（应用数学专业论文）时滞环状三元神经网络系统的动力学分析.pdf

硕一1 学位论文 摘要 本文对两类时滞环状三元神经网络模型的动力学性质进行了分析，给出了一 类具不连续信号传输函数的时滞环状三元神经网络周期解的存在性和吸引性的充 分条件，研究了一类具小参数的时滞环状三元神经网络周期解的存在性 全文由三章组成 第一章简单回顾了神经网络的发展历史，并概述了本文涉及的某些领域的研 究现状，提出了本文要讨论的一些问题，简述了本文的主要工作 第二章研究了一类具不连续信号传输函数的时滞环状三元神经网络模型，其 中每个神经元都受到两个输入：一个是来自它的下一个神经元的抑制作用，另一个 是来自它的上一个神经元的激励作用在初始值属于某些区域时，利用该系统的对 称性和压缩映射原理，对于时滞大于零，我们得到周期解的存在性和吸引的充分条 件，另一些区域则得到系统解的收敛性 第三章在第二章的基础上讨论了一类具小参数的时滞环状三元神经网络模型， 利用、v a l t h e r 方法当7 - 0 且7 - 充分小时，我们得到回复映射的l i p s c l l i t z 常数估计，利 用这个估计，我们得到系统存在稳定慢振动周期解的充分条件 关键词：神经网络；时；靛稳定- 性；周期解：w 酊t h e r 方法 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t - i nt h i st h e s i s ，s o m ei m p o r t a n td y n a m 妇o ft w dc l a s so fd e l a yn e t w o r km o d e l s w i t har i n go ft h r e en e u r o n sa r ed i s c u s s e d f o rt h ec a s e0 fd i s c o n t i 肌o l l sm e s - s a 眨ef u n c t i o n ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o ne i 塔u r i n gt h ee x i s t e n c eo fa t t r a c t i v e d e r i o d i cs 0 1 u t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，w eo b t a i nt h es u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ec a s eo fm o d e lw i t hs m a up 觚锄e t e r t h ep a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nt h e 丘r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n dh l s t o r ) ，o fn e 眦a 1n e t w o r k sa r eb r i 胡y r e v i e w e d f u r t h e r m o r e ，w er a i s es o m ep r o b l e l sw 1 1 i c hw i l lb ei n 、髑t i g a t e d i nt h e e n d ，w es i m p l yi n t r o d u c et h em a l i nw o r ki nt 1 1 i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rac l a l s so fd e l a yn e 七w o r k 而t har i n go ft h r e e i d e n t i c a ln e u r o n sw h i c hh a sd i s c o n t i 肌o u sm e s s a g ef u n c t i o n ，w h e r ee a c hn e u r o n r e c e i v e st w oi n p u t s ：o n ef r o mt h en e 赋n e u r o nb yi i 曲b i t o 珂i n t e r a u c t i o na n d a n o t h e r f r o mt h ep r e v i o u sn e u r o nb ye x c i t a t i v ei n t e r a u c t i o n u