（计算数学专业论文）判别二次曲线及二次曲面间位置关系的代数条件.pdf

摘要 本文主要研究两个二次曲线及两个二次曲面位置关系的代数 判别条件我们利用广义特征方程的根的分布情况，给出了两个二 次曲线及两个二次曲面任意位置关系( 分离、相交、外切、内切、内 含) 的判定方法这一问题的研究结果对于计算机图形学、虚拟现 实及碰撞检测等领域有着一定的理论价值和计算优越性 在第一章中，首先介绍了二次曲线和曲面在计算机辅助几何设 计、实体造型及碰撞检测等领域中的应用，回顾了前人已有的检测 二次曲面位置关系的方法 在第二章中，介绍本文所涉及到的二次曲线及曲面的有关知 识，包括二次曲线及曲面的仿射理论，射影理论及欧氏变换下的性 质 在第三章中，研究了广义特征多项式的根与两个非退化二次曲 线位置的联系首先讨论椭圆与二次曲线，然后利用实射影变换将 其它二次曲线间的位置关系转化为椭圆与二次曲线位置关系的判 定问题同时给出了判定算法 在第四章中，首先研究了二次柱面与二次曲面、二次曲面与一 类二次曲面的位置关系然后讨论了椭球面与椭球面的所有位置关 系与广义特征多项式的联系，最后给出了椭球面与其它二次曲面的 位置判定方法的框架 关键词：二次曲线，二次曲面，广义特征多项式，碰撞检测，位置关 系 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ea l g e b r a i cc o n d i t i o n sf o rc l a s s i f y i n gt h ep o s i - t i o n a lr e l a t i o n s h i po ft w oc o n i c so rt w oq u a d r i c s b ya n a l y z i n gt h ed i s t r i - b u t i o no ft h er o o t so ft h eg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ，w ep r e s e n ta n a p p r o a c h t od e t e c tt h ep o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i po ft w oc o n i c sa n d t w o q u a d r i c s ， n a m e l y ls e p a r a t i o n ，e x t e r i o rc o n t a c t ，i n t e r s e c t i o n ，i n t e r i o rc o n t a c to ri n c l u - s i o n t h e s er e s u l t sh a v et h e o r e t i c a lv a l u ea n dc o m p u t a t i o n a la d v a n t a g ei n c o m p u t e rg r a p h i c s ，v i r t u a lr e a l i t ya n dc o l l i s i o nd e t e c t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ei m p o r t a n c eo fc o n i c sa n dq u a d r i c s i nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，g e o m e t r i cm o d e l l i n ga n dc o l l i s i o nd e - t e c t i o n ，a n dr e v i e wt h ee x i s t e n tm e t h o d s w h i c ha r eu s e dt od e t e c tc o l l i s i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w er e v i e ws o m ep r e l i m i n a r ya b o u tc o n i c sa n d q u a d r i c sw h i c h i sr e l a t e dt ot h i sp a p e r ，i n c l u d i n ga f f i n eg e o m e t r y , p r