（理论物理专业论文）量子点中自旋抽运电流的研究.pdf

2 0 0 6 年4 月 量子点中自旋抽运电流的研究第1 页 摘要 自旋电子学是一种新技术，它利用的是电子的磁矩，而不是其电荷其主 要目的是构造基于电子自旋的装置，这些装置与传统的半导体器件相比，具有 稳定性好，数据处理速度更快。降低功率损耗以及集成密度好等优点 1 2 3 “ 而构造自旋电子器件的其中一个最基本的条件是自旋电流的产生 6 】目前最经 常用的产生自旋电流的装置是介观量子点系统 7 8 “”】这是因为这种装置具有 许多其他系统所不具有的优点比如在介观量子点系统中，电子的自旋自由度 具有比较长的退相干时间【1 l 】，比较容易控制等。 本文利用密度矩阵的方法，由多粒子体系的薛定谔方程，我们得到了微观 体系中电子输运的几率方程，从而推导出通过量子点的自旋电流与电荷流的表 达式。结果表明：当左右电子库的费米能级之间不存在偏压时，通过调节电子 隧穿进或者隧穿出量子点的几率，可以使的系统中的电荷流为零。而只存在自 旋电流。这在自旋电子学中是一个重要的性质，因为使自旋电子学器件工作的 就是自旋电流此外，还给出了在不同的自旋退相干时问下通过系统的自旋电 流与所加振动磁场眦i 频率之间的关系，发现系统的自旋电流随着自旋退相 干时间的减小而减小；当左右电子库之间存在偏压时，通过对系统的自旋电流 与电荷流公式的分析，得到系统中只存在电荷流而没有自旋电流的条件。在文 章的最后部分分析了自旋翻转对系统抽运电流的影响，得出自旋翻转可以明显 得增大抽运电流而利用费米一狄拉克分布的方法可以考虑到量子点中能级之 间的相互作用，这是目前正在进行的工作。 关键词：自旋共掇，自旋电流 2 0 0 6 年4 月量子患中自旋抽遣电洼的研究 第1 i 页 a b s t r a c t s p i n t r o n i c si 8an e w k i n do ft e c h n i q u e ，w h i 出m 吐鹤1 1 8 eo fm a g n e t i cm o m e n t0 f e l e c t r o i l si n 8 t e a do f 出a r g e i t 8m a i np u r p o 舶i 8t oc r e 砒ed e v i o 朗b 挚。d0 nt h e8 p i n o fe l e c t r o 瑚 c o m p 时e dw i t ht r a d i t i o n 柏s e m i - c o n d u c t o rd e v i 懈，t h e y8 r ep a r t i c u 1 a r l ya t t r a c t hf o rt h e i rb e t t e rs t a b n i 饥h i g h e rs p e e di nd a t ap r o o e 8 b i n g ，l o 孵p o w e r 【h a 瑚t ，h i g h e ri n 嘲舯$ i o nd e n 8 i t y 蛐d 0 n a m o n gt h en e 。s a r ye l e m e n t b 丘玎s p n b a 艚dd e 、，i 嘲i 8t h e 学凹e r a t i o no f 印i nc u r r e t n d wt h em 伽t 丘e q u e n td e v i e e 8 让【a t c a nb eu 8 e dt op m d u c es p nc u h e ti sm 髑o s c o p kq u a t u md o ts y s t e m b e c a t l 舳i th a 8 a1 0 to fa d v a n t a g ：e s f b re x a m p k ，i n l e s 锵c o p i cq u a n t u md o t8 y 8 t e m ，e l e c t r 商cs p i n 白d o mh 啪r e l a t i v e l y1 0 n gd e c o h e r e n c et i m e ，e l e c 恤。蚺c a nb ee 蛐i l ym 蛆i p l l l t e d e t c u 8 i n gt h em e t h o do fi 【e n s i t ym a t 】妇，w eg e tt h er a t ee q u a t i 0 珊a b o u te l e c t r o n t r a 瑚p o r ti nt h em 鼎培。