（应用数学专业论文）时间尺度上动力方程的广义拟线性化方法.pdf

摘要 摘要 本文借助于广义拟线性化方法讨论了时间尺度上动力方程的逼近解问题广义拟线 性化方法的主要思想是在方程存在有序上下解的假定下，通过构造出相应的单调迭代格 式，得到逼近解序列全文共分四章 第一章简述了时间尺度上的动力方程和广义拟线性化方法的物理背景、现状以及本 文的主要工作 第二章介绍了时间尺度上的基本概念，并给出时间尺度上的基本运算及其性质 第三章借助广义拟线性化方法，讨论时间尺度上强迫项为三项和的动力方程的逼近 解问题通过单调迭代格式，得到收敛于方程唯一解的迭代序列，并证明该序列具有高 阶收敛性 第四章主要考虑时间尺度上具有耦合上下解的动力方程，利用广义拟线性化方法得 到了逼近解序列，并且序列是偶数阶收敛的最后给出两个例子加以验证 关键词时间尺度；边值问题；广义拟线性化方法；收敛；上下解 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eg e n e r a l i z e dq u a s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt oi n v e s t i g a t e a na p p r o a c ht ot h es o l u t i o no fd y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e s t h ep r i m a r yi d e ao f t h em e t h o di s ，u n d e rt h eh y p o t h e s i so fo r d e r e du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n so ft h ee q u a - t i o np r o m i s e d ，t h es e q u e n c e so fa p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r eg e n e r a t e d ，b ye m p l o y i n gt h e a p p r o p r i a t ei t e r a t i v es c h e m ec o n s t r u c t e d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，p h y s i c sb a c k g r o u n do ft h es t u d yw i t hr e s p e c tt od y n a m i ce q u a t i o n o nt i m es c a l e sa n dg e n e r a l i z e dq u a s i l i n e a r i z a t i o ni si n t r o d u c e da c c o m p a n i e dw i t hs o m e p r i n t so fp r e s e n tw o r ka sw e l la st h em a i n w o r ko ft h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，b a s i cn o t i o n sc o n n e c t e dt ot i m es c a l e sa r eg i v e n ，a n dt h e nt h ec a l c u l u s o nt i m es c a l e sa n dr e l a t e df u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa l s oa r ep r e s e n t i nc h a p t e r3 ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n so fd y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e si n v o l v i n g t h es u mo ft h e r ef u n c t i o n sa r ed i s c u s s e db ym e a n so fg e n e r a l i z e dq u a s i l i n e a r i z a t i o n t h e m o n o t o n ei t e r a t i v es c