（计算数学专业论文）小波分析在常微分方程求解中的应用.pdf

珏北大蝴委士学位论文 摘要 小波分撬是门鼗洪理埝，窀被广泛逮瘦爱予餐个壤域。终隽鞠年 代采期出现的时频分析工具，小波变换在信号与图像处理镣领域里已经 霉蠲了成功懿痘t 瓣l ，并惩整荬囊赛豹诸多爨患或梵了j p e g 2 0 0 0 瓣标准， 基于多尺度分析的尺度函数和小波函数很好的分析特性和计算特性，充 分利瘸这些特性以小波终为蓦黼数褒数微分方程，褥来求艇联键裂的 弋 数方程，这种小没有限元法最近得到入们的穰大的笑注 誊文凌详缨论述了掰繁多小渡溅论疑萋旗上，磅完了小浚分辑方法 在常微分方程求解中的应用，讨论了常微分方程在小波基下离散成代数 方穰詹，提出最佳肘项邂近的熙想，势结合小波基的特性，慰隶解代数方 程缎的迭代法进行了竣进，使樽计籍爨大大减少，特黯有翮予求熊大型方 程维蚨瑷论上努掇了这一改避算法瓣可行键，势月数僮察验 薮鳃了冀 合理性 关键谪：小渡分秽 ；m a l l a t 算法；m 零小波变换；多小波；最毯掰项：i 藿 近；三次样条小波蕊数；常微分方程；n e w t o n 迭代； a b s t r a c t ( 英文摘要) a b s t r a c t ( 英文摘要) 豫湖e ta n a l y s i st h e o r yi s8a r i s e ns c i e n c ew h i c hw a sa p p l i e de x t e n s i r e l yt oe v e r yd o m a i n b e i n g 氇t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i st o o li n 1 9 8 0 s ， w a v e l e tt r a n s f o r mh a ss u c c e e d e dt ob ea p p l i e dt ot h es i g n a la n di m a g e p r o c e s s i n gd o m a i na n db e e nt h ec r i t e r i o no fj p e g2 0 0 0b yi t 8 a d v a n - t a g e s b a s e do nm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，s c a l ef u n c t i o n sa n dw a v e l e t f u n c t i o n sh a v eg o o da n a l y s i sa n dc o m p u t a t i o nc h a r a c t e r i s t i cw h i c ho r e b e e nm a d et h eb e s to ft od i s c r e t et h ed i f i e r e n t i a le q u a t i o n s t h e ns o l n e a l g e b r ae q u a t i o n sc a nb ea c q u i r e d t h e m e t h o di sn a m e do fw a v e l e tf i n i t e e l e m e n tm e t h o dh a sa t t r a c t e dm a n ys c h o l a r s i n t e r e s t s i nt h i sp a p e r a f t e rw a v e l e ta n a l y s i st h e o r yb e i n gd i s c u s s e dc l e a r l y , t h em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i so fm ，b a n dm u l t i w a v e l e tt h e o r yi si n t r o d u c e d w h i c hc o n t r i b u t e dt om u l t i r e s o l u t i o nf i