叩i cb y s t e md e r i v e df o 】皿瑚哪b o d y8 d h r 6 l i n g e re q u a t 沁n m a l 【e i n g 瑚i go ft h e m ，w eo b t a mt h e8 p i c 1 1 r r e n ta n d 曲a r g ec i l r r e n tt h r o u g ht h e 昭s t e m 8 t h er e 8 u l th 棚8 h o w nt h a tw h e nt h ep 0 8 i t i 0 瑚o fl e f ta n dr e b j r s 脑m i 1 e v e l sa r e8 a m e ，w ec a m a k et h ec h 8 9 r ec l l r r e n tz 叫ot h r o u g h tt h e ”a n t u md o ta n d o n l y s p i nc l l n 胃n t 档函tb ya d j u 8 t m gt h ep 8 i b i l i t yo f e k c t r 0 珊t u n e l l i n gi n t o o ro u to f q u a 且t u md o t t h j 8j 8a ni m p o r t a n tp r o p 盯t yi t h e8 p i n t r o n i 曙，b e c a u 鸵w h a tm a ：k e s s p i d e v i 嘲w o r ki 8s p i nc l l 玎加t ha d d i t i o n ，w eg e tt h ec o n e c t i o no f 印i nc 砒r 眦t t h r o u g h tt h eq u 柚t u md o ta n dt h ei t a b i 丘e q u e n c yo f0 8 c n m i n g 埘昏i e t k6 e l da n d 6 dt h a tt h e6 p mc u r r e n td e c r e a w “h8 p md e c o h e r e n c et i m e ；i ti 8d i s v e r e dt h a t w h e nt h e r ei bb i a 8b e t w 嘴nt h ek ra i l dr i g h tr e r v o i r s ，w ec 8 ng 触址呛c o n d i t i o no f s y s t e mw i t ho n l yc b a r g ec l l r r 阻t i nt h e1 8 8 tp a r t ，w ea n 8 印z et h ei n 丑l l 衄艚o f8 p i n 丑i p o t h es p i c e t t h r o u g h t h es y s t 咖，曲c o v 盱i n g t h a tt h e8 p i n 丑i pc 0 1 1 1 d h 眦c e t h es p i nc u r r e n t u 童i n gt h em e t h o do f 鼢m i _ d i r a c 曲t r i b u t 妯，w ec a nc o n 枷凹t h e c o l d 伽由b l o c k a d ei nt h eq l i a n _ t u md o t t h 培w 叫ki si np r o 酽嘲8a tp r e n t - 2 0 0 6 年4 月量子点中自旋抽运电流的研究第1 i i 页 k e yw o r c l 8lb p i nr e s o n a n c e ，s 西i nc u r r e n t 第一章引言 微电子学和信息技术领域最令人激动的个最新发展是电子的自旋性质有 可能被开发利用，从而制备出基于微电子学和自旋相关效应的自旋电子器件 这导致了半导体自旋电子学这个研究领域的兴起f “自旋电子学器件利用电子 的自旋来控制电荷的移动。甚至可以制造出利用自旋本身而不需要进行电荷的 移动来存储与处理数据的器件自旋电子学器件比传统的电子学器件消耗更少 的能量，这是因为改变电子自旋所需要的能量仅是推动电荷移动所需要的能量 的很小一部分所以改变电子的自旋取向要比改变电子的运动状态容易的多， 快的多因此可以利用电子的自旋自由度作为信息的载体或者量子位，从而可 应用于量子信息与量子计算方面f 1 3 自旋电子学的另一个优点是其非挥发 性：当电源关闭后。自旋不会变化自旋的特定性能以及描述它的量子理论还指 出自旋所具有的其它神奇的可能性，如每秒可变化1 0 亿次的逻辑门功能( 与、 或、非等等) ；可直接利用偏振光或电压信号进行工作的自旋电子学器件；可同 时处于两种不同状态的存储器单元所以，自旋电子学具有广阔的应用前景 最近美国y 乱e 大学和m m 实验室的科研人员研究指出【1 5 】。在未来半导体器 件的设计与应用中，电子的自旋所起的作用将和当代器件中电子电荷所起的作 用一样重要加利福尼亚州立大学领导自旋电子学和量子计算中心的d a v 诅d a w 且c h a l o m 说t 自旋提供了完全不同的功能，最令人激动的可能是那些我们还 没有想到的。 