o j e c t i v e g e o m e t r ya n dt h ep r o p e r t i e su n d e re u c l i dt r a n s f o r m a t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h ep o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i pb ya n a l y z i n g t h er o o t so fg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n f i r s t l y w ed i s c u s st h er e - l a t i o n s h i pb e t w e e na ne l l i p s ea n dac o n i c ，a n dt h e nw es t u d yt h ep o s i t i o n a l r e l a t i o n s h i p so fo t h e rt w o c o n i c sb yr e a la f f i n et r a n s f o r m a t i o n w ea l s og i v e t h ed e t e c t i o na l g o r i t h m i nt h el a s tc h a p t e r ，f i r s t l yt h ep o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i po fac y l i n d e ra n d aq u a d r i c ，a n dt h a to fac o n ea n dak i n do fq u a d r i ch a v eb e e ns t u d i e d ，t h e n w ed i s c u s st h ep o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i po ft w oe l l i p s o i d sa n dt h eg e n e r a l i z e d c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l ，a tl a s tw ei n v e s t i g a t et h ef r a m eo fd e t e c t i n gt h e p o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i po fa ne l l i p s o i da n do t h e rq u a d r i c k e y w o r d s ：c o n i c ，q u a d r i c ，g e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l ，c o l l i s i o n d e t e c t i o n ，p o s i t i o n a lr e l a t i o n s h i p 致谢 七年的光阴伴随着我的成长悄然逝去，我也在科技大学度过了 美好的学习时光在本文完成之际，首先我要感谢我的两位导师： 冯玉瑜教授和陈发来教授在三年的研究生学习生活中，两位导师 治学的严谨、为人的谦逊、缜密的思维给我留下深刻的印象，对我 的指导与关怀也铭记在心 我也要感谢邓建松老师、中立勇同学等c a g d 实验室的成员， 他们与我的讨论与交流使我受益匪浅此外还要感谢数学系的众多 老师与同学在我七年学习生活中的所给予帮助与支持 最后，深深感谢我的父母和家人 第一章引言 在计算机辅助几何设计、计算机图形学、c a d c a m 、计算机动画 、计算机仿真、机器人设计、虚拟现实等众多领域中，需要应用大量的 实体造型技术并检测实体之间碰撞情况 l i n1 9 9 8 实体可以有不同的 数学表示和数据表现形式，实体边界的复杂程度也影响着检测碰撞算 法的精度与速度因此在实际的造型技术中常用比较简单和易于控制 的曲面( 曲线) 来替代和模拟比较复杂的实体二次曲面( 曲线) 由于有 着良好的几何特性、较低的次数及灵活的控制参数，成为基本的体素模 型之- - j ue t 以2 0 0 1 ，在计算机图形学等相关领域中起着重要的作用 因而研究二次曲面( 