（应用数学专业论文）带耗散与扩散的非线性双曲系统的零扩散极限.pdf

须士学位论文 m a s t e i s r h e s l s 中文摘要 本文研究了一类带耗散和扩散的非线性双曲系统的c a u c h y 问题通过构造一 个校正函数抵消无穷远处的值后，利用能量方法得到了初始值在对应扩散波附近的 小扰动下该c a u c h y 问题解的整体存在性结果进一步，还研究了解的零扩散极限 即，证明了当扩散参数趋于零时，解序列收敛于相应的双曲系统的解 关键词，非线性双曲系统；先验估计；能量方法；零扩散极限 i a bs t r a c t i nt h i sp 印e r ，w ec o n s i d e rc 制【( = 王1 yp r o b 王e mf o rs 伽n o n l i n e a rh y p e r b o n cs ) 僦咖 谢t hd a m p i n ga n dd i f f i l s i o n t h r o u g hc o n s t m c t i n gac o r r e c tf u n c t i o nw m c hi s 璐e d t oe l i i n i n a t et h el a y e ra ti n f i n i t ea n du s i n gt h ee n e r 时m e t h o d ，w ee s t a b l 曲t h e g l o b a le 】d s t e n c ei ft h ei n i t i a ld a t ai sas m a l lp e r t u r b a t i o na r o u n dt h ec o r r e s p o i l d i n g l i n e a rd i f n s i o nw a 鹤f 、l r t h e r m o r e ，w es t u d yt h ez e r od i 乐l s i o nl i i n j t p r e c i s e l y ，骶 s h o wt h a tt h es o l u t i o ns e q u e n c ec 0 i l v e r g 豁t ot h ec o r r e s p o n d i n gh y p e r b o l i cs y s t e m a 8t h ed i f f h s i o np a r 锄e t e rt e n d st oz e r o k e y w d r d s ：n o n l i n e a rh y p e r b 0 1 i cs y s t e m ；8p 死d 庀e s t i m a t e s ；e n e r g ym e t h o d ；z e r o d i f h l s i o nl i m i t i i 磺士擘住论文 m 魄s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 日期：年月 日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程中的 规定享受相关权益。回亟迨塞握奁厦澄厦! 旦堂生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名： 日期：年月 日 导师签名： 日期：年月 日 第一章引言 本文研究了如下带耗散和扩散的非线性双吐系统的c a u d l y 问题； ! 