（应用数学专业论文）非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析.pdf

： 幕 l c h a r a c t e r i s t i cf i n i t e e l e m e n tm e t h o d a n de r r o r a n a l y s isf o r n o n li n e a r c o n v e c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n l i a n gx i a n lil l a n gx 1 a n li s u p e r v is e db y p r o f e s s o rl ih o n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a tic s c 0 1l e g eo f s c i e n c ea n d t e c h n o l o g y i n n e r m o n g o li a u n i v e r s i t y h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y2 0 1 1 、j ? n i ； 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得囱墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：弛：列 指导教师签名： 日 期：孕雏善 日期：j 划丝 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：数 日 期：驯多彳 指导教师签名： 日 ，母，一t0k嘻o+； k t l i 焉_弘 _ _ t i j j jkho再， 非线性对流扩散方程的特征有限元法及其误差分析 摘要 对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可描述质量、热量的运 输问题以及反映扩散过程等众多物理现象，所以，寻找稳定快速的数 值方法有着重要的理论和实际意义。 本文针对此类非线性对流扩散方程，构造了一种隐式特征有限元 格式，并研究了此方程的收敛性。当方程的非线性项 易= 6 ( x ，f ，“，v “) ，厂= 厂( x ，f ，“，v m ) 时，我们得到了r ( q ) 模次优、 h 1 ( q ) 模最优的误差估计；而当方程的非线性项6 = 6 ( x ，f ，甜) ， 厂= 厂 ，f ，“) 时，r ( q ) 模和日1 ( q ) 模都得到了最优的误差估计。 关键词：非线性对流扩散方程；特征有限元法；误差估计 ，谴褥产 pp，-i l【 l * c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n de r r o r 1 ：一r 一一1 _ ：一 。1 ， ， a n a _ l y s ls 士o rn o n l1 n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n a b s t r a c t c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o ni sak i n do fb a s i ce q u a t i o n o fm o t i o n ， i tc a nd e s c r i b et h eq u a l i t y 、 t h eh e a t t r a n s p o r t p r o b l e m s 、r e a c t i o n d i f f u s i o np r o c e s sa n dm a n yo t h e rp h y s i c a l p h e n o m e n a t h e r e f o r e ，itisv e r ym e a n i n g f u lb o t hi nt h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a lp o i n t st of i n das t e a d ya n dr a p i d n u m e r i c a lm e t h o d t os 0 1 v et h e s ek i n do fe q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ， a ni m p l i c i tc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n t s c h e m ei sc o n s t r u c t e dt os 0 1 v e s u c hn o n l i n e a rd i f f u s i o n e q u a t i o na n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h es c h e m ei s s t u d i e d f o r n o n l i n e a rt e r m s 6 = 6 ( x ，f ，“，v “) ， = 厂( x ，“，v “) ， w e g e t t h er ( q ) n o r ms u b o p ti m a la n dt h e j 7 1 ( q )n o r mo p ti m a le r r o r e s t i m a t e s a n dw h e n 6 = 6 ( x ，f ，“) ， 厂= 厂( x ，f ，甜) ， t h er ( q ) n o r m a n d日1 ( q )n o r mo p ti m a le r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e da tt h e s a m et i m e t h er e s u l t ss h o wt h a ti ti sv e r ye f f e c t i v ef o ru s i n g t h i sm e t h o dt os o l v en o n li n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n k e y w 0 r d sn o n l i n e a r c o n v e c t i o nd i f f u s i o n e q u a t i o n ； c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ： e r r o re s t i m a t e 2 目录 引 言。1 第一章非线性对流扩散方程的特征有限元法和r ( q ) 模估计3 1 1 预备知识3 1 2 特征有限元格式5 1 3 r ( q ) 模误差估计。6 第二章非线性对流扩散方程的特征有限元法和1 ( q ) 模估计1 2 2 1 特征有限元格式1 2 2 2 日1 ( q ) 模误差估计1 3 参考文献一1 6 致 谢1 9 引言 求解偏微分方程数值解，有限元法是既重要又普遍的一种方法， 其广泛应用在解决一些物理现象，工程问题，科学计算等。2 0 世纪 6 0 年代，这种办法得到了极快的发展。如今，这种办法已经发展成 为理论完善，应用广泛的一种数值计算方法。 而在地下水污染、核污染、半导体、地下渗流驱动等问题的数值 模拟中，都涉及到抛物型对流扩散方程和方程组的数值求解问题。这 些方程的共同特点是：对流的影响远大于扩散的影响，也就是对流占 优性。这给此类问题的数值求解带来许多困难。用常用的有限元法或 差分法进行数值求解将出现数值震荡。 为了克服数值震荡问题，2 0 世纪8 0 年代，d o u g l a s 和r u s s e l l 等提出了特征线修正技术求解对流占优的对流扩散问题。此方法利用 对流扩散问题的物理力学特征，考虑沿着特征线方向的离散，能有效 克服数值震荡，从而保证数值的稳定性。与差分法和有限元法相结合， 出现了特征有限差分法、特征有限元法、特征混合有限元法，并给出 了理论分析瞳q0 | 。 多少年来，该技术得到详细的研究和应用，尤其在污染问题中的 应用和研究非常深入、广泛n 卜挖1 。 陆瑶在 1 3 中用特征有限元g a l e r k i n 方法研究了二维非线性 对流扩散方程的数值解，给出了方程第二或第三边值条件的特征有限 元g a l e r k i n 的格式，并研究了此方法的收敛性。 王桂霞在n 明中用特征有限元法研究了二维非线性对流扩散方程 的初边值问题。 杨素香，姜子文在n 础中用特征有限元法对半线性反应对流扩散模 型进行了分析，并得到最优三：模误差估计。 对流扩散问题用特征有限元法处理，其主要思想就是：通过引入 沿特征方向的导数把对流扩散方程化成形式上不含对流项的扩散方 程求解。当以对流为主时，解沿特征方向的变化比沿时间方向的变化 慢多了，即沿特征方向r 差分逼近引起的误差比沿时间方向r 差分逼 近的误差要小得多。因此使用特征有限元方法解对流扩散方程可以在 不损失精度的情况下，选取较大的时间步长，从而提高计算的效率。 本文的写作安排如下：第一章中针对一类非线性对流扩散方程构 造了一种隐式特征有限元g a l e r k i n 格式，并分析了此方法的r ( q ) 模误差估计。第二章中讨论了非线性对流扩散方程的隐式特征有限元 g a l e r k i n 方法的日1 ( q ) 模误差估计。 第一章非线性对流扩散方程的特征有限元法和r ( q ) 模估计 本文考虑非线性对流扩散方程的初、边值问题： 罢警一职口( 曲v “) + 6 ( 五f ，“，v k ) v 么= 八五f ，“，v 锄) ( x ，f ) q 现( 墨f ) = g ( 五f )( 五f ) 只 氅鲨= 办( 五力( 五f ) 只， “( 五o ) = ( 功 x q ( 1 o 1 ) 其中尺d 表示d 维欧氏空间，( d = 2 ，3 ) ，q r d 为有界区域，其 边界勰= 只u 乞适当光滑，且只n 只= 矽；丁 o 为常数，= o ，刀， 系数函数n = 口( x ) ，边界函数g = g ( x ，f ) ，办= 办( x ，f ) 都是已知函数； “。( x ) 是已知初始数据，元是a q 的单位外法向量。 1 1 预备知识 一、函数空间及其相应的范数 其中r d 表示d 维欧氏空间，q 尺d 为有界区域。 