（计算数学专业论文）一类带弱奇异核的偏积分微分方程谱配置方法全离散的长时间估计.pdfVIP

一类带弱奇异核的偏秋分微分方程谱配拦方法全离散的长时间估计 o 1中文摘要 在记忆材料的热转导、多孔粘弹性介质的压缩、动态人口、原 子反应动力学等问题中，常常碰到抛物型积分微分方程，对于该种 方程的数值求解，国外的”i l l o t ， i , e 7 ( f 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、1 8 、 1 9 、2 0 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、3 1 ，s t i g l a r s s o n 1 9 ，w m c l e a n 5 、 1 7 、2 0 ，2 4 ，c l u b i c h 1 8 ，。，g l s p e z l a , l c 。s 1 4 】，j m s a n z s e r n a 6 ，g f a i r w e a t h e r 3 、1 5 ) l w a t l l b i n 1 、1 7 、1 9 ) i h s l o a n 7 、1 8 、2 2 、 2 3 】y a n p i n gl i n 3 1 】等，国内的陈传淼( 1 、3 5 】、黄云清 2 、徐大 8 、 9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 、汤涛( 3 3 】、胡齐芽 3 4 i 、张铁 4 5 f 等做厂大 量的研究， - a f t 大多采用有限元方法( f 1 、5 、1 0 、1 3 、1 6 、3 1 、 3 5 、3 9 1 ) ，样条配置方法( 3 、1 5 ) ，有限差分方法( 【1 4 ) 以及谱配置方 法( 【2 5 ) 。用潜方法进行时间、空间全离散的长时间估计的却很少涉 及。 本文考虑一类带弱奇异核抛物型偏积分微分方程空间，时间全 离散，采用谱配置方法，得出其相应的稳定性和误差估计。 主要结果如下： ( 1 ) 给出该线性方程l e g e n d r e g a l e r k i n 空间半离散的稳定性和误 差估计。 ( 2 ) 给出基于谱配置方法空间半离散的稳定性和误差估计。 ( 3 ) 给出该线性方程全离散的稳定性和误差估计。 ( 4 ) 数值例子。 关键词： 弱奇异核；偏积分微分方程；一阶全离散；卷积积分； 谱配置方法， i i 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 0 2 a b s t r a c t t h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i c a t i o n ss u c ha sh e a tc o n d u c t i o ni nm a t e r i a lw i t hm e m o r y ，c o m p r e s s i o no f p o r o v i s c o e l a s t i cm e d i a ，p o p u l a t i o nd y n a ，m i c s ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ，e t c t 1 l e l ；ea 艄l o t so fd o c u m e n t so fv t h o m 6 ef 1 、5 、7 、1 6 、1 7 、i 8 、 1 9 、2 ( ) 、2 1 、2 2 、2 3 、2 4 、 3 1 ：se ，i g l m s s o r l 【1 9 】w m ( 忆 【5 、1 7 、2 0 ，2 4 ，o h l u b i c h 1 s ， c l d p e z m a r c o s 1 4 ，j m s a n z s e l _ e ； g f a i r w e a ，t h e r 3 、1 5 ，l w a h l b i n ( 卜 1 7 、 1 9 ，i h s l o a n 【7 、 1 8 、2 2 、2 3 】1y a n p i n gl i n 3 1 i no v e r s e a sa n dc h u a n m i a oc h e 、n 1 、3 5 卜 y u n q i n gh u a ，n g 【2 