炉- ( 卜俨坦札烁 ( 1 1 ) i - 谬= ( 1 一q ) p 口一p 蠼+ 2 妒口鳄+ q 吃， ( 矿，俨) ( z ，o ) = ( 讥( z ) ，如( z ) ) 一( 妒土，趾) _ 士。) ，( 1 2 ) 其中0 q o 时，系统( 1 3 ) 总是严格双曲的 关于系统( 1 1 ) 的研究，当芦 o 时，已有许多经典结果，见文f 1 ，2 ，6 ，1 0 ，1 2 ， 1 3 ，1 6 ，1 7 】 在文 1 2 】中，t 觚g 和z h a 0 在一4 口( 1 一口) p o ，以及初始值满足 ( 讥0 ) ，扛) ) l 2n 彤1 t o o ( r ，r 2 ) ( 1 5 ) 的条件下，讨论了c a u c h y 问题( 1 1 ) 与( 1 2 ) ，得到了解的整体存在性，并运用f o l l r i e r 分析和能量方法得到了解的衰减率但是，条件( 1 5 ) 是对初始数据( ( z ) ，如( z ) ) 的一个严格限制，它蕴含着： ( 讥 ) ，阮( z ) ) _ ( o ，o ) ， z _ 士o o 随后，z h u 和w a n g 在文f 1 7 】中将上述结果加以改进，考虑了初始值具有以 下不同末端状态的情形。 l i m ，口o ) ( z ) = ( 诅，啦) ，( 机，外) ( 妒一，p 一) ( 1 6 ) 善- 土 l 他们通过构造一个校正函数，运用能量方法得到了c a u c h y 问题( 1 1 ) 与( 1 6 ) 解的 整体存在性和衰减率 对于解收敛到另一种扩散波 茫二( 1 二磐芝 文【1 】中也有类似的结果最近，n i s l l i h a r a 在文 1 0 】中，d u a n ，l i n 与z h u 在文 【2 】中，以及w a n g 在文【1 3 】中都获得了解的最优衰减率 另一方面，对于系统( 1 1 ) 的修改形式： 烀- ( 卜0 。护理札焰 ( 1 7 ) 【雎= 一( 1 一p ) 口口一p 螺+ ( 矽a p n ) 。+ 眈， j i a n 与c h e n 在文f 6 】中最先通过能量方法和l e r a 扩s c h a u d e r 不动点定理建立了古 典解的整体存在性和唯一性后来，z h u ，z h a n g 与y i n 在文【1 6 】中得到小初值假 设条件下c a u d l y 问题( 1 6 ) 与( 1 7 ) 解的整体存在性，并获得了指数衰减率随后 w 抽g 在文【1 4 】中得到了最优衰减率 从相关的文献资料可以看出，所有结果都集中在q ( o a 0 的情形给出一个正面的回答。对p 0 的情形以后再做讨论 记号：本文所采用的数学符号绝大部分是标准的，但为了本文的完整性，补充以下 几点； 1 在不引起混淆的情况下，我们用c 来表示不依赖于a 和的正常数，并且 在不同的地方同个字母。c 。可以表示不同的值 2 汐( r ) ( 1 p o o ) 为通常意义下定义在r = ( 一，+ o 。) 上的妒空间， 定义范数i i 川p ( r ) = ( ，1 厂( z ) i p 如) 刍，1sp 0 若给定末端状态扩( 士o o ，t ) = 饥，通过直接计算， ( 2 2 ) 的解可显性表示为 张州) = 锘焘仁e 一南妇博， 地归e 邓叫。( 等去仁e 一南蚺妒一) = e - ( 1 _ 口) 。( ( 机咄) g 飞h1 m 妒一) ， 萨( z ，t ) = 一忐谚( z ，t ) = 一忐帆一妒一) e 川刊俨( z ，t + 1 ) ， 其中g n ( z = 去唧( 一鑫) 是抛物方程( 2 2 ) 的核函数容易看出 谚口( z ，) 一掣i 生e 一( 1 一。，z _ 士o o ，( 2 3 ) 萨( 毛t ) _ o ，茁- 士o o ( 2 4 ) 对于格林函数g 口( z ，t ) ，它具有以下性质： 引理2 1 对任意的0 q 1 ，存在一个不依赖于q 和t 的正常数c ，使得对 任意的1 p o 。，都有 l l 磋磷g 口( ，t ) l p c 一墨( 1 一；) 一2 一，z ，七：o ，1 ，2 ，。 利用引理2 1 ，通过直接计算，可得： 引理2 2 对任意的o q 1 ，偿) 的解巧a 0 ，t ) 和俨 ，t ) 满足以下性质： ( i ) | l 磋妒a ( ) i l 三一c 您一( 1 一。，f = o ，1 ，2 ，； ( t t ) 对任意的1 p + 。