h e m ei se m p l o y e dt oo b t a i ni t e r a t i v es e q u e n c e sw h i c hc o n v e r g i n gt o t h eu n i q u es o l u t i o no ft h ee q u t i o n s ，p o s s e s s i n gc o n v e r g e n c e sr a t eh i g h e r i nc h a p t e r4 ，d y n a m i ce q u a t i o no i lt i m es c a l e sw i t hc o u p l e ds o l u t i o n si sm a i n l y c o n s i d e r e d ，a n dg e n e r a l i z e dq u a s i l i n e a r i z a t i o ni sd e v e l o p e dt og e ts e q u e n c e so fa p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，w h i c hc o n v e r g e n c e sa r ee v e no r d e r f i n a l l y , t w oe x a m p l e sa r ea d d e dt o i l l u s t r a t et h er e s u l t so b t a i n e d k e y w o r d s t i m es c a l e s ； b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ；g e n e r a l i z e dq u a s i l i e a r i z a - t i o n ；c o v e r g e n c e ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 关逾纹日期：塑1 2 年二月，- 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“) 作者签名： 导师签名： 日期：坦2 年么二月正日 日期：垆乒月上日 第1 章引言 1 1 课题的历史背景与发展 第1 章引言 随着科学技术的发展，非线性问题在自然科学和社会科学领域的作用越来越重要， 也越来越受到人们的关注在物理、化学、生物、工程技术，甚至社会经济等问题中都存 在着大量的非线性问题，这些问题的研究终究可归结为用连续系统或离散系统来描述 2 0 世纪8 0 年代末，在导师b e r n d 指导下，德国w i i r z b u r g 大学的h i l g e r 在他的博士 论文中最早提出时间尺度( t i m es c a l e s ) 的概念，并为在时间尺度上进行研究做了奠基性 的工作他注意到人们对连续系统进行研究以后，往往又对相应的离散系统进行研究， 在一般情况下两者可得到相平行的结论，于是定义了时间尺度上的动力方程，即方程的 未知函数的定义域取于一个时间尺度t 当= r ( 定义域是实数集) 时，时间尺度上的 动力方程就退化为连续方程；当面= z ( 定义域是整数集) 时，时间尺度上的动力方程就 退化为离散方程由此可见，时间尺度为连续系统和离散系统提供了一个统一的结构框 架所以，时间尺度往往蕴涵着许多更一般的理论，它在近代理论发展中起着重要的作 用 时间尺度上的动力方程在许多领域均有出现，并且对这些领域中的数学建模及其研 究都起着相当重要的作用，例如：各式各样的热传导过程、反应扩散过程、以及在生物 数学中都会用到这类方程。尤其值得注意的是，时间尺度上的动力方程可以描述诸如种 群变化的模型例如，一类昆虫的数量从四月份到九月份以一定的增长率连续地增长， 而到十月份它们却突然死亡，但是它们的卵到来年四月份又开始孵化，此时，此类昆虫 的数量就又以一定的增长率增长在此过程中可以看到既有连续状态又有离散状态，因 此，我们可以借助时间尺度上的动力方程对其进行描述 另外，如何求解非线性问题也是广大数学和物理工作者研究的一个重要课题关于 非线性问题的讨论，许多学者已经找到一些解决问题的方法，其中包括不动点定理、上下 解方法、单调迭代方法等但在考虑逼近解问题时，人们往往从一个共同的思路出发一 一用一列单调逼近解去收敛于原问题的解，在大多数情况下，所构造的逼近解序列是线 性( 或一阶) 收敛的到了2 0 世纪，随着现代科学技术和其他各数学分支的深入研究， 人们感受到了原有方法的局限性从而，对逼近解序列自然会提出这样一个问题：在保 河北大学理学硕士学位论文 持单调性不变的情况下，逼近解序列能否冲破线性收敛? 