（理论物理专业论文）格点规范理论中的变分累积展开方法研究.pdf

04 l2 ，3 格点规范理论中的变分累积展开方法研究 卢强 南开大学物理系 摘要 这篇论文对格点规范理论和它的基本思想，连续极限， 7 标度行为，以及具体实现的计算方法作了介绍简述了目前 存在的问题以及前沿进展此外还系统阐述了格点规范理论 中的变分累积展开方法，以及确定变分参数的几种方法为 了研究改进作用量方法以及在有限阶累积展开的基础上采用 改进作用量来减少系统误差，我们研究了s y m a n z i k 改进作用 量下的零温z ( n ) 模型的相变行为，用变分累积展开方法计算 了内能和比热的三阶累积展开，并分别给出了一级和二级相 变点结果显示在改进作用量的研究中采用变分累积展开方 法是可行的此外本文还研究了s y m a n z i k 改进作用量下有限 温s u ( 2 ) 的退禁闭现象将p o l y a k o v 线作三阶累积展开来确 定相变点由于在变分累积展开中有限展开相当于某中意义 下的有限体积效应为了减少这种效应，除了采用改进作用量 外我们还提出了新的确定退禁闭相变点的方法由这种方法 确定的相变点在很大程度上减少了有限展开效应其结果明 显要比传统方法的好，而且与m o n t ec a r l o 的结果更好地符合 关键词格点规范理论，变分累积展开，相变点，p o l y a k o v 线 退禁闭 t h e i n v e s t i g a t i o no fl a t t i c ega u g et h e o r y o nv a r i a t i o n a lc u m u l a n t e x p a n s i o n l u q i a n g p h y s i c sd e p a r t m e n to fn a n k a iu n i v e r s i t y a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eb e g i nw i t hag e n e r a li n t r o d u c t i o nt ol a t t i c e g a u g et h e o r yi n c l u d i n g t h ec o n t i n u u ml i m i t ，i m p r o v e da c t i o na n da s h o r tr e v i e wo fc u r r e n ts t a t u s f u r t h e r m o r e ，t h ev a r i a t i o n a lc u m u l a n t e x p a n s i o n ( v c e ) m e t h o di sd i s c u s s e ds y s t e m a t i c a l l y t h es c h e m e su s e d t od e t e r m i n ev a r i a t i o n a lp a r a m e t e r sa r ed e s c r i b e d i no r d e rt os u r v e y t h ei m p r o v e da c t i o nw i t hv c e m e t h o d ，z ( n ) l a t t i c eg a u g em o d e lw i t h s y m a n z i kt r e e l e v e li m p r o v e d a c t i o ni ss t u d i e d i n t e r n a le n e r g ya n d s p e c i f i ch e a ta r ee x p a n d e du p t ot h et h i r do r d e rt og i v er i s et h ef i r s ta n d s e c o n do r d e rp h a s et r a n s i t i o n t h er e s u l t sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h a ti n t e r m so ft h ew i l s o na c t i o na n dm a n i f e s tt h a tv c em e t h o di sa p p l i c a b l e t os t u d yi m p r o v e da c t i o n n e x tw o r ki st os t u d ys u ( 2 ) g a u g em o d e la t f i n i t et e m p e r a t u r ef o rs y m a n z i ka c t i o na sw e l l p o l y a k o vl i n ei se x p a n d e d i l pt ot h et h i r do r d e