】) d ax u 【8 、9 、1 0 、1 1 、1 2 、1 3 ，t a ot a ，n g 【3 3 ， q i y a h u ( 3 4 ，t i ez h a n g ( 4 5 】i nh o n m al o to ft h e m1 1 8 ef e n 4 ；s p l i n ec o l l o c a 一一 l i o nm e t h o d s ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ；s p e c t r a ，lc o l l o c a ，l i o nm e t h o d s b u ta f e wo ft h e mm a k et h eg l o b a lb e h a v i o ro ff u l ld i s c r e t i z a t i o nb ys p e c t l _ a lm e t h o d s w es t u d yap a ，r t i a li n t e g r o d e f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p ew i t ha w e a 。k l ys i n g u l a + rk e r n e l ，u s i n gs p e c t r a lc o l l o c a t i o nd e r i v e ds t a b i l i t i e sa n de r o r e s l i l r i l l ， e d t c s p c c t i v e l y ma i nr e s u l t sf o l l o w s ( 1 ) g i v e nt h es t a ，b i l i t y ，e r r o re s t i m a ，t eo f s p a t t i a ls e n t i d i s c r e t i z a t i o nl e g e n c h e g a ，l e t l d ns p e c l , t a ，lm e t h o d sf o rt h el i n e a ，re q l 1 a t i o n ； ( 2 ) w ed i s c u s s t h es t a b i l i t ya l l de s t i m a t eo fs p a t i a ls e i n i d i s c i e l i z a fr i o n b a s e do nt h es p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d s ； ( 3 ) g i v e nt h es t a b i l i t y ，e r r o re s t i m a t eo ff u l ld i s c r e t i z a t i o t lf b r t h el i n e a ，r e q u a t i o n ( 4 ) n u m e r i c a ，1e x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：w e a k l ys i n g u l a rk e r n e l ；p a r t i a li n t e g i 0 一d i f f e r e n t i a ，le q u a ，t i o n f i r s to r d e rf u l l yd i s c r e t e ；c o n v o l u t ，i o nq l l a ，d r a t ，u r e ；s p e c t r a lc o l l o c a 1 i m lm e lh o o t s 湖南师范大学2 0 0 6 艏硕士学位沦文 第一章序言 我们将研究下面一类偏积分微分方程数值解的谱方法格式 毗( z ，t ) = 后( t s ) u ( ，s ) d s + f ( x ，t ) ( 1 1 ) ( 其中核( t ) = t - u 2 ，在t = 0 点是奇异的) z q = ( 一l j1 ) 2 ，0 t ， 有如下边界条件： 和如下初始条件 t ( z t ) l o = 0 0 0 ) ，映射为 如下函数： ( ，1 2 ) ( ) = 厝( f s ) _ 1 2 ( s ) d s ( 1 4 ) 满足下列性质( 见f 6 1 中的p 3 2 0 ) ： 因此丌- i 2 j r m 能看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算 的理论( 见 4 】) ，我们能定义微分算子d = d d t 的平方根d a 2 ： d 1 2 d 1 2 片f ( s ) d s = 。