s i n gi t sl i i n i t i n ge q u a t i o n a n di t ss v m m e t 吼w eo b t a i nas u 毋c i e n tc o i m i t i o nf o rt h ee 】( i s t e n c eo fa t t r a u e t i v e p e r i o d i cs o l u t i o nb yr e s t r i c t i n gi n i t i a lv a l u e st oa 百v e np h a 8 es p a u c e 舢s o ，w es t u d y t h ec o i e r g e n c eo ft h es 0 1 u t i o n s t h et h i r dc h a p t e ri sc o n c e mw i t ht h et h r e en e o n sm o d e l 研t hs m a l lp a r 锄卜 e t e r e m p l o y i n g 耻t h e r sm e t h o d ，w eg e ta ne 8 t i m a t ef o rt h el i p s c h j t zc o n s t 趾t o ft h er e t u r n i n gm a pi ft h ed e l a yi ss u m c i e n t l ys m a l l b a s e do nt h ee s t i m a t eo ft h e l i d s c h i t zc o n s t a n t ，w r eo b t a i nt h es u 伍c i e n tc o n d i t i o ne 1 1 s u r i n gt h ee 】( i s t e n c eo ft h e s t a b l es l o w l yo s c i l l a t o r yp e r i o d i cs o l u t i o n k e yw b r d s ：n e u r a ln e t w o r k ；d e l a y ； m e t h o d s t a b n i t y ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；w 舭h e r s m 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 以明确方式标明。本人完全意谢0 本声明的法律后果由本人承担。 作者躲p 知 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论丈。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密匦 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：倍7 多乙日期：陟矿年j ，月，j ，日 新签名：铷吩 日期：舻r 月陟日 i 硕i ? 学位论文 第1 章绪论一 1 1 问题的研究背景及意义 人工神经网络的研究起源于诸如生物学、计算科学、心理学和统计学等学科， 至今已经有6 0 余年历史1 9 4 3 年，美国的心理学家m c c u l l o c h 与青年数学家p i t t s 合 作1 1 | ，从人脑信息处理观点出簏采用数理模型的方法研究了脑细胞的动力学状态 和结构及其生物神经元的一些基本生理特性，他们提出了第一个神经网络计算模型， 即神经元的阈值元件模型，简称m p 模型，从而开创了神经网络理论研究的新时代 1 9 4 9 年，心理学家h e b b 提出了h e b b 学习规则，提出了关于神经网络学习机理的突触 修正假设1 9 5 2 年，英国生物学家h o d g h n 和数学家h u ) 【l e y 建立了著名的h o d g l 【i n h u 丑e y 方程，简称h h 方程( 2 】，由于h o d g l c i n 和数学家h u ) ( 1 e y 研究的成果有重大理论 与应用价值，他们荣获了诺贝尔生理医学奖，他们的著名方程引起了许多学者的关 注，有些学者对h h 方程进行研究得到了很多有意义的结果，如发现了神经膜中所 发生的非线性现象：自激振动、混沌及多重稳定性等，几乎都可用这个方程来描述 1 9 5 7 年，r d s e n b l a t 首次提出并设计制造了著名的感知器( p e r c e p t r o n ) ，第一次从理 论研究转入工程实现阶段，掀起了研究神经网络的热潮但m