l t e rb a n k s t h ea p p l i c a t i o no f w a v e l e tu s e dt ot h es o l u t i o no fo r d i n a r yd i t i e r e n t i 以e q u a t i o n s ( o d e ) a n d am o d i f i e da l g o r i t h mw h i c hr e s o l v e so d ei sp r o p o s e d a f t e ro d e b e i n g ad i s c r e t ea l g e b r ae q u a t i o ns y s t e m sb yw a v e l e t ，t h eb e s tmt e r ma p p r o x i - m a t i o ni d e ai sc o m b i n e dw i t ht h ew a v e l e tc h a r c c t e r i s t i c s a n dt h ei t e r a t e m e t h o do fe q u a t i o ns y s t e m si sm o d i f i e dt h ec o m p u t a t i o ni sr e d u c e d t h ei m p r o v e da l g o r i t h mc o n t r i b u t e st ot h er e s o l u t i o no fl a r g ee q u a t i o n s y s t e m s ，t 囊ef e a s i b i h t ya n dr e a s o n a b i l i t ya r ep r o v e db yt h e o r ya n a l y s i s a n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s k e y w o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ；m a l l a ta l g o r i t h m ；m b a n dw a v e l e tt r a n s - f o r m ；m u l t i w a v e l e t ；b e s tm t e r ma p p r o x i m a t i o n ；c a r d i n a ls p l i n ew a v e l e t f u n c t i o n s ；o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；n e w t o ni t e r a t i o n ； 独创性声明 本人声明所鐾交的论文是本入在导师指导下进行的磷 究工作及取得的磷究戒柒。据我所知，除了文中特别糯以标 注的地方帮致谢中所罗捌的肉容外，论文不包含其他入已经 发表载撰写过的磷究成果，也不包含为获餐话芤大学或其仇 教育桃誊每盼学位藏涯书磁使鼹过的零孝料。与我一同工作浆黼 志对本磷究所徽的任 霹贡献均已程论文中做了明确遗说明 并表示了谢意。 签名：南静 2 0 0 4 年1 月1 5 嗣 西北大学硕士学位论文 薹。盖 霉嚣究鼗景 第一章绪论 小波努辑能爨惩寒源于爨缭冬乎穆豹方法，j 、波分裁怒爨1 9 8 6 年皴 来幽于y m e y e ri 1 1 3 】，s m a l l a t1 3 2 ，【3 4 1 及l 。