（应用数学专业论文）一类图构形的orliksolomon代数与tutte多项式.pdf

摘要 一类图构形的 o r l i k - s o l o m o n 代数与t u t t e 多项式 摘要 本文研究了一类特殊的图构形，称之为n 秩轮图构形。刀一秩轮图 是一类非常有趣的图。设e 为一个有疗个顶点的圈，从第n + 1 个顶点与 e 的每个顶点相连成刀条边，这样形成的图f 1 l 做刀秩轮图，记为4 ， 它有n + 1 个顶点，2 强条边。 首先，我们给出了，z 一秩轮图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的计算公 式。利用删除一限制的方法将刀秩轮图构形的计算转化为弦图构形，得 到了如下的公式： 设，z - 秩轮图对应的构形为 ，那么当胛3 且o p 刀一2 时，a 的p 阶o r l i k s o l o m o n 代数的维数为 d i mo s p ( 以) = 2 p f 刀l ， k p ) 。r 一 曲 m m 缈弘闩川( ：_ 1 ) - 1 , d i mo s m 闩”么 由此可得r l 一秩轮图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的维数为 d i m o s ( a , ) = 3 4 3 。 在此基础上又求得了n 秩轮图的一类导出图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的计算公式，得到其o r l i k s o l o m o n 代数的维数为 d i m 0 s ( 4 ) = 3 ”+ 1 - 9 。 其次，对以秩轮图关于某条边的删除e 以及刀秩轮图的t u t t e 多 项式进行了研究，得到了疗秩轮图4 的t u t t e 多项式为 r ( 以) = 矿+ y ”+ ”y ，i ，- ，n 。 o i s n - i l s f + ，s n 一1 再次，研究n 秩轮图构形的双变量着色多项式，求出了5 秩轮图 北京化t 大学硕i ：学位论文 和6 一秩轮图的双变量着色多项式，用实例说明了双变量着色多项式与 t u t t e 多项式是两个不同的概念。 最后，给出了刀边形的上同调的计算公式。 关键词：o r l i k s o l o m o n 代数，t u t t e 多项式，双变量着色多项式，上同 调 u ，立堕兰兰一 o r l i k - s o l o m o na l g e b r a sa n dt u t t e p o l y n o m i a l s o fac l a s so f g r a p h i ca r r a n g e m e n t s a b s t r a c t w es t u d yas p e c i a lc l a s so fg r a p h i c a r r a n g e m e n t s ，i e ，h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n ta s s o c i a t e dw i t ha nn - r a n kw h e e lg r a p h s u p p o s eei sa c i r c l ew i t h ，z v e r t i c e s c o n n e c t i n gt h e n + lv e r t e xw i t he v e r yv e r t i c e s f o r m g ，w eo b t a i nt h e 刀一r a n kw h e e lg r a p h ，i e ，4 ，i th a sn + lv e r t i c e s a n d2 n e d g e s f i r s t l y , w ep r o v eaf o r m u l ao nt h ed i m e n s i o no ft h eo r l i k s o l o m o n a l g e b r ao ft h eg r a p h i ca r r a n g e m e n ta s s o c i a t e dw i t ht h e ，1 r a n kw h e e l g r a p h w eu s ed e l e t i o n r e s t r i c t i o na l g o r i t h mt or e d u c et h ec o m p u t a t i o nf o r 以。