（应用数学专业论文）gosper表示及其应用.pdf

摘要 摘要 g o s p e r 算法在计算闭形式和问题中具有里程碑式的作用。在这个算法中有 一个很重要的想法，就是将一个有理函数写成它的g o s p e r 表示形式。 传统的计算g o s p e r 表示的算法中需要计算带一个参数的结式，并求出这个 结式的所有非负整数根。然而，这两步是整个计算中最耗费时间的。在这篇论 文中，我们提供了一种可以避免这种计算的方法。我们注意到整系数多项式的 整数根必然整除该多项式的常数项，因此可以直接计算常数项而不用计算带参 数的结式。实验的结果也证明这样做可以大大缩减计算时间。我们也提供了实 现的例子，用来说明它比计算带参数的结式更具有优势。 g o s p e r 表示在符号计算的许多问题中发挥着重要的作用。在论文接下来的 部分，我们回顾tg o s p e r 表示的许多经典的应用，这其中包含g o s p e r 算法及其 扩展，z e i l b e r g e r 算法，线性差分方程的闭形式解。最后，我们用一个例子来说 明如何应用这些算法找出一些特殊函数的形式幂级数展开。， 关键字：g o s p e r 算法，z e i l b e r g e r 算法，结式，递归方程，形式幂级数。 a b s t r a c t a b s t r a c t g o s p e r sa l g o r i t h mi so n eo ft h el a n d m a r k si nt h eh i s t o r yo fc o m p u t e r i z a t i o n o ft h ep r o b l e mo fc l o s e df o r ms u m m a t i o n o n ek e yi d e ai nt h i sa l g o r i t h mi st o w r i t ear a t i o n a lf u n c t i o ni ni t sg o s p e rr e p r e s e n t a t i o n t h es t a n d a r dm e t h o dt oc o m p u t et h eg o s p e rr e p r e s e n t a t i o ni n v o l v e sc o i n - p u t i n gt h er e s u l t a n to ft w op o l y n o m i a l sw i t ha na d d i t i o n a lp a r a m e t e ra n df i n d i n g n o n - n e g a t i v ei n t e g e rr o o t so ft h er e s u l t a n t t h e s et w os t e p sa r et h em o s tt i m e - c o s tp a r to ft h ec o m p u t a t i o n i nt h i st h e s i s ，w ep r o v i d ea na l t e r n a t i v em e t h o d t oa v o i ds u c hc o m p u t a t i o n s n o t i c et h a tt h ei n t e g e rr o o to fa p o l y n o m i a lw i t h i n t e g e rc o e f f i c i e n t sm u s td i v i d et h ec o n s t a n tt e r mo ft h ep o l y n o m i a l w ec o m p u t e t h ec o n s t a n tt e r md i r e c t l yi n s t e a do fc o m p u t i n gt h er e s u l t a n tw i t hp a r a m e t e r s t h i sr e d u c e st h ec o m p u t a t i o nt i m es h a r p l ya si n d i c a t e db yt h er e a le x p e r i m e n t w ea l s op r o v i d ee x a m p l e sf r o mi t si m p l e m e n t a t i o nt h a ti l l u s t r a t et h ea d v a n t a g e s o v e rt h eu s eo fr e s u l t a n tw i t ha na d d i t i o n a lp a r a m e t e r g o s p e r sr e p r e s e n t a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yp r o b l e m si ns y m b o l i cc o m p u t a t i o n s i nt h ef o l l o w i n gp a r to ft h et h e s i s ，w er e v i e ws e v e r a lc l a s s i c a l a p p l i c a t i o n so ft h er e p r e s e n t a t i o n ，i n c l u d i n gg o s p e r sa l g o r i t h ma n di t se x t e n 11， 一 一1 一 一 s l o n ，z e l l b e r g e r 7 sa l g o r i t h m ，c l o s e d - t o r ms o l u t i o no fl i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s f i n a l l y , w ep r o v i d ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t eh o wt oa p p l yt h e s ea l g o r i t h m st of i n d t h ef o r m a lp o w e rs e r i e so fs o m es p e c i a lf u n c t i o n s k e yw o r d s ：g o s p e r sa l g o r i t h m ，z e i l b e r g e r sa l g o r i t h m ，r e s u l t a n t ，r e c u r r e n c e ， n1nn 上io r m a 止r o w rb e m e s a m ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( 2 0 0 0 ) i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者虢霸忐光孕 2 _ ) 。