（理论物理专业论文）缺陷效应对光子晶体波导透射率的影响.pdf

中文摘要 摘要：光子晶体是拥有光子带隙的新型光学材料。因为它能与现有的半导体材料 和工艺很好地结合，在未来的通信和光电集成行业具有巨大的应用前景，极有可 能成为未来光子产业的基础材料。 如果破坏光子晶体原有晶格的平移对称性或单元的几何、物理特性，其带隙 必然发生变化。按照空间结构的不同，通常将孤立的缺陷称为点缺陷；一维连续 分布的缺陷称为线缺陷：二维连续分布的缺陷称为面缺陷。由于缺陷的引入，在 完好的光子晶体的带隙中将产生局域缺陷态，进而由此使得光子晶体波导成为可 能。 本文采用有限时域差分法对光子晶体波导进行了研究。首先讨论了一维直光 子晶体波导微腔谐振态的传输特性。通过改变晶体圆柱的形状和介质对比度，有 效且有规律的提高了t e 模式下谐振态的传输透过率。 本文还引入了一种新的错位缺陷效应并将其应用于二维耦合光子晶体波导 中。实现了t m 模式下局域电磁光波在二维锐角耦合光子晶体波导的有效传输，使 得在全平面弯折光波成为可能。适当的缺陷错位保证了高的微腔耦合效率和光波 在弯折波导中的传输透过率。同时，不同程度的缺陷错位，又使得光波沿不同方 向弯折。 关键词：光子晶体；波导；缺陷； 分类号：0 4 3 1 1 j 匕塞銮垣厶堂亟堂 焦旦墨! 至 a bs t r a c t a b s t r a c t ：p h o t o n i cc r y s t a l sa r en o v e lo p t i c a lm a t e r i a l sw i t ht h ep h o t o n i cb a n d g a p s i n c ep h o t o n i cc r y s t a l s c a nb ei n t e g r a t e dw i t hs e m i c o n d u c t o rm a t e r i a l sa n d t e c h n o l o g yp e r f e c t l y , p h o t o n i cc r y s t a l sw i l lh a v eg r e a ta p p l i c a t i o np e r s p e c t i v ei n c o m m u n i c a t i o ni n d u s t r ya n do p t o e l e c t r o n i ci n t e g r a t e di n d u s t r yi nt h e f u t u r e t h e r ei sa n e x t r e m e l yp o s s i b i l i t yf o rp h o t o n i cc r y s t a l st ob et h ee s s e n t i a lm a t e r i a lo fp h o t o n i n d u s t r yi nt h ef u t u r e i ft h ef o r m e rp h o t o n i cc r y s t a ld i s c r e t et r a n s l a t i o n a ls y m m e t r yo rg e o m e t r i cs h a p e a n dp h y s i c a lp r o p e r t yo fc r y s t a lu n i td i s t u r b e d ，t h eb a n dg a pw i l lb ec h a n g e d u n d o u b t e d l y w i t hd i f f e r e n ts p a c es t r u c t u r e s ，g e n e r a l l y , i s o l a t e d d e f e c ta n do n e d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sd e f e c ta r ed e f i n e da sp o i n td e f e c ta n dl i n ed e f e c tr e s p e c t i v e l y , a n dt w od i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sd e f e c t sw i l lb ec a l l e dp l a n ed e f e c t b e c a u s eo f i n t r o d u c i n go fd e f e c t s ，s o m el o c a l i z e ds t a t e sc a nb eg e n e r a t e di nt h ef o r m e rp h o t o n i c c r y s t a lb a n dg a pa n dt h e n ，t h e r ei sap o s s i b l ef o rp h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d eb e c o m e sa t r u e i nt h i st h e s i s ，t h ef i n i t