（概率论与数理统计专业论文）关于非退化扩散过程的几点注记.pdf

摘 要 关于非退化扩散过程的研究，已有一些结果。文 1 褥到了n 维( n 2 ) 非 退化扩敞过程样水轨道的象集的h a u s d o r f f 维数，而对n = ii i , | jl 得到r ：l = ； 象集的h a u s d o r f f 维数的一个上界 啬计( 觅 2 ) 。本文对n i 时，得到了象 集麓h a u s d o r f f 维数，覆涯爨方法羹| j 有别予文i 】。这怒对毒釜滋化扩靛过程 所做的鳞。点蛀迎。 文 3 证明了对于一一维b r o w n 运动，儿乎所有的样小轨道的水、f ，集的 h a u s d o r f f 维数是 。本文获得了维菲遐化扩散过程的样本轨道的水平集 鹣h a u s d o r f f 维数，英结果类戳予b r o w n 逡动。遵步，磅究了j 萝运德扩敷 过程的样本轨道的逆像集的h a u s d o r f f 维数。这是对非退化扩散过程所做的 第二点注记。 众所厕知，对n 维b r o w n 运动，当n 4 时，几乎所有的样本轨道不存在 二霆点，_ 露当鬟3 眩，尼乎联有豹榉本孰i 骜存在二霆点。对定义在完餐概率 窄间( q ，f ，p ) ：取使予r ”的g a u s s 随机场 x ( t ，搿) ：t r o ，出q ，其 分量相瓦独立且具有e ( x ( t ) 一x ，( s ) ) ： = i t - s i2 “0 口 2 d 时，几乎所有的样本轨道坷i 存在二重点，而当o f n 2 d 时，几乎所有 没孛莩奉争道存在二二重点( 冤 莲】) 。觚这褥嚣爨示，我秣开始考瘩n 维菲运纯 扩敞过程的样本轨道是否具有同样的性质。事实上，我们讨论了其二夔点问 题。这是对非退化扩散过程所做的第三点注记 具体说来，得到如下主要结果： 1 浚程( x ) 秘( x ) 满足条弱：e ，x ( t ) 怒方程( i - i ) 静鳃，8 为有器溺集， 且e cr 。则： d i m ) ( e ) = m i n n ，2 d i m e a s 2 i 5 ln = i ，( x ) 和d ( x ) 满足条f ，f ：c ，x ( t ) 怂力枉( 卜1 ) 的解，e 为仃界 闭集，上王e cr 测： d i m x ( e ) = m i n fl ，2 d i m e a ，s 。 3 砹n = i ，u ( x ) 和p ( x ) 满足条件c ，x ( t ) 趋 程( 卜1 ) 的解，e 为有界 闰j 集，e cr 上ld i m e 1 2 ! 1 1 0 ： d i m x ( e ) = la s 注：此结论3 表明当d i m e 1 2 时，一维饕退纯扩散过程的象集鳃 h a u s d o r f f 维数达剑r 最人值。 d 设n = i ，a ( x ) 和p ( x ) 满足条件c ，x ( t ) 是方稚( 1 一1 ) 的解。则： d i m x 。( x ) = a s ( v x r ) 5 。浚n = i ，g ( x ) 秘( x ) 满足条辞，x ( t ) 怒方程( 1 - 1 ) 的躺。8 鸯嚣；中 b o r e l 集，令) ( ”( 8 ) = f t o ：x ( t ) 基b j 。贝“： d i m x 一( b ) ：! ! 型墅a s 2 6 设q ( x ) 和p ( x ) 满足条件c ，x ( t ) 是方程( 卜1 ) 的解。；| 0 ： 鼍 5g ，煮： l3 2 妒a + s 。 j o l i l ! = x r 、：j 1 ；i 州的t ，t 二r + ，使得x ( t ，m ) = x ( t ：，甜) = x 】 关键词：扩觳过程，蒙集，承乎熊，逆像集， h a u s d o r f f 维数，_ 二重点 a b s t r a c t t h e r ea r es o m er e s u l t s o nt h e s t u d y o fan - d i m e n s i o n a l n o n d e g e n e r a t ed i f f u s i o np r o c e s s i n 1 ，f o rn 2 ，t h e h a u s d o r f f d i m e n s i o no fi m a g es e to fi t ss a m p l ep a t hi so b t a i n e d ，b u tf o rn 2 1 o n l yi t su p p e rb o u n de s t i m a t e ( s e e 【2 】) i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i n e d t h ei t a u s d o r f fd i m e n s i o no fi m a g es e tf o rn 2l 。