也就是说，逼近解序列的收敛 速度能否得以提高? 逼近速度的提高既意味着计算量的减少，同时也节省了计算时间， 因此许多学者对高阶收敛问题产生了浓厚兴趣 在1 9 5 5 年，b e l l m a n 1 2 】在给出r i c c a t i 方程解的简单表示时，最初提出了拟线 性化方法。接着，b e l l m a n 3 】和k a l a b a 3 - 4 1 用此方法研究了一阶非线性微分方程近 年来，拟线性化方法又有了迅猛的发展，出现了许多新的结果，因此，对拟线性化方法 加以拓广就变得十分自然和必要。上世纪末，l a k s h m i k a n t h a m 5 - 6 ，8 1 1 】等人在减弱 条件( 不要求强迫项仅为凸函数或凹函数) 的情况下总结和推广了此方法，故把推广的 方法称之为广义拟线性化方法，并且使其备受关注然后，对此方法的研究，大多学者 一方面着重于减弱其收敛条件，另一方面着重于将其运用在不同的系统上，其中有微分 系统 2 7 】、脉冲系统 7 】、偏微分系统 1 3 】等目前，在微分系统上，广义拟线性化方 法已得到广泛应用和研究，参见专著 2 7 】和文献 5 - 6 ，8 1 2 ，1 6 1 7 由于广义拟线性化方 法有加快逼近速度的优点，因而它在科学计算领域被频频地应用 2 0 一2 1 可见，广义拟 线性化方法有着极为广泛的应用空间 在2 0 0 0 年，a k i n 【2 5 引发了在时间尺度上对边值问题的讨论后，基于广义拟线性 化方法，e l o e 和a t i c i 等学者对时间尺度上的边值问题展开研究，且取得了许多重要的 成果在文献 1 4 中，e l o e 研究了边值问题： z = f ( t ，z 口( t ) ) ，t r 七，x ( a ) = a ，z ( 6 ) = b ， 其中假设厶( t ，z ) 0 ，厶。( t ，z ) 0 成立文中借助于拟线性化方法推出了类似于【8 】的 结论文献 1 5 推广【1 4 】中的研究形式，方程如下： 一x x v ( t ) + q ( t ) x ( t ) = f ( t ，z ) 4 - g ( t ，z ) ，t 【a ，6 】， z ( p ( o ) ) = z ( 6 ) ，z ( j 口( o ) ) = z ( 6 ) ， 其中q ( t ) o ，t a ，6 并且口( t ) 连续当f ，g 满足厶z ( 亡，z ) o ，如z ( ，z ) 0 时，文中 同样得出类似于 8 】的结论 后来，a t i c i 和t o p a l 1 8 】探讨了下面的边值问题： 一x a v ( t ) = f ( t ，z ) + h ( t ，z ) ，t a ，纠， a x ( p ( a ) ) 一z ( p ( n ) ) = o ，z ( 盯( 6 ) ) 一6 z ( r j ) = 0 ， 其中o ( b ) 0 ，o ，p o ，q + 0 ，r l ( p ( 乜) ，仃( b ) ) ，0 6 1 在下面的条件； ，。，( 亡，z ) 0 ，0 1 ； t = h z = o ； t = t k f k z ) ，其中t k r ，t k ) 和p ( t ) = s u p s t ：8 t ，我们称t 为 右散点( r i g h t s c a t t e r e d ) ，而如果p ( t ) 0 邻域u = ( t 一6 ，t + 6 ) ct ，使得对所有的s u ，都有 l ，( 盯( ) ) 一，( s ) 一厂( t ) p ( 亡) 一s 】i e i 盯( t ) 一s i ， 那么称厂( 亡) 为，在t 点的导数 类似的定义函数，的v 导数：对于函数，：t _ r ，t t k ，如果对任意的e 0 ，存 在t 的j 0 邻域u = ( t 一文t + 6 ) ct ，使得对所有的s u ，都有 i ，( p ( ) ) 一f ( s ) 一f v ( t ) l d ( t ) 一s 】i e l p ( t ) 一s i ， 那么称f v ( t ) 为厂在t 点的v 导数 注2 2 1 如果t = r ，贝0 ，( t ) = f v ( t ) = 厂7 ( t ) ；如果t = z ，贝0 ，( t ) = a f ( t ) = ，( + 1 ) 一f ( t ) 且f v ( t ) = v f ( t ) = f ( t ) 一f ( t 一1 ) 下面我们将给出两个关于导数和v 导数性质的定理 定理2 2 1 假设函数，夕：面一r 且t t 七，则可得到 ( i ) 如果厂在t 点可导，则，在t 点连续 ( i i ) 如果，在t 