rw i t hv c e m e t h o db e c a u s ef n i t eo r d e r e x p a n s i o n i ss i m i l a rt of i n i t ev o l u m ee f f e c t i no r d e rt ol e s s e ns u c hk i n do fe f f e c t w pf i n dan e wm e t h o dt od e t e r m i n et h ed e c o n f i n e m e n tp h a s et r a n s i t i o n w ilhp o l y a k o vl i n e t h er e s u l t sa r em u c hb e t t e rt h a nt h a ti nt e r m so f t h et r a d i t i o n a lm e t h o d sa n d p r e t t yc l o s et om o n t e c a r l os i m u l a t i o nd a t a k e yw o r d s ：l a t t i c eg a u g et h e o r y ，v a r i a t i o n a lc u m u l a n te x p a n s i o n t r m m i t i o np o i n t ，p o l y a k o vl i n e ，d e c o n f i n e m e n tp h a s et r a n s i t i o n 引言 在现代粒子物理中，规范理论已成为描述相互作用必不可少的工具，在发 现电磁相互作用满足a b e l 规范不变性之后杨振宁和m i l l s 将其推广到非a b e l 规范不变性不久人们又引入h i g g s 机制使规范场获得了质量，为弱电相互作 用的统一奠定了基础， 在强相互作用方面，轻子对强子的深度非弹性散射试验以及低能强子谱等 现象使人们相信强子内具有点状的夸克结构，量子色动力学( q c d ) 理论能很好 地描述强子结构，揭示了大量高能物理实验结果其中包括深度非弹散射，顶 夸克( t ) 的预言，以及胶子喷注等现象尽管q c d 取得了很大的成功，但至今 孤立的夸克未被发现为了解决这一困难，理论物理学家提出了夸克禁闭的假 设，认为自然界所能观测到的强子都是由夸克构成的色单态，带有色量子数的 胶子和夸克只能被囚禁在强子内部这一现象为大尺度，小动量过程，属于非 微扰论范围对于微扰论无法涉足 w i l s o n 在1 9 7 4 年提出的格点规范理论为研究规范场的非微扰过程提供了 一种有效途径他将连续的时空离散化，自动地提供了关于动量的紫外截断 最后再通过连续极限回到连续的时空这种数学技巧是直接从第一原理出发来 解决非微扰问题，所以受到很大的重视尤其是m o n t ec a r l o 数值模拟的引入， 以及并行机的投入使用使这种方法的研究范围几乎遍及粒子物理的各个领域 但近年来由于对精确度要求的不断提高，计算量的急剧增加与计算机有限资源 之间的矛盾变得越来越明显人们不得不寻求理论上的解决办法来缓解这一矛 盾进而提出了改进作用量方法目前这一方法的应用已成为研究格点规范理 论的主流之一 由于m o n t ec a r l o 方法是纯数值模拟过程，对揭示物理机制方面不够明晰 所以在发展计算机技术与m o n t ec a r l o 模拟的同时，发展行之有效的锯析方法 足十分必要的在早期的解析研究中，人们借助统计物理中的高( 低) 温展开技 术发展了强( 弱) 耦合方法，以及平均场方法后来引入了变分法，t ，e ，5 展开以 引言 及大 ，极限等方法八十年代，国内学者郑希特，陈天仑，吴济民，宋永等 在变分法的基础上提出了变分累积展开方法，通过十几年的研究和探索，这一 方法取得了许多与m o n t ec a r l o 方法符合的结果但在中间过渡区有些不尽如 人意，这在很大程度上与确定变分参数的方法有关，本文在主值法的基础上提 出了新的确定退禁闭相变点的方法得到了相当满意的结果 文章的安排如下：第一章介绍格点规范理论的基本思想和研究手段以及前 沿进展；第二章详细介绍变分累积展开及变分参数的确定方法；第三章介绍变 分累积展开方法中的主要技术和技巧；第四章我们应用变分累积展开方法计算 了s y m a n z i k 改进作用量下的z ( n ) 格点规范模型的相变问题；在第五章讨论 s y m a n z i k 改进作用量下的有限温s u ( 2 ) 格点规范模型的退禁闭相变最后是总 结和展望 第一章格点规范理论 格点规范理论于1 9 7 4 年由w i l s o n 首先提出所谓格点规范理论就是将 连续的时空离散化为为分离的格子，在其上建立规范场理论。格点化是一种数 学上的技巧，它提供了一种自然的截断从而使得连续时空中一般的量子场论所 固有的紫外发散不再出现重整化之后再将人为的截断去除，即通过取格距趋 于零的连续极限过程还原到连续理论。