（计算数学专业论文）两相混溶驱动问题的数值方法和分析.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 两相混溶驱动问题的数值方法和分析 王焕 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 油藏数值模拟问题的数值方法研究是现代计算数学和工业应用数学的重要领域， 油水两相渗流驱动问题是其重要的基础领域之一，著名数学家、油藏数值模拟创始人 j d o u g l a s ，j r 等人开创了这一重要领域【1 , 2 ，6 3 】以注化学溶媒为主要手段的强化采油 是上个世纪8 0 年代发展起来的新技术，j d o u g l a s ，j r 和r e e w i n g ，t f r u s s e l l ， m f w h e e l e r ，袁益让等人对两相渗流驱动问题做出了一系列基础性研究工作，提出 了著名的特征有限差分方法和特征有限元、特征混合元等方法。并做了理论分析和数 值实验，为油藏数值模拟这一领域的研究和应用奠定了坚实的理论和实验基础【3 - 1 2 进入9 f f 年代以后，这些数值方法和理论进一步得到长足的发展，产生了诸如王玢迎风 差分方法【5 5 】、调整对流特征线修正方法( m m o c a a ) 和局部守恒欧拉- 拉格朗日方法 ( l c e l m ) 等新方法【6 4 ，6 8 ，6 9 1 特别是袁益让等人开创性地提出交替方向特征有限元和 有限差分方法【2 5 ，2 6 ，2 8 】、分数步长特征差分方法【4 0 ，5 2 ，5 4 】、和分数步长迎风差分方 法等方法【2 9 ，5 6 】，为大范围、超大规模、超长时间的数值计算提供了方法和依据，使更 加真实地数值模拟地下油藏的化学、物理及流体流动过程成为可能这些新的方法和 理论已被应用到油气资源评估和油藏数值模拟问题【1 3 ，1 5 ，2 1 2 4 ，2 7 ，5 1 ，6 5 】、地下水污染 问题【3 0 ，3 1 】、核废料污染问题 3 2 3 4 、半导体器件瞬态问题【3 5 一删、海水入侵预测和 防治问题【4 l 一4 4 、和浅水波方程等问题的数值模拟当中 4 5 - 4 7 ，产生了巨大的经济效 益 本文报告作者在袁益让教授的精心指导下，就两相混溶驱动问题所作的部分研究 工作本文针对可压缩和不可压缩两类数学模型问题，提出了三类方法六种计算格式， 得到严谨的理论分析，并作了数值实验来验证计算格式的有效性，深入推进了前人的工 作，不具有重复性；特别是针对迎风混合元格式、二阶迎分有限差分格式、m m o c a a - g a l e r k i n 格式和m m o c a a 一混合元格式的构造和分析，具有重要的改进和创新，完善 丰富了对该问题计算方法的研究和应用全文共分三章，每章各包括两种格式的构造 和分析 在第一、二章，针对可压缩两相混溶驱动模型问题，我们分别提出迎风类格式和 p o t e m p a 类格式，其中迎风类格式包括迎风混合元格式和修正的二阶迎风差分格式， p o t e m p a 类格式包括p o t e m p a - g a l e r k i n 格式和p o t e m p a - 混合元格式在第三章，针对不 可压缩两相混溶驱动模型问题，我们提出m m o c a a 类格式，包括m m o c a a g a l e r k i n 格式和m m o c a a 混合元格式针对每一种计算格式。我们给出严谨的理论分析 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 二维可压缩两相驱动问题的“微小压缩”数学模型、数值方法和理论分析，开创了 现代油藏数值模拟问题的新领域，j d o u g l a s ，j r 和j e r o b e r t s 在文献 4 8 】中首次提出 上述模型问题，该模型问题是一组耦合非线性偏微分方程初边值问题，其中压力方程 是一个抛物型方程。饱和度方程是一个对流占优扩散方程，对此问题的研究已经得到 许多重要的结果【4 8 - 5 6 j d o u g l a s ，j r ，和j e r o b e r t s 在文献 4 8 】中针对标准g a l e r k i n 方法和抛物混合有限元方法的半离散格式得出最优阶工2 模误差估计和基本上为最优 阶的工m 模估计袁益让在文献【4 9 】中，针对采用特征线修正技术的抛物g a l e r k i n 有 限元和混合元方法的全离散格式，得到最优阶日1 模估计；在文献【5 2 ，5 4 ，5 5 ，5 6 】中，分 别针对采用分数步长特征差分方法、修正二阶迎风差分方法和分数步长迎风差分方法 的全离散格式，得到最优阶离散1 2 误差估计文献 5 2 ，5 4 ，5 5 ，5 6 】只考虑了分子扩散情 形，对于含弥散项的情形，传统的收敛性分析框架不再适用，程爱杰在文献 5 8 】中通 过构造新的压力误差方程而获得有限元全离散解的最优日1 模估计由于对流占优使 饱和度方程具有很强的双曲特性，使得单纯使用标准方法( 有限差分或g a l e r k i n 方法) 产生过多数值弥散和非物理振荡，特征线修正方法和标准方法相结合，不仅减少截断 误差，减小和避免数值弥散和非物理振荡，而且允许使用较大时i 司步长，提高了计算 效率【3 1 t 在周期性假定条件下，j d o u g l a s ，j r ，提出特征差分方法，并给出误差估计 【4 】袁益让去掉周期性假定条件，给出新的特征差分格式，得到最优阶1 2 误差估计结 果f 5 9 ，6 0 由于特征线方法需要对时间空间作插值计算，尤其在计算边界时需作特别 处理，以确定是否需要改变时间步长，因此实际的算法比较复杂【5 9 ，6 0 】为克服数值 振荡并降低计算复杂度，r e e w i u g 和r d l a z a r o v 等人提出迎风差分格式【6 l ，6 2 1 类 似的方法曾被j d o u g l a s ，j f 用来计算不可压缩两相渗流驱动问题，得到很好的数值结 果【6 3 】，但至今未见其理论分析成果发表【6 2 ，6 4 ，6 5 1 在本文第一章，我们考虑用迎风混合元方法和迎风差分方法计算含弥散和具有不 渗透边界条件的可压缩两相混溶驱动问题( 1 1 1 ) 1 2 节中考虑迎风混合元方法。