构造自旋电子器件的其中一个最基本的条件是自旋电流的产生研究人员 必须找到一个产生和传输基于电子自旋的电流的方法通常，电子的自旋状态 与隧道效应无关，因为自旋向上和向下的电子具有同样的能量但采用不同的方 法，研究人员可以设计出这样的器件，其中自旋向上和自旋向下的电子能级是 不同的，因此存在两种不同的隧穿途径这两种隧道可通过不同的电压控制； 每种电压对应一种自旋状态在一种电压下，可由自旋向下的电子产生一定的 电流在另一其它电压下，可由自旋向上的电子穿透量子点的势垒产生一定的 电流 分开能级的一种方法是在量子点的两边势垒中采用不同的材料，从而使得 1 2 0 年4 月量子点中宜旋抽运电漶的研究第2 页 将电子限制在量子点中的两端势垒能量在量子点的两端不同过一束缚势垒的 差异对于移动中的电子来说可看成量子点内存在两个区域。互相具有不同的磁 场这一非对称的磁场使得自旋向上和向下的状态具有不同的共振能级另一 种分开能级的方法是将器件置于磁场中这一方法被由纽约b u 蹦。大学的研 究小组所采用目前最重要，也是研究的最多的类自旋电子器件系统是介观 量子点系统这类体系中的自旋极化输运过程受到了特别的关注【w 例如， 哈佛大学的研究小组观测到了外部藕合下的量子点系统中的自旋相干抽运现象 f 荷兰的研究组接连在量子点接触器件【1 8 】和库仑阻塞区【1 9 】观测到自旋极 化电流这主要是由于其自旋自由度( 特别是核自旋) 的退相干时间很长。电 子在其中比较容易控制特别是在加上适当的磁场的情况下。量子点可以被用 来实现自旋翻转与自旋抽运口o m 最近，国际上先后观测到了量子点中的自旋相干泵浦和自旋极化电流的产 生f 2 3 】物理所孙庆丰研究员等在p r l 上提出了基于量子点的”自旋电池”的 重要概念在库仑阻塞区，量子输运通常可由单粒子共振隧穿理论来描述在 低温强耦合条件下，描述高阶隧穿过程的近藤共振效应 2 4 2 s i 对自旋输运的影 响变得重要，但是人们对这一过程的理解非常有限物理所国际量子结构中心 的博士后张平博士。与合作导师薛其坤研究员和美国o h l a h o m a 大学谢心澄教 授合作，在这二研究方向上取得重要进展他们从理论上研究了相互作用量子 点在外部旋转磁场下的非平衡自旋输运性质，并证明量子点中的相干自旋振荡 可以导致自旋电流的产生计入库仑关联相互作用后，近藤共振效应受外部进 动磁场的影响很强当磁场的进动频率与塞曼分裂能级满足共振条件时，每个 自旋近藤蜂就会劈裂为两个自旋共振峰的叠加在低温强耦合区，这种近藤型 共隧穿过程对自旋电流产生重要贡献【2 6 1 这为实验上实现自旋极化电流提供 了一个重要途径 本文的主要目的是在外加振动磁场的作用下，得出介观量子点系统中的自 旋电流与电荷流的表达式，并分析在各种条件下，系统的自旋电流与电荷流的 变化本文的主要结构如下，首先在第二章介绍了用密度矩阵与费米一狄拉克 分布的方法计算量子点中电流的方法，这两种方法均没有考虑电子的自旋在 此基础上，第三章我们构造了个新的系统，在这个系统中，左右电子库的费 舢年4 月量子点中自旋抽运电流的研究第3 页 米能级的能量相对于量子点中电子自旋能级处于不同的位置，借助于一个外加 磁场的作用，我们就可以在这个系统中实现电子的抽运利用第二章第二节密 度矩阵的方法，我们可以求出这个系统中的自旋电流与电荷流的表达式，并分 析左右自旋电流，电荷流之间的关系，得出了系统左右两边只存在自旋电流或 者电荷流的条件，这在自旋电子学中是一个重要的目的此外，我们还得出了 不同的自旋退相干时间对系统中自旋电流的影响在文章的第四章分析了一自旋 翻转对系统自旋电流的影响，得出自旋翻转可以明显得增大自旋电流而利用 费米一狄拉克分布的方法可以考虑到量子点中能级之间的相互作用，这是目前 正在进行的工作 第二章量子点中电流的两种计算方法 2 1 基本概念 下面我简要介绍一下自旋、自旋电流电子自旋共振，量子点的相关概念 1 9 2 4 年，泡利( p a i l n ) 首先提出电子自旋的概念斯特恩( s t e r ) 革拉赫实 验和光谱线的精细结构均可得出电子具有自旋的结论为了解释这些现象，乌 伦贝克( u t d e n b e c k ) 和哥德斯密脱( g o u 出m # ) 在1 9 2 5 年提出了下面的假设t ( 1 ) 每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值t = 士危2 ( 2 ) 每个电子具有自旋磁矩庇，它和自旋角动量的关系是 ( 2 1 1 ) 庇= 一兰( 2 1 2 ) p 式中一e 是电子的电荷，芦是电子的质量耽在空间任意方向上的投影只能 取两个数值t 尥= 士凳= 士 ( 2 1 _ 3 ) 自旋角动量也是一个力学量，但是它与其他的力学量有根本的差别，它是电子 内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量 目前所应用的电子元件都利用了电子的带电性然而除了电荷外，电子亦 带有自旋( s p m ) ，通常的电子器件忽略了电子自旋的性质在自旋电子学( s p i n t r o 幽) 中，电流则以电子自旋极化方向来区分，自旋向上( 暑p mu p ) 或者自旋 向下( s p i nd o w n ) 如果我们分别用耳和丑表示自旋向上和自旋向下的极化电 流，那么通常电荷流的定义为， 自旋流的定义为； l c = i l 十h 4 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 2 0 0 6 年4 月 子点中宜奠抽运电流的研究第5 页 若在垂直于外磁场b 。