ed i f f e r e n c ef i n i t ed o m a i nm e t h o dw a sa d a p t e dt om a k e r e s e a r c ha b o u tp h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d e f i r s t l y , t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t yo f m i c r o c a v i t ys t a t ei no n ed i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d eh a sb e e nd i s c u s s e d b ym o d u l a t i n gt h ec r y s t a lc y l i n d e r ss h a p ea n dd i e l e c t r i cc o n t r a s t ，t h et r a n s m i s s i o nw i t h t er e s o n a n c em o d ec a nb ee n h a n c e dr e g u l a r l ya n de f f e c t i v e l y a l s o ，an o v e ls h i f td e f e c te f f e c th a sb e e ni n t r o d u c e da n da p p l i e di t i n t ot w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a lc a v i t yw a v e g u i d ei nt h i s t h e s i s i tr e a l i z e dl o c a l i z e ds t a t e w i mt mm o d et r a n s m i s s i o ni na c u t eb e n dc o u p l e dc a v i t yw a v e g u i d ei nt w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a la n dm a d eb e n d i n gl i g h ti nw h o l ep l a n eb e c o m eap o s s i b l e p r o p e rs h e a r e ds h i f t c a nm a k es u r eh i g h e rc a v i t yc o u p l i n ge f f i c i e n c ya n dl i g h t t r a n s m i s s i o ni nt h eb e n d i n gw a v e g u i d e a tt h es a m et i m e ，d i f f e r e n td e f e c ts h i f t sc a n b e n dl i g h tt od i f f e r e n td i r e c t i o n s k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ；w a v e g u i d e ；d e f e c t ； c i a s s n 0 ：0 4 3 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：嵌良 签字蹴炒7 年7 月日 3 9 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：j 宾 签字同期： 年7 月，p 日 导师签名：扬 签字日期：易夕年7 月f ，d 日 致谢 本论文的工作是在我的导师吕燕伍教授的悉心指导下完成的，吕燕伍教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来 吕燕伍老师对我的关心和指导。 吕燕伍教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给 予了我很大的关心和帮助，在此向吕燕伍老师表示衷心的谢意。 吕燕伍教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷 心的感谢。 在实验室工作及撰写论文期间，赵爱伦、唐占军等同学对我论文中的一些研 究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢家人父母黄崇文，殷浩园他们的理解和支持使我能够在学校专心 完成我的学业。 1 引言 科技是人类社会发展的原动力。正是不断发展的科学技术和层出不穷的科技 产品推动了人类社会的不断进步。上世纪半导体材料的发现与大规模应用引发了 上世纪轰轰烈烈的电子工业革命。由此开始，半导体材料成为了现代信息社会的 基石。半导体器件的普及程度到如今可以说是登峰造极的地步。大规模集成电路、 计算机、信息高速公路等等这些都是由半导体带来的。几乎所有的半导体器件都 是围绕如何利用和控制电子的运动，电子在其中起到决定作用。