g 年步月乙髟e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学雠文作者虢隔怎辉 伽彩年夕月1 妇 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h eg o s p e ra l g o r i t h mi sam i l e s t o n ef o rp r o v i n gh y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s i tn o to n l yd e f i n i t i v e l ya n s w e r st h eq u e s t i o nf o rw h i c hi tw a sd e v e l o p e d ，b u ti t i sa l s ov i t a li nt h eo p e r a t i o no ft h ec r e a t i v et e l e s c o p i n ga l g o r i t h mo fz e i l b e r g e r s a l g o r i t h ma n dt h ew za l g o r i t h m c o n s i d e rt h eq u e s t i o no fi n d e f i n i t es u m m a t i o ni nc l o s e df o r m w e a r el o o k i n g a tas u m n 一1 p 8 n = 歹，t k , j 二一 k - - - o ( 1 0 1 ) w h e r et 忌i sah y p e r g e o m e t r i ct e r mt h a td o e sn o td e p e n do nn ，i e ，t h ec o n s e c u t i v e - t e r mr a t i o r ( k ) = t k + l t 危 ( 1 0 2 ) i sar a t i o n a lf u n c t i o no fk w ew o u l dl i k et oe x p r e s s8 ni nc l o s e df o r m ，t h a ti s ， w i t h o u tu s i n gt h es u m m a t i o ns i g n ，i fp o s s i b l e w en o t i c et h a t8 np l a y st h er o l eo fa na n t i d e r i v a t i v eh e r e i n s t e a do fi t s d e r i v a t i v eb e i n gt h ei n t e g r a n d i t sd i f f e r e n c ei st h es u m m a n d t h a ti s ，8 n + 1 - - 8 佗= t n h e n c e ，ju s ta si nt h ei n t e g r a t i o np r o b l e m ，w ea r el e dt oi n q u i r ei f ，g i v e na h y p e r g e o m e t r i ct e r mt 竹，t h e r ee x i s t sah y p e r g e o m e t r i ct e r m ，s a y , s u c ht h a t + 1 一= t 佗 ( 1 0 3 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i fw ec a nf i n ds u c haf u n c t i o nz n ，w ew i l li n d e e dh a v ee x p r e s s e dt h es u m ( 1 0 1 ) i nt h es i m p l ef o r mo fas i n g l eh y p e r g e o m e t r i ct e r mp l u sac o n s t a n t c o n - v e r s e l y , a n ys o l u t i o nz no f ( 1 0 3 ) w i l lh a v ef o r m w h e r ec = z 0i sac o n s t a n t z n = z n 一1 + t n - - 1 z n 一2 + t n - - 2 + t n - - 1 仇一1 劲+ 亡惫 k = o s n + c g o s p e r sa l g o r i t h ma n s w e r st h ef o l l o w i n gq u e s t i o n ：g i v e nah y p e r g e o m e t r i c t e r mt n ，i st h e r eah y p e r g e o m e t r i ct e r mz ns a t i s f y i n g ( 1 0 3 ) 、， i ft h ea n s w e ri sa f f i r m a t i v e ，t h e ns nc a nb ee x p r e s s e da sah y p e r g e o m e t r i c t e r mp l u sac o n s t a n t ，a n dt h ea l g o r i t h mo u t p u t ss u c hat e r m i nt h i sc a s ew e w i l ls a yt h a tt 竹i sg o s p e r - s u m m a b l e o nt h eo t h e rh a n d ，i fg o s p e r sa l g o r i t h m r e t u r n san e g a t i v ea n s w e r ，t h e nt h a tp r o v e st h a t ( 1 0 3 ) h a sn oh y p e r g e o m e t r i c s o l u t i o n r w g o s p e r ，j r ，d i s c o v e r e dh i sa l g o r i t h mi nc o n j u n c t i o nw i t hh i sw o r ko n t h ed e v e l o p m e n to fo n eo ft h ef i r s ts y m b o l i ca l g e b r ap r o g r a m s ，m a c s y m a b e - c a u s eo fh i sa l g o r i t h m ，m a c s y m ah a das e e m i n g l yu n c a n n ya b i l i t yt of i n ds i m p l e f o r m u l a sf o rs u m so ft h e t y p e ( 1 0 1 ) i n t h i sp a p e r ，w ew i l lu s ent od e n o t et h es e to fa l ln o n n e g a t i v ei n t e g e r s ， n = o ，1 ，2 ， i fp ( n ) i sa n o n z e r op o l y n o m i a l ，w ew i l ld e n o t et h i sl