此 类方法曾被c n d a w s o n 用来求解具有平衡吸附项的污染运移方程【3 l 】d a w s o n 在文 献 3 1 1 中仅对一维常系数情形( n ，o ( n ) 是正的常量) 的半离散格式给出误差估计，其 所给的数值算例体现出迎风技术在逼近解的陡峭处的有效性( 基本上克服了数值振荡) 本节用标准g a l e r k i n 程序求解压力方程，用迎风低次混合元格式求解饱和度方程，得 到饱和度近似的l 2 模以及压力近似的日1 模最优阶误差估计本节其余内容为：在 1 2 1 中给出有关记号、假定条件和预备工作；在1 2 2 中构造迎风混合元方法计算问 题( 1 1 1 ) 的格式( 参见( l 2 4 ) 一( 1 2 9 ) ) ；在1 2 3 中给出收敛性误差估计( 参见t h e o r e m 1 1 ) ；在1 ，2 4 中给出数值实验，证实该方法在克服致值扩散和非物理振荡方面是很有 效的1 3 节中考虑迎风差分方法，袁益让用一类修正的二阶迎风差分方法计算可压 缩两相驱动问题，得到最优阶离散z 2 误差估计结果，但只考虑了分子扩散和定压边界 条件情形 5 5 1 本节考虑含弥散和具有不渗透边界的情形，用标准有限差分方法离散 压力方程，用修正的二阶迎风差分方法离散饱和度方程，对不渗透边界条件作二阶差 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 分离散，得到最优阶离散f 2 误差估计结果本节其余内容为：在1 3 1 中给出有关记 号、假定条件_ j 预备工作；在1 3 ，2 中构造求勰问题( 1 1 1 ) 的修正二阶迎风差分格式 ( 参见( 1 3 3 ) ( 1 3 ，5 ) ) ；在1 3 3 中给出收敛性分析( 参见t h e o r e m1 2 ) ；在1 3 4 中给 出数值实验，其数值结果和理论分析结果基本一致，体现了该方法的有效性 在第二章，我们考虑用p o t e m p a - g a l e r k i n 方法和p o t e r a p a - 混合元方法计算含弥散 和具有不渗透边界条件的可压缩两相混溶驱动问题( 1 1 1 ) 在油藏数值模拟问题的数 值计算中，备类有限元方法能够提供更好的数值结果【l ，2 1 ，然面这些方法和有限差分 法相比，计算量过大，所以至今未得到很广泛的应用1 6 3 ，6 5 】- 各类有限差分方法计算量 小，在工业应用容许的误差精度要求下，很适用于大范围、超大规模、超常时间的数值 计算，这一点尤其表现在交替方向特征差分法、分数步长特征差分法和分数步长迎风 差分方法等新技术的应用中【2 5 ，4 0 ，5 6 1 ，然而对于应用广泛的各类差分方法，包括迎风 类方法和特征线修正类方法( 注：特征线修正技术本质上是一种独特的迎风技术) ，常常 产生一种计算上的异常现象，称之为“网格定向”影响，简言之，即对某些模型问题的 数值求解严重依赖于与流线相关的计算差分网格的空间定向，以至于对模型问题中物 理扩散过程的数值模拟效果常常被差分计算格式中的数值扩散效果所掩盖【7 0 ，7 3 】一 些作者已经提出减少网格定向影响的方法，这些方法能部分成功的原因在于各自引入 有效的数值扩散t p o t e m p a 根据其对某些有限元方法的一种物理解释提出p o t e m p a 有限元方法【7 0 l ，该方法相当于借助有限元思想构造了一个中心九点差分格式，从而极 大地减小了计算量和别的迎风类差分方法相比，该方法具有极小的网格定向影响， 并且能局部保持质量守恒j b b e l l ，g r s h u b i a 和m f w h e e l e r 在文献1 7 3 】中采用 p o t e m p a 方法求解不可压缩两相混溶驱动问题，所做的理论分析表明，p o t e m p a 格式近 似于一个包含了与流速和网格剖分有关的扩散项的分片线性g a l e r k i n 格式，在这结 论的基础上，得到了次优阶p 模收敛性误差估计我们考虑用p o t e m p a - g a l e r k i n 方法 和p o t e m p a - 混合元方法计算可压缩两相混溶驱动问题( 2 1 1 ) 2 2 节中考虑p o t e m p a - g a l e r k i n 方法，对压力方程用标准g a l e r k i n 程序求解，对饱和度方程用p o t e m p a 格式 求解，以期望得到计算量较小的差分格式，并减小网格定向影响和局部性保持质量守 恒本节其余内容为：在2 2 1 中给出有关记号、假定条件和预备工作；在2 2 2 中 给出p o t e m p a - g a l e r k i n 方法计算问题( 2 1 1 ) 的格式( 参见( 2 2 ，5 ) ( 2 2 7 ) ) ；在2 ，2 3 中针 对仅含分子扩散情形得到次优阶工2 模收敛性误差估计( 参见t h e o r e m2 1 ) ，针对含 弥散情形得到最优日1 模估计( 参见t h e o r e m2 2 ) 2 3 节中考虑p o t e m p a - 混合元方 法，对压力方程用混合元程序求解，从而对压力逼近提高一阶精度，对饱和度方程用 p o t e m p a 格式求解，以期望得到计算量较小的差分格式，并减小网格定向影响和局部 性保持质量守恒本节其余内容为；在2 3 ，1 中给出有关记号、假定条件和预备工作； 在2 3 2 中构造p o t e m p a 一混合元格式( 参见( 2 3 6 ) ) ；在2 3 3 中针对仅含分子扩散情 形得到最优日1 模估计( 参见t h e o r e m2 3 ) ；在2 3 4 中给出数值实验 二维不可压缩两相驱动问题的数学模型、数值方法和理论分析，奠定了现代油藏 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 数值模拟问题的基础，该模型问题是一组耦合非线性偏微分方程初边值问题，其中压 力方程是一个椭圆型方程。