（运筹学与控制论专业论文）不确定广义时滞系统鲁棒控制若干问题研究.pdf

不确定广义时滞系统鲁棒控制若干问题研究 摘要 在各种物理、工业和工程系统中，由于模型简化、环境变化和元器 件老化等原因，不可避免地会出现各种不确定性因此，基于精确数学 模型的现代控制理论难以使控制系统具有所期望的性能同时，时滞常 常出现在各类系统中，如核反应堆、化学工程系统、生物系统以及人口 动态模型等它通常是控制系统不稳定和性能下降的根源另一方面， 广义系统由于比状态空间系统能更好地描述物理系统而受到越来越多 的关注因此，对不确定广义时滞系统的分析和综合具有重要的理论和 实际意义 本文利用线性矩阵不等式技术，研究不确定广义时滞系统的时滞 依赖鲁棒镇定问题、鲁棒如控制问题和保成本控制问题其主要内 容表现在以下几 b 7 5 - 面： ( 1 ) 针对含范数有界参数不确定性的广义时滞系统，利用线性矩阵 不等式方法，讨论其时滞依赖鲁棒镇定问题给出系统鲁棒稳定和鲁棒 可镇定的时滞依赖条件，并得到所需状态反馈控制器的设计方法所得 结果较已有的结果有一定的改进 ( 2 ) 针对含范数有界参数不确定性的广义时滞系统，研究时滞依 赖鲁棒控制问题导出使标称系统正则，无脉冲，稳定且具有给定 丑矗性能指标的时滞依赖充分条件利用该条件，通过设计状态反馈控 制器解决上述问题，并给出控制器的具体表达与已有结果相比。本章 的结果具有较小的保守性 ( 3 ) 针对含范数有界参数不确定性的广义时滞系统，考虑时滞依赖 保成本控制问题利用线性矩阵不等式技术，提出状态反馈保成本控制 器存在的时滞依赖条件和设计方法 ( 4 ) 针对含范数有界参数不确定性的离散广义时滞系统，考虑时滞 依赖鲁棒镇定和鲁棒控制问题设计状态反馈控制器使闭环系统 具有一定的性能指标所得结论是用严格线性矩阵不等式表示的，且不 涉及系统矩阵的分解 最后是全文的总结，并提出广义时滞系统鲁棒控制研究存在的几 摘要 个问题和展望 关键词：广义系统，时滞系统，鲁棒镇定，鲁棒风。控制，保成本控 制，时滞依赖 as t u d yo nr o b u s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i ng e n e r a l l z e dt i m e d e l a ys y s t e m s a b s t r a c t u n c e r t a i n t i e si n e v i t a b l ye x i s ti na l lk i n d so fp h y s i c a l ，i n d u s t r i a l a n d e n g i n e e r i n gs y s t e m sb e c a u s eo ft h es i m p l i f i c a t i o no fm o d e l ，c h a n g e o fr u n n i n g e n v i r o n m e n t ，a g i n go fe l e c t r i c a le l e m e n t sa n ds oo n h e n c e ， i ti 8d i 伍c u l tf o rt h em o d e r nc o n t r o lt h e o r y , w h i c hi sb a s e do nt h ee x - a c tm a t h e m a t i c a lm o d e l t om a k ec o n t r o ls y s t e m ss a t i s f yt h ed e s i r e d p e r f o r m a n c e a s o ，t i m ed e l a yi sf r e q u e n t l ye n c o u n t e r e di nav a r i e t yo f s y s t e m s ，s u c ha sn u c l e a rr e a c t o r s ，c h e m i c a le n g i n e e r i n gs y s t e m s ，b i o l o g - i c a ls y s t e m s a n dp o p u l a t i o nd y n a m i c sm o d e l s i ti so f t e l las o u r c eo f i n s t a b i l i t ya n dd e g r a d a t i o no fp e r f o r m a n c ef o rt h ec o n t r o ls y s t e m s o n t h eo t h e rh a n d ，i n c r e a s i n ga t t e n t i o nh a sb e e nf o c u s e do ng e n e r a l i z e d s y s t e m sd u et ot h ef a c tt h a tt h e yc a nb e t t e rd e s c r i b ep h y s i c a ls y s t e m s t h a ns t a t e - s p a c eo n e s t h e r