，都有 i i 磋磁巧a ( 舌) i f p c f 舛一妒一i e 一l a 弦( 1 + t ) 一；( 1 一；) 一孚，z = o ，1 ，2 ，尼= 1 ，2 ，； l i a ! | 磁弘( t ) i l l ，c i 饵一妒一i e 一( 1 一a ) t ( 1 + t ) 一；( 1 一；) 一考，f ，七= o ，1 ，2 ， 其中c 是一个不依赖于理和t 的正常数 另一方面，和文 3 ，1 1 ，1 5 ，1 7 】一样，由方程( 1 1 ) 可推知 妒口( z ，t ) + 红e 一( 1 一a ) t ， z 土。o ， 俨( z ，z ) _ 钍e 一( 1 一啦，z 一士o 。 综合( 2 3 ) ，( 2 。4 ) ，( 2 5 ) 及( 2 6 ) ，得 ( 妒口一移a ，俨一萨) ( z ，t ) ( o ，口士e 一( 1 一n ) 。) ，z ，士。o 为了应用三2 - 能量方法，如文【3 ，1 1 ，1 5 ，1 7 】一样，我们引入校正函数： 双础) _ e 川刊。卜( 钆也) 毗) 句) 其中啪( z ) 是一个具紧支集的光滑函数，且满足 ，+ 伽( z ) 如= 1 利用( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，可得 萨( z ，t ) _ 钍e 一( 1 一口) ，z 一士 因此，从( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 得 ( 妒a 一矽口，p 。一俨一俨) ( z ，芒) _ ( o ，o ) ， z 一士o 。 为了后面证明的需要，下面给出校正函数萨( z ，t ) 的一些性质： 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 引理2 3 对任意的o q 1 ，校正函数萨( 。，t ) 满足以下性质： ( i ) i i 谚萨( ) 。仇一( 1 一口) t ，z = o ，1 ，2 ，； ( i i ) 对任意的1 p + o 。，都有 i i 磋磷萨( t ) i l p c l 外一p i e 一( 1 一口) t ，z = o ，1 ，2 ，七= 1 ，2 ， 其中c 是一个不依赖于a 和t 的正常数 5 第三章整体存在性 在这一章中，我们讨论；对于固定的a ( o 口 1 ) ，c a u d l y 问题( 1 1 ) 与( 1 2 ) 的解( 妒。，俨) 的整体存在性 第一节主要结果 f 让。( z ，t ) = 妒a ( z ，t ) 一妒a ( z ，) ， 【口口( z ，t ) = 俨( z ，t ) 一萨( z ，z ) 一萨( z ，) 将c a u c h y 问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 改写为如下形式： fu 乒= 一( 1 一a ) u a 一谚+ q u 嘉一程， 【霹= 一( 1 一a ) 口一p “：+ 2 t a 吆+ q 咯+ 2 巧a 蟛+ 2 ( 露+ 程) u n + f a ，t ) ， ( 3 1 ) 初始条件为； u a ( z ，o ) = 让子( z ) = 妒。( z o ) 一妒a ( z o ) _ o ，z 一士o 。 ( 3 2 ) 【俨( z ，o ) = 瞎 ) = 口a ( z ，o ) 一俨( z ，o ) 一俨( z ，o ) _ o ，z _ 土o 。， 其中 f 口( z ，t ) = 一醪+ 2 西n ( 露+ 鳄) + a ( 琵+ 眩) ， 定义解空间 x ( o ，t ) = ( t 口，口a ) i 矿，俨沪( 【o ，州，日2 ) nl 2 ( 【o ，卅，日3 ) ) 主要结果可叙述如下s 定理3 1 ( 整体存在性) 假设( u g ，培) 日2 ( r ，r 2 ) ，6 = i 妒+ 一妒一i + l 外一p l 和晶= l i 皤m + l i 诘旧充分小则对任意的o 及 o ，仇c 幻问题p 夕 6 与p 砂存在唯一的整体解( 牡口，俨) x ( o ， ，且满足 ， i l u 口( ) ij ；+ i l u 口( ) i i ；+ ( i l 让a ( f ) i l ；+ l l 可口f ) l