r a n kw h e e lg r a p h i ca r r a n g e m e n tt oac h o r dg r a p h i ca r r a n g e m e n t w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g f o r m u l a ei nt h i s p a p e r l e tad e n o t e t h e a r r a n g e m e n ta s s o c i a t e dw i t ht h e 靠一r a n kw h e e lg r a p h f o r 疗3a n d o p 疗一2 ，t h ed i m e n s i o no ft h ep t hc o m p o n e n to s p ( a , | jo ft h e o r l i k s o l o m o na l g e b r ao s ( 以) o f 以i s d i 删1 ) _ 2 p 阱删- l ( ) _ 2 川) _ 1 ， 抵傩刊也 h e n c e ，t h et o t a ld i m e n s i o no ft h eo r l i k s o l o m o na l g e b r ai s d i m o s ( a , ) = 3 4 - 3 。 w ea l s os t u d yg r a p h sr e l a t e dt o a n d s h o wt h a tt h ed i m e n s i o no f i i i 北京化t 人学硕l j 学位论文 t h eo r l i k s o l o m o na l g e b r ao ft h ea r r a n g e m e n ta s s o c i a t e dw i t ht h en e w g r a p hi s 3 ”- 9 s e c o n d l y , w ec o m p u t et u t t ep o l y n o m i a l so ft h e 行- r a n kw h e e lg r a p h a n dg r a p h so b t a i n e df r o mn - r a n kw h e e lg r a p hb yd e l e t i n ga nb o u n d a r y e d g ea n do b t a i ng e n e r a lf o r m u l a e t h et u t t ep o l y n o m i a l so fn r a n kw h e e l g r a p h 以i s r ( 4 ) = r + y 一+ 开x y ，i ，n o i n - l l f + ，以一i t h i r d l y , w es t u d yt w o - - v a r i a b l ec h r o m a t i cp o l y n o m i a l f o rn - r a n k w h e e lg r a p ha n di l l u s t r a t e st h a tt h i sp o l y n o m i a la n dt u t t ep o l y n o m i a la r e t w od i f f e r e n tc o n c e p t s f i n a l l y , w e c o n s i d e rt h e c o m p u t a t i o n o f c o h o m o l o g i e s f o r a r r a n g e m e n t so fp o l y g o nw i t h 刀e d g e s k e yw o r d s ：t h eo r l i k s o l o m o n a l g e b r a ，t u t t ep o l y n o m i a l s ， t w o - v a r i a b l ec h r o m a t i cp o l y n o m i a l ，c o h o m o l o g y i v a h n 8 c z ( 4 ，f ) ，( 4 ) o s ( a ) h ( 傩( 4 ) ，d ) 4 a r ) 只g ；x ，y ) 符号说明 超平面构形 超平面 无破圈基 构形4 的特征多项式 构形4 的理想 构形4 的o r l i k s o l o m o n 代数 构形4 的第i 个上同调 n 秩轮图 n 秩轮图构形 刀秩轮图以的t u t t e 多项式 图g 的双边量着色多项式 i x 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：缸一霉劫 日期：型2 ：查：主旦 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名 导师签名 日期： 世2 ：主! i ! 日期：咎呼正l 第一章概述 1 1 背景知识简介 第一章概述 超平面构形是近3 0 年来受到国际上广泛关注的研究领域，其结果在代数、组合、 拓扑、分析等方面都有着广泛的应用。