浓度方程是个对流占优扩散方程，对此问题的研究已经 得到许多重要的结果【1 1 0 1 d o u g l a s 在文献【4 】中首次提出特征差分方法，但所得结果 并非最优阶误差估计r u s s e l l 在文献【9 】中提出特征有限元方法，所得结果关于浓度 空间步长是最优阶的，关于压力空间步长在仅含分子扩散时是最优阶的，在允许弥散 存在时是次优阶的由于浓度方程中压力p 并不显式出现，所以特征线修正类方法求 解此问题的精确度极大地依赖于对速度u 的逼近精度，特征混合元方法在逼近u 时提 高一阶精度，从而整体性地提高计算精度【8 】文献【4 ，8 ，9 】中的方法和结果均是在周期 性假定条件下给出的，这是一个比较强的假定，对中小型油藏区域和具有移动边界的 油气田并不合适，袁益让在文献【5 9 ，6 0 ，7 5 ，7 6 ，7 7 】中去掉周期性假定条件，给出新的特 征差分格式和特征混合元格式，得到最优阶z 2 和工2 误差估计结果特征线修正类方 法虽然具有诸多优点，但却有一个缺陷，即不能在计算格式中体现出与实际物理问题 相关的质量守恒律关系【6 8 ，6 9 d o u g l a s ，f u r t a d o 和p e r e i r a 在文献【6 9 】中首次提出调整 对流特征线修正方法( m m o c a a ) ，该方法不仅关于空间全局性保持质量守恒，而且保 持m m o c 方法计算上的优点，并且只增加极少的额外计算文献【6 8 】给出求解线性 对流占优扩散方程的分片线性m m o c a a 格式，得到次优阶胪误差估计文献【7 2 1 研 究用分片线性m m o c a a 格式计算不带扩散项的线性对流一反应方程在周期性假定 条件下，运用超收敛估计技巧，得到最优阶工2 误差估计 在第三章，我们考虑用m m o c a a g a l e r k i n 方法和m m o c a a - 混合元方法计算 含弥散和具有不渗透边界条件的不可压缩两相混溶驱动问题( 3 1 1 ) 3 2 节中考虑 m m o c a a g a l e r k i n 方法，对压力方程用标准g a l e r k i n 程序求解，对浓度方程用m m o c a a g a l e r k i n 格式求解，得到几乎最优阶二2 模收敛性误差估计该结果关于浓度空间步长 是最优阶的，关于压力空间步长是次优阶的本节其余内容为：在5 3 2 1 中给出有关记 号、假定条件和预备工作；在3 2 2 中给出m m o o a a - g a l e r k i n 方法计算问题( 3 1 1 ) 的 格式( 参见( 3 2 1 1 ) ) ；在3 2 3 中给出收敛性误差估计( 参见t h e o r e m3 1 ) 3 3 节中考 虑m m o c a a 混合元方法，对压力方程用混合元程序求解，并采用较大的压力时间步 长，对浓度方程，在较小的扩散时间步长上，用g a l e r k i n 程序离散逼近扩散过程，在更 小的对流时间微步长上，用m m o c a a 程序离散逼近对流过程，得到最优阶f 模收敛 性误差估计对实际物理问题而言，由于沿时间方向和特征方向上，u 的变化比c 的变 化缓慢的多因而对压力方程采用较大的时间步长，对浓度方程采用较小的时间步长是 合适的【6 , 8 ，9 1 另外，由于浓度方程具有很强的对流占优特性，以及用m m o c a a 程序 逼近求解对流过程的计算量远小于用g a l e r k i n 程序逼近求解扩散过程的计算量【6 8 ，6g 】 因而适合于用更小的对流时间微步长来计算本节其余内容为：在3 3 1 中给出有关 记号、假定条件和预备工作；在3 3 2 中构造m m o c a a 一混合元方法计算问题( 3 1 1 ) 的格式( 参见( 3 3 1 5 ) ) ；在3 3 3 中给出收敛性误差估计( 参见t h e o r 。| e m3 2 ) 关键词：两相混溶驱动，迎风，p o t e m p a 格式，m m o c a a ，收敛性分析 n u m e r i c a lm e t h o d sa n da n a l y s i sf o r t w o p h a s em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u s m e d i a w a n g h u a n s c h o o l 口，m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 t 0 0 , p e o p l e sr e p u b l i co lc h i n a a b s t r a c t t h er e s e a x c ho fn u m e r i c a lm e t h o d so fo i lr e s e r v o i rn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sd j li m p o r t a n t f i e l di nm o d e r n c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a sw e l la si n d u s t r i a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ， a