1 、r ( q ) = “k 是有界可积函数且“q ) ，其相应的范数定义 为：册，= 掣) 1 2 、( q ) = “l “是p 次可积函数且拓q ) ，其相应的范数定义 1 为：脚，= ( 肌x ) l p 出) ，j p 3 、r ( q ) = 以i “是2 次可积函数且“q ) ，其相应的内积定义 为：( “，v ) = l 甜( x ) v ( x ) 出 一k x ) v ( x ) 出扰，y r ( q ) ，其范数 出越2 定义为：= ( “，“) 亍，“，v r ( q ) 4 、形 ( q ) = “l 窘r ( q ) ，当i 口l m ) ，与其相应的范数定 姚陋忆广刚刮p 出卜o 怯忆广馏俐帅，一 5 c 卟剖窘甜c q ，嗽聊) 删目应的范数定义为： 帆一c 驯圳。饲新 特别地，当p = 2 时，记形妣( q ) = 日( q ) 6 、负模的定义：对1 g 和正整数，记吒p ( q ) 为s o b o l e v 空间矽m ( q ) 的对偶空间，其中! + 土= l ，则- ，p ( q ) 的范数定义为： 肛忆。砸，= 帆乳，髌( 跳 为了论述问题简明起见，我们对方程( 1 o 1 ) 提出如下基本假 设。 q ：设 “r ( ，形蝴( q ) ) ， 譬r ，形帕( q ) ) ， u f 昙孚r ( ，r ( q ) ) ，其中广2 ； “五 日：设系数函数口= 口( x ) ，6 = 6 ( x ，f ，“，v “) 有界，即存在常数口。、 m ，使得o ：形( 尼) 曰( 尼) ， 以= 1 ，2 ， 假设d ( ，z ) 是单调增的，则日( ) d ( 刀) e x p ( 艺矿( x ) ) 定理1 ：设“及“。分别为( 1 2 2 ) 式与( 1 2 3 ) 式的解，如果 假设条件日。至日。都成立，且怙。i i = d ( 办+ 出) ，则对于充分小的垃及 r 2 有 肛”叫忙c h 乳矗鲫+ i i 纠m 忱k 呐圳乱删。，) c ( f + 办”1 ) ( 2 s ，) 口兰士兰明：在( 1 2 2 ) 式中令f 叫”，并与( 1 2 3 ) 式相减得到 误差方程： ”u 列 兰n 一声 警，y ) + ( 口v 孝”，v y ) 咄警竿川+ c 竿坝。叽， 其中我们应用了日，投影性质。 为了给出r ( q ) 的误差估计， ( 1 3 4 ) 式变为： v 1 ，矿 ( 1 3 4 ) 我们选取试验函数v = 孝n ，于是 峄，”) + o v ，v 乡”) 叫第一竿) + ( 竿) + w 。) ( 1 3 5 ) 进步，分解( 1 3 5 ) 式的些项后，得： ，手”) + ( 口v ”，v f 一 吨”第一譬h 学， + ( 华) + 气导) + 昕r ) n 3 6 ) = 喜刀 山印 下面逐估计z ，f = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 。利用r u s s e l 的结果可以估计 出互，互，z ： 蚓鳓僦一双刚州2 c v 洲2 + 占2 ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) i 正l c ( 0 善”1 盱+ j | 7 7 ”1 肝+ ( f ) 2 ) + 占i f 孝”0 2 ( 1 3 9 ) 互= ( 譬以再粉咿叫写成 7 7 ”一万”1 = ( 7 7 ”一7 7 ”- 1 ) + ( 7 7 ”一一矿”一1 ) 。 由何1 模的定义有 f c 华，陆川吼彬1 8 。 老k 。旷恤 坤7 o ； ( 1 3 1 0 ) 由引理1 有： j c 竿) | 云旷1 一刑l - l 圳i 。 ( 1 3 c f | 7 7 ”10 。j l 孝”j j l c j | 7 7 ”10 2 + 占f l 孝”峙 由( 1 3 1 0 ) 式和( 1 3 1 1 ) 式，我们得到 j 乃l 鲫始此川，旷悃) ) + 旷1 l | 2 ) + 杪肝 3 吲= f ( 刀一厂”，善”) i ， 因为 一厂”f j = f | 厂( 甜：，v “：) 一厂( 甜”，v “：) + 厂( “”，v “：) 一厂( “一，v “一) 0 三( 1 f 孝”0 + 1 1 7 7 “i j ) + ( j j v 孝”| | + j | v 7 7 ”l f ) 所以 f l i c ( i | 孝”肝+ | f 7 7 ”f | 2 ) + 占| | 孝”0 2 ( 1 3 13 ) 下面我们来证明( 1 3 6 ) 式的左边是有下界的。事实匕，由 9 不等式口( 口一6 ) 三( 口2 6 2 ) ，我们有 考n f 1 ，尹) 心v 尹，v ) 去( j j 孝”j 1 2 0 孝”一j 1 2 ) + 口。i i v 手”l j 2 ( 1 3 1 4 ) 综合( 1 3 6 ) 式至( 1 3 1 4 ) 式，可得到下述递归公式 q 阱一纠1 2 ) + l l 叼卜刊 + 0 孝”1 1 1 2 + 0 7 7 ”1 盯+ ( f ) 2 ) + 占( 0 孝”j + j | 孝”j 1 2 ) 2 2 r ( ，“，；矿1 ( 固) 将上式两端同时乘以2 垃，并对f 从，z = 1 ，2 ，求和，得 妙j 1 2 +黔”陋 f c f 2 【 z l 2 r ( _ ，上2 ( q ) ) + f 1 + 占f l 陟”肝+ 8 孝”1 1 2 lh = lj 2 2 ( ，一( q ) )+ f 炉1 n f h = 1 n = l ( 1 3 1 5 ) 扩1 仆 在不等式( 1 3 1 5 ) 的两边同时加上f 恬”i j 2 ，并且对于充 分小的出，有下面不等式成立： 酬1 2 c f 圳1 2 h = i 应用引理l ， 圳印， f c f l i f + c 血2 【 我们得到 乳反鲫 2 r ( ，f ( q ) ) + 1 0 + 盯= l 蚓1 2 + ( 缸) 2 ， + 0 7 7j f 。