o r l i k s o l o m o n 代数和t u a e 多项式作为超平面 构形的代数性质更成为数学家们关注的热点。本文计算了一类特殊的图构形，万一秩 轮图构形的o r l i k s o l o m o n 代数和t u t t e 多项式，并通过具体实例说明图构形的t u r e 多项式与双变量着色多项式并不相同。 我们首先引入超平面构形的一些基本知识。 设域k 为实数域r 或复数域c ，y 为k 上的，z 维向量空间，任取一组基 e l ，乞，巳，则k 中任一向量，可惟一表示为v - - ( x ，屯，吒皿。集合 日= ( 五，吒) k i q 也屯+ 帆吒= 6 ) 叫做矿中的一个超平面( h y p e r p l a n e ) 。y 中 有限个超平面的集合称为超平面构形( a r r a n g e m e n to fh y p e r p l a n e ) ，记为 4 = h i ，以 。若构形4 中所有超平面的交非空，则称4 是中心构形。 若构形s 中平面的法向量是线性相关的，我们说这个构形相关。 对超平面构形4 上的超平面进行排序，即4 = 一 h 2 见 ，sc 4 ，设n s = nh f 2 j ，如果s 是极小相关的，即s 是相关的，但对v h s ，s h 是无关的， h e s 则称s 为一个圈。设日曲是圈s 中的最小平面，那么称s 日曲为破圈。若圈s 中不 含有任何破圈，则s 叫做无破圈集。 设l = 三( 4 ) 是4 中所有元素的非空交的集合，定义己上的偏序关系： 石l ，2 】，其中x ，y 三( 4 ) ，满足白反性、对称性和传递性。 定义三( 4 ) 上的秩函数为r ( x ) = e o d i m ( x ) = ，l d i mx ，即x 的余维数，其中 x l ( a ) 。r ( x ) 表示使得x = 羁。n ：n n 成立的最少超平面的个数。显然， r ( v ) = 0 ，r ( h ) = l ，秩为l 的元称为原子。 假定4 是中心构形。( x ，y ) l ( 4 ) l ( 4 ) ，如果对所有的z l ( 4 ) 且z y 都有z v ( xay ) = ( z v x ) y ，则称( x ，y ) 为一个模对。 如果对所有的y l ( 4 ) ，( 丘y ) 是一个模对，那么元素x l ( 4 ) 称 1 北京化t 大学硕上学位论文 为有模的。如果三( a ) 有一个模元素的最大链y = k ( 五( ( x ，= n 日我们称4 爿e a 是超可解的。超可解构形有如下的一个等价定义。 若4 是超可解构形，那么一定存在- 4 互a ，江o ，1 ，满足 1 ) o = ac c c c4 一lc4 = a ； 2 ) 呱，皿4 4 小且h i 4 ，3 h 4 巾满足只n 也ch 3 ) m ，z 尼( ) = r a n k ( a i t ) + 1 。 若4 是超可解构形，龟= r a n k ( a t 4 一。) ，江o ，1 ，那么( 6 i ，6 2 ，6 ，) 叫做4 的 指数。 如果一个图中的任意一个四边形都存在至少一条对角线，那么我们称该图为弦 图。弦图一定是超可解的。 1 2 本文主要内容及结构安排 本文研究了一类特殊的图构形，称之为n 一秩轮图构形。玎秩轮图是一类非常有 趣的图。设e 为一个有n 个顶点的圈，从第n + 1 个顶点与e 的每个顶点相连成n 条边， 这样形成的图叫做n 秩轮图，记为彳。，它有甩+ 1 个顶点，2 n 条边。 在第二章我们给出了疗秩轮图及其导出图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的计算公 式。利用删除限制的方法将n 一秩轮图构形的计算转化为弦图构形，得到了如下的公 式： 设n - 秩轮图对应的构形为 ，那么当疗3 且0 p n - 2 时， 的p 阶 o r l i k - s o l o m o n 代数的维数d i m 傩p ( a ) = 2 p ( 三) ，而 m m 铲1 c a 闩剃) - 1 , d i m 州a 用4 也 由此可得刀一秩轮图构形的o r l i k - s o l o m o n 代数的维数为d i m o s ( a , , ) = 3 “一3 。 在此基础上又求得了n 秩轮图的一类导出图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的计算公 式，得到其o r l i k s o l o m o n 代数的维数为d i m o s ( , a ) = 3 肿1 9 。 第三章进入对，l 一秩轮图关于某条边的删除召。以及强- 秩轮图的t u t t e 多项式进行 了研究，得到了如下的一般表达式。 2 第一章概述 由，z 个三角形组成的只的t u t t e 多项式为r ( 色) 2 兀4 y ，其中f ，j n 。 0 s f s 月+ i o ：臼+ ，一+ l 刀- 秩轮图以的t u t t e 多项式为r ( 以) = r + j ，”+ b 可“y 7 ，f ，n 。 