曲线) 空间位置关系并提高算法精度与速度成为一 个重要的研究课题在二次曲面( 曲线) 的碰撞检测问题上，常常考虑 的是二次曲面( 曲线) 间的位置关系，如相交、相切、相离、内含等关系， 而不着重考虑交线的类型和参数表示 在计算几何学中 m a r k e ta l1 9 9 7 ， p o n a m g ie ta l1 9 9 7 ，常用多面体 逼近实体，利用多面体相对简单的边界可以进行位置关系判定及求交 运算这种方法在工程计算及工业应用等领域被大量采用但是这种 方法精度上受到多面体面数的制约，精度的提高将导致面数的增加， 降低了算法的速度 二次曲面的交线类型也可以用来判断二次曲面间的位置关系a b - h y a n k a r 等人对代数曲面的交线作了理论和算法上的研究i m i l l e r1 9 s 7 ， 【a b h y a n k a re ta l1 9 8 9 ， s h e n ee ta l1 9 9 1 ，s h e n e e ta l1 9 9 4 l e v i n ，f a r o u - k i 等人给出了自动参数化二次曲面交线的方法 l e v i n1 9 7 6 ，l e v i n1 9 7 9 ， f f a x o u k ie ta l1 9 8 9 ， w a n ge ta l2 0 0 2 ， l a u r e n te ta l2 0 0 2 这种方法可以 从交线上有无实点来判断二次曲面的位置关系，但是参数化交线的过 程相对复杂，对于碰撞检测而言增加了时间复杂度 最直观的碰撞检测方法是计算二次曲面及曲线间的距离 q u i n l a n1 9 9 4 】 c h r i s t i a nl e n n e r z ，e l m a rs c h o m e r 等人扩展l a g r a n g e 乘子法将二次曲面 片的距离问题转换为求解一元高次( 不超过2 欲) 的多项式 l e a n e r z2 0 0 2 k y u n g - a hs o h n 等人利用线几何的方法研究曲面间距离问题 s o h n2 0 0 2 ， 将距离计算问题转化到5 维空间中考虑，最终求解两个二元高次方程 组但是以上的方法由于方程的次数较高，影响了数值计算的精度，并 1 2 0 0 3 亟 第一章引言 中国科学技术大学硕士学位论文 第2 页 1 2 本文的内容 不适于快速碰撞检测 在经典的代数射影几何学中 s e m p l ea n dk n e e b o n e ，1 9 5 2 ，二次曲面 ( 曲线) 的相交情况及交线类型可以用广义特征多项式和特征值进行 分类 f a r o u k ie ta l1 9 8 9 然而该理论是建立在复射影空间下，因而所 有的二次曲面( 曲线) 的退化交线分类方式都不能直接应用在实仿射 空间下王文平等扩展了该方法 v c a n g e ta l2 0 0 1 ，研究了仿射空间上两 个椭球之间分离和外切的情况，给出了简单的代数判断条件：广义特征 方程有两个不同的正根等价于两个椭球分离；有正重根等价于两个椭 球外切他们还利用这一结果给出了有理运动的两个椭球的碰撞检测 算法阳e ta l2 0 0 2 1 2 本文的内容 本文基于广义特征多项式理论并拓展王文平等 w a n g e ta l2 0 0 1 】的 方法，研究仿射空间下的两个平面二次曲线的位置关系的代数条件以 及几类二次曲面间位置关系判定的代数条件，并给出相应的算法 本文的安排如下： 、 第二章中简要地介绍本文所涉及的仿射几何、射影几何知识以及 广义特征多项式 第三章中分别讨论椭圆与椭圆、椭圆与双曲线、椭圆与抛物线位置 关系的判定条件，并给出分离、相切、内含、相交等位置关系与广义特 征方程的根的联系基于这些理论，通过实射影变换，来判断双曲线与 双曲线、抛物线与抛物线、双曲线与抛物线的位置关系最后给出判断 一般二次曲线位置关系的算法及实例 第四章中，首先讨论柱面与一般二次曲面位置判定的方法；其次讨 论锥面与一类二次曲面位置判定的方法；然后研究椭球面之间的位置 关系的代数条件最后给出相应的算例 第二章二次曲线及曲面的相关理论 在本章中，我们对本文所涉及的关于平面二次曲线及空间二次曲 面的数学理论作一个简要的介绍在21 节中介绍一下二次曲线的仿射 理论；在2 2 节中回顾二次曲线的射影理论；在2 3 节中回顾二次曲线的 欧氏变换下的理论；在2 4 节中介绍二次曲面的射影及仿射理论 2 1 二次曲线的仿射理论 在仿射平面上，我们在某个选定的仿射坐标系下定义一般的二次 曲线4 的方程； x a x t = ( x a ( i ) y = 。 