e f o r e ，t h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fu n c e r - t a i ng e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m sa r ei m p o r t a n tb o t hi nt h e o r ya n d p r a c t i c e i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e m so fd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i z a t i o n ， r o b u s th c o n t r o la n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o la r es t u d i e df o ru n c e r - t a i ng e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m si nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t e c h n i q u e t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) i nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t h ep r o b l e mo f d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i z a t i o ni sd i s c u 8 s e df o rg e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h ed e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o n sf o rr o b u s ts t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i z a b i l i t yo f t h es y s t e m sa r ed e r i v e da n dt h ec o n s t r u c t i o nm e t h o do ft h ed e s i r e d s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri so b t a i n e d t h ep r e s e n t e dr e s u l t sa r et h e i m p r o v e m e n to v e rt h ee x i s t i n go n e s ( 2 ) t h ep r o b l e mo fd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s t 日o oc o n t r o li ss t u d i e d f o rg e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e rl l n - a b s t ra c t c e r t a i n t i e s ad e l a y - d e p e n d e n ts u m c i e n tc o n d i t i o ni se s t a b l i s h e ds u c h t h a tt h en o m i n a ls y s t e mi sr e g u l a r ，i m p u l s ef r e e ，s t a b l ea n dh a sap r e - s c r i b e d 嚣矗p e r f o r m a n c ec o n d i t i o n b a s e do nt h ec o n d i t i o n ，t h ea b o v e p r o b l e mi ss o l v e dv i as t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra n dt h ee x p l i c i te x p r e s - s i o no ft h ec o n t r o l l e ri sa l s og i v e n t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sc h a p t e r h a v el e s sc o n s e r v a t i s mt h a nt h ep r e v i o u so n e s ( 3 ) t h ed e l a y - d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e m i