（应用数学专业论文）非齐次方程混合问题的边界条件齐次化和分离变量法.pdf

硕士学位论文 h 【a s t e r st h e s i s 摘要 用分离变量法求解偏微分方程中的混合问题时，要求第一、二、三类边界条件 是齐次的。若边界条件是非齐次的，则必须寻求适当的辅助函数u o ，f ) ，进行变换 使其边界齐次化。本文对一个一般定解问题的非齐次边界条件的齐次化方法进行了 讨论，给出一个辅助函数u ( 工，f ) 的通式，并利用函数待定系数法，给出了九种非齐 次边界条件下的辅助函数u o ，f ) 的具体形式，从而彻底解决了边乔条件齐次化问 题；在此基础上，利用分离变量法求出了齐次方程在九种齐次边界条件下的解。 关键词：分离变量法；非齐次边界条件；齐次边界条件；齐次化 a b s t r a c t w i 磁1w el l s e l ev 撕a b l e - s 印a r a t i n gm e t l l o dt 0s 0 1 v e 廿l em 议e dp r o b l e mo fm e p a r t i a ld i 彘r e n t i a le q u a l i o n t l l eb o 吼d a 巧 c o n d i t i o 璐 o fc 1 嬲s 1 ，2 0 r 3 m u s t b e h o m o g e l l e o l l s i ft l l ep r o b l e mh a u sm en o n - h o m o g e n e o u sb o l l i l d a 巧c 伽l d i t i o n s ，a n a l i l i 龇vf m l c t i o ns h o u l db ef o l l i l dt 0 廿a n s f b ri tt ob e 瑚1 d e r 也ec o n d i t i o 璐o f h o m o g e i l o u sc o n d i t i o n so f h o m o g e n e o u sb o l l l l d a 巧c o n d i t i o n s h l 1 i sp a p f i r s t l yw e d i s c l l s sp r o b l e m so fn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i _ t i o n st og e tt h eg e n e r a lm e m o d 觚dr e s u l t so f t 1 0 wt 0s e l e c tt t l ea u x i l i a r y 如n i m o n ，a n dt l l e ng i v e 也ea l i l i a r yf i l n c t i o i l s u i l d e rm en i i l en o n - h o m o g c i l e o u sc o n d i t i o n s u n d e rn l i s ，w es o l v em eh o m o g 髓e o u s e q u a t i o nu n d e r t 1 1 e1 1 i n eb o u n d a 拶c o n d i t i o i l sb yu s i n gv 撕a b l e s 印a r a t i n gm e m o d 1 ( e yw o r d s ：撕a b l e s e p a r a t i n gm e t h o d ；n o n - h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n ； h o m o g e n e o u sb o u i l 幽l r ) rc o n d i t i o n ；h o m o g e l l i z a t i o n 硕士学位论文 l - t a s t e r 7st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：l 求p 期：加8 年，月2 汨 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 耋式l 基， 日期：2 晰罗月五日言篡终赫 日期：力叻缪年夕月矽日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃重途塞握童卮溢卮! 