点连续且t 是右散点，则，在t 点是可导且 牡吗产 一6 - 第2 章时间尺度上的基本运算 且 且 ( 饿) 如果，是可导且t 是右稠点，则 f i x ( 归l 州i r a 等掣 ( i v ) 如果厂在t 点a 可导，则 厂口( t ) = ，( ) + 弘( t ) 厂( t ) ( u ) 如果，和g 存在，且g g 仃0 ，则 ( f g ) ( ) = f i x ( ) 9 ( t ) + f a ( t ) 夕( t ) ( 挣) = 趔铲 定理2 2 2 假设函数f ，9 ：t _ r 且t n ，则可得到 ( ) 如果f 在t 点在v 可导，则f 在t 点连续 ( i i ) 如果厂在t 点连续且t 是左散点，则f 在t 点是v 可导且 归等产 ( 刎) 如果，是v 可导且t 是左稠点，则 咒归l 州i r a 等掣 ( 伽) 如果厂在t 点v 可导，则 f p ( t ) = f ( t ) + ( p ( t ) 一t ) f v ( ) ( 钉) 如果厂v 和g v 存在，且9 夕p 0 ，则 ( 厂夕) v ( ) = ，v ( ) 夕( ) + ，p ( ) g v ( t ) ( 扣) = 业铲 注2 2 2 在一般的情况下， f x ( p ( o ) ) f v ( t o ) 且 f v ( 盯( 亡o ) ) f i x ( o ) 一仁 河北大学理学硕士学位论文 然而，如果对t o t k ，有盯( p ( o ) ) = t o 成立，则，( p ( 亡o ) ) = f v ( t o ) ；如果对t o t 七，有 p ( a ( t o ) ) = t o 成立，贝0f v ( 盯( t o ) ) = ，( t o ) 定义2 2 1 设函数厂： _ 冗，我们称，右稠连续是指，在右稠点连续且在左稠点 左极限存在，记为f g d ( r ) 定义2 2 2 设函数f ：俨一r ，我们称f 为f ：t _ r 的原函数是指对任意 t t 七，有f ( ) = f ( t ) 成立在此情形下，定义，的积分为 f ( s ) a s = f ( t ) 。一f ( o ) ， v t t 定义2 2 3 设函数g ：仉_ 兄，我们称g 为f ：r _ 兄的v 原函数是指对任意 t t 知，有g v ( t ) = f ( t ) 成立在此情形下，定义，的积分为 f ( s ) v s = g ( t ) 一g ( o ) ， v t t 注2 2 3 如果t = r ，则 厶必t = 厶啊t = 6 巾凇； 如果t = z ，则 r b d 一1 r b d f ( t ) a t = m ) ，f ( t ) v t = m ) ja k = a ja k = a + l 定理2 2 3 假设f ：t _ r 在俨上可导，且厂在俨上连续，则，在仉上 v 可导，且 f v ( 亡) = f v ( p ( t ) ) ， v t t k 到目前为止，时间尺度上的初值问题、边值问题、振动性、稳定性、渐近性理论已 受到广泛关注在国外许多学者都投身于对时间尺度的研究，例如a g a r w a l ，0 r e g a n ， e r b e ，l a k s h m i k a n t h a m 等，他们也对时间尺度的理论发展做出了很多贡献，而国内对这 方面进行研究的学者还比较少但总体来讲，时间尺度的理论发展还是较快的，在过去 仅几十年的时间里，它的理论已日趋完善，并逐步形成了一个系统 第3 章强迫项为乏项和的广义拟线性化方法 第3 章强迫项为三项和的广义拟线性化方法 本章主要针对时间尺度上强迫项为三项和的边值问题，运用广义拟线性化方法构造 了从上下两个方向收敛于边值问题唯一解的两个单调序列，并且也讨论了序列的二阶收 敛与高阶收敛问题关于方程解的存在性是我们考虑的首要问题，而上下解方法已经被 广泛应用于证明各类非线性问题的存在性 4 】这里我们也是利用上下解方法来证明解的 存在性问题 3 1 上下解的定义及其定理 定义巴拿赫空间b = c ( 0 ，翻) ，被赋予相应的范数， 2 。