格点理论是建立在场论基础上的非微扰 方法。主要研究的是量子色动力学中的非微扰效应，如夸克禁闭以及强子谱等 问题。 1 1 规范场的格点化 把d 维欧式空间分离成等间距的点阵。点阵中相邻格点间的部分定义为 键，其长度为a 。规范场就定义在键( 1 i n k ) 上，而物质场定义在格点( s i t e ) 上。 由于规范场是一个与路径相关的相因子，所以把键定义为群元素。而与任意路 径对应的群元素是那些构成路径的键所对应的群元的乘积考虑一般的规范群 ( ? 的元u ( n ，n + 肛) ，它代表连接第n 个和第n + 口个格点，方向为口的键由于 规范群的幺正性。 u ( n ，n + 丘) = u ( n ，n + 应)= u ( n + 皿n ) ，( 1 1 ) 我们把键具体表示为 、“ u ( n ，n + 丘) = e z p ( i n g 鲁a ：( 礼) )( 12 ) 其中g 是耦合常数，”是群的生成元， a ：是规范场。为了建立体系的作用 蜒，首先需要找到合适的拉氏量选取拉氏量的原则有两个：一，当取- 0 连 续极限时，要求分离的拉氏量还原为连续时空的拉氏量二，拉氏量在定域规 范变换下保持不变满足这两点的拉氏量可以有无数个。但考虑到场强由势的 旋度给出，而且作用量为全空间对拉氏量的积分，这相当于对规范场a 。绕许 第一章格点规范理论 n n + 丘 图11 ：定义在w i l s o n 超格阵上的方块 多闭合回路的积分或求和也就是对图( 1 1 ) 的元格中u 的乘积。 s u ( n ) 群，可以给出作用量为 s = 等等 1 - j 1 丁帆+ 叼) 】 进而，对于 ( 13 ) f 0 = u ( n ，几q - 皿) c ，( n + 血，n + 血+ 痧) u ( 礼4 - 豇4 - d ，n + 痧) u ( n + 庐，n )( 1 4 ) 其中求和表示在d 维格点上对所有元格的求和 规范变换定义为 u ( n ，礼+ 西) q ( n ) u ( 扎， 4 - 豇) q ( n 十丘) _ 1( 1 5 ) 其中1 2 ( n ) 定义在点n 上由于是回路乘积在规范变换下，每一个n 都有 个i2 “与之相消。所以作用量( 13 ) 是一个规范变换不变量。 最后我们考虑取a - 0 的极限过程。用到b a k e r c a m p b e l l h a u s d o r f f 公式 、1 jr r 0 时只考虑最低阶时有 n r p ( 咖等n + 血) 一a 。( n ) 。) - - e x p ：i a 2 9 - a 。蔓 o l 。a 川】n ) ( 17 ) 这样，作用量( 13 ) 变为 s = 矛n 莩( 萼僻p ) 一；f d y 嚣f 一 ( 1 8 ) 5 12 连续极限 与连续理论中的作用量形式一致。在以上正规化过程中可以看出元格作用量仍 保持定域不变性，但牺牲了l o r e n t z 协变性 1 2 连续极限 由于实际的物理时空是连续的，以上的格点正规化方案只是一种理论形 式，要得到真实正确的物理结果，必须最终回到连续极限 2 。然而仅通过使 。o0 并不能得到连续的量子场论必须经过一个重整化过程，使得格点理论 满足一定要求时才能回到与现实物理世界相联系的连续极限。 由于l g t 中只含有一个长度量纲的参数a 和无量纲的参数g ，所以任何物 理量o 可以表示为 o = a - d f ( g )( 19 ) 其中，是裸耦合常数g 的函数，对于d 0 时，f ( g ) 的极限值必须为0 例如质量m 为 m = c m 。l - f ( 9 ) ( 1l o ) 、与a 斗0 时，必存在一临界点g 。使f ( g ) _ 0 ，以保证 ：f ( g ) = a c ( i 1 1 ) 、n 是一格点规范理论的标度参数，具有质量量纲。如果要求m 不依赖于a 。0 的极限过程，即满足o m o a = 0 ，我们得到 掣：一f(g)剐(1j2)aq ， p ( 9 ) = 一。五d g ( 11 3 ) 一，( g ) 就是重整化群中的c a l l a n s y m a n z i k 函数。我们知道，对于s u ( n ) 理论， ，( 9 ) 满足 卢( 9 ) = 卢0 9 3 + 卢l 矿+ f 11 4 ) 苎二主鳖盛塑堇堡玲 其中 岛= 一芸( 而n ) 岛= i 3 4 ( i 丽n ) 2 ( ，t 5 ) 对( 1 1 2 ) 积分得到 m ) 一( 时) f l l 2 碟e z p ( 一赤) ( 1 ，6 ) 声函数疆唯一的，但不是普适的，在不同的相互作用下，它的形式是不同的， 只有它的微扰展开的前两项是普适的而在很大的动量切断值时( 也即在较小 耦合常数时) ，这两项是卢的主要贡献由于这两项的行为与所选择的作用量形 式无关，任何有量纲的量随9 的关系都唯一的用这样的，( g ) 描写，故称之为渐 进标度行为如胶球质量为：m = a l ，弦张力为：盯m = g a l ，关联长度 为：f - - g a l 由( 11 1 ) 式和( i 1 6 ) 式得到 a 。