的平面上施加一频率为v 的旋转磁场b 1 ，当”满足 肋= 掣b b( 2 1 6 ) 时，电子吸收b - 能量，从低能级跃迁到高能级，这就是电子自旋共振当然处于 高能的电子会自发地辐射能量跃迁回低能级由于2 1 ，低能级上的粒子 数多于高能级的粒子数，激发跃迁占主要趋势引入电子的旋磁比7 = 9 e 2 m ， 则 口一 = 2 7 r = g 竿p 日口= 1 雪 ( 2 1 7 ) 7 称为电子的旋磁比，对自由电子，b = 3 7 5 - 1 0 一5 v ，p 以m h z 为单位，b 以t 为单位，即当p - 1 m 也时，b = 3 7 5 1 0 一5 t 当微观粒子( 例如电子) 的运动在某一维度上受到限制，进而显示出明显得 量子效益，我们称这种结构为量子阱( q u t l i mw e 丑) 当微观粒子的运动在两个 维度上受到限制，仅在个维度上运动未受到限制，我们称之为量子线( q u a n t u m w i r e ) 三个维度上均受到限制，其能极变为孤立的，同时由于电容的减小而出现 库仑阻塞效应，电荷的输运也发生量子化，我们称之为量子点( q u a n t md o t ) 2 0 世纪7 0 年代，人们提出应用两种性质不同的材料以薄膜的形式交替生长， 宽能带的材料形成势垒，窄能带的材料形成势阱，电子的运动被限制在阱中， 通常将这种具有结构周期性的材料称为超晶格 2 2 密度矩阵的方法 装置如图 2 。冽2 1 ；左右两边分别有个费米能级为e 和碎的电子库， 其态密度非常高中间有一个量子点，里面仅有一个独立的能级，我们不考虑 电子的自旋自由度和量子点内电子之间的库仑相互作用力所以每次仅有一个 电子能够占据量子点内的能级电子在该装置中的隧穿过程如下t 左边电子库 中的电子通过左边的势垒隧穿进量子点，然后再经右边的势垒隧穿出量子点 系统的哈密顿量可以写成如下形式t j ! r = 局c t q + e 1 d t d l + 耳4 c r lr + 五( c t 由+ d i q ) + 耳( 4 d 1 + d t c r )( 2 2 1 ) 2 0 0 6 年4 月 量子意中自麓抽运电流的研究第6 页 在( 2 2 1 ) 式中，c j 晒) 是左边电子库中的产生( 湮灭) 算符，同样c ；b ) 和d i ( d 1 ) 是电子在右边电子库和量子点中能级上的产生( 湮灭) 算符为了简单，我们 使整个系统处在零度电子库中的所有能级均被占据，这种状态我们称为零态 i o ) 零态是不稳定的，由( 2 2 1 ) 式我们知道它要衰减到c t q l o ) 态，即个电子 占据量子点内的能级，而在左边的电子库中留下个空穴这种态仍然不稳定， 它继续衰减到4 qj o ) ，即个电子隧穿到右边的电子库中而在左边留卞一个空 穴，并且在量子点中没有电子占据依此类推，它可以继续衰减到c t c c ：f 印l o ) 然后继续衰减下去 圈2 1 ：电子隧穿量子点示意图 系统的波函数可以表示成如下的形式一 i 霍) = 如( t ) + 6 “( t ) d i q + h ，( t ) c t q + 6 埘r 0 ) d ! c ：c f q ，+ - i o ) ( 2 2 2 ) i l r 6 ( t ) 是与时间有关的在相应的能级发现电子的可能性，从上面的描述中知道初 始态时b ( t ) = 1 ，其他的b ( t ) 均为零把上式代入薛定谔方程i 亩( t ) ) = 日i 皿) ， 并作拉普拉斯变换 5 ( 司= z 。舭( t ) 出 ( 2 2 3 ) 2 0 0 6 年4 i |量子意中直麓抽运电注的研究第了页 可以得到以下的方程 蕊( e ) 一丑蔚l ( e ) = ( 2 2 4 ) l ( e + 目一e 1 ) 爵l ( 四) 一丑品( e ) 一耳磅( e ) = o ， ( 2 2 5 ) r ( e + 马一日) 苟，( e ) 一t r 两( e ) 一研葡i r ，( e ) = o ( 2 2 6 ) r ( e + 马+ 蜀，一西一耳) 面删，( e ) 一正，k ( e ) + 噩瓦0 ( 曰) 一耳砀，r r ，( 曰) = o ( 2 2 7 ) 因为在左右电子库中能级非常密集，可以把求和用积分代替， l _ j - 儿) d 局。儿涵) 是左边电子库中的态密度，并利用耽= 2 ”儿( 毋) 阢( 毋) 1 2 与h = 2 ”加( 墨) i 珏( 毋) 1 2 ，可以得到下面的方程t ( e + r 乙2 ) 6 0 ( e ) = ( 2 2 8 ) ( e + 蜀一目+ 讧r 2 ) 5 l i ( e ) 一丑的( e ) = 0( 2 2 9 ) ( e + 目一日十讧乙2 ) 两，( e ) 一t r b l l ( 司= o ( 2 2 1 0 ) + 局+ 局，一岛一目+ r 置2 ) 6 l l l ( e ) 一西6 l r 俾】 + 正6 l ，r 旧) = 0 ( 2 2 儿) 现在引入密度矩阵。