（应用数学专业论文）来自物量和生物中的一些偏微分方程问题.pdf

d i s s e r t a t i o nf o rd o c t o r a t ed e g r e e ，2 0 1 6 i l u f l l l l l l r ll llrjlillffllflfuftrlrlllifirl y 18 4 713 9 e a s c 皿n an 瓜m a lu n r s t v s o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o m p h y s i c sa n dbi o l o g y d e p a r t m e n t ：m a t h e m a t i c s m a j o r ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n = p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u p e r v i s o r ：p r o f z h o u f e n g a u t h o r ：l u ox u e u e m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文来自物理和生物中的一些偏微分方程问题 是在华东师范大学攻读硕士蟪( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 望宣日期：知，口年j 月巧日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 来自物理和生物中的一些偏微分方程问题系本人在华东师范大学攻读学位 期间在导师指导下完成的硕士膨( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向 主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版本和 电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校 将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的 标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“泄密，学位论文木，于 年月日解密，解密后适用上述授权。 ( j ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 州，口年j 月矛日 木“涉密 学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员 会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文c c 涉密 审 批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不 填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 博士学位论文答辩委员会成员名单 沙厂口年j 月乃日 姓名职称单位备注 亨t j 宪南灰缮 殳旦六学 主席 李 疬、级短 纵帅谚呼 稻乡耙挝孑艾闩；中天学 港裟斌凌笈 牟存f 即托 学 善目孕旋爱争再降艺犬售 摘要 本文主要研究三个来自物理和生物的偏微分方程问题这三个问题的研究，作 为数学问题，侧重点各不相同但我们的研究结果在实际应用中具有一定的价值， 能反映该物理或生物问题的某些特性 第一部分，我们着重研究从m e m s 模型抽象出来的一个数学问题，即d i r i c h l e t 问题一a u + c ( x ) v u = 入，( 让) 在职的光滑有界区域上极值解u + 的正则性其中， 厂是在a ( 0 ，) 有限值处爆破的非降正凸函数我们证明了在低维空间中此问题 的极值解是正则的 第二部分，我们的问题来源于a l l e n - c a h n 方程和薄膜问题，即让+ n - - 1 乱+ p 2 u + f ( u ) = 0 ，其中，f c l , a ( 一面，南) ，对某个晶 0 ，盯 0 且f ( o ) = ，7 ( 0 ) = 0 我们主要考虑此问题在0 附近振荡的解的渐近行为我们得到了此解渐近行为的较 精确估计，并将其具体应用到a l l e n - c a h n 方程和薄膜问题上 第三部分，用于模拟水蛭再生现象的模型g i e r e r m e i n h a r d t 方程在近十年已 经受到很多数学家的关注从该系统的稳态方程解的集中现象到其动力部分系统的 