（运筹学与控制论专业论文）保险公司风险控制与投资策略研究.pdf

保险公司风险控制与投资策略研究 专业：运筹学与控制论 博士生：陈树敏 指导教师：李仲飞教授 摘要 本文在扩散风险模型、对偶模型的框架下考虑保险公司证券投资、实 物技术投资、再保险、融资等问题及各个问题之间的相互关系本文的主要工 作包括： ( 1 ) v a r 约束下保险公司最优再保险投资策略研究假定保险公司可以开 展证券投资、再保险新业务等商业活动，我们的目标是寻求最优策略以最小化 保险公司破产概率本项研究工作的创新之处在于引入了动态v a r 风险度量以 控制保险公司风险水平、满足市场监管的需要优化问题在数学上可以描述为 控制空间受约束的无穷期随机控制问题我们采用随机动态规划方法得到最小 破产概率所满足的h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程，用l a g r a n g e 乘子法来 消除动态v a r 约束通过求解h j b 方程，我们得到值函数、最优投资再保险策 略的解析表达式最后，我们用数值算例对结论进行分析与说明 ( 2 ) 带固定再保险交易费用的保险公司再保险投资策略研究假定保险公 司投资于一个风险证券并可选择在破产之前某一时刻购买再保险合约，该合约 存在比例及固定交易费用我们的目标是最小化保险公司破产概率并得到相应 的最优投资再保险策略优化问题在数学上可以描述为混合随机控制最优停时 问题我们给出了验证性定理及相应的h j b 变分不等方程组通过求解，我们得 到值函数及相应最优策略的半显式表达式最后，我们还用数值例子对结果进 行分析并讨论了模型的经济含义 ( 3 ) 带技术投资的保险公司最优再保险策略研究假定( i ) 保险公司采用连续 比例再保险的方式将自身的部分风险转移到再保险公司；( i i ) 保险公司可以选择 在某一时刻进行项目投资，该投资不直接产生收益，但可以降低公司所面临的风 保险公司风险控制与投资策略研究 险我们的目标是通过选择最佳投资时刻和最优再保险比例来最小化保险公司 破产概率运用混合随机控制最优停时方法，我们求解出最小破产概率和最优 再保险策略的显式表达式以及最佳投资时刻的半显式解进一步的数值算例表 明：技术投资可以有效降低保险公司破产概率：投资效果越明显、投资所需金 额越小，则应该选择尽早投资；反之则应该推迟投资时间，等积累到足够的资金 再进行投资 ( 4 ) 带实业项目的保险公司再保险新业务投资策略研究假定( i ) 保险公司 可以选择在未来某一时刻投资于实业项目( r e a li n v e s t m e n t ) ，该项投资可以为保 险公司带来稳定的资金收入而不影响其风险水平；( i i ) 保险公司可以将盈余资金 投资于证券市场( 包括一个风险证券和一个无风险证券) ；( i i i ) 此外，保险公司还 可以通过比例再保险新业务策略来控制自身风险或获取更高收益我们的目标 是最小化保险公司破产概率并得到相应的最佳策略，包括项目投资的时机，风险 证券的投资金额及再保险新业务比例运用混合随机控制一最优停时方法，我 们得到值函数的半显式解，进而得到保险公司的最佳投资策略最后，我们用数 值算例对模型结论进行分析结果表明：( a ) 项目投资的门槛主要受项目收益率 影响而与投资金额无明显关系，收益率越高则投资门槛越低；( b ) 市场环境较好 时( 牛市) 项目的投资门槛降低；反之，当市场环境较差时( 熊市) 投资门槛提高 ( 5 ) 对偶模型的最佳技术投资时机以对偶模型描述研发型公司的现金流， 假定公司可以通过注入资金来防止破产并可选择在未来某一时刻投资于技术设 备来提高自身收益我们的目标是最小化注入资金总额应用混合奇异控制最 优停时方法，我们得到最佳技术投资时机的半显式表达式数值算例表明，最优 策略下技术投资可以有效降低融资总额为了对最优策略进一步分析，我们还 分析了平均等待投资时间及技术投资前注入资金总额与模型各参数的关系 关键词：动态v a r ，固定交易费用，实业投资，随机控制，动态规划 r e s e a r c ho nr i s kc o n t r o la n di n v e s t m e n t s t r a t e g i e sf o ra ni n s u r a n c ec o m p a n y m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y n a n l e ：s h u m i nc h e n s u p e r v i s o r ：p r o f z h o n g - f e il i a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs e c u r i t yi n v e s t m e n t ，r e a li n v e s t m e n t n e w - t e c h n o l o g y i n v e s t m e n t ，r e i n s u r a n c ea n df i n a n c i n gp r o b l e m sf o ra l li n s u r a n c ec o m p a n yo r ac o m p a n ye n g a g e di nr e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n t ( r & d ) ，w h o s el i q u i da s s e t s ( o rs u r p l u s ) i nt h ea b s e n c eo