i 璐k y 和p a p e r t 于1 9 6 9 年 从数学上证明感知器不能实现异或逻辑问题而使神经网络的研究陷入低谷美国 生物物理学家j h o p f i e l d 于1 9 8 2 和1 9 8 4 年发表了两篇论文【3 一，提出了具有联想记忆 能力的h o p f i e l d 神经网络模型和神经网络的电路模拟，并通过引入l y 印u n o v 函数进 行分析，阐明了神经网络和动力系统的关系，指出网络中的每一神经元可以用运算 放大器实现，所有神经元的连接可以用电子线路来模拟接着，他通过神经网络应 用研充成功地解决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，震惊了世界，从而也 兴起了人们对人脑生物神经系统的模拟一人工神经网络的研究，如文睁1 2 】等在这 之后，人工神经网络的理论与应用研究，在国际上形成了新的热点，各国都致力于 这方面的研究，以期为新一代智能计算机的研究奠定基础人工神经网络系统是在 现代神经生物学和神经心理学研究基础上模拟人盼大脑神经元结构特征和功能特 征而建立起来的一种非线性系统，人工神经网络独特的结构和处理信息的方法，使 得它们在诸如信号处理、模式识别、优化计算等许多领域具有广泛的应用前景因 此，神经网络的研究现已引起了包括应用数学、人工智能、认识科学、微电子学、 自动控制和机器人、脑神经科学、军事科学等学科领域内的研究工作者的极大关 注迄今为止，国内外人工神经网络研究工作者已提出了很多有应用背景的神经网 络模型，如著名的h o p f i e l d 模型、细胞神经网络( c n n ) 模型、g r o s s b e r g 神经网络模 型等在数学当中，我们通常采用动力系统理论为理论依据，以微分方程或者差分 方程为工具进行神经网络方面的研究h u a n g 和w u 在文【1 3 ，1 4 1 中开始了对具不连 一1 一 时滞环状三元神经网络系统的动力学分析 续信号函数神经网络模型的动力学研宄以此为契机，该方面的研究目前己取得了 非常丰硕的成果，见文f 1 5 2 9 1 环状神经网络是一种非常普遍的循环网络，目前发现在许多神经系统( 如海 驯删、小脑和大脑皮层1 3 2 】) 中都具有这种结构，甚至在经济金融研究领域一3 7 】、 化学和电力设计中也都出现这种网络通过研究环状神经网络可以了解循环网络 的基本机理，而所得的理论成果有助于更好地理解系统的动力学特征，也可以作为 模拟电路和数字计算机实验观察与数据分析的重要补充由于环状神经网络的复 杂度很高，现在没有一种非常行之有效的方法能在减少计算复杂度的同时保证结论 的精确度据我们所知，这一研究方向在国际上目前还处在起步阶段，特别是国内同 行中还没有足够韵重视，因而在这一方面所获得的成果十分有限l a n ，h u a n g 等 在文【1 9 】中研究了一类离散的三元环状神经网络模型，郭上江在文f 2 0 1 中研究了一 类带有m p 信号函数的n 维环状神经网络模型另一方面，由2 - 3 个神经元构成的神 经网络是了解神经网络大系统的基础，如文【1 5 2 9 ，3 8 - 4 2 1 ，因此研究环状时滞神经 网络的动力学行为具有重要的理论和实际意义，较好的应用前景 1 2 本文的主要工作 本文首先研究了具不连续信号传输函数的时滞环状三元神经网络模型周期解 的存在牲和吸引性，得到了相应的充分条件，其次，我们利用w 甜t h e r 方法，研究了 具小参数韵时滞环状三元神经网络周期解的存在性问题，下面我们分章予以说明 在第二章中，我们研究了下列具不连续信号传输函数的时滞环状三元神经网 络： 1 圣 ( t ) = 一p z t ( t ) + 去 ，( z t l ( t 一丁) ) 一，( z t + 1 0 7 - ) ) ，i = 1 ，2 ，3 ( m o d3 ) ，( 1 1 ) 其中p ，丁均为正常数，p 表示衰减率，7 - 为时滞，为信号函数， 你，= r 盛 ( 1 2 ) 在初始值属于某些区域时，利用该系统的对称性和压缩映射原理，对于时滞大 于零，我们得到周期解的存在性和吸引的充分条件，另一些区域则利用分步法【侧计 算得到系统解的收敛性 第三章在第二章的基础上利用w a l t h e r 方法，通过精心构造闭锥和回复映射，研 究了则、参数的时滞环状三元神经网络： 磊( t ) = 一肛t ( t ) + 三 丘( 以一。 一1 - ) ) 一 ( z 件- ( t 一7 一) ) ，i = 1 ，2 ，3 ( m 。