，。 + j f 孝。1 2 上2 ( - ，胃一1 ( q ) ) 一。 ” f 。，日1 q + 0 7 7 0 r 。，日。n ，+ j f 孝0 f i + f ) 1 + ( f ) 2 j 一& + )囝( ， 驯 0 f 由于误差“一“。= 7 7 一孝，再由三角不等式 忱一“。| i = 忉一副+ 和式( 1 3 2 ) 及式( 1 3 3 ) 定理1 得证。 推论：在上述结论基础上，若设系数函数6 = 6 ( x ，f ，“) ， 厂= 厂( x ，f ，1 ) ，并满足定理l 的条件，则 | | z f ”一“：i | c ( f + 办5 ) 1 s 厂 该推论的证明过程与定理1 的证明过程类似，故只讨论不同的 部分。如果6 = 6 ( x ，f ，“) ，则易知 吲c ( 妙1 l | 2 + 旷1 j | 2 + ( 出) 2 ) + s 酬1 2 ( 1 3 1 6 ) 同理当厂= 厂( x ，f ，“) 时有 吲c ( 护1 1 2 + 1 2 ) + g 圳1 2 ( 1 3 1 7 ) 于是，我们得到 眵i | 斗酬舶内鲫制l 悃 + j f 圳即内鲫+ j j 纠| + f 又由于甜一“。= 7 7 一孝，再由三角不等式和式( 1 3 2 ) 及式( 1 3 3 ) 推论的结果得证。 第二章非线性对流扩散方程的特征有限元法和h ，( q ) 模估计 2 1 特征有限元格式 我们考虑非线性对流扩散方程的初、边值问题： 妾一v ( 以( n 乳) + 6 劬，) 矾= 厂( 彬，“，v “) ( ) q “( 石，f ) = g ( z ，f ) ( 五f ) 只， 掣叫枷 似眯i o 忱 、。7 疗 “( x ，o ) = “o ( x )x q 在上一章中我们把( 2 1 1 ) 式转化为特征形式 ( 2 1 1 ) 沙( 五f ，“，v “) 嘉一v ( 功，v “) = 厂( 五f ，“，v “) ( 五f ) q 甜( 五f ) = g ( z ，f ) ( x ，f ) 掣叫刈) ( 卅i 0 咒 、。7 ” 掰o ) = “o ( 功 与( 2 1 2 ) 等价的变分形式为 j ( 沙筹嘶v 印v ) - ( 加) + 【 ( o ) 一“。，d = o x q ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 问题( 2 1 1 ) 的特征有限元解定义为：对于咒：o ，1 ，2 ， 求解“。圪，使得 1 2 c 篱搿略w 见。嚣1 4 )l ( “：一“。，1 ，) = o 咖甜n 其中z = x 一6 ( x ，f ”，“o v z z 一f ，“：= m 。( x ，f ”) ，掣= f ，i ( z ，) ， 爿= 厂( x ， “：，v “：) 。 误差方程为： ( 学小v 只v v ) 却”筹一譬，v ) + ( 譬螂丁圪 2 2 日- ( q ) 模误差估计 定理2 ：设以及“。分别为( 2 1 3 ) 式与( 2 1 4 ) 式的解，如 果假设条件日，至日。都成立，且恬。l | ，。( 办十垃) ，则对于充分小的垃 及尸2 有： 变为： 0 “ ，一“? l i 。c ( f + 庇”1 ) ( 2 j 厂) 证明：在( 2 1 5 ) 式中取试验函数1 ，= 譬，( 2 1 5 ) 式 c 譬譬m 州“，v 譬， 砘n 第一譬华川譬，譬，= 【旷面一百下j 八面 缸 7 + c 譬譬h 宰，譬， 得到： ( 2 1 1 ) 式的左边满足下述不等式 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 对于互、z 、巧、正的估计可类似于互、互、互、正的估计 k 叫斛川霸鲫+ 占 吲c 黔川j | 2 + 阱( 华，等 ， 将7 7 ”一万”1 = ( 7 7 ”一7 7 ”一1 ) + ( 7 7 “一万”1 ) ，贝0 f ( 华，譬he 脚| 删l 。霸鲫+ 叫 f ( 竿，譬h 阿l i l 2 + 叫 由( 2 2 1 ) 式和( 2 2 2 ) 式，有 j 互i c ( 玄【- f 良f f i ：一，；r 。j + j j v 7 ”一1 j | 2 ) + 占 蚓c 6 眇扩+ ( f ) z + 1 4 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 正。f c 6 j 孝7 肝+ f i 刁”0 i ) + 2 综合( 2 1 1 ) 式至( 2 2 5 ) 式，我们得到： f c 缸 【 2 + 击慨7 2一黔一j | 2 ) ( 2 2 9 ) i 龟。q + 吉f 鲁8 二；r 。