（光学专业论文）Ξ型三能级原子与单模场相互作用系统的光谱特性.pdf

摘要 近代量子光学的理论研究主要集中在，运用全量子理论探讨光场与原子相互作用系 统的量子特性这一中心上， 其内容包括光场的量子特性和与光场相互作用的原子的量子 特性两个大的方面。 作为获得光场与原子相互作用信息的重要手段， 光谱结构是量子光 学主要研究课题之一。 量子光学中广泛研究的光谱包括相互作用系统的腔场谱以及原子 的辐射谱、 共振荧光谱、 原子吸收谱等。 不同 种类的 光谱各自 从不同侧面反映出原子和 光场作用的特性，揭示出了一些新的非经典特性。 近代量子光学理论研究中使用频率最高的模型是由e . t . j a y n e s 和f . w . c u m m i n g s 共同提出的j a y n e s - c u m m i n g s 模型 ( 简称j c m ) 。随着人们对该模型的实验演示的 成功， 这一模型的理论价值和真实物理背景更加得到重视， 各种推广的j c m 相继提出。 其中三 能级原子系统模型是j c m 的一种纵向推广， 是对实际原子系统认识的进一步深入。 实验 和理论研究表明. 三能级原子系统具有一些二能级原子系统所没有的特殊量子效应。 开 展对三能级原子系统量子特性的研究具有重要的意义。 三能级原子模型可分为v 型、人型和级联型。级联型模型又有 e型和 三型之分。 日 前讨论较多的主要是v 型、人型和级联型中的 e型原子模型， 而对 三型模型的讨论 还不多见。 本文对 a型三能级原子系统模型的原子辐射谱和腔场谱结构以及k e r r 介质 对谱结构的影响进行了讨论。 关键词:辐射谱腔场谱s型三能级原子模型单模场 来 鲜乍 i、 勿 全 文 公 布 导 vi i ii. ab s t r a c t m o r e r e c e n t l y , i n v e s t i g a t i o n s o f q u a n t u m p r o p e r ti e s o f a t o m - fi e l d i n t e r a c t i n g s y s t e m s h a v e b e c o m e a t o p i c o f i n t e n s e r e s e a r c h a c t i v i t i e s i n q u a n t u m o p t i c s , w h i c h a r e u s u a l l y a n a l y z e d i n t h e fr a m e w o r k