0 s f 一i l i + j n 一1 第四章研究n 秩轮图构形的双变量着色多项式，求出了5 一秩轮图和6 一秩轮图的 双变量着色多项式，用实例说明了双变量着色多项式与t u t t e 多项式是两个不同的概 念。 第五章计算甩边形的第一个上同调。 3 北京化t 大学硕i j 学位论文 第二章聆一秩轮图及其导出图构形的o r l i k s o l o m o n 代数 2 1o r l i k - s o l o m o n 代数的基本知识 设么= q ，鸩，以) 是数域瓦中的构形，这以个超平面对应着，z 个基q ，乞，巳 定义e ( 4 ) 2 鲁e 7 ，其中e p2 甑“曼 i 瓦气吃气，交换气气气中的任意两个 f - l l 鼠 如( e n 。 叩 。 p 要改变符号。 a 的任意有序子集s 2 ，气) 对应于e ( a ) 中的一个元素 咚：2 气气乞。 我们通过通常的微分来定义映射a ：e ( 4 ) - - ) e ( 4 ) 。也就是， a ( 1 ) ：= 0 ，a ( q ) ：= l 且对p 2 ，有a 气气气) ：2 艺( 一1 气气e 瑶气。 我们定义“a ) 是e ( 4 ) 的理想，( 4 ) 是由 a ( 咚) ：s 是相关的) u 巳： n s = 囝) 。 4 的o r l i k s o l o m o n 代数定义为o s ( 4 ) ：= e ( 4 ) i i ( 4 ) 。 我们的工作要用到下面的一个定理。 定理旧设a 是超可解构形，( 岛，魄，岛) 为4 的指数，则 d i m o s p ( 4 ) = 乞。 3 ) 的一条边可以得到弦图4 ，而4 关于这条边的收缩即 为，l 一1 - 秩轮图4 一。，对弦图4 对应的构形a 7 ，我们有 岛= 1 ，6 2 = 5 3 = = 吃一。= 吃= 2 ，所以有 d i m o s ，( 4 ) = 气= 气气+ 乞 i 矗 f 。s 行l f f i i l 一 f 。玉月 2 5 l ，所以 包”= 2 ”1 + 吃一l “一1 = 2 “一1 + 2 “一2 + 吃一2 ”2 = 2 ”一1 + 2 ”一2 + 2 ”3 + 包一3 ”一3 = = 2 ”一1 + 2 ”一2 + 2 ”一3 + + 2 3 + 熟3 = 2 ”一1 + 2 “一2 + 2 “一3 + + 2 3 + 6 = 2 3 c 2 “一一，+ 6 = 2 ”一2 = 2 ”( ： 一2 。口 推论2 与，z 秩轮图相伴的超平面构形的o r l i k s o l o m o n 代数的维数为 d i m o s ( a l ，i ) = 3 ”一3 。 证明傩c 栌2 。制彬+ m 剃) _ 1 + 2 ”一2 = ( 2 + 1 ) ”- 3 = 3 ”一3 。口 2 3 咒一秩轮图的一类导出图构形的o r l i k - s o l o m o n 代数 我们按下列方式得到，1 秩轮图的一类导出图。 加一个角： 应西圆 f 2 ) c 3 ) 图2 刀一秩轮图的导出图 f i g 。2g r a p h sr e l a t e dt o 玎- r a n kw h e e lg r a p h 定理3 在行秩轮的边上加一个角所得图构形的o r l i k s o l o m o n 代数的各阶维数为： 6 第一二章n 一秩轮图及其导 i ；图构形的o r l i k s o l o m o n 代数 轨3 且o p n - 2 时巾m m 刚 闩p r ) 蚪以闩川( ：= ： - 1 , ( 3 ) d i m 洲a 闩”( ：+ 1 ) _ 4 d 曲1 c 闩川) _ 4 0 证明对，z - 秩轮上加一个角后得到图4 l ，除去除加角的边之外的任一条边后可得到弦 图4 ，对图4 对应的构形a ，我们有6 l = 1 ，5 2 = 岛= = 吃一。= 吃= 包卅= 2 ，所以 我们有 d i m o s p ( a ) = 乞气= i 钢 i p n + il = i e n + l = 2 p - 1 ( 三二：一1 + 2 p ( 三+ 1 1 。 而4 l 对应的构形a 的船c 集 气b i p + 气气 2 i i t ( 岛) ? t ( 且) ； x 2 + x + ， r 3 + 2x 2 + 2x y + x + ，叼2 r 4 + 3x 3 + 3x 2 y + 2x y 2 + ，3 + 3x 2 + 4 r ，+ 2 y 2 + x + ， x 5 + 4 x 4 + 4x 3 ，+ 3x 2 ，2 + 2 x y 3 + ，4 + 6x 3 + g x 2 ，+ 7x y 2 + 3 y 3 + 4x 2 + 6x y + 3 y 2 + x + ， 北京化丁人学预 j 学位论文 t ( 昆) j r 6 + 5 x 5 + 5x - 4 7 + 4 x 3 ，2 + 3 x 2 ，3 + 2 x 7 4 + ，5 + l o x 4 + 1 6 x 3 ，+ 1 5 x 2 ，2 + l o x y 3 + 4 7 4 + l o x 3 + 1 8x 2 ，+ 1 5x 2 2 + 6 j ，3 + 5x 2 + 8x 2 + 4 7 2 + r + ， t ( 鼠) i r 7 + 6 x 6 + 6x 5 ，+ 5x 4 ，2 + 4 x 3 ，3 + 3 x 2 ，4 + 2x y 5 + ，6 + 1 5x 5 + 2 5x 4 ，+ 2 6x 3 ，2 + 2 1x 2 7 3 + 6 x 2 + l o x 2 + 5 7 2 + r + ， t ( 马) ? z 8 + 7 x 7 + 7x 6 7 + 6 x 5 ，2 + 5x 4 7 3 + 4x 3 ，4 + 3x 2 2 5 + 2x y 6 + ，7 + 2 1x 6 + 3 6x 5 ，+ 4 0 x 4 7 2 + 3 6x 3 ，3 + 2 7 x 2 ，4 + 1 6x y 5 + 6 7 6 + 3 5x 5 + 7 5x 4 ，+ 9 0 x 3 ，2 + 7 6x 2 7 3 + 4 5 x 2 4 + 1 5 7 5 + 3 5x 4 + 8 0 x 3 ，+ 9 0 x 2 7 2 + 6 0 x 7 3 + 2 0 2 4 + 2 1 ) c 3 + 4 5x 2 ，+ 4 0 x 7 2 + 1 5 ，3 + 7x 2 + 1 2x 7 + 6 7 2 + x + ， t ( 岛) j ) c 9 + 8 x 8 + 8x 7 y + 7 x 6 ，2 + 6x 5 ，3 + 5 x 4 ，4 + 4 x 3 ，5 + 3x 2 ，6 + 2x 7 7 + ，8 + 2 8x 7 + 4 9x 6 7 + 5 7x 5 72 + 5 5x 4 23 + 4 1 5x 3 ，4 + 3 3x 2 ，5 + 1 9x ，6 + 7 7 7 + 5 6r 6 + 1 2 6r 5 ，+ 1 6 5x 4 7 2 + 1 6 0 x 3 ，3 + 1 2 0 x 2 y 4 + 6 6 x 7 5 + 2 1 2 6 + 7 0 r 5 + 1 7 5 x 4 ，+ 2 3 0 x 3 7 2 + 2 0 0 x 2 ，3 + l l s r y 4 + 3 5 2 5 + 5 6x 4 + 1 4 0 x 3 ，+ 1 6 5 x 2 ，2 + l l ox 7 3 + 3 5 7 4 + 2 8x 3 + 6 3x 2 ，+ 5 7 x 7 2 + 2 1 7 3 + 8 x 2 + 1 4x ，+ 7 7 2 + c + ， 7 ，( 岛) j x 1 0 + 9x 9 + 9 x 8 ，+ 8x 7 ，2 + 7r 6 ，3 + 6r 5 ，4 + 5 x 4 ，5 + 4x 3 2 6 + 3x 2 ，7 + 2x y 8 + ，9 + 3 6x 8 + 6 4 x 7 ，+ 7 7 x 6 ，2 + 7 8 x 5j ，3 + 7 0 x 4 ，4 + 5 6x 3 7 5 + 3 9x 2 2 6 + 2 2 x 77 + 8 7 8 + 8 4r 7 + 1 9 6 x 6 7 + 2 7 3 x 5 ，2 + 2 9 0 x 4 ，3 + 2 5 0 x 3 ，4 + 1 7 4r 2 ，5 + 9 1x ，6 + 2 8 7 7 + 1 2 6x 6 + 3 3 6x 5j ，+ 4 9 0 x 4 2 2 + 5 0 0 x 3 ，3 + 3 7 5 x 2 ，4 + 1 9 6 x 2 5 + 5 6 76 + 1 2 6 x 5 + 3 5 0 x 4 ，+ 4 9 0 x 3 ，2 + 4 3 5x - 2 ，3 + 2 4 5 x 7 4 + 7 0 j , 5 + 8 4 x 4 + 2 2 4 x 3 ，+ 2 7 3 r 2 ，2 + 1 8 2 x 2 3 + 5 6 7 4 + 3 6 x 3 + 8 4x 2 7 + 7 7 x 7 2 + 2 8 7 3 + g x 2 + 1 6x 7 + 8 ，2 + r + ， 1 ， 第三章刀一秩轮图构形的t u t t e 多项式 7 ，( 民) ； x 1 1 + 1 0 x 1 0 + 1 0 x 9 ，+ 9x 8 ，2 + 8 工7 ，3 + 7z 6 y 4 + 6 x 5 y 5 + 5x 4 ，6 + 4z 3 y 7 + 3x 2 ，8 + 2x y 9 + ，1 0 + 4 5x 9 + 8 1x s y + i 0 0 x 7 ，2 + 1 0 5r 6 y 3 + 9 9x 5 ，4 + 8 5r 4 ，5 + 6 6 r 3 ，6 + 4 5z 2 y7 + 2 5r ，8 + 9 ，9 + 1 2 0 x 8 + 2 8 8x t y + 4 2 0 x 6 ，2 + 4 7 6x s y 3 + 4 5 0 x 4 ，4 + 3 6 0 x 3 y 5 + 2 3 8 x 2 ，6 + 1 2 0 x y 7 + 3 6 y 8 + 2 1 0 x 7 + 5 8 8x 6 ，+ 9 2 4x s y 2 + 1 0 5 0j c 4 ，3 + 9 2 5 ) f 3 ，4 + 6 3 0 x 2 y5 + 3 0 8x ，6 + 8 4 y 7 + 2 5 2 x 6 + 7 5 6 x 5 ，+ l 1 9 0 x 4 ，2 + 1 2 6 0 x 3 y 3 + 9 4 5 x 2 ，4 + 4 7 6x ，5 + 1 2 6 y 6 + 2 1 0r 5 + 6 3 0r 4 ， + 9 2 4z 3 ，2 + 8 3 3x 2 ，3 + 4 6 2z ，4 + 1 2 6 y5 + 1 2 0 x 4 + 3 3 6z 3 ，+ 4 2 0 x 2 ，2 + 2 8 0 x j 一3 + 8 4 y 4 + 4 5x 3 + 1 0 8x 2 y + 1 0 0 x ，2 + 3 6 y3 + 1 0 x 2 + 1 8z ，+ 9 ，2 + x + ， 观察对应项的相关系数，我们得到了下面的结果： n 秩轮图该项系数 1 3 刀 2 ( n 一1 ) 刀一l 业2一一一一一一6一23一36 项扩 9 舻 f b 妒 伊 一 b 如 v 矿 北京化t 人学硕i ：学位论义 x 5 x 4 y x 3 y 2 x 2 y 3 x 3 y 3 x 4 y 3 综上可得对吃，有： n ( n 一1 ) ( ，z 一2 ) ( ，z 一3 ) 2 4 5 ( n 一1 ) ( ，2 2 ) ( 以一3 ) ( 咒一4 ) 2 4 ( 5 n 一1 7 ) ( ，z 一2 ) ( ，z 一3 ) ( 刀一4 ) 1 2 ( 5 n 一1 6 ) ( n 一3 ) 2 ( n - 4 ) 12 ( 以一3 ) ( 以一4 ) 3 ( ，z 一5 ) 6 ( 7 n 一3 4 ) ( n - 3 ) ( n 一4 ) ( n - 5 ) 2 ( n - 6 ) 1 4 4 一o 2 ) 的系数为：巳“= 型堕二堕堕二专曼i 孚趔= 百二翻： y 2 ) 的系数为：”= 鱼二丛生兰等三言趔= 踹： x 。y ( i 1 ) 的系数为：彳。”= ：d y 2 “1 ) 的系数为： z ：”= ( f + 1 ) ( n - 1 ) ( 阼一2 ) ( 以一3 ) ( ，z f ) 一 【o + 2 ) n - ( f + 1 ) 2 1 】( ，z 一2 ) ( ，z 一3 ) ( ，z 一4 ) ( ，l - i - 1 ) x y 3 0 2 ) 的系数为： z ，4：(i+3)n-i2-3i-6(n-3)(n-4)(n-5)(n-i-1)2(n-i-2)： 3 k f ! ，j ，4 1 3 f 3 ) 的系数为： 1 4 第三章一一秩轮图构形的t u n e 多项式 1 = ( i + 4 ) n - i 2 - 4 i - 1 2 ( n - 4 ) ( n 一5 ) ( 玎一i - 1 ) 2 ( 刀一f 一2 ) 2 ( 刀一i 一3 ) 4 n i l 所以对e ，当i j - 1 ，j l ，i ，j n ，有x y 7 的系数为： fn：(i+j)n-i2-ij-j(j-1)(n-j)(n-j-1)(n-i-1)2(n-i-j+2)2(n-i-j+1) ，k i ! ：【! ! ! ! 翌二! ! 二! 二! ! ! ! ! 二! ! ! ! 二! 二! ! ! j n i ! x ( 胛一f 一j + 1 ) k ( n i - j ) ! 而砂，( 3 ) 的系数为：彳，4 = x 2 y 7 ( 4 ) 的系数为： 凡；= 【( + 1 ) 以一1 一一j ( j 一1 ) ( ，z 一2 ) ( 刀一3 ) ( n - j ) ( j + 2 ) n - 2 2 - 2 j - j ( j - 1 ) ( n 一3 ) ( ，z 一4 ) ( ，l 一) 2 ( 疗一j 1 ) x 3 y 7 ( 5 ) 的系数为： 氏；= 2 1 x j ! 险3 ) n - - 3 2 - 3 j - j ( j - 1 ) ( n - 4 ) ( n 一5 ) ( 咒一) 2 ( 甩一j 一1 ) 2 ( 刀一j 一2 ) 所以当i 一1 ，j 1 ，i ，j n ，有，的系数为： 俨幽迪必趔堕业号学丛生塑坳 一【( f + ) ( 刀一f ) 一j ( j 1 ) ( ，z 一) ! ( 疗一i 一1 ) ! k f k ( ，z f 一+ 1 ) i x ( n f 一) 1 1 5 北京化t 人学硕f ：学化论义 弘。时，l j n 揣诽 当_ o 时，= 面翻叫 j 综上当0 f ，j ，z ，i ，j n ，记 一 o + ) ( ，z i ) 一j ( j 一1 ) 】( 以一j ) ! ( ，l f 1 ) ! j x i n ( ，z i 一+ 1 ) n ( ，z i j ) t ，且z + l 。“= l ，其他情况下乃”= 0 。 