n dt h ep r o b l e mo ft w o - p h a s ef l o wd i s p l a c e m e n t ( w a t e ra n do i l ) i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t b a s i cf i e l d s j d o u g l a s ，j r e ta 1 d e v e l o p e dt h i sr e s e a r c hf i e l df i r s t l y 1 ，2 ，6 3 】t h ee n h a n c e d o i lr e c o v e r yp r o c e s s ，w h i c hd e p e n d i n go ni n j e c t i n gc h e m i c a ls o l v e n t ，i san e wt e c h n o l o g y d e v e l o p e di n8 0e r a ，2 0c e n t u r y j d o u g l a s ，j r ，r e e w i n g ，t f r u e s e l ，m f w h e e l e r ，a n d y u a n y i - r a n ge ta 1 h a v ec o m p l e t e da s e r i e so ff u n d a m e n t a lr e s e a r c ho nt w o - p h a s em i s c i b l e d i s p l a c e m e n tp r o b l e m s t h e yh a v ep r e s e n t e dm a n y f a m o u sn u m e r i c a lm e t h o d s s u c ha st h e c h a r a c t e r i s t i c 矗n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t h ec h a r a c t e r i s t i ef i n i t ee l e m e n ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i c m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o de t c ，a n dh a v ec o m p l e t e dt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s w h i c hh a v eb e c o m et h eb a s i ct h e o r i e sa n de x p e r i m e n t so no i lr e s e r v o i rn u m e r i c a l s i m u l a t i o n 3 - 1 2 i nt h ep e r i o d o f1 9 9 0 s ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sa n dt h e o r i e sd e v e l o p e dm o r e a d e q u a t e l y m a n yn e wm e t h o d s s u c ha st h es e c e n d - o r d e ru p w i n dd i f f e r e n c em e t h o d 5 5 ，t h e m o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw i t ha d j u s t e da d v e c t i o n ( m m o c a a ) a n dt h el o c a l l yc o i l - e e r v a t i v ee u l e r i a n - l a g r a n g i a nm e t h o d ( l c e l m ) e t c h a v eb e e nd e v e l o p e d 6 4 ，6 8 ，6 9 】，h e r e ， w es h o u l de s p e c i a l l yp a ym o r ea t t e n t i o n st ot h em e t h o d sf i r s t l yd e v e l o p e db yy u a ny i - r a n g ， s u c ha 8t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n ta l t e r n a t i n g - d i r e c t i o nm e t h o d ，t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c ea l t e r n a t i n g - d i r e c t i o nm e t h o d 2 5 ，2 6 ，2 8 l ，t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c ef r a c - t i o n a ls t e p sm e t h o d 4 0 ，5 2 ，5 4 j ，a n dt h eu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c ef r a c t i o n a ls t e p sm e t h o da n ds o o n 2 9 ，5 6 1 t h e s em