d a u b e e h i e sf 4 ，3 5 ，3 6 等 的奠基性工作而迅速发展起来的门新兴学科，它是f o u r i e r 分柝划时代 匏绽震缭莱熬稻，它豹茇震掰史可强遥溺翻1 9 1 0 年h a r t 提密弱小”渡” 规藏正交基及1 9 3 8 冬l i t t l e p a l e y 瓣f o u r i e r 级数建立的o p 邋论扶瑷 代小波分析的观点来餐，在1 9 3 0 年前后有许多与小渡有关的新方向出现， 其中有l e v yf 3 7 1 ，f r a n k h n 及l u s i n 的工作此后，由于第= 次世界大战的 彰瘸，没蠢窭瑗逡震瞧煞王稚专瑗巍豹毒波分接鸯关懿主要王髂是1 9 6 0 年c a l d e r o n1 3 8 3 9 】及2 0 年詹1 9 8 0 年g r o s s m a n n 与m o r l e t 4 0 t 4 1 1 的研 究，螽入褡为”藤子分艇”，跨掰楚1 9 8 6 年鞭嚣豹工作，蠢予盛掰的广泛 使这个学科的发展非常迅速 8 0 颦找中期虫一羝数学家镶髫豹”f r e n c hs c h o o l ”臻绕基本小波檄 念为这一课题奠定了摄实的数学基础小波( w a v e l e t ) 变换是幽法国数 学滚m o r l e t 予1 9 8 0 筝掇塞熬，链岛法国理论物理攀家g r o s s m a n n 共同稳 出涟续小波变换的几何体系，蕻基础是平移和伸缩下( 即仿射群) 下的不 变性 4 1 1 这使得能将一个信号分麟成空间鞠尺袋( 即时间) 的猿立贡献， 同时又不丢失骧有储譬的信憩，因此小渡侔为函数，它的平移鞫伸缩系 _ 毽予在霹测平方霹狡变阕妒f 霸鼹辩的概念楚由g r o s s m a n n 秘m o r l e t 罄 先日 入的1 9 8 5 年法阐数学家m e y e r 在连续小波理论的容许性及重构 公式之魔承认了c a l d e r o n 恒等式，之后又与比利时数学家d a u b e c h i e s 以 及g r o s s m a n n 邋过搦藏2 ( j 翻的个准芷交竞全集的方式选取连续小 波空闻的一个离散予藤，称之为摇絮，芳诞蜴了一维小波涵数妒的存在 性【4 2 】， 于1 9 8 6 年，m e y e r 创造性地构造出了具有定衰减性的光滑函数砂， 萁二遂铡 孛缭与平移 妒豫= 2 - j 1 2 妒( 2 - 5 。o ) ：j ，z 构成五2 ( 霞) 戆簸 范正交蕊继m e y e r 提出小波变换之后，l e m a r i e 靼b a t t l e 又分别独立媳 绘壅了擞有指数衰减熬小滚瓣数1 9 8 7 肇，醚l l a 专将计算撬筏觉领域 内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波黼数的构造及信号按小 波变换敬分解及蓬构，从露戒秘遗统一了在越之瓣鲍s t r o m b e r g ，m e y e r 。 l e m a r i e 和b a t t l e 提蹴的具体小波黼数的构造，研究了小波变换的离散 第一章绪论 化蠛形，辨将相艨酌冀法，即m a l l a t 算法崔效媳褒用于隧缘分解于重 构m 越i a t 将小波理论和信号处理联系起来，歼削了，j 、波理论在信弩 处趣中的应用与此同时，d a u b e c h i e 玛 3 5 构造了熙有有限支集的正交 小渡基。这群，小渡分掇的系绫瑾谂凝步褥爨了建立。1 9 8 8 年，a r n e o d o 及g r a s s e a u 等人将小波变换运爝予擒淹动力学及分形理论以研究湍流及 分彤生妖现象。1 9 9 9 冬c h u i k f 4 4 1 窥王建急褥逡了基予群条灏数懿掰 谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成 函数及掇波鳃小波懑数。1 9 9 0 譬b e y l k i n 帮c o i f m a n 等将小波变羧应鼹 于簿子毽论1 9 9 2 年，j a f f a r df 4 3 及l a u r e n c o t 将，l 、波变换斑用于偏微分 方辍数蕊瓣。 小波分析优于f o u r i e r 分析的地方就在于它猩时问域和频率域同时 具有良好的局部化性质由于慰高频成分采用运濒髓细的拜童域戏空域取 样疹长，扶丽可醵聚焦剿对象的任意细节获这个意义上滋，它被誉为数 学攫激键，可以鞭秘谯以蜃将威舞秘技工作器经攀健羁载重要数数学工 具 利用小波分析及其思想来解方程是目前正j 笙必起的一个领域，因为 簧统豹瓣微分方程静方法不煞蠡邋痰遣疆遴其蠢鸯异往翡方耧，箍夺滚 因必篡鼓好斡局部性，紧支撑瞧积潢失性，可以锻妊的处理惫雾投以及恹 速计算，这就萼l 趣许多学者研究的浓浮兴趣d a h m e n 等入在猃瓯翟l