fc o n t r o la n di n v e s t m e n t sa r eg o v e r n e db yal i n e a r d i f f u s i o no rt h ed u a lo fc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s t h em a i nw o r kc o n t a i n s f o l l o w i n gf i v ep a r t s ( 1 ) o p t i m a lr e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s sp o l i c yf o ra ni n s u r a n c ec o i n - p a n yw i t h 懒c o n s t r a i n t t h i sp a r ti n v e s t i g a t e st h er e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s s - i n v e s t m e n tp r o b l e mf o ra ni n s u r a n c ec o m p a n yw h oh a sp o s s i b i l i t i e st oc h o o s e a m o n gd i f f e r e n tb u s i n e s sa c t i v i t i e s ，i n c l u d i n gr e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s sa n ds e - c u r i t yi n v e s t m e n t o u rm a i no b j e c t i v ei st of i n dt h eo p t i m a lp o l i c yt om i n i m i z e h e rp r o b a b i l i t yo fr u i n t h em a i nn o v e l t yo ft h i sp a p e ri st h ei n t r o d u c t i o no fad y - n a m i cv a l u e - a t - r i s k ( v a r ) c o n s t r a i n t t h i sp r o v i d e saw a yt oc o n t r o lr i s ka n dt o f u l f i l lt h er e q u i r e m e n to fr e g u l a t o r so i lm a r k e tr i s k t h i sp r o b l e mi sf o r m u l a t e d 鹪a ni n f i n i t eh o r i z o n t a ls t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e mw i t hac o n s t r a i n e dc o n t r o l s p a c e t h ed y n a m i cp r o g r a m m i n gt e c h n i q u ei sa p p l i e dt od e r i v et h eh a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o na n dt h el a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o di su s e dt o t a c k l et h ed y n a m i cv a rc o n s t r a i n t c l o s e d - f o r me x p r e s s i o n sf o rt h em i n i m a lr u i n p r o b a b i l i t ya sw e l la st h eo p t i m a lr e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s s - i n v e s t m e n tp o l i c ya r e d e r i v e d f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s i v保险公司风险控制与投资策略研究 ( 2 ) o p t i m a lr e i n s u r a n c e - i n v e s t m e n tp o l i c yf o ra l li n s u r a n c ec o m - p a n yw i t hf i x e dc o s t sf o rr e i n s u r a n c ec o n t r a c t i nt h i sp a r t ，w ea s s u m e t h a tt h ei n s u r e rh a sp o s s i b i l i t i e st oi n v e s ti no n er i s k ys e c u r i t ya n dt oc h o o s e at i m et os i g nar e i 驴u r a n c ec o n t r a c t ，w h i c hi n t r o