h o w e v e r ，t h ep r o v i n g m e t h o di sd is t i n c tf r o m 1 t h i s i st h ef i r s tn o t eo nt h e n o n d e g e n e r a t ed if f u s i o np r o c e s s i n 3 j ，i tw a ss h o w nt h a tt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no fl e v e ls e to f o n e d i m e n s i o n a lb r o w n i a ns a m p l ep a t h si s w i t hp r o b a b i l i l y1 t h i s p a p e ro b t a i n e dt h er e s u l to nt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no f l e v e ls e to f o r l e d i m e n s i o n a ln o n d e g e n e r a t ed i f f u s i o np r o c e s s ，w h i c hr e s e m b l e s t h a to ft h eb r o w n i a nm o t i o n 。f u t h e r m o r e ，w es t u d i e dt h a tt h eh a u s d o r f f d i m e n s i o no fit si n v e r s ei m a g es e t t h i si st h es e c o n dn o t eo nt h e n o n d e g e n e r a t ed if l u s i o np r o c e s s i t i sw e l lk n o w nt h a t ，t h eb r o w n i a np a t h si nn - s p a c eh a v en od o u b l e p o i n t sw i t hp r o b a b i i i t yl i f 瓣4 ，b u tf o r 瓣3 ，t h e r ea r ed o u b l ep o i n t s w i t hp r o b a b i l i t y1 。l e tf x ( t ，c o ) ：t e r 。，甜n ) b eap a t hc o n t i n u o u s c e n t e r e dg a u s s i a nr a n d o mf i e l dd e f i n e do nac o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c e ( n ，f ，p ) 8 n dt a k ev a l u e si nr “s u c ht h a te ( x i ( t ) 一x ，( s ) ) ： = l t s 卜 0 g 2 d ，t h e na l m o s ta l ls a m p l ep a t h s x ( t ，甜) ：t e r 8 ， m q h a v en od o u b l ep o i n t so fa n yl e n g t h 。