l ；) 打 ，0 + a ( ij q ( 丁) 1 1 2 + i l 唾蕾( 丁) 1 1 2 ) d 予 c ( 占+ 南) ，( 3 3 ) 其中c 是一个不依赖于a 和t 的正常数 注：由定理3 可得，仇让如y 问题以砂与一剀存在唯一整体解( 矽口，俨) ，且 满足 8 一事口，俨一萨一萨) x ( o ，丁) 7 第二节定理3 1 的证明 定理3 1 是由局部存在性定理和一些先验估计得到的首先给出局部存在性定 理： 引理3 2 ( 局部存在性) 如果( 似孑，蟮) 日2 ( 酞，r 2 ) ，则存在仅依赖于初始值 ij ( u 子，蟮) l i 且：( r ，r 2 ) 的正常数如，使得仇u c 的问题p 砂与p 砂存在唯一解( 俨，u 。) 义( o ，t o ) ，且满足 ( 让。( ，t ) ，u 。( ，t ) ) 1 1 日z ( r ，i 【。) 2 l i ( 皤，培) 1 1 日：( r ，r 2 ) 引理3 2 可由标准的方法得到，其证明可参见文【1 7 】 接下来证明先验估计 首先，给出先验假设： 阳) _ 。器留咖弋d i l 2 + 到咖弋圳2 j 鲥， ( 3 4 ) ，22、 其中0 矗1 由s o b o l e v 不等式| l 川驷l l 州钏厶”，和先验假设( 3 4 ) ，可得 i ( u n ，俨，) l i p 6 l ， ( 3 5 ) ( 3 5 ) 将在后面频繁使用 定理3 1 可由下面的一系列引理得到 引理3 3 在定理舅j 的假设条件下，引理舅2 中得到的解( u 口 ，t ) ，御a ，t ) ) 满足；对任意的0 a 0 ， 上( ( u 口) 2 帕叩+ “泓a ) 2 忡a ) 2 ) 如打+ ar 上( ( u 扩喇) 2 ) 出打 c + 品) ， ( 3 6 ) 其中g 是一个不依赖于a 和t 的正常数 8 证明 将( 3 ，1 ) 1 的左右两端同乘以2 p t 口，( 3 1 ) 2 的左右两端同乘以2 俨，并将 所得结果在r ( o ，) 上关于z 和积分，得 其中 上( 仳口) 2 + a ) 2 ) 如+ 2 ( 1 一口) z 上( 矿) 2 + 扣口) 2 ) 如打- ，r，o ，r + 2 a 。上( p ( u ；) 2 + ( 谚) 2 ) 如打 = 川乱圳2 + i l 培1 1 2 2 pr 上( 矿俨) 。如打+ + 如+ 如+ 厶， i t = 也pt 卜鼬打， 厶= 4 z 。上( 露+ 磅矽舭杌 如卅肌( + 堙) 妒) 2 如机 1 4 = 2 t r f 峨b 。心如打 下面分别估计 一厶 首先，由引理2 2 ，引理2 3 及c a u c h y s c h w a 嵫不等式，可得 ( 3 7 ) 刚肌灿打+ 等r 上( 盼姗肺r 上( 钟如打砌( 3 8 ) 厶2 ( | i 露。+ i i 程i i 工* ) r 上( ( 札口) 2 + ( 俨) 2 ) 如打 鲫以( ) 2 + ) 2 ) 妇扛 其次，由引理2 2 和( 3 5 ) ，可得 ( 3 9 ) 厶2 ( i l 眦一+ l | 记忆一) z 上( 俨) 2 如打c ( 6 + 以) z 。上( 俨) 2 出打( 3 1 0 )，oj r，0 - ，r 9 最后，田引埋2 2 ，引埋2 3 及c a u c h y s c h w r a r z 小等式，h j 得 厶6 z 。上( 钞口) 2 d z d r + 丢z 上( f 口) 2 ( z ，丁) d z 打 艿z 上( 俨) 2 出打+ 丢z 上( 一努+ 2 移。( 露+ 露) + 口( 砭+ 照) ) 2 妇打 6 。灿打 + 导z 上( ( 醪) 2 + ( 移a ) 2 ( ( 露) 2 + ( 鲤) 2 ) + ( ( 砭) 2 + ( 龟) 2 ) ) 如打 6 z 灿打慨 p 上1 ) 将( 3 8 ) ( 3 1 1 ) 代入( 3 7 ) ，得 上( p ( 缸a ) 2 + ( 俨) 2 ) 如+ ( 2 ( 1 一a ) 一c 6 ) z 上p ( u a ) 2 如打- ，r，o ，r 十( 2 ( 1 一q ) 一c + 叫) z 。