e sh a v i n gz e r or o ws u ma n dn o n n e g a t i v eo f f - d i a g o n a le l e m e n t sa n di n t e r n a lc o u - p n gm a t r i c e sb e i n gm ms y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s f i r s t l y , w ed i s c u s s t h es y n c h r o n i z a t i o no fi d e n t i c a lc o u p l e ds y s t e m s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h et h es y n - e h r o n i z a t i o no fn o n i d e n t i c a lc o u p l e ds y s t e m s f i n a l l y , w ed i s c u s st h es y n c h r o n i z a t i o n o ft h ec o u p l e ds y s t e m sw i t he x t e r n a lp e r i o d i cd r i v i n g i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e dd y n a m i c a ls y s t e m so n c o n d i t i o nt h a tt h ee x t e r n a lc o u p l i n gm a t r i c e sa r ef l 仡i r r e d u c i b l es y m m e t r i cr e a l m a t r i c e sw i t hz e r or o ws u ma n dn o n n e g a t i v eo f f - d i a g o n a le l e m e n t sa n di n t e r n a lc o u p l i n g m a t r i c e sa r em 价a s y m m e t r i cm a t r i c e s w ed e s c r i b eo u ra p p r o a c h 谢t hac o n c r e t e e x a m p l e 。 s o m ec o n c l u s i o n sa n dp r o s p e c t sa r ep r e s e n t e di nc h a p t e r4 k e y w o r d s ：s y n c h r o n i z a t i o n ，i d e n t i c a lc o u p l e ds y s t e m s i n o n i d e n t i c a lc o u p l e ds y s t e m s ， e x t e r n a lp e r i o d i cd r i v i n g w r i t t e nb ym i a ox u e q i n g s u p e r v i s e db yp r o f q i nw e n x i n i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 y ；9 5 7 0 9 0 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：型嵫日期：竺坐 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：监日期：笙! ! ：! ：! j 导师签名日期：三：! ：堡2 5 耦合动力系统的同步一引言 第一章引言 1 课题的背景和意义 非线性科学的研究在近几十年来发展很快，它是2 0 世纪科学发展史上光辉的一 页非线性科学作为研究复杂性的一门科学，有可能使现实世界中那些杂乱无章的空 间形态和似乎毫无规律的时序序列成为研究对象。