（理论物理专业论文）物理学逆问题中若干前沿课题研究.pdf

物理学连问题中若干前沿课题研究 摘要 小殳圳宄j 物里璺逆j 吐题- - j 。1 的沿课题，这些题白数学表不l ：都州以归结为求解 p l a n 吐型拟分 程，如比热声严谱反演问题等。 f 1 9 9 0 ，1 。嘲、难先曾引进m 6 b i u s 反演公式来求解这些反问题，由_ f 他任物理中引进了古老的 数论硇数的力法，国际著名杂忠( ( n a t u r e ) ) 同年号j 著文高度评价了他的工作。但是，这利。方 法所给的解般都是包含无穷多项m 6 b i u s 函数和无穷多项逆l a p l a c e 变换的级数和，这就 带来r 两个方而的困难，一是人数的m 6 b i u s 函数值很难确定，一是难以实现无穷多项严格求 和，测此，这个方法提出以后很久都没有实现严格解。直到1 9 9 8 年陈才给出了爱因斯坦谱的 ，格解。本文利用m 6 b i u s 反演公式，克服这些困难以实现完全求和，首次给出了正确的物理 【 1 著名的d e b y e 谱。我们的上作得到了p h y s r e v er e f e r e e 的很好的评价：“t h i sp a p e ri s i n t e r e s t i n g ，i sh i g hq u a l i t ya n dp r e s e n t sa ni m p o r t a n tn e wr e s u l t ”( 见附件) 此外，我们还导 i j 了：类反演问题的一系列严格解公式，这些解都是实表示的，没有发散困难，便于实际计算。 多年以来，求解p l a n c k 型反问题就有两种方法，是戴显熹等发展起来的带消发散参数 的严格解，用的是f o u r i e r 变换及其卷积定理：一是陈难先等发展起来的带一系列m 6 b i u s 函数 的级数解，用的是l a p l a c e 变换法及蛳b i u s 反演公式。其中，后者由于其复杂的形式，实际 r 很难找到解的存在、唯一性条件j 本文从带消发散参数的严格解出发通过研究渐近行为控 制条件，利用数论中著名的r i e m a n n z e t a 函数的级数表示，引入并证明一个逆l a p l a c e 变换的 新的表月i 定州直接导 j 了陈等发展的级数解，并得到了级数解的存在、唯一性条件。我们还 逊。步导r7 带参数s 的新的m e l l i n 表示解，克服了以前的m e l l i n 表示解所遇到的发散困难。 找1 1 的 j | 究刈p l a n c k 犁反演问题的求解给出r 一个绩的处理，找到了各种不同的形式解所 有的存在唯“性定理。 我们在自己首先提出的比辐射率反演问题的基础上，结合大量的实验现象，提出了具有一 定物理背景和重要实用价值的j 义比辐射率反演问题，其中比辐射率已经考虑成频率和温度两 个变苗的函数。通过引进少量参数来描述比辐射率对对温度的依赖关系，导出了一个带参数b 的川a n c k 掣积分方程。任以前r 作的基础l ：，我们还导m 了一个带参数s 的严格解公式，并 发展r 套适合实际计算的含参数b 的普适函数法，汁算表明普适函数法能够给出令人满意的 果。、 我们的i 作丰富和发展了物理中的反问题研究，具有重要的理论和实用价值。广一 关键词：p l a n c k 犁反演问藏严格硪解的统一理论，广义比辐射辜 h15 分类q ：0 4 1 11 0 5 5 24 0 17 55 a b s t r a c t i n t h i s p a p e rw es t u d i e ds e v e r a l a d v a n c e di n v e r s i o np r o b l e mi n p h y s i c ss u c ha ss p e c i f i c h e a t p h o n o ns p e c t r u mi a v e r s i o na n ds oo n i nm a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o n a l io ft h e s ep r o b l e m s m a yb ee x p r e s s e da ss o m ep l a n c k t y p ei n t e g r a le q u a t i o n s i n 】9 9 0 c h e nn a n x i a n l a di n t r o d u c e dm 6 b i u si n v e r s ef o r m u l at os o l v et h e s ej n v e r s i o n p r o b l e m sa tt h es a m ey e a rt h ew o r l d f a m o u sm a g a z i n en a t u r eh i g h l ya p p r a i s e