（概率论与数理统计专业论文）vasicek利率模型下几种欧式未定权益的定价.pdf

摘要 对未定权益进行定价是金融数学领域内一个既具有理论意义又有实际应 用价值的重要问题。关于欧式未定权益定价的研究，在利率为常数或者是时间 的确定性函数时，国内外学者已经做了大量地研究工作，得到了许多结果。 然而，当利率是随机变量时，目前的研究成果并不多见。但是，这种情形在实 际中又是存在的现象，因此必须考虑到利率的不确定性对衍生资产定价的影 响。本文考虑的是一个完备的，连续的市场模型，其中资产价格的运动过程 假设服从对数正态分布，利率运动过程假设为v a s i c e k 利率模型。在这种情形 下，利用b l a c k s c h 。l e s 风险中性定价原则，推导出了几种欧式未定权益的定价 公式。 主要得到了如下结果： ( 1 ) 在资产运动过程服从对数正态分布，利率服从v “i c e k 模型的假设 下，利用风险中性定价原则，讨论了二元期权并得到了欧式买权的定价公式， 以及买权和卖权的平价关系。 ( 2 ) 利用( 1 ) 得到的平价关系和条件数学期望的性质，推导了任选期 权的定价公式，并得到了显示解析式。 ( 3 ) 采用几何平均计算资产的平均价格，在连续平均和离散平均两种情 形下，分别给出了平均价格型和平均执行价格型亚式期权的定价公式及相应 的买权和卖权的平价关系。 关键词：二元期权，任选期权，v a s i c e k 利率模型，亚式期权 第一章引言 随着固定汇率制度在上个世纪7 0 年代早期被浮动汇率制代替，金融全球化 趋势的进一步发展以及其他许许多多的因素，使得金融市场更加变化莫测。 金融风险才真正使人感到无处不在，无时不有，而且其破坏性也越来越大。 这就要求我们对金融风险进行更加有效的管理。1 9 9 7 年的亚洲金融风暴，使 我们再次清醒地认识到这一点。我们知道，金融风险有很多种，这里只考虑市 场风险。面对风险，此时我们一般有两个选择：一是用确定性来代替风险，例 如投资者可以使用远期、期货和互换等金融工具。但是这种选择在消除不利 于己的风险的同时，也消除了可能存在的于已有利的的利益。二是仅替换掉 于己不利的风险，而将对己有利的风险保留下来，利用期权就可以达到这种 目的，从而规避了风险。 所谓期权，简单地说，是一项选择权，期权的一方在向对方支付一定数 额的货币( 即期权费) 后，按协议即拥有在一定时间内以一定价格向对方购买 或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不负必须买进或卖出的义 务。期权交易实质上是一种权利的买卖。按分类的标准不同，期权可以分为 很多类。如按照期权中包括的选择的权利不同，期权可以分为买权和卖权； 按照期权可以执行的时间的不同，期权可分为欧式期权和美式期权；还可以 分为标准期权和奇异期权等等。 在远期、期货和互换等金融工具中，权利和义务是对等的，因而在签订这 类合约时，双方都不需要成本。但期权( 持有者在支付了期权费后) 只有权利 而没有义务，这正是期权区别于其它金融工具的根本所在。可是，“天下没 有免费的午餐”，在签订期权合约时，期权买方要向卖方支付一定数额的期权 费。怎样给期权定出一个对双方都合理的价格，就成为数理金融的一个重要 研究课题。 1 1 欧式未定权益的风险中性定价原则 在很多文献中( 如 1 0 1 等) ，对如欧式未定权益的定价，都有如下所谓的风 险中性定价原则： 引理1 ：在一个无摩擦的，完备的连续金融市场中，设有一种无风险资产 ( 如债券) ，其价格运动过程为： d p 0 ( t ) = p 0 ( t ) r ( t ) 出，岛( o ) = 1 ，os t 曼t 2 2 资产或无偿期权 与g n c 不同，资产或无偿买权在到期时刻t 支付投资者不是某一固定金 额，而是交割标的资产，条件是到期时资产的价格大于约定执行价格k 。