d u c e sf i x e da n dp r o p o r t i o n a l c o s t s o u rm a i ng o a li st om i n i m i z et h ep r o b a b i l i t yo fr u i na n do b t a i nt h eo p - t i m a lr e i n s u r a n c e - i n v e s t m e n ts t r a t e g y t h i ss e t u pl e a d st oac o m b i n e dp r o b l e m o fo p t i m a ls t o p p i n ga n ds t o c h a s t i cc o n t r o l ，w h i c hw ew i l ls o l v eb ye s t a b l i s h i n g ac o n n e c t i o nw i t has y s t e mo fh a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a nv a r i a t i o ni n e q u a l i t i e s ( h j b v i ) t h r o u g ht h ev a r i a t i o nt h e o r e m w eo b t a i nt h ev a l u ef u n c t i o na n dt h e c o r r e s p o n d i n go p t i m a ls t r a t e g yq u a s i e x p l i c i t l y f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e sa r e g i v e nt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t sa n dw ed i s c u s sr e l e v a n te c o n o m i ci n s i g h t sf r o mt h i s m o d e l ( 3 ) t h eo p t i m a lp o l i c yf o ri n s u r a n c ec o m p a n y w i t ht e c h n o l o g yi n - v e s t m e n t f r o mt h ev i e w p o i n to fa ni n s u r e r ，o n ea s s u m e st h a t ( i ) t h ec o m p a n y s r i s ki sr e d u c e dt h r o u g hp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ；( i i ) i na d d i t i o nt h ec o m p a n y h a st h ep o s s i b i l i t yt oi n v e s taf i x e da m o u n to fm o n e ya n dc o n s e q u e n t l yr e d u c e i t sr i s k o u ro b j e c ti st om i n i m i z et h er u i np r o b a b i l i t yf o rt h ec o m p a n ya n dt o o b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n go p t i m a ls t r a t e g y u s i n gt h em e t h o d o l o g yo fc o m b i n e d s t o c h a s t i cc o n t r o la n do p t i m a ls t o p p i n g ，w eo b t a i nt h eq u a s i - e x p l i c i te x p r e s s i o n f o rt h em i n i m a lr u i np r o b a b i l i t ya n dt h eo p t i m a li n v e s t i n gt i m e - r e i n s u r a n c ep o l - i c y s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ei n t e rr e l a t i o n s h i pa m o n g t h ei n v e s t m e n te f f e c t s ，i n v e s t i n ga m o u n ta n do p t i m a li n v e s t i n gt i m e o u rh a - m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t ：( a ) i n v e s t m e n ti se f f e c t i v ei nr e d u c i n gm i n i m a lr u i n p r o b a b i l i t y ；( b ) l e s si n v e s t i n ga m o u n ta n d b e t t e ri n v e s