dh i sw o r ks i n c e h eb r o u g h tt h ea g e o l dn u m b e rt h e o r yi n t om o d e r np h y s i c a li n v e r s i o np r o b l e m h o w e v e r ，h i s s o l u t i o n sa l w a y se x p r e s s e da ss e r i e ss u m m a t i o no fi n f i n i t yt e r m so fm 6 b i u sf u n c t i o n sa n di n v e r s e l a p l a c et r a n s i o r m a t i o n sw h i c hi np r a c t i c a lc a l c u l a t i o nw i l le n c o u n t e rt w od i f f i c u l t i e s ：o n ei st h e m 5 b i u sj m o t i o no l a r g en u m b e r sc o u l db eh a r d l yk n o w n ，t h eo t h e ro n ei st h ee x a c t i ys u m m a t i o n o f 】n f i n i t yt e h t i so fi n v e r s el a p l a c et r a n s f o r m a t i o ni sq u i t ed i f f i c u l l a c t u a l l yt h e r ew a sn o ta n y e x a c ts o l u t i o nb vu s i n gt h i sm e t h o du n t i ll a19 9 8c h e nf i r s to b t a i n e dt h ee i n s t e i ns p e c t r u mf r o m h i ss e r i e ss o l u t i o nf o n n u l an o wb yu s i n gt h em 6 b i u si n v e r s ef o n n u l aa n dr e a l i z i n gt h ec o m p l e t e s u m m a t i o no ft h es e r i e s ，w ef o rt h ef i r s tt i m eo b t a i n e dt h ef a m o u sd e b y es p e c t r u mt h i sw o r kh a d g a i n e dh i g h l y a p p r a i s e m e n tf r o mp h y s r e v er e f e r e e ：“t h i sp a p e ri s i n t e r e s t i n g ，i sh i g hq u a l i t y a n dp r e s e n t sa nj m p o r t a n tn e wr e s u l t ”( s e et h ea p p e n d i x ) f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i n e das e r i e so f e x a c ts o l u t i o n sw h i c ha r e a p p r o p r i a t e f o r p r a c t i c a l c a l c u l a t i o ns i n c e t h e y a r ea l 】i nr e a l r e p r e s e n t a t i o na n dh a v ea v o i d e dt h ed i v e r g e n c ed i 币c u l t i e s f o rm a n yy e a r s t h e r ee x i s t e dt w od i f f e r e n tm e t h o d si n s o l v i n gp l a r f l ( t y p e i n v e r s i o n p r o b l e m so n ew a sp r o p o s e db yd a ix i a n x ie ta 1 w h i c hi sd e r i v e db yu s i n gf o r i e rt r a n s f o r m a t i o n a n di t sc o n v o l u t i o nt h e o r y t h eo t h e ro n ew a sd e v e l o p e db yc h e nn