并从中发现它们“复杂。的规律性 过去对动力系统的研究般多限于线性系统，即其动力学方程足线性的然而实际 的自然现象或社会现象毕竟足复杂多样的，其动力学规律往往须用非线性方程表示。 即实际存在的客体大多数是非线性系统但是非线性方程除极少数外，大多不存在解 析解，从而难于用一些经典的方法了解其特性事实上，早在1 9 世纪末2 0 世纪初， 法国著名的数学家和力学家庞加莱( h p o i n c a r d ) 就已经指出，某些非线性系统具有内 察的随机性随着2 0 世纪六七十年代计算机科学技术的迅速发展，人们可以很容易地 求得般非线性方程的数值解这才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，进而使 非线性动力学在自然科学和社会科学的许多领域中得到广泛的应用 在过去的几十年。对耦合的非线性动力系统的动力学的研究已经在理论物理及其 他科学中引起了巨大的注意耦合非线性动力系统的合作行为有多种多样的具体表现 形式，而同步应该说是其中最基本的现象之一，许多合作行为的背后基本机制都与同 步有着直接的关系由于其基本性，对这一问题的探讨涵盖了自然科学、工程等许多 领域，甚至社会科学中的一些行为都与同步这一基本性质有密切的关系关于同步最 早的正式阐述可以追溯到1 6 7 3 年惠更斯( g h u y g e n s ) 关于耦合单摆的同步现象的观 察实际上，若干个耦合单元间通过相互作用达到同步的现象在许多领域屡见不鲜例 如，对人体心肺功能的研究表明，人的心跳和呼吸频率是在若干个有理比例的同步( 镇 相) 之间变化，尽管它们的自然频率非常不同另外，在生态学上，个典型的例子就 是马来西亚岛屿上成千上万只萤火虫在夜晚同步地闪动荧光，尽管每只虫子( 个体) 各 有差异。但它们之间通过某种方式耦合后却可以达到同步的状态，等等 自2 0 世纪以来，关于同步现象的发现越来越多。覆盖的领域也更加广泛，在理论 方面也有了更为系统的研究，如最初发现恒同耦合系统的同步现象【1 1 1 以及非恒同耦合 l _ 耦台动力系统的同步 一 引言 系统的同步现象【2 1 在混沌动力学研究开展之前，大量的关于同步的研究集中于驱动 或耦合的极限环( 周期振子) 系统的同步( 锁相) 问题虽然，在非线性动力学研究开 展之后也有研究者提出过混沌系统的同步问题因为混沌系统本身对初值的极其敏感 性。人们认为混沌系统的同步是非常困难的另外，很多问题如混沌系统的同步概念如 何建立，是否如极限环系统那样相对简单等等，都是人们需要研究的因此在很长一 段时间内，人们对同步的研究都不涉及混沌系统但自从2 0 世纪9 0 年代美国海军实 验室的工m 。p e z a r a 和t l c a r r o l 提出相同混沌子系统之间。在不同的初始条件下通 过某种驱动或耦合仍可以实现混沌轨道的同步化1 3 1 ，在【3 l 文中他们还提出了一种混 沌同步的方法( 简称p - c 方法或驱动响应方法) 并且在电子线路实验中首次观察到了 混沌同步的现象这之后对混沌同步的研究才蓬勃展开，掀起新的高潮混沌同步的 方法不断涌现，其应用领域也从物理学迅速扩展到生物学电子电气工程，保密通信等 领域( 4 1 ，【5 】， 6 1 ，【7 1 ) 许多混沌系统的同步形式被介绍包括完全同步( 3 1 ，【8 1 ) 部分同 步【6 1 相同步1 9 1 滞后同步【1 0 1 广义同步( 【1 1 1 ，【1 2 1 ) ，更多的关于混沌动力系统 的同步定义可参考( i t 3 l ，【14 】) ，文献【1 5 1 则详细报道了近年来混沌同步的研究成果 正因为同步现象在工程技术上的重要价值和较广阔的应用前景，它已经成为了非 线性科学领域的研究热点，因此也产生了许多用来确保上述提及的各种类型同步存在 性和稳定性的判定规则同步流形的存在性和稳定性是和耦合系统的耦合格式及耦合 强度紧密联系在起的事实上，同步的重要性不仅在于同步在什么条件下存在。而在 于什么样的同步行为可以被利用和控制。