b u t ，ifa n 5 ，t h e n ， l2 = a s w h e r el ! = x r “： d is t i n c tti ，t2 r + ，s u c ht h a t x ( t ，t - o ) = x ( t ：，) = x ) k e y w o r d s ：d i r r u s i o np r o c e s s ， i m a g es e t ，l e v e ls e t i n v e r s ei m a g es e t ，l t a u s d o r f f ld i m e n s io n ，d o u b l ep o i n t s 5 扩散过程理论在物理、化学、生物、：e 程、经济等领域r 1 1 有广泛 的应用。例如：分子运动、带噪声的遴议系绞、有卡拢的神经生瑾 活动、生物膜中的渗透过程、进化过程中的基因更替、期货与期权 定价等系列疆究t h 扩黢过程都是个缀好的遥 娃摸懑。 、 此外，扩散过程理论也与微分方程的研究有密切的联系。许多扩 散过程黪泛函，秘魏：击中分毒、鼍2 垮吸收时阁、占位时阀分帮、 小变测艘等等都是一些微分。程的边值成初德m 题的解。小仪扩散 瑾论寿时呵以箍供一整系数与边器要求鞍宽的徽分方程祭酶存在 性、唯一性条件，而且概攀意义的直观也可以为微分方程的问题的 合壤褪法提供璃遮。在微分方程的计算方面，方法藏是羽计算祝模 拟扩散过程，1 ：以人最现实( 轨邀) 的算术平均来近似过程的统计 ，| ，均去求力程的解。 由此可见，对扩散过程的研究，不仅具有深刻的理论意义，更具 有煎要的现实意义。关于非邋化扩散过程的研究，已有一些结聚。 文f l 】得剑，n 维( n z 2 ) ：l b 退化扩散过程样奉轨道的象集f f , jh a u s d o r f f 维数，而对n = i 时，只得到了其象集的h a u s d o r f f 维数的个j ：界估 计( 见f 2 1 ) 。本文黠n l 时，缛剑了象集的h a u s d o r f f 维数，螳诞甥 方法! ! f j 有别于文 1 。这是对非退化扩散过程所做的篇点注记。我 们将在2 妒 l 偿洋纲淦述。 义 3 】证明了对丁- 维b r o w n 运动，几乎所有的样本轨道的k 、f 集 酶h a u s d o r f f 缝数是毒。本文获褥了一维薄邀纯扩散遵程静样本辘遂 的水护集的h a u s d o r f f 维数，其结果类似于b r o w n 运动。进步，研 究了毫退化扩数过程酶榉本轨道酸遂像褰酶h a t l s d o r f f 维数。这避对 非燃化扩敝过程所做的第二t ( 注汜。我f j 将在3 1 1 作有d & 讨论。 众所溺翅，对n 维b r o w n 运动，当n 霹辩，乙乎所有韵样本轨 道不存在二重点，而当n s 3 时，几乎所有的样本轨道存在二蘑点。 对定义在完备概率空闻( q ，f ，p ) 上敬釜予r ”的g a u s s 随祝场 x ( t ，甜) ： tero，cosq ，其分繁相互独专且具寂e ( ( x ：( t ) - x ，( s ) ) 2 】= i t - s p 0 o ，霞 d ( x ) 一a ( y ) f + l1 3 ( x ) 一p ( y ) i = ( 芝主( 醢，( x ) 一g 。( y ) ) 2 ) “2 + ( ( ；x ) _ 1 3 。y ) ) 2 t = i ， f 。f - k i x y l = k ( ( x ，w y ，) 2 ( 1 ：3 ) r 。i v x - - ( x ，x ，) ，y 一( y l ，y ) r “ c ， 存在常数c o ，使v x er “，a ( x ) c i 。，即a ( x ) 的每个特 镊凝邦不夺予c 。 以卜一眦改a ( x ) 和b ( x ) 满足条件c ，从而( 1 1 ) 仃8 _ 虽解x ( t ) 。 没x ( ) 醵转移概率为p ( t ，x ，d y ) ，测存在密凄函数p ( t ，x ，y ) ，经p ( t ，x ，d y ) = p ( t ，x ，y ) d y ，且存在常数c o ，1 j 兰4 ，见( 5 】， 6 】) ，使 c ：e x p ( c ：壁芒) p ( t ，x y ) cs t 一e x p ( 。c 。坠华) ( 1 - 4 ) 定义2 ：令审0 一w f ：乒：( 0 ，毋) _ ( 0 ，0 0 ) 单增、右连续，庐f o + ) = 0 ， 且3 k o ，使( 2 s ) ( s ) 曼k ，v o o ：s ”* m ( e ) = 0 ( 3 ( 1 6 ) 为e 蛉h a u s d o r f f 维数。 