然而集成的极限 在可以预见的将来出现，这是由电子的特性所决定的。 然而，尽管半导体器件对社会和科学技术的推动是巨大的，但是随着科学技 术的进一步发展与进步，半导体技术在传输速度、集成电路小型化、空间相容性 等方面都已经不能满足科技的发展需求。与此同时，光子有着电子所不具备的优 势：速度快，彼此间不存在相互作用。于是，人们寄希望于制造出能与传统半导 体工艺很好结合的光子器件用以代替电子器件实现信息的全光网络传输，以提高 信息的容量和传输效率。 另一方面，在光电子领域中人们通常希望借由物质改变光的行为，从而达到 对光的控制和应用。通过在波长尺度上特定的物理结构的改变，使光波在物质中 的电磁特性也相应得到改变。如果人们能够设计出一种新型材料能够使光波仅在 一些特定的方向传播或者将其限制在一个特定的区域内，那么一个更大范围的技 术革命将成为现实。在过去的几十年中，在控制光在材料中传播的目标的强烈驱 使下，人们开辟了一个崭新的新型光电子材料领域一光子晶体。 韭室童亟左芏亟堂垃监塞盘壬昌往蚀盒 2 光子晶体简介 2 1 光子晶体概念 1 9 8 7 年e y a b n o l o v l t c h ”在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这一新概 念。几乎同时，s j o h n 2 1 在讨论光子局域时也独立提出。如果将不同介电常数的介 电材料构成周期结构，电磁波在其中传播时由于布拉格散射，电磁波会受到调制 而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带。光子能带之间可能出现带隙，即 光子带隙。具有光子带隙的周期性介电结构就是光子晶体，或叫做光子带隙材料， 也有人把它叫做电磁晶体。 在固体物理研究中旋现，晶体中周期性排列的原子所产生的周期性电势场对 电子有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中电子运动是由薛定谔 方程来决定。求解薛定谔方程就可以发现，电子的能量只能取某些特殊值，在某 些能量区间内该方程无解，也就是龅电子的能量不可能落在这样的能量区间，通 常称之为能量禁带。研究发现，电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体 的品格常数具有大致相同的数量绂。从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期 性分布的介质中，电磁场所服从的规律是m a x w e l l 方程。通过对m a x w e l l 方程的 求解可以发现，该方程只有在某些特定的频率下才有解，而在某些频率取值区间 该方程无解。这也就是说在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某 些频率是被禁止的，通常称这些被禁止的频率区间为“光子频率禁带”。频率落在 禁带的光在光子晶体中被完全禁止传播。 把在一维一个方向具有光子频率禁带的材料称为一维光子晶体。图1 1h 给 出了一种简单的光子晶体结构。它是由两种介质交替叠层而成的。这种结构在垂 直于介质的方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质柱平面上 介电常数是不随空间位置变化的。把二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的 材料称为二维光子晶体。典型的二维光子晶体结构是由许多介质杆平行而均匀的 排列而成的。这种结构在垂直于介质柱的方向上介电常数不随空间位黄变化。最 后，如果在三个方向上都存在周期结构则是三维光子晶体。 雨圈匿 刚l1 光子晶体依照介电常鼓周期性变化的维数，可以分为一维，二维及三维光子晶体 f i g i2s c h e m a t i co f l - d ，2 - d ，3 - dp h o t o n i cc r y s t a l ss t r u c h l r e 2 2 光子晶体特性 光子晶体的最根本特征是具有光子带隙，落在光子带隙中的光被禁止传播。 光子晶体材料介电常数的周期性变化可以类比于半导体中的周期性变化的势场。 在半导体中，由于布拉格衍射，周期性的势场导致了带隙的产生。那么加以类比， 同理可知，周期性的介电常数也将使光波受到类似的布拉格衍射的效应并且引发 光子禁带的形成。 光子晶体另外一个主要特性是光子局域。如果在光子晶体中引入某种程度的 缺陷，和缺陷态频率相吻合的光子将被局域在缺陷位置，一旦离开这个缺陷位置， 光强就会迅速衰减。当光子晶体理想无缺陷时，根据边界条件的周期性要求，不 存在光的衰减模式。但是一旦晶体原有的对称性被破坏，在光子晶体的带隙中就 可能呈现出频率宽极窄的缺陷态。如果在光子晶体中引入介电缺陷或介电无序， 光子也能呈现出很强的局域，即a n d e r s o n 局域。 此外固体物理以及半导体的许多概念和方法都可用来研究光子晶体中光子运 动上，比如态密度，倒易空间、布里渊区、色散关系、b l o c h 函数，平面波展开等。 但是光子晶体与常规的晶体有相同的地方，也有本质的不同。