如在机器人学，通信电子和生物科学上的应 用被需要的稳定同步的实现在很大程度上依赖于耦合格式的选取，各种不同的耦合格 式，例如近邻耦合和全局耦合都巴经被研究并有了相应的一些规则，还有如s m a l l w o r l d 耦合格式在( p 6 1 ，【1 7 】，i l s l ) 中有研究 2 本文的主要工作 这里我们将考虑以下耦合的非线性动力系统； n 磊= ( ) + c h ( 巧) ， = 1 ，2 ，乱，( 1 1 ) j = l 2 耦合动力系统的同步一 引言 即 圣= f 0 ) + c ( a 固h ) x ( 1 2 ) 这里，善= ( z , i ，善。) t 敏兄”( m i ) 。而f ( x ) = ( 厂l ( 茹1 ) ，厶( z 。) ) 丁， c 0 为耦合强度，l ：r ”一r ，l ，t = 1 ，2 ，n 是光滑映射，a = ( ) 。是外部 耦合格式矩阵，h = ( k ) 。表示内部耦合格式，丽符号。表示矩阵的k r o n e c k e r 积f 27 j 判断系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 同步流形的稳定性的大多数方法，都足基于单个耦合子系 统的动力学和耦合矩阵特征值的计算常见的一种是观察系统的l y a p u n o v 指数，如 利用m a s t e r s t a b i l i t y f u n c t i o n 8 l 计算与同步流形横截模式的变分方程的l y a p u n o v 指数，或计算反馈系统变分方程的l y a p u n o v 指数【1 剐；另外一种是利用l y a p u n o v 直接方法给出同步的全局稳定性方法( 1 6 】，【7 】) 般来讲，如果每个耦合子系统的所有分量都参于耦合，则当耦合强度充分大时 耦合系统产生弼步，关于这方面的结果在【1 9 】以及 2 0 l 的附录t h e o r e m a 1 给出但 如果系缪浞部分耦合，即并非所有分量都参于耦合时，情况则不同在文献【8 】，【1 7 l 中指出，对于z 一耦合的r s s s l e r 系统只有当耦合强度被限制在某个有界区域时其同 步流形才稳定耦合格式在耦合系统的同步中起决定性作用，不同耦合格式将获得不 同类型的同步，选择合适的耦合格式可以得到我们需要的同步在本文我们主要考虑 以下两种外部耦合格式t 一种是n f l 阶实循环不可约，行和为零且对角线以外的元 素非负的矩阵，将这类矩阵的全体记为a 另一种是n 住阶实对称不可约，行和为 零且对角线以外的元素非负的矩阵，将这类矩阵的全体记为4 z 对于系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 大多考虑的是外部耦合矩阵a ，4 2 【1 6 】，而内部耦合矩阵 日是单位矩阵i1 2 2 1 的情形本文我们在假设系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 是致有界耗散( 即 存在个有界集舀( 常称8 为捕捉区) ，使得相空间上在8 中的轨道直在8 中，不在 8 中的轨道最终也进入8 中，而且8 的大小是与耦合系数c 0 无关的。也就是存在 个与耦合常数无关的有界吸引域8 有界耗散性意味着系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 在8 中 有个全局吸引子) 的前提下，第部分先在此基础上将外部耦合矩阵推广到非对称的 情形考虑a a l ，对般的循环矩阵讨论，而内部耦合矩阵日推广到一般的对称正 3 藕合动力系统的同步 一引言 定矩阵对恒同耦合系统同步流形稳定性的证明是考虑在什么条件下与同步流形即对 角线横截的部分趋于零，而f 2 0 j 则是利用的l y a p u n o v 直接方法对非恒同耦合系统 同步流形稳定性的证明，区别于常见的m a s t e r s t a b i l i t y f u n c t i o n 方法，利用【2 3 】中的 映射的不变流形定理第二部分则考虑了内部耦合矩阵日是非对称的情形，在f 2 0 1 只 对恒同耦合系统的基础上进一步利用1 2 4 】中的不变流形定理讨论了非恒同耦合系统 总之，本文在系统一致有界耗散的条件下，我们在这两部分都得出了判断系统同步的 充分条件，即系统非线性部分的l i p s c h i t z 常数和耦合强度以及耦合矩阵特征值之间的 关系 本文的主要内容安排如下， 第二章主要讨论外部耦合矩阵a a 1 ，内部耦合矩阵h 是对称正定矩阵时耦合 系统的同步问题在这部分首先讨论恒同耦合系统的同步。