q ，+ i | 孝刈；+ i i 孝”一l l l i + j j 刁”肝+ f j 刁”l | f ；十c f ，z + 训吲2 和，得 ( 2 2 1 0 ) 在( 2 2 6 ) 式两端同时乘以2 缸，并对f 从，2 = 1 ，2 ，求 f y 二_ 一 ”等1 p 俐 + & s y j 一 疗= l 2 2 + 口黔0 2 2 ( - ，上2 ( o j ) 我们知道： 2 + |f2 f ( ，f ( q ) )+ r 圳1 2 + f n = 0 月= 0 0 f ”0 2 0 孝”一1 2 = ( 孝”一手“，孝“一孝”一1 ) + 2 ( 孝n ，孝一一孝一，) 旧f 2 ( 缸) 2 ， 声 + 2 ip 1 ，生 l 一声月一l b f ( 2 2 8 ) 式对时间f 从咒= 1 ，2 ，求和，有 1 5 j f 刁训i + f j v 孝o | j 2 + ( f ) 2 ) ( 2 2 11 ) 卜 ( 2 2 1 2 ) n 剀1 2 剀r ，i = l 2 ( ，) 2 + c 妙1 陋+ 占 盯= o ，i = 0 当f 充分小时，( 2 2 9 ) 式与下面的不等式等价： 孝卜g 月= l 2 ( f ) 2 + c j l 孝”10 2 f + f i 孝。f 1 2 2 f +1 2 ( 2 2 13 ) ( 2 2 1 4 ) 将( 2 2 1 0 ) 式两端加到( 2 2 7 ) 式得两端，我们得到： n = l r ( 出) 2 l + s y 厶 2 f +州r 2 f j i ：。，。q ，+ ，喜8 孝钏；+ f 阿i i 。，。q ，+ j j 善o j | i + ( f ) 2 ) 当缸充分小时，( 2 2 1 1 ) 式等价于： c y j ，一 月= l j f 孝”l j j ；f + c ( f ) 2 再利用引理1 ，我们得到 。孝l j l c r 2 r ( ，工2 ( q j j ( 2 2 1 5 ) 倒i ) ) + _ 础鲫彬卜 即崩鲫+ | i 圳即，制即崩鲫+ f ( ，f ( n ) ) u fi l f ( ，f ( n ) ) 1 恻j 。+ 0 j 由于误差“一“。= 孝一7 7 ，由三角不等式和上一章的( 1 3 2 ) 式和( 1 3 3 ) 式，定理得证。 参考文献 1 j j r d o u g l a s ， t f r u s s e l l n u m e r i c a lm e t h o d sf o r c o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o n p r o b l e m sb a s e d o n 1 6 1 ( f ) 2 ： j c o m b i n i n gt h em e t h o do f c h a r a c t e r i s t i c sw i t h f i n i t e e l e l e m e n to rf i n i t ed i f f e r e n c ep r o c e d u r e s j s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 8 2 ，1 9 ( 5 ) ：8 7 卜8 8 5 2 c n d o w s o n ，t f r u s s e l1a n dm f w h e e l e r s o m ei m p r o v e d e r r o re s ti m a t ef o rt h em o d i f ie dm e t h o do fc h a r a c t e r i s tic s j s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 8 9 ，2 6 ：1 4 8 7 1 5 1 2 3 r e e w i n g ， t f r u s s e l la n dm f w h e e l e r c o n v e r g e n c e a n a l y s i so fa na p p r o x i m a t i o no f m i s c i b l e d i s p l a c e m e n ti n p o r o u sm e d i a b ym i x e df i n i t ee l e m e n t sa n da m o d if i e d m e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s j c o m p u t m e t h o d s a p p l m e c h e n g r g 19 8 4 ，4 7 ：7 3 7 9 4 r e e w i n g ，t f r u s s e l la n dm f w h e e l e r s i m u l a t i o no f m i s c i b l e d i s p l a c e m e n tu s i n gm i x e df i n i t e e l e m e n t sa n da m o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s j 7 t hs p es y m p o s i u mo n r e s e r v o i rs i m u l a t i o n ， s a nf r a n c i s c o ， n o v 1 9 8 3 5 j w j e r o m e c o n v e c ti o nd o m i n a t e dn o n li n e a r s y s t e m 耋， a n a l y s i so ft h ed o u g l a s r u s s e l lt r a n s