旦圭生；旦二生；鱼三玺筮鱼! 锄张耘乡z ， 日期：伊8 年y 月哆日 1 引言 在偏微分方程中，求解混合问题的一个最普遍的基本方法就是分离变量法，即 f o u r i e r 法【l - 7 1 。分离变量法不仅适用于波动方程，也适用于热传导方程、调和方程， 以及某些形式更为复杂的方程和方程组。分离变量法的实质是将问题转化成由常微 分方程和边界条件构成的特征值问题。如果定解问题是带有非齐次边界条件，一般 不能构成特征值问题。因此，求解非齐次混合问题必须处理非齐次项，便之齐次化， 然后利用分离变量法来求解混合问题。 探讨非齐次方程混合问题的边界条件齐次化【h5 】是一种非常有意义的工作。文 【8 1 分别给出了第一、二、三类边界条件齐次化的辅助函数，文【叼分别给出了稳定、 不稳定非齐次边界条件齐次化的辅助函数。文【1 0 】给出了一个一般定解问题齐次化方 法，分九种情形给出了辅助函数，等等。 本文首先对一个一般定解问题齐次化方法进行讨论，给出一个辅助函数的通 式，并利用函数待定系数法，给出九种非齐次边界条件下的辅助函数的具体形式， 从而彻底解决边界条件齐次化问题；然后，在此基础上利用分离变量法，讨论在不 同的齐次边界条件下求解混合问题的具体方法与步骤。 硕士学位论文 h u 婚t e r st h e s i s 2 非齐次边界条件的齐次化 2 1 非齐次边界条件齐次化的一般方法 非齐次边界条件齐次化的总原则是： ( 1 ) 适当选取一个未知函数的代换，使之对未知函数来说，边界条件是齐次 的，通常令 “o ，f ) = 1 ，“f ) + u ( 石，f ) 使得v ( 石，f ) 满足齐次边界条件； ( 2 ) 辅助函数除应满足原给的非齐次边界条件外，还应考虑构造得越简单越 好。 本文考虑一般定解问题： 三“= 缸+ 厂( 石，f ) ， 0 o ) ，即左端第一类、右端第三类非 齐次边界条件 l “( o ，f ) = 鸬( f ) ， 【蚝u ，f ) + 砌( ，f ) = 心( f ) 则由( 1 5 ) 一( 1 8 ) 可得 = 一( 1 + 五班彳( f ) 2 志【z ( f ) 一 鸬( f ) 】，b ( f ) 2 “( f ) ， 从而辅助函数为 u ，f ) 2 r 南【z ( f ) 一五“( f ) 】+ 鸬( f ) ( 5 ) 口。= 1 ，届= 一五，= o ，殷= l ，( 五 o ) ，即左端第三类、右端第一类非 齐次边界条件 l 甜，( o ，f ) 一五“( o ，f ) = “( f ) ， 【“( ，f ) = 鲍( f ) 则由( 1 5 ) 一( 1 8 ) 可得 = 1 州，) = 南) + 饥( f ) 】，础) = 南 舭) 叱( f ) 】， 从而辅助函数为 【，( x ，f ) = r 南 “( f ) + 五鸬( f ) 】+ 五 鸬( f ) 一，h ( f ) 】 ( 6 ) a 。= 口：= l ，层= 屈= o ，即两端都是第二类非齐次边界条件 i “，( o ，f ) = m ( f ) ， 【“，( ，f ) = 鸬( f ) 则由( 1 9 ) 一( 2 1 ) 可得 c ( f ) = 去【版o ) 一“( f ) 】， d ( f ) = “( f ) ， 7 从而辅助函数为 u ( 彬) 2 寺【鸬o ) 一“o ) 卜矾( f ) ( 7 ) q = = 1 ，届= o ，屐= j l ，( j i l o ) ，即左端第二类、右端第三类非齐次 边界条件 i ( o ，f ) = “( f ) ， k ( ，f ) + j i i “( ，f ) = 鸬( f ) 则由( 1 5 ) 一( 1 8 ) 可得 = j j l ， ) 2 h ( 如删2 去 鲍( 沪( 1 捌) m ( f ) ， 从而辅助函数为 【，( 刈) 2 矾( f ) + 去【鸬( f ) 一( 1 州) h ( f ) 】 ( 8 ) q = = 1 ，届= 一办，屈= o ，( 办 o ) ，即左端第三类、右端第二类非齐 次边界条件 f “。( o ，f ) 一乃甜( o ，f ) = 。