再讨论非恒同耦合系统的 同步，最后讨论了有周期外力驱动时耦合系统的同步 第三章主要讨论外部耦合矩阵a 凡，内部耦合矩阵日是非对称矩阵时耦合系 统的同步问题在这部分利用个具体的例子说明我们的主要方法 第四章说明本文的主要结论及一些展望 4 耦合动力系统的同步=外部耦合矩阵a a 1 内部耦合矩眸h 是对称正定矩阵时系统的同步 第二章外部耦合矩阵a 4 1 ， 内部耦合矩阵日是对称正定矩阵时系统的同步 2 1 恒同耦合系统的同步 此时，总假设系统( 1 1 ) 或( 1 2 ) 中的f l = ，2 = = a ，外部耦合矩阵a 4 1 ， 即；( i ) a 是不可约的实循环矩阵，( i i ) a i j ( i j ) o ，口越= 一l j 牟由( i ) 保证 零特征值的特征子空间的维数是一维的，而( i i ) 保证对角线扛ix l = 茹。一= 是不变流形内部耦合矩阵h 是对称正定矩阵 引理2 1 1 假设a 是佗n 阶矩阵，舻= e l + e 2 ，其中易和岛为a 的不 变子空阿，且毋到空间晶和易的投影映射分别为p 和q ，如果任意茹e 2 有 ( a x , z ) 口( z ，z ) ，则对任意蜘舻，有8e a t q x o8 8q z o8 其中，“。) 是 j 中标准欧n 里德内积，1 1 2 = ( 易动 证明；对任意x o 舻，记$ ( t ) = q 如 则 圣= a e 血q 铂= a ( t ) 三生!l型：往，动：(如，动2d t i 。， 由条件任意z 易有a 毛动d 协动，所以， 三螋口iixct)022d t 一 即， i iz ( d4 0 ( o ) 0 0e a t q z o 临0q 知1 1 口 引理2 1 2 设矩阵a 一4 l 。日为a 的零特征子空间，e 2 = e 则对任意 $ 易有( a x ，动o ( z ，茹) ( a 0 “= 1 ，2 ，m ) 则： ( r l p r 2 ) _ 1 ( a o 日) ( r l o r 2 ) = ( r f lp 1 1 i 1 ) ( a oh ) ( r lo r 2 ) = ( r i l a r l ) 固( r i lh f 2 ) = d i a a ( o ， ，如，占，a 却十2 ，k 一1 ) o d i a g ( h l ，h 2 ，k ) 0 j l a 劫十2 k 1 p 卜k ) 贝! 有( o h ) $ ，霉) s6 和，$ ) ，z a o h 的非零特征子空间，而6 = m a x ( b j h l ，a k h t ， j = l ，p 1 = 1 ，m 知= 2 p + 2 ，n 一1 ) ( 2 ) 由a a i ，h 对称正定可知， b 0 ) ，即( a z ，动一p ( 。，动，或 ( ( a p h ) z ，动一p 忙，动( p 0 ) 定理2 1 4 假设恒同耦合系统( 1 2 ) 是致有界耗散的。而且a a 1 ，抒是对称 正定矩阵，则当耦合强度c 和f 的l i p s c h i t z 常数l 满足掣 l 时，系统的同步流 形伽i 霉l = 勋= = 是渐近稳定的 6 耦合动力系统的同步 二 外部耦合矩阵a 一4 l 。内部耦合矩阵t , i 是对称正定矩阵时系统的同步 证明：记g = aoh 。并假设p 是( 驴r 到对角线 zl $ 1 x 2 ) 的投 影，q = j p j 为恒等映射由引理2 1 1 和注2 1 3 可知。对任意的x o ( 舻。) 8 有： 0e g q x ol l e 一一l iq 跏j l ( p 0 ) ， 则系统( 1 2 ) 的解为： z ( ) = e c ( o ) + r 严( _ 。) f ( $ ( s ) ) d s 因而； 0q z ( t ) sl le 。