t i n ge f f e c ti m p l ye a r l i e ri n - v e s t i n gt i m e ，o t h e r w i s ei ti so p t i m a lt op o s t p o n et h ei n v e s t m e n tu n t i lt h es u r p l u s i ss u f i i c i e n t ( 4 ) t h eo p t i m a lr e i n s u r a n c e n e wb u s i n e s s - i n v e s t m e n tp o l i c yf o r i n - s u r a n c ec o m p a n yw i t hr e a li n v e s t m e n t t h i sp a r ti n v e s t i g a t e st h er e i n s u r - a u c e n e wb u s i n e s s - i n v e s t m e n tp r o b l e mf o ra ni n s u r a n c ec o m p a n y w i t ho p t i o no f r e a li n v e s t m e n t w ea s s u m et h a t ( i ) t h ei n s u r e rh a sp o s s i b i l i t i e st oi n v e s ti no n e r e a lp r o j e c t ，w h i c hw o u l dc o s th e raf i x e da m o u n to fw e a l t ha n db r i n g si nf i x e d i n c o m er a t ea sr e t u r n ；( i i ) s h em a ya l s oi n v e s ti nb l a c k - s c h o l e sf i n a n c i a lm a r - v k e tw i t ho n er i s k - f r e ea s s e t ( b o n d ，o rb a n ka c c o u n t ) a n do n er i s k ya s s e t ( s t o c k ) ， a n d ( i i i ) r e d u c eh e rr i s ko ri n c r e a s eh e ri n c o m es t r e a mb yp r o p o r t i o n a lr e i n s u r - a n c e n e wb u s i n e s sp o l i c y o u rm a i no b j e c t i v ei st h em i n i m a lr u i np r o b a b i l i t y a n di t sc o r r e s p o n d i n go p t i m a ls t r a t e g y ( i n c l u d i n gt h et i m i n go fr e a li n v e s t m e n t ， r i s ke x p o s u r ea n dt h ea m o u n ti n v e s t e di nr i s k ya s s e t ) w i t hm e t h o d o l o g yo f c o m b i n e ds t o c h a s t i cc o n t r o la n d o p t i m a ls t o p p i n g ，w eo b t a i nt h ev a l u ef u n c t i o n a n dt h eo p t i m a ls t r a t e g yq u a s i e x p l i c i t l y f i n a l l y ，t oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s ，w e 踟1 a l y z et h eo p t i m a ls t r a t e g yn u m e r i c a l l y o u rr e s u l t ss h o wt h a t ( a ) t i m i n go fr e a l i n v e s t m e n ti sm a i n l yd e t e r m i n e db yi t sy i e l d s ，h i g h e ri n v e s t m e n ty i e l d si m p l i e s l o w e ri n v e s t m e n tt h r e s h o l d ；( b ) bt h er e a li n v e s t m e n tt h r e s h o l di n “b u l l i s hm a r k e t ” i sl o w e rt h a nt h a ti n b e a r i s hm a r k e t ( 5 ) o na d u a lm o d e lw i t ho p t i o no fn e wt e c h n o l o g yi n v e s t m e n t i n t h i sp a r tw ec o n s i d e raf i r me n g a g e di nr