( f ) ， 【“，( ，f ) = 鸬( f ) 则由( 1 5 ) 一( 1 8 ) 可得 = 办， 彳( f ) = 一心( f ) ， b ( f ) 2 寺【鸬( f ) 一h ( f ) 】， 从而辅助函数为 u ( 蹦) = 一x 鸬( f ) + 爿鸬( f ) 一“( f ) 】 ( 9 ) = 口：= 1 ，屈= 一 ，屈= 五，( 五 o ) ，即两端都是第三类非齐次边界条件 k ( o ，f ) 一办“( o ，f ) = “( f ) ， k ( ，f ) + “( ，f ) = 以( f ) 则由( 1 5 ) 一( 1 8 ) 可得 = 肥州) ，雄) = 南 舭) + 舭) 】，即) = 而 以沪( 1 州) 聃) ， 从而辅助函数为一 ? 力= 高【舭) + 水) 卜丽瞰旷( 1 删) 小) 】 硕士学位瓷文 m a s t e r st h e s l s 3 分离变量法 3 1 分离变量法的一般理论 在这里我们只讨论定解问题( 1 ) 一( 4 ) 的特殊情形，即波动方程的混合问题 l 材群一口2 = 厂( 而f ) o z o ， ( i i ) “( x ，o ) = 9 ( 曲，“，( ) c ，o ) = y ( 力， o x ， lq ( o ，f ) + 层“( o ，f ) = “o ) ，口2 呶( ，f ) + 尾“( ，f ) = 鲍( f ) ， f o 首先，利用本文上一部分所得到的边界条件齐次化方法，使非齐次边界条件齐 次化；然后，由于方程和条件都是线性的，所以根据解的线性叠加原理和方程的齐 次化原理，可以将上述波动方程混合问题( i i ) 转化为下述混合问题( ) ： j “盯一口2 = o ， o 。时，方程c 2 4 ，的通解为 x ( 工) = c ic o s 瓦+ c 2s i n 尻， l o 血 砒，净呼 n ) 一 力 y ，l d认，1 r：一m2一川2一肋 4 吼 妥便。e 满足边界条件( 2 5 ) ，必须有 c l = o ，- c ls i i l 切+ c 2 c o s 劢= o ， 为了获得非零特解，必须要求乞o 且c o s 届= o ，即 打：军：氅尘，2 ，以 ， 刃 77 ” 从而得到所有的特征值 五一( ，学 2 ，幺 相应的特征函数为 以( 加qs i n 芝竽五，2 ，以 孓于丑，方程( 2 3 ) 的通解为 互( r ) = 口。c 。s ! 三生产r + 吃s i n 蔓三生亏手羔兰竺r ，后：1 ，2 ，甩， 其中吼，吃是任意常数。于是混合问题( i i i ) 的级数解为 吣力= 舭c o s 竺学嗍s i n 笠竽r 卜学x 由初始条件有 心 o ) ：妻删n 墼磐x 吲破 删，= 砉鼠旺竽s i n 学c 力， 由特征醐斗n 学扣政性得 卜洳小i n 学砒 k 赤s i n 学池 卅2 以 ( 3 ) = l ，屈= o ，口：o ，殷：l ，即左端第二类、右端螽一类齐次边界条倬 ，( o ，f ) = o ， 【“( ，) = o ， 硕士学位诧走 h 瞄心_ r e r 8t h e s l s 此时边界条件( 2 5 ) 为佐嬲。当枷时，方程( 2 4 ) 的通解为 打= 竿= 学，名 1麓 。? 五一( ，学 2 ，名 五( 加印s 墼磐五，2 ， ，：( r ) = ：c z 。c ：c ，s ! 学r + z t 。s i - ，! 。学r ，五：= = ，2 ，z ， 出力= 冰c o s 学s i n 学r c 0 s 学工 吣，o ) ：艺4c 。s 芝竽z 吲破 姒邶，= 善反生竽s i n 学删， 螨征函数系f c o s 学扣政眭得 篡兰匙。啦， 卜赤c o s 学础 一一 ( 4 ) q = o 屈= 1 ，= l ，屈= j l ，( o ) ，即左端第一类、右端第三类齐 次边界条件 i “( o ，f ) = o ， 【蚝( ，f ) + 砌( ，f ) = o 此时边界条件( 2 5 ) 为僻器( f ) _ o o 当m 时，方程( 2 4 ) 的通解为 x ( x ) = c lc o s 兄工+ 乞s i n 旯x ， 要使它满足边界条件( 2 5 ) ，必须有 q = 0 ，( 胁s 届一万s i n 届) q + ( 槭n 扔+ 何c 。s 忉) c 2 = 0 为了获得非零特解，必须要求乞o ，且t a n 劢= 一半 设孝= 射，p = 一去，则有t 孤毒= 硝，此方程的根可看作是曲线y = t 孤善与 ，z f 直线少= 苈的交点的横坐标。