a n x i a ne ta lw h i c hi sd e r i v e d b yu s i n gl a p l a c et r a n s f o r m a t i o na n dm g b i u si n v e r s ef o r m u l a i nt h el a t t e rc a s e t h es o l u t i o n sa r e s u m m a t i o no f i n f i n i t ys e r i e s o n ec o u l dh a r d l y f i n d t h e u n i q u ee x i s t e n c ec o n d i t i o no f t h es o l u t i o n s n o wb yu s i n gd a i se x a c ts o l u t i o nf o r m u l aa n ds i n d y i n gt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o rc o n t r o l c o n d i t i o na n du s i n gt h es e r i e se x p r e s s i o no ft h ef a m o l l sr i e m a n nz e t a f u n c t i o ni nn u m b e rt h e o r y , a f t e ri n t r o d u c i n ga n dp r o v i n gan e wr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fi n v e r s el a p l a c et r a n s f o r m a t i o nw e d i r e c t l yo b t a i n e dc h e n ss o l u t i o nf o r m u l a ea n dt h e i ru n i q u ee x i s t e n c ec o n d i t i o nw i t h o u tu s i n g l a p l a c e t r a n s f o r m a t i o na n dm 6 b i u si n v e r s ef o r m u l aw ea l s o g a v e s o m en e wm e l l i n r e p r e s e n t a t i o ns o l u t i o n si n c l u d i n gap a r a m e t e rs t h i sn e ws o l u t i o n sa r ef r e ef o r md i v e r g e n c e p r o b l e ma sc o m p a r e dw i t hp r e v i o u sm e l l i nr e p r e s e n t a t i o n 0 0 rs t u d i e so np l a n c k t y p ei n v e r s i o n p r o b l e m sr e s u l to na u n i t es o l u t i o nt h e o r y ，f r o mw h i c ht h ec o m m o nu n i q u ee x i s t e n c et h e o r e m h a v eb e e no b t a i n e d b a s i n go no u rp r e v i o u sw o r k so ne m i s s i v i t yi a v e r s i o np r o b l e mw h i c hw eh a dp r o p o s e df o r t h ef i r s tt i m e ，a n dr e f e r r i n ga i a r g oa m o u n to fe x p e r i m e n t a lp h e n o m e n a ，w ep r o p o s e dan e w g e n e r a l i z e de m i s s i v i t yj n v e r s i o np r o b l e mi nw h i c ht h ee m i s s i v i t yi sc o n s i d e r e da saf u n c t i o no f f r e q u e n c ya n dt e m p e r a t u r e s b yu s i n gaf e wp a r a m e t e r st od e s c r i b ed e p e n d e n c eo fe m i s s i v i t yo n