d3 ) ，( 1 3 ) 一2 一 硕 学位论文 其中p ，7 - 均为正常数，p 表示衰减率，下为时滞，是一个小的正参数， ：冗一r 是一 个l i p s c h i t z 连续、有界，当e 很小时，近似于符号函数的非线性函数，满足： ! i 正( z ) + 1 i 6 ( e ) ， z 一p ( g ) ， ( 1 4 ) i | 五( z ) 一l i 6 ( e ) ， z p g ) ， 当一。时，( ) _ o ，6 ( g ) _ o 我们研究系统( 1 3 ) 的稳定慢振动周期解的存在性 这两章的研究都利用了模型的特点，选择了合适的分析工具，通过复杂地计算， 构造压缩映射和合适的回复映射，从而得到周期解的存在性 一3 一 时滞环状三元神经网络系统的动力学分析 第2 章一类时滞环状三元神经网络模型的动 力学分析 2 1 引言 环状神经网络是一种非常普遍的循环网络，出现在大量的神经结构( 如海马例、 小脑1 3 1 】和大脑皮层【3 2 】) 之中，甚至于出现在化学和电力设计当中a t i y a 和 b a d i 【矧，c a m p b e ue ta i ，c h e ne ta 1 ，h u a j l g 和w h f 4 7 】等在这方面进行了一系 列的研究，并取得了一些非常好的结果y u a n 、h u a n g 和z h o u 在文【1 9 中研究了一 类离散的三元环状神经网络模型 z e ( 佗+ 1 ) = a z t ( 死) + ，( z 一1 ( 礼) ) 一，( z t + 1 ( n ) ) 】，i = 1 ，2 ，3 ( m o d 3 ) ， 其中，入( 0 ，1 ) 为常数，：冗_ 兄是信号函数 ，i ，( z ) + 1 l e ，z 一r ， 【i ，( z ) 一1 f e ，z2r ， i ，( z ) 一，( ) i 三l z 一i ，z ，可( 一o o ，一7 1 ) u ( r 1 ，o o ) ， 这里e ，r ，r l 和l 都为正常数 在本章中，我们将讨论一类带有时滞的环状三元神经网络模型 圣t ( t ) = 一肛z t ( t ) + ；【，( z i l ( t 一1 _ ) ) 一，( z + 1 ( t 一丁) ) 】，i = 1 ，2 ，3 ( m o d 3 ) ， 其中，肛，7 均为正常数，肛表示衰减率，丁为时滞，为信号函数，其表达式为 ，c ，= 二二1 ， 喜三兰： 事实上我们可以通过下面的迭代化简上述模型： = 彬，( ) = ，( 丢) ，z ：( z ) = 卢既( 舌) 然后去掉木得 规 ) = 一甄( t ) + 瓠，( z t 一1 ( 亡一7 - ) ) 一，( 戤+ 1 ( t 一7 - ) ) 】，i = 1 ，2 ，3 ( m o d 3 ) ， 其中 _ 瓜，= k 鐾 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 硕i 学位论文 为讨论需要，定义x = c ( - 7 - ，o 】，冗3 ) 是区间卜r ，o 】上的连续映射全体构成 的b a n a l c h 空间，记 n = 妒；妒：【一7 - ，o 一( 一o 。，o 连续，且妒( t ) 在区间卜7 - ，o 】上至多有有限个零点) ， q = 妒；妒：【一7 - ，o _ o ，+ o 。) 连续，且妒( 亡) 在区间卜7 - ，0 上至多有有限个零点) ， 叉土士士= 西x ；圣= ( 妒1 ，妒2 ，妒3 ) t ，妒1 c r 土，妒2 q ，妒3 q ) ， j 乇= x + + + ux + + 一u ) f + 一+ u x - + 一一ux 一+ + ux 一+ 一ux 一一+ ux 一一一， 对v 圣= ( 妒1 ，妒2 ，妒3 ) t k ( t 表示转置) ，由( 2 5 ) 可获得唯一映射 ( z ，z ；，z 亨) t ： 一丁，o 。) 一r 3 使得 z 芋| 【一，0 】= 妒1 ，z 多i i 一，o 】= 妒2 ，z l 【一r ，o 】= 妒3 ， 对o ，( z ( t ) ，z ；( t ) ，z 雪( t ) ) t 连续，在( o ，+ ) 内几乎处处可微且满足( 2 5 ) ，即它 是系统( 2 5 ) 定义在【_ r ，o o ) 上的惟一解 由于神经网络在应用中通常起始于常数状态，因此本文讨论初值圣kc x 的情形 为表示简便，以下记( z 1 ( 亡) ，z z ( t ) ，z 3 ( t ) ) t = ( t ) ，z 耋( t ) ，z ；( t ) ) t 表示系统( 2 5 ) 具 初值中k 的解；v s o 及定义在【一丁，) 上的连续函数名( ) ，定义映射 ：【一7 - ，o 】_ r ，磊( p ) = 名( s + p ) ，【一7 - ，o 】 对系统( 2 5 ) 定义映射 g ：冗3 _ 冗3 ，g ：( 三； 兰三三；) _ ( 三 兰三；三三；) ，t = 。