如光子服从的是 m a x w e l l 方程，电子服从的是薛定谔方程；光子波是矢量波，而电子波是标量波； 电子是自旋为1 2 的费米子，光子是白旋为l 的玻色子；电子之间有很强的相互作 用，而光子之间没有。 2 3 光子晶体应用 基于光子晶体独特的调节光子传播状态的功能，使它可以用来制作许多共性 能器件。特近年来光子带隙材料的应用主要集中在天线的设计，高性能反射镜的 制造、光子晶体光纤、实现低阈值激光振荡、宽带带阻滤波器的制造、极窄带选 频滤波器的制造、光子晶体谐振微腔以及光子晶体光波导等诸方面，前景非常广 阔。 2 3 1光子晶体微腔谐振 微谐振腔的制作对于光集成有着重要的意义，近年来受到广泛的关注。但由 于其尺寸小，用传统的金属谐振腔制作方法来制造微谐振腔时什么困难的。而且 在光波波段，传统的金属谐振腔的损耗十分大，品质因素也十分的低。而光子晶 体的点缺陷就是一个受完全反射壁包围的微谐振腔，其谐振频率对应于点缺陷的 3 定域态。光子晶体微腔的品质因子也可以做得非常高，同时光子的衰减吸收长度 可高达数公里。 2 3 2 光子晶体光波导 光波导师光电集成电路中光子器件的“导线”，传统的光纤传播在光纤转弯的 地方会出现一个问题：当波导的曲率大于一定值时，会出现很大的能量损失，只 有曲率半径远大于光波波长时，才能避免过多的能量损失。但是，当在光子晶体 中引入线缺陷，如果线缺陷的频率正好落在光子禁带中，就会形成一个光波导。 当线缺陷成一定角度时，光波导也成一定角度。这样光子晶体光波导【5 j 在理论上可 以在大角度弯曲下没有损失地传递能量。 2 3 3 光子晶体在光纤中的应用 传统的光纤中，光在中心的氧化硅芯内传播，是利用光的全反射来实现的， 光在传播中损耗很大。光子晶体光纤【4 】将空气纤芯包含在周期性排列的包层( 二维 光子晶体) 内，并使传输光的频率和光子禁带的频率相吻合。由于光子禁带的作用， 光波将只能沿着空气纤芯传播。和传统波导相比，光子晶体光纤的出现，大大减 低了传输光能量的损失。 2 3 4 光子晶体小型微波天线 传统的小型偶极平面微波天线的基底由g a a s 材料制成，其发射效率很低，大 部分能量被天线的基底所吸收或者散射消耗掉。若用光子晶体作为天线的基底， 把光子晶体设计成能使天线发射的电磁波的频率位于其光子带隙中，这样的光子 晶体能反射天线发射的微波，由于光子晶体的表面是一个理想的反射面，光子晶 体基底几乎部消耗能量，又不吸收电磁波的能量，从而大大的提高了平面微波天 线的发射效率。 2 3 5 光子晶体高性能反射镜 频率落在光子带隙中的光子或电磁波不能在光子晶体中传播，因此选择没有 吸收的介电材料制成的光子晶体可以反射从任何方向的入射光，反射率几乎为 1 0 0 。这与传统的金属反射镜完全不同。光子晶体反射镜，因为对光波的吸收在 4 几个波长范围内，故因吸收光而产生的热量分布在较大的体积内，由此产生的光 子晶体反射镜的温度的升高值也比金属反射镜小得多，其表面不会被破坏。 总而言之，由于光子晶体的特点决定了其优越的性能，光子晶体还有其他许 多的应用背景，如光子开关，光延迟，光放大器，光聚焦器等。光子晶体带来了 许多新的物理现象，随着对这些新现象了解的深入和光子晶体制作技术的改进， 光子晶体更多的用途将会发现，对经济、对社会发展产生的影响将更加的巨大， 意义将更加深远。 2 4 本论文的工作 上面提到，光子晶体的点缺陷就是一个受完全反射壁包围的微谐振腔。光子 晶体中引入线缺陷，如果线缺陷的频率正好落在光子禁带中，就会形成一个光波 导。近来，大量研究工作人员将注意力放在设计新结构、寻找新材料上，以期获 得传播效率高的光子晶体波导。 本论文采用平面波展开法，首先从改变光子晶体散射子形状和介质对比度上， 讨论了其对一维光子晶体波导传输效率的影响，而后通过引入新的缺陷效应着重 对弯折波导进行了研究。提供了一种控制光子传播方向的新方法，并且设计出了 迄今为止最陡峭的弯折光子晶体波导。此方法对设计弯折波导具有一定的意义。 本论文各部分的主要内容如下：第三章介绍研究光子晶体的基本理论并举例推 导计算中使用的公式和算法；第四章介绍了一维光子晶体波导透射率与晶体散射 子形状和介质对比度的关系；第五章介绍了新的旋转态方法对二维光子晶体耦合 腔弯折波导透射传输的影响；第六章为论文总结。 3 光子晶体的理论研究方法 由于电磁场的矢量特性，光子晶体的理论模拟变得比较困难。尽管如此，几 种理论上的模拟和实验上的结果已取得了极好的一致。这些理论方法能比电子能 带理论计算方法更为完善，主要原因是线性光学是个单粒子问题，也就是说光子 之间不存在着库仑相互作用，而这在电子能带计算中则必须要考虑。以下是几种 用来计算光子晶体带隙结构以及缺陷模等的理论与数值计算方法，所有的方法都 是基于经典的电磁场理论。 3 1 平面波展开方法 3 1 1 平面波展开方法的特点 在计算光子晶体能带结构中，平面波展开法【5 ，6 】直接应用了结构的周期性，将 m a x w e l l 方程从实空间变换到离散傅立叶空间，将能带计算简化成代数本征问题的 求解。应用超元胞技术【7 】，平面波展开方法也可推广应用于分析光子晶体a n d e r s o n 局域态和光子晶体波导本征模。平面波展开方法是光子晶体理论分析方法中应用 最早和最广的一种方法，也是本论文计算采用的方法。 