t e m p e r a t u r e w eo b t a i n e dan e wp l a n c kt y p ei n t e g r a le q u a t i o ni n c l u d i n g 8 t h ee x a c ts o l u t i o n f o r m u l at ot h i sk i n di n v e r s ep r o b l e mh a sb e e no b t a i n e d w ea l s od e v e l o p e dau n i f i e df u n c t i o n m e t h o df u f m ) i no r d e rt or e a l i z ep r a c t i c a lc a l c u l a t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a tu f mc o u l dg i v e s a t i s f y i n gr e s u l t o u rw o r kr i c h e n e dt h ec o n t e n to f t h er e s e a r c ho np h y s i c a li n v e r s i o np r o b l e m s 、i tj si m p o n a n t o nf u n d a m e n t a it h e o r ys t u d i e sa sw e l ia si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ， k e yw o r d s ：p l a n c k t y p e i n v e r s i o n p r o b l e m ，e x a c ts o l u t i o n ，u n i t et h e o r y o ns o l u t i o n s g e n e r a l i z e de m i s s i v i t y 第一章概述 反问题是物理学中的重要研究内容之一，反问题的研究往往给我们带来新的思想 和方法。 本文将主要讨论统计物理中出现的以下几类反演问题： 1 ) 比热声子谱反演问题； 2 ) 黑体辐射反演问题； 3 ) 比辐射率反演问题。 这些反演问题都可以表示成p l a n c k 型积分方程，这里p l a n c k 型积分方程是指有 关化学势为0 的玻色系统( 如声子、光子、自旋波等) 的物理性质的积分方程，这些 积分方程的被积函数中都包含有因子( e x p ( h u k b t ) 一1 ) 或者它的幂 1 1比热一声子谱反演问题 人们很早就发现用经典力学和经典统计无法解释晶格比热低温下随温度的变化关 系1 9 ( j ( j 年p l a n c k 提出量子论后，爱因斯坦【l 】在1 9 0 7 年采用了p l a n c k 的量子论来 解释晶格振动，并导出了在一个低温下随温度降低而指数下降的比热1 9 1 2 年d e b y e 2 改进了爱因斯坦的理论，引进连续谱和截止频率来描述品格振动的频率分布，得到 了著名的d e b y e 比热，能够很好地解释晶格比热在低温下的t 3 律他们的工作曾对 早期的量子论的发展起到过关键的作用后来，基于声子谱在研究晶格振动动力学及 品格热力学方面的重要性，1 9 4 2 年m o n t r o l l 等 3 】曾提出由比热求声子谱的问题，即 我们所说的比热声子谱反演问题这个问题可以表述如下，晶格振动对比热的贡献 可以表示为态密度的积分： ，。h ，、2p h u k b y e v ( t ) “e ol 麝j 高t 万二霄9 ( ”) 咖， ( 11 ) 式中h 和b 分别表示p l a n c k 常数和b o l t z m a n n 常数，9 ( v ) 就是晶格振子的态密度 声子谱，它满足下面的归一化条件： 9 ( ) d = 3 n 7 _ ( 12 ) 其中足晶胞数目，足每个晶胞内部的自由度数目比热声子谱反演问题就是 要从测量的晶格比热数据c i ( 了、) 通过解方程【11 ) 求出声子谱9 f v ) 这个问题可以归 结为求解数学物理中的第一类f r e d h o l m 积分方程，但由于这一反演问题有很强的物 理背景和实际应用价值，因此它的研究吸引了许多物理学家的注意m o n t r o l l 曾应用 f o u l ”t 变换法求得了- 这一反演问题的一个严格解公式，他的公式可以表述成， 咖j = 去：而蕊丽：。删u o 尸础 ( 1 。) 2 第一章概述 式中， ( i 吖甘】= f l ( 丁) 七日 ( 14 ) 1 9 5 7 年l 1 h | l i ，独立地提出了同一问题，并m e l l i n 变换法也得到了一个严格解公 式。