解的轨线分布都有很多较完整的结论在本文中，我们考虑g i e r e r - m e i n h a r d t 系统 在催化剂自增长率非零的时候动力部分系统解的轨线分布，其中包括全局稳定解， 周期解的存在和不存在的条件以及有限时间内爆破解的渐近行为 关键词：极值解，正则性，渐近行为，全局稳定性，周期解，爆破解 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o m p h y s i c sa n db i o l o g y t h et h r e ep r o b l e m s ，a sm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s ，a r er e s e a r c h e d i nt h i sd i s s e r t a t i o nf r o md i f f e r e n tp o i n to fv i e w s a sp r a c t i c a lp r o b l e m s ，o u rr e s u l t s r e f l e c ts o m ec h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t i e so ft h ep h y s i c a lo rb i o l o g i c a lp r o b l e m st h e m - s e l v e s c h a p t e ro n ei sa b o u tt h em a t h e m a t i c a lm o d e lf r o mm e m sp r o b l e m ，i e t h e r e g u l a r i t yo fe x t r e m a ls o l u t i o nu 。o f 一u + c ( x ) v u = a ，( 乱) i nr nw i t hd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n h e r ei i sap o s i t i v en o n d e c r e a s i n gc o n v e xf u n c t i o n ie x p l o d i n g a taf i n i t ev a l u ea ( 0 ，o o ) t h er e g u l a r i t yo fe x t r e m a ls o l u t i o ni nl o wd i m e n s i o n h a sb e e ns h o w ni nt h i sp a r t t h ep r o b l e mf r o ma l l e n - c a h ne q u a t i o na n dt h i nf i l mp r o b l e mh a sb e e nd e m o n - s t r a t e di nc h a p t e rt w o ，i e u ”+ n - - ，1 u + 俨u + j ( u ) = 0 ，w h e r e ，c 1 ，盯( 一晶，如) ， f o rs o m e 品 o , a 0a n df ( o ) = ，7 ( o ) = 0 w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h eo s c i l l a t o r ys o l u t i o na n da p p l yt oa l l e n - c a h ne q u a t i o na n dt h i nf i l mp r o b l e m t h el a s tc h a p t e ri sd e v o t e dt og i e r e r - m e i n h a r d ts y s t e mw h i c hc o m e sf r o mt h e r e g e n e r a t i o np h e n o m e n ao fh y d r a t h i ss y s t e mh a sd r a w nm a n ym a t h e m a t i c i a n s a t t e n t i o ni nl a s td e c a d e s o m eb e a u t i f u lr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d ，i n c l u d i n gt h e c o n c e n t r a t i o np h e n o m e n ao fs o l u t