出q ( o ) i i + t0g 叫t 一曲q f ( s ) ) i id 8 e _ 叫o ( o ) 忡上e 刊h q f ( 茹( s ) ) 怕 注意到f 中的每个分量都一样，即参与耦合的单个系统都恒同，从而有任意。， q f ( p x ( s ) ) = 0 。7 因此， 0q f ( z ( s ) ) = 0q f ( a ：c s ) ) 一q f ( p x ( s ) ) i l l8q z ( s ) i i 令a c t ) = 4lq ( t ) i i , 则有， 。( t ) k + r 缸( s ) d s ，k = i i q z ( o ) o 由g r o n w a l l 不等式知， a ( t ) s k e r 即， 0q ：r ( o1 1 l 。则当t 一十时，0q z ( t ) 1 1 - 0 ，即系统的同步流形 扛l $ l = 茁2 一一 是渐近稳定的，得征i - i 7 巨釜毛 这里，盯，r b 0 由【6 】可以知道其吸引域为召= z 2 + 耖2 + ( z a ) 2 菇乌) ，其中o c - - - - - r + 盯 设t 。：( z ，弘，磊) t ，i = 1 ，2 ，f ( x ，可，z ) = ( 盯( ! ，一茹) ，r 茹一可一z z ，一6 z + 算9 ) t 则有， ，托，) 一m 。) = 【j ( 1 d f ( p u + ( 1 一跏) 硐( u - 一“。) ， 其中 因此。 一叮 n ，l u ，2i 一o 暑 ，1d f ( 卢u 1 + ( 1 一卢) u 2 ) d 3 ：j ( 1 ( ，二芸：+ 1 w o ! - ；篙，。卢现+ 量1 历现，一c 肛+ - ：t b 一伪现，) 印( p 1 + ( 1 一卢) 啦)( 卢z l + ( 一所现) ( y 弧l 曼咄刊b ， = ir 一陬+ 免) 一1 一弘+ 现i ， ； + 抛)； t + z z ) 一 其在吸引域8 上的行范数( m a x ，t s 。( 乏象ii i ) ) 为：并+ 1 + 盯，从而可取 l i p ( f ) = 错+ l + a 讥，2 ：( r 一。1 ，2 ) z 1 ，2 一y 1 ，2 + c ( ! 2 ，l 一! ，1 ，2 ) ( 2 1 ) 三1 2 =一b z l , 2 + 茁l ，2 讥二+ c ( 瓴1 一z 1 ，2 ) 、l， o 吨山 矿d 写 耦台动力系统的同步 二外部耦合矩阵a a 1 内部耦台矩阵h 是对称正定矩阵时系统的同步 。= ( ：) = f c ，+ c c a h ，u a = ( j 1 二，) ，日= ( 1 - 。) ， ， 此时，一p = 一2 ，即；l i p ( f ) = 襄警+ l + 盯 0 ) ，又由引理2 1 i 知， i ie a t p xi i o ，z ( n m ) “) 首先，设z ( t ) ，暑( 0 为系统( 1 2 ) 分别满足x ( o ) = 。= 霉l + 9 2 ，暑f ( o ) = 可2y t + 暑1 2 的解，则： i iz ( t ) 一! ，o ) 1 1 _ 1 1e 蚵 i i i i $ 一i i + f o i ie c ( 7 ( t - - - 田i iz i iz ( s ) 一! ，( s ) i id s 由前面分析可知；0e 俄0 1 兮oz ( t ) 一! ，( t ) l l _ l lx - y i i + f o l i iz ( s ) 一可( s ) od s 由g r o n w a l l 不等式知，l lz ( t ) 一可( t ) 0 0 茁一暑l ie n 再记。 ，0 ( 1 ) = e 田霉l m t ，z z ) = 上( p f ( 。( s ) ) d s 1 0 耦合动力系统的同步=外部耦合矩阵a a i 内部耦合矩阵日是对称正定矩阵时系统的同步 咖恕) = e c g t z z + r “) q f ( 如) ) d s 喜中，1 e 1 ，x 2 e 2 则上面( x l ，x 2 ) 一( 牙l ，而) 的映射可写为。 