删， 7 r 。2 d 1 2 ，m = 恒等算子 在( 1 ，1 ) 的齐次方程两边运用d 1 2 可得 d d u = 7 r 1 2 札z z( 16 ) 2 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 因此方程( 1 1 ) 的齐次方程可被看作介于我们熟悉的方程：d u = o u 。 与d 2 u = b u 。z ( a ，b 为正常数) 之间的一类方程。 近年来，国内外有很多人研究了这类方程。陈传淼、 v t h o m d e 和l b w a l i l b i n 1 1 采用向后e u l e r 格式，空间方向采用线性有限元， 积分项通过内积求积技巧进行离散，得到解的正则性条件及误差估 计。，g l s p e z 一 ，吖c o s 1 4 1 研究r 一类非线性的积分微分方程，采用 了一阶时间全离散差分格式。l i ? c l e a n ，v t h , o m 舀e 5 1 使用厂e ，“腑和 二阶向后差分格式，空间方向用g a l e 7 ，k i n 有限元方法，并给出了问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的正则性估计。s a n z x e t t z a 6 】也研究了这类问题，在时 间方向，他采用了向后e u l e 7 ，格式和一阶卷积求积逼近积分项，对光 滑与非光滑的初始值导出了相应的误差估计。徐大8 考虑了肌f “ 和c l z 一n i c o l s o n 格式和一阶、二阶卷积求积，得到了带权的误差 估计。 1 5 1 使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散，得到最优阶误差 估计。f 3 1 空间方向使用正交样条配置方法，得到空间半离散的稳定 性和收敛性。( 1 9 时间方向使用有限元，而且允许变时间步长。1 2 5 空间方向采用& u s s l o b a t t o 积分点上拟谱配置方法得到无条件稳定 性及最优误差界。f 2 2 1 考虑了不连续o a ，l e r k i n 方法( d g ) ，稀疏求 积公式，得到问题的先验和后验估汁，并给出厂自适用算法，阻f 先通过l a p l a c e 变换及逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而可 以采用并行算法来数值求解。f 1 8 1 时间方向使用一阶，二阶向后差 分，空间方向采用分片线性元，利用卷积积分得到最优阶洪差界。 3 3 】考虑的是v o l c e t t a 积分微分方程，核矗( ，s ) = ( t s ) _ 0 ：( ) n 1 ： 作者采用多项式样条配置法，利用适当的分级网格，可使相应的配 置逼近具有m + 1 一n 的超收敛阶，由于时间离散必须保留前面所 有的值，它将要求大量的内存，为了克服这些困难，黄元清【2 提出 了一种累加格式，使得存储量和工作量均能够大大减少。 1 7 是 2 】 在弱奇异核偏积分微分方程上的具体应用，并采用变步长进行时间 离散。，日s l o a n ，v t h o m d e 7 建议减少求积区间，使用高阶的求积公 式。( 3 4 1 中采用了“几何网格”，使得工作量减少。谱方法是一种既 经典又广泛使用的求解偏微分方程的数值方法，至今，谱方法已和 有限差分法，有限元法一起成为偏微分方程数值求解的三种基本方 法。它尤其适合于解非常规则，几何区域维数非常大的情况。甚至 一类带弱奇异核的偏积分微分方程谱配置方法全离散的长时间估计 3 能更好的控制受扰动和不稳定现象影响的数值问题的解。谱方法和 拟谱方法广泛的应用于许多工程领域的数值计算，而且它的数值分 析理论也不断地完善f 3 2 ，4 0 1 。最近，人们结合变分方法来对潜方法 进行研究，用来找到逼近误差( 用l 2 范数或能量范数表示) 和解的 正则性或者是离散参数之间的依赖关系。事实上，通常情况下解不 是无穷可微的。