si n v e 8 - t i g a t e df o rg e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m - b o u n d e dp o x a m e - t e ru n c e r t a i n t i e s ad e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h e s t a t ef e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri sp r o p o s e da n dt h ec o n t r o l l e r d e s i g na p p r o a c hi sa l s od e r i v e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h - n i q u e ( 4 ) t h ep r o b l e m so fd e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n d t o - b u s th c o n t r o la r ec o n s i d e r e df o rd i s c r e t eg e n e r a l i z e ds y s t e m sw i t h t i m ed e l a ya n dn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h es t a t ef e e d - b a c kc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e dw h i c he n s u r et h ec l o s e d - l o o ps y s t e m sp o s - 8 e s st h eg i v e np e r f o r m a n c ei n d e x t h eo b t a i n e dr e s u l t s w h i c hi n v o l v e n od e c o m p o s i t i o no ft h es y s t e mm a t r i c e s ，a r ef o r m u l a t e db ys t r i c tl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s t h ec o n c l u s i o ni sg i v e na tt h ee n do ft h ep a p e r s o m eq u e s t i o n s a n dp e r s p e c t i v eo nt h es t u d yo ft h er o b u s tc o n t r o lf o rg e n e r a l i z e dt i m e - d e l a ys y s t e m sa r ea l s op r o p o s e d k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e ds y s t e m s ，t i m e - d e l a ys y s t e m s ，r o b u s t s t a b i l i z a t i o n ，r o b u s t 冠c o n t r o l ，g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，d e l a y - d e p e n d e n t 一 r + r r n r ”o “ c c ”。“ q 0 ( q o ) q 0 和p 0 使得当t 0 时，广义系统( 1 2 ) 的轨迹$ ( t ) 满足忙( 圳2 a e 一肛( o ) 1 1 2 引理1 1 s s l ：广义系统( 1 ，2 ) 是正则，无脉冲且稳定的，当且仅当存在矩阵p 使得 p r e = 矿p 0 ，( 1 3 a ) p t a + a t p 0 和0 p 0 使得对任意满足s u p0 妒( 圳6 ( s ) 的相容初始条件( t ) ，广义时滞系统 ( 1 6 ) 的轨迹z ( t ) 满足忪( 刚5 ，v t 0 ，并且1 i m z ( t ) = 0 一1 0 浙江师范大学硕士学位论文 引理1 3 删：给定标量孑 0 ，广义时滞系统( 1 6 ) 对任意满足0 d 孑的滞 后常数d 都是正则且无脉冲的，如果矩阵对( e ，a ) 和( e ，a + 山) 是正则且无脉冲 的 类似地，对于离散广义时滞系统 历( 七十1 ) 2 a x ( k ) 十a d z ( 七一d ) ， ( 1 7 ) 茹( 后) = ( 膏) ，k 卜面o 】 、 定义1 4 阳9 i i ： ( 1 ) 离散广义时滞系统( 1 7 ) 是正则的，如果d e t ( z e a ) o ； ( 2 ) 离散广义时滞系统( 1 7 ) 是因果的，如果d e g ( d e t ( z