矾( ：) 一( 班( 脚嬲砌) 显然石1 的l i p s c h i t z 常数a 可取1 ， 以下求五g 的l i p s c h i t z 常数： o 穴l ，霉2 ) 一氕耖。，y 2 ) o = 8 fd 嘣- i ) p v ( z ( s ) ) d s f o t e 簖( t - ) p f ( ! ( s ) ) d su sf i ie c g o 一砷i i i ip f o ( s ) ) 一p f ( 暑，( s ) ) ud s = flp f ( x ( s ) ) 一p f ( y ( s ) ) 8d s 上l ( 1 lz ( s ) 一( 5 ) i i ) d s 上l i i ( 茁l + $ 2 ) 一b 1 + 驰) ue l s d s ( e “一1 ) ( 0 互1 一y l0 + 0 ：c 2 一y 20 ) 记，l 1 1 = l 1 2 = 一1 ，则 ， 。 0 氕茹1 ，z 2 ) 一氕! ，l ，伽) i i l i ll lz l y l0 + l 1 2i iz 2 一伽i i 8g ( z l ，勋) 一9 ( 伽) u = o 托+ j c 卜司q f ( z ( s ) ) d s 一( 尹抛+ f o - i ) q f ( 小) ) d s ) i i s i i e c g ti i i ix 2 地| l + r e c a ) i i i iq f ( x ( s ) ) 一q f ( y ( s ) ) od s = e 一叫oz 2 一伽1 1 + j ( e - “。曲i ip f ( 茁( s ) ) 一p f ( y ( s ) ) i i 凼 e 叫 z 2 - - 抛8 + f a t e - e g ( t - s ) l ( 1 l $ ( s ) 一寥( 8 ) i i ) d s e 叫u z 2 一抛u + r e - “。砷l i i ( 。1 + 霉2 ) 一( 掣l + 耽) oe k 如 s e 叫i i 砚一珈i i + e - e a 4 志( e ( 卅q 一1 ) ( u 劫一们i i + 0 勋一掣i i ) 耦合动力系统的同步 = 外部耦台矩阵a a 1 内部耦合矩阵h 是对称正定矩阵时系统的同步 记： l 2 l = e - q “南( e 掣+ l ) t 1 ) ，l 2 2 = e 一一南( e 掣十l ”一1 ) + e 一掣，则 0g ( z l ，霉2 ) 一9 ( 掣1 ，y 2 ) i i l 2 l9z l 一们l | + l 2 28z 2 一y 2i | 定理2 2 1 假设非恒同耦合系统( 1 2 ) 是致有界耗散的，当函数f 的l i p s c h i t z 常数满足l 满足l 4 ，- 注意到t 0 且方程( 1 2 ) 是自治系统，故t 可以任取，由于 1 一e - e t a掣 煳了亡了2i 因此，当t 足够小时，若警 4 ，就有 了i - - c ( ! - 丁r v a 4e “一1 即，( 9 ) 矿) 成立也即，当l 0 任取 。 要证此流形对妒均不变，即q = 妒( m ) c m ，v s 0 “ 事实上，因为是自治系统所以， 圣( q ) = 圣( 圣( m ) ) = 垂5 ( 垂( m ) ) = 垂。( m ) = q 。 1 2 耦合动力系统的同步= 外部耦合矩阵a 一4 1 内部耦含矩阵日是对称正定矩阵时系统的同步 又由文献1 23 】中t h e o r e m 3 的性质( ”i ) 知， q = p 。( 州) c m 。 ，巾：二二) 雕釜忍， 耦合动力系统的同步 二 外部耦合矩阵a 一4 l ，内部耦合矩阵日是对称正定矩阵时系统的同步 其中 a = cr=(兰=fcu，+cca。， 一2l1 121 一2 1 12 肛卜。 ， f = ( ，2 ，厶) t 由1 6 】知此耦合系统是一致有界耗散的，因此由定理2 2 1 知s 当l i p ( f ) 0 记g = a 固日，则( 2 3 ) 解为； z ( t ) = ( o ) + r e a g ( ) f 仁( s ) ，s ) d 5 用i i 表示系统( 2 3 ) 的p o i n c a r e 映射。 ：z ( o ) h z ( 刃 即t m ( o ) = 婀) = 邶) + r e 钟1 ) f ( 小) s ) d s 1 4 祸台动力系统的同步： 外部耦台矩阵a 4 1 ，内部耦台矩阵日是对称正定矩阵时系统的同步 类似2 2 的方法，假设p ，q 分别表示到零特征子空问e 1 和其余特征子空间伤 的投影，且p + q = ，是单位矩阵 则： 孟1 = e 。g 丁p x ( o ) + 厂e 。g ( t 1 ) 尸f 扛( s ) ) d s j 0 牙2 = e 讲q z ( o ) + 厂e c g ( 丁一) q f ( x ( s ) ) d s j o 记p x ( o ) = g g l ，q z ( o ) = z 2 ，则上式就表示( 茁1 ，茁2 ) 一( 雪l ，孟2 ) 的映射 ，o ( 茹，) = ， 恐，沈) = o r ( t o p f ( 。( s ) ) d s g ( x l , 现) = e 田+ ( 1 卜砷q f ( j z ( s ) ) 幽 u 其中，x l e 1 ，茁2 岛 则上面如- ，x 2 ) 一 - ，x 2 ) 的映射可写为t 哆( 兰) 一( 垮( 胁慧+ f 蚴( z l 恕) 此时可求得，的l i p s c h i t z 常数为，l 1 l = l 1 2 = e 圩一1 ，9 的l i p s c h i t ；常数为 岛1 = e - 赤( e 计印一1 ) ，l n = e 一时南( e 妒一1 ) + e 一妒 定理2 3 1 假设有周期外力驱动的系统( 2 3 ) 是致有界耗散的，当系统的周期t 和耦合常数c 以及f 的l i p s c h i t z 常数满足。7 l _ e c - t 4 r l y 4 时，系统的映射圣r 有 吸引的同步流形 证明，由文献1 2 3 中的条件( 9 ) 矿) ：2 棚蕊 4 ( e 盯一1 ) 孑c 丁 4 1 5 耦合动力系统的同步= 外部耦台矩阵a a 1 内部耦合矩阵h 是对称正定矩阵时系统的同步 则由文献 2 3 1 中的t h e o r e m 3 及其备注2 ) 可知，映射垂r 有吸引的不变流形州， 即系统的同步流形h 4 当系统( 2 3 ) 是恒同耦合时，对应的产生完全同步。而当系统 ( 2 3 ) 是非恒同耦合时。对应的产生广义同步口 对于有周期驱动的d u l l i n g 振子方程： ； 芷+ 口童一口z + ，y 石3 = p ( t ) ：三：b 可+ 彻一审。+ p 。， c z 4 ， 这里，a ，卢，y 0 ，而p ( t ) 是周期为t 的周期函数，假设i p c t ) i s 危，t r ，h 0 设 则上述d u f f i n g 振子方程可写 其中 ，t ) _ y 矿+ 考虑方程( 2 5 ) 这样的有周期驱动的恒同耦合系统； 痧= f ( t ，u ) + c g u ( 2 5 ) ( 2 6 ) 在【2 0 】及其参考文献中已经证明系统( 2 6 ) 是致有界耗散的，则类似d r e 眦系 统求出其脚s c h i t z 常数为l = a + 喾。当满足定理2 3 1 条件时，对应的映射垂t 有吸引的同步流形 ， 1 6 曲 嚣可 以，l ，ii、 ， l | i i ；| 孰 吐 耦合动力系统的同步 三外都耦合矩阵a a 2 而内部耦合矩阵日是非对称矩阵时系统的两步 第三章外部耦合矩阵a a 2 ， 内部耦合矩阵日是非对称矩阵时系统的同步 这部分将用一个具体的例子来说明我们的般方法 对n 个恒同的d u f f i n g 振子的耦合情形在1 2 0 】中用l y a p u n o v 直接方法已经解 决了，现在我们讨论n 个不恒同的d u f f i n g 振子的耦合情形 一般的d u f f i n g 振子方程为： 2 + p 2 一q z + 1 矿= 0( 3 1 ) 这里，a ，卢，7 0 耋三忍+ 响一储 c s 翻 证明系统( 3 2 ) 的有界耗散性 考虑l y a p u n o v 函数， v ( z l ，勿) = 互1 勿2 一互1 翻+ 矿1 ；4 。