3 1 2 二维光子晶体能带计算 假设在无源( 电荷密度p = 0 ，电流密度= 0 ) 、无损( 电导翠仃= 0 ) 、线性、均 向、非色散、非磁性( 相对磁导率从= 1 ，磁导率= 风) 时，可将m a x w e l l 方程组 写成如下形式： v 日= 昙k ( 佃( 巧f ) ( 3 1 ) v e ：嗍掣盟 ( 3 2 ) o t v s ( ，) e ( ，f ) ) - - - 0 ( 3 3 ) v 日( ，f ) = 0 ( 3 4 ) 占( ，) 为介质介电系数，d 为电位移矢量，e 、日分别为电场强度、磁场强度。 6 为1 f 计算万使，将电场与磁场写成相量表不式： e ( r , t ) = e ( r ) e 砌 ( 3 5 ) h ( r , t 1 = h ( r ) e 喇 ( 3 6 ) 对于二维光子晶体，由于波矢方向平行于二维晶体平面，即光波仅在x y 平 面传播，而在z 方向保持不变，所以介电常数，电场和磁场分布均与纵轴坐标无关。 根据( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我们能得到如下一组方程： 杀e ( ，f ) = 一鳓昙皿( ，f ) ( 3 7 ) 昙e ( ，f ) = 风昙够( ，f ) ( 3 8 ) 舐a - - - h y ( ，r ) 一言致( ，) = 氏占( ，) 昙最( ，r ) ( 3 9 ) - - 巩- oh ：( ，f ) = s ( ，) 昙e ( ，f ) ( 3 1 0 ) 缸0h ：( ，f ) = 一氏占( r ) 昙髟( ，f ) ( 3 1 1 ) 丢e ( ，) 一品e ( ，) = 一心l 西h ：( ，r ) ( 3 1 2 ) 这里，并不再是o ，y ，z ) 的函数，而只是二维位置矢量o ，y ) 。在上述前3 个方程 中消除只( ，f ) 和q ( r , t ) ，于后3 个方程中消除e ( r , t ) 和e ( r , t ) ，并利用式( 3 5 ) 及( 3 6 ) ，则分别得到电场极化和磁场极化的二维光子晶体的色散关系方程： 一丽1 。丽0 2 + 等吲，) _ 7 c 0 2e ( ，) ( 3 1 3 ) 一 昙去昙+ 昙去导 皿( ，) = 等皿( ，) c 3 4 ， 由于光子晶体的结构周期性，b l o c h 定理，有 e ( r ) = 扩一 ( r ) ( 3 1 5 ) 并且有： u ( r + r ) = 砧( ，) 其中r = m l a l + 朋2 a 2 + m 3 a 3 为格矢。 将e ( ，) 在倒格子空间用平面波展开： e ( ，) = ze ( a 叶 ( 3 1 6 ) 7 其中，g = _ 勿+ h 2 b 2 + 吃岛为倒格矢。 同理可将s ( ，) _ 在倒格子空间用平面波展开： 丽12 善r ( g ) 。， 将式( 3 1 5 ) 和( 3 1 7 ) 分别代入式( 3 1 3 ) ： 荟巾妙( 昙+ 争萎印：妒呐”= 等荟印，妒圳”j ( 3 1 7 ) r ( g 。少。i 尼+ g ：1 2e ( g ：) e i ( g 2 + k ) o r _ _ 箸e ( g ，妒圳叮 ( 3 1 8 ) g i g 2 o g 1 将式( 3 1 8 ) 两边同乘j p 埘7 办得： r ( g 。p ”i k + g ：1 2e ( g ：) 皖g l + g ：矿等e ( g ，战刚 g l g ， ， g 1 g 3 = g l + g 2 ( 3 1 9 ) 将式( 3 1 9 ) 再代入( 3 1 8 ) 即可得到二维光子晶体平面波展开电场分量色散 关系： kg - g ：) l k + c ：1 2e ( g ：) = 箸e ( g 3 ) ( 3 2 0 ) u 2 v 同理可得二维光子晶体平面波展开电场分量色散关系： 盯( g 3 - g 2 ) ( 尼+ g ：) ( 尼+ g ，) = 等2 日( g ，) ( 3 2 1 ) 3 2 有限时域差分法( f d t d ) 3 2 1f d t d 特点 时域有限差分法( f d t d ) 【8 9 1 是k s y e e 在1 9 6 6 年首次提出的一种电磁场数值 计算的新方法。对电磁场e ，h 分量在空间和时间上采取交替取样的离散方式，每 个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量 的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电 磁场。在计算中，将计算区域划分成许多网格单元，将介质参数赋值给每个网格 单元，并将空间某一网格单元的电场( 或磁场) 与周围格点磁场( 或电场) 直接相关 联，因此该方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问 题。设置周期边界条件就可计算无限大的光子晶体，设置吸收边界条件就可以计 算有限大小的光子晶体。同时，f d t d 的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间 演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化结果可以清楚地显 示物理过程，便于分析和设计。 