协抛， a=a c d ) 定义2 1 1 若凰a 瑶= 0 ，则称点弱在二次曲线一4 上；若a 霹 0 ，则称点弱在二次曲线4 的外部；若a 裾 0 ，。2 + y 2 + 1 = 0 德椭圈j 0f 椭圆型jz 2 + 铲= 0 ( - - 点或相交虚直线j l a i 0 ，z 2 + 2 一l = 0 r 椭圃j o2 虚椭躅，1 3 与h 羁号。 3 十点；i a = o ：其中 1 沁是舻一j 1 + 屯= o ( i i ) 双曲型 4 双曲线。b o ，的两个实根 丘 o5 一对相交曲线；如= o ； 6 ，抛物线；如= 0 ； w 2 士2 i 鲁矿= o ( i i i ) 抛物型7 一对平行直线， 如= o ，髓 0 ， f 2 + 孥：o 9 一对重合直缀3 = 0 k x = 0 2 4 二次曲面的射影及仿射理论 通常我们用下式表示射影空间p 3 二次曲面的方程t q ( x ) i 口巧q = 0 ( n q = q i ) ( 2 4 1 ) i ，j d e ， c 6 e 0 c d = b c 6 n c = 如 b+o = h 2 0 0 3 - 年中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 ! 三兰三查竺竺圣竺苎竺垫叁兰兰塑兰三查竺苎竺墼耋垒竺兰兰兰 记x = ( 茹，y ，z ，”) ，a = ( n 巧) 4 。4 ，则可将上式表示成矩阵形式x a x r = 0 若i a l = 0 ，称二次曲面为退化的，否则称为非退化的 实二次曲面在实射影变换下可以分为如下八类： 1 。2 + y 2 + z 2 + 叫2 = 0 3 z 2 + y 2 一z 2 一2 = 0 5 $ 2 + y 2 2 2 = 0 7 z 2 一口2 = 0 2 z 2 + y 2 + z 2 一 2 = 0 4 z 2 + y 2 + z 2 = 0 6 z 2 十2 = 0 8 z 2 = 0 二次曲面的秩对于射影变换是不变的 类似于二次曲线，二次曲面的仿射几何可以作为二次曲面的射影 几何的子几何来处理防德植、陈奕培1 9 8 3 仿射变换是使无穷远平 面保持不动的射影变换，将二次曲面与无穷远平面的相关位置作为特 征可以对二次曲面分类考虑二次曲面与无穷远平面的交线r 。： 1 若工1 0 。为非退化的虚二次曲线，则二次曲面称为椭球面 2 若f 。o 为非退化的实二次曲线，则二次曲面称为双曲面 3 若r 。为退化的二次曲线，则称为抛物面 在仿射空间下对二次曲面可以有更细的分类，即通常的十七种二 次曲面防德植、陈奕培1 9 8 3 ，哺开大学1 9 8 9 定义2 4 1 给定两个二次曲面：a ：x a x r ，= 0 和8 ：x b x t = 0 ，方程 ) l x a x t + x b x t = 0 ( 2 4 2 ) 每一个a 都对应一个二次曲面，且该曲面通过a 和b 的交线，我, i l l 称 i i c 方程定义了一个二次曲面束定义4 和8 的广义特征多项式为，( a ) = d e t ( a a + b ) ，( a ) = 0 称为4 和8 的广义特征方程 第三章二次曲线间的位置关系 在本章中，我们利用广义特征多项式来研究仿射平面上椭圆与椭 圆、椭圆与抛物线、椭圆与双曲线之间的位置关系然后利用实射影变 换解决一般的两个二次曲线位置关系的判定本文中只讨论非退化二 次曲线的位置关系( 因为退化形式可归结为直线与二次曲线的关系) 本章安排如下：在3 1 节中利用广义特征多项式研究椭圆间位置关 系；在3 2 节中利用广义特征多项式研究椭圆与抛物线位置关系；在3 3 节 中利用广义特征多项式研究椭圆与双曲线位置关系；在3 4 _ 节中利用实 射影变换来解决一般的两个二次曲线位置关系的判定，并给出相应算 法；最后在3 5 节中给出一些具体的计算实例 3 1 椭圆与椭圆位置关系 4 ：等+ 苦2 l ； 8 ：o 一$ c ) 2 + ( 一c ) 2 = 1( 3 1 1 ) a = ( 专昙三) b = ( 三。二一。j - - 毒x c + 醒) 。j 五， ，(u=det(a+b)5：三翠-a2-b2-a2b2+。c一吾杀yc。),c。，。， 1 一口2 6 2 + 嚣；+ 嘏、口1 q 、v 7 + 1 i 土- 二二土a 一石百a 。 