量子点的f o 吐空间仅有两种可能的状态tl n ) 表示量 子点中的能级上没有电子占据，i 的表示量子点中的能级上有电子占据在这 个基础上以，分别表示量子点中的能级上没有电子占据和电子占据的 几率，他们的定义如下z 2i 如( t ) 1 2 + i 嘛( 亡) 1 2 + 1 6 l l ，( t ) j 2 + i r l p r 一 趔+ 础+ 出+ ( 2 2 1 2 ) = ( t ) 1 2 + _ ( 卯+一( 卵+ i l l ，rl i ， 一， 一 = 蠢+ 嘏+ 罐+ ( 2 2 1 3 ) 2 0 军4 月 量子点中宜旋抽运电漉的研究第8 页 式子一( 岫中上标n 表示隧穿到右边电子库的电子数日通过系统的电流可以写 成j = e 觑( t ) ，_ r ( t ) 是聚集在右边电子库的电子总数日 辊( t ) = 忭心( t ) + 韶( t ) 】 ( 2 2 1 4 ) 密度子矩阵部分可以由i ( 司直接通过反拉普拉斯得到 批牡，雩笋b _ ( e 棘( 跏恤础 ( 2 2 1 5 ) 通过这个方程，可以把公式( 2 2 8 ) 一( 2 2 1 1 ) 直接转变成关于a n ) ( t ) 的方程例 如，可以把方程( 2 2 9 ) 的两边同时乘以磅l ( f ) ，然后把f 和f 互换，并得到 它的共轭方程，然后把二式相减，可以得到 笔芋( 一蹦跏( e ) 砘( f 妙删t ( 2 2 1 6 ) 一j f 鸳笋2 i m 车邪l j ( e 溺( e ，) e i 旷砷= o 从方程( 2 2 1 6 ) 可以轻易的得到方程的第一项等于一i p 黝( t ) + r r 毋】然后从 方程( 2 2 9 ) 我们可以得到 孔( 司_ 丽者黑丽 ( 2 2 1 7 ) 把方程( 2 2 1 7 ) 代入( 2 2 1 6 ) 。并把求和用积分代替，l = _ r 儿) d 局，可以得 到下面的方程： 础( t ) 谁( t ) 皑蛔 铝( t ) = 一耽a 绺( t ) = r l o 船( t ) 一1 1 矗搿( t ) = 一r 。心( t ) + r r 嘏( t ) = r l o 凹( t ) 一r 冠罐0 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 把这些方程相加可以得到总的几率方程，其中。= 。以j ，= 。罐 = 一r l + h 礼= r l 一r 丑 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) 2 加6 年4 月量子点中自旋抽近电流的研究 第9 页 通过系统的电流： l j ( t ) = e 札( t ) = e r r 砝( t ) + 嘏( t ) + 嘏( t ) + _ e r r ( t ) ( 2 2 2 4 ) 利用稳定态条件古0 斗) = o 和+ 口砧= 1 ，我们可以很容易的求解出 ，= 梳( 2 z 2 5 ) 2 3 费米一狄拉克分布的方法 系统如图1 2 q 2 2 所示j 量子点中有单电子能级马( p = l ，2 ) ，从量子点底 部算起，以升序排列每个能级上有一个或者零个电子在这里不考虑电子的 自旋自由度左右两边的电子库的费米能级均为岛，1 温度为t ，处于热平衡 状态我们认为电子库中的状态是连续的由r 强m o d i r a c 分布可以得到 邶一毋) = 【1 + 唧( 里乎) r 1 ( 2 3 _ 1 ) q u a m u mw 酬 i 一印 图2 2 ：电子隧穿量子点示意图 量子点中电子之阔的静电能可以写成下面的形式j u ( ) = ( e 一口) 2 2 c q 2 c ( 2 3 2 ) 一一 力一 - 一 2 0 0 6 年4 月 。量子点中自旋抽运电流的研亭 第l o 页 0 。“表示由电子库中的电子对量子点中电子的影响 由能量守恒知道若量子点中p 能级上的电子隧穿到左边电子库中的相应的 能级上能量必须满足t f ”( ) = 昂+ 矿( ) 一u ( 一1 ) + q e 矿( 2 3 3 ) 亩，| ( ) 是量子点中的电子隧穿到左边电子库中相应能级的能量，”是所加电 压的系数同样的，若左边电子库中能级，( ) 的电子可以隧穿进量子点，由 能量守恒。可以得到t 酽( ) = 耳+ c ，( + 1 ) 一矿( ) + e y( 2 3 4 ) 同样的原因，右边电子库与量子点中电子之间的发生隧穿所要满足的能量关系 是t 曰，( ) = 昂+ c ，( ) 一，( 一1 ) 一( 1 - ”) e y j 于( ) = 易+ 矿( + 1 ) 一u ( ) 一( 1 一呐e y 由于隧穿进量子点的电子数目与隧穿出量子点的电子数目是一样， 右两边的电流是一样的，可以写为s o 。 ，= 一e 弓p ( n i ) p = l n i ) 。 晶，o ，( 酽，( ) 一日p ) 一矗，1 1 一，( 4 ( ) 一e f ) 】 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 所以左 ( 2 3 7 ) 第二个求和是对所有的占有数，也就是对量子点中所有的能级求和，m 的值只 能取。或者1 在平衡状态下，这种几率分布是巨正则系统的吉布斯分布： 只q ( 川) ) = z - 1 唧【一击( 墨q + u ( ) 一e _ ) 】 ( 2 3 8 ) 在公式( 2 3 8 ) 中，= t 啦z 是配分函数 z 2 赢e x p 一击( 莓蜀啦+ 矿( ) 一昂) ( 2 舢) 2 0 0 6 年4 月量子点中自奠抽通电浇的研究第1 1 页 非平衡态分布的几率p 是能量方程的稳定解 声( 仇 = o = 一p ( t ”i ) ) ，o 噼，( ( ) 一趵) + r ；，( 分 ( ) 一毋) 】 p 一p ( n t ) ) ，1 堪【l ，( 肼( ) 一毋) 】 ， + r ；【1 一，( e ，r ( ) 一e 啊) 】) + p ( t l l l - ，l p _ 1 ，1 ，唧+ l ) 如，o i 1 一，( 。( + 1 ) 一e f ) 1 + r ；【1 一，( 目，( + 1 ) 曰f ) 】) + p ( n 1 ，唧吐o ，啊“) ，1 嘭，( e ，( 一1 ) 一e f ) + r ；，( ，( 一1 ) 一届f ) ( 2 3 1 0 ) 把方程( 2 3 1 0 ) 在p - 1 ，2 ，的情况下化简，可以得到； p ( 竹1 ，- - ，b l ，1 ，n p 十1 ，) 砖【1 一，( e ”( + 1 ) 一e 和) 】 + r ：【1 一，( e ，( + 1 ) 一骂p ) 】) = p 加一，n p l ，o ，+ 1 ，) 【r ：，( 口，( 霄) 一j 和) + k ，( ，( ) 一j 冶) 】 ( 2 3 1 1 ) 在方程中( 2 3 1 1 ) ，膏= i p 把p ( m ) = 只g ( ( 啦) ) ( 1 + 崭m ( m ) ) ) 代入方程( 2 3 1 1 ) ，我们可以得到 尸b ( n 1 ，唧一l ，1 ，唧+ 1 ，) 皿( n 1 ，n p 一1 ，1 ，脚+ 1 ，) ( q 十r ；) 1 一，( e ) 】 一噼”一r ；( 1 一们】k t ，7 ( e ) ) = r g l ，唧一1 ，o ，唧+ 1 ，) 砷( t l l ，唧一1 ，o ，坳+ 1 ，) ( + r ；) ，( e ) + i q r ；( 1 一目) 1 t ，( e ) ) ( 2 3 1 2 ) 在方程( 2 3 1 2 ) 中，( ) i 珂( ) d e ，e = 马+ 矿( + 1 ) 一矿( 膏) 一毋一 通过下面的式子； p e 口( n 1 ，唧一l ，l ，哗+ l ，) = ，k l ，唧“o ，n p + l ) e 一。，昱t ( 2 3 1 3 ) l 一，( ) = ，( e ) 矿，胛( 2 3 1 4 ) 2 0 0 6 年4 月 量子息中自旋抽运电流的研究 第1 2 页 k 吖( 句( 1 + e 一，k t ) = 一，( 0 ( 2 3 - 1 5 ) 方程( 2 3 1 2 ) 可以化简为， 皿( n 1 i - 一，唧一1 ，1 ，n p + 1 ，) = 皿( n l ，仃p 一1 ，l ，咻l ，) + 巧芊巧一口( 2 3 1 6 ) 解这个方程得t 州蛐) = 硎8 抖善州藕叫) o 且1 7 ) n f 一。 现在我们就可以得到电流的表达式 j = 一e 嘉季赢砖蹦机) ) 朋胛，( 卅- 船，( ) + 皿( m ) ) ，o ，( e ) 一皿( ) ) 如，1 1 一，g ) 】 = 器零磊弓p q ( 机 ) o ，( 岛+ u ( + 1 ) 一u ( ) 一剐 协+ 皿( n l ，唧一1 ，1 ，唧+ l ，) 一皿( 拈l ，唧一l ，o ，n p + 1 ，) 】 ；器零磊器础帆，o ，( e p + u ( + 1 ) _ 吧h ) 至此，我们就得到了电流的表达式在下面的章节中我们主要是利用第一 种方法，也就是用密度矩阵的方法计算通过量子点的自旋电流与电荷流利用 第= 种方法计算通过量子点的自旋电流与电荷流是我们目前正在进行的工作 第三章量子点中自旋抽运电流与电荷流 在上面的求通过量子点中电流的方法中，对于电子我们没有考虑其自旋自 由度，所以我们所得到的电流是电荷流下面我们看当考虑到电子的自旋自由 度时，通过量子点的自旋电流与电荷流的表达式在这一章中，根据左右两边 电子库的费米能级的位置与量子点中电子能级位置的不同，分为三种情况进行 讨论 3 1 电子库的费米能级能量位于量子点中能级之间 装置如图3 1 所示：左右均有一个费米能级为e ，的电子库，通过势垒与 量子点联结在一起由于外加磁场玩的作用，量子点中的电子能级发生分裂 - 1 ，2 一f i 2 = 非占岛，g 是量子点中电子的g 因子，粕是玻尔磁子外加一 个垂直于岛的振动场研巾) ，当它的频率等于量子点中两个分裂能级之间电 子的跃迁频率时，电子发生自旋共振，从低能级跃迁到高能级电子在系统中 的隧穿过程如下：左右电子库的费米能级位于量子点中两个自旋能级之间，此 时电子库中的电子可以从左右两边隧穿进量子点中。