= 脚五1 ( 时) - & 1 2 舶e x p ( 一嘉) ( 1 1 7 ) 其中比例常数，g 体现m 和o - 的非微扰效应。所以，要从l g t 得到连续极 限的物理观察量，必须检验理论是否具有正确的渐进标度行为微扰计算表明 【3 、4 i ，格点规范理论的a - 与连续极限下微扰论的a ”o m 之间存在如下对应关 系 a m 叫_ 5 7 7 虬跚( 2 ) 群( 1 1 8 ) ia m o m = 8 3 5 a l5 | 矿( 3 ) 群 这样就将格点计算的结果与实际的物理世界联系起来 1 3 改进作用量 当格距和格子体积都接近极限并采用标准w i l s o n 作用量时，计算量也随之 急剧增加通常格距取为0 4 f r o 时，误差将变得很明显。随着。的减小，计算量 就要以o “增加 5 这一困难可以通过引入新的作用量来减小基本的改进作 用量有两种。一是w i l s o n 的重整化群方法，二是s y m a n z i k 方法( 微扰方法) 。 1 3 改进作用量 在此基础上又发展的有蝌蚪( t a d p o l e ) 改进作用量，固定点( f i x e dp o i n t ) 改进作 用量等下面将简要介绍 w i l s o n 重整化群方法 6 1 6 当一系统处于临界点时( 关联长度= ) 。格距 的变化( 相当于重整化群变换) 不会影响临界点的性质它是一种块变换”方 法将一个格距为a 的格点变换到格距为2 n 的格点，同时保持格点的局域规范 变换及无量纲物理量的期待值不变，这样重复多次变换，可得出卢函数的连续 极限行为这一方法的缺点就是作用量的结构复杂需要用数值模拟计算大量的 卢函数 蝌蚪改进作用量f7 对于规范场从连续到格点的变换有 ( x ) ；e ”9 4 “1 ) - - 1 + i a g a 口x )( 1 1 9 ) 当n 很小时，高阶展开似乎是收敛的。但事实并非如此。高阶展开项里含有 i 页。它会产生紫外发散，正好与a 的减小抵消。而剩下的9 2 因子并不能有效地 抑制高阶项的大小这就是q c d 的蝌蚪贡献蝌蚪改进的方法是把规范场分 开为紫外发散部分( u v ) 与红外发散部分( i r ) 然后积分掉紫外部分平均掉红外 部分，链算符由红外部分代替为 肛o e 2 鲫a 。i 凡m ( 1 十i a g a s r ) 这桦泰勒展开就变得收敛了。其中参数p o 含有平均的紫外贡献 出现在每一个乩中肛。具体写为 p 。三( ；丁r f l2 0 ) 所以“o 应该 ( 1 2 1 ) 其中k 为荷的个数对于s u ( 3 ) 为3 ，s u ( 2 ) 为2 ，u ( 1 ) 为1 s y m a n z i k 改进作用量方法在前面的作用量13 式中的最后项o ( a 2 ) 具体 写为 。，= 一；昂。乩。+ 南。2 ( r t + r 2 + 凰) + 。( 。a ) ( 12 2 ) 6 其中 第一章格点规范理论 r 1 = 0 “f u p 8 。f v r 2 = 巩巴。巩咒。 砥= 8 【f * 口0 ，f p 口 其中只有r 。在树图近似下对方程( 1 2 2 ) 有贡献如果想去掉o ( a 2 ) 的误差需要 把其它的w i l s o n 环加到标准的相互作用项中它们会给出r t ，r 2 ，r 3 的抵消项 1 ) 作用量形式一【8 s = ： c 0 t r ( 1 ) + c t ? r ( 以t ) + q n ( s ) + c 3 t r ( r ) 1 0 2 3 ) 广 l j p l s q u e t t e 厂 ri l _ jl l r e c t a n g l ep a r a l l e l o g r a m 图12 ：改进作用量中的四种基本w i l s o n 圈 b e a t r e c a n g l e 具体的系数g 的确定方法随具体的应用及图的选取而变化 9 ，如果只考 虑树图近似的情况有c o = 8 3g l = 一1 1 2 2 ) 作用量形式二 1 0 1 s ( 【，) = 绋l c o r e t r ( 1 一g 1 ) 十_ b r t c ，r e t r ( 1 一u r t ) p l r t + t i p 9 c 2 r e t r ( 1 一9 ) ( 1 2 4 ) 如果同时加上蝌蚪改进 风一磊( 1 + 0 4 8 0 5 a s ) 一磊。0 3 3 2 5 理s ( 1 2 s ) 其中 n 。= 一! ! 塑3 0 删6 8 3 9 ( 12 6 ) 此外还有固定点作用爨【1 1 】等，这里不再详细介绍 j 1 一4 鳖生塑塾望堡塑塑壅丝丛里墨墨塑 7 1 4 格点规范理论的研究手段及研究现状 在实现了格点正规化之后，若已知格点作用量s ，用路径积分量子化就可 以得到任何观测量( ) 的量子期望值， ( o ) = z 一1 o e5 ( 9 ( 12 7 ) 矾) 其中z 为真空到真空所有组态( c o n f i g u r a t i o n ) 的振幅，即路径积分 z = e - s ( 。