为了得到两椭圆位置关系的条件，我们先给出几个引理 3 1 1 引理 引理3 1 1 对于广义特征多项式，( a ) 有以下性质 8 2 0 0 埤中国科学技术大学硕士学位论文m 9 页 第三章二次曲线间的位置关系31 椭圈与辅圃位置关系 1 f ( o ) 0i 2 若0 a b ，则当0 时，( 一a 2 ) o j f ( - a 2 ) = 0 当且仅当= o j 3 若o a 0 j f ( - b 2 ) = 0 当且仅当虮= 0 证明：容易验i , t i ( 一0 2 ) = ( a 2 b 2 1 ) 。i ，( 一6 2 ) = ( b 2 a 2 1 ) 谚由此 易知结论成立一 引理3 1 2d o o b ，则，( a ) = 0 在【- b 2 ，一a 2 】中必有一根 证明：由引理3 1 1 ，结论显然 引理3 1 3 如果，( a ) = 0 有一个二重根且其不为一口2 和一6 2 ，则4 和1 3 有一个实切点 证明；设a o 为，( a ) = 0 的二重根且其不为一a 2 和一b 2 由于a a + b 的一 阶子式的非常数公因子只能是a 十0 2 或a + b 2 ，所以a o 不是a a + b 的一 阶子式的非常数公因子的根，因此矩阵 o a + b 的秩为2 ，t l p k e r a o a + b 1 的维数为1 由于a a + b = a ( a i 一( 一a _ 1 b ) ) ，一x o 是一a - 1 b 的二重特征 值，故k e r 【a o j + a - 1 b 】的维数为1 f l j j o r d a n 标准型的理论 s t r a n g1 9 8 8 】 知道，存在实向量和一a o b 的广义特征向量x 1 使得； ( o j + a 一1 b ) x o = 0 ，且( a o i + a 一1 b ) x 1 = x o ， l l p ( ；, o i r + a _ 1 b ) 2 x i = 0 因为a 和b 为对称矩阵，所以 叉吾a x j = x t a ( a o ，+ a 一1 b ) 2 x 1 = 0 即) c o 是4 上的点再由 x b x o = 瑶q o a + b ) x o = 踞a ( a o ，+ a 一1 b ) x o = 0 可见弱也是8 上的点 4 和廖在弱点的切线分别是t a x o = 0 和x t b ) c o = 0 由 于( a o i + a - 1 b ) 弱= 0 ，一a o a = 口粕，所以两根切线是相同的， 即4 和召有实切点弱证毕 引理3 1 4 当 b ，1 b 时，一b 2 不可能是，( a ) = 0 的量根 证明：用反证法若一6 。为重根，则，( a ) = 。的三个根为一阮一护，一笞 由引理3 1 1 可知，此时仉= 0 ，再由三个根求得z 。= 士耳e 可而e = _ 现萨 为纯虚数，显然矛盾证毕 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 0 页 第三章二次曲线闻的位置关系3 1 椭田与椭圃位置关系 下面讨论一a 2 为f ( a ) = 0 的重根的情况 引理3 1 5 对于广义特征多项式，( a ) ， j 若o 1 b ，贝l j 8 内含于4 证明：若一a 2 为f ( a ) = 0 的重根，则，( a ) 的三根为一8 2 ，一口2 ，一6 2 0 2 由 此可求得z 。= 0 ，y 。= 士 ( 0 2 一1 ) ( 6 2 一a 2 ) a 当a 1 b 时，上述方程组无解再由i 虮l b 知a 内含于b 证毕 引理8 1 6 若4 和8 有公共的内点，l i l i f ( a ) = 0 没有正根 证明：4 x o = ( x o ，y o ，1 ) t 是a 和8 的公共内点则有瑶a 弱 o 和瑶1 b 0 满足，( a o ) = d e t ( a o a + b ) = 0 ，则 瑶( a o a + b ) x o = m x t a x o + z 罩b z o o ，x t b x o 0 又设a o ( 一n 2 ，0 ) 满足f ( a o ) = 0 ，则 x 吾( a o a + b ) x o = a o x t a x o + x 手e x o 0 对任意方向五= ( z 1 ，y l ，o ) t ，考虑直线 x ( t ) = x o + t x l = ( x o + t x l ，y o + t y l ，1 ) t 当t = 0 时，x ( t ) t ( a o a + b ) x ( t ) = a o x ( t ) 7 a x ( t ) + x ( t ) 7 b x ( t ) 0 x ( t ) t ( a o a 十b ) x ( t ) 的二次项为( z i ( 1 + 鲁) + y ( 1 + 静) ) t 2 ，当足 够大时，其为正因此x ( t ) t ( x o a + b ) x ( t ) 至少有两个零点，即直线x ( t ) 和二次曲线x t ( a o a + b ) x = 0 有两个不同的交点由x l 的任意性， x r ( a o a + b ) x = 0 一定是一条封闭的二次曲线，因而一定是椭圆因 此d e t ( a o a + b ) 0 ，这与a o 是，( a ) = 0 的根矛盾引理得证一 除了上面的几个引理外，在下面的证明中我们还需要多项式的根 的连续性定理 b h a t i a1 9 9 7 h 定理3 , 1 8 ( 多项式的根的连续性定理) 若q ( t ) ，1 j n 为定义在区 间z 上的连续复值函数则多项式 一口l ( t ) 一1 + + ( 一1 p ( t ) 的 根a x ( t ) ，a n ( t ) 也是连续的复值函数 3 1 2 主要结果 有了上节中的引理，我们就可以给出两椭圆位置关系的判别条件 定理3 1 9 如果4 和8 是分离的，i i l f ( a ) = 0 有两个不同的正根 证明t 考虑一个半径为1 的圆岛，中心在( 0 + 2 ，0 ) ，显然4 和岛是分离 的解关于和岛的广义特征方程，o ( a ) = 0 易得有一负根一6 2 和两个 不同的正根 给定一个半径为1 且与分离的圆8 ，我们可以构造一个半径为1 的动圆8 ( t ) ，t 【0 ，1 】，它从玩移到b ，且在移动的过程中层( t ) 始终拟 2 0 0 睥中国科学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第三章二次曲线间的位置关系31 椭田与椭圈位置关系 外部这里e ( o ) 即b o ，b ( 1 ) 即嚣令，( a ；t ) 为关于4 和召( t ) 的广义特征 多项式我们要证明，对于每一个t 【0 ，1 1 ，广义特征多项式，( 凡t ) = 0 都有两个相异的正根 令啦( t ) ，i = l ，2 ，3 是，( 凡) = 0 的三个根由于，( 入；0 ) = 0 有一个 负根和两个相异的正根，可不妨设o l ( 0 ) 0 0 ，y c 0 时，首先考虑半径为i 的初始圆玩，圆心为( i ，0 ) ，矛 0 因为岛的圆 心在原点时内含于4 中，当童足够小时，岛还是内含于4 此时，( a ) = 0 的根都是实根初始圆和4 所确定的广义特征多项式的根为 n 1 = 一b 2 ， 1 一一a 2 = 去( 一1 一n 2 + 孟2 一、，= j 五f 干- i r ；二可研) 口3 = 互1 ( 一l - - 0 , 2 + 面2 + 、c 五孑f f 再1 i 了研) 易证a ；( ) 0 ，a 5 ( i ) 0 璺写a 。= 一0 2 ，璺器a a = 一1 因此当童充分小后，一0 2 a 2 ( 圣) 0 ，一n 2 蜘( 矛) 0 足够小，使得玩内含于山由( e ，v c ) 在右 半平面上，前面已证此时定理成立令动圆的移动轨迹平行于z 轴( 这 样在动圆移动途中不会出现一0 2 为，( 沁t ) = 0 的重根的情况) ，则依然 如上面1 ，2 证明 当a 2 b 时，证明同上，且不会有一n 2 重根或一6 2 重根的情形 定理证毕 推论3 1 1 3t o , a 内含于4 且= 6 ，则，( a ) = 0 有两个根属5 - 1 一2 ，0 ) 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三幸二次曲线闻的位置关系3 ，l 椭圈与椭圆位置关系 证明：当n = b 时，显然一a 2 为f ( a ) 的根，且另两根之积为a 2 由b 内 含于知a 1 ，所以这两根中必有一根的绝对值不大于a 2 ，现只需证 这两根为负根即可直接计算得这两根为 ；( 一1 wa 2 + z ：+ 馥土厂万而i 【珊) 由于z ! + 谚 ( n 一1 ) 2 ，易证这两个根都为负一 定理8 1 1 4 若a 和b 是两个椭圆，( a ) 是它们的广义特征多项式，则 两椭圆4 和8 分离甘，( a ) = 0 有两个相异正根 证明：综合前面所述不难得到 下面进一步讨论两椭圆相交、内切及内含的情况我们分两种情况 讨论 一ln 1 b 此时我们有如下结果： 1 a 与8 有内切点铮他们的广义特征多项式f ( a ) = 0 有负重根 证明：必要性由引理3 i 3 ，3 1 4 ，3 1 5 和推论3 1 1 3 可证；充分性由 定理3 1 1 啼推论3 1 1 3 可证 2 a 与8 仅有两个交点= ，( a ) = 0 有共轭虚根 证明：依然利用前面的动圆移动法选取初始圆岛的圆心为( o ，土6 ) ，计算此时的，( a ；0 ) ：o 的根为a 1 ：一。