上( 俨) 2 如打+ 2 q z 。上( p ( u ：) 2 + ( 勘) 2 ) d z 打 c ( 6 + 晶) ， 由上式可知，当6 和矗充分小时，( 3 6 ) 成立引理3 3 证毕 引理3 4 在定理3 j 的假设条件下，引理只2 中得到的解( t 口( z ，t ) ，俨( z ，t ) ) 满足；对任意的0 如打 + 导z 。上 ( 垓) 2 + ( 堙) 2 ( ( 露) 2 + ( 磅) 2 ) + ( 移。) 2 ( ( 醺) 2 + ( 睦) 2 ) ) 出打 6 z 。肚肛打+ 孤 ( 3 1 7 ) 将( 3 1 4 ) 一( 3 1 7 ) 代入( 3 1 3 ) ，得 上似( u ：) 2 + ( 嵋) 2 ) 如+ ( 2 ( 1 一口) 一c 6 ) z 上p ( ) 2 如d r- ，卫，o ，r + ( 2 ( 1 一口) 一c ( 6 + 以) ) z 上( ) 2 如d r + 2 q z 上札( u 艺) 2 + ( 御乏) 2 ) 如打 c ( 6 + 如) ， 由上式可知，当6 和占l 充分小时，( 3 1 2 ) 成立引理3 4 证毕 引理3 5 在定理舅j 的假设条件下，引理舅2 中得到的解( 俨( z ，t ) ，俨( z ，t ) ) 满足；对任意的0 o ，有 i i ( 妒口，p 口) 0 ) l i 哦( r ，r 。) c ， 其中g 是一个不依赖于口和的正常数； ( 衍) 对任意的0 t 1 如 0 ，有 移口( - ，t ) 日乙( r ) ，萨( ，t ) 日( r ) ，萨( ，t ) h 恐( r ) ( 4 5 ) 综合( 3 3 ) 与( 4 5 ) ，得 ( 矿，铲) ( ，t ) 硪( r ，r 2 ) ， l l ( 妒a ，俨) ( ，) i f 眠( r ，r 2 ) g 其中c 是个不依赖于q 和t 的正常数 这表明( i ) 成立 另一方面，由h i i l d e r 不等式，得 i i ( 1 f ，a ，俨) ( 。，2 ) 一( 妒a ，口。) ( ，t - ) 1 1 日k ( r ，r 2 ) = 蚣删m 川也畔， ，2 j ( ，i i ( 簖，鳕) ( ，丁) l i 瓯限r 2 ) 打 ( 如一t 。) 吾( z i l ( ，鳝，鳍) ( ，丁) i i 。限，舭) 打) 5 ( 4 6 ) 从( 3 1 ) ，( 3 3 ) ，引理2 2 和引理2 3 ，可知 l 啦 ，o r 2 ， ，o r ，0 g ， ( 钟，露) ( ( + 嚣 ( u ，谚) ( 7 - ) i l 瓦( r 舻) 打 + 露+ 毋) ( ，f ) l l 。r ，舻，打 川氛删，打+ 删( 嚣，露+ 莳) 其中g 是个不依赖于t l ，2 和q 的正常数 将( 4 7 ) 代入( 4 6 ) ，可得( 4 4 ) 1 7 ( 4 7 ) 研士肇位论吏 m a s t e r h st h e s i s ( 4 3 ) 与( 4 4 ) 表明。存在子序列 ( 妒叽，俨t ) ) ( 妒，俨) 及函数对 ，9 ) 职僻【0 ，) ，r 2 ) ，使得，在空间跣( r 0 ，) ，r 2 ，) 中 ( 妒饥，酽- ) 一 ，口) ，q 七_ o + 第二步证明极限函数 ，口) 是c a u c h y 问题( 4 1 ) 与( 4 2 ) 的解。 在方程( 1 1 ) 的左右两端同乘以任意测试函数u 诺，将所得结果在r ( o ，) 上关于z 和积分，再利用分部积分，得 z 上妒。魄如打= c l a ，z 。上妒d z 打一z 。上俨u ；如d 丁一az 。上矽口；如打 f。 一l 唪叫d z ， - ，t = 0 tl f 矗打= q 一曲tl - 如打一峰tl y u 。a z 打一2tl y 畦d 茁打 一口肌如打一厶。吼妇 ( 4 8 ) 用( 妒饥，口口t ) 代替( 4 8 ) 中的( 护，俨) ，并令七+ o o ( a 七一o + ) ，则对任意测 试函数u 锘，都有 m 肛出打一“舭打一肌圳一厶。