1 9 6 1 年，c i l a l l l l s 【5 】再次应用f o u r i e r 变换法研究了这一问题由于电声子相 互作用在超导研究中的重要性，这一反演问题不断受到重视，并且有许多新的方法发 展起来。1 9 9 0 年戴显熹1 6 ，7 根据比热的渐近行为引入消发散参数得到了带参数s 的 严格解公式， 加，：嘉e 丽群褊o ” 容易看出，公式( 13 ) 是公式( i5 ) 在s = l 的特殊情形，此外，公式( 1 5 ) 还可以应用 于低维情况 同年，陈难先 8 在l a p l a c e 变换法的基础上，引入m 5 b i u s 反演公式，得到了一个 级数解公式， 咖，= 击薹小矿 唑掣，u 。孙 。， 其中，c 一1 f1 代表逆l a p l a c e 变换，它将“空间变换到”加空间，卢( n ) 是m s b i u s 函 数f 9 1 ，它的定义是： 1 i f ，n = 1 ， f 一1 ) i fni n c l u d e srd i s t i n c tp r i m ef a c t o r s ， ( 17 ) 0 o t h e r w i s e 1 9 9 ( 1 年，h u g h e s ( 1 0 】在讨论陈的工作时，用m e l l i n 变换法导出一个严格解公式 咖，= 熹蔗2v 。蔷出 剐 最近戴显熹、温涛等( 1 1 ，1 2 在严格解( 15 ) 的基础上，给出了比热一声子谱反演问 题解的存在、唯一性条件，并首次实现了由真实实验数据( y b c o 高温超导) 反演得 到可以和实验相比拟的声子谱；这一结果使人们在比热一声子谱反演问题的研究上， 从理论研究走到实践应用中去 1 2 黑体辐射反演问题 1 9 8 2 年，b a i a r s k i 【1 3 首次提出黑体辐射反问题在绝对温度t 下，黑体表面上 单位面积所辐射的功率谱p ( 一) 由p l a n c k 公式给出： 川= 掣而素一 。， 12 黑体辐射戾) 寅问题 其中，n 足p i a j l ( k 常数，k b 是b o l t z n a l l n 常数，c 是光速如果黑体的面积温度分 布是“( 丁) ，那么总的辐射功率w ( ) 是： w ( 。) ：可2 h t ar c 0 a ( t ) d t e x p ( 丽h i , ) 一l ( 1 1 0 黑体辐射反问题就是由测量到的总的功率谱( v ) ，通过解积分方程( 19 ) 求面积温度 分布a ( t ) 。 b o j 。，s k i 最早采用l a p l a c e - 变换将积分方程化为函数方程，然后迭代法求解其解 法大致如下，先应用l a p l a c e 变换及其逆变换将方程( 11 0 ) 改写为如下的函数方程的 形式： m ) = 主) ， ( 1 1 1 ) 其中u = 南叫做冷度，而 m ，= l - l g ( v ，= l i l 妄等，一z 卜( 1 i 2 ， 式中l1 表示逆l a p l a c e 变换根据式( 1 。1 2 ) ，b o j a r s k i 得到一个迭代解 。叫( u ) = m ) - 墨；n ( i ) ( 1 1 3 ) b o j a r s k i 的工作开辟了一个新的研究领域，他的工作出来以后，相继发展了许多 近似解的工作，如r a y l e i g h j e a n s 近似 1 4 ，w i e n 近似 1 5 、 1 6 】，及其他的改进的 近似方法1 1 7 、【1 8 】等1 9 8 5 年，基于b o j a r s k i 的函数方程( 1 1 2 ) ，k i m 和j a g g a r d 1 9 j 应用迭代法首次给出了这一问题的级数形式的解 牡m ) + 驴户学， ( 1 1 4 ) 怕l 旷1 其中是不同素数的乘积，而矗是曲”中不同素因子的数目公式( 5 ) 的头几项是 l a k h a t a k i a 在讨论黑体辐射反问题的计算中的一些关系时，曾利用m e l l i n 变换得 到了一个严格解公式， 。c 丁m 。1 悔1 诺糕卜 n 其中，r ( p ) 是e u l e lg a m m a 函数， 0 。将被积函数用级数展开，式( 2 1 4 ) 可以写成， 帅，= 警：。e n 曼= l ( ；) 。( 争 定义 ，( u ) = ( 1 n ) 。( “加) 和 删= 丽c 2 ( ”) 由式( 2 1 5 2l7 ) ，( t ) 就是9 ( ) 的逆l a p l a c e 变换 由方程式( 216 ) 得 ( 21 5 ) ( 2 1 6 ) ( 21 7 ) ( 21 8 ( 21 9 应用上述m s b i u s 反演公式，其中a ( u ) 由u f ( u ) 代换，b ( u ) 由u a ( u ) 代换，得冷度的 面积分布 或者 “( “) = n ) 叫 22 0 - “加1 ( 22 1 ) 1 2第二章用m b b i u s 反演公式求反演问题的严格解 此即陈所得到的黑体辐射反演问题的形式解，这个结果和k i m 和j a g g a r d 2 1 的结果完 全一致。 