，1 ，2 ，3 ， 定义2 1 1 若对于非奇异的矩阵7 r 3 3 有7 g ( ? 7 ) = g ( ，y 7 7 ) 对聊帮成 立，则称系统( 2 5 ) 是关于矩阵7 一对称的 引理2 1 1 若存在一个非奇异的矩阵7 ，( 单位矩阵) ，使得甲= ，成立( 这 里p 是等式成立的最小的正整麴，同时系统( 2 5 ) 是7 一对称的，且存在正整数 一5 一 时滞环状三元神经网络系统的动力学分析 m 1 和矿r 3 满足 2 2 主要结论及证明 7 = 甜 巨i 仁7 ， fz 。 k k 妒1 ( o ) e 一， ( 1 + 仇( o ) ) e 一l ， ( 妒3 ( o ) 一1 ) e q + 1 ( 2 8 ) 由西= ( 妒l ，忱，妒3 ) tex 一+ + 可知妒l ( o ) o ，妒2 ( o ) o ，妒3 ( o ) o ，显然由( 2 8 ) 可 知：0 1 ( t ) ，z 2 ( 亡) ，z 3 ( t ) ) t 不可能总是停留在x 一+ + 中，并且它一定会在某个t 1 时刻进 入x 一+ ，则对t 【o ，t l + r 】，( z 1 ( 亡) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( ) ) t 满足( 2 7 ) 且( 2 8 ) 成立 一6 一 硕j j 学位论文 令 e 蠹篡：奠告- 仁9 ， g ( 圣( 0 ) ) = z 1 z 2 0 z 3 ( t + 7 - + 7 + 7 7 i = ，y 圣( o ) 1 = ( 三：) ( 三 l 虽) f 端e 一以哦 【端e 吖+ 1 一洲 f 妒1 ( o ) = 一q l ( q 1 1 ) e 7 = q 1 ( 1 一9 1 ) e 7 o ， 仁h l9 1 ，9 1 _ 坠! 止翅；型坠型( 2 1 2 ) 叼 = 圣( o ) = ( 妒l ( o ) ，妒2 ( o ) ，妒3 ( o ) ) t = ( 口1 ( 1 一9 1 ) e f ，口1 1 ，1 一e 一7 ) t r 一r + r ， 一7 一 由矿的求解过程可知矿满足g ( 矿) = ，y 叩，因此初值矿满足引理2 1 1 中的假设( 玩) 下面我们证明7 7 满足引理2 1 1 中的假设( 吼) 由矿r 一r + r + ，我们知g ( 矿) = 7 矿r 一r 一r + ，同时易知v u r 一r + r + 均有7 r 一r 一r + 类似地，若圣= ( 妒1 ，妒2 ，咿3 ) t x 一+ + ，则 且 初值 ( z l ( t l + 1 ) ，z 2 0 l + 1 ) ，z 3 0 1 + 1 ) ) 1 x 一一+ ， ( z 1 ( 圮+ 1 ) ，z 2 ( t 2 + 1 ) ，z 3 ( 2 + 1 ) ) 1 x + 一+ ， ( z l ( t 3 + 1 ) ，z 2 ( t 3 + 下) ，z 3 ( t 3 + 下) ) 1 x + 一一， ( z l ( “+ r ) ，z 2 ( “+ 7 ) ，z 3 ( t 4 + 1 ) ) 1 x + + 一， ( z 1 ( 拓+ ，) ，z 2 ( t 5 + r ) ，z 3 ( t 5 + 7 ) ) 1 x 一+ 一， ( z 1 ( 6 + r ) ，z 2 ( t 6 + 1 - ) ，z 3 ( t 6 + r ) ) 1 x 一+ + ， ( z 1 1 + 7 - ) ，茁。( t l + 7 ) ，z 3 ( t 1 + 下) ) t = g ( 叩) = 一y 叼+ = 7 g o ( 矿) r 一r 一r ，+ ， ( z 1 ( t 2 + 7 - ) ，z 2 ( t 2 + 7 - ) ，z 3 ( 幻+ 下) ) t ( z 1 ( t 3 + 7 - ) ，z 2 ( t 3 + 7 - ) ，z 3 ( t 3 + 下) ) t ( z l ( t 4 + 下) ，z 2 ( t 4 + 7 - ) ，z 3 ( 亡4 + 7 - ) ) t ( z 1 ( t 5 + 7 - ) ，z 2 ( t 5 + 7 ) ，z 3 ( t 5 + 下) ) t ( z 1 ( t 6 + 7 - ) ，z 。