咄 m 上吼u 如打= 一“钆如打一p 以岫如打一2r 上蚴+ 厶。溅 即，( 矽，口) 是c a u c h y 问题( 4 1 ) 与( 4 2 ) 的解 根据c 硼c h y 问题( 4 1 ) 与( 4 2 ) 的解的唯一性，得 ( 妒，口) = ( 妒o ，6 y d ) 第三步证明在空间跣( r 0 ，) ，噼) 中 ( 妒。，沪) _ ( 妒o ，6 y 0 ) ， q _ o + 实际上，从第一步和第二步可看出，对任意子序列 ( 妒q ，口唧) ) ( 妒。，俨) ， 1 8 都存在子序列 ( 妒叼- ，p 口j - ) ) ( 妒叼，p 哪) ) 【( 妒，俨) 】，使得，在空间f ( r 0 ，。o ) ，r 2 ) 中 ( 妒q t ，p ) 一( 妒o ，矿) ，七_ o 。( 。_ o + ) 由反证法，可得，在空间硪( r 【o ，) ，r 2 ) 中 ( 旷，俨) _ ( 矿，6 y d ) ， q _ o + 定理4 1 证毕 1 9 参考文献 【1 】凡j d u 觚a n dc j z h u ，a s y n l p t o t i c so fd i s s i p a t i v en 0 1 1 l i n e 扯e v d u t i o ne q u a t i o 璐 丽t he m p t i c i 锣：d i 舵r e n te n ds t a t e s ，j m a t h a n a l l a p p l ，3 0 3 ( 2 0 0 5 ) ，1 5 3 5 f 2 】瓦j d u 趾，s p l i na n dc j z h u ，o p t i m a l 汐( 1 p o o ) d e c a yr & t 鹤t dl 江 e a rd i 伍l s i o nw a v 髑f o rn o n l i n e a re 、r o l u t i o ne q u a t i o n sw i t he u i p t i c i 锣a n dd i s s i p a t i o n ， n o n l i n e a ra n a l ，t m a ，6 6 ( 2 0 0 7 ) ，2 3 3 孓- 2 3 4 4 3 】l i i s i a oa n dt p l i u ，c o n v e r g e n c et on o n l i n e a rd i 风s i o nw a v e sf o rs o l u t i o n so f as 陟 t e mo fh y p e r b o h cc o n s e r v a t i o nl a w sw i t hd a m p i n g ，c o m l u n m a t h p h y s ，1 4 3 ( 1 9 9 2 ) ， 5 9 9 - 6 0 5 ( 4 id y h s i e h ，o np a r t i 出d i 虢r e n t i a l le q u a t i o n sr e l a t e dt ol o r e n zs y s t e m ，j m a t h p h y s ，2 8 ( 1 9 8 7 ) ，1 5 8 9 - 1 5 9 7 5 】d y m i e h ，s q 7 i 纽g ，x p 、抽ga n dl x w h ，d 璐i p a t i v en o 血n e a re 谳u t i o n e q u a t i o n s 蛐dc h a o s ，s t u d a p p l m a t h ，1 0 l ( 1 9 9 8 ) ，2 3 孓2 6 6 【6 jh y j i a n 觚dd g c h e n ，o nt h ec a u c h yp r o b l e m 五竹o e r t a i ns y s t e m0 f 鼬m i l i n e a r p a r a b o l i ce ( 1 u a t i o n ，a c t am a t h s i n i c a ，1 