3 ) 比辐射率反演问题对于灰体辐射，如果我们已知它的比辐射率9 ( v ) ，那么它 的总辐射功率1 ( 7 1 ) 就可以写成 坩，= 等z 。豢羚， z 。， 式中h 和k b 分别表示p l a n c k 常数和b o l t z m a n n 常数，c 是光速比辐射反问题 1 3 】 即是要通过解方程( 2 2 2 ) 由测得的总辐射功率j ( t ) 求出比辐射率为了应用l a p l a c e 变换方法求方程的严格解，我们引进新变量u = h k b t ，并将方程( 2 2 2 ) 写成 e 拦如 ”薹3 船v 眨z s ， 可以定义函数 m ) = 薹o o 元1 ( ；) 3 9 ( ( 2 。a ) 由方程( 22 a ) 知，邝，) 就是丽c - d ( 蕊h ) 的逆l a p l a c e 变换， m m 。 嘉jc 彘胁- 1 另一方面，由式子( 22 4 ) 可得 u f ( u ) = ( 22 5 ) ( 2 2 6 ) 应用m s b i u s 反演公式，其中a ( u ) 由”，( ”) 代换，b ( u ) 由2 4 9 ( ”) 代换，得 咖，= 专薹掣， 协z ， 再应用式( 2 2 5 ) 即得比辐射率为， 加，= 嘉薹掣 ，( 去) 孙 z s ， 此即应用i m p h ut ，变换和m 6 b i u s 反演公式得到的比辐射率反演问题的严格解公式 由于二陈引进_ 广数论中的古老的数论函数m 6 b i u s 函数及其反演公式来研究物理 学中的反演问题，他的方法很快受到了普遍重视【4 】4 【1 5 】( 1 6 ，并在n a t u r e 上得到了好 评但值得注意的是，所有这些解公式( 21l 、22 1 、2 2 8 ) 都涉及无穷多的逆l a p l a c e 22 比热声子谱反，q 题的严格解 变换，这使得它们在实际计算时很难进行( 见b e r t e r o 等的工作f 1 4 】，他们仔细研究了 逆l a p k e 变换的不稳定性) 。更为困难的是，确定大数7 l 的m 6 b i u s 函数p ( n j 的值本 身就是一个尚未解决的难题，这使得人们很难讨论形式解的收敛性、存在唯一性。这 就产生了一个问题，能不能发展一个有效的方法来检验这类带有m 6 b i u s 函数的级数 解公式本章的工作即是要发展严格解，以便检验这类级数解的可靠性 2 2比热声子谱反问题的严格解 2 2 1d e b y e 谱 1 9 9 8 年，为了检验上述用m 6 b i u s 反演公式得到的级数解公式，陈难先【l o 】应用 m s b i u s 反演公式从解公式( 21 1 ) 导出了爱因斯坦谱的严格解同时，文【l o j 还采用了 一个比热的低温展式g ( t ) = a a t 3 + a 5 t 5 + a 7 t 7 + 通过解公式( 2 1 1 ) 导出了一个声 子谱这个声子谱的首项是9 ( v ) 一沪的形式，但是却不带截断因子和d e b y e 频率，因 此不是完整的d e b y e 谱因为它不能满足比热一声子谱反演问题中的方程( 2 5 ) ，因 此也就不具有声子谱的性质实际上，一个正确的声子谱应当由一个涵盖从0 到。的 完整温区的比热数据反演出来，而决不可能仅仅从比热的低温或高温展式反演出来 鉴于d e b y e 谱在物理上的实用价值以及m 6 b i u s 反演方法的重要性，我们将用m s b i u s 反演公式由陈的解公式导出d e b y e 谱的严格解 1 l 】我们的结果表明，应用m s b i u s 反 演公式不仅可以导出反问题的形式解，而且还能够导得反问题的有实际物理意义的严 格解 我们从如下形式的d e b y e 比热c v ( t ) 出发， ( 丁h m 怕( m 慨( 一晶) ，驴等，n 乩2 ，3 ( 2 2 9 ) 其中峋是格子振动的截止频率， n 是分子数，r 是每个分子的自由度数目，d 。( z ) 代表积分， 现( 加：0 。瘩批 ( 2 3 0 ) zje 一l 式子( 22 9 ) 是著名的v z 维d e b y e 比热插值公式 9 j 我们将d 。( 川展成如下的指数函数的级数形式： 。n c z ，= ；薹z 。z n e 女。a z 2 暑未尚( 砘乏n 掣) 训( 掣嘉南薹筹篙) ， 心。， 1 4第二章用m 6 b i u s 反演公式求反演问题的严格解 其中( ( 。) 是r i e m a n n z e t a 函数，它的定义是 毗 盟矿 杀 一j 。 上 l 一 土略 万 ，一 ， 半 一 r 扩+ 22 比热声子谱反问题的严格解 h 7 23 9 在式( 23 9 ) 中，我们利用了关系，p ( 一k u o ) = 0 ( k 一) 很显然，上述级数( 2 舶) 绝对收敛。