i o nt os t a t i o n a r yg i e r e r - m e i n h a r d ts y s t e ma n d t h ed y n a m i cb e h a v i o ro ft h ek i n e t i cp a r t i nt h i sc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ed y n a m i c b e h a v i o ro fk i n e t i cg i e r e r - m e i n h a r d ts y s t e mw i t hp o s i t i v es e l f - p r o d u c t i v er a t e ，i n - c l u d i n gt h eg l o b a ls t a b i l i t y ，t h ec o n d i t i o n so fe x i s t e n c e n o n - e x i s t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ff i n i t et i m eb l o w - u ps o l u t i o n k e y w o r d s ：e x t r e m a ls o l u t i o n ，r e g u l a r i t y , a s y m p t o t i c a lb e h a v i o r ，g l o b a l s t a b i l i t y , p e r i o d i cs o l u t i o n ，b l o w - u ps o l u t i o n 摘要 a b s t r a c t 目录 第一章一类带奇异非线性项的半线性椭圆方程极值解的正则性 1 1 背景介绍 1 2 主要结论 1 3 预备知识 1 4 极值解的正则性 1 5 相关问题 第二章一类半线性椭圆方程径向对称解的渐近行为 2 1 背景介绍与主要结论 2 2 定理证明 2 3 定理应用 第三章带自增长率的反应扩散系统的动力系统 3 1 背景介绍 3 2 主要结论 3 3 预备知识 3 4 某些条件下周期解不存在的证明 3 5 某些条件下周期解存在的证明 3 6 爆破解的渐近行为 3 7 有待解决的相关问题一 参考文献 致谢 i 一 1 l 5 8 4 0 1 l 2 9 3 3 8 0 8 3 1 9 l 7 ； 一 1 l 5 8 m 加 殂殂毖凹 韶站髂鹄弱吼约 趴 盯 目录 博士期间完成的论 第一章一类带奇异非线性项的半线性 椭圆方程极值解的正则性 在这一章中，我们考虑如下的偏微分方程 r “功叼攀基 1 ， f 是在 0 ，口) 上的c 2 凸非降正函数，且，( o ) 0 ，l i mf ( t ) = + o o t - , a - 1 1 背景介绍 我们考虑的问题主要是受物理中m e m s ( m i c r o - e l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m ) 装置的启发粗略地讲，这种装置是由一层绝缘弹性薄膜固定其边界a q 在0 的 位置，在上方1 的位置放置一块平板而组成的当对此装置施加强度为入的外加 电压时，薄膜朝上方平板弯曲发生形变，即u ( x ) 为z q 点处的形变量不难想 象，形变的严重程度和外加电压的强度成正比当外加电压的强度a 达到某个临界 值入+ 时，通常称a + 为p u l l i nv o l t a g e ，薄膜则直接贴在上方的平板上，也就是， m a x q 让= 1 此时，m e m s 装置即发生s n a pt h r o u g h 现象 物理学家以及数学家们为了更好地研究m e m s 装置的工作原理，给出了下面 1 1 背景介绍 2 关于形变量u ( x ) 在稳定状态下的数学描述 以2 一( 卢li v u l 2 d s + 7 脚+ 耳嚣雨枷中， 0 u 1 o u u = i = 0 d 叩 在q 中，( 1 2 ) 在a q 上， 其中，qcr n 是光滑有界区域，刀表示a q 的单位外法向，q ，卢，y ，x 0 是 一些物理量，a 0 与外加电压成正比，厂：豆_ r 是电容率分布函数，与不同材 料的绝缘性质有关关于m e m s 装置的完整介绍及相关理论，有兴趣的读者可以 参见 5 5 】 对于m e m s 装置的数学研究是非常必要的一方面，人们希望阻止或延缓达 到p u l l - i nv o l t a g e ”；另一方面，在用于安全系统的时候，人们又希望保持s n a p t h r o u g h 现象的发生，以确保设备的正常运行 