e a d i n g c o e f f i c i e n tb yl c p ( n ) t h ed e g r e eo ft h ez e r op o l y n o m i a lw i l lb et a k e nt ob e 一 w ew i l la s s u m et h a ta l la r i t h m e t i co p e r a t i o n st a k ep l a c ei nt h ef i e l dq ，t h e f i e l do fr a t i o n a ln u m b e r s o u rr a t i o n a lf u n c t i o n sh a v et h e i rc o e f f i c i e n t si nq ， t h e r e f o r ew es o m e t i m e sc a l lqt h ec o e f f i c i e n tf i e l d as e q u e n c et nw i t he l e m e n t s i nqi st h e n h y p e r g e o m e t r i cq i ft h e r , a r ep o l y n o m i a l , p ( ) ，q ( n 1 st h e nat l y p e r g e o m e t r mt e r mo v e ri tt h e r ea r ep o l y n o m i a l sn ) l n 必u秒() ，) f r o mq n 】s u c ht h a tp ( n ) t n + 1 = q ( n ) t nf o ra un n ，i e ，i ft ns a t i s f i e saf i r s t o r d e rl i n e a rh o m o g e n e o u sr e c u r r e n c ew h o s ec o e l f i c i e n t sa r ep o l y n o m i a l si n ( u ) i 佗1 ，一 、r1 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n o n ek e yi d e ai ng o s p e r sa l g o r i t h mi st ow r i t ear a t i o n a lf u n c t i o ni ni t s g o s p e rr e p r e s e n t a t i o n l e tk b eaf i e l d ，nb eat r a n s c e n d e n t a le l e m e n to v e r k ag o s p e rr e p r e s e n t a t i o no far a t i o n a lf u n c t i o nr ( n ) g ( n ) i sat r i p l e ( o ( 几) ，6 ( 佗) ，c ( 礼) ) o fp o l y n o m i a l si nk i n s u c ht h a t a n d 咖，= 器错 g c d ( a ( n ) ，b ( n + 九) ) = 1 ， v h n f o ra n yr a t i o n a lf u n c t i o nr ( n ) k ( 佗) ，i ti sk n o w nt h a tt h e r ee x i s t sag o s p e r r e p r e s e n t a t i o no fr ( 钆) t h es t a n d a r dm e t h o dt oc o m p u t et h eg o s p e rr e p r e s e n t a t i o ni n v o l v e sc o m p u t i n gt h er e s u l t a n to ft w op o l y n o m i a l sw i t ha na d d i t i o n a l - 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m i a l sh a v i n ge x t r ap a r a m e t e r s ，w h i c ha p p e a ri nz e i l b e r g e r sa l g o r i t h m i nt h es e c o n dp a r to ft h et h e s i s ，w er e v i e ws e v e r a lc l a s s i c a la p p l i c a t i o n so f t h er e p r e s e n t a t i o n w - ef i r s td i s c u s sg o s p e r sa l g o r i t h ma n di t sm f o l dg e n e r a l - i z a t i o n t h e nw ed e s c r i b ez e i l b e r g e r sa l g o r i t h m ，w h i c hi sa ne l e g a n tv a r i a t i o no f g o s p e r sa l g o r i t h m a f t e rt h a t ，w er e c a l lt h ea l g o r i t h mf o rf i n d i n gh y p e r g e o m e t 一 一1o 巾 r l cs o l u t i o n so iah o m o g e n o u sl l n e a rd l n e r e n c ee qu a t i o n w n l c l ll sa l s oh a s e ( 1o n t h eg o s p e rr e p r e s e n t a t i o n f i n a l l y , w ep r o v i d ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t eh o wt o a p p l yt h e s ea l g o r i t h m st of i n dt h ef o r m a lp o w e rs e r i e so fs o m es p e c i a lf u n c t i o n s t h r o u g h o u tt h et h e s i s ，w eu s eq t od e n o t et h es e to fr a t i o n a ln u m b e r s a l l 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n f i e l d sw ec o n s i d e r e da r eo fc h a r a c t e r i s t i cz e r oa n dt h u sw ea s s u m eq k l e t kb eaf i e l da n dzb eat r a n s c e n d e n t a le l e m e n to v e rk t h er i n go fp o l y n