集合e 的p a c k i n g 测度及p a c k i n g 维数的定义n ，参见【3 。 定义碡：设g ( 0 ，l 】，函数f r + 寸r 。l 菸￥紧集k 仁( 0 ，。) ，郡存在 常数c i ( k ) o ，使i “x ：) 一“x ) j c ( k ) l x ：- x i “( x 。，x ：k ) ，则汜为 f l i p 。若存在芷索数c 。k ，c ：( k ，经 c ：( k ) l x ：一x i i f ( x ：) - f ( x ) l 兰c ( k ) l x 。一x 。l ( x ，x ，e k ) ，贝4 己；i jf 2 l i p ， 魏李称f 满足黢透l i p s c h i t z 条粹。 2象集韵h a u s d o r f f 维数 前究，给出奉节的二卜要缩果： 定理2 1 ：设a ( x ) 和b x ) 满足条件c ，x ( t ) 是方程( 1 一1 ) 的嬲，e 为有界闭集，he cr 则： d i m x ( e ) = m i n n ，2 d i m e a s ， 2 一1 ) 注：( i ) 定理2 1 的条件满足，当n = l f 时，有：d i m x ( e ) = m i n l ，2 d i m e a s ( 溺定理2 + l 的条中| ：溅足，。ln = l 时，显d i m e l ，2 。嬲：d i m x 基) = la s ， 此式表明当d i m e l 2 时，“。维非退化扩散过程的蒙集的h a u s d o r f f 维数达剜了最人蛰。 为证定理2 1 ，需要如下几个引理： 零l 理2 2 ：设繁集e c r + ，f ：e 。一r ”，存在正常数c 0 、0 f l 0 ，我们能f f jh f 数个氏径小 超过s 的球b 。术覆盖e ，使得 ( d i a m8 。) 8 l 2 _ 5 ) 予是f ( e ) c uf ( b 。) ，t h ( 2 2 ) 式有 月。i d i a m f f b 。) c ( d i a mb 。，) 9 2 - 6 ) 所以，d i a m f ( b 。) c s9 ，且 ( d i a mf ( b 。) ) “9 c ( d i a mb 。) 4 c o o m = la i 令8 一o ，由h a u s d o r f f 测度的定义知 o ，则存在e | 二有限i 卜b o r e l 测度，使： 1 月( ) o ，使 芦( s , t ，x ) c 。p ( s ，t ，c ：x )( 2 - 9 ) 从而： p f x ( t ) 一x ( s ) j - i t s r x p j b ( 1 ) - b ( s ) j c ，i t - s r x s m x “ l 2 故( 2 7 ) 式得证。 定删2 1 的证明：山义 2 ，i 1 - 1 ，v 0 j r a i n n ，2 d i m e a s ( 2 - l j ) 由引理2 3 知，亦只要证： v ， r a i n n ，2 d i m e ，存在x ( e ) 上的随机概率测度，使得 f 塑盟生趔 y 2 ( 这由7 的选取得知) 所以存在e ：的概率测度盯， 使l ，。警笋 。( 2 - 1 3 ) 令= 盯x ，贝0 ： ef d t t ( x ) d “( y ) ：e 塑煦 j 、f f f l j 一y 1 7 七罐 | ( ，) 一( s ) 1 7 2 f 。e ( r x ( t ) 一x ( s ) l 。) a ( d o , y ( d s ) 2l 。l ( t ，s ) c r ( d t ) e t ( d s ) ( 其中i ( t ，s ) = e ( r x ( t ) - x ( s ) r ) ) 令f 。( x j - p l x ( t ) 一x ( s ) - l t s r x ； 则：i ( t ，s ) = l t s t 2fx 7 df 。( x ) = r l t s f 叫7fx - y - i f 。( x ) d x ( 山o l 理2 t 4 ) 墨y t s t 2 ( 1m x d x + fx - r - t d x ) c 。l t - s r ”( c 。为常数) 厢：。，警警2 c 【，l 、。笮筹 0 ，存在常数m ， o ，使对任何0 s t - 0 ，使iq ( x ( u ) i2 m ，( v u 【0 ，t 】) 故l ( t ) ( s ) l - m7 i t - s l a ，s 证毕。 