显然它们有无穷多个交点，于是方程t a l l 善= 心有 无穷多个根，且关于原点对称。设方程t a n 孝= 硝 的无穷多个正根为 磊，色，色，因此所有的特征值为 ，z 。：( 争) 2 ，五：= ，2 ，z ， 相应的特征函数为 五( 石) = qs i n 瓜，尼= 1 ，2 ，玎， 对于五，方程( 2 3 ) 的通解为 五( f ) = qc o s 五口f + 饥s i n 五日f ， 七= 1 ，2 ，刀， 其中吒，反是任意常数。于是混合问题( i i i ) 的级数解为 秘( 纠：艺( 4c 。s 知h bs i n 而r ) s i n 瓜 由初始条件有 “( x ，o ) = 4s i n 瓜= 伊( x ) ， q ( x ，o ) = 反西s i n 瓜= y ( x ) ， 硕士擎位论交 m a s t e r 8t i 疆8 i 客s 厶= p 舾= 狮一s 2 瓜) 出击凼2 廊 由特征函数系 s i i l 矗 的正交性得 卜毋力，血风一啦， 卜壶阳s 谊胁 f “。( o ，f ) 一 甜( o ，f ) = o ， i “u ，f ) = o 此时j x 7 7 ) _ 心( o ) = o 。 当a o 时，方程( 2 4 j 的通解为 i x ( ，) = o 徘零懈一杯地睁务从而 = bs i 斟扣概风s 届) - o ， 即t a i l 劢= 一半。与第( 4 ) 种类型的讨论类似，设善= - ，p = 一去，且方程 以尼f 五= ( 钳 七= l ，2 ，刀， 对应的特征函数为 矾h c o s 瓜坤i n 瓜= 以( 乏c 。s 届“n 再 = 畋( 一廊c o s 届“n 西) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s t 2 南( s 缸瓜c o s 廊s 届硫周) ：畋垫掣 c o s 五， 对于五，方程( 2 3 ) 的通解为 互( f ) = qc o s 瓜f + 瓯s i l l 厮f ，七= 1 ，2 ，刀， 其中q ，反是任意常数。于是混合问题( m ) 的级数解为 此，f ) = 喜( 和s 乃咖瓜r ) 笔铲 t t l c u s 、f l 由初始条件有 材( 石，o ) = 41 当日卜砂一 面了矿一 9 ( x ) ， 姒删= 喜反而笔铲砒， 七= lo u 6 、f b 令 厶= p 佤( 川) 出= 狮一s 2 压( 川) ) 出= 争击s i n 2 廊 由特征函数系 s i n 石( x 一嘲的正交性得 4 = 学s i n 揶卅毗 吃= 寇s i n 揶- f ) 出 c 6 ，= 吃= ，屈= 屈= o ，即两端都是第二类齐次边界条件 麓甚3 三：， 此时边界条他5 ，为 粥 当允= 0 时，方程( 2 4 ) 的通解为 x ( x ) = q + 乞x ， 由边界条件得乞= 0 ，显然必须要求c l 0 。因此气= o 是特征值，对应的特征函数 为五( 功= 曰( 可取任何非零的实数) 。此时r ( 力= 口o + 毛其中口o ，是任意常数。 当z 0 时，方程( 2 4 ) 的通解为 x ( 力= qc o s 元x + 岛s i i l 允毛 要使它满足边界条件( 2 5 ) ，必须有 乞= 0 ， - c ls i i l 旯z + c 2c o s 旯z = 0 ， 为了获得非零特解，必须要求q o ，且s i n 扬：o ，即 五= ( 铹 七= l ，2 ，订， 彳甘应阴特，仕函数为 五o ) = qc o s 竿工， 七：1 ，2 ，”一 l 对于五，方程( 2 3 ) 的通解为 驰) = 岬s 竽r + 删n 竽r ，2 以 其中吼，瓯是任意常数。于是混合问题( i i i ) 的级数解为 m 力= 4 哪+ 喜( 和s 竽s i n 竽，) c o s 争七= l i ，f 由初始条件有 “( 彳，o ) ：么+ 主4c 。s 孥j ：妒( 石) ， 纵硼= 岛+ 喜色竽c o s 竽删( n 由特征函数系 1 ，c 。s 竽x ) 的正交性得 1 6 出 哆幺， 地 肋， 丝， | ； 咄 以 ； 、，、，、， 少 d 缈 y 缈 一r扣胁扣生 l一，1一， 2 一， 一七 l l = = = 4 历 4 所 硕士学位论文 m a s t e r st h e s 【s ( 7 ) = 口：= 1 ，届= 0 ，屐= ，( j j l o ) ，即左端第二类、右端第三类齐次边 界条件 f 蚝( o ，f ) = 0 k ( ，f ) + j j i 甜u ，f ) = o 此时边界条件( 2 5 ) 为 妻暑? 