即 资产或无偿买权( a s s e t o r n o t h i n gca 1 1 ，a n c ) 的到期收益国为： s ( ，) ，s r 0 ，岛 叫i 五) 叫州( 雩嘉獬笋) n 舻岬，+ 华( 蠼等翻骞地) 推论：在模型( 1 一1 ) ，( 1 | 2 ) 式下，对任意的t ( o tst ) ，买权和卖权( e u r o p e a n p t - t ，e p ) 有如下结论成立： 证明：因为 e p = e e + k e a ( t ，? ) + 一( t ，1 1 ) 一s ( t ) m 缸( k s ( t ) ，o ) = m a x ( s ( t ) 一k ，o ) + 一s ( 了1 ) 由无套利条件，它们在t 时刻的价格应该相等。故有 e p = e g + e ( e 一_ r ( u ) 血( k s ( t ) ) l 五) = e g + 盯e a ( 。，t ) e ( e z 五) 一s ( t ) e 一 a ；r e ( e a 2 ( 厅2 ( ，) 日2 ( t ) ) i 五) = 目g + k e a ( 。，7 ) + 一2 ( 。，t ) r s ( t ) 注：如果记d ，= 尘警篡警，d 2 = d ，一扣可石而则上式可以改写为 e g = s ( t ) ( d 1 ) 一耳e 一 ( 。，t ) + 扣2 ( 。，t ) ( d 2 ) ( 2 4 ) 这与常利率情形下的标准欧式买权的定价公式类似。实际上，当利率r ( 6 ) 为常 数，即对任意的t ，r ( ) = r ( o ) = r = ! ，口l = o 时，容易得到a ( t ，t ) = 仉a ( ，t 1 ) = o 上 式就变为： e e ：s ( t ) ( 堕翌! ! 喜i 篓2 二) 一k 。( ! ! 翌! ! ；i 篓! 三) 一 、 9 2 r 、 盯2 下 这就是常利率情形下标准欧式买权的定价公式。 7 ( 2 1 _ 一个到期时刻为正，期末收益为m n ( o ，e 一4 疋，+ 口2 瓦，7 一s m ) ) 的欧式未 毫驿萋釜a 。( t 1 的值，只需要计算第二个未定权益的价值。下面来计算，记： 为计算出a o ( t ) 的值，只需要计算第二个未定权益的价值a p 回米计舁，圮： d= k e a m - 丁) + j 一( 兄，7 ) s ( e ) ) ：。( m ( ”，正) 一 ( ，咒) ) d 口l ( u ) 一d 2 ，一d 岛( u ) 2 2 j 。 舯：。警扫那卜扫正叫例强) + 譬e ! ( t 一正 m ( u ，7 ：) = 薏e 一陋”( e 一码一1 ) 再利用引理4 ，我们可以求得下列结果； ，：f ( e j ? 。( ”) 4 ”s m ) 场阮) = s ( 幻e i 。i ( r 一) e ( e 。( b z ( 瓦) 一b 2 ( q ) b 1 五) 划州丽丽黄舞蒜。 。2 j ，：b f e 一产r ( u ) “k e 一 ( 殆，功+ 口2 阢，计l 五) ：k e 叩卜a ( t ，t ：) 十；。2 m ，t ) 二铣e m 。) ( 1 一e 一似7 一蚴) 一：口一瓦) f f e 忡( w ) 一“( v ，孔) ) 4 8 - 功l 五) ：k b 印i a ( t ，疋) + ；。2 ( 正，t ) 一二垒笔生e m _ ) ( 1 一e q d 7 一瑚) 一：( t t ：) + ；j ( 冗c m c ”，：，一nc”，：，2a”c：7iii；iji；!ii；!；耘，_c3 3 ， 其中： f 瓦桃t c ) d ”= 未【去( e 2 州弘7 l 剖。7 卜d 弘7 l 俨。“耻q 1 + 去( 1 。呶p ) 】， ( 3 4 ) f 疋。( ”，噩) h ( ”咒) 如= 嘉e 去( e m 4 一e b “。7 ) 一去舻”。一e 2 “。一砷 一三f l e b d t r ) + 去( e a c ( r c t ) 一8 们( 2 卜咒一t ) 】 ( 35 ) 0 c u o 把上面的运算结果代入，我们得到如下定理： 定理2 ：任选期权a o 在时刻t 的价值a o ( t ) 为： a o ( 幻盘f g + j ，一工 9 f 36 1 其中的i ，i i 定义为( 33 ) 和( 34 ) 。 