e a ) ) = r a n ke ； ( 3 ) 离散广义时滞系统( 1 7 ) 是( 渐近) 稳定的，如果对任意标量e 0 ，存在标 量6 ( ) 0 使得对任意满足s u p 忪( 七) 6 ( e ) 的相容初始条件多( 老) ，离散广义 时滞系统( 1 7 ) 的轨迹z ( 后) 满足i i x ( k ) l i e ，v k n ，并且h mx ( k ) 一0 引理1 4l 删：给定整数j 0 ，离散广义时滞系统( 1 7 ) 对任意满足0 d 孑 的滞后整数d 都是正则且因果的，如果矩阵对( e ，a ) 和( e ，a + a d ) 是正则且因果 的 2 、线性矩阵不等式 线性矩阵不等式( l m i ) 是控制理论研究中常用的工具，被广泛用来解决系统 与控制理论中的一些问题随着内点法的提出，m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推 出，线性矩阵不等式越来越受到人们的注意和重视 定义1 5f 9 2 】：矩阵不等式 m f ( 茁) = f o + ：甄足 0( 1 8 ) = l 称为线性矩阵不等式或严格线性矩阵不等式，其中z 1 ，z 2 ，是仇个实数变 量，称为线性矩阵不等式( 1 8 ) 的决策变量；z = k l ，。2 ，。】7 r “是由决策 变量构成的向量，称为决策向量；e 舯m “= 0 ，1 ，m ) 是给定的对称矩阵 f ( x ) 0 或 者说矩阵f ( z ) 的所有特征值都小于零如果在( 1 8 ) 中用“”代替“ ”，则相应 的矩阵不等式称为非严格线性矩阵不等式， 线性矩阵不等式( 1 8 ) 是关于自变量z 的一个凸约束，因此集合如if ( x ) o ) 是一个凸集正是线性矩阵不等式的这一性质使得线性矩阵不等式问题的求解一 一1 1 一、绪论 般都可以转化为凸优化问题的求解内点法、椭球法是求解线性矩阵不等式的有 效算法，详细内容可参考文献f 9 2 在控制论中常常会遇到一些二次矩阵不等式，而s c h u r 补引理可以将其转化 为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在系统与控制论中得到广泛应用的一 个重要原因 s c h u r 补引理1 ：假设对称矩阵s r ( n + m ) 。如+ m ) 的分块表示为 s = 蚤卦 其中研r ”“，岛p 。m ，岛r m ，则以下三个条件等价： ( 1 ) s o ； ( 2 ) 研 0 ，岛一田s 1 岛 o ； ( 3 ) 岛 0 ，& 一岛s 1 露 0 ，以下矩阵不等式成立， d f e + e r f t d t e d d t + 占一1 j 尹e ( 1 1 0 ) 一1 2 一 浙江师范大学硕士学位论文 引理1 7 【呻j ：给定适当维数的矩阵y ，d 和e ，其中y 是对称的，则 y + d f e - i - 矿矿d r 0 ，使得 y + e d d 丁+ e - - 1 e t e 0 ( 1 1 2 ) 引理1 8 ：如果存在矩阵q 1 ，和盈p ”，使得 啬意 0 ，矩阵乃， m ，m ，e r “和对称正定矩阵z p “，以下不等式成立， k l l m ei 一7 ( a ) t z 7 ( o ) 2 f ( 后) ti y 2 ei 扛( 后) - - x ( k 一回j b 4 i 丑ei + 武( 七) t 萎 z 一1 萎 1 。c 七， c ，t 7 ， 其中 叩( 南) = e x ( k 1 - 1 ) 一e x ( k ) ， ( 七) = 【z ( 七) t ，7 ( 后) tz ( 七一d ) r t 引理1 1 1 【1 删：考虑函数妒( t ) ：r + 一r 如果乒( t ) 在1 0 ，) 上是有界的，即 存在标量a 0 使得l 参( ) l 口，t 【0 ，o o ) ，则西( t ) 在【o ，o o ) 上是一致连续的 引理1 1 2 1 0 0 1 ：考虑函数妒( t ) ：r + 一r 如果( t ) 是一致连续的，且 ( s ) d s 0 ，为不确定广义时滞系统( 2 1 ) 设计状态 反馈控制器( t ) = g = c t ) ，k r m n 使得闭环系统对任意满足0 d 孑的滞后 常数d 都是鲁棒稳定的此时，称系统( 2 1 ) 对任意满足0 d j 的滞后常数d 都 是鲁棒可镇定的 ( 三) 、鲁棒稳定性分析 在本节中，首先给出不确定广义时滞系统( 2 1 ) 的标称自治系统 e e ( t ) = a z 0 ) + a d x ( t d )( 2 4 ) 正则，无脉冲且稳定的时滞依赖判据，这将对系统( 2 1 ) 时滞依赖鲁棒稳定和鲁棒 可镇定条件的获得起关键作用 一1 7 二、不确定广义时滞系统时滞依赖鲁棒镇定 定理2 1 ：给定标量j 0 ，广义时滞系统( 2 4 ) 对任意满足0 d 孑的滞后 常数d 都是正则，无脉冲且稳定的，如果存在对称正定矩阵q ，z 和矩阵p ，y ，t ， r 使得 l ：? 一差 - b d 罗r - 盘b噜z l 。， c 2 肪， i 宰 一d z d 酽0 l 、7 i 幸 一忍j l 尹a + 尸+ ：+ y 露+ 驴旷p 一：r q a d 一- - t y e e 一+ e t 严t ti 钏c 2 屉， 拈肪荫= j 台o o ( 2 8 ) 三二篡 谢= 二翳仁9 ， 国甜啪2 隧罢尊虹脚扩k 慝斗 。 