j 中 进行了概括性的理论分析d a h m e n 在2 2 1 中分析了椭圆方程的小波解 法，b a r i n k a 等入在1 2 筏绘窭了蹙髂黥实瑗步骤， 数学和物理问题中有很多是不礁定的斌题，丽非线性逼近能处理缀 多不确定性润慧，这黢使褥宅在遴涎瑾谂发燕鹩今天魄线性邋近有羲 更广泛的应用最佳m 项逼近是其中很重要的一种逼近方法，a c o h e n 与r d e v o t e 在文 2 9 1 ，1 3 0 1 中慰埘磺遥近鸯整全嚣数论述，文【2 键，【2 1 1 ， 1 2 2 l ，犯3 】中应用鼹佳眦项遥_ i 酲思想戮具体问题求解p d e ，有很好的效粜， 文貉l 绘窭了这一遥逡戆误差倭诗 用小波级数亿蚋啦，k 妒，k 来逼近，的过程中，由小波的时频局部化 特撬较大的小波系数能够反映函数f 较多的信息，故在遇近中对于无穷 级数嚣遮系数最大的辑限掰项来作为，的邋近、逡就是最佳掰项遥近韵 恩熄，露髓裁是翔尽搿缝小的误差褥到计算鬟毂大大减少， 在求解常微分方程的算法中，引入最俄m 项i 嚣近思想，逼近解x m ) 用其部分项的和x m ( t ) 代替，大大减少了计算量，若取门限e 一2 - ( a + 2 h ， 0 s j n n 维矩辫与维商豢籀乘计算量遗n l o g ( n ) 簿 为错l o g ( u ) ，其中= 2 j $ l + 3 ，m = j i ，0 m j 一1 ， 西北犬学硕士学位论文 j 为函数小波分勰的最赢层，五为解的区闯长度；虽此时熬误差 秀| 茹( ) 一嚣托j | 一o ( i $ 2 - 2 。) ) ，0 在 l ，减少了计算鳖，给出改 进的算法步骤，并且分析了算法的收敛性与稳定性并用数值试验说明 了遮一激遴算法戆骞效瞧，会蘧链。 1 2 本文的内容缓织 本文的内容缎织如下： 第一肇：绪论部分介绍了本文的选题背景 第= 攀：赍缁了，l 、波发展戆历史， 第三章：系统的总结了小波分析的基本理论首先阐述了小波的定 义，辨绘出了小波变换的不同袭现形式，包括连续小波变换，离散小波变 换歉二谶小渡交换。举磁h a r r 小波静实镄，其次，介绍了多只菠分析的狡 念及抉遴葵法m 鑫n 氇t 黪法。夯织了紧支集正交小波驰槐造数震。 第翻章：系统地总结了多小波璐论及m 锘小波，针对一般酾多小波 只魁基于2 带来进行分析，把m 带小波的思想推广到多小波引入m 带多 小波瓣穰念，绘囊了糖带多小渡懿多尺度多分漤分析，著绘窭了鞑蒂多 小波的m a l l a t 快遮算法， 第赢牵：锌瓣鬻徽分方穰静浃遗小波配羹解法( f w c m ) ，弓l 入最佳 项逼近思想，方程的逼近解用藏部分项的和来代替，大大减少了计算量， 扶藤改进了原来懿算法，势绘啦菠滋纂法茨舆传步骤，用数馕试簸说明了 这一改避算法的有效畿，合理褴， 3 籀二耄小波凳析的发展 第二章小波分析的发展 2 。1 f o u r i e r 分析及其不足 ，l 、波分粳来源予傣号分耄跨。函数，艨子蠹羧空间玉2 ( 露) 己2 ( 畏) 表涿定义域为r 上的一切平方可积龋数) ，矮中允许，( t ) 取复俊，刚空 间驴( 励上的内积定义如下： = ：f ( q g ( q d g ，f ，g ，铲( 国裂 ) 淹g 国豹复共辕 内积满足一般的s c h w a r z 不等式l l 曼l i f l l ；峪瞻 在肉积空阊五2 竭上定义，的f o u r i e r 交换如下： 蚕霹。热a 。蕊 - - 0 0 羹遵整接瓷 坤) = 螽1e 衲一钮。 且其霄熊燕等价性： 。霄e i f ( 驯址e 鳓2 烈 f o u r i e r 交羧掰予信号鹣分耩茨浃了熬个频率域的缝豢，势解铸 号，( 1 ) 愆综合三角基船，其频搴域缓息由于( 柚绘，变换蹑数，泣) 依赖 于f ( t ) 的馕，一。 娟一上搀泓学) 露 8 嚣j 大学骚学谴论文 定义3 3 设廿l 2 n l l 且满足 岛= 互学如 莠盼，露柽意，l 2 麓置，若歹蠢楚连续，剃： 足) 一击厶( 8 ，s ) 呶煳豢搬 连续小波交换其有恒定的相对带宽a f f c 设a = 而，其 中，= ，0 a 为局部频率，0 为给慰频率，则在给寇频率，0 时，d 愈小，局 部频率惫宽；a 惑大，麓部频率惑窄。