定理4 吃的t u t t e 多项式r ( 吃) 2 4 - ”y 7 ，其中f ，口。 o s f n + i o i + j - n + l 证明刀2 1 时，t ( e ) = x 2 + x + 少， 成立。 刀2 2 时，t ( 最) 2 x 3 + e 2 2 石2 + 石1 2 砂+ 2 歹2 + x + y = z 3 + 2 x 2 + 2 砂+ 少2 + x + j ，结论 假设r ( e ) f 万一1 满足该定理，即，( 吃一。) 2 乃州y 7 ，由于 o i n o t ( 4 ) ： x 3 + 3 x 2 + 4 r ，+ 2 x + 2 y + 3 7 2 + ，3 ) c 4 + ，4 + 4x 3 + 4x 2 ，+ 4r ，2 + 4 ，3 + 6x 2 + 9v + 6 y 2 + 3x + 3 y t ( 5 ) ： r 5 + ，5 + 5x 4 + 5x 3 ，+ 5r 2 ，2 + 5x p 3 + 5 ，4 + 1 0 x 3 + 1 5x 2 ，+ 1 5x ) , 2 + 1 0 ，3 + 1 0 x 2 + 1 6x y + 1 0 ，z + 4r + 4 ， t ( 6 ) ： x 6 6 + 6x 5 + 6 r 4 y + 6x 3 ，2 + 6 一，3 + 6x y 4 + 6 ，5 + 1 5x 4 + 2 4 x 3 1 , + 2 7x 2 ，2 + 2 4 x y 3 + 1 5 ，4 + 2 0 x 3 + 3 6z 2 ，+ 3 6x ，2 + 2 0 y 3 + 1 5r 2 + 2 5r ，+ 1 5 ) , 2 + 5 x + 5 ， t ( 7 ) ： z 7 + ，7 + 7 x 6 + 7 x 5 j ，+ 7x 4 y 2 + t x 3 ，3 + 7 x 2 ，4 + 7 x y 5 + 7 y 6 + 2 1 ) c 5 + 3 5 x 4 ) , + 4 2 x 3 j , 2 + 4 2r 2 ，3 + 3 5z ，4 + 2 l ，5 + 3 5x 4 + 7 0 x 3 y + 8 4r 2 ，2 + 7 0 x ，3 + 3 5 ，4 + 3 5r 3 + 7 0 x 2 ， + 7 0 x ，2 + 3 5 ，3 + 2 1r 2 + 3 6x y + 2 1 ，2 + 6x + 6 ， 7 ，( 8 ) ： x 8 叩8 + s x 7 + 8 x 6 ，+ 8 x 5 ，2 + 8 x 4 ，3 + 8 x 3 ，4 + 8 x 2 y 5 + 8 x ) , 6 + 8 ) , 7 + 2 8 x 6 + 4 8 x s y + 6 0 x 4 y 2 + 6 4x 3 ，3 + 6 0 x 2 ，4 + 4 8x ，5 + 2 8 ，6 + 5 6x s + 1 2 0 x 4 ，+ 1 6 0 x 3 y2 + 1 6 0 x 2 ，, 3 + 1 2 0 x ，4 + 5 6 ，5 + 7 0 x4+x3y+x 2 ，2 + x y 3 + 7 0 74 + 5 6x 3 + 1 2 0 x 2y + 1 2 0 善y 2 + 5 6y3 1602 0 0 1 6 07 05 6115 6+ 5 6 尸3 + x 母+ + x zpz + x p+ 4 + x = ，+xy +善p z +y + 2 8 茁2 + 4 9 x ，+ 2 5 y 2 + 7 警+ 7 ， r ( 9 ： x 9 + j p 簪+ 9 j c 8 + 9 x 7 , + 9 x 蓐，2 + 9 ，3 + g x 4 y 毒+ 势p 夕5 + 9 x 誓蓐+ 9 v 7 + 盼8 + 3 6 蓉 + 6 3 罗 + 8 1x 5 岁2 + 9 9x 4 ，3 + 9 0 x 3 ，4 + 8 l 篙2 ，5 + 6 3x 萝6 + 3 6 j p 7 + 弘+ 1 8 9 夕+ 2 7 0 x 4 ) , 2 + 3 x 3 ，3 + 2 7 0 x 2 ，4 + 1 8 9x y 5 + 晷4 夕5 + 1 2 6x 5 + 3 1 5x i ，+ 4 5 0 x 3 ，2 + 4 5 0 x 2 ，3 + 3 1 5v + 1 2 6 y ，+ 1 2 6x 4 + 3 1 5 x 3 ，+ 4 0 5x 2 夕2 + 3 1 5x ，3 + 1 2 6 ，i + 辫x 3 1 8 9x 2 j p + 1 8 9x , 2 + 秘，3 + 3 6x 2 + 甜x ，+ 3 6 ，2 雾x + 鑫夕 1 7 北京化工人学硕 ：学位论文 ? ( 1 0 ) ： 鬻i o + 夕1 a + 1 0 x g + l o x 8 夕+ 1 0 x ? j , 2 + i o x 0 3 + 1 1 ) x s 夕+ l o x 毒，5 + l o r 3 ，蓐+ l o x 3 夕7 + 1 1 1 x j , 8 + l o j ，9 + 4 5x 8 + 8 0 x 7 夕+ 1 0 5x 6 ，2 + 1 2 0 鬈s ，3 + 1 2 5x 4 ，i + 1 2 0 x 3 ，5 + 1 0 5 薯2 ，蓐+ 8 0 x ，7 + 4 5 y8 + 1 2 0 x ? 