o m i a l s o v e rko nzi sd e n o t e db yk x 1a n dt h ef i e l do fr a t i o n a lf u n c t i o n so v e rki n zi sd e n o t e db yk ( z ) t h em o n i cg r e a t e s tc o m m o nd i v i s o ro ft w op o l y n o m i a l s o ( z ) ，b ( x ) k x 】i sd e n o t e db yg c d ( a ( x ) ，6 ( z ) ) t h u s ，t w op o l y n o m i a l sa , ba r e c o - p r i m ei fa n do n l yi fg c d ( a ，b ) = 1 4 c h a p t e r2 g o s p e r sr e p r e s e n t a t i o n c h a p t e r2 g o s p e r ，sr e p r e s e n t a t i o n 2 1 g o s p e r sa l g o r i t h m d u r i n gt h el a s td e c a d e ，v e r ys u c c e s s f u ls e to fa l g o r i t h m sf o rh y p e r g e o m e t r i c s u m m a t i o nc a m et om a t u r i t y _ 一- 一 _- t h es u m m a t i o no fp o l y n o m i a l sw e r et r e a t e db ye x p r e s s i n gt h eo r d i n a r yp o 卜 e r sz ma sal i n e a rc o m b i n a t i o no ff a l l i n gf a c t o r i a l s ，s a yz m = o i m ( 7 ) x 立，w i t h r a t i o n a ln u m b e r s ( ? ) ，f o r0 i 仇 t s u m m a t i co fr a t i o n a lf u n c t i o n ss t u d i e d g i n a l l y abrahe s u m m a t i o no tr a t i o n at u n c t i o n sw a ss t ul e do r l g l n a l l yb y r a m o v i 上 h e r et h ep r o b l e mi s ，g i v e nar a t i o n a lf u n c t i o nr = 百a k ( z ) ，d e t e r m i n er a t i o n a l f u n c t i o n ss = 吕g ( x ) a n dt = 舌k ( z ) ，s u c ht h a t r = a s + t ， 苞e 百a = 万c + l 否f ， ( 2 1 1 ) w h e r et h e t r a n s c e n d e n t a l p a r tti sa s s m a l l ”a sp o s s i b l e s ot h a tn of u r t h e r r a t i o n a lp a r t so ft h es u mc a nb e e x t r a c t e d ”f r o mi t i nt h i ss i t u a t i o n t h en o t i o no f ；m a l l n e s s b em a d e byin t h i ss i t u a t i o n t h en o t i o no ts m a l l n e s sc a nb em a a ep r e c l s eo yr e q u i r i n g ， 。7川 t h a tt h ed e g r e eo ft h ed e n o m i n a t o rp o l y n o m i a lgs h o u l db ea ss m a l la sp o s s i b l e f o ra l lp o l y n o m i a l sc ，d ，f ，gs a t i s f y i n g ( 2 1 1 ) i ti sn o tt o od i f f i c u l tt os e et h a t a ne a u i v a l e n tc o n d i t i o nb e t e r m so ft h ed i s p e r s i o no f( n o n - c , i n s t a n t c o n o l t l o n c a nb eg i v e ni nt e r m so it i l eo l s p e r m o no ian o n - c o n s)ij - i 一 - p o l y n o m i a l ：t h i si sd e f i n e da st h em a x i m u mi n t e g e rd l s t a n c eo c c u r r i n gb e t w e e n a n yr o o t so ft h ep o l y n o m i a l ( i nt h ea l g e b r a i cc l o s u r eo fk ) ap r o p e rs o l u t i o no f t h er a t i o n a ls u m m a t i o np r o b l e mf o ra b k x i st h e ng i v e nb yp o l y n o m i a l sc ， 5 c h a p t e r2 g o s p e r sr e p r e s e n t a t i o n d ，f ，gs u c ht h a t ( 2 1 1 ) h o l d s ，w h e r et h ed e n o m i n a t o rp o l y n o m i a lgh a sz e r o d i s p e r s i o n i n1 9 7 8 ，r w g o s p e r ，j r ，d i s c o v e r e dt h ec e l e b r a t e dg o s p e ra l g o r i t h m t h i s a l g o r i t h ms o o nb e c a m et h ec e n t r a lp a r to ft h ea l g o r i t h m i cm a c h i n e r y n o wi ti s t h ec l a s s i c a lm e t h o df o ri n d e f i n i t eh y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o n w ec a ns e et h e d e t a i li ns e c t i o n3 1 a f t e rt h a t ，s y m b o l i cs u