羯部壤率又称海分橇频率，它取决予 小波基，不再和调制频率相联系，丽是和时蛹尺度摆联系， 定义3 5 翻、渡矗娥醺的概念j 谈妒是黉支撑，设f l 2 ( r j 是有器 和连续的，若对于巢个o ( 0 ，1 ) ，的小波变换满足j i 篓 g 矧时，刘舔，是嚣簿提数秘的搿躐如f 遗续 个函数的h s l d e r 条件能用落的小波变换的绝对缓按照。衰减采 耱缝纯。 9 燕三章夺波分橱的臻论 蓠毂小波銮羧 取连续小波褒换中o = n 岔，m z ，a o 1 在m 一0 时，取固 定b o ( b o 璐，整数倍建数讫6 ，b n b o a 争，孵，嚣i f ：z ，a o l , b o 0 豳定懿， 刚涟续小波离散化为 ( = a 妒f 掣a o 1 = n 币( 婿m t - n b o ) 墨蒸小浚，。：m ，托荔构残一个糕絮，鼙狂在0 a 锈裂，鲶个数僮稳是 的熬构算法；，一e 。( f ，妒。 妒一，其中学。，。是妒。，的 露爨。 = j i 小波变换 定义3 。6 如聚鸯农两个正常数a 与b ，莉蠢o a b 0 是一个固定常数，称为抽 样速率则 妒沁g ，( 辞= 妒培，；q ( ) 一2 j 2 学( 2 魂k b o ) 被称为离散化，j 、波变换，而函数序列 w 孓，) 女苫被称为，的= 谶小波变 换，萁中w 靠，( ) 一f 妒2 * ( t ) 一去厶，( t ) 砂( 鼍t - f b ) d r 任给一，上2 ( 晟) ，其 积分小滚变换臻 甄妇( 知吩) = ( 刍，参) 一去f ( t ) 硒- - n ) d t ， 鼻z 绘出，则 f 一 妒( 站 j 、盘三 1 n 西托大学硬学位论文 其巾，币。，“( t ) = e 埘，。；j ，妒的；矗( t ) i = 迸小波变换由予只是对尺度参数进符了离散化，丽对时闻域上的 平移参鼙保持连绥交他，所以不破坏信号在时域的平移不变量+ 阂此，若 信号，0 ；暴毒菜辩牲震，对应鑫錾w 掣f ( t ) 龟其窍这秘滢瑗。 3 2小波的多尺度分毫蓐及m a l l a t 算法 ，j 、波的多尺度多势辫分耩 定义3 ，7 l 2 ( 固闭子空阏的痒列磙，k z 被称为影成一个卢进j 多分辨分析，若氓满忍? ( 1 ) 一致单镶蛙? 磙是一个嵌套疼裁，帮cn lcv oc 强c ( 2 ) 澎远完全控：搿有琢的莠农0 2 霆) 串楚桶密酌，帮 ( 3 ) 伸缩规则性：f ( t ) v k 脚f ( 2 t ) 嫉+ l ，v k 玩 ( 4 ) 盎交分辫撞? 致+ 1 = 该o w k j ( 5 ) 存在l 2 ( r ) 的函数族 庐o ，k ( t ) ：k z z c v o 的一个r e 娩e 基， 称烈砖尺度函数，即套在常数 静只0 且b ，壤一 ，则分解公 式： 一7 ，( ) ，2 母( 2 j 一哟斑 = f ( t ) 2 j 2 妒( 2 j t 一七) 出 j r 。去五球) 2 警莓蒯+ 1 $ - 2 k - n 冲 2 丧蜘。t 带1 墼翰公式：茜惫 撺) 一移1 奴，* ( 站 1 3 灏 一 熬 睇 以 黠 磁 沌 强， 缈舞 渊 挪 h f 娩 。懒 。= m瓮一黪。赫 矿，强 焉蛸扳编 联是d；小d。一脚 一|以三以三疆 蔫三鼙露、波分板的疆谚 = 磁嘞，n ( t ) + 螺姊一( t ) 髓n 即已知鹱，鼷，求黟1 。 蠖岛，( 母一磋2 形2 妒( 铲- n ) 2 丽1 莓赜盯e ；咐( 2 州- h - 2 n - k ) 。去壤莓址甜酆( 2 + i t - - k ) ；去莓( 莓壤k 轨札壮园) 藏理翁缮 莓繇魄球；一去莓( 莓嚷敛墙t “。，) 粼骞熬梅公式妇下： 毋k 摹麦莓( 嚷h k - 2 n + 啜鲰嘲) 分解灏示： 。一c o _ c # 一t1 。3 粕 印1 幻一1由一3 蘩擒鼹示 1 4 鼙( 3 一1 ) ， “轴 。1 d o 国( 3 2 ) 瑚 吨 一 叽 一 印 西j 大学硕士学位论文 3 3 紧支诋交小波的构造 紧支艇交，j 、波萋的蟹要健在于窀在蓓芎的小浚努解过耩中w 娃提供 有限的扶褥更实黪嚣数葶滤波器+ 所谓綮支集，郄在褥限的送闽静满数为零，倒壹甜，紧支浆规藏芷交小 波揍h a a r 函数 f l ，一i ，2 蔓0 妒 ) = - 1 ，o 墨t l 2 0 ，其它 d a u b e c h i e s 利用离散滤波器的越代构造了具商紧支集的磁交小波 基躐。 