罢：。当见 。时，方程( 2 4 ) 的通解为 x ( 工) = c lc o s a x + 乞s i n 五x ， 要使它满足边界条件( 2 5 ) ，必须有 c 2 = o ，( 胁s 妇一打s i n 抚) c l + ( 槭n 切+ 厄c 。s 痂) c 2 - o ， 为了获得非零特解，必须要求c l o ，且c o t 切= 半 与第“) 种类型的讨论类似，设孝= 历，p2 去，且设方程c 。t 孝2 户孝的无 穷多个正根为磊，乞，色， 因此所有的特征值以及对应的特征函数分别为 以= ，孙h c o s 瓜，2 ，以 对于以，方程( 2 3 ) 的通解为 互( f ) = 以c o s 西f + 仇s i n 瓜f ，七= 1 ，2 ，”一 其中，吮是任意常数。于是混合问题( i i i ) 的级数解为 “( 彬) = ( 4c o s 再h 反s i n 瓜f ) c o s 瓜 由初始条件有 “( z ，o ) = 4c o s 厄石= 伊( x ) ， 坼( x ，o ) = 反瓜c o s 届= y ( x ) ， 令 丘彳f c o s 2 西血= 狮+ c o s 2 乃) 出= 吾+ 赤s i n 2 廊 由特征函数系 c 。s 矗 的正交性得 项士学位凳文 列 a s t e r st i ：i e s i s 卜去，拟? 驰一啦， 1 色2 志c o s 届毗一产一“一 蚝( o ，f ) 一五“( o ，f ) = o ， 此时边界条讹5 ) 为 嚣 一o ，。郛。时，方程( 2 4 ) 的通解为 为了获得非零特解，必须要求c 1 0 ，c 2 o ， 睁务 从而 = | _ s i _ c 磊f = 一( 栅s 痂一打s i n 扬) 一o ， 即c o t 劢= 警。与第( 7 ) 种类型的讨论类似，设孝= 劢，p = 去， 且设方 以力l 程c o t 孝= p f 的无穷多个正根为磊，乞，氦，因此所有的特征值为 a 佳= = ( 争) 2 ，- ：= = ，2 ，z ， 舶h c o s 届坤i n 瓜= 矾晤c o s 瓜“n 届) 讣t 胁s 再“n 瓜) 睁爿 2 南( c o s 再c o s 廊“n 西s i n 倒 硕士学位论文 h “岍e r st h e s 璐 咄竺掣 s i n 以， 对于以，方程( 2 3 ) 的通解为 互( f ) = c o s 五甜+ 瓯s i n 五口f ， 后= 1 ，2 ，l ， 其中吼，瓯是任意常数。于是混合问题( ) 的级数解为 础力= 喜( 细s 厮s m 厮r ) 哿 七= l 5 l i i 、， 由初始条件有 甜o ，0 ) = 41 1 1 逊二焦 s i n 五， 妒( 力， 姒删= 善暖瓜帮洲， 七- j6 儿量、，b i 令 厶= f c o s 2 压( 川) 出= 拇+ c o s 2 佤( 川) ) 出= 争赤豳2 廊 由特征函数系 c 。s 石( z 一哪的正交性得 七= 1 ，2 ，l ， ( 9 ) = 哆= 1 ，层= 一办，屈= j l l ，( 矗 o ) ，即两端都是第三类齐次边界条件 ，叱( o ，f ) 一 “( o ，f ) = o ， k ( ，f ) + 五“( ，f ) = o 此时边界条5 ) 为二搿。 酆。时，方程( 2 4 ) 的通解为 石( 工) = c lc o s 尻+ 乞s i n 盈， 要使它满足边界条件( 2 5 ) ，必须有 一办q + _ c ：= o ， ( 栅s 扔一万s i n 知) c l + ( 槭n 痂+ 瓜c 。s 扔) c 2 = o ， 帆 m 班 d o 压 压 豇 培 ；苎； 沁 “ 沁 _ 哆 功 一 o 吖 纠 y 学器学船 4 b 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s ， 为了获得非零特解，必须要求c t 。，岛o ， 昙= 孚 ，从而 = k s 扬二幺s 协知 s 证痂易啷扔l = 一驴一旯) s i l l 扬蚴瓴c 。s 切 = 0 即c o t 劢：尝墨。 