( t 6 + 7 ) ，z 3 ( + 7 - ) ) t = 7 2 g o ( 7 7 + ) r ，r 一r f + ， = ，y 3 g o ( 矿) r 卜r 一r 一， = 7 4 g o ( 叼) r 卜r 卜r 一， = 一y 5 g o ( 矿) r 一r + r 一， = 7 6 g o ( 叩) = j 叩+ = 矿 通过上述分析，可知假设( 吼) 成立因此，根据引理2 1 1 ，我们知道系统( 2 5 ) 具 圣：( 妒：，妒；，妒；) t x 一+ + ，( 妒j ( o ) ，妒；( o ) ，妒；( o ) ) t = ( o ：，。；，n ；) t 的解( z ：( t ) ，z ；( t ) ，z ；( t ) ) t 是一个6 ( t + 1 ) 周期解，这里( n ：，o ；，n ；) 1 = 矿由( 2 1 1 ) 、 ( 2 1 2 ) 式确定 注意到方程f ( q ) ：q 2 一( 1 + e r ) q + e 一2 7 在区间( 1 ，+ ) 内零点的唯一性及 系统( 2 5 ) 具有的7 一对称性，可知：系统( 2 5 ) 具初值圣= ( 妒l ，妒2 ，妒3 ) 1 。x 一+ + ，圣 圣的解( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( 亡) ) t 不是周期解 下面我们说明周期解的吸引性，对于向量z = ，z 2 ，z 3 ) t ，我们定义范数 l z l l = m a x i z l i ，i z 2 i ，l z 3 1 ) ， 8 一 硕 j 学位论文 取d = m i n i z ：( o ) l ，i z ；( o ) l ，l z ；( o ) i ) ，显然d o 对于v 西= ( 妒1 ，妒2 ，妒3 ) t x 一+ + ，( 妒l ( o ) ，( 班( o ) ，妒3 ( o ) ) t = ( o l ，0 2 ，口3 ) t ，系 统( 2 5 ) 具初值圣= ( 妒1 ，妒2 ，妒3 ) t 的解( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ) t ，且 z 1 ( t 1 + 7 _ ) 一z ：( 苗+ 7 ) z 2 1 + 丁) 一z ；( t ；+ 7 _ ) z 3 ( 1 + 7 - ) 一z ；( t ：+ 7 _ ) ( 最一禹矿7 ， 0 ( 高一篇) e - r ，o 而；一而i 其中t 1 和蛄分别表示解( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ) t 和( z ：( ) ，z ；( t ) ，z ；( t ) ) t 离开r 一r + r + 而开始进入冗一r 一冗+ 所对应的第一时间 若i 口t o ：i d ，i = 1 ，2 ，3 ，则设f ( z ，) = 箭，这样我们有 i f ( o ，o z ) 一f ( n ：，n ；) i l f ( o ，n 2 ) 一f ( o ：，n 2 ) i + l f ( 口；，o z ) 一f ( o ：，呓) i ： i 望! 要 竺堕i ：口i + 。扣，一口：) li 。一n ：i + a z 陋一l 十9 1 一l 1 1一。 i 掣h 怖叫批叫| 为 _ 口矿屹峥2 屹” “。 这里0 p 1 p 2 1 由于 l 掣k n + 州”吲| 高舛l 矿l 萨口：枷( 口，川：l 而；e 及 i 掣k 针以旷吲i = 而捌杀砑 o ；( 1 + o ；) 【1 + o ；+ p 2 ( n 2 一o ；) 】2 o ；( 1 + n ；) = 9 1 ( 9 1 1 ) = e 1 ( 9 1 一e 吖) = 去e 一7 ( 1 一e 一7 + ( 1 一e 一7 。) ( 1 + 3 e 一7 ) ) 。i e 。【j - 一e 十、i 上一e 八上十j e j j 妄e r ( 1 一e 一下+ 1 + e 一1 。) = e 一7 所以 z l ( t 1 + 7 ) 一z ； ：+ 7 - ) i =l f ( 口1 ，n 2 ) 一f ( 口：，o ；) 2 e 吖罂愁讹一n 扎 一9 一 时滞环状i 元神经网络系统的动力学分析 设l ( z ，) = 皆，同理我们有 l z 3 ( t 1 + 丁) 一z ；( t ：+ 下) i = i l ( n 3 ，n 2 ) 一己( 口；，n ；) i 2 e 1 燃胍一n 鼽 所以 i 戤 1 + 7 - ) 一z ：( ：+ 7 ) i 2 e 一7 攫愁引口t o ：i ) ，i = l ，2 ，3 通过计算，我们容易得到 i 戤( 如+ 7 ) 一z ：( + 7 - ) i 2 n e n r 是臻 i o i 一瞄i ) ，z = 1 ，2 ，3 ， 因而 l i z ( k + 下) 一z ( 坛+ 7 ) i | l n 2 时是吸引的至此定理得证 注记2 2 1 由定理及其证明可知，周期解z + ( 亡) = ( z ；( t ) ，z ；( t ) ，z ；( t ) ) t 足吸引 的，且吸引域为d = f 圣( 0 ) ：l 圣x 一+ + ，i i 圣( 0 ) 一矿( 0 ) j l o ，( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( ) ) 1 满足( 2 1 3 ) ， 0 成立 因此( z 1 ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ) 1 。_ ( o ，o ，o ) t _ ) 至此，定理得证 一1 1 一 。有( z 1 ( t ) ，z 2 ( ) ，z 3 ( t ) ) t 则( 2 1 4 ) 式对所有t 时滞环状三元神经网络系统的动力学分析 第3 章小参数时滞环状三元神经网络的周期 解 3 1 引言 这一章我们将讨论下列具时滞的环状三元神经网络模型： 引t ) = 一眦( t ) + 五( 址。( 一7 - ) ) 一 ( 珥1 ( t 一丁) ) ，江1 ，2 ，3 ( m o d3 ) ， 其中p ，7 - 均为正常数，表示衰减率，丁为时滞，e 是一个小的正参数， ：r _ r 是 一个l i p s c l l i t z 连续、有界，当很小时，近似于符号函数的非线性函数，满足 z 一p ( e ) ， z 卢( ) ， 事实上，我们可以通过下面的迭代化简上述模型： 忙彬：( z ) = ( 缸引= 肫，以沪倒d 再去掉木，我们得到如下的状态方程： 或( t ) = 一戤( 亡) + 三 丘( 玩一。 一7 一) ) 一五( z 件。 一7 - ) ) ，t = 1 ，2 ，3 ( m 。d3 ) ，( 3 1 ) 而且 厶：r _ r ，l i p s c l l i t z 连续，有界， i 矗 ) + 1 i 双o ， il 丘( z ) 一1 i 占( g ) ， 当e 一0 时，卢( e ) 一o ，6 ( e ) _ 0 z 一p ) ， z 卢( e ) ， ( 3 2 ) 本文的目的是研究系统( 3 1 ) 当很小时周期解的存在性和稳定性问题 y i l a j l ，h u a n g 和z h o u 在文【1 9 中研究了一类离散的三元环状神经网络模型( 见 ( 2 1 ) 一( 2 2 ) ) 在文【1 9 1 中，作者首先研究了当信号函数为分段函数( 2 4 ) 时系统多重 吸引周期解的存在性，然后在此基础上构造了一个压缩回复映射，研究了当信号函 数为满足( 2 2 ) 的l i p s c k t z 连续函数时系统多重吸引周期解存在的充分条件。对于 本文所讨论盼网络模型3 1 ) ，由于系统具不同初值的解从某个区域k 6 c 进入另一 个不同的区域坛6 ，c ，时所对应的时间不一样，故文【1 9 】中构造压缩回复映射的方法 不再适用w h l t e r 在文【4 8 ，4 9 中提出了一种新的构造性方法：精心构造一个闭锥和 一1 2 一 、，、i， e ，f，j f d f d o ，z o ， 近似于符号函数的非线性信号函数得到了存在稳定慢振动周期解的充分条件本 章将把文 5 0 】的方法推广到时滞环状三元神经网络( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的慢振动周期解存在 性的研究上我们首先构造合适的闭锥，并在此基础上得到一个压缩回复映射，然 后导出该回复映射l i p s c h i t z 常数的一个”s h 盯p ”估计，利用这个估计，说明当非线性 函数 ，i 。脂1 左( z ) _ 上南出，0 11 - l 时，对于每一确定的满足条件的正时滞7 - ，当r 满足一定条件和e _ 0 时，系统( 3 1 ) 存 在稳定的慢振动周期解 本章的符号定义请参阅第二章补充定义： 札= ，：，为l i p s c l l i t z 连续的有界奇函数；v z 冗，一l j ( e ) ，( z ) 1 + 6 ( e ) ；对于z p ( ) ，i ，( z ) 一1 l 6 ( e ) ；对于b 一p ( ) i ，( z ) + 1 i 6 ) ； 当e _ o 时，p ( e ) _ o ，6 ( e ) 一o a 。= 中托： 圣= ( 妒1 ，妒2 ，妒3 ) t x 一+ + ， 一7 - ，o 】，有妒1 ( t ) 一p ( e ) ，妒2 ) p ) ，妒3 ) p ) ，且妒1 ( o ) = 口1 ( 1 一9 1 ) e 7 一p ( e ) ，妒2 ( o ) = g l 一1 + p ( ) ，妒3 ( o ) = 1 一e 一7 + p ( ) ， 这里口，为第二章所求，则a 足x 。