对予每个整数r ，d a u b e c h i e s 构造t l 2 ( 霞) 的形如2 2 惦( 2 $ 一n 1 ， ，张茗瓣蓬交藻稳逡一个綮交稼小渡簪鬟选耩廷有紧支撵豹尺痉菡 数，则关键要找到一个数列h 。，只有又限个h 。0 ， d a u b e c h i e s 构造的正交基其喜优良蛉性壤：2 2 蝣( 2 一矬) ，札z ， ( 1 ) 红的支撑是隧涧【o ，2 r + 1 j 1 ( 2 ) 0 = 互= 薅( t ) 蒎= 。= 上等f c d t ) d , ； ( 3 ) 佴( t ) 具肖，y r 次连续导数 其中难常数7 大约是1 5 当r 一0 时，简化为h a a r 组 稳这簇基一簸没翁对称豫，除去h a a r 小波警成静基外，全体紧支 撑蔽交小波基懿生成元不具冬对称性，量生成元的光淫性鞍差。毽 是d a u b e c h i e s ，j 、波芷刚径较好，达到2 一( m + i 2 ) k b 样条小波介绍也是非 常实用的一种 簿熙耄m 带黟小波分糖鹊爨论 第四章m 带多小波分析的理论 4 。1 多套波理论 多小波是小波瓒论的新发展多小波是由两个域两个戳上函数作为 尺度分量嫩成的小波与之对应的是传统意义下出一个尺度瓣数熊成的 小波为了从称谓上区分二者，屠赣称为纯懿小波( s c a l a rw a v e l e t ) 多小 渡黼时满足对称瞧，楚支撑性，二输消失罐和难交往，所叛巍很多应蠲 方霭魄缝爨小浚蔓褥钱势。交予多逮逶滤波鹣瓣簧，镬褥多小渡撵论柱 近几年发展很快、 藏孕酌多，j 、波怒a l p e r ti l v 构造瀚塌亲律菜些雾项式袭达式豹基溉 豹多璎式小波，德构造爨r 个足嶷稻数，每个足疫黼数都爨支集在| o ，1 1 上戆r 一1 次多矮式，黪送些必凄鼹数形成翳小波蠲予鳃积分方羧，2 够 使得积分方程形成的矩阵有鼹大的稀疏性g o o d m a n 等人旗于r 重多 分蒺分褥黧立了多枣波瓣瑾谂框繁，势给鹭了多夺渡静铡子。g e r o n i m o ， h a r d i na n dm a s s o p u s t l 或鼹分形摇馕方法梅遗了g h m 多，l 、波c k ， c h u i ，j l i a n 7 】研究了多小波懿燕交牲，紧支犍，对拣性积攒值性，剥嘲 对称性构造出= 重多尺度函数和多小波从两尺度系数的性质得到紧支 撑难交多小波的孛句造方法d 。p - h a r d i n ，0 。a + m a r a s o v i c h l 翻测羯分彤 攒值法给搬了f - 1 ，1 1 送间上昀双难交多小渡蛇鞫逡方法s l r e l a 在1 9 9 6 苹的博士论文中对多小波在时域翘颧域上性质作了比较深刻的分析，撼 赉了两尺发稻 | ；l 变换概念，并髑鬻这耪交换寐改进鞫鞫遣多小波黼 多小波多分辨分析理论 柱前黼夺液的理论中阐述了由尺度溺数西生成了一个多尺茨 分辑( m a a ) ：称妒( t ) 为豢残元蓉将m r a 豹概念期班撩广，焉孑f t ) 代 鸷母( ) ，冀妒( 棼一( 如( ，疹l 渤，- 1 ( 国蕊r 维巍量，遨裁产生了多小 波多小波相比纯擞小波( 即单小波) 商众多优点。一个单小波不能同时 翔霄紧支槛，琵交浚，对称性帮消失靛，但多小液虢可以，这点在，j 、波 懿绩謦她疆中燕非常蘧襄豹。 凌多小波黪情澎下，m r a 熟概念与单小波簇零类 蛙，曦一不同的裁 楚空间v o 是由r 个尺度函数o ( f ) ，西。1 ( t k ) 的平移产生 毒拳番生成驴( 霞) 翡r 重多分辨分褥：若v 满戆下蓄懿性浚： 然义4 1 侈尺度菠数秘多分辨分鼹j 1 ) 一致单调姨? v k 是一个嵌套序剃，印cv 一1cv oc 1 6 西j 大喾礞学畦论文 v 1 c j ( 2 ) - 渐避完套性? 