d ”z ( 12 8 ) u t 注意到如果将作用量写成s = p f 形式，那么以上两式就与经典统计物理中正 则系综的平均值和配分函数的计算对应起来。这样，一个分离的欧式时空点阵 卜的量子化规范场问题就转化为一个经典统计问题，二者之间的一般对应关系 如表l1 所示 统计物理场论 组态求和f e y n m a n 路径积分 配分函数格林函数生成泛函数 自由能密度真空能量密度 关联函数虚时传播子 关联函数倒数质量隙 高低温展开强弱耦合展开 相变相变( 对称性破缺) 表1 1 ：统计物理与场论中物理量的对应 这样就可以借用统计物理中的一些现成的方法来研究格点规范理论问题 1 4 1几种重要的计算方法 在早期的格点规范理论研究中，强( 弱) 耦合展开是最重要的研究方法，后 来在w i l s o n 的建议下，m o n t ec a r l o 数值模拟方法被引入到这个领域，并逐步 8 第一章格点规范理论 成为最重要的研究手段。在此期间，一系列的统计物理中的方法被移植过来 如累积展开方法和平均场方法等。下面对几种方法进行简单介绍。 强耦合展开 1 2 ，1 3 ，1 4 考虑s u ( n ) 群的格点规范作用量( 1 3 ) 式 s = 一口昂( 12 9 ) 其中口= 2 n 9 2 ，昂= 击了r ( + 叼) 是每一+ 个方块的作用量相应的配分函数 为 z = m u e 。r 5 ”( 1a o ) 由此可以进一步给出w i l s o n 圈眦的期待值 ( 唧 ) _ 糍攀 ( 1 s ) 将上式中的指数项对卢进行展开 e 晓，s p = 罂障孙，1 pln j 可以证明展开的第一项即贡献最大的项正比于，a 为w i l s o n 圈的面积只考 虑第一项贡献后得到的w i l s o n 圈为 ( 哪( 是) 4 【1 。) q 口一势的强耦合展开极限为 v ( r ) = 一；l i r a l n ( q 【u ) = 疗( 9 ) r (134)t 亍_ + 。 “川 、一 其中a = 一l n ( f l j 8 ) 为弦张力 弱耦合展开 弱耦合展开 1 5 】是将理论中的物理量按9 展开，这与连续q c d 的弱耦合 展开类似这里独立变量不是u ，而是a 。场，而且出现鬼项把s g 展开为 2 嘉莓丁r ( + 喀一2 ) = 岛+ s t 口+ 岛9 2 + ( 1 3 5 ) q 1 4 堡宦塑堇理箜塑窒三里堡里燃状 其中 乳：一i ( z ) ( z ) s ，= ；( x ，a ( z ) ( 1 3 6 ) “z “ 同时将对d u 的积分变成对d 4 。的积分： d u = d a “e x p ( 9 2 s 。+ )( 13 7 ) 廷中 s = 一甄n a 2 薹桦( z ) 锋( z ) ( 1 3 8 ) 由此可写出费曼规则，并且在a 一( ) 时，回到连续理论的费曼规则 m o n t ec h r f 。模拟计算【1 2 ，l 6 在计算物理量的期望值时，格点q c d 所要面临的数值积分的计算量是非 常巨大的例如计算物理量0 的系综平均 ( 0 ) = ld u o e s d u t e 一5 ( 1 3 9 ) 在4 1 0 4 的点阵上对于s u ( 3 ) 规范模型，每个键上有8 个参数总共就要有 8 4 1 0 4 个积分如果每个积分取l o 个点最后所有积分之积相当于1 0 3 2 0 0 0 项相加( 其中每一个项为一个组态) 这么大的计算是不能用常规方法实现的 由于存在波尔兹曼因子e ，所以并不足每个组态的贡献都一样m o n t ec a r l o 模拟方法是按所谓“重要抽样”原则进行的，即把贡献大的组态抽样出来也 就足将( 1 3 9 ) 式对物理量( ) 的积分用求和代替即 1n ( o ) = ( ) ( t ) ( 1 4 0 ) i = l 其中的组态一定要按玻尔兹曼因子e 。分布这样才能体现出( 13 9 1 式中e - s 因子的贡献 那么如何使一组态按玻尔兹曼规律分布呢? 通常每一个组态：是指在点 阵的所有键上给定一组u 矩阵，从任意初始组态o 开始，先改变一条链上的 1 0 第一章格点规范理论 变量得到一个新的组态如果新组态满足某种m o n t ec a r l o 抽样规则，则保留新 的去掉旧的，否则不变对所有的变量处理过一遍为次迭代第二次迭代以 第。次的结果为出发点，合适地选取抽样规则使得经过有限次迭代后所得的组 态! ：，满足玻尔兹曼分布整个过程称之为由非平衡态到平衡态的驰豫过程， 得到 ：。，3 一把这些达到热平衡态的组态代入到( 1 4 0 ) 式中最后得到物理量 ( ) 的模拟平均值 其中的抽样规则主要有m e t r o p o l i s 1 7 法和热浴法( h e a tb a t h ) 1 8 这里不 再详述由于m o n t ec a r l o 方法是从作用量出发直接得到物理量平均值除了 统计误差与有限大小效应外没有引入其他近似，结果比较可信起作用相当于 数值试验一直受到普遍重视也是国际上研究格点规范理论的主要方法 1 4 2格点规范理论的现状及进展 芷刚刚过去的世纪末，有许多关于格点规范理论的综述【1 9 ，2 0 ，2 1 ) 。