4 ( 1 9 9 8 ) ，2 7 - 3 4 7 】l r k f e ，d ) m 锄妇o fp e r t u r b e dw a e t r a i l ls o l u t i o r u st ot h eg i n z b e r g - l a n d a u e q u 8 t i o n ，s t u d a p p lm a t h ，7 3 ( 1 9 8 5 ) ，9 1 1 5 3 f 8 jy k l l r 锄a o t o 龃dt t s t l z u ，o nt h ef o l m a t i l mo fd i 鹃i p a t i v e8 t n l c t u r 鹤i nr e a c t i o n - d i 丑璩i o ns y s t 伽啮，p r o g r t h e o r e t p b y s ，5 4 ( 1 9 7 5 ) ，6 8 7 6 9 9 【9 】e n l o r e m ，d e t e 瑚地t i cn o n - p e 哟d j c 且a w s ，j a t o m s c i ，2 0 ( 1 9 6 3 ) ，1 3 m 1 4 1 【1 0 】k n i s 址盯a a 暑珊p t o t i cp r o 胁0 f s o l u t i o n 8t on o i l l i n e 牡d i 8 s i p a t 溉e v o l l l t i o ns y s t 咖 w i t he h i p t i c i 瓴z a n g e w m a 七h p b y s ，5 7 ( 2 0 0 6 ) ，6 0 4 - 6 1 4 【1 1 】k n i s h i h a r a ，c ( ，n 、r e r g e n c er a t e 8t on o i l l i n e a rd i 肌s i o n 强舢1 e sf d rs o l u t i o mo fs y 8 t e m o fh y p e r b 0 h cc o 璐e r 僦i i d nl a w sw i t hd 锄p i n g ，j d i 脆r e n t i a le q u a t i o 璐，1 3 l ( 1 9 9 6 ) ， 1 7 l 1 8 8 【1 2 】s q 砜强dh j z h a ；d ，n 0 n l i n e a rs t a b i l i t yf o rd i s s i p a t i v en o n l i n e a r 唧l u t i o n e q u a t i 0 嬲w i t he u i p t i c i 瓴j m a t h a n a l a p p l ，2 3 3 ( 1 9 9 9 ) ，3 3 6 - 3 5 8 【1 3 1z a w 抽g ，o p t i m a ld e c a yr a t 髑0 fs o l u t i o n st od i 8 s i p a t i v en o n l i n e 盯洲i o ne q u 扣 t i o 璐w i t he l l i p t i c i t y z a n g e w m a t h p h y s ，5 7 ( 2 0 0 6 ) ，3 9 9 - 4 1 8 【1 4 jz a w a n g ，o p t i m a l ld e c a yr a t 笛t od 诳泌i o nw a f o rn ( m l i n e a re v d u t i o ne q u a t i 0 璐 w i t he l h p t i c 峨j m a t h a n a l a p p l ，3 1 9 ( 2 0 0 6 ) ，7 4 m 7 6 3 【1 5 】 c j z h u ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o 璐f b rp s y s t e m 丽t hr e l a x a t i o n ，j d i 髓卜