谱方法是以正交多项式( 三角多项式，c l t e b y s h e v 多 项式，l e g e n d r e 多项式等) 作为基函数的g a l e r k i n 方法，t a u 方法或 配置法。它们分别称为谱方法，t a u 方法或拟谱方法( 配点法) ，统 称为谱方法。在数值计算中，谱方法往往由配点法来实现，它是一 种离散方法，其中的配置点可以选择高斯点。 本文使用l e g e n d r e g m e r k i n 谱方法得到了空间半离散的解的稳定 性和收敛性，用基于g a u s s l o b a t t o 点的拟谱方法分别得到了空间半 离散以及全离散的解的稳定性和收敛性。对于我所做的这个方程， 所得的结论都是全新的，是没有任何人做过的，因此，本人队为这 是一项非常有意义的工作。全文按如下安排： 第一章介绍了当前数值求解偏积分微分方程( p i d e s ) 已有的方法 和结论，重点介绍了本文所用的谱方法。 一些预备知识放在第二章，着重介绍了一些谱投影和一些引理。 第三章讲讨论l e g e n d r e g a l e r k i n 空间半离散，并得出解的稳定性 和收敛性。所得出的误差界和参考文献当中的一些文章使用有限元 方法( f e m ) ，样条配置方法( s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s ) ，不连续 g a l e r k i n 方法( d g ) ，及快速逆的l a p l a c e 变换方法所得的结果一致。 第四章给出了谱配置方法的空间半离散解的稳定性和收敛性。 第五章是在第四章的空间半离散基础上，时间方向采用向后欧 拉公式，刘积分项使用一阶卷积求积来进行全离散，并得到全离散 解的稳定性和收敛性的长时间估计。 为了保证我们的误差界存在，有意义，在第六章专门做了一些正 则性讨论。 4 湖南师范大学2 0 1 1 6j i ；硕士学位沦文 第二章预备知识 弟一早 耿营- 大u 识 2 1一些定义和记号 我们给出将在本文中用到的些定义和基本结论。先给出l 。空 圃以及它上面的内积和范数的定义。 l 2 ( q ) = u ：q 一瓞可预4 ； 正2 d 2 ( z ) ( c z o 。) ( u ：u ) = 上l u , 可d t 2 ，扎，y j l 2 ， f = ( u ) 垅 接下来定义s o b o l e 、，空间及其范数。如果m 为非负整数，我们用h ”，) 来表示在区域q 上的s o b o l e v 空间，并且具有范数： m 一0 如，暑：s 。f 器1 2 俐7 2 a ，1 + 0 2 0 ( 22 ) 为了证明需要，我们引出r i t z 投影算子n ：，j 一峨( 2 ) 4 ( u n u ，西) = 0 v ( i ) ep ( 23 ) 这里月( u ) = 正2v u v v d zv u ， h 1 ( 吼所以，a ( v n 口：( i ) ) = 0 也 可以表示成 ( - a v ，西) = ( 一a l - l s v ，) ( 2 4 ) 引理2 1 ：1 气i t z 投影的误差估计为：对讯h 9 ( q ) n 础( q ) ，其中， 0 盯，盯21 一i r i s u 忆c n 。( ，) 1 1 u1 1 。 ( 2 5 ) 当肛1 时， e ( ， ) = ，当 1 时，e ( “) = 2 t , t 一1 证明：见 3 2 ，3 9 。 本文还将多次用到如下引理 引理2 2 ：，( ) l l , t o c ( o ，) 为正类型，当且仅当， _ r e 万( s ) 0 ，对s s c ，r e s o ) ( 2 6 ) 其中的万表示p 的拉普拉斯变换 证明：见 4 0 】( 或者 4 1 】) 。 6 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 第三章l e g e n d r e g a l e r k i n 空间半离散逼近稳定 性及其误差分析 3 1离散格式与拉普拉斯变换 在这一章里，我们将用关于时间连续的l e g e n d r e g a l e r k i n 谱来逼 近( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，记x 方向半离散近似解为u ( ) ： 0 ，。) _ p ( q ) ： 其中p ( q ) 是边界上为0 的n 次多项式空间，( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的离散格 式可写成如下形式： ( 1 t | 。