注l ：当利率为常数，即r ( ) = r = ；一，= o ，且= o 时，上面的结果就简 化为文献f 9 的结果。 注2 ：当疋一，t ，我们有： i 霉t ( ，一，) 2 e p 上式表明：正越接近t ，任选期权的价值就越接近买权和卖权的价值之和。 实际上当咒= t 时，任选期权就完全成为了下跨式组合。从这点看，我们不妨 把下跨式组合看成任选期权的特例。 注3 ：多点任选期权的定价公式可以利用单点推导出来。实际上，设o t t 。 屯 t 。茎t ，其中t 为现在时刻则多点任选期权的现金流量为 ( 目c ( t ；) e p ( 。) 分别表示买权和卖权在t 。时刻的价值) ： n l 矿+ = m a x ( e c ( t ；) ，e 尸( t ；) ) ( 3 了) 2 = 1 于是，利用推导单点任选期权的方法，我们有： a 。( ) = n e g + 妻e ( 8 一r 札) 轧m a x ( o ，k e a ( “t ) + 一2 ( 乜t ) 一s ( 岛) ) j 五) ( 3 8 ) t = 1 从上式可以看到，n 周期的任选期权实际上相当如下列资产组合： ( 1 ) n 个到期时刻都为t ，执行价格都为k 的买权。 ( 2 ) n 个不同的欧式未定权益，其到期时刻分别为t 。，到期收益分别为 e 一 ( t ，r ) + 扩( “，t ) 一s 。 利用单点任选期权的公式分别求出上面的期望值，很容易计算出多点任 选期权的价值。 第四章几何平均亚式期权 与标准期权不同，亚式期权是一种奇异期权，它具备路径依赖特征：即期 权价格不仅取决于到期日标的资产价格，而且取决于标的资产价格的变化路 径。按到期日的收益不同，亚式期权可以分为平均价格型期权和平均执行价 格型期权两种，而且这两种平均值都可以是一段时间内的连续平均，也可以 是若干时点的离散平均；可以是算术平均，也可以是几何平均。对于亚式期 权的定价问题，关键问题是如何确定平均价格的概率分布，这是得到解析定 价公式的难点。由于到目前为止，在假定资产价格服从对数正态分布的情况 下，我们并不知道资产价格的算术平均的概率分布，因而，我们得不出该类 期权的显式解，一般都以近似解代替，如文献 4 ， 5 1f 6 。但是，在假定资产价 格服从对数正态分布的情况下，可以证明资产价格的几何平均仍然服从对数 正态分布，因而，可以得到其公式解。文献吼【6 】在所有参数假定为常数的情 况下，分别推导出了几何平均亚式期权的精确公式和算术平均亚式期权的近 似矩价公式本章在假设利率服从如上v a s i c e k 模型下，以连续时间为例，分 连续平均和离散平均两种情形，给出了几何平均亚式期权的定价公式 4 1 连续平均情形 n 个时刻( ost 1 t 2 t 。sr ) 的标的资产价格s ( t 1 ) ，s ( t 2 ) ，s ( t 。) 的几何 平均值g 。定义为： 岛= ( 玎凳l s ( 埒) ) ； 为得到连续情形下的几何平均值，在上式两边对n 取极限( 保证“= ：一t ：一- 一 0 ) 。 g = l i m g n ：l i m 。e ( l 1 “8 ( 。) ) 。 ：e 石( t 冲 由r 1 3 ) 式，对一切t 茎u 兰t 有： z ”r ( ”) d ”= a ( ，u ) + “ ( ”，u ) d b ，( ”) 由( 1 4 ) 式，可以求得对一切。兰t u 兰r ， s ( “) ：s ( ) e 印 a o ，) 一；口；( 。一t ) + ，“ ( ，。) d b l ( 口) + 口2f “d b 2 扣) ) j j t 1 1 l n s ( “) = 1 n s ( t ) + a ( 驰) _ 扣( “一t ) + i “ ( 邺) d b l ( ) + 口2 ( b 2 ( u ) 一玩( ) ) 上7 l n s ( u ) d t l n 即) + 掣( 去( e 一_ 1 ) ) + 譬一。 + 三z 7 ( t 一”+ 扣巾4 l1 ) ) 竭怕z 7 ( t 叫城 记：b = 扣n s ( 掣( h 恚( e - 一叫) + 等一。) ， m ，t ) = ；三( t 一”+ 恚( e d 咖。l 1 ) ) ， 咖，q = ；州t n 则：；z 7 i n s ( “) 也= 占+ z 7 ，( ”f ) d 岛( u ) + ，7 9 ( ”，t ) d 口2 ( 吐 ( 4 1 ) 4 1 1平均价格型亚式期权的定价公式 定理3 ：在模型( 1 1 ) ，( 12 ) 假设下，股票上的到期时刻为t ，敲定价格为k 的几何平均亚式看涨期权在v t ，o 墨t t 的价格e ( t ，t ，r ( t ) ，s ( t ) ) 为： g ( t ，t ，r ( t j ，s ( t ) ) = 1 e 且一4 ( 。，7 h ( j ：1 【( ，( ”，? 1 ) “( u ，t ) ) 2 + 9 2 ( ”了) j 咖) ( 笸丝! ! 三l ! 些型坚竺丝：丝= 坐量；皇1 1 ( ，2 扣，t ) + 9 2 ( u ，t ) ) 咖 一肛螂) + 芷粤坐( 二雩婆：型塑窒三! ! 量! 三呈)( 42 ) 、乃，( ，2 扣，丁) + 萨扣，t ) ) d u r、1 叫 其中：l ：e 】n s ( u ) “， 办州”= 叠凡吲。如豢， l 2 ( ，? ) 幽= 赫( 2 n c t + 4 e 1 ”一e 。一3 ) ， j ( ，2 ( ，t ) 咖2i ；享f ( 2 。3 c 3 r 3 十6 口口一6 n 2 c 2 f 2 + 3 3 e 。2 。”一1 2 n e ) ， z ，( ，t ) h 扣，t ) d u = 五豢j 吁( 0 2 c 2 一+ 1 2 e “7 2 n c r + 2 c r e 7 + e 一2 。甜) 证明：因为以有效期内的几何平均价格作为到期日资产价格的看涨亚式期权 在到期日的收益为 一m “( g k ，0 ) 其中l ( 为执行价格。再根据风险中性定价原则，可知该种期权在时刻t 的价 格为： g ( t ，r ，r c ，最) = e f 一f r ( u ) 札f 五) 1 2 当r o ，k l 时，容易验证 里g ( ，r ，r ( t ) ，s ( t ) ) = o 这显然与我们的直觉相吻合。 注( 2 ) 当= o ，且利率为常数时( v 0s ts f ，r ( t ) ；r = ：，a ，= o ) ，定理的结果简 化为： c ( r ，r ) = s ( 。) e 一t _ ( r + 口；) ( ! ! j 1 5 ：! _ ：；：! ；，；迸) ，r e r t ( ! ! ! ! l ! ! 。i ；：! ：，i j 邋) 此即为常利率情形下几何平均亚式期权在初始时刻的定价公式。参见阱 推论l 在模型( 1 1 ) ，( 12 ) 假设下，设p ( t ，t ，r ( t ) ，s ( ) ) 表示有相同参数的平均价 格型卖权在t 时刻的价值则有： 证明 p ( t ，z 1 ，r ( t ) ，s o ) ) =g ( t ，t ，r ( t ) ，s ( t ) ) + j r e 一 ( ，t ) 十 一( 亡，t ) 一k l 户一4 ( ，7 ) + f ( ( ，( ”，t ) 一 ( ”一t ) 】2 + 9 2 ( u ，t ) 哆f 45 1 因为：m “( e f ( “一，o ) + 耳一e 譬l n s ( u ) “：m “( 一e f ( u ) d u ，o ) 由无套利原则，有 i p ( ，t ，r ( t ) ，s ( t ) ) e ( 。一rr 【”) “i 五) e ( t ，t ，r ( t ) ，s ( t ) ) + e ( e fr ( u ) 如( k e 孛j 丁l n s ( “) d “) j 气) k e ( e 一r ( u ) “ 五) = 耳e 一4 ( 。