还有 1 年度的国际格点会议文集都有对该领域最新进展的报告。若干主要的前沿 进展简述如下： 】4 , 2 1 面临的主要问题 裁断效应对于一个要计算的物理量q ，它的期待值( n ) 与我们实际取连 续极限u 寸0 时的( 嘞。要相差0 9 次系统偏差 ( q ) = ( q ) 。t + o ( a 9 )( 1 4 1 ) 目前a 的取值范围足n z 0 2 一o 0 5 i r a 而o ( a p ) 的大小取决于所选作用量。合 适的z 1 芟进作用量可以减小系统误差改进作用量的研究和应用仍是主要的问题 之 拿有动态夸克效应的格点q c d对夸克场进行积分以后n 的期待值为 ( 卟去骢州x ) 平抵( d + m f m e 吨 ( 14 2 ) ! ：! 整盛塑薹堡堡塑塑塞量壁丛塑壅望垫 其中d 是格点狄拉克算符。m ，是，昧夸克的质量( 1 4 2 ) 式的计算量非常 大所以在许多实际计算中行列式的值取为1 这也被称作淬火近似( q u e n c h e d a p p r o x i m a t i o n ) 。淬火近似的间接后果就是标度模糊( s c a l ea m b i g u i t y ) 这是由 尹基准量a m e y 依赖于所要计算的量q 而标度的确定 n 一1 【m e y ) _ q 酉 m e v ，q = 厶，唧，( i a 3 ) 由于不同的q 受夸克圈的影响不同结果导致标度不定。 手征对称性的破缺 n o g o 定理 2 2 给出一个弱假设：精确的手征对称 不能在非零格距下实现因此手征对称和连续极限不可分割在大多数的格点 q c d 的应用中这一点并不是一个很强的限制但它却限制了标准电弱模型在 格点理论中的实现。 1 4 2 2 前沿进展 1 零温格点q c d 格点上的精确手征对称性 在非零格距的格点上建立手征对称性是一个 重要进展其中畴壁( d o m a i nw a l l ) 费米子方法提供了在非零格距下实现手征对 称性的一个途径详见综述f 2 3 1 。 带有动态夸克的格点模拟计算 淬火近似在这方面的工作中仍然被大量 使用而且效果明显淬火轻重予谱( q u e n c h e dl i g h th a d r o ns p e c t r u m ) 的计算结 果与实验结果相差在l o 以内 2 4 在n f = 2 的轻重子谱( 1 i g h th a d r o n s p e c t r u m f o rn f = 2 ) 的计算中，对于海夸克效应是否导致了淬火轻重子谱与实验偏差的 问题，几个小组在研究中给出了肯定的结果 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 轻夸克质量 轻夸克质量是标准模型中的基本参数淬火q c d 目前的结 果是：奇异夸克质量在1 0 0 m e v 左右。顶夸克和底夸克的平均质量为4 5 m e v 2 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 】 胶球和混合子 胶球质量的计算更加改进了，如建立更有效的胶球算符， 考虑到更高的自旋态在淬火q c d 的胶球计算中，不同的小组得到的结果大 第一章格点规范理论 都一致如表( 12 ) ，详见综述【3 3 ，3 4 表1 2 ：两种最小胶球质量以r o 为单位的比较 在重夸克和混合子( h y b r i d ) 的计算中，有两个小组用非相对论q c d 对重夸 克偶素和混合子进行了模拟计算对于最低的b g b 混合子一s 一波( h y b r i d e - s - w a v e ) 分裂5 ( 1 f 】一s ) r 占( h l s ) = 1 。5 4 2 8 g e y c p p a c s ( 14 4 ) l 1 4 9 ( 2 ) ( 5 ) g e v k j m 乓它的进展还有：k 介子的矩阵元 3 5 ，36 ，b 衰变矩阵元【3 7 ，结构函 数f 3 8 ，3 9 1 等，这里不再详述 2 有限温及有限密度格点q c d 当温度升高或密度增加时，夸克物质可以发生解除禁闭的相变而形成夸克 胶子等离子体当温度较低时夸克禁闭，同时手征对称性自发破缺有限温场 论不仅对理解规范场在高温下的相变性质与机制等有帮助，同时也成为研究早 期宇宙问题的重要工具最近这一领域的进展主要有： 临界温度纯s u ( 2 ) 规范场相变的格点计算结果和理论的预亩符合纯 s u ( a ) 规范模型的退禁闭相变点的系统误差已减小到3 ，不同的作用量给出的 结果如表( 1 3 ) 所示， 弦张力的值为, a1 4 2 5m e v 4 a ) ，瓦z2 7 0 m e v 当加入夸克之后，相变点 随着夸克质量的减小而降低 4 4 】 状态方程在纯规范场中，压力和能量密度等这些体热力学量( b u l kt h e r 旺4 堂皇塑蔓理j ! 舅理堑至垦区堡窭墨鉴 a c t i o nr e f t c | 如 8 t a n d a r dw i l s 。