，x ) = j ip ( t s ) ( 札( s ) ，x ) a s + ( 厂( ) ，) ( ) v x p ( q ) ，。 ，c ，( o ) ：尸o p 1 ， 为了，分析l e g e n d r e g a l e t l d n 空间半离散的解的稳定性和l 陂敛性， 我f f - v 面介绍定义在 0 、) 的函数u 的拉普拉斯变换： 舀( s ) 兰j o ”u j ( ) e 一“d t 同时回顾它的些性质： 命题3 1 ：( 卷积定理) 如果： t ( ) = “( 一7 - ) ? ( 7 - ) 以7 - ， ，( 0 ，o o ) 那么有： 葫诧( s ) = a ( s ) 霞( s ) 命题3 2 ： t ( t ) ( s ) = s 。鑫( s ) 一n r t - - u ( 1 ) 一一乱( 7 。一1 ( o ) 引理3 1 ：( p a ，r s e v a l 等式) 。：羔西( s o + j ( ) 秽( s o 一, i q d c = 2 7 c 上) o oe - 2 s o t 札( ) t ，( ) i ! ! j ( 7 功 一一 一类带弱奇异核的偏 分微分方稃谮配鬣方法全离散的长时闸估计 7 二二：一：= ： 以及 三愀s o + i 驯刍d 0 ，如果 铲e - 2 s o t u ( 1 ( ) u ( ) d t 0 成立，那么就有： 厅旷2 毗，2 ( 岫击, 0 2 ( o ) 证明：f 见3 , p 7 6 0 1 e m n l a 3 1 j 引理3 3 ：对s ) 0 ，如果 。fe - 2 s o t v ( 1 ( ) ( t ) 出铲e 也舭f ( t ) v ( t ) d t 成立( u 1 ( ) 表示v 关于t 的二阶导数) ，那么就有： 铲e 以谢u 2 ( ) 出砉 2 ( o ) + 素fe 咄。t ，2 ( t ) d t 证明： 【见8 , p 7 6 1 e m m a 2 2 1 。 3 2稳定性 下面我们转向l e g e r d 陪c a l e r k i n 空间半离散解的稳定性的证明。 定理3 1 ：( 稳定。i - 生- ) 考虑初边值问题( 3 1 ) ，我们有： ：产( , - 2 s o t m n ( ，) i i 2 以，s 去肿均j j 2 + 嘉( - - - 2 s 0 i ；m ( ，) j j ：r z t ( 3 6 ) 证明：对( 3 1 ) 两端应用拉普拉斯变换结合( 3 2 ) 得： 、s d u 。n ( s ) ，x ) = 万( s ) ( 在( s ) ，x ) + ( 灭s ) ，x ) 取) ( = 鼬( s ) 得： ( 笋( s ) ，嚣( s ) ) = 万( s ) ( 氨( 5 ) ，赫( s ) ) + ( 穴s ) ，z n ( s ) ) 8 湖南师范大学2 0 0 6 埘硕士学位论文 设s = s o + i ( ( 5 0 o ) ，对两边同时取实部，可得： r e ( ( 五a t 五( s 。+ i ) ，鑫n ( 5 。+ i ( ) ) ) = r e ( 万( s 。+ i ( ) ) ( 鑫( s 。+ + r 4 ( f ( s o + i ( ) ，雹n ( s 0 + i ) ) ) 因为拉普拉斯算子一具有正性，也即： 由( 26 ) ，所以有 一( 砬( s o + i ( ) ，砬( s 1 ) 十j ) ) 0 利用拉普拉斯变换的，n ，杖n f 等式( 3 4 ) 可得 i ( ) ，鑫n ( s 0 + i ( ) ) 竺( 鲁，矗) ( s 。+ i ) r z ( = 以，j = 鲁( s 。+ i ) 虱( s 。+ i ( ) c z “l 2 = 2 7 rl ni 蔷e - 2 s o t 鬻4 氇n d t d q 同时有： 竺( f 五) ( s o + j ( ) d 由上两式可得： 正，芸氕s 。+ i ( ) 否| v ( s 。+ j ) d d q 9 丌：2 “, c oe 印。，( f ) u n ( t , ) d t c t fl kl 芋c - 2 s o t 妞o t ( t ) a n ( i , ) d t d f 2 = 去l ：要r 4 ( 鬻。