占据自旋向上的z e e m a n 能级，在振动场耳，的作用下，满足自旋共振条件的电子可以跃迁到自旋向下 z m m 能级上，然后再从左右两边隧穿出量子点，从而形成电流在这个过程 中，我们假定量子点中两个电子之间的库仑作用力是无穷大的，所以每次只能 有一个电子隧穿进量子点 系统的哈密顿量可以写成如下形式t 日= e ，n 。+ l 。c j g h + 钾。4 ，c r ，+ 丑。( c 七五十c f 。) j b r j 1 5 + 乏：耳，( 4 ，d + 件) + 日；，( t ) ( 3 1 1 ) r 0 在式子( 3 1 1 ) 中n ，= d ! 也。s = 士1 2 ，d ：( d 1 ) 是量子点中能级“处的产生 ( 湮灭) 算符同样。c i i ) 和也b 。) 是左右电子库中的产生( 湮灭) 算符 第四到七项描述的是电子在电子库和量子点之间的隧穿最后一项是在量子点 内有旋转场产生的自旋态间的藕合如果量子点中旋转场的频率和z e 粕分 2 0 0 6 年4 月 量子点中自旋抽运电流的研究第1 4 页 图3 1 ：电子在量子点中的隧穿示意图 裂的频率很接近，那么占b ( t ) 可以写成 日，( t ) = u r 2 ( 舛由e “r 一+ 啦西e 一饥，。) ( 3 1 2 ) 在公式( 3 1 2 ) 中l ，r = 鲫b b r ，2 是r 丑b i 频率， 的值是1 ，坼，是所加振动 磁场的频率 系统的波函数可以表示成如下的形式： 霍) = 【酤( t ) + 6 i ，t o ) 珥q ，t + 6 r 。t ( ) d 讳。t + 如。l o ) d i c l 。t + 6 r ，i o ) d i c r ，t + k ，b ( t ) 吃c l 。t + “，r ：o ) 如p ，t + k ，b ( t ) c f 2 i c r 。t + h 。r 2 ( t ) 文l c l 。t + 钆。b t ( t ) d 车c + 4 q l t c l i t + 】l o ) ( 3 1 3 ) 6 ( t ) 是与时间有关的在相应的能级发现电子的几率，从上面的描述中我们知道 初始态时6 0 ( t ) = 1 ，其他的6 ( t ) 均为零 利用第二章第二部分的方法，把( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 代入薛定谔方程f 1 壶( t ) ) = 日i 皿) ，并作拉普拉斯变换 ， 吾( e ) = ( o 。一目咕( t ) 出 ( 3 1 4 ) 2 0 0 6 年4 月量子点中自奠抽运电流的研究 第1 5 页 我们可以得到以下的方程 j 弱( e ) 一丑。而。t ( e ) 一霉。再。t ( 刀) = i ( 3 1 5 ) h 7 1 ( 层+ h t e t 而。t ( e ) 一丑，而( 刀) 一“恤蛎。l ( e 一坼，) = o ( 3 1 1 6 ) ( e + r 。t 一6 t 届。t ( 目一霉，而( f ) 一c i 冠赫。l ( e 一“牛，) = o ( 3 1 7 ) ( e + “t 一1 ) 茜，l ( e ) 一噩。五。1 2 ( 四) 一u r 螨，t ( e + “k ，) 一耳：五，。( e ) = o ( 3 1 8 ) ( e + 吼t q ) 磅4 ( 印一五，n ( e ) 一u 凡蛎n t ( e + 啡，) 一丑。矗。b ( e ) = o ( 3 1 9 ) ( e + e 1 1 t e b l ) 西。b ( e ) 一丑。商。i ( e ) 一五l 而i f l f 。t ( f ) 一肆。西1 1 1 l ：t ( e ) = o ( e + e ，。t 一白。1 ) 茸。n ( e ) 一耳。再。4 i 曰) 一丑。再。l 。r 2 t ( e ) 一耳i t 茸i n 。t ( e ) = o ( e + ，t q 。l 癌。b ( 曰) 一丑：五。i ( e ) 一乃。矗，l l l 。t ( 司 一 州。t ( 刀) = o ( 刀+ l l t b ：4 ) 五。n ( e ) 一而，( 届) 一露。矗。h r 。t ( e ) 一孔忍l i r 。