n 4 0 ，4 1 o 6 3 0 ( 5 ) is y m a n z i ki m p r ( t r e ei e v e i ) 4 1jo 6 3 4 ( 4 ) j r g i m p r o v e d f 4 2 j0 6 5 0 ( 5 ) 表1 3 ：用不同的作用量以孑为单位给出的s u ( 3 ) 规范理论的i i 暑界温度 m o d y n a m i c sq u a n t i t i e s ) 的格点模拟计算带有很大的截断效应而改进作用量在 取理想气体极限的过程中同样起到了减小此效应的作用 4 l ，4 2 目前计算结果 的误差已减小到3 4 以内 热质量f t h e r m a lf f t a 8 8 e 8 )强子质量和宽度的性质对温度的依赖性的理解 对于解释重离子实验是非常重要的但目前格点模拟还没有具体的结果可以与 实验结果比较 有限密度q c d有限密度q c d 的计算要受到符号问题( s i g np r o b l e m ) 的 影响即费米子的行列式为复数而复数不能用通常的数值方法计算g l a s g o v 算法是一直沿用的方法可是巨大的计算量是其困难所在最近有两种新的途 径f 4 5 ，4 6 1 但符号问题依然存在它们的可行性依然需进一步检验 最近，c e r n 已有很强的证据表明有限温下夸克胶子等离子体的存在1 4 钾 相信有限温格点q c d 将会有更多的进展 本章小结 本章简要介绍了格点规范理论的拉氏形式的离散化方案以及与连续系统的 联系，阐述了几个在格点规范理论中常用的研究方法最后简单介绍了格点规 范理论的最新进展 第二章变分累积展开方法 从第一章的表( 1 1 ) 可以看出拉氏量形式的格点规范理论与统计物理有着 紧密6 j 联系这样统计物理中的一系列研究方法就可以移植到格点规范场论中 来z ：解析研究方面，变分累积展开方法显示了其较为突出的地位在这章 哩，我们将对这种方法的基本思想及处理方法作系统介绍 2 1 变分法 一蓬分法足一种统计物理方法郑希特，陈天仑 4 8 等人首先用这种方法来 研究l a g a r a z g e 形式的格点规范理论的相结构，并得到令人满意的结果变分 法的嬉本思想如下：对于作用量为s 的规范系统，其配分函数z 为 z = “d u e 5 m i |( 2 1 ) j ( j ：为规范群的群元素，在统计物理中口为温度的倒数卢= 1 k t 而在规范场中 为耦合常数作用量的选取可以是标准w i l s o n 作用量，也可以是改进作用量 在我们的工作中用的是s y m a n z i k 树图( t r e e l e v e l ) 改进作用量无论选取何种 作用瞳其配分函数通常不能解析地计算出来变分法的出发点就是引入一个含 有变分参数的试探作用量s 0 巩1 ，其配分函数为 面= d s e 5 。 删 ( 2 2 ) 其中j 为变分参数试探作用量的选择应满足两个基本条件，试探作用量 s 。，要尽可能接近真实系统作用量s ，以求能够反映真实系统的主要特征；二， 所选择的试探配分函数能精确可积这样真实系统的配分函数可以通过试探系 统的作用量求得 z = d u e 3 = “d u e s o e “5 。 5 2 2 变分舅i 积展开方法1 5 ( 2 3 ) 其中 ( ) o 一磊1 d 刎e s 。( ) ( 2 4 ) 表示( o 在试探系统中的统计平均利用j e n s e n 不等式( e x ) e ( x ) 可以给出 z 的下界： z = z o ( e 8 岛) o z o e ( s - s o ) o 由z = e ，毛= e - 而，进一步得到 f sr o 一( s s o ) o = r ， ( 2 5 ) 毖中f ，凡分别代表真实体系和试探体系的自由能，而疋，为自由能的上界 取变分条件 警= o ；案锄 ( 2 。) 由此可定出变分参数j 并得到自由能的上限知道系统的自由能后，就可以得 到一系列的物理量，如内能，比热，自发磁化率等 从数学上讲，这套方法是严格的，但由于方程( 2 5 ) 只能求得上限而不是精 确的自由能它相当于精确自由能的一级展开，理论上可以证明，变分法等效 于平均场近似结果 4 9 _ 这一方法仍然需要作进一步的改进 2 2 变分累积展开方法 鉴于变分法近似程度较低，国内一些物理工作者如，冼鼎昌，何翔皓，郑 希特，陈天仑，吴济民，宋永 等人将这一方法作了改进他们将变分法与 累积展开法有机地结合起来人们把这种改进后的方法称之为变分累积展开 ( v a r i a t i o n a l c u m u l a n te x p a n s i o n ) 方法它不再用自由能上限来代替自由能，而 岛 矿毋u 0卢， 上扬 扬 = = 1 6 第二章蛮分累积展开方法 足将自由能作累积展开到尽可能高的阶次，然后再选择适当的变分条件定出变 分参数下面对( 2 3 ) 式作累积展开 z = 蜀( 矿一5 0 ) o = z o ( 墨刍 & ，) 。 = 撕( 耋扣侧仇) 协z ， 对两边同时取自然对数有 l n z = l n 玩十三o o 五1 ( ( s s 。) “) 。 