霞) ( 5 0 + j ( ) ) d o ) ，我们对( 3 1 4 ) 两边取实部得： s 。( 氟劢：r e ( 万( s ) ) ( 虿，们十r e ( ( 万，劢) 根据( 2 6 ) 及拉普拉斯算子的非负性易得： s 。( 钪们尺e ( ( 万，们) 由s c h w a ，r z s 不等式得： 2 剖1 删1 2 因此 熙惭一。+ i 1 ，插值误差估计如下( 见【3 8 】) ： 一h u 忆c n 2 , - 0 1 1 u 1 1 。，讹h 9 ( q ) ( 4 1 ) 这样，我们对于( 1 1 ) 的空间半离散拟谱逼近就是如下的配置 司题：我们定义映射u ：u c 1 ( 蚂( q ) ) ，对v t ( 0 ，t ) ， f 厶( ，j ，) 一：；j ( 一s ) u ( _ ：，s ) g s = ( 一。，) u ( 一j ) = u ( ：c i o ) = 0 u ( z i j ，0 ) = z t o ( z i j ) lsi ，j n 一1 ( 4 2 ) 0 i ，j n 一类带弱奇异核的偏积分微分方程谱配置方法全离散的长时间估计 在c 一1 ；1 】c 卜1 ，1 上，定义双线性形式 ， ( 西，) = p ( z o ) 沙( 卫，) u i 够j ， v ，砂c o ( f 2 ) i , j = n 由1 4 2 可知， ( ，) 为p 上的离散内积。我们可以定义离散范数如 下 j = ( 函，咖) 2 ， v 咖c o ( 孬) ( 4 3 ) 很容易验证，有如下不等式成立( 见 4 2 1 ) ： 妒| | l i 1 1 v 2 1 1 1 1 ，v p ( q ) ( 4 4 ) 根据c a u c h y 不等式，我们有： n|n ，咖h s 、i 善。扩 咄屿1 l ；善。妒 巧p 蝴21 1 妒1 1 i 心 根据高斯积分定义，对v 莎，岫：多1 f ) p 2 一j ( q ) 容易得到： ( 妒，妒) = ( 驴，妒) 所以( 2 3 ) 可改写为： ( _ a u ，x ) = ( 一a h 扎，x ) = ( 一a h n u ，) ( ) ( 46 ) 最后，对任意的u c o ( 瓦) 我们定义e ( u ) 如下： ( e ( v ，) ，矽) = ( 。，；) 一( t ，咖)v 咖c o ( 瓦) 下面证明( e ( ) ，矽) 是线性的，因为对任意钆u 。c o ( 豆) ( e ( v l + 1 j 2 ) ，) = ( u l + 0 2 。，声) 一( u l + v 2 ，) = ( u 】矽) 一( 1 ，1 ，( 7 i ) + ( 0 2 ，咖) 一( u 2 ，妒) = ( e ( t - ) ，咖) + ( 历( t ，2 ) ，咖) 我们有如下引理 引理4 1 ：对 c ，( 豆) ；存在与n 及 ，无关的常数c ：使得 f ( e ( u ) ，) c ( 1 l , 一p 一训| j + i t ，一i n v l l l l l l ， v 咖i ? n 1 4 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 凶此，由( 4 1 ) ，若u h “( q ) ，则有 l ( 厅( t ，) ，矽) l ( ，? v 一“| | 一，| i 。l f 妒i f v 4 p n ( 4 7 ) 证明( 见 3 2 ，4 3 ) 。 ( 4 2 ) 的变分形式可写为： ( 阢，) ( ) 一f op ( t s ) ( u ( s ) ，x ) n d s = ( ，x ) n v x p 2 ，( q ) 引理4 2 ：对s o 0 ，如果有： 扩e 如。( 抛( t ) ，t t ( t ) ) ( c f 铲e 2 刚( ( c ) ，u ( t ) ) n ( 2 1 f ( 4 8 ) 成立，那么就有： 后o o ( ：- 2 s o t ( t ) l l 知d t 挑，( 0 ) 附。鸯铲e _ 叫6 ) 惭i t , ( 4 t 9 ) 证明：易知， ( 毗( t ) ，u ( t ) ) = 鑫( ( u ( t ) ，札( t ) ) ) 由分部积分得 厅e 墙。( u 。( ) ：u ( ) ) d = j e 勘。m t ) 俐铲 _ i - s o 伊e 卿i i d t ) g d , t = 一钏札( o ) 峨+ s of e - - 2 s o t i t t ( t ) 1 2 n d t 所以我们有： 坛o oe 讹( ) 嗡比s 击m o ) 峨+ 土8 0f e - 2 8 0 。