2 8 0 x 6 j , + 4 2 0 x 5 夕2 + 5 0 0 x ，3 + 5 0 0 x 3 ，+ 4 2 0 x 2 夕5 + 2 8 0j c 夕+ 1 2 0 夕7 + 2 1 0 x 6 + 5 6 0 x ：s j , + 8 7 5x 4 ，2 + 1 0 0 1 jr 3 ，3 夸3 7 5x 2 夕毒+ 5 6 0v 5 + 2 1 0 ) , 6 + 2 5 2r 5 + 7 0 0r 4 夕 + 1 0 5 0 x 3 歹2 + 1 0 5 0 x 2 ，3 母7 0 0 x v 4 + 2 5 2 ，5 + 2 1 0r 4 + 5 6 0j c 3 ) , + 7 3 5x 2 ，2 + 5 6 0v 3 + 2 1 0 y 辱 + 1 2 0 x 3 + 2 8 0 茗2 ，+ 2 8 0 x ，2 1 2 0 ) 3 + 4 5x 2 + 8 1x 罗+ 4 5 ，2 + 9x 多， ? ( n ) ： x 1 1 3 + t lx l o + 1 ix 9 夕+ l l x 8 夕2 + 1 1x 7 ，3 + 1 1x 0 + 1 1x 5 罗5 + 1 i ，6 + l lx 3 ，7 + 1 1 警2 夕8 峰1 1z 罗9 + 1 1 1 , 1 0 + 5 5z 9 + 9 9 x 8 7 + 1 3 2 2 j , 2 + 1 5 4x 6 ，3 + 1 6 5 x 5 ，4 + 1 6 5 x 4 j , 5 + 1 5 4x 3 ， + 1 3 2 x 2 罗? + 9 9 x ) , 8 + 5 5 1 , 9 + 1 6 5r 8 + 3 9 6 x 7 夕+ 6 1 6 x 6 ，2 + 7 7 1 1 x 5 夕3 + 8 2 5 x 4 夕4 + 7 7 0 x 3 ，5 + 6 1 6x 2 ，巷+ 3 9 6 x j 7 + 1 6 5 y 8 + 3 3 0 x 7 + 9 2 4 x 6 罗+ 1 5 4 0 】：5 罗2 + 1 9 2 5 x 毒，3 + 1 9 2 5 x 3 罗毒 + 1 5 4 0 x 2 夕5 + 9 2 4 x p 6 + 3 3 0 ，? + 4 6 ：1 x 蓐+ 1 3 9 6 x 5 ，+ 2 3 1 0 x 4 7 2 + 9 6 9 5 x 3 ，3 + 2 3 1 0 x 2 罗4 + 1 3 8 6 x ，5 + 4 6 2 y 蓐+ 4 6 2 x 5 + 1 3 8 6 x ，+ 2 1 5 6 x 3 ，2 + ：1 5 6x 2 ，3 + 1 3 8 6 x ) , 4 + 4 6 2 v 5 + 3 3 0 x 4 + 9 2 4x 3 夕专1 2 3 2x 2 ，2 + 9 2 4 x , v 3 + 3 3 0 ) , 4 + 1 6 5 x 3 + 3 9 6 x 2 夕+ 3 9 6 x , 2 + 1 6 5 y 3 + 5 5x 2 + l o o x v 5 5 夕2 牛l o x + l o r ? ( 1 2 ) ： 第1 2 椤1 2 耷1 2 x 1 + 1 2 x l o j p + l ：2 x 多，2 + 1 2 x 霉夕3 + 1 2 x 7 ，毒+ 1 2 ，5 + 1 2 x 5 ，5 + 1 2 x 毒，? + 1 2 x ，i t 8 1 2x 2 夕9 + 1 ：2 1 0 + 1 2 夕i i + 6 6x 1 0 + 1 2 0 x 9 夕+ 1 6 2x s j , 2 + 1 9 2 警7 ，3 + 2 1 1 ) x 蓐，霉+ 2 1 6x 5 ，5 + 2 1 1 1x 4 ，6 + 1 9 2x 3 歹7 + 1 6 2x 2 ，8 + 1 2 0 x 7 9 + 6 6 ，l o + 2 2 0 x 9 + 5 4 1 1 】f 8 ，+ 8 6 4z 7 ，2 专1 1 2 0 】c 6 j , 3 + 1 2 6 0 x 5 ，i + 1 2 6 1 1x 4 ，5 + l1 ：2 8x 3 ，5 + s 6 4x 2 ，7 + 5 4 0 x 7 8 + 2 2 0 r 9 + 4 9 5x 8 + 1 4 4 0 x 7 夕+ 2 5 2 0 x 蓐夕2 + 3 3 6 0 x 5 ，3 + 3 6 7 5 x 夕+ 3 3 6 t l x 3 ，5 + 2 5 2 0 ：c 2 ，蓐+ 1 4 4 0 x ，? + 4 9 5 , s + 7 9 ：1 茗7 牛2 5 2 0j c 蕃，+ 4 5 3 6z 5 ，2 + 5 s 8 0 x 4 ，3 + 5 8 8 0 x 3 ，+ 4 5 3 6x 2 ，5 + 2 5 2 0 x , v 6 + 7 9 2 v 7 + 9 2 4x 蓐+ 3 0