e t h o d s a r ev e r ya c c u r a t ea n de f f i c i e n t s o ，i ti sf e a s i b l et oc o m p l e t em o r e d i f f i c u l ts i m u l a t i o nw i t hc h a r a c t e ro fl a r g er e g i o n ，h u g es c a l ea n dl o n gc o m p u t i n gt i m e ，s o t h a tt os i m u l a t et h ep h y s i c a la n dc h e m i c a lp r o c e s s e sa n dt h ef l o w si nu n d e r g r o u n dr e s e r v o i r s m o r et r u l ya n da c c u r a t e l y t h e s em e t h o d sh a v eb e e na p p l i e dt oo i lr e s e r v o i rn u m e r i c a ls i r e u l a t i o np r o b l e m s 1 3 ，1 5 ，2 1 2 4 ，2 7 ，5 1 ，6 5 】，u n d e r g r o u n dw a t e rc o n t a m i n a t i o np r o b l e m s 3 0 ，3 1 1 ， n u c l e a rw a s t e - d i s p o s a lc o n t a m i n a t i o np r o b l e m s 3 2 34 1 ，t h et r a n s i e n tb e h a v i o rs i m u l a t i o no f s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n as e m i c o n d u c t o r d e v i c e 3 5 - 4 0 ，s e a w a t e ri n t r u s i o nn u m e r i c a ls i m u l a t i o np r o b l e m s 4 1 4 4 l ，a n d s h a l l o ww a t e re q u a t i o ns i m u l a t i o np r o b l e m s e t c 4 5 - 4 7 ，a n dh a v eb e e np r o d u c i n gg r e m tb e n - e f i t st ot h ee c o n o m y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e rc o m p r e s s i b l ea n di n c o m p r e s s i b l et w o - p h a s em i s c i b l e d i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a ，a n dp r e s e n ts i xs c h e m e so ft h r e em e t h o d s w eg i v er i g o r o u s c o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n de x p e r i m e n t sw h i c hv e r i f y i n gt h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa n di n d i c a t i n g t h ee f f i c i e n c ya n dv a l i d i t yo ft h e s es c h e m e s t h ew o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o nh a v ei m p o r t a n t i m p r o v e m e n t s ，e s p e c i a l l yf o rt h ea p p l i c a t i o no ft h eu p w i n d - m i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m e ，t h e u p w i n df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e t h em m o c a a g a l e r k i ns c h e m e a n dt h em m o c a a m i x e d f i n i t ee l e m e n ts c h e m et ot w o - p h a s em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m s t h ew o r kc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s ，e a c hc h a p t e ri n c l u d e st h ec o n s t r u c t i o na n da n a l y s i so ft w os c h e m e s i nt h ef i r s ta n ds e c o n dc h a p t e r s ，w ep r o p o s et h eu p w i n da p p