( 巾) ，u ( ) ) - d ， 冬丽1 似o ) 嗡+ i 。铲e 卫谢1 1 , ( t ) i i n l l w ( t ) i l n d t 冬划1u ( o ) 惕+ 瑶1 山, o , oe 咄。w ( 圳触+ j 1j n o oe 勘似圳触 后两个不等式分别用到了c a m c h y 不等式( 4 5 ) 和y o u n g 不等式， 证毕。 引理4 3 ：给定函数札， 5 2 【o ，o o ) ，我们有： 巴( 爸， ) ( s 。+ i ( ) 必= 2 丌铲e 如。( 札( ) ，u ( t ) ) n d t ( 4 1 0 ) 一类带弱奇异核的偏积分微分方程谱配置方法全离散的长时间估计 1 5 证明 证毕。 l 三( 霞，v ) n ( s o + i ( ) d = ，：( 霞( s o + i ( ) 否( s o + i ( ) ，1 ) n d ( = ( 熙雹( 翮+ i c ) 否( s o + i ) 心1 ) = 2 丌( fe - 2 s o t 乱( ) ( ) 扰1 ) n = 2 丌矗, 0 0e - 2 s o t ( 扎( t ) u ( ) ，1 ) n d t = 2 7 r ，舻e - 2 s o t ( “( ) 、 ( ) ) d 4 2稳定性u 。r 一 下面给出格式的稳定性。 定理4 1 ( 稳定性) 考虑边值问题( 4 2 ) ，我们有： fp 一2 3 。i i u ( ) l 知矗t 上。l l v ( o ) l l k , + 碚1 上产e 一2 3 。2 l | ，( t ) g d t 证明：划( 4 8 ) 两端作拉普拉斯变换得： ( 队，x ) n = 卢( s ) ( u ( s ) ，x ) n + ( ；z ) n 也即 ( 巩，x ) n = p ( 5 ) ( u ( s ) ，x ) + ( ，x ) 令= 7 ，对( 4 1 2 ) 两端取实部得： r e ( ( 玩；d ) ) = r e ( ( 万( s ) ) ) ( d ，d ) + r e ( ( f 疗) ) 根据( 2 6 ) 和的正性，我们有： r e ( ( 巩，u ) n ) r e ( ( ，u ) n ) 由( 4 1 0 ) ，可以得： 上产e 一2 s u ( 阢( 。) ，u ( ) ) d t = 去i 三r e ( ( 玩，痧) ( s 。+ i ) ) f = f ( 磊1f ：8 e ( ( 芦d ) ( s o + i 0 ，使- 何i 1 ；i 条件( 2 5 ) 得以满足，那么对于( 1 一) 和 ( 4 2 ) 的解有如下误差估计： 死- i ) op 一2 铀l i u ( 。) 一札( 。) 2 ( ) ! t c n 2 。( n c ，i ；4 - ：；o oe 一2 5 。t ( i u ( ) l i ；4 - i 鲤o t a 。) d ) + c f e2 即f f e ( j ) 铲d t ( 41 3 ) 这里的常数c 只与s 。有关。 证明：设瓦= 钆( ) 对任意t 0 那么西满足如下变分方程：任 给x p ( q ) ， ( 玩，) ( ) = 后( s ) ( 西( s ) ，x ) d s 一( u 。，x ) + ( 矗。，) ( ) j 十( ，x ) ( 4 1 4 ) 设e ( ) = u ( ) 一面( f ) + 西( ) 一u ( ) = 叩( t ) + p ( ) ，z 0 ，同时将( 4 8 ) 与 ( 4 1 4 ) 相减得： ( ，my ) = ：) l - ( ，一5 ) ( ，7 ( s ) ，) d s + ( “，：x ) 一( 再，：，y ) + ( 历f 厂) v ) 对上式两端作拉普拉斯变换得： ( 硫，) ( ) = 万( s ) ( 万( s ) ，x ) + ( 苞t ，x ) 一( 茜。，x ) 十( e ( 乃，九) 取) ( = 万，对上式两端取实部得： r e ( ( 谎：劢) = r e ( 万( s ) ( 万， ) ) + r e f ( 玩， ) 一( 蜀， ) + ( e ( 。乃， ) 类带弱奇异核的偏积分微分方程谱配置方法金离散的长时间估计 、1 7 根据( 4 6 ) ，( 2 6 ) 还有一的正性，我们有： r e ( ( 伉万) ) r 户【( 西。