3 2 2y e e 元胞 三维矢量m a x w e l l 方程为： v 日：s 丝+ 仃e( 3 2 2 ) a t v e = - a 掣一吒日 ( 3 2 3 ) 其中f 为电场强度，为磁场强度，占为介电常数，为磁导率，o r 为电导率，吒 为等效磁阻率，引入等效磁阻率的目的在于使方程具有对称性。 在直角坐标系中，( 3 1 ) 、( 3 2 ) 式写为： 熹一鲁= 叫警一q - 二一o = 一“o r h 卸 貌 a t m 警一鲁= 叫警一q 2 一：- = 一“一r rh 钯8 x 。 a t m y 鲁一鲁= 叫r 鲁一吒皿 一2 = 一j l 一，rh a ) c巩。8 t m ： ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 下面将( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 式进行差分离散。令( x ，y ，z ，f ) 代表e 或1 t 在直角坐标系中 某一分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示： x ，y ，z ，t ) = f ( i a x ，缈，k a z ，n a t ) = f “( f ，歹，k ) ( 3 2 6 ) 对厂( 五少，z ，f ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 9 巨 弓 e 。 l ：i l s l ：i + + + 甄一办哆一钟组一街 占 s 占 = = = 堡恕堡锄畔一砂 阻一砂饵一瑟哆一苏 ! ：( ! 二墨：兰：! ! 二! ：( ! 二圭：兰：! a x 三：( ! ：兰二墨：竺3 二! ：( ! ：兰二圭：! 三 ! ：( ! ：兰：! 二圭) 二三：( ! ：兰：! 二圭) z ：! ! ! ：坌! 二：! f ! ：生! a t 图3 1f d t d 离散中的y e e 元胞 f i g 3 1y 曲c e l li nf d t dd i s p e r s i o n ( 3 2 7 ) 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图3 1 所示，这就是著名的 y e e 元胞。由图可见每个磁场分量由四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量 由四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律 和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于 m a x w e l l 方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外，电场和磁场 在时间上顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使m a x w e l l 旋度 1 0 剑1圳划0剑0 乙一 乙一 乙一 石一 w 一苏 w 一砂 w 一昆 ，m 一街 业苏 业砂 业昆业街 方程离散后构成显示成一组差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进 行矩阵求逆运算，使得计算更加快速，对计算机所要求的存储功能也更佳小。因 此，由给定相应电磁问题的初始值，f d t d 方法就可以逐步推进地求得以后各个时 刻空间电磁场的分布。 3 2 3f d t d 算法 先看( 3 2 7 ) 第一式。设观察点( x , y ，z ) 为e 的节点，即( i + 1 2 ，_ ，k ) ，以及时 刻扣( 靠+ 1 2 ) 血，于是，( 3 2 7 ) 第一式的离散为： “。刁坐一 小) 型掣捌 组2 8 ， ：竺：( ! ：圭：兰：圭：竺) 二兰! ：( ! ：圭：兰二圭：竺2 一竺睦竺翌! 睦竺二塑 矿舭 _ 坐一2 阻2 9 ， 掣( 气1 _ 七) = 翻( 咖e ( 1 。尼) 咧咖 丛一 一型垫韭a z 一 3 。， i 式中 嘶，5 猫2 趟 3 。 l2 z t m ) l 四( m ) 2 亟砸12 燕 溆3 2 ) 上式中的标号m = ( i + 1 2 ，j ，k ) 。同样方法分别对( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 式的其余各式 应用，则可得到另外5 个分量的差分方程表示式，有完全类似的形式。 模拟二维光子晶体波导时，一般只需要考虑二维空间的t e 模式或t m 模式，形式 上更加简单，只需在上面所述的三维的情况下去掉对坐标z 的依赖就行了。对于 t e 模式，只含有h ：、e 和e ，分量，对于t m 波则只含有e 、以和h ，分量分组 进行计算。下面( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 两式分别给出了二维t e 、t m 模式的e 。，h ，f d t d 公式。 e ，n + l ( 1 ，小嘶) f ( z + 割 + 凹f 朋) 竺! ：! ：( ! ：圭：兰二圭) 二竺! ：! ：( ! 