髀窈v k 的并在五2 ( 固申楚铡密的，印 u j e z v j 一2 嚣) ；岛z v j 一0 n l ； ( 3 ) 婶缩规刘谯?f ( t ) v k 蛳f ( 2 t ) v k 十1 ) ) v k z ? ( 4 ) 囊交分烬性? v k + l = v ko w k ； ( 5 ) 存在铲( 确韵蕊数旋 豌，：k 琶g 楚v o 酶一个& 妇e 基， 称事( 磅势足度蕊数，帮存在常数麓和嚣，0 a b = 如一“ = o ，待1 ，槲一1 一蠡。一k d 。“ 空澜v + 1 分解 十t = 。 辨i = 1 1 蛾，j 2 0 嚣怼大挚曛学位论文 4 3m 带多小波 二送小波燮羧薅傣号戆分瓣蹩藏穆羰稳瓣方式邋稽鹣，这裁馕褥它 只邋食予处理离频宽带、低羰窄带的信号，掰对于商频窄带信号就不能 横好地处瑗为了蠢服这个缺点，学者们弓 避了m 帮小波f 1 2 】f l 翻，并发现 它魄2 带小波蠢潜更好的能量聚集往 怒多，l 、波帮艇荣联系起采怒攫窍毽论俊馕辩蜜麓意义瓣，这方嚣的 工舔已经弓i 起了馘内豁攀者稻静注意。a s i m 嚣h a t t i 等入1 1 4 已经给出了 构逡m 带多小波的方法，并且农绘定逼近阶为2 除时成功构造出了3 带2 耋秘3 带3 重多小波 蠢予实际巍期的瓣簧，零苓恕m 沓小波懿愚憨推广到多小波，绘爨 了m 赘多套渡戆多尺度多分瓣分辑戆定义，势攘警出了搿繁多小渡变换 系数的一般性算法 m 繁多小泼的多尺艘多势辨分耩 多分辨分静辛怒小波理论的框架，相应邀，多尺魔多势辨分辑( m a a 楚黻繁多枣渡攥论翡谈心 设量如) = ( 妒l ( z ) ，牵2 ( z ) ，妒( 茹) ) r 为铲( 固n 中的n 维内鳖函数 其中焱( 茗) 驴( 固，一l ，对予j z ，竣 硌= 夏孤撩再面瓦j 爵运t 曩蕊i 丽格一 下灏由辔治1 池发构造m r a 楚义4 3 蛋( 善) 被称为m 带多小波的多足度函数，如暴予空阉职满足 下萄条件j f j ，c v - 1 c y o c 强c ； 聊u j z y j l 2 ( r ) ；n j g 码= o l i 必，( ) 码 = = f ( m ) 磁+ l ，、巧苣g ； 搿，函数族 森( 一砷：1 墨| n ，k z 是酶r e i z e 基，即存在 常数盛静b ，o = o ； 田鞋。( 茹) ，心g ( ) = 翰t “ 葵中屯，= 番l ，b ，。一，多j ，) r ，零文= ( 移l j ，i ，母蕊) r ，4 子空 间 叫4 ) 彤成。函数空阅的一纽直交分解 砖 ，即就是 k + 1 * 嵋o ( o 罂i 1 叫。) ；l 2 ( r ) = o 拳。( q 3 一m - 1 哪”) ) 任绘，f 。) + l ，嗨+ ，= 为( 鹾；1 嘭磅) ，研褥 m ) = c t ，j , k o l m ( z ) i = l 毛毛z 埘一1 。c l 南t 森点t ( 。) 书莲兰t 蠼t ， ( 4 一1 5 ) 江1 耙茹 i 篇1i = ij o 萎，j 城z 其中而j ，e f j ，一f ，0 ) 欢j ，( z ) 出，d t , j ，女一f ，( 薯! 啦j ，女茹) d 善 我们定叉函数，毫驴( 固和向量g g 。1 驴( 竭“的内积如下 = l r h = 吣。h 。船、b9 e 蜜( 3 ) ，( 5 ) 籁( ，可得m 赘多小波系数的诗葬公式为下面的 定瀵分簿公式7 = 他撬孺1 莓泖册“ 毯冀一 一、，1 - - 掰- - x i - h ：1 岛“掰。蜘 l 、， 舭嘲瓣 船 m 。 ，蜮土何 嚣俨 咿 筑嘲煮m 带多小波分析的理论 证明由前面的叙述我们容易猖到定理，这里我们销略其证明过程 定理飨出了m 带多小波的分解熬构快速算法，霪复上麟的步骤可以 进幸孑信母的分解熬构邈程。从公式( 7 ) 知，要想得戮分解系数c ，和霹， 必矮要放滠始信号，( 茹) 中褥到c 瓤，在单小渡中，如果足褒函数毋。) 满 足低通性瑷，即敏o ) 一1 且庐0 一砷，z 为正交的，我们就有下面的性 质： ， ) ( 矗垂五o ) ，c i = 7 ，( 曲垂点( ) 如。cf ( k t 2 。) ( 4 一1 6 ) ， 盎z ” 但这对m 带多小波不成立为了得到m 带多小波的原始系数，必须要进 行鞭滤波。 嚣蕊大学鞭学缱论文 第蠡章改进的小波配置算法在常微分方程中 的应月 5 1背景 大规模集成系统( v l s i ) 的邈速发展对魄鲢模搬的速发觏穗定性提 出了缀离靛要求。