e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n t ( r & d ) w h o s e s u r p l u s ( r e s e r v e ) i sm o d e l e db yad u a lo ft h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s c a p i t a l i n j e c t i o ni sa l l o w e dt ok e e pt h ef i r ms o l v e n t t oi n c r e a s ei t si n c o m es t r e a m ，t h e f i r mh a st h eo p t i o nt oc h o o s eat i m et oi n v e s ti nan e wt e c h n o l o g y o u ro b j e c t i v e a i m sa tm i n i m i z i n gt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e df i n a n c i n ga m o u n t t h i sl e a d su st o s t u d yt h ep r o b l e mo fo p t i m a ls t o p p i n gw i t hr e f l e c t i n gb o u n d a r y w eo b t a i nt h e v a l u ef u n c t i o na n dt h eo p t i m a ls t r a t e g yi ns e m i - c l o s e df o r m f i n a l l y , e x t e n s i v e a n a l y s i so nt h ea v e r a g ei n v e s t i n gt i m ei sg i v e nt oi l l u s t r a t eo u r r e s u l t k e yw o r d s ：d y n a m i cv a r ，f i x e dc o s t ，r e a li n v e s t m e n t ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ，d y - n a m i cp r o g r a m m i n g 插图 1 1 论文组织结构图1 5 2 1 控制空间的图形左图相应于南 a 的情形，右图则是相反情况2 3 2 2 控制空间图形其中实线相应于情形1 ，点划线相应于情形2 、3 3 6 2 3 最优策略u ，a 曲线3 6 2 4 最优策略下财富过程霹模拟曲线其中细实线代表z 1 = 3 1 6 3 1 3 7 2 5 最优策略下的财富过程及最优策略模拟曲线3 7 2 6 最优策略下的收益率与波动率模拟曲线3 8 3 1 最佳投资策略5 1 3 2 固定交易费用与临界点、破产概率关系曲线5 2 3 3 固定交易费用与临界点、破产概率关系曲线5 3 4 1 保险公司破产概率随财富的变化6 6 4 2 不同投资效果时投资阀值随投资金额的变化6 7 5 1 最优策略下保险公司盈余过程轨迹8 1 5 2 最优策略下保险公司破产概率曲线8 2 5 3 最优策略q + 8 2 5 4 不同市场环境下( 牛市与熊市) 项目投资门槛变化曲线8 3 6 1 a 1 = 1 5 ，2 0 ，2 5 时平均等待投资时间图形这里我们设参数c = 2 ，肛= 0 4 ，r = 2 ，入o = 1 ，= 1 9 7 6 2 平均等待投资时间e 2 【r 】与投资成本，关系曲线这里我们设参数z = 1 ，c = 2 ，p = o 4 ，r = 2 ，入o = 1 9 7 6 3 平均等待投资时间e 霉【7 - 1 与贴现率r 关系曲线这里我们设参 数z = l ，c = 2 ，p = 0 4 ，知- p1 ，i = 1 9 8 保险公司风险控制与投资策略研究 6 4 平均等待投资时间酽【丁】与单位时间费用c 关系曲线这里我们设 参数z = 1 ，p = 0 4 ，a o = 1 ，i = 1 ，= 2 9 8 6 5 技术投资之前公司注入资金总额与公司费用率的关系9 9 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对文章的研究作出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：陈树敏 日期：2 0 1 0 年4 月1 0 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，p p 学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料 室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、 缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：陈树敏 日期：2 0 1 0 年4 月1 0 日 导师签名： 日期：年月日 第一章绪论 1 9 9 4 年、1 9 9 5 年随机控制首度被应用于保险精算的研究( 见m a r t i n - l s f ( 1 9 9 4 ) ，b r o c k e t ta n dx i a ( 1 9 9 5 ) 及b r o w n e ( 1 9 9 