，7 ) e ( e 一2 | 五) ：k e 一 ( 州一2 ( 啦) ，”三e 一址! 争监出 j 一2 丌 = 耳e 一 ( t ，r ) + 一( t ，n e ( e r ，( u ) + f l n s ( u ) “m ) ：匝矿一a ( ，t f ( e r ( m ，t ) 一 ( ”，) t ( ”) + f g ( ”，t ) d b ：( ”i 五) = k 1e b 一 ( c ，t ) + i ，：1e ( ，扣，r ) 一 一，r ) ) 2 + 9 2 ( ，t ) 】咖 最后一个等式成立是因为：由引理3 ，( ，( ”，t ) 一h ( ”，t ) ) d 功( w ，伊g ( ”，t ) d b 。( ”) 都 是正态变量，再由b l ( t ) ，b z ( t ) 的独立性，这两个正态变量的和也是正态变量。 把上面两个表达式代入，就可以得到推论的结果。 1 4 为初始股价的线性函数。 如下的推论与推沦1 平行。 推论2 ：几何平均执行价格型亚式期权的卖出一买入平价关系 设卢( t ，t ，r ( t ) ，s ( f ) ) 表示相应的卖权的价格，则有： j ；( t 、2 1 1r ( t ) ，s ( t ) ) = 百( t ，t ，r ( t ) 占( t ) ) + k 1 e 曰一 ( 。，丁) + f ( ，( 丁) 一“( ，r ) ) 2 + f 2 ( ”，t ) 】扎一 ( 4 9 ) 4 2 离散平均情形 本节考虑几何亚式期权的离散平均定价公式。设期权的有效期为 o ，t 1 ， 现在时刻为t ( o t ) ，o t l t 2 t 。曼t 为n 个预先确定的平均时刻点。 对应。个时刻的标的资的产价格分别设为s ( t ) ，s ( t 。) ，一s ( 如) 。它们的几何平均 值g 。定义为： g 。= ( n 墨1 s ( t j ) ) 4 2 。l 平均价格型亚式期权的定价公式 下面分两种情形讨论。 情形( 一) ：t 缸因为： l 。倪：；妻l 。即，) “筒 。 l n s ( t ) ) + l n s ( ) ) + z 勺 ( ”，如) d 曰- ( ”) + 一。上“d b 。( ”) ) + l n s ( t ) ( 41 。) 结合引理3 ，由上式可以看到，l n g 。服从正态分布。且有： n1 “g 。= e l n g 。= ( 且( t ，o ) 一；口；( o t ) ) + l n s o 对 e 意的赴 t ，记x ( 亡j ) = 矗，h 扣，t j ) d b l 0 ) ，y ( 亡j ) = b 2 ( t ，) 一b 2 ( t ) ，贝4 ： g 。( x ( t ；) ，x ( t ，) ) = e ( ，“ 扣，赴) d b l 扣) ，幻 扣，) d b l 扣) ) g 。”( x ( 。；) ，x ( 。，) ) = e ( 上 扣，赴) d b l 扣) 上 扣，) d b l 扣) = 曰( 小啪吼( 小( 喇慨+ e 地铷剐蝴= 曰( 上 ( ”，岛) d 口l ( ”) ( 上 ( ”t 幻) d b 】【”) + 上。h ( ”，吩) d b l ( ”) ) ， = 上h ( ”，。，) 九( ”，岛) d ” e 删( y ( 饥y ( t j ) )= e ( ( b 2 ( 抚) 一丑2 ( t ) ) ( 玩( 如) 一岛( t ) + b 2 ( t j ) 一b 2 ( 屯) ) ) = 缸一t 再由口l ( t ) ，岛( ) 的独立性，对任意的岛，如有： g 一伍( 扎) ，y ( 如) ) = o 于是我们可以求出l f l g 。的方差如下： 口色= 矿o r ( 1 n 瓯) ) ) 心 如s 乱， n 4 。博。触 1 一n l 一礼 利用引理( 4 ) ，可以分别求得 ，= 8 4 ( 。 + p g n e 0 一f “( u ，7 ) 曲- ( v ) + - ( x ( 。) + 一。y n ”场f 五) ：e 一“( 。，? ) + p 。n + ；( 一6 。+ 一2 ( t 2 1 ) 一；1 f ， ( ”，t ) ( u b ) d v ) - ( 鱼盖坠盟氅婴型型些监) ， 口文 7 + = k e 一“( 。e ( e f “( ”，7 ) d b l ( 功j 五) ：k 。一一( 啦” 。( t 卅( 二i ! 翌! 笸：! 些! 堑! 丛! ：三! 塑二! ! 竺! 鱼、 o c n 一 1 其中，当“ 白时有 髟2 ( 口，t ；) ( ，t j ) 幽 如t ，) ( ”，1 ) 幽 f 4 1 1 1 f 4 1 2 1 = 鑫八，一洲吲) ( 1 叫小幽 = 嘉胁。慨一t ) 一2 一俨协- ) + z 。n c ( 一，) + 2 。州) 。( 。：_ = 未j ( 。( 卅咖一州- 卅如删) 如 = j ： 了 2 n c ( 岛一t ) 一2 一。c ( b 一，) + 2 。+ 2 。n c ( e t ，) 一。( 。t 一。一”1 抑j 粤( 二) ：毫烹惹，蚶 n ，使得“t 饥1 此时，对任意的o ，j 都有s ( 屯) 五我们有： 。一 1 n 瓯2 ”) j = i = ；妾“+ 字螂+ ；，势咧铲螂， = ；妾c 卅字唧， 卜，塞，( 一细) + 广m d b l 怕广啦) ( 4 1 3 ) “瓯圳喝。套，+ 警 + 一，势护孙 垂 哮屯阮嘲 一】*7如黯哟讹的渖斟。式 自j榭靛啪黜嘿河 书就上讯糨黻腻蛳测愀珊的啦上匀臻黥 勺丁亥淼赫 匕匕h赫 鬻嵩鳞当 代汪，子司验擞搿鬻 个当容沩阶秽麟恸 一一融 上l 上垒结 吧圭示主琦 ：( 1 n g 扣去( 妻f 。h z 扣 “ j = 自+ 1 。 + 口；( 2 n 一2 i + 1 ) ( “一t ) ) 1 = 女+ l 令d = g ，。) 贝4 有 d = l n g 。l n k ， = 妄( x ( t j ) + a 2 y ( o ) ) l n p g 。) “j = + l 于是，类似情形( 一) 的计算，我们可以求得该买权在现在时刻t 的价格g ( ) 为： g ( t ) = e ( e j t ( “) 扎m a x ( g 。一，o ) ) i 五) = e 一4 ( t ，7 e ( e f “沁7 ) 。- ( ”g 。场i 五) 一e 一 ( c ，r e ( e f ( v ，r ) d b t ( v 而| 五) = i i i ：e a ( z ， + “。e ( e f “( v ，? ) d 且( 。h + 。( x ( t ，) + a 。y ( ) 场l 五) = e a ( ，t ) + p g n + ( 一2 ( ，t ) + 喀。一鲁k + l r ( 口，t j ) ( u ，r ) 幽 ( 鱼兰趋监盟娑蝗堕些) ， 即。 ：k e 一 ( t r e ( e f ( u ，t ) 招( ”如l 五) ：k 。n ( 咿) + 。：( 汀) 仁! 姿坠! 笸：! 塑，垒! ! 生! 旦塑二! ! 坚兰鱼、 、 口岛 j 4 2 2 平均执行价格型亚式期权的定价公式 该种买权在到期时刻t 的收益为 q = m “( s ( 即一g 。，o ) 所以该期权在时刻t 的价格百、) 为： 百西：e ( e f r ( u 胁q 阮) 令亩= s ( r ) 瓯) 我们还是分成两种情形讨论： 情形( 一) st ，此时有( 其中的有些记号对应上节情形( 一) 的记号) d = l n s ( t ) l n g 。 f 4 1 4 1 ( 4 1 5 ) d 0 h6” z 勺 h+k 2+如 句 = “胁，t 删旷：薹酬川弘：一；势跏 2 扯g ，。一h s ( t ) 一a ( t ，r r ) + ；盯l r 若定义厩= 阳。