根据m 6 1 ，i u s 反演公式( 2l 一23 ) ，取b 【u ) = b , n + l 口( 一) 【它显然满足条 件( 21 ) 1 ，4 ( ) = h ( 卅，得 妻肛( ) h ( p k ) = j n + l 口( 一) ( 24 0 ) 将式子( 23 8 ) 代入到陈的公式( 21 1 ) 并应用式子( 24 0 ) ，我们有 加，= 击警静，卜- ，( 卅科 = 3 n n u n + l 可“吣一，) ：3 掣f 1 一口( ，一) ) 1 0 ：3 | v 掣口( 一v ) ( 24 1 1 0 这就是我们要是声子谱。作为这结果的特殊情形，我们令式子( 2 2 9 ) 中n = 3 且 i o = v d ，则得到正确物理中著名的三维的d e b y e 谱： 9 ( p ) ：9 鸶目( 。一) ( 24 2 ) z z 0 如果比热c i ( 丁) 是由形式( 2 2 9 ) 迭加而成，亦即 c v ( t ) = 3 n 咖z a 。( ( n + 1 ) 砜( 酬一器) n 、 。 。o ：_ h t i o , n ，( 24 3 )2 i 万 其中0 m i 怕2 j o3 ，且a 。0 ，n = l ，2 ，3 ，。a 。= 1 根据迭加原 理，相应的严格解声子谱是， 9 ( ) = 3 n e a 。警0 ( u o 圹) ( 2 4 4 ) n”0 ，n 至此，我们已经应用m 6 b i u s 反演公式成功的得到了正确的d e b y e 谱及相应的推广的 形式 值得注意的是，从光滑的( 无穷次可微) d e b y e 比热( 22 9 ) 能够反演出不连续的 d e b y e 谱而在文【1 9j 中，作者指出一个光滑的输入a 应当给出一个光滑的输出b 第二章用m 6 b i u s 反演公式求反演问题的严格篇 这二者看起来似乎矛盾实际上，我们注意到，陈的m s b i u s 反演解公式包含两个独立 步骤：第一步是做l a p l a c e 变换，它将积分方程转化为和方程；第二步是应用m 6 b i u s 变换，它用来求解这个代数方程。文 1 9 j 中的上述结论正是针对第二步而言的而在 我们的工作中，输入4 足d e b y e 比热的逆l a p l a c e 变换，它本身是不连续的，相应的 输出口也不连续。因此，本文的结论与文【1 9 】的结论并无矛盾 2 2 2r i e m a n n l a g u e r r e ( r l ) 表示 我们知道，d e b y e 比热由于给出了品格比热在低温下的r 3 律，因而取得了极大的 成功。但对于许多复杂的晶体，如高温超导体等，用它拟合得到的d e b y e 温度本身就 必须是温度的复杂函数这说明这些体系的晶格振动的频率分布比较复杂，用d e b y e 谱已经难以很好地拟合为此，我们必须发展新的有效的严格解公式一种方法就是 先构造一组具有特定形式的比热，然后应用严格解公式( r e f e q 2 1 1 1 ) 求出一组具有正 交完备性的特定形式的声子谱由于我们的积分方程( 2 4 ) 是线性的，因而满足叠加原 理这样，只要我们将实测到的比热按照这组特定形式的比热函数展开，然后应用叠 加原理，由展开系数和具有特定形式的声子谱组合起来就可以直接得出体系的声子谱 来正是由于我们构造出来的这组特定的声子谱满足正交完备性，所以在理论上应用 我们的方法可以得到任何体系的声子谱( 只要它在频率趋于0 处和趋于0 0 处的取值 都趋于0 ) 本节的一个主要目的就是要应用m 6 b i u s 反演公式和严格解公式( r e f e q 211 1 ) ， 由一组特定形式的比热导出相应的声子谱的严格解，使得所得到的声子谱满足正交、 完备性 我们从如下形式的晶格比热出发， * e0 警) s + m + l 郢+ m 删十m 心，+ e 等) 一e k b t ( 姐- + e 等) ) a s ， 0 123 其中，f s 都是正的参数， 1 ) ( 24 6 ) 或者写成 沁，= 薹南 ( ( 。】+ q ) 有如下渐近行为 2 0 ， ，一 譬 ( 24 7 1 ( 24 8 ) j 22 比热富于一垂及一题的严格解 知上述比热( 2 。l j ) 有如f 渐近行为 ft s + m + 1 ( t _ 0 ) g “川1 。0 n 。t ( ；- 。j 1 7 f 24 9 1 图f i g21 给出厂前几个比热函数 今利用m s l 儿u is 反演公式由陈的解公式( 21 1 ) 导出相应的严格解声子谱为方便 记，我们令。= 一+ ，n + 2 将上述比热( 2 4 5 ) 记为， ) = b k b t 、i g - if ( ) ，1 + f 等) 一e 等c ( ，h ( k 。b 。t ) ) 一( e 等) ”1 毗圳薹瓦务 再引入变换“= 。