5 ) ) 自那时起，保险公司再保 险、投资、分红等决策问题的研究受至u s o r e na s m u s s e n ，m i c h a e lt a k s a r ，b j 盯n e h o j g a a r d ，h a n s p e t e rs c h m i d l i 等众多学者的高度关注，并取得长足的进展本章 将对以往研究工作进行简要的回顾，进而导出本文的研究内容、研究目的 1 1保险公司风险控制与投资组合文献综述 1 1 1 风险模型 本文主要考虑( 非寿险) 保险公司，证券投资、实物投资及再保险问题这些 问题研究的起点是保险公司的现金流变化，也称盈余过程( s u r p l u sp r o c e s s ，或风 险过程，r i s kp r o c e s s ) 描述保险公司盈余过程的模型也称为风险模型不考虑 投资、再保险等决策过程，常用的保险公司风险模型包括c r a m 6 r - l u n d b e r g 模型 和扩散模型 经典风险模型保险公司的业务风险主要来源于投保人可能的索赔，包括 索赔额度和索赔次数经典风险模型c r a m 6 r - l u n d b e r g ( c l ) 模型( 见l u n d b e r g ( 1 9 0 3 ，1 9 2 6 ) ，c r a m 6 r ( 1 9 3 0 ，1 9 5 5 ) ) 采用复合p o i s s o n 过程 来描述投保人可能的索赔，其中 n t h 0 是跳跃强度为a 的时齐p o i s s o n 过程，记 录了到时刻为止投保人向保险公司索赔的次数；独立同分布随机变量k ，i = 1 ，2 ，表示每次索赔的额度；m 与m 相互独立作为承担风险的回报，保险公司 单位时间向投保人收取保费c 记保险公司初始盈余资金为z ，则保险公司盈余 过程满足 r t = z + 以一& ( 1 1 ) 1 保险公司可分为两大类：寿险保险公司与非寿险保险公司，其中寿险保险公司负责出售人寿保险保险 单和人身意外伤害保险单，出售其他类型的保险的保险公司统称非寿险保险公司按国家规定，两者必须 分开经营 k 肌：l = & 2保险公司风险控制与投资策略研究 一般的，保险公司采用期望原则2 来计算保险费率，即 c = ( 1 + 7 7 ) a e m ， 其中7 7 o 称为风险载荷系数c r a m 4 r - l u n d b e r g 模型作为经典的非寿险风险 模型，其主要优点是可以通过这一模型计算出保险公司盈余的分布函数而它 的缺点也很明显：模型过于简单，因此无法用于解决实际问题由于对c r a m 4 r - l u n d b e r g 模型研究得出的诸多结论对于解决实际问题有一定的借鉴意义，且 研究所采用的技巧、方法也适用于更复杂、更实际的模型，女f l s p a r r ea n d e r s e n ( 见m e n ge ta 1 ( 2 0 0 7 ) ，y a n ga n dz h a n g ( 2 0 0 8 ) ，l a n d r i a u l ta n dw i l l m o t ( 2 0 0 8 ) ， z h a n ge ta 1 ( 2 0 0 9 ) ，l a n d r i a u l ta n dw i l l m o t ( 2 0 0 8 ) ，a l b r e c h e re ta 1 ( 2 0 0 5 ) ， c h e u n ge ta 1 ( 2 0 l o ) ) 和带m a r k o v 调制的风险模型( 见l ua n dl i ( 2 0 0 5 ) ，z h ua n d y a n g ( 2 0 0 8 ) ，g a oa n dy a n ( 2 0 0 8 ) ，l ia n dl u ( 2 0 0 7 ) ) ，因而c r a m 4 r - l u n d b e r g 模 型仍然受到广大学者的关注 扩散模型1 9 9 5 年，b r o w n e 在他的研究工作“o p t i m a li n v e s t m e n tp o l i c i e s f o raf i r mw i t har a n d o mr i s kp r o c e s s ：e x p o n e n t i a lu t i l i t ya n dm i n i m i z i n gt h e p r o b a b i l i t yo fr u i n ”中采用扩散模型 r t = z + q + p 叫t( 1 2 ) 来描述保险公司的盈余过程，并用随机动态规划的方法讨论了保险公司的投资 策略问题由于标准b r o w n 运动的良好性质，采用扩撒模型研究保险公司决策问 题时经常可以得到显式表达式，因而扩散模型被广泛应用于研究保险公司再保 险、投资、分红及融资等问题，并得到许多有意义的结果( 见h o j g a a r d ( 1 9 9 7 ) ， a s m u s s e ne ta 1 ( 2 0 0 0 ) ，t a k s a r ( 2 0 0 0 a ，b ) ，t a k s a ra n dm a r k u s s e n ( 2 0 0 3 ) ，t a k s a r a n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) ，h ee t 以( 2 0 0 8 ) ，l u oe ta 1 ( 2 0 0 8 ) 等) 此外，扩撒模型可作为c l 模型的近似当 q = c a e m ， p = 厕， 从数学的角度( 1 2 ) 就是过程( 1 1 ) 