4 引理3 4 ：设n = i ，o ( x ) 和b ( x ) 满足条件c ，x ( t ) 是力程( 卜1 ) 的 解则：i ( t ) 一 ( s ) l c l t s i a s ( 3 - 4 ) 证l 删：山引理3 2 知，j ( t ) ( s ) j 2 a ( x ( u ) ) 2 d u a1 2 ，( x ( u ) ) d ua s 由条件c ：得：a ( x ( u ) ) = aj ( x ( u ) ) c j = l 故有l ( t ) ( s ) c l t s f a s 即( 3 * 4 ) 式成立。 涟：弓| 矬3 3 善r 弓l 躞3 。4 淡嚷： ( t ) 满足双边l i p s c h i t z 条程：。 引理3 5 ：设a ( x ) 满足条件c ，p ( x ) ；o ，x ( t ) 是方程( i - 1 ) 的解，则： 存在概率空峨 ( t ) ) ( 3 - 5 ) 证臻：由文【5 】p 。，定璎7 3 立霉。 号i 理3 6 d i ：j 5 ； b 为r l r | 1b o r e l 集，w ( t ) 为。维b r o w n 运动则： d 阳w 一( b ) = i + d i m ( b ) a s( 3 6 ) 其中w 。( 8 ) = t o ：w ( t ) e b 定理3 1 的证明：( 1 ) 先设p ( x ) = o ，由引理3 5 知：存在一维b r o w n 运动w ( t ) ，满足：x ( t ) 一w ( o ：w ( ( t ) ) b ； = d i m ( t ) ：w ( ( t ) ) bj ：一1 + d i m ( b )a s 2 举既专f x ) = - 0 时，定鬻3 。 残裒。 ( 2 ) “0 ( x ) 1 i 恒为零时， 由x ( t ) 是乃程：x ( 1 ) 2j 。( x ( s ) ) d b ( s ) + l1 3 ( x ( s ) ) d s 的解，只受作 个漂移变换：先选取，( x ( s ) ) ，使： ( i ) 1 3 ( x ( s ) ) + q ( x ( s ) ) y ( x ( s ) ) 一0 ( i i ) e e x p ( - 2 ( i ，( x ( s ) ) l2 d s ) 】 o ) 令m ( t ) = e x p j ：，( x ( s ) ) d b ( s ) 一 fi t ( x ( s ) ) i2 d s 则： m ( t ) 为( f ，) 愀。 令p = m p b1 ( t ) = b ( t ) 一 r ( x ( s ) ) d s 则：b ( i ) 足( q ，p ，声) 1 - 笑予( f ，) 。的d 维b r o w n 运动 。t ( x f l ) ，b ) ) 楚下述方程酶觞： x ( t ) =fu ( x ( s ) ) db 。( s ) +【1 3 ( x ( s ) ) + o ( x ( s ) ) y ( x ( s ) ) 】d s 即： x t ) 一fd ( x ( s ) ) ( 1b ( s ) ( 3 7 ) 这样就转为情形( 1 ) ，故此时定理3 1 亦成立。 陶水、f 集是逆像集的特翻，敌嘲_ l | = 司+ 得维菲趱化扩散过程溺样 本轨道的水乎集的h a u s d o r f f 维数足 。 日有另种方法也可证维 j # 邋化扩敝过程的样本轨道的承j 乎集的h a u s d o r f f 维数是 。所以另 作篇剐加以介纠，仪供参考。 定理3 7 ：殴n = l ，a ( x ) 和b ( x ) 满足条件c ，x ( t ) 是方程( 1 一1 ) 的 解则：d i m x 。( x ) = a s ，( v x r )( 3 - 8 ) 新诚此定胖，需婴用到卜_ 述引理： 孽l 理3 8 i s ：没x = x ( ) ：t r + 是一连续f 鞅，其典则分髂为 x ( t ) = x ( 0 ) 十m ( t ) 十v ( t ) ，t j ix ( o ) ( f 。) ，m = m ( i ) ：t r + 为连续确部 鞅，v = 、，) ：t 爻+ 是连续有器变差过程。若 ( t ) 一。 