常用的一些矢量运算公式.doc

常用的一些矢量运算公式1. 三重标量积如，和是三个矢量，组合 叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为，令三个矢量的分量记为及则有 因此，三重标量积必有如下关系式：即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。2. 三重矢量积如，和是三个矢量，组合 叫做他们的三重标量积，因有 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）: （1-209）将矢量作重新排列又有： （1-210）3.算子（）是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（）则是一个标量算子，将它作用于标量，即是在方向的变化速率的倍。如以无穷小的位置矢量代替以上矢量，则是在位移方向的变化率的倍，即。 若将作用于矢量，则就是再位移方向变化率的倍，既为速度矢量的全微分应用三重矢量积公式（1-209）应用三重矢量积公式（1-210）又有将以上两式结合（相减）后可得一个重要的特例，令，因则有4. 算子的应用令是标量，是矢量，为并矢量，则有在直角坐标中，令对一组正交曲线坐标系，其单位矢量，将任意位置矢量变分写为其中为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，所以。在柱坐标中，因，所以。在球坐标中，因，所以。在任意正交曲线坐标系中，令是标量，矢量，则有单位矢量的旋度和散度为方向梯度作用于矢量为笛卡尔张量1. 求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号以表示笛卡尔直角坐标系的坐标，表示三个坐标轴方向单位矢量。令，定义求和约定的写法为式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，和具有相同的效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。 克罗克尼尔（Kroneker）符号定义为在笛卡尔直角坐标系中，有单位矩阵也可以表示为轮转符号定义为例如。采用轮转符号可使运算的书写简化，如 或 或 2. 笛卡尔张量定义在直角坐标系中张量称为笛卡尔张量，而张量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶张量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶张量。若有一个量（如应力）在任一点处有三个矢量分量即这个量具有九个分量。这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分量在不同的坐标系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则这个量称为二阶张量，常简称为张量。在三维空间中被称为零阶张量，一阶张量，二阶张量等等，是因为它们分别有个分量，而称之为零阶，一阶，二阶张量，并可由此类推到n阶张量。笛卡尔二阶张量所确定的三个矢量的分解式为则张量可用9个张量元素来定义，可写成如下的矩阵形式或写成张量的九项式：如，则为单位张量如果张两分两满足条件，则这个张量叫对称张量。如果张两分两满足条件，则这个张量叫反对称张量。若将张量的分量与互易位置后的张量，则称该张量的共轭张量，并以表示：3. 并失为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失写成。令，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为，并失为二阶张量。必须注意，并失与是不同的，由此可见是并失的共轭张量。矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶张量：考虑矢量的无穷小增量，因故为具有九个分量的二阶张量因可将 表示为张量与矢量的点乘，应用并失运算法则又有对标量函数类似的有并失运算服从如下四个运算法则（1） 结合律法则 连续的并失积可以任何方式加上括号而不改变结果。（2） 标量率法则 标量在并失运算中可以提到任何一个位置。（3） 缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一个并失（张量）与一个矢量点乘则为一个矢量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失（4） 分配律法则4. 张量的梯度，散度和格林定理 零阶张量（标量）的梯度是矢量，一阶张量（矢量）的梯度是二阶张量，一次类推，二阶张量的梯度必为三阶张量。设A是二阶张量，其分量，定义表示对求偏导数。梯度符号是一矢量算子，故张量A的梯度可写为张量A的梯度具有27个分量的量，即个分量，属于三阶张量。一阶张量（矢量）的散度是一个标量，二