鼢| d 1 = z b ：对v t t ，z 连续；对v t t 铲，z 2 连续) 定义3 1 1 称函数q d 1 为边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的一个下解，如果 q 2 ( ) h ( t 、o t a ( 蚍t t 酽， o ( a ) a ，a ( b ) b 成立函数p d 1 是边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的一个上解，把上式的不等号反向即可 定理3 1 1 1 1 4 】假设函数a ( t ) ，z ( t ) 分别是边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的下解和上解，满 足o ( t ) 侈( 亡) ，t t ，且函数日是连续的，则存在边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的一个解z ( t ) ， 且有o ( t ) x ( t ) ( ) ，v t t 定理3 1 2 1 1 4 】假设函数h ( t ，z ) 是连续的，且对于z 是严格增的，则边值问题 ( 1 1 ) 一( 1 2 ) 有唯一解 定理3 1 3 1 1 4 】假若定理3 1 1 和定理3 1 2 中的条件均成立，则a ( t ) p ( t ) ，v t t 3 2 广义拟线性化方法 在这节中，为了知识结构的完整性，我们将先从广义拟线性化方法的二阶收敛进行 证明，以便能简便说明广义拟线性化方法的高阶收敛首先，我们解释一点：在下面证 一9 一 河北大学理学硕士学位论文 明过程中，厶，厶z 表示，在时间尺度上关于第二个变量z 的第一阶和第二阶偏导数 对u ，u l i ) 1 ，定义 t 正， 】l =w d 1 ：u w ) 定理3 2 1 对于边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) ，假设下列条件成立： ( a 1 ) q o ( t ) ，风( t ) 分别是边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的下解和上解，且有a o ( t ) z o ( t ) ， v t ： ( a 2 ) 厂，g c 2 ( r 惫2 q o ，z o 1 ) 并且丘z + 0 ，夕z z + 砂。z 0 ，其中西， 砂c 2 ( ，舻 0 0 ，z o 1 ) 且移z z 0 ，也z o ； ( a 3 ) 对于h ( t ，z ) ，存在七 0 ，满足 h ( t ，z ) 一h ( t ，y ) k ( x 一秒) ，q ；y z 藤； ( a 4 ) 令f = + 咖，g = g + 矽，有 r ( t ，z ) - t - g z ( t ，y ) 一九( 亡，y ) 一砂z ( t ，x ) + 七0 ，q ；y z 筋 成立，则存在两个单调序列 q n ) ， 风) ，在t 上均一致且二阶收敛到边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的唯一解 证明由( a 2 ) 和中值定理，则对v t 2 ，可得 f ( t ，x ) f ( ，y ) - - t - b ( t ，秒) ( z y ) 一( t z ) ， g ( t ，z ) o ( t y ) + g z ( t ，夕) ( z y ) 一吐，( z ，z ) ， 其中z ，y q o ，风】1 且z y 定义z l ，z 2 如下： z 1 ( t ，z 盯；o t o ，3 0 ) = f ( t ，q 5 ) + a ( t ，q 吕) + h ( t ，z 盯) 一西( t ，q 5 ) 一砂( t ，q 5 )，。 + b ( t ，露) + g z ( t ，q 5 ) 一z ( ，a 5 ) 一妒z ( t ，露) 】( z 盯一a 5 ) ， k o i ) z 2 ( ，矿；o t o ，岛) = f ( t ，露) + c ( t ，鳐) + h ( t ，矿) 一( t ，倦) 一砂( ，露) ，口o 、 “r ( 瓦筋) 十g ( 友口子) 一九( 亡，q 子) 一也( t ，倦) 】( z 盯一昭) _ 。7 考虑下面的边值问题 x a 2 、2 矾z 盯；a o , 3 0 ) ，t 垆 ( 3 3 ) x ( a ) = a ，z ( 6 ) = b ， 、7 第3 章强迫项为三项和的广义拟线性化方法 ! n i i m i i 和 z 2 = z 2 ( t ，x c r ；n o ，阮) ， z ( 凸) = a ，x ( b ) = b 应用中值定理，( 3 1 ) 和已知条件，可推得 t i r k 2 h ( t ，露) 一z l ( t ，藤；q o ，风) = f ( ，鳐) + c ( t ，鳄) + h ( t ，鳐) 一o ( t ，露) 一砂( t ，劈) 一r ( t a 子) 一c ( t ，q g ) 一h ( t ，铝) + e p ( t ，口5 ) + 移( t ，口子) 一( 咒( 亡，倦) + g z ( t ，口子) 一九( 亡，a 5 ) 一也( 亡，留) 】( 露一o ：5 ) = e ( t ，c 1 ) + g z ( t ，c 2 ) 一矽。