m m a t i o na l g o r i t h mh a sr e c e i v e dm u c ha t t e n t i o n i n t h i sp e r i o d ，m a n ye x t e n s i o n sh a v ed e v e l o p e d s u c ha sm - f o l dg o s p e ra l g o r i t h m 2 2 ，s e et h ed e t a i li ns e c t i o n3 _ 2 i n19 81 ，k a r rd e v e l o p e da na l g o r i t h mf o ri n d e f i n i t es u m m a t i o nb a s e do nt h e t h e o r yo fd i f f e r e n c ef i e l d s 3 0 1 h ei n t r o d u c e ds oc a l l e d7 t ( 7 一f i e l d s ，i nw h i c hf i r s t o r d e rl i n e ；d i f f , l u a t i o n , b es o l v e d nf u l lg e n e r a l 一a l g o r i t h m o r d e rl i n e a rd i t t e r e n c ee q u a t i o n sc a nb es o l v e di nf ug e n e r a l i t v t h i sa l g o r i t h m儿 o n l yd e a lw i t h 。3 8o fh y p e r g e o m e t r i ct e r m s ，l i k eg o s p e r sa lgorithmcannot o n l yd e a lw i t hs e r m so fh y p e r g e o m e t r i ct e r m sl i k eg o s d e rsa l g o r i t h m ， 7 s e r i e sw i t hq - h y p e r g e o m e t r i ct e r m s ，o rh o l o n o m i cs e r i e s ，l i k ec h y z a k sa l g o r i t h m ， b u tw i t hs e r i e so ft e r m sw h e r ef o re x a m p l et h eh a r m o n i cn u m b e r sc a na p p e a r i nt h ed e n o m i n a t o r i ns o m ec a s e sa p p r o p r i a t ed i f f e r e n c ef i e l de x t e n s i o n sa r e n e c e s s a r yi no r d e rt of i n dac l o s e df o r mt oas u m m a t i o np r o b l e m i n19 9 3 ，k o o r n w i n d e ri n t r o d u c e dt h eq - a n a l o g u eo ft h eg o s p e ra l g o r i t h m ， a n dn a m e da sq - g o s p e ra l g o r i t h m 2 3 e x a m p l e2 1 c o m p 让t ee v 三涨( 。g ) s o l u t i 。佗? s u p p 。s et k = 涨( 。g ) ，t h e 佗t h er a t i 。o ft w 。c 。n 8 e c u t i 移et e m s 诂 r ( x ) = t k + l 一= = 艺七 b yt h eg o s p e rr e p r e s e n t a t i o nw eg e t r l ( x ) = 1 一a x ， 1 a x ( 1 一q x ) a q 。 r 2 ( x ) = ( 1 一q x ) a q ，p ( x ) = 1 ， ( 1 一a x ) g ( q x ) 一a q ( 1 一z ) 9 ( z ) = 1 ， w h e r ei d e gr 1 ( z ) = l d e gr 2 ( z ) = 0 ，l o g g 咖e o 0 d e cr l ( x ) = r 2 ( x d e g r lx d e gr 2x ) = 1 ，) =) =， 6 ( 2 1 2 ) = l o g 口( a q ) 隹z ，t h e nm l = l d e gg ( x ) 1 0 9 9 罢- l o g 口9 2 = 2 皤 t h e n ? t t 2 = d e gg ( x ) = m a x 2 ，o ) 一1 = 1 s u p p o s eg ( x ) = c + d x ，a n ds u b s t i t u t e i ti n t o ( 2 1 2 ) t h e nw ec a ng e t a n dt h e n c =1 一 a q =酉r2(q-lx)zk g ( 7 x= f 一 f i n a l l y a q ( 1 一z ) ( o ； ( g ； d = q ) k g ) 忌 1 一n g 台- x 而( a ；q ) k ( 面) - k = a q ( 1 一矿) ( + a ( 1 一q ) ( 1 一a q ) ( 1 一a ) q ( a q ) 一南 aq)(1) 黜q ) k 广 一 一o ) g ( g ； r 17 1 一o g+ 若a 塑q ) ( 1 ) 黜q ) k 广。( 1 一一o ) g ( g ； r 17 d z e i l b e r g e rd e v e l o p e dt h ez e i l b e r g e ra l g o r i t h mf o rp r o v i n gi d e n t i t i e so n h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s 3 0 b e c a u s eo fi t ，h ew a sa w a r d e dt h es t e e lp r i z ef o r s e m i n a lc o n t r i b u t i o ni n1 9 9 8 z e i l b e r g e rf o u n dt h a tt h ei n d e f i n i t es u m m a t i o n a l g o r i t h mo fg o s p e rc a nb eu s e di nan o n o b v i o u sa n d n o n t r i v i a lw a yf o rd e f i n i t e h v d e r g i l t i o n t h em e t h o d o l o g yw h i c he v o l v e df r o mt h a t)roachhypergeometrics u m m a t i o n1h em e t h o d o l o g yw h i c he