2 j a 2 ，3 ：- 1 + x f v 一= 万，a 2 ，a 3 为一对共轭虚根，即对初始圆玩命题成立由b 0 移动到b ，尽( t ) 与a 保持仅有两个交点，且无切点假设在b ( 1 ) = 昂时，( 凡1 ) 一0 没有两 个虚根，则必为三个实根由根的连续性，一定存在一个t o 0 ，1 ，使 得a 2 ( t ) = a 3 ( t ) 冗，又，( a ；t o ) = 0 有重根，则4 与b ( t o ) 有切点，这与 动圆的构造相矛盾所以，( a ；t ) = 0 恒有共轭虚根 即若4 与嚣仅有两个交点时，( a ；t ) 恒有共轭虚根上述结论对1 a b 也成立，因为从共轭虚根到实根的转化过程中不能出现重根 3 a 与8 有四个交点号，( a ) = 0 有三个相异的实根，且都小于或 等于一a 2 证明：用动圆法选取初始圆岛，圆心为( o ，0 ) ，计算此时的，( a ；0 ) = 0 的根为a 1 = 一1 ， 2 = 一a 2 ，a 3 = 一b 2 由岛移动到8 ，s ( t ) 与保持有 2 0 0 埤中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章二次曲线间的位王关采3 1 椭圈与椭田位王关系 四个交点由引理3 1 6 ，( a ；t ) = 0 不会出现正根假设在嚣( 1 ) ；b 时， ，( a ；1 ) = 0 有两个共轭虚根，由根的连续性，一定存在一个t o 【0 ，l 】， 使铷2 ( t o ) = n 3 ( t 0 ) 冗，又，( a ；t o ) = 0 有重根，则4 与b ( t o ) 有切点，与 动圆构造相矛盾所以，( ；t ) 恒有三个相异的负根由引理3 1 6 ，3 1 7 ， 这三个负根s 0 2 4 4 与舀有两个交点和一个内切点：争，( a ) = 0 有一个负重根，且 三根都小于或等于一n 2 证明：4 与嚣有内切点，贝l j f ( a ) = 0 有一个负重根；由引理3 1 6 ， 3 1 7 ，知三根都小于或等于一口2 二：1 so b 此时有如下结果： 1 4 与8 仅有两个交点兮，( a ) = 0 有共轭虚根 证明：同“一”中的分析 2 4 与且有两个交点和一个内切点= ，( a ) = 0 有一个负重根， 三根都小于或等于一n 2 且至多一根为一a 2 证明；由4 与8 有内切点知，f ( a ) = 0 有一个负重根；再由引 理3 1 7 知，三根都小于或等于一口2 且这种情况下，a b ( 否则也 为圆，无法满足两个交点一个切点) 若，( 入) = 0 有根为一n 2 ，则z 。= 0 ，y c = b 一1 或一b + 1 ，解方程x a x t = 0 - 与x b x t = 0 ，要求有三个不 同的实解，则一定有n 2 b ，f ( a ) 有三个不同负根，其中两个根【一a 2 ，0 ) ，或者三根为一铲，一n 2 ，一筹 根据上面的分析与定理，我们可以得到下面的结论 定理3 1 1 5a 和8 是两个椭圆，f ( x ) 是它们的广义特征多项式，则 8 内含于4 中 争，( a ) = 0 有三个不同负根，有两个根卜d 2 ，0 ) 或者0 2 b 且三根为一口2 ，一口2 ，一之 凸。 2 4 与廖仅有两个交点甘，( a ) = 0 有共辊虚根 只4 与1 3 有四个交点甘，( a ) = 0 有三个不大于一0 2 的相异负根， 且至多一个为一2 4 一4 与8 有两个交点和一个内切点甘，( a ) = 0 有负重根，且三个 根都不大干一一，且至多一个为一0 2 5 4 与8 只有一个内切点铮，( a ) = 0 有负量根( 一n 2 ，0 ) 或者口2 = b 时，三根都为一0 2 2 0 0 3 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第三章二次曲线间的位置关系5 3 2 椭i l 与抛抽线位置关系 6 8 和一4 有两个内切点甘。2 6 且，( a ) ：。根为一口2 ，一一一箬 z8 与一4 重合营a = b = 1 ，( a ) = 0 的根为一l ，- 1 ，- 1 3 2 椭圆与抛物线位置关系 a