与第( 8 ) 种类型的讨论类似，设善：盈，p ： ，则有 2 | l 旯 ，再设此方程的无穷多个正根为螽，乞，乞，。因此所有的特征 五= ( 钉 七= l ，2 ，l ， 对应的特征函数为 五阱妒s 瓜坤i n 瓜= 畋【毒c o s 屉“n 瓜j = 鲁( 佤c o s 瓜嘲i n 瓜) 睁爿 = ( 压c o s 瓜m i n 厨) ， ( 以= 针 对于 ，方程( 2 3 ) 的通解为 互( f ) = 吼c o s 瓜h 圾s i n 再f ，七= l ，2 ，”一 其中，么是任意常数。于是混合问题( i i i ) 的级数解为 嘶) = 艺( 4c o s 瓜r + 鼠s i n 西r ) ( 佤c o s 瓜挑i n 瓜) 这里4 = 吼，色= 吼 由初始条件有 材( x ，o ) = 4 ( 历c o s 乃+ 心n 瓜) = 缈( x ) ， 吣o ) = 妻反而( 压c o s 再挑i n 屈) = 咻 2 0 p 一孝 一 孝一p，。l 1 2 = 声j、-v 增 为 值 项士学位论文 m a 3 t e r st h e s l s 令 丘= f ( 压c 。s 瓜+ 五s i n 再) 2 血 = f ( 五c o s 2 瓜+ 压s i n 2 届柑s i l l 2 瓜) 出 = f 五+ j j l 压s i n 2 瓜+ ( n 五) s i n 2 届 出 = 蛆肌五) + 五压s i n 2 瓜一抄一以) c o s 2 届卜 = 抄+ 五) ，一扣2 廊一) 一等s m 2 廊 = 五+ 主( n 五) 正 这里是因为由 ( 五2 一五) s i n 0 + 2 办压c 。s 0 = o ， 有 错s i n 2 廊一c o s 2 廊= 一尝( ，s 2 廊) 由特征函数系 石c o s + 西s i n 的证交性得 ，七= l ，2 ，z ， 注：特征函数系 五c o s 丑工+ s i n 以工j 的正交性证明如下 当五= 乃时，f ( 厄c 。s b + j i l s i n 矗) 2 出= + 吾( 五2 + 以) 正 当以乃时 c ( 历c o s 再协i n 再) ( 历c o s 乃挑i n 乃) 出 = f 历c o s 再c o s 再+ 何c o s 再- s i n 再 + 而历s i n 再c o s 丹埘s i n 再s i n 丹i 出 = f 愕历( c 。s ( 历+ 历) 工+ c o s ( 厄一历) x ) 血 出 仄卜佤 压 槭 n - 卜 强 x 办 一以 “ 佤瓜一枷叫历 佤 ， 少 ，l i 缈 一正 南 l l i 一枷志 4 反 ，。_-_。-_。i-_。-。_-l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i 窘 毛 订( s 抽( 何+ 历) 一i n ( 拓一历) x ) + 主 厄( s i n ( 厄+ 历) i n ( 历一拓) 工) 一等( c 。s ( 历+ 历) x c o s ( 厄一历) 工) 卜 2 啦( 何埘) c 。s ( 历+ 压) 工+ 丢( 砺埘) c o s ( 何一历) x + 考( 压+ 历) s i n ( 压+ 历) x 一尝( 压一再) s i n ( 厄一历) x 卜 = 犏s i n ( 厄+ 历) “揣s i n ( 何一厄) ， 一宝( c 。s ( 厄+ 历) ) + 兰( c 。s ( 何一历) ) 2 揣s i n ( 厄+ 历) “茹警南s i n ( 厄一历) z + 矗s i n 习s i n 、乃 2 翻2 + 五) 历s i n 廊c o s 廊一2 ( n 乃) 何c 。s 廊s i n 丹 舶s i n 廊s i n 丹 = o ， 这里用到了( 五2 一五) s i n 一，+ 2 五佤c 。s 0 = o 。 3 3 分离变量法的理论补充 为了使在上述九种情形讨论中所得到的级数解真正成为混合问题( i i i ) 的解， 有如下结论： 定理【1 1 设在区间 o ， 上，函数缈( x ) 二次连续可微且三阶导数分段连续，函数 沙( x ) 连续可微且二阶导数分段连续，在端点同时满足相容性条件 妒( o ) = 伊( ，) = 矿( o ) = 矿( ，) = 沙( o ) = 少( ，) = 0 ， 则由上述九种情形中所定义的函数有二阶连续导数，且是混合问题( i i i ) 的解。 2 2 参考文献 【1 】朱长江