一l n s ( t ) 一a ( ，r ) + 一；r 于是，我们有 容易求得 百、) ：e ( e rr ( u ) 机q i 五) ：e ( e f r ( 帕“s ( r ) b 1 五) 一e ( e j ：_ r ( u 灿g ，。1 五) ：s ( t ) 。一 一i r e ( e m fd 日：( ”b i 五) 一e ( e fr ( “) d u + 1 g n j 五) 一i i i 。毗z 7 嘞，胁，t 删旷；熹砘。c z 7 嘞，一；势圳， 刊g 州j ( 7 呦) ，卜z 一：耋川) = a ；( r 一：嘉( 岛一t ) ) v 。r ( 6 ( ，丁) 慨( u y 。，( th ( 。，t ) d b l ( 。) j = 盯2 ( t ，r ) ；妻x c 如，+ 一zc z 7 a 日。c ”，一：妻y c 勺， ；耋x + a ；矿。r c j ( 7 扭。c ”，一：薹邢川 m 删明油删r 一譬薹( 川m 各。 ：s ( 堡! 立三逛生旦上堕) = e a ( ，t ) + m 。e ( e r “( ”，t ) 扭1 ( ”) + 去l ( x ( 。) + 以y ( 。，) 坛i 五) = e a ( t ，t ) + ”。+ ( 咭。+ 矿( t ) 一吾1r ( m ，t ) ( ”，t ，) 如 f 堕生= i 至圣! 1 2 ：! ! 二堕二壁) 4 1 6 、 ( 4 1 7 ) 情形( 二) ：存在某个k ，1s n ，使得k t t 此时的处理与上节第二种情 形及本节情形( 一) 的处理类似，不再计算。 ，q 。问 2 一n 图2 的左图表明：在其他参数相同时，在随机利率模型下，欧式买权的价值要 明显地比平均价格型亚式期权的价值大。右图表明：当市场有利率风险时， 平均价格型亚式期权的价值变小，而且，利率的波动率越大，尽管差别不大， 但亚式期权价值越小。实际上，当利率的波动率足够大时，亚式期权价值会 接近于o 。 嗍e m 一k 。o p t 哪e5 t r l p t 5 w i 州l 愉8 i 一1 图3 ：随机利率对平均执行价格型亚式期权价值的影响 图3 的左图演示了欧式买权，平均价格和平均执行价格型亚式期权的价值之 间的关系。右图表明：当其他参数不变时，平均执行价格型亚式期权的价值 的变动方向与随利率波动率的变动方向一致。 结束语 本文主要在随机利率模型的基础上，采用通常的鞅方法以及多维正态联 合分布，解决了几何亚式期权的定价问题，得到了它们的显示解，最后我们还 研究了离散情形下的定价公式，并利用计算机的数值计算分析了定价公式中 的各参数对期权价值的影响。文中的结果比同类期权的定价条件更加符合实 际金融情况。但是，对于数值计算的结论只作了定性分析，结论比较粗糙，还 需要继续研究。另外，尽管v a s i c e k 模型能够解释很多金融现象，但是利率有 正概率为负值，这不符合实际。还有在其他利率模型( 如h j m 等) 下的这些 问题也都值得我们继续考虑 参考文献 1 ad r 扑i d ，mm c h a r d s o n ，a n dt s u i l ，“p n c l gf o r e i g ni n d e xg o n t i n g e h tc l a i r n s ：a 1 1a p p l i c a t i o i lt o n i l 出e ii n d e xw a r r a n t s ”，t h ej o u r n a lo fd e r i v a t i v e s f a l l1 9 9 3 。2 1 章珂，周文彪，沈荣芳，“几何亚式期权的定价方法”，同济大学学报第2 9 卷第8 期，2 0 0 1 3 王莉军，张曙光，哨机利率下重置期权的定价问题”，高校应用数学学报a 辑2 0 0 2 ，1 7 ( 4 ) ：4 7 1 4 7 8 4 王莉军，张曙光，“v 越e e k 利率模型下的亚式期权定价问题和数值分析”，应用数学学报第2 6 卷 第3 期，2 0 0 3 年7 月 f 5 1 林建忠，“亚洲期权定价的一个逼近解”，上