( t ，c 3 ) 一魄( t ，c 4 ) 一b ( ，露) 一g z ( t ，a 子) + 九( 六口g ) + 也( t ，船) ( 露一q 5 ) = e z ( t ，c 5 ) ( c l 一昭) + g 船( ，c 6 ) ( c 2 一q g ) 一矽z z ( ，c 7 ) ( c 3 一a 子) 一曲z 霉( t ，c 8 ) ( c 4 一露) ( 露一口子) 0 其中q 子c l c 5 彤，q 子c 6 c 2 露，o 子c 7 c 3 席，q 子c 4 c 8 露 一1 1 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 河北大学理学硕七学位论文 那么，由( a 1 ) ，( 3 2 ) 和( 3 6 ) ，知 q 拿2 - ( t ，乜；) = z 2 ( t ，a ；o o ，阮) ， 盼2 - ( t ，露) z 2 ( t ，露；q o ，阮) 再由定理3 1 1 ，知必存在边值问题( 3 4 ) 的一个解p 1 ( t ) ，满足 c i o ( t ) 历( t ) 风( 亡) ，t l r 因q 拿2 = z 1 ( 亡，口吕；口o ，风) ，0 1 q o ，中值定理及已知条件，可推得 q 拿。= r ( t ，口5 ) + c ( t ，q 子) + h ( t ，q ；) 一( t ，口g ) 一砂( ，a 孑) + ( e ( t ，露) + g z ( t ，乜5 ) 一z ( t ，q g ) 一矽。( t ，露) 】( q f q 子) = z - ( t ，a 彳) 一f ( ，口f ) 一c ( t ，a ) 一h ( t ，口子) + 咖( t ，a ) + 矽( ，口；) + f ( t ，q g ) + c ( t ，口5 ) + h ( t ，a 7 ) 一o ( t ，a 子) 一砂( t ，q g ) + e ( t ，露) + g z ( t ，q 5 ) 一妒z ( ，q 子) 一也( t ，露) 】( q 彳一q g ) = - ( t ，a ) + 一b ( t ，c 1 ) 一g z ( t ，c 2 ) + z ( t ，c 3 ) + 也( t ，c 4 ) + ( t ，昭) + g z ( t ，a 5 ) 一z ( t ，q 5 ) 一矽z ( z ，倦) ( q 一q 子) = z - ( t ，q 署) + b z ( t ，c 5 ) ( 昭一c 1 ) 一g z z ，c 6 ) ( c 2 一q g ) + 西z z ( t ，c 7 ) ( c 3 一q 5 ) 一矽z z ( t ，c 8 ) ( 昭一c 4 ) ( q f q 吕) 日( t ，q 彳) ， 其中q 5 c l c 5 藤，q 子c 6 c 2 露，q 孑c 7 c 3 露，q 5 c 4 c 8 席 同理，可知 p 。= f ( t ，露) + c ( t ，露) + h ( t ，所) 一矽( 亡，露) 一砂( ，倦) + e ( t ，鳐) + g z ( ，a 5 ) 一九( 亡，口子) 一化( ，昭) 】( 鳄一倦) = 日( ，p 1 盯) 一f ( t ，卢i r ) 一c ( t ，p f ) 一九( t ，p f ) + 咖( t ，p r ) + 砂( 亡，p f ) + f ( t ，露) + c ( t 露) + h ( t ，鳄) 一咖( t ，舔) 一砂( t 露) + b ( t ，露) + g z ( ，q g ) 一妒z ( 亡，q g ) 一矽z ( t ，露) 】( p f 一储) = - ( t ，卢i r ) + 【一r ( t ，c 1 ) 一g z ( t ，c 2 ) + 。( t ，c 3 ) + 也( ，c 4 ) + 咒( t ，藤) + g z ( t ，a 子) 一九( 亡，口子) 一也( ，倍) 】( 所一船) = h ( t ，p f ) + 【疋z ( t ，c 5 ) ( 藤一c 1 ) 一g z z ( t ，c 6 ) ( c 2 一o ：5 ) + 移z z ( t ，c 7 ) ( c 3 一q 子) 一砂z z ( t ，c 8 ) ( 席一c 4 ) 】( 劈一彤) - ( t ，胛) ， 其中q 吕c 1 c 5 露，q 吕c 6 c 2 露，q g c 7 c 3 席，q 5 c 4 c 8 藤 1 2 第3 章强迫项为三项和的广义拟线性化方法 从上面的推导中，我们可以知道0 1 1 ，矽，分别是边值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的下解与上解， 根据定理3 1 3 ，知q 1 ( t ) p 1 ( 亡) ，t ，因而，下式 a o ( t ) o t l ( t ) p 1 ( t ) 阮( t ) ，t 成立 用数学归纳法，我们可得到序列 o l n ) ， & ) 满足 q 付( 芒) o n 十l ( t ) 尻+ 1 ( t ) 风( ) ，t i t ， n = 0 ，1 ，2 ， 其中对于任意的自然数n ，口n + 1 ，风+ 1 分别是下面边值问题 z 2 = z 1 ( t ，z j ；( y n ，风) ，t ，七2 ， x ( a ) = a ，x ( b ) = b ， 和 z 2 = z 2 ( t ，z 盯；q n ，风) ，t i t 詹2 ， x ( a ) = a ，x ( b ) = b 的解 由于可是紧集，并且所得到的序列是单调有界的，故 o n ， 风 都是一致收敛的 下面我们证明序列收敛到边值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的唯一解e r b e 和p e t e r s o n 3 0 】构造了 与边值问题( 1 ，1 ) 一( 1 2 ) 相关的g ( t ，s ) 函数： g c t ，5 ，= l ，定义研，召： z ；( ，。盯；q o ，岛) = 击f ( i ) ( t ，q g ) ( 茁叮q 子) + 击g ( i ( 亡，d 吕) ( z 口一a 子) i = o i = 0 k 1 k 1 一击移( i ( ，a 子) ( z 仃一n 子) 一者“，( i ( t “子) ( z 盯一。吕) i 十九( ，z 仃) z ( 】 l = 0 + 蠢 f 七) ( ，露) + g ( 詹( z ，子) 一( 赶( t ，口子) 一砂( 七( f ，偌) 】( z 盯一q 子) 七， z ( ，：g a ；q o ，风) = + e 去f ( ) ( 亡，藤) ( 矿一鳝) + 丢g ( i ( 戈倦) ( 矿一藤) i = 0 i = o k 1 k 1 砉矽( i ) ( 亡，倦) ( 矿一昭) 一嘉矽( i ( 屯昭) ( z 盯一瑶) i + h ( t ，z 盯) 下面考虑边值问题 啬 f ( 七( ，筋) + g ( 七( ，o 子) 一( 南) ( 亡，q g ) 一面( 七( t ，露) 】( 矿一鳐) 七， 当k 取奇数时 矗 f ( 惫( 亡，q 吕) + g ( 七( t ，露) 一西( ) ( 亡，露) 一吐，似( t ，o 孑) 】( z 盯一倍) 七， 当k 取偶数时 z 2 = z ；( ，z 盯；q o ，z o ) ， z ( ( z ) = a ，z ( 6 ) = b ， 一1 5 t ， 舻 ( 3 9 ) z 2 = 彩( t ，z 口；o o ，z o ) ， x ( a ) = a ，z ( b ) = b t r ( 3 1 0 ) 如前一定理的证明过程，得到边值问题( 3 9 ) 的解q 1 ( t ) 和边值问题( 3 1 0 ) 的解p 1 ( t ) ， 且q o ( t ) q l ( t ) 历( 亡) 阮( t ) ，t i t 同样如前定理，可推得单调序列 q o ( t ) q 1 ( t ) q n ( t ) 风 ) p 1 ( t ) 阮( t ) ，t t ， 其中q n ，风分别下面边值问题 z 2 = z ；( t ，z 盯；o t n - 1 ，风一1 ) ， x ( a ) = a ，x ( b ) = b ， z 2 = 召( 矿；o t n 一1 ，风一1 ) ， x ( a ) = a ，x ( b ) = b ， t 俨2 ， t 铲2 的解 为了避免重复，我们略去一些证明的细节最后只证明序列 q n 】， 风) 收敛是七+ 1 阶令m ：z o 几，g n = 风一z ，t t 利用广义中值定理和( b 2 ) ，可知存在a 三 c 1 ，c 2 ，c 3 ，5 4 q 三+ 1 且 p n a + 2 1 z 一q n a + 2 1 f ( t ，矿) + a ( t ，z 盯) + h ( t ，z 盯) 一咖( t ，z 盯) 一矽( t ，z 仃) 菇一1 一矗f ( i ) ( t ，a n i t 八u n ( 7 + l i = 0 矗g ( ) ( t ，a 三) ( a ：+ 1 一q ：) b 一1 甩一1 + 击西( i ( t ，o 嚣) ( q 三+ 1 一q ：) i + e 啬矽i ( 亡，q 三) ( q 三十1 一q 三) i h ( t ，a 嚣+ 1 ) i = 0 t = u 一刍【f ( 七( t ，缳) + g ( 2 ( t ，q 三) 一驴k ( t ，0 4 ) 一妒七( t ，霞) (