妒宅：铲争 一1 8 一 ( 2 1 0 ) 浙江师范大学硕士学位论文 联系( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中应和户的表达式，显然有a 2 = 0 ，从而 虹怯甜 ( 2 1 1 ) l 翰f 叫 、7 在q 1 1 的两边分别左乘和右乘对t 和，通过简单的计算，得 岛如+ 锡忌+ 如 0 上式说明船是非奇异的，因此矩阵对( e ，a ) 是正则，无脉冲的根据引理1 3 ，系 统( 2 4 ) 对任意满足0 d 孑的滞后常数d 都是正则，无脉冲的 从上面的证明知系统( 2 4 ) 在无时滞时是稳定的因此，下面只需证明系统 ( 2 4 ) 对任意满足0 d 孑的滞后常数d 都是稳定的考虑广义l y a p u n o v 泛函 y ( z t ) = z ( t ) t e r p x ( t ) - t - ( 口) r q x ( a ) d a + 厂。厂讹) 羞脚m 妒 2 舶 则沿系统( 2 4 ) 的任意轨线，y ( z t ) 对时间t 的导数 v ( x t ) 2 x ( t ) t p t ( a z ( t ) 4 - a d x ( t d ) ) - - i - z ( t ) t q x ( t ) 一z 0 一d ) t q x ( t 一回+ 玉o ) t e t z e s c ( t ) 一 士( a ) ? e r z e s ：( a ) d a( 2 1 3 ) + 2 扛( t ) r y + x ( t d ) t t + o ) r 捌 e x ( t ) 一e x ( t d ) + 云( t ) ， 其中( t ) = 一矛1j ：d 眈( a ) d q 根据j e n s e n 积分不等式f ，得 一，圣( n ) t e r z e 圣( a ) d a ( t ) r ( 一矗2 ) ( ) ( 2 1 4 ) 因此 矿( 觑) 叼( t ) t 三，7 ( ) ， ( 2 1 5 ) 其中 i q l l + j a r z aq 1 2 + j a t z a d 移+ 矿舻 l 毫一l + 况嵋z 山d t 一矿舻 i ， 【 | c| c 一拓+ 巍+ a 尉叫 , t c t ) = z 0 ) rx ( t d ) t ( t ) t 】1 一1 9 一 三：歪堕壅墨堕堂萎竺堕堂堡塾量堡堡星 一一 应用s c h u r 补引理，由( 2 5 b ) 得三 0 ，从而 矿( z 。) 一a l i i x ( o i l 2 0 矩阵对，枷正则，无脉冲意味着存在非奇异矩阵m 和使得 类似于( 2 9 ) ，定义 山 由p 的非奇异性知户也是非奇异的，结合( 2 5 a ) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 b ) ，得 户= 2 斟。 在( 2 6 ) 的两边分别左乘和右乘d i a g n t ，0 和d i a g n , ，得 f 尸a + 户+ ：+ 矿豆+ 尹：拿嚣嚣l 。 将( 2 2 0 ) 按( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 展开，得 f 磁+ 如+ q 船磁如1 o l | c q 铭j ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 a ) ( 2 1 8 b ) ( 2 1 8 c ) ( 2 1 8 d ) ( 2 1 8 e ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 浙江师范大学硕士学位论文 在( 2 2 1 ) 的两边分别左乘和右乘【_ a 盈，】和【- - a 如j 】t ，得 a 幺q 龆以。啦一q 貂 0 ，广义时滞系统( 2 4 ) 对任意满足0 d j 的滞后 一2 2 浙江师范大学颈士学位论文 常数d 都是正则，无脉冲且稳定的，如果存在对称正定矩阵p l ，q ，z 和矩阵s ，y ， z 兄使得 陋l l q 1 2豇+ 矿矽 g a * z i ：咱一t e 事坷矿差z - b d 嚣r d r t 邪0 l 0 为标量 令e o + ，则得到如下定理 定理2 2 - 给定标量孑 0 ，广义时滞系统( 2 4 ) 对于任意满足0 d 孑的滞 后常数d 都是正则，无脉冲且稳定的，如果存在对称正定矩阵q 。，五和矩阵p l ， 恳，p a ，x i ，x 2 ，x 3 ，托，x 5 ，确，k ，k ，n 使得 砰e = e t p l o ， ( 2 3 6 a ) e ( 2 3 6 c ) q 1lt，j k 砼矗磊 五施+ 狲一 恐拖+ + 二，不确定广义时滞系统时滞依赖鲁棒镇定 其中 兰1 1 = 露a + a r 易+ q 1 + m e + 矿吁+ d x l ， e 1 2 = 芹一霹+ a r b + 矿堙+ d x 2 ， e 2 2 = 一p 3 一露+ d z l + d x 3 。 