的近似严格的数学的推导可见t a k s 盯( 2 0 0 0 b ) 关于扩散模型的更多背景含义可见i g l e h a r t ( 1 9 6 9 ) ，h a r r i s o n ( 1 9 7 7 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 2 此外还有方差原则、修正方差原则、标准偏差原则、指数原则、零效用原则及风险调整原则等， 见s c h m i d l i ( 2 0 0 s ) 第一章绪论 3 应当注意的是，扩散模型只适用于大型保险公司直观上，对于规模较大 的保险公司来说投保人的索赔次数较多而索赔数目( 相对于保险公司的盈余) 较 小，每一次的索赔可以看做一个白噪声扰动，因而用可以( 1 2 ) 描述保险公司的盈 余而当保险公司的规模较小时，以上直观背景不成立，因此不能采用扩散模型 更多保险公司风险模型可参考m o r a l e s ( 2 0 0 7 ) ，z h a n ge ta 1 ( 2 0 i o ) ，c a ia n dl i ( 2 0 0 5 ) ，b a o ( 2 0 0 6 ) ，l ia n dl u ( 2 0 0 5 ) 1 1 2 保险模型的几个问题 保险公司可以通过一系列的策略来管理盈余、控制风险这些策略包括再 保险、投资、分红、融资以及以上策略的组合 1 1 2 1 再保险问题 再保险( r e i n s u r a n c e ) 也称分保，是保险公司在原保险合同的基础上，通过签 订分保合同，将其所承保的部分风险和责任向其他保险公司进行保险的行为 通过再保险业务，保险公司降低了自身的风险常见的再保险包括比例再保 险( p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) g z ：超额损失再保险( e x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c e ) 在比例再保险中，对每一次索赔k ，保险公司与再保险公司根据再保险比例 a ( 0 ，1 ) 分别向投保人支付o k 及( 1 一o ) k ，同时保险公司单位时间向再保险 公司支付费用 ( 口) 一般的，再保险费用由期望原则计算 h ( a ) = ( 1 + 口) ( 1 一o ) 入e 【k 】， 其中风险载荷因子p 7 7 若口 7 7 ，比例再保险存在交易费用( n o n - c h e a p r e i n s u r a n c e ) ，否则比例再保险没有交易费用( c h e a pr e i n s u r a n c e ) 在超额损失再保险中，对每一笔索赔额m ，保险公司与再保险公司应分别支 付m i n ( y _ f ，6 ) 及( m 一6 ) + = m a x ( y t b ，o ) ，其中常数b 由再保险协议确定再保险 的单位时间费用为 h ( b ) = ( 1 + p ) a e ( m 一6 ) + 】 若p 7 7 ，再保险有交易费用，否则无交易费用 保险公司的最优比例再保险策略研究可参见h c j g a a r da n dt a k s a r ( 1 9 9 8 a ， b ) ，s c h m i d l i ( 2 0 0 1 ) ，t a k s a rs a dm a r k u s s e n ( 2 0 0 3 ) ，t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) h c j g a a r da n dt a k s a r ( 1 9 9 8 a ，b ) 采用扩散模型描述保险公司盈余过程，作者分别 4保险公司风险控制与投资策略研究 考虑了不存在存在交易费用的比例再保险问题，目标是最大化未来累积盈余期 望现值 e e - 6 t r t d t ， ，o 其中6 是贴现率， i o = i n f t 0 ：见o ) 表示保险公司破产时刻应用随机控制方法，作者给出了最优再保险策略及目标 函数的显式表达式 t a k s a ra n dh u n d e r u p ( 2 0 0 7 ) 考虑了同样的目标函数，且假定保险公司破产 时刻存在清算资产、比例再保险不存在交易费用作者同样得到最优比例再保 险策略及目标函数的显式表达式，而他们的分析也表明最优比例再保险策略依 赖于清算资产 s c h m i d l i ( 2 0 0 1 ) 则考虑如何通过带交易费用的比例再保险控制保险公司的 破产概率 m i n p ( 徇 o 。) ( 1 3 ) 作者分别用经典风险模型及扩散模型描述风险过程并在扩散模型下得到了 破产概率及最优再保险策略的表达式t a k s a ra n dm a r k u s s e n ( 2 0 0 3 ) 考虑了类 似问题，但假定保险公司将所有资产投资于一风险资产此外，在均值方差框架 下考虑最优再保险策略的文献可参考b i i u e r l e ( 2 0 0 5 ) 更多保险公司再保险策略 研究可参考c e n t e n oa n dg u e r r a ( 2 0 l o ) ，袁继红( 2 0 1 0 ) ，z h o ue ta 1 ( 2 0 l o ) ，y a m e ta 1 ( 2 0 l o ) ，m e n g ( 2 0 1 0 ) ，g u e r r aa n dc e n t e n o ( 2 0 1 0 ) ，z e n g ( 2 0 1 0 ) ，c e r q u e t i e ta 1 ( 2 0 0 9 ) ，b a u e r l e ( 2 0