tu 旬砘= 互1 【( 勿+ 6 幻) 2 一 + 铲) 霹+ ；，y 名4 1 ( 3 3 ) 这里6 0 在后面给定。则v ( z z ，嗣沿( 3 2 ) 的轨道的导数是： 矿= 勿忘一1 矗+ ，y 才矗+ 翰免+ 6 句磊 = 一笔露一卵旬勿+ 6 耐一n 刃+ p 一鲁) 霹 。，= 删晏( 勿嘞) 。一( 譬十和+ 翔州一和 假设俨4 a ，6 = 詈 0 则： 吴互1 ，譬+ 署 0 就有扩( 劫，钇) o ，2 4 口 有捕捉区； q 册= ( z l ，忍) i y ( z l ，免) sh 再考虑n 个不恒同的d u f f i n g 振子的耦合： 耋三：了玑+ 口z ；一m z ? 一。a z k ， c 3 a ， 这里。q ，卢，仉 0 ，且乍0 j ) 外部耦合矩阵a 4 2 。( 血k 表示a x 的 第i 个元素，t = 1 ，2 ，n ，内部耦合矩阵是： 日= ( m 方程( 3 4 ) 可写为： ；奠- f l y + 蚴嘶) _ c ( 僦 ( 3 5 ) 其中，( 妨= ( 饥四，瑗) t ，茁= ( z 】，如) t ，y = ( y 1 ，) t 证明耦合方程( 3 5 ) 的耗散性 考虑切口妒加 函数： 脚= 扣一荟1 坩+ 驴1 砉霹删舢) + 扣4 动 ：妻v ( 甄，玑) + ；。，a 动 这里矿( 墨们由式( 3 3 ) 给出，j = 言 0 。则缈p ，刍，) 沿( 3 5 ) 的轨道的导数是， 矿p ，暑，) = 括，计一口伽，宕) + 0 。就有w ( x ，y ) 0 而在1 2 0 】中l e m m a 3 4 指出； r a i n 。，v ( 螂) _ - 警 因此当卢2 4 a ，即0 6 0 0 就有咖( z ，可) 0 ，伊4 a 有捕捉区； q 硒= 扛，! ，) l 矿( 茹，! ，) ) 下面具体讨论系统( 3 5 ) 的同步 则系统( 3 5 ) 又写为 u = ( ：) ， 驴= c u + f ( ( 3 6 ) c = ( 三三d ) 其中记表示r “中的单位矩阵，f ( u ) = ( 0 ，一，( z ) + o z ) t 尼舒这里为了下 面符号的方便对矩阵a 假设是一a a 中，因此其特征值为0 = 为a 1 k l 而记0 所对应的特征向量为西o = ( 1 ，1 ，1 ) t 容易求得矩阵c 的特征值为： ， 卢 ：生掣车巫= 0 1 ，一扩1 藕合动力系统的同步 三外部耦合矩阵a 4 2 。而内部耦合矩阵日是非对称矩阵时系统的同步 令，孝= ( ，。孛) t ，则碚是对应p 毒的特征向量，而面是对应酊的特征向 量 设= s p a n 时，俯) ，x 1 是在御“中标准欧几里德内积意义下的正交补 一般地，要利用不变流形理论建立同步的存在和稳定性就需要表明相应的同步流 形的存在和吸引的性质，这经常是由系统的线性部分特征值之间大的间隙所保证而 现在，我们有tu m 肛十。p = 0 即，当阻尼系数芦增大时，0 和第一个非零特征值 之间的问隙越来越小这就表明，要同步大阻尼的振子比同步小阻尼的振子更困难， 这与物理上的直观不相符为了克服这个困难，我们类似1 2 1 j 引入新的内积 令阢= ( 忱，蛾) a = 1 ，2 ) 舻舒或j 矿舻的子空间j 岛，五，首先在凰，x l 中定义新的内积： ( 饥，u 2 ) x o = 2 ( 妒i ，仇) 4 - ( 胁l + 2 以，风免4 - 2 如) ， ( 明，) x 。= ( 卢2 8 e ) ( v l ，妒2 ) + 4 c ( a 妒1 ，妒2 ) + ( 3 o l + 2 妒l ，卢妒2 + 2 忱) 其中，( ，) 是r ，i 中标准欧几里德内积。且l i x l l 2 = 缸，z ) ，而p 是满足0 0 由下面给出； ( i 1 1 ) l i e c qj 卜e 一耐，o 证明： ( i ) ，( i i i ) 同【2 1 1 ( i i ) 关于非线性部分f 的l i p s 矾i t z 常数，因为： i lf ( 仉) 一f ( ) 0 f = 0 - f ( w ) + ，( 妒2 ) + o ( 妒1 一妒2 ) l l 0 ，( 妒1 ) 一f ( v 2 ) 0 + a0