a s i v i ( t ) l i p la s ( 其中l v l ( t ) 为v ( t ) 的令变斧) 则： v x r ，有：d i m x 。( x ) = a s ( 3 - 9 ) 定瑾3 7 酶 i 乏弼：由0 | 瑾3 3 鞠弓| 瑾3 ，4 荔翔、： 1 ) 2 l i p a , s 熟知方程( 1 一1 ) 的解x ( t ) 是一连续半鞅，且 d ( t ) 2j d ? ，( x ( s ) ) d s a c t a s i m ( 1 ) j j ”c t = o o a s 故有l j t n x ( t ) 一 a ，s _ 9 同理可验证l v l ( t ) 仨l i p a , s 从蕊出号 理3 8 提汪定理3 。7 。 注：由y - 引弹3 8 只适合一维连续i 仁鞅之情形，因此我们也必讨 论维菲退化扩赦过程鳇榉本轨道麴水平集的h a u s d o r f f 维数。 这样我们就获得了维非退化扩散过程的样本轨道的水、f 集和逆 豫集熬h a u s d o r f f 维数，其结果类叛予b r o w n 运动。这是对j # 运佬扩 散过程所做的第二点沣 己。 4二重点 众所周知，对n 维b r o w n 运动，当n 4 时，儿乎所仃的样本轨 道1 i 存在_ 二重? 、i ，而j n 3 肘，几乎所有的样本轨道存在二雨点。 对定义在究彳弁概率审问( q ，f ，p ) i - 取值于r ”的g a u s s 随机场 x ( t ，g o ) ： tern ，甜q ，其分最相瓦独屯且具l r , e ( x ，( t ) 一x ，( s ) ) 二j = i t s 2 8 0 0 ，对充分小的j 0 ，设 b 。2 a ，- 占。，a ，+ 占、，】，j ， ( s ，7 ) ，i = 1 ，2 ，n 。且ub 。) v 。 ， b ：，= a2 ，- j ：，a ：，+ j2 ，j ，d ：， ( sa ，7 ) ，j = 1 ，2 ，n ：且ub ：， v ： 这嫩，我们还町以选择n ，n ：，使得n 2 ，选择口，使得警 口n 2 ， 从而舌 盯+ ，取，7 = s 。，则： p ( a ( v ，v ! ) ) css 。”+ c 一一2 e x p ( - 而1s 一一) ( 4 - 7 ) 山丁2 a - l 0 ，所以。l i ms + 2 e x p ( - 而i e2 a - i ) 2 0 冈此，当啼0 ，p ( a ( v ，v ：) ) = 0 故致a ( v 。，v ：) 这样可数多个事件的并的概率也为零。 至此定理4 。l 获涯。 这足对非退化扩散过程所做的第三点注记。 结语 综j ：所述，本文对菲邋化扩敞过程做了三点注记。即：( ) 、 利_ ! 霹 遐化扩数过程麴密艘函数的较好的t 器和f 器 轰诖“式，褥到n ( n 1 ) 维非退化扩散过程样本轨道的象集的h a u s d o r f f 维数。其实， 这一点麟弓；超足够鲍霞援，因为懋其徽为挢粱，霹终扩教过摇转荽乏 为b r o w n 运动帖形束处理，比较办便，冈而b r o w n 运动的分形性质 夫溜分n 接剑j 逡 乞扩数过瓤 i 。( 二) 、刹瓣漂移变换鼓粳透 l i p s c h i t z 变换j f ：1 i 改变点集的h a u s d o r f f 维数的性顾，得刮 维q # 退 化扩敬过程择奈软道魏逆豫集静h a u s d o r f f 维数。垒于多绦菲遐纯扩 敞过程样本轨道的逆像集的h a u s d o r f f 维数，可能要采取其它方法解 决。( 三) 、翻j - i j _ 大偏蔫舔簿，婿决了：对子n ( n s ) 维菲邋化扩散 过稷，几乎所有的样本轨道不存在二重点。但是，、n 4 时，儿乎 所柯的样本轨道怒行存在二疆点，还末解决。此外，三雨，i i 、k 霞点 等问题亟待进步研究。 参考文 献 1 杨新建多维非退化扩敖过程样本的象集的h a u s d o r f f 维数 、潮溺蛳范大学学报。1 9 9 4 。17 ( 2 ) ：2 0 2 2 2 l杨颛建。扩教过狴样本瞧h 6 1 d e r 连续性及其疲涮。湖囊黼范 火学学报1 9 9 5 1 8 ( 2 ) ：13 1 8 3 瑚j j 出鸺等随机分形弓i 沦武汉，武汉人学版社19 9 5 1 0 0 4 n o r i 0k o n o d o u b l ep o i n t so fag a u s s i a ns a m