r o x i m a t i o na n dp o t e r n p a a p p r o x i m a t i o nf o rc o m p r e s s i b l et w o - p h a s em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a t h eu p - w i n da p p r o x i m a t i o ni n c l u d e st h eu p w i n d - m i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m ea n dt h eu p w i n df i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e ? p o t e m p a a p p r o x i m a t i o ni n c l u d e sp o t e m p a - g a l e r k i ns c h e m e a n d p o t e m p a - m i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ec o n s i d e ri n c o m p r e s s i b l e t w o - p h a s em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tm o d e l p r o b l e m w ep r e s e n tm m o c a a - g a l e r k i ns c h e m ea n dm m o c a a ， m i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m e f o re a c hs c h e m e ，w e g i v er i g o r o u sp r o o f o f c o n v e r g e n c ea n a l y s i s t h e 。m i c r o - c o m p r e s s i b l e m a t h e m a t i c a lm o d e l s n u m e r i c a lm e t h o d sa n da n a l y s i s o ft h e t w o - d i m e n s i o n a lc o m p r e s s i b l et w o - p h a s ef l o wd i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a d e v e l o p e da n e w f i e l do fm o d e r no i lr e s e r v o i rn u m e r i c a ls i m u l a t i o np r o b l e m s j d o u g l a s j r a n dj e ，r o b e r t s p u tf o r w a r d t h i sm o d e l p r o b l e mi n 【4 8 】f i r s t l y t h em o d e l i sg o v e r n e db yan o n l i n e a r c o u p l e d s y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n i t i a la n db o u n d a r yv a l u e s t h ep r e s s u r ei e g o v e r n e db yap a r a b o l i ce q u a t i o na n dt h es a t u r a t i o ni sg o v e r n e db y & a d v e c t i o n - d o m i n a t e d d i f f u s i o ne q u a t i o n al o to fi m p o r t a n tr e s u l t sh a db e e np r e s e n t e dt os o l v et h i sp r o b l e m 4 8 - s 6 1 j d o u g l a s ，j r a n dj e r o b e r t sd e r i v e do p t i m a lo r d e rl 2a n da l m o s to p t i m a lo r d e rl o o c o n t i n u o u s - t i m ee r r o re s t i m a t e sf o rg a l e r k i ns c h e m ea t t dm i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m e 4 8 _ 1 t ot h es a i n em o d e lp r o b l e m ，y u a ny i r a n g 4 9 】d e r i v e do p t i m a lo r d e rh 1d i s c r e t e - t i m ee s - t i m a t e sf o rt h ec h a r a c t e r i s t i c - g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i c m i x e df i n i t ee l - e m e n tm e t h o d y u a na l s od e r i v e do p t i