，f i ) 一( 嚣。，万) + ( e ( 乃，万) 1 由p 削s e v a 1 等式以及引理( 4 3 ) 可得： 铲e - 2 s o t ( 7 7c ，7 7 ) ( t ) 出= 去f 等r e ( ( 嚷，动( s o + i ) ) d s 磊1 ，善j f 2 e ( ( 魂， ) ( 5 04 - i ) 一( 覆， ) ( 翮+ i ) + ( e ( ，) ，劢s o + i 0 ，我们假设，：( ) 是一个冲量函数，定义如下： ：( t ) = 7 ；6 ( t t i , e ) ， n = o 其中6 ( 一，t e ) 是一个在k 仳点的单位冲量函数。 引理5 1 假设有两函数r ( s ) 和肌( s ) 分别作为 ( s ) 和ks ) 的拉 普拉斯变换，我们有： o o ( h ，。) e e s _ l 似( ) ，) 以( ) ) = 焘j c _ f c c + 剐呼( pf 面f 可) d q 7 1 = 0 。 ( 5 9 ) 其中i 表示z 的复共轭。 证明：见【s , p s l 因为足( 5 ) 和皿( s ) 都只是e 一的函数，我们令名= e ，p = e 5 。那 么r ( q ) 就是一个仅与p 有关的函数，也即f ( p ) ；仉( 卜- 口) 是一个以z p 为自变量的函数，也即h ( z p ) 这样一来，( 5 9 ) 可以写成另一种 形式： ( ， 。) n z 一“= l ( 厂( t ) ， ( t ) ) 疋( ) = 丽1 片p - 1 ( f ( p ) ，( ；) ) a c ? ) t o , = o ( 5 1 0 ) 我们下面还给出求积误差 一类带弱奇异核的偏秋分微分方程谱配置方法全离散的长时间估计 21 引理5 2 ：如果鹾( 咖) 和嘏( ) 如前面所定义，那么有： l i 醴( ) 一q 5 ( 妒) t l g r 尼 何f | ( o ) l l + g r 忌以：一。1 1 咖。( s ) t l d s + g 七后一1p ( ，。一s ) i i 驴。( s ) l i d s ( 5 ，1 1 ) 证明： 见1 0 ，p 7 l e m m a 2 2 ) 5 2稳定性 定理5 1 ：设u ”为( 5 4 ) 所定义，为( 5 1 ) 所定义，那么对 任意的r ： 0 有： ，量e 1 。妙嗡南知+ ( 删i l l ”| | n e - n ；) 2 ) ( 5 1 2 ) 证明：对( 5 4 ) 两边作z 一变换得： ! ! o o o or l 。 ( ”z 1 。一沪_ 1 z ，) ( ) + 7 r l l 2 ：3 2 ( ( 蚴州a u j ) z _ l ；x ) = ：( ”z 一，x ) 进一步计算有： ， ( u ( ， ) 一u o z 一1 一z - 1u ( z ) ，x ) n + 丌1 2 足3 2 ( ( “h 一，a u ) z 一 一a u o 1 u ，。z 一7 、1 。 7 l = l jj = 【j = j o ( 3 w o a u o ，x ) n = 后( 、，”z n ，) ( ) 咒= 】 应用z 变换的卷积和定理( 5 6 ) 以及( 5 2 ) 整理得： ( 1 一z 一1 ) ( 衫( z ) ，) ( ) _ + 丌1 2 七3 2 万( 1 一z 一- ) ( 月矽( z ) ，x ) j v ：七( 卢( z ) ，) ( ) + z - 1u o ，) ( ：) ( 5 1 3 ) 其中： u ( z ) = u 1 z 一1 + u 2 z 一2 + + u “z 一”+ f ( z ) 一、1 1 z 一1 + 、2 z - 2 + + 厂“z 一”+ 取x = 衫( z ) 代入( 5 1 3 ) ，利用( 4 6 ) 得： ( 1 一孑1 ) f f 痧( 。) 1 1 7 、，十丌1 2 七3 2 及l 一。一) ( 4 乃( 。) ，乃( 。) ) ： ：( 芦( 。) ，力( 。) ) + ( = ( 5 1 4 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 设z = e , s o 州t 7 ，其中s o 0 所以有： r z ( 1 一= 一1 ) = 1 一e 一8 0c o s 叼1 一e 一印 0 由引理2 2 知： r e f l ( 1 一z 一) 0 ( 5 1 5 )