( 月7 1 ) ，上式变为 埘2 薹辫， 协s - ， 为了利用陈的解公式( 2 1 1 ) ，我们计算 一 型t 2 式中h ( 纠是 抄鳓) 川一 奇叫 k s ( “ 七b f h f p l f 25 2 1 ( 2 5 3 ) ( 25 4 ) 很显然，上述级数( 25 4 ) 绝对收敛根据m s b i u s 反演公式( 21 23 ) ，如果取b ( u ) = ，r 警f 它显然满足条件( 21 ) ，- 4 ( v ) ：h ( ，) ，则 z ( n ) h ( ；) 女：i “ e 一譬 ( 25 5 ) 奇 一 一，侄h l + p r b 业扑 一e 、，g j 业外 一e 、p 幅 季 求反演问题的严格解 i l k 图2 】r l 表示中的前几项比热，参数取s = l5 ，t o = 5 0 i l 由解公式( 2 1 1 ) 得 南善以砌 等曼m ， “1 2 e - 警 “_ n f 2 5 6 ) ( 25 了) 此即由比热( 24 5 ) 反演出来的声子谱， 至此，我们得到了比热一声子谱反演问题的个严格解公式：如果比热取式( 25 0 ) 的形式，那么反演的声子谱就是式( 25 6 ) 图2l 给出了前几个比热e ( r ) ，其中计 算参数和参数f 的关系是z f = b 。图2 2 给出了前几个声子谱( “) 如果我们将实际测得的比热e l ( t ) 按序列( e 矗( t ”展开( 见式( 4 5 ) ) ， o o e 、( t ) = o m c k ( 丁) ， ( 2 5 8 ) m ：0 那么，由反问题的解给出声子谱 9 ( v ) = o 。( 川”+ 5 p 一警 ( 2 5 9 ) r n = 0 这个结果可以应用到实际反演计算中去，例如高温超导的声子谱反演f 1 2 j 更加重要的是，理论上我们可以由公式( 2 5 9 ) 进一步构造正交完备解系为此， 我们只需利用下面的代数方程，由系数f 构造出新的系数 ，f ， 。c , f l m t n z = f o m ( 26 0 ) 矿 hl一叫 5 22 其中 比热声子谱反问题的严格解 ，刑0 2 h z 图2 2 ：r l 表示中声子谱的严格解，参数取s = 15 ，2 5 0 1 9 。一f i f ( 2 s ) ( - i ) t mc m + ，2 s ( f m ) ，61)ml m+2(261 。：i f ( 2 s ) 。l 。3 ( f m ) ， 式中的归一化系数f ( 2 s ) 和组合系数四的定义为 和 n i ( n ) 四= f1 2 而了i 而 r ( 卢十1 ) r ( n + 1 ) r ( 卢一o 由( 2 6 0 ) 解出 m ，并将式( 26 0 ) 代入( 2 5 9 ) ，得 9 ( v ) = f t m t m ( ”) ”5 e 一号 o c m = 0 f = m 交换式子( 26 4 ) 中的求和次序，得 利用式子( 26 1 ) 得 g ( v 上式可以简单记作 9 ( ”) = ( ”) 8 e f = 0 等m l 。( v ) “ m 2 0 f 2 6 2 1 ( 26 3 ) f 26 4 ) f 26 5 1 知。州川节譬轰等g m + 。2 沁纠“ 6 6 g ( v ) = n 如) f = 0 ( 26 7 2 i ) 式中 第二章用m i s b i u s 反演公式求反演问题的严格解 兵中l n ( j ，) 是l a g u e n e 箩项式， 州小查学嘴) m 注意到l a g u e lt e 多项式在( o o o ) 区域有如下正交关系 2 0 1 ， 。b , a e 一“l p ( 。) l ? ( ，) d z , ，：! j 掣j 。，e 一“l p ( ) l ? ( )，= 三j 三! i ! 二! j “， j 0 ： 因此，严格解公式( 26 7 ) 中的函数序列 u l ( v ) 满足如下正交归一关系， 0 n f ( 川u i , ( 渺= 6 f l ， 此外，函数uz ( ”) 还具有如下的渐近行为， “炒) t j s - 4 0 , , _ 0 _ f 26 8 1 这样，函数序列 “f ( v ) 就构成了一个正交归一的完备基，任何定义域在( 0 ，。) 并 且于0 和。处都趋于0 的函数都可以用该序列展开，而且展开系数是唯一确定的 因此，公式( 2 6 7 ) 实际上就是声子谱用一组正交完备基展开的一般表示式 由于它的普遍性，理论上我们可以用这种方法反演出任何体系的声子谱来i 它 在频率趋于0 和。处的取值都趋于0 1 2 3黑体辐射反问题的严格解一r l 表示 自从b o i a , s k if 1 1 提出黑体辐射反问题以来，人们发展了许多近似解本节里我们 试用m a b i u s 反演公式导出黑体发射反问题的r i e m a n n - l a g u e r r e 严格解族。我们从如 下的总辐射功率谱出发， _ 巾，) = 2 了h j l j ( ! ) n l + s + lf ( ，n + s + ) ( ”t 十s + - t 十嘉) ( 2 7 3 ) 根据广义f i e n l a n l i ，z “a 函数的渐近行为( 24 8 )