然而，不难看出，直接研究数学模型( 1 2 ) 是相当棘手的因此，不少数学家将 模型( 1 2 ) 做必要的简化，并对简化后的模型进行严格的数学分析和研究，【4 4 】具 体说来，有以下几方面的简化：一方面，假设平板厚度几乎为零，且刚性为零，忽 略内部效应和非局部效应，即q = p = x = 0 ，得 一a u = a ( 1 f 一( x 孑) 在q 中， 0 u 0 为参数，：豆_ r 是非负不恒为零有界h s l d e r 连续函数，q 是渺 中的光滑有界区域对方程( 1 3 ) 的数学研究可见 2 2 】， 2 3 】， 2 6 】， 3 1 】等；另一 方面，假设p = 7 = x = 0 ，得 卜= 器在哺 o 0 ：( 1 6 ) 有正的经典解) ，( 1 8 ) 并证明” 0 ，u = o 是方程( 1 6 ) 的下解，由上下解方法，对应于 方程( 1 6 ) 可解的a 的区间正好就是 o ，”) ，且对任意的a 0 ，a + ) ，由上下解方 法中迭代得到的解即为最小解u a ( 也就是，方程( 1 6 ) 点点意义下的最小正解) 更进一步，这簇解 乱a ) 是关于入非降的，且u a 是方程( 1 6 ) 在下面意义下的稳定 解： p 1 ( 乱a ) ：= i n f i v 1 2 一a f 7 ( 钆a ) 扩，咖月吾( q ) ，扩= 1 - 0 ( 1 9 ) 我们将上述结论总结为如下定理： 定理1 1 存在极值”( 0 ，。) ，使得对任意的a ”，方程( 1 6 ) 无解；而 当入( 0 ，a + ) 时，存在唯一的稳定最小解t i a ，更进一步，a _ 坝是关于a 递增的 在上述结论中所提到的解都是指方程( 1 6 ) 的经典解，然而，当我们研究解u + 时，解的定义需要作相应的扩充，因为在条件( 1 7 ) 下，t 在经典意义下未必存在 于是，b r e z i s ，e t a 1 【8 】定义了如下弱解： 4 ，方程( 1 6 ) 由前面引入的弱解定义可知，极值解u + 可能是经典解，也可能仅仅是弱解那 么，对极值解u 的正则性的研究就是一个自然的延伸了最典型的两种特殊情况 f ( u ) = e u 和f ( u ) = ( 1 + u ) p 可在 2 8 】，【4 0 】， 9 】， 2 0 】，【4 9 】等中找到主要结论 是： ( 1 ) 当f ( u ) = 矿时，u + 是光滑的，当死9 如果n 1 0 ，且q 是单位球 b 1 ( 0 ) ，钍+ = 一2 l o gl x i 是极值解，从而无界 ( 2 ) 当，( u ) = ( 1 + “) p ，p 1 时，如果扎 0 ，使得 p p 2 + 面+ p 且p ，陀( 亡) f ( t ) f ( 亡) i f 彪( t ) ，对t t o 则i i 乱a i i o o 在( 0 ，入+ ) 上是一致有界的，如果n 4 + 2 p + 4 舡 而后，n e d e v 证明了无需对，添加除( 1 7 ) 以外的任何条件，只要n 足够小， 如佗= 2 、3 ，则方程( 1 6 ) 的极值解是光滑的 定理1 4 ( 5 0 】) 设f 满足条件( 1 7 ) ，如果佗= 2 或3 ，则札+ 是方程( 1 6 ) 入= ”时的光滑解更进一步，如果他4 ，t + l q ( q ) ，对任意的q 当，且 f ( u + ) 口( q ) ，对所有的q 0 ，使得亡2 9 俅) 在 t o ，o o ) 上非降，则u + 是光滑解，对所有的 qc 黔，佗9 注1 这个结论几乎是最优的，只须注意到( u ) = e u 时，在n 1 0 时对区域 q = b 1 ( 0 ) 的情况时得不到极值解牡+ 的光滑性 定理1 6 ( 6 1 】) 设，满足条件( 1 7 ) ，且，= e 夕并设g 满足 l i m s u p 而- f ( t ) = 1 一p ， 对p ( 0 ，1 ) 则让+ 是有界的，如果n 6 + 4 以更进一步，如果n 6 + 4 砸，我们 有t + 口( q ) ，对任意的q 不2 ( 1 而- t - 、，f f i ) n ，且，( u + ) l q ( q ) ，对所有的q o ，。里掣= + ( 1 1 4 ) 注2矿= 一i n ( 1 一u + ) 是方程( 1 1 3 ) 的极值解 注3 的有界性即可推出u + 的正则性 这一章中，我们的主要结论如下： 定理1 7 设，满足条件( h ) ， u 霉而若两 。 