m a lo r d e rd i s c r e t ef 2e r r o re s t i m a t e sf o rt h ec h a r - a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c ef r a c t i o n a ls t e p sm e t h o d ，m o d i f i e ds e c o n d - o r d e ru p w i n dd i f f e r e n c e m e t h o da n dt h eu p w i n df i n i t ed i f f e r e n c ef r a c t i o n a ls t e p sm e t h o di n 【5 2 ，5 4 ，5 5 ，5 6 】i nt h e a b o y el i t e r a t u r e ，o n l ym o l e c u l a rd i f f u s i o nc a s ei sc o n s i d e r e d s i n c et h et r a d i t i o n a lc o n v e r - g e n c ea n a l y s i sf r a m ei sn o ta p p l i c a b l ea n ym o r ef o rt h ec a 8 ew i t hd i s p e r s i o nt e r m ，s o ，c h e n g a i - i i e i s s ls t a r t e da n a l y s i sf o rf i n i t ee l e m e n ts c h e m eb ym e a 丑8o fc o n s t r u c t i n gn e wp r e s s u r e e r r o re q u a t i o n ，a n dd e r i v e do p t i m a lo r d e rd i s c r e t e - t i m eh 1e r r o re s t i m a t e s b e c a u s et h e s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a d v a c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o ne q u a t i o n sr e f l e c tt h e i ra l m o s th y p e r b o l i cn a t u r e ，s ot h es t a l l - d a r dm e t h o d s ，s u c h f i n i t ed i f f e r e n c eo rg a l e r k i n ，p r o d u c ee x c e s s i v en u m e r i c a ld i f f u s i o n ，o r t h e yi n t r o d u c en o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n si n t ot h en u m e r i c a ls o l u t i o n d o u g l a sa n dr u s s e l l 3 】 h a v ep r o p o s e da n da n a l y z e dt h em o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ( m m o c t h em m o c s c h e m eh a sm u c hs m a l l e rn u m e r i c a ld i f f u s i o n ，n o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n sa n dt i m e - t r u n c a t i o n t h a nt h o s eo fs t a n d a r dm e t h o d s ，a n dc a nb eu s e dw i t h l a r g e rt i m es t e p ，w i t hc o r r e s p o n d i n g i m p r o v e m e n ti ne f f i c i e n c ya n d w i t h o u tc o s ti na c c u r a c y w i t ht h ea s s u m p t i o no fp e r i o d i c i t y , d o u g l a s 【4 】p r o p o s e dc h a r a c t e r i s t i c - f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n d d e r i v e dc o n v e r g e n c ea n a l y s i s f o ri n c o m p r e s s i b l et w o - p h a s ef l o wd i s p l a c e m e n t y u a n y i - r a n g 5 9 ，6 0 1d r o p p e d t h e p e r i o d i c a s s u m p t i o n ，p r e s e n t e dn e w c h a r a c t e r i s t i c - f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，a n dd e r i v e do p t i m a