下面基于定理2 2 ，给出不确定广义时滞系统( 2 1 ) 的时滞依赖鲁棒稳定性条 件 定理2 3 ：给定标量d 0 ，不确定广义时滞系统( 2 1 ) 对任意满足o d 孑 的滞后常数d 都是鲁棒稳定的，如果存在标量e 0 ，对称正定矩阵q 1 ，磊和矩阵 p l ，马，岛，噩，为，焉，托，恐，j 咕，m ，蚝，n 使得( 2 3 6 a ) ，( 2 3 6 c ) 和( 2 3 7 ) 成立， 蜀1 + 曩 = - - 1 2 莩- = i s 驴p t m 仁跏 三量2 3f 蓼 f i ，r 、 r 。” e 0 l 、7 木 i【 一e i 其中兰l l ，三1 2 和三汤与定理2 2 中的定义相同， 三1 3 = 巧九一h e + 矿巧+ d x 4 - i - e 砑岛， 昌2 3 = 露山一y 2 e + d x 5 ， = 一q l 一五e 一矿砰+ 五+ 砑易 证明：分别用a + m f ( t ) e i 和也+ m f ( t ) e 2 代替a 和a d ，则( 2 3 6 b ) 可表 示为 + 三f 0 ) q + f t t f ( t ) t 三f 0 ， 使得 n + e - 1 兰三f + e f 矿q 0 ，5 1 和如，如果存在对称正定矩阵q ，z ，可逆矩阵 l l 和矩阵如，l s ，m t ，朋j ，m s ，m 4 ，m a ，m e ，v 使得 e l l = l t l e t 0 ，( 2 4 0 a ) o = 量1 26 2 l t e t + d m 4 1 ；2 2 ( 一6 l e + a d ) 三l + a l m s 三 奉 m 2 m s 事 m 4 m s m 6 0 而z 6 2 z z 0 ， 0 ，( 2 4 0 b ) ( 2 4 0 c ) 其中 巨l l 一如+ 砑+ q + j m l ， 三1 2 = l s 一霹+ 5 , l f e r + ( a l l + b v ) t + r i m 2 ， 兰= 拴一- - l 3 一l t + a l m a ， 三一一q 一如e l l 一如l e r + d m e ， 则广义时滞系统 e j c ( t ) = a z 0 ) + a d ：r ( g d ) + b u ( t )( 2 4 1 ) 在状态反馈控制器珏( t ) = y l f l z ( t ) 的作用下对任意满足0 d d 的滞后常数d 都是正则，无脉冲且稳定的 证明：用a k = a + b 代替( 2 3 6 b ) 中的a ，则( 2 3 6 b ) 可写成 皿 l 宰 其中 期t 豳一降+ 司矸+ 孑嘲 一q l t i e 一矿砰+ d x , 0 ，6 l 和如，如果存在对称正定矩阵q ，z ，可逆矩阵工l 和矩阵如，l s ，m i ，m 2 ，m s ，m 4 ，m a ，m e ，v 使得( 2 4 0 a ) ，( 2 4 0 c ) 和( 2 4 5 ) 成立， 巨l l三1 2互1 3钇；e 1 5 牛- = 2 2 + e m m t 勤缸子0 | 水三0珂砑 $ 一d 2 0 奉 | 宰- - e l 其中三1 l ，三1 2 ，一e 2 2 和三3 3 与定理2 4 中的定义相同， 三1 3 = 如珂互尹- 4 - r i m 4 ， 互1 5 = ( e 1 五l + 历y ) t ， 三= ( 一6 1 e + a d ) 二1 + j m a 一2 6 一 0 ，( 2 4 5 ) 浙江师范大学硕士学位论文 则不确定广义时滞系统( 2 1 ) 对任意满足0 d 童的滞后常数d 都是鲁棒可镇定 的，且状态反馈控制器牡( t ) = v l i - 1 z ( ) 证明：分别用a + m f ( t ) e i ，山+ m f ( t ) e 2 和b + m f ( ) 历代替a ，也和 日，则( 2 4 0 b ) 可表示为 e + 三f 0 ) q + q r f ( 0 t 三t 0 为将系统( 2 4 8 ) 表示成系统( 2 ，1 ) 的形式，取 m ，马= 踢= 瞄斗 对于不同的a 表2 - - 2 给出了各种方法得到的时滞上界丕从表2 - - 2 可以看出 本章的结果具有较小的保守性 表2 - - 2 系统保持时滞依赖鲁棒稳定的时滞上界j 的比较 a0 2 50 3 00 3 50 4 00 ，4 50 ，5 0 【5 9 ，8 5 】 0 4 2 0 90 3 9 3 9o 3 6 3 7o 3 2 7 9 o 2 8 1 7 o 2 1 0 6 【i 0 2 0 8 0 8 70 7 9 4 20 7 6 8 90 7 2 6 2 o 6 5 2 1 o 5 0 5 4 f 6 3 l 0 ，8 5 1 40 ，8 2 4 90 ，7 9 2 40 ，7 4 3 80 6 6 4 10 5 11 0 定理2 30 8 5 1 4 0 8 2 5 00 7 9 8 50 7 6 7 80 7 1 8 50 6 0 2 0 ( 六) 、结论 本章研究了含范数有界参数不确定性的广义时滞系统时滞依赖鲁棒镇定问题 利用线性矩阵不等式方法，给出了系统的时滞依赖鲁棒稳定性条件和所需状态反 馈控制器的设计方法及其代数表达本章的结论是用矩阵不等式表示的，且不需要 对系统矩阵进行分解，因此容易求解数值例子说明了本章的结论具有较小的保守 性 本章内容由作者论文f 4 】改写 一2 8 三、不确定广义时滞系统时滞依赖鲁棒比控制 本章研究不确定广义时滞系统的时滞依赖鲁棒嚣。