则对任何的qcr 2 ，u + 是方程( 1 1 ) 的正则极值解 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 注4 定理1 7 中的条件( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 是非常弱的如，f ( t ) = 1 + l n ( 1 + i n ( 1 + l i l 击) ) ，m ) = 1 + ( 击) ，m ) = 而1 以及，( 芒) = e 上1 - - t 一1 都符合定 理中的条件 若对非线性项添加更苛刻的条件，极值解的正则性可以在更高维的区域中得 到保持 1 2 主要结论 7 定理1 8 设，满足条件( h ) 以及g ( v ) = e v f ( 1 一e 卅) 满足如下条件： h r a i n f 鬻= 1 + 跏， 且恻帮= p 而1 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 则可+ = 一l n ( 1 一让+ ) 有界( 即极值解u 是正则的) ，当 佗 i ，对所有维数n 6 ，u + 都是正则的更进一步， 如果我们令j 趋向于o o ，即意味着在o o 处，g = o ( 4 ) ，则对维数n 0 ，都有u 正则然而，我们不可能使p 1 ，否则g 就会在有限值处爆破，因 此，我们所能希望的最佳维数也就是扎9 比如，如果f ( u ) = e 击，夕( u ) = e 件 满足5 = c x ) ，肛= i 定理1 9 令j f 满足条件( h ) 以及9 ( v ) = e 口f ( 1 一e 叫) 设在o 。附近， 夕= d ( 夕，) 将g 改写成g ( t ) = g ( o ) + t e ( ) ，t ( 0 ，0 0 ) ，且设存在t o 0 ，使得 t 2 h 他) 在 t o ，+ ) 上非降，则对任意的区域qcr n ，n 9 ，i t + 是正则解 汪6 进一步，当征附近g = o ( g ) ，条件【1 1 6 ) 和条件( 1 1 8 ) 等钐r ，凼为 鬻= 镨( s ) = 歹g g 一歹g 1 一歹g 广( s ) ，- 1 - e 也很容易看出，条件( 1 1 7 ) 等价于如下条件： t 掣掣铲= 跏 ( 1 1 9 ) 若条件( 1 1 9 ) 中的下极限为极限，则我们可以得到如下最佳结论 定理1 1 0 设 州l i r a 一掣铲一。 q 2 。， 则u + 是正则解，当 n 锄+ 希+ 4 ip 了 符合定理1 1 0 条件的一个典型例子是f ( u ) = f 1 一仳) 一 1 3 预备知识 8 1 3预备知识 要研究方程( 1 1 ) 极值解的正则性，首先我们要确认极值解的存在性和唯一性 作为前提而极值解的存在性和唯一性对于问题( 1 6 ) 是非常经典的结论我们先将 其结论平行推广到我们的问题上，并在此前提下定义极值解 证明方程( 1 1 ) 最小解存在性的惯用方法是上下解方法 引理1 1 1 设存在满足下面不等式 i 一万+ c ( z ) v 万入，( 万) 在q 中， i万0 在0 q t 上， 的光滑函数事( z ) 0 则存在问题( 1 1 ) 的光滑最小解u a ，称其为最小解是在如下 意义下，对问题( 1 1 ) 的任意非负解砂，我们都有u x ( x ) ! f ，( z ) ，对所有的z q 证明我们可以构造一函数列 以( z ) ) 罂，设( z ) = 0 ，且+ 1 是方程 i 一机+ 1 + c ( z ) v + 1 = a ，( ) 在q 中， i 咖n + 1 = 0在御上， 的光滑解而w t ：= 1 一( = 多1 ) 满足 i a w l + c ( z ) v 加1 = a 厂( o ) 0 在q 中， iw 1 = 0 在a q 上 由极大值原理可知，w 1 0 ，进而，咖1 类似地，我们对于其他的w n ：= 以一九一】有 一叫n + c ( z ) v ：三：l 厂( _ 1 ) 一，( 以一2 ) 】。 i nq 0 1 10 q 我们可以递推而得0 以+ 1 ，由于，是递增函数用同样的方法，可知 加( z ) 石( z ) ，对所有的n 1 因此，函数列 ) 甚1 收敛到问题( 1 1 ) 的解u a ， 并满足0 u 入万( z ) 又由于数列札不依赖于上解万的选取，则极限u a 是问题 ( 1 1 ) 的最小解 口 下面的命题给出了极值0 ” o o ，使得问题( 1 1 ) 最小解的存在性，当 入 ”时 1 3 预备知识9 命题1 1 2 存在入+ ( 0 ，+ ) ，使得如下结论成立： ( 1 ) 对任意的0 e r n i n ：。e 也i i 一r f , ( o ) 时，方程( 1 1 ) 没有非负的古典解， 其中，p 1 是算子( 一d i v ( e 1 v ) 一e r b v ) 在d i r i c h l e t 边界条件下的第一特征值，且 记叩为第一特征函数众所周知，如果边界和系数足够正则的话，则弘1 是d i r i c h l e t 问题最小的单特征值；在q 上，7 0 ，且只有第一特征值p l 对应的特征函数? 