中的一个闭凸集 我们将考虑初值圣a ，信号函数五肛时的系统( 3 1 ) 的解为了表示方 便，本章用( z ， ( t ) ，z 耋 ( ) ，z ； ( t ) ) t 代替( z ( t ) ，z 霎( t ) ，z 多( t ) ) t 表示系统( 3 1 ) 当初 值西a ，信号函数正札时定义在区问 一7 ，。o ) 上的唯一解，则 j k ( t ，圣) = ( z 1 ( t ) ，z 2 ( ) ，z 3 ( t ) ) t ，z l = z 乒，c ，z t ( ) ( s ) = z t ( t + s ) ，t = 1 ，2 ，3 ，一7 s o 在集合x 上定义了一个连续半流f = f ，c 如文【5 0 】一样，我们引入如下 一1 3 一 时滞环状三元神经网络系统的动力学分析 设愚( ) 和夕( e ) 是定义在r 上的两个实函数，若存在常数七 o 和原点的邻域u ，使 得对所有e u ，均有i ，( e ) i 七i 夕( s ) i 成立，则记 ，( e ) = d ( 夕( ) ) ，e _ o 最后，对于一个给定映射t ：d t _ 恐，所cx 1 ，x 1 和都足线性赋范空间， 定义l i p s c l l i t z 常数为 印) _ 湖t 飘却背e d t ，叩d t ，e 叼i | 乞一7 ，i l 特别，当d t = x 1 = 冗，p 冗，且丘= t 时，记 工p = l 卢( 五) = l ( 丘i 咿) ) 这里的范数是最大值范数，即对于向量z = ( z 1 ，z 2 ，z 3 ) t c ( 【一7 ，o 】，r 3 ) 我们定义 其范数为 2 黝。器0 】似吣 3 2 主要结论及其证明 我们首先讨论当五0 ) 恰为分段函数 ，c ，= 二二1 ， ；三兰： 时对应系统的解由定理2 2 1 的结论通过直接计算，我们得到： 引理3 2 1 设( 可1 ( 亡) ，耽( t ) ，蜘( ) ) t 足系统 晚( 亡) = 一玑( t ) + 去 ，( 玑一1 ( t 一丁) ) 一，( 玑+ 1 ( t 一7 - ) ) ，t = 1 ，2 ，3 ( m o d3 ) ， ( 3 3 ) ， ，= 二二1 ， 三兰： ： c 3 4 ， 具初值西= ( 妒1 ，忱，协) t 咒+ + ，亡【一7 ，o 】的解，其中( 妒l ( o ) ，妒2 ( o ) ，妒3 ( o ) ) t = ( 9 1 ( 1 一口1 ) e r ，9 1 一l ，l e 一1 - ) t ，9 1 = 坐二连幽，则( 可1 ( 芒) ，耽( 亡) ，蜘( 亡) ) t 是 一个周期t = 6 ( t 1 + 7 ) 的周期解，满足当t o 时，( 可1 + t ) ，耽( z + t ) ，蜘( t + t ) ) t = 一1 4 硕1 学位论文 ( 秒1 ( ) ，耽( t ) ，蜘( ) ) t ，其中t 1 = l n g l ，且在区间 o ，卅上，( 可1 ( t ) ，! 2 ( t ) ，讹( t ) ) t 的表达 式为 ( y 1 ( ) ，沈( t ) ，蜘( ) ) t = ( 口1 ( 1 一q 1 ) e 7 一。，口1 e 一。一1 ，一e 一( 7 + + 1 ) t ， o t t l + 7 ， ( 一口 e 7 2 + 1 ，9 1 e 一1 ，( 9 1 一e 一2 7 ) e 7 一。) ) t ， t 1 + 丁2 ( 亡1 + 丁) ， ( 一g e r 一2 + 1 ，( 9 1 一e 2 7 口 ) e ，口 e 2 7 一一1 ) t ，2 ( t 1 + 1 - ) 3 ( t 1 + 7 ) ， ( q ( 9 1 e 打一1 ) e 7 一，一g e 3 7 一+ 1 ，g e 2 7 2 1 ) t ，3 ( t 1 + 7 _ ) t 4 ( t 1 + 7 - ) ， ( g e 4 r 一1 ，一g e 打一+ 1 ，井( 1 一e 2 r q l ) e 2 7 一) t ，4 ( 1 + 丁) t 5 ( 1 + 7 - ) ， ( g e 打一。一1 ，q ( e 2 7 9 1 1 ) e 3 7 一，一g e 5 7 一。+ 1 ) t ，5 ( t 1 + 7 ) t 6 ( t l + 下) ( 3 5 ) 我们发现上述周期解( y 1 ( t ) ，耽( ) ，可3 ( t ) ) t 是一个s 一解，即 ( 秒1 ( )