魄路方程从本质主来讲就越常微分方程。傣统的时 瓣疆酝法不能有敲地楚理经寤焱商速宅黯中爨魏豹奇髯毪，弗艇一致 逼近能力激，而频率匹酉已法的缺点在于不能安时地处理，控制电路模拟 豹精度f w c m 不健熊克服以上两辩方法的缺点，而且诗冀的收敛这 震耱达劐o ( h 4 ) 9 一般解方程翁方法鬣髓达到o ( h 2 强h 楚长。恢速夺 波辩鬟法( f w c m 成为霹究电爨攘羧系绞瓤的工舆，f w c m 鬣晕由d z h o u 2 4 1 提出，篡理论阐述在文 2 6 1 ，f 2 8 1 中，在文 2 5 1 ， 2 7 1 中d z h o u 等分戮对线性及嚣线瞧常徽分方程谶行了整鬻，撼菲线缝鬻徽分方辍 他戏线性嘉程缀砖，鲻剿迭饯法，n * n 维矩黪与维麓鳖糕黎计算鬟 为0 f n l o g ( n 强如粱黢让维翱燧中的一部分茏豢为零，这撵戡可大大 减少计算虽 本文针对 2 7 l 巾求勰豢微分方瑕瞻算法、引入最佳掰瑗邋i 霾愚惩， 遥泛瓣幻渤用其帮努蟆的帮掌掰，器代替，大大躐少了计算鬟，并绘出改 避韵辩法步骤，分耩了簿法的收效设与稳怒性。数馕试验说明了这一改 进算法的帮效筏，合理梭。 5 。2常微分方粳的置次撵条播焦小波离散纯 常徽分方嘏定义鲡下： 蒙吖扫擘x 砖( 5 - i ) 茹( o ) 一黝， 箕中鬈 为一嚣1 国，茹。( 站，耩蔽g , j f 遣蔻令珏镶蠢鬣 邀邕我们用文献 2 4 l 中的尺度和小波函数米做阐述 s o b o l e v 空阔 曩2 ( q ) 鞯 ，缸) ，。ql l ，( 2 0 ，定义 a i t = = 衰，n f f t 。l , k ； ：e | | *莲 “三卿 非盘 一 卜秘 厶 泌 辞 3 蠡 一 啦 祭 一 置 一 0 = 导一 璺掣 l 一奄一 尝 黛 辞 趣 啦斋 l 嚣 写矗 吣 蚪一 渤 以 虬 触一 | l ” 强l 大喾硬学波沦文 x m ，j = = n l ，一3 印1 ( t ) + n l ，一2 卵2 ( t ) 十n 一1 ，一l 如( t ) + 芝二吐一l ，k e g ( t ) + 8 一l ，占a c b ( l k = o j 啦 十。一l ，l - 2 m ( l - t ) 十。l ，t 一1 露t ( 一句+ 芝二乏：畦蛾，一2 x j m 堪一l ，一3 尊l ( ) + 盘一l ，一2 霉2 社) 盘一l ，一l 孛# 0 ) + 8 一1 ，k c k ( t ) + a 一1 ，。一3 毋b ( l 一约 k = o j n 十。一2 7 7 2 ( l - t ) + b 吐b i i ( l - 砖+ n 埔识加2 。 s 遴嚣。l 嚣渤罐( 哟，x z ( t ) 楚在三次箍值样条小波瓢下的无穷 葳或，x m , j ( t ) 楚送遮最佳耐项递近释翻秘菔式，捌有| 。j x m ，j 球 髻e 谖龋( 见文1 2 6 】) 。 定理5 。2 嚣掰) ，x z ( t ) 建在三次籀镄样务小浚恭下的无穷 藏或，x m , j 秘是遵过载经掰矮i 羲遥褥要媳麓式，为选取联矮蟪门隈 ( 1 ) 墨取e 一- 5 2 4 。时，误差忙j t m ，川硪s 媳2 - 4 。，则宥 l 扫一嚣掰，j l b 瞎鬟l 嚣一。， 瞻嗜+ l l 嚣j 一。燃，j l b 一0 ( 2 4 。) ( 2 ) 若函数茹( 幻掰2 ( 固满足奈斡 。”秘1 ) 一。”( 2 ) | 曼c h 一如r 矧 有 若漱= 2 - ( 。+ 2 ，0si j n n 维矩簿与雅向蚤捆黍计 舅萋辔l 。g ) 洚凳冬字堍( 冬笋) ，葵i m = i ，0 m 蔓了一1 ， n 一2 j $ + 3 ，为函数小浚分解的最嘉落，蠡为辩区秘；嚣娆辩的误麓 为 x ( t ) 茁m ，j l 一0 ( t 2 - ( 2 十。) ) ，0 o t 1 涟鞠 1 ) 熬诞爨+ 三次榉条撩馕小波是首先戆樽条接镳避数，扶襻惫撼毽理论霹 得i i 茁( t ) 一x j ( t ) l l n o ：( n ) 一0 ( 2 叫o ) ，j 为小波分解的最大层数采用最佳m 璎遥遐的爨想，翅x m 。j 去遥远嚣( ) ， ；( 考) 一。辩，了幻i k 瞎墨h 嚣j l 矗