7 不 变号事实上，对任意的方程( i i ) 的经典解u a 0 还满足： 一钍a + c ( z ) v u u x ：_ _ 。a ，7 在( 0 ) u a x q 上，q 中， 因为f ( 8 ) 是凸的且f ( o ) = 1 0 ，也就是说( s ) ，( 0 ) s 对上式两边同时乘以7 7 并分部积分，即得到 a e m i 面1 ，( 0 ) z “a 刀上饥a ( 一d t v ( e 7 v r l ) - e 7 b v y ) = p - z “a 叩， 由于( 1 1 0 ) 和d j v ( e l b ) = 0 从而，若方程( 1 1 ) 存在解，则我们必有肛1 a e 嘣n 2 面v 7 ( o ) 因此，如果入 啄，则方程( 1 1 ) 没有非负解 其次，对a 足够小时，方程( i i ) 存在正解事实上，我们构造上解于 ) = 2 a r ( x ) ，其中，7 是如下方程的正解： r 州疹v 三套袅 很容易看出，当2 厂( 2 入1 i ) 时，于是方程( 1 1 ) 的上解由于，是增函数，则只要 2 f ( 2 a o c ( 正) ) ，其中良( $ ) = 搿丁 ) ，上述条件是满足的，如果a 与碧从而， 最小解的存在性就由引理1 1 l 得到保证 最后，对方程( 1 1 ) 的最小解u a 都有k 1 ( a ，u a ) 0 ，其中仡1 ( a ，叭) 是线性化 算子厶。，扯：= 一+ c ) v a ，7 ( u a ) 的第一特征值用反证法，假设关于方程 i - a 妒+ c ( x ) 矽一入，( u a ) 妒= k 1 ( a ，札a ) 矽在q 中， 1 妒：o 在a q 上， 1 3 预备知识 1 0 的解k l ( a ，u a ) 是负的我们考虑函数喉= u a e 妒，则我们有 - a 妒。+ c ( z ) v 破一入，( 妒。) = 入，( u 入) 一e ( k 1 ( a ，“a ) 妒- t - 入，7 ( u a ) 妒) 一a ，( 牡a e 矽) ：喇1 ( 入，u a ) 妒一入掣妒2 o ， 如果e 足够小且k 1 ( 入，u a ) 入时，问题( 1 1 ) 不仅没有古典解，也没有我 们前面所定义的弱解 命题1 1 3 如果存在问题 一叫+ c ( z ) v 伽= ，( 叫) 1 nq ， ( 1 2 1 ) 【 w = 0o i lm 的弱解，其中，满足条件( h ) ，则对任意的e ( 0 ，1 ) ，都存在方程 r m 扛卜v w e = ( 1 _ e 。嚣量 ( 1 2 2 ) 的古典解 直接应用命题1 1 3 ，只要将其中的，换成入，且注意到”的定义，我们可以 得到下面的推论： 推论1 1 4 设，满足条件( h ) ，则问题( 1 1 ) 没有弱解，当入 a + 时 在证明命题1 1 3 之前，我们先证明两个类似于 8 】中的引理 引理1 1 5 设，l 1 ( q ，6 ( z ) 如) ，且w 硪( q ) 是方程( 1 2 1 ) 的弱解设 圣c 2 ( r ) 是凹的，且圣7 有界，西( o ) = 0 则 - a 圣( w ) 4 - c ( z ) 圣( 叫) ( 叫) ， 在如下意义下， 上e 7 v ( 圣( 叫) ) v 矽+ ze 7 6 虫7 ( 叫) v 叫z e 7 圣( 伽) ， 对任意的c 1 ( 豆) n 硪( q ) 1 3 预备知识1 1 佗_ 设w n 是方程 - 州砂v 譬嚣量 的解，则我们可知在硪( q ) 意义下_ 坩，当n _ 0 0 另一方面，我们有 le w ( 圣( 伽川v = 一上e 1 v 7 v ( 垂( 叫枷一上e 7 ( 圣( ) ) 咖 = 一c v 7 v ( 西( ) ) 一上e 7 ( 叭叫n ) + 矿( ) i v 1 2 ) 一e 1 v y v ( 圣( t ) ) + e 7 垂( ) ( 一c ( z ) v w + 厶) - ，qj q = 一上e 7 圣7 ( 伽n ) n v 多+ l e , - i , 吣) 厶， 因此，我们有 le w ( 咆) ) v + ze 1 叭咖v 叫上e 7 叭w ， 引理1 1 6 ( 引理4 ，【8 】) 设，( o ) 0 且记h ( u ) = f o 焘，对所有的让 0 ，1 】 设f 是在 o ，1 】上的c 1 正函数，且f f ，户厂记元= 片恚和垂( 乱) = 元一1 ( 危( 乱) ) ，对所有的乱【o ，1 】则 “。 ( 1 ) 西( o ) = 0 且0 垂( 札) u ，对所有的u 0 ，1 】 ( 2 ) 西是递增凹函数，且垂7 ( 让) 1 ，对所有u 0 ，1 】 ( 3 ) 如果h ( i ) ( 3 0 且f f ，则圣( 1 ) 1 我们给出命题1 1 3 的证明，其证明方法与 8 】，定理3 的证明很类似 证明我们分两种情况证明： 情况1 ：若引理1 1 6 中的h ( 1 ) o o 令口= 圣( 伽) ，其中，w 是方程( 1 2 1 ) 的 弱解选取引理1 1 6 中的f = ( 1 一e ) ，则由引理1 1 5 和引理1 1 6 可知钐 1 是方 程( 1 2 2 ) 的弱上解再由上下解办法( 在弱意义下的引理1 1 1 ) 得证结论 情况2 ：若引理1 1 6 中的h ( x ) = 0 0 不难由情况1 的证明中看出，圣( 叫) 是方 程( 1 2 2 ) 的弱上解，其中，t u 是方程( 1 2 1 ) 的弱解如同变换( 1 1 2 ) 一样，我们令 圣( 叫) = 一l n ( 1 一圣( 加) ) ，可以验证其为方程 一西+ 1 w 1 2 + “z ) v 面= e 西，( 1 一e 一面) ：= ( 1 - e ) g ( t o )在q 中，( 1 2 3 ) 【 国= 0 在a q 上， 1 2 e 圣( 伽) ，( 西( 叫) ) = ( 1 一e ) 9 ( 圣( 叫) ) 由 ( 伽) = f 焘的凹性和0 圣( 伽) w 可知， 如) 嵩v 叫 ( 伽) ( 圣( 叫) ) + ( w - - ( 叫) ) ( 圣( 叫) ) = 危( 圣( 叫) ) + 弓专善等宁， 又由于危( 圣( 叫) ) = ( 1 一e ) h ( w ) ，我们可以得到 叭删掣 净吲如) ) _ e 南触( 训篇志志 g 因此，我们有夕( 击) ) l o o ( q ) 由引理1 1 1 ，我们可得方程( 1 2 3 ) 的弱解戗，且 0 0 且k 0 则，对1 p 2 ，我们有对所有的 妒础( q ) ， 扣卯掣上学丹珈舡鲁上竿俨 对推广的h a r d y 不等式有兴趣的读者可参考【1 6 】 命题1 1 8 对任意的p ，1 2 ，我们有 入上e 7 厂( u a ) 妒2 吾上e 1 i v 妒1 2 + 黹e 了妒2 ， ( 1 2 4 ) 对任意矽硪( q ) ，其中c ( z ) = 一v 7 + b ( x ) ，1 1 6 | l = m a 崤1 6 ( z ) i ，l i 是舻中 的欧几里德模 证明我们很容易从定理1 1 7 中得到上述结论事实上，令其中的p ( x ) = a ，( 乱a ) ，贝0 我f 门得至i j a 扣妒吾v 卯+ z ( 一字学+ 字) 删2 由c a u c h y - s c h w a r z 不等式容易看出， 一型一i v 1 2 + 业 幽已竺型鱼 2 2 一2 ( 2 一p ) 一2 ( 2 一p ) 证毕口 在我们证明的过程中另一个夫键是焚抉( 1 1 2 ) ，即t ，= 一l n ( 1 一u ) 令咖和 为满足( o ) = 专( o ) = 0 和f = 护的c 1 函数定义坝= 一h 1 ( 1 一u a ) 和g ( v ) = e v s ( 1 一e 州) 由方程( 1 1 3 ) ，在q 上，我们得- d i v ( e w v a ) + 矿6 v 玖墨入矿夕( 钆a ) 在( 1 2 4 ) 中选取妒= ( 坝) ，对所有a ( 0 ，a + ) 入上州吾v 卿划2 + 焉z 聊2 似) 2 号上w 陬坝+ 劬上矿扩似) = 一砉上m v ( e 7 v 坝) ( 玖) + o 以矿扩( 坝) 2 al e 7 9 ( ( 一万2 上e 7 6 ( v 坝+ z 矿砂2 ( 叭) = 2 al e _ r g ( 玖) ( 坝) + c ale 咖2 ( v x ) ( 1 2 5 ) 1 4 极值解的t e 贝u 性 1 4 上述不等式中最后一个等式成立，是由于d i v ( e 7 b ) = 0 令咖和如前在( 1 2 4 ) 中选取矽= ( 让a ) 且由方程( 1 1 ) ，我们可得到下面类 似的估计：如果1 p 2 ，对所有的a ( 0 ，”) ， a 。e 7 厂( 钍a ) 咖2 ( 钆a ) - - 2 f a 。( e 7 ，( 札a ) ( 牡入) + ( 冶。( e 7 2 ( 饥a ) ( 1 2 6 ) 另外，我们还用到了，的如下性质，证明可见 6 2 】 引理1 1 9 对任意的，满足条件( h ) ，l i m h l 器= 0 首先在( 1 2 6 ) 中选取( 牡) = e 一1 ，则( u ) = ( e 她一1 ) 2 以及 a z 厂( u a ) ( 少一1 ) 2 窘上e 1 ，( 乱a ) ( e 2 u x - - 1 ) + 。上e 7 ( e 姒一1 ) 2 固定卢( 1 ，2 ) 由引理1 1 9 ，我们得到 a e 7 ，协a ) e 2 u 1 d 进而，l l y 7u a ) 1 1 1 一致