控制问题利用线性矩阵 不等式方法，给出广义时滞系统正则，无脉冲，稳定且具有给定风。性能指标的时 滞依赖条件在此基础上，设计状态反馈控制器，使得闭环系统不仅是时滞依赖鲁 棒稳定的，而且具有给定的月0 性能指标同时给出控制器的设计方法数值例子 说明本章的结论较已有的结果有一定的改进 ( 一) 、引言 针对l q g 设计存在的问题，加拿大学者z a m e s 于1 9 8 1 年提出了戤控制理 论思想i 删，引起了控制理论与实际工作者的关注经过2 0 多年的发展，日0 控制理 论取得了大量的研究成果，在许多工业控制领域得到了成功的应用，并已成为鲁棒 控制理论中最活跃的领域之一 文献f 1 0 3 - - 1 0 6 研究了不确定时滞系统的鲁棒玩。控制问题，设计了一些便于 实现的鲁棒控制器文献 8 8 ，1 0 7 - 1 1 0 】和文献【1 1 1 1 1 3 】则分别讨论了连续广义系 统和离散广义系统的日矗控制问题，得到了系统存在所需控制器的充分条件和设 计方法随着时滞系统和广义系统鲁棒控制理论的发展，广义时滞系统的鲁棒鼠。 控制问题已经成为控制理论界和控制工程领域中研究的一个热点文献f 7 2 1 利用 线性矩阵不等式方法讨论了一类不确定广义时滞系统的鲁棒风。控制问题，但是 所得的结论只适用于状态空间系统文献f 7 3 - 7 9 1 分别用不同的方法讨论了该问题， 给出了一些鲁棒控制器的设计方法不过上述结果都是时滞独立的，因此往往是 比较保守的目前关于广义时浠系统的时滞依赖日矗控制的研究成果还不多i s l - - 8 6 1 由于文献f 8 1 _ 8 3 】的结果及系统矩阵的分解，因此验证过程复杂且难以将其应用到 不确定广义时滞系统的时滞依赖鲁棒风。控制问题而在利用文献惮，8 5 】的结论 设计鲁棒状态反馈控制器时，需要处理条件中的非线性项，这便使得设计过程相对 比较复杂。并且会产生一定的保守性 本章讨论含范数有界参数不确定性的广义时滞系统的时滞依赖鲁棒风。控制 问题目的是设计状态反馈控制器，使得对所有允许的参数不确定性，闭环系统不 仅是正则，无脉冲，时滞依赖稳定的，而且满足一定的风。性能指标在定理2 2 的 基础上，获得标称系统的时滞依赖有界实引理以此引理为基础，得到上述问题可 解的充分条件该条件是用矩阵不等式表示的，当条件满足时，便可求得所需的状 三、不确定广义时滞系统时滞依赖鲁棒日。控制 态反馈控制器 ( 二) 、问题描述 考虑不确定广义时滞系统 ( ) ：e 圣( t ) = ( a + a a ) x ( t ) + ( a d + a a d ) x ( t d ) + ( b + b ) 铭0 ) + 8 以j 0 ) ， x ( t ) = ( t ) ，t 【一d ，0 】， z ( 0 = c x ( t ) + d 缸g ) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中z ( t ) r “为系统的状态向量，u ( t ) r “为控制输入，u ( t ) r p 是扰动输入， 且u ( t ) l 2 1 0 ，o o ) ，z ( 幻辩是被控输出；e ，a ，也，b ，互乙，c 和d 是具有适当维 数的已知实常数矩阵，且r 日g n ke = r 弼d 为未知滞后常数，且满足0 d 画 妒( 句为满足相容性条件的初始函数；a 凡和b 为未知矩阵，表示系统的不 确定性，且具有如下形式： 【a 如a b 】- m f ( t ) 【蜀易玛1 ，( 3 4 ) 其中m ，尻，岛和玛是具有适当维数的已知实常数矩阵，f ( t ) 是满足 f ( t ) r f ( t ) i( 3 5 ) 的不确定矩阵称不确定性a 山和a b 是允许的，如果( 3 4 ) 和( 3 5 ) 成立， 本章要研究的问题是给定标量孑 0 和，y 0 ，设计状态反馈控制器 缸0 ) = j r ( ) ， k r l 。n ( 3 6 ) 使得闭环系统 ( 耳) ：e 圣 ) = ( a + b k + a a + z l b k ) x ( t ) + ( 山+ a d ) x ( t d ) + 跏0 ) ， x ( t ) = ( ) ，t 【一面o 】， 名0 ) = ( c + d k ) x ( t ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 对所有允许的不确定性和任意满足0 d j 的滞后常数d 满足以下的设计指标： ( 1 ) 在零扰动下，即当u ( t ) = 0 时，闭环系统( 耳) 是正则，无脉冲且稳定的； ( 2 ) 在零初始条件下，即当z ( ) = 0 ，t 卜正0 】时，闭环系统( e k ) 具有凰。性 一3 0 一 浙江师范大学硕士学位论文 能7 ，即对任意非零的u ( 奄) j 吲0 ，c o ) ， l i z ( t ) 1 1 2 0 和，y 0 ，广义时滞系统( 3 1 1 ) 对于任意满足 0 d d 的滞后常数d 都是正则，无脉冲，稳定的，而且具有日0 性能，y ，如果存 在对称正定矩阵q i ，z 1 和矩阵p