由于f i 由能f = 一i n z ，上式进一步可以写成自由能的展开形式 f = 凡一量扣 其中 r = 一i n z o k l = ( s s o 。 k 2 = ( ( s s o ) 2 ) 。 k 3 = ( ( s s o ) 3 ) 。 累积平均可以转换为统计平均 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 21 1 ) ( x 1 ) 。= ( x - ) o ( x 1 x 2 ) 。= ( x i x 2 ) o 一( x 1 ) o ( x 2 ) o ( x l x 2 x 3 ) 。= ( x 1 x 2 x 3 ) o 一( x 1 x 2 ) o ( x 3 ) o 一( 义l x 3 ) o ( x 2 ) o 一( x 2 x 3 ) o ( x , ) o + 2 x 1 ) o ( x 2 ) o ( x 3 ) o 。一 ( 2 1 2 ) 5 2 2 变分累积展开方法 1 7 如果累积展开是收敛的，那么( 29 ) 式展开到无穷阶时将与t ，无关，是自由 能的精确表达式然而由于有贡献的图数随阶数迅速增加，实际上只能展开到 有限阶所以一般只能以有限截断作为自由能的近似 n1 f = f 0 一去。 ( 21 3 ) i = 1 。 同样，对任意物理量的平均值( o ) 亦可作累积展开 ( o ) = 1 d u o e s 2 至刍( o ( s 山) “) c 三妻三队 ( 2 1 4 ) n = 0 。 其中o 。是( o ) 的第礼阶展开项以统计平均的形式表示为 o o = ( o ) 0 d t = ( o ( s 一岛) ) o 一( o ) o ( s s o ) o 0 2 = ( o ( s s o ) 2 ) o 一2 ( o ( s s o ) ) o ( s s o ) o 一( 0 ) o + 2 ( o ) o ( s s o ) ； d 3 = ( 0 ( s 一岛) 3 ) o 一3 ( o ( s s b ) 2 ) o ( s 一岛) o 一3 ( o ( s 一岛) ) o ( ( s 一岛) 2 ) o 一( o ) o ( ( s s j ) 3 ) o + 6 ( o ) o ( s s j ) o( 2 1 5 ) 在这个过程中先用到的是累积平均，最终又把累积平均转换为统计平均这是 由于试探系统的统计平均可以通过精确积分得到确切的结果那么为什么不直 接用统计平均表示呢? 这与计算g r e e n 函数的生成泛函的情况类似直接计算 g r e e n 函数的生成泛函是要同时考虑到连通与非连通f e y n m a n 图的贡献，工作 繁杂为此人们引入了连通g r e e n 函数的生成泛函它的计算只需要考虑连通 f e y n r a & n 图的贡献而对于累积平均的计算，格点图形的种类繁多，计算复杂 而用累积展开表达式，只有连通图的累积平均有贡献然后将累积平均转化为 统计平均，计算大大简化 第二章变分累积展开方法 前面提到实际上做累积展开只能展开到有限阶，因此必须考虑收敛性和收 敛速度的因素累积展开是以s 一岛作为基本展开参量来进行的要使展开收 敛，个自然的要求就是s s o 必须足够小，即要求试探作用量必须尽可能地 接近实际物理系统同时还要要求试探系统的配分函数可以精确可解，这使得 的选择受到了很大的限制s 0 与s 越接近，精确求解就越困难另外，在 展开项巾还包含有一变分参数，参数的大小对展开的收敛与收敛速度都有直接 的影响这样，如何确定变分参数的大小使展开有较快的收敛速度变得十分重 要在下一节里我们将对在实际应用中通常使用的确定变分参数的几种方法分 别加l _ 讨论 2 3 确定变分参数的方法 确定变分参数通常有主值法，全变分方法，s c h w i n g e r - d y s o n 方程方法和聚 ；点法本节将分别讨论这几种方法。 2 3 1主值变分法 、e 值法 5 0 ，5 1 ，5 2 1 是常用的确定变分参数的方法正如( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式 所描述的而疋rr 就是自由能展开表达式的一阶近似f i 变分条件由j e n s e n 不 等式得到 鲁= 0 ；鬻o ( 2 1 6 ) 这种疗法的特点是计算比较简单，能应用于规范模型和统计模型，而且适用于 一个和多个变分参数的情形 e 值法从严格的j e n s e n 不等式出发，利用自由能上限来确定变分参数 在数学j 二是严格的有文章分析 5 3 这种方法确定的变分参数通常处于使累积 腱开肓最快收敛速度的区域附近主值变分法与平均场方法类似，即将近邻格 点相臣作用以格点位形变量与等效的平均外场的耦合来近似累积展开的一级 近似等效于平均场近似的结果而高阶展开是对平均场结果的修正对于一般 2 3 确定变分参数的方法 物理系统，在高低温区域平均场的行为比较明显，因此这种方法所得结果比较 令人满意而对于有连续相变的系统一般不