t ( 曰) = o ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 1 2 ) 量子点的f b 出空间仅有三种态ti o ) 表示量子点中的能级上没有电子占 据，1 竹) 表示量予点中下面的能级被一个自旋向上电子占据，1 表示量子 点中上面的能级被个自旋向下电子占据为了计算通过量子点的自旋电流与 电荷流，我们引入密度矩阵嘏，挥i 三和啦譬在啦中，o 表示量子点中 的能级上没有电子占据，n 表示从左右两边电子库隧穿进量子点的电子数目， n i 表示从量子点中上面的能级上隧穿到左边电子库中自旋向下的电子数目所 以啦表示的含义是在n 个隧穿进量子点的电子中有川个电子是从左边隧穿 2 0 0 6 年4 月 量子点中自麓抽奄电流的研究 ， 第1 6 页 出量子点。并且量子点中的能级没有电子占据的几率同样的道理，雌：和 出：三的定义与此类似，只是它们表示量子点中下面或者上面的能级被电子占据 的几率他们的定义如下， a 勰= i 删 羽 嘏。 趔。 = 罐1 1 + 罐) l = “，( t ) 1 2 + j 轨，。( t ) | 2 = 罐 1 + 罐 。= 。( t ) 1 2 + 1 6 r m ( t ) 1 2 = 辩，1 + 0 鞋，= h 。t o ) 1 2 + i “，t ( t ) 1 2 = 正墨，1 + 甚，1 = i 啦，j ( t ) 1 2 + l k ，( t ) 1 2 ( 3 1 - 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) 利用第二章第二音5 分的方法，从方程( 3 1 5 ) 、( 3 1 1 1 ) 、( ( 3 1 1 3 ) ，( 3 1 1 0 ) 、 ( 3 1 1 2 ) ，可以得到下面的式子一 铡 珊。 糍 。 晶： 。 础。 一( r l t + r 耐) d 黝 一( f t + r r t ) 罐1 1 + r 埘盐1 一( r 工t + r 研) 罐! l + i m 堪，1 一( r 研+ r 研) 矗： l + r l l 正盟，1 一( r 埘+ r 埘) 罐) l + r 印盟，1 ( 3 1 - 1 9 ) ( 3 1 2 0 ) ( 3 1 2 1 ) ( 3 1 2 2 ) ( 3 1 2 3 ) 在上面的方程中，k 。= 2 7 r ( 岛) i 奴。1 2 ，x = 厶r ，8 = 士l 2 因为删= 嘏 ，+ 糍 。，晶1 2 = “当+ 矗：! 。把上面的式子相加，得到下面的 方程。 晶= 一( r l t 十r 研) 铡 础= 一( i 研+ r 研) 础+ r 埘础1 础= 二( + 1 1 埘) 捌+ r l l 趔1 利用同样的方法可以得到其他的方程： 删= 一( r 研+ r 耐) 棚+ r 砒吼 ( 3 1 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) ( 3 1 2 6 ) ( 3 1 2 7 ) 2 0 0 6 年4 月 量子点中自囊抽运电巍的研究 靠1 7 页 黜= 一( r 研+ r 研) 矗x 十r m 口潞+ r “吣2 ( 3 1 2 哪 髭：一( r 研+ r 埘) 口鼹+ r l l d 挝2 ( 3 - 1 2 9 ) 最后得到关于。剐的一般形式t 由黝= 一( r 1 i + r 肼) 晶嚣 厅艘；一( r l t + r 研) 豫+ r 且l 口 2 。 古蚴；一( r l t + r 研) 褓+ r 埘出i 三十【1 珥咄：i 1 6 慰：一( r l t 十r 研) 口鼢+ r l 置_ 1 在上面的方程中铆的值是不为。和1 的做下面的定义t 甜1 ：锶+ 古敬+ 6 踺+ + 古跚 ：一( r 1 计十r 肼) 羽一( r 计+ r 埘) d 趼+ r 砒 ， 一( r l t 十p 耐) 蠢墨+ f m 西2 2 + 一( r l t + r 埘) 蠢薯+ r r i 哆蹬。 ：一( r 计十【耐) a 护+ i 埘盯四 同样的方法，可以得到： a 擎) ：古i + 古锚+ 亩珏+ - - 十晶譬 ：一( r 计+ r 肼) 毋1 + r 埘西? + r 西 帮) ：铡+ 稍+ 卅+ - + 嘏 ；一( r 研+ r j 计) 毋+ r 珥d 2 ) + r l l d 最后可以得到舻的一般形式t 帮寻一( r 计+ r 耐) 口驴+ r m 口蹿 舻：一( r 计+ r 研) 毋) + r m 出+ r 啦- 1 印：一( r 计+ r 研) d 古旧+ r l l 咄1 ( 3 1 3 0 ) ( 3 1 3 1 ) ( 3 1 1 3 2 ) ( 3 1 3 3 ) ( 3 1 3 4 ) ( 3 1 3 5 ) ( 3 1 3 6 ) ( 3 1 3 7 ) ( 3 1 3 8 ) ( 3 1 3 9 ) 2 螂年4 月 量子点中自旋抽运电流的研究第1 8 页 上面我们已经求出了关于帮的通式，利用同样曲方法可以得到关于谁和 硪的通式。这里我们省略具体的求解过程，直接写出结果t 毋z ) = 一( r 研+ f 研) 守+ r 埘由+ r “。捃一1 ( 3 1 4 0 ) a 浮= ( r 研+ r 研) 口驴+ ( u 冠2 ) ( e “山，罐“一e 一缸。，。略) (