二圭：兰二圭 3 3 3 f 1 i ；坨卜j 1 ， 掣( f ，歹) 式中c a ( m ) ，c b ( m ) 如( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 式定义，i j ic p ( m ) ，( 删) 有： cpfml：拦：1(r三竺(m!竺)a!tat 2 卿) 2 砸2 毳鼙 a t2 2 , u ( m ) 嘶) 2 砸12 型龟 a t 2 2 t ( m ) 1 2 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 、j h x，n、l 叫沪石 l 一2 l 一 卜 + 一 ，、沁一 叫曼 护r 日， 砖 比 、l-，、-， 历 x 凹 + 3 3 其他理论方法 除了以上这两种方法，人们也提出了其他多种光子晶体理论计算方法，如转 移矩阵方法【2 0 1 、多重散射法【2 l 】、格林函数求解法【2 2 】、紧束缚法【2 3 】等方法。这些方 法各有其优缺点，并且各有应用重点，比如格林函数求解法在求解谐振微腔本征 模式和能力辐射时就大有裨益，值得掌握和学习。 3 4 本章结论 本章介绍了几种最为常用的光子晶体理论分析方法，详细地讨论了平面波展 开法和时域有限差分方法( f d t d ) 。介绍了它们的特点，并对公式进行了详细地推 导。 4 一维光子晶体波导透射率与散射子形状及介质对比度的关 系 4 1 引言 光子晶体作为一种介电常数周期性排列的材料，通过将光波频率引入光子晶 体带隙给我们提供了一种控制光传播的机会。这个“带”是一个十分重要的概念， 它通常用来解释大量物理现象和现代物理理论。比如：量子力学，半导体物理等 等。一些非常杰出的科学家通过自组装的方法【1 4 】甚至设计出了一种具有足够宽光 子带隙的三维光子晶体，在可见光频段阻绝了光子在任何方向的传播。除此之外， 光子带隙材料也可以在一些时候获得强的光子局域。通过在光子晶体中引入缺陷 产生高局域的光子态【1 5 】。 在过去几年中，众多研究者已经指出缺陷的存在能够导致高品质因素的谐振 局域光子斜1 6 】。通过形成点缺陷，将使得捕捉谐振腔模式称为可能，它也能够帮 助人们制作出窄带滤波器。现在，已经知道三维光子晶体有能力在任何方向阻断 光子模式对外界的耦合。然而，不同于三维情况，一些一维和二维的系统，比如 一维波导，由于不完全的光子禁带，其缺陷模式则不会被完全局域。 本章所要探讨是，一维光子晶体波导透射率与散射子形状及介质对比度的关 系。通过有限时域差分的方法，本章着重对一维光子晶体波导微腔周围结构进行 了讨论，并观察和分析其对波导透射率的影响，希望有效的提高谐振频率下t e 模 式的传输率。 4 2 计算模型及公式 本章考虑的计算模型是一个在介质条上周期性穿孔的一维光子晶体波导，改 变两个位于最中心的空气柱的相隔距离来引入波导缺陷微腔。空白部分为空气柱 散射子，深色部分作为波导的介质背景。中心缺陷的每一边则分别有4 个周期性 排列的空气柱。在所有的模拟计算中，最近的两个空气柱相隔距离设为光子晶体 的晶格常数a ，而微腔长度即最中心的空气柱的相隔距离为2 口，波导介质宽度1 2 吼 空气柱半径0 3 6 a 。如图4 1 所示。 1 4 图4 1 一维光子晶体计算模型示意图 f i g 4 1t h ec a l c u l a t i v em o d e l 在引言中提到，不同于三维情况，一些一维和二维的系统，比如波导，由于 不完全的光子禁带，它的缺陷模式是不会被完全局域的。也就是说在这些系统中， 缺陷模式是一个泄露模式。这个模式除了会将能量传导到波导中也会将一部分能 量慢慢的泄露到波导周围的空气中，微腔同时具有两种能量衰减机制【1 7 】。不过， 幸运的是，正是这种特性的存在使得处于谐振频率的入射光波能够和微腔产生谐 振耦合并由此在波导术端得到高的谐振透射峰值。 事实上，对于非完全光子禁带的系统，这两种衰减机制都将对总的缺陷模式 衰减率做出贡献。总的缺陷品质因素服从如下公式【1 8 】： q _ 玄+ 扩 d 式中1 q w 表示对波导的耦合，1 q ，则表示对泄露辐射模式的耦合。根据模式耦合 理论，通过波导的谐振峰值符合公式f 17 】： 酏) - ( 睨) 2 - ( 彘灿卜署加】 2 ) 式中o ( q w q r ) 2 ) 是一个无限小量。从( 4 2 ) 式可以看出，如果想要得到高的波导 透射率那么就要要求o r q w ，并且对于窄带滤波或其他光子器件，同时还希望q ， 越高越好。 另外，整个模拟计算中还需要了解光子晶体t e 模式下的主方程： 瓦a 丽1 丢q - 号南专 力= 等摹力 h3 ， 方程中( ) 是光子晶体x y 平面相对介电常数，w 是本征频率， 以( 吻，f ) = 皿( r ) e 咖，h _ - ( 吻) 是波方程的本征波函数。事实上，无论利用什么方 法来计算光子晶体，比如平面波方法，格林函数法，有限时域法等等，都必须指 出它们都是从这个主方程衍生而来。 1 5 4 3 结果与讨论 已知对于非完全光子禁带的微腔，存在两种衰减机制。它们对总的缺陷模式 衰减率都具有影响。并且希望q r q ，来以此获得高的波导透射率。因此在本 章的讨论中我们就将如何优化衰减模式作为关键进行讨论。分别考察波导介质， 中心介质柱大小及其介电对比度对光波透射率的影响。 4 3 1改变波导介质的情况 图4 2 给出了不同波导介电常数与光波透射率的关系图。 o 1 0o 1 5o 2 0o 。2 5o 3 0o 3 50 4 0 ( 2 靠c ，口) 图4 2 波导介电常数分为1 0 ，1 3 ，1 6 的光波透射谱 f i g 4 2t h e o r e t i c a lt r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo f w 。1 0 ，2 1 3a n d w 2 1 6 由于缺陷存在，由图4 2 ，t e 模式下可以清楚地看到一个光子晶体带隙。在 其带隙中间存在一个极为陡峭的透射峰，而其余范围则均处于极低的透射区域。 对于不同的波导背景介质，透射峰值也不同。在介质为。= 1 0 ，1 3 ，1 6 的三种情 况下，分别有6 3 4 ，4 9 7 2 6 5 的透射率。对比这三组数据，可以看出波导介质 与空气柱的介质对比度越高，则透射率越低。事实上，除了这三种情况，令波导 介电常数为其它值，同样能够发现计算结果具有波导介质与空气柱的介质对比度 越高，透射率越低的这种趋势。观察图4 2 还可以发现另一个现象：尽管通过改变 介质对比度谐振峰值可以大幅提升，但是谐振频率却也随之发生很大程度的平移。 在以上三种情况中，随着对比度的改变，谐振频率分别位于0 2 3 6 ，0 2 0 9 ，0 1 9 0 。 1 6 o 8 6 4 2 o 1 o o o o o 4 3 2 改变中心空气柱介质的情况 根据以上讨论，由于存在本征频率的移动，我们放弃改变整个波导介电常数 的想法转而将注意力放在最靠近缺陷的两个空气柱上。假设波导介质为1 3 ，并且 使两中心柱不再为空气，而分别令其介电常数为l ，6 ，9 ，计算透射谱有图4 3 。 1 o o 8 盘 。20 6 篁 警 o 4 芒 卜 o 2 o o o 1 0o 1 5o 2 00 2 5o 3 00 3 5o 4 0 t o ( 2 7 【c a ) 图4 3 两中心介质柱介电常数分为l ，6 ，9 的光波透射谱 f i g 4 3t h e o r e t i c a lt r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo f ，= 1 ，2 6a n d ( c ) ，2 9 如同第一部分计算的结果一样，图中清晰的出现了一个带隙和一个谐振峰。 两中心柱不同的介电常数，有着不同的波导光传输率：4 9 7 ，9 2 o ，和一个几 乎为1 的9 9 3 。但是和整体改变波导介电常数相比，对两中心柱介电常数的改变， 除了也可以大幅提高透射率之外，还能够发现谐振态的谐振频率仅仅只有微小的 变动。在此次计算中，不同的介电常数，对应的谐振频率分别为：0 2 0 9 ，0 2 0 1 和0 1 9 7 。其中频率0 2 0 9 与o 1 9 7 的误差率仅仅为0 2 0 9 的5 7 ，即粗略的可以认 为是同一频率。另外，和第一部分计算类似，可以发现图4 3 也同样存在一种变化 趋势：两中心柱介电常数，( ，l 驴以及忱印户来实现传导光波。一般说来，使 光波能够在连续的线缺陷弯折波导中得到传输，人们仅仅需要考虑弯折处的反射 损耗。但是，除了反射问题，耦合腔波导还需要考虑腔与腔之间耦合效率的问题。 也就是说要获得光波在弯折耦合腔波导中高效率传播需要更加复杂和精巧的设 计。然而，以上所有的波导，无论是二维三角格子结构中的6 0 。和1 2 0 。弯折波导还 是正方格子结构中的4 5 。和9 0 。弯折波导，弯折后的波导支路即波导的第2 支路( 在 本章中，为b r a n c h 2 所示) 均是沿着晶体单胞对称轴的方向延伸。又由于格子的点 群对称性，该支波导中传导的也是相对晶格对称的缺陷局域态。这样在正方格子 中，除t 4 5 。、9 0 。、1 3 5 。等典型弯角外，其他弯折波导的传输问题并没有得到很好 地解决。在本章中，我们将通过引入一个新型错位缺陷，提出一种新的直接旋转 局域态的方法，对更一般的锐角弯折光子晶体耦合腔波导进行考察和应用，并由 此达到提高光波谐振传输的目的。其间，于新的波导结构中，弯折后的波导支路 不再沿着晶格对称轴方向。透过调节不同的错位程度，我们可以有效地提高谐振 光波在耦合腔波导中的传播并且观察到相对于晶格非对称的缺陷态完成腔与腔之 间长距离耦合而同样实现光子传输。这一结果和方法将可以被运用于光开关、波 分复用器以及其他的光集成电路和光通信过程中。 2 l 5 26 3 5 0 弯折耦合腔波导 对于计算模型，我们首先考虑一个6 3 5 。的锐角二维光子晶体耦合腔波导。具 体结构如图5 1 所示。其中，介质柱的介电常数为1 1 9 ，半径为0 2 口而晶格常数 为a 。模型中，因电场e 始终保持和圆柱型介质柱的轴平行，由此在所有的计算 中，仅需考虑t m 电磁光波模式。为构建一个耦合腔波导，其中8 个和另外的3 个介质柱将被半径为0 1 口，介电常数为6 的介质柱代替成为波导的耦合微腔结构， 并且分别以一定的( 耦合) 距离周期性的分布在波导的第一支和第二支上。 豢豢移謦豢謦囊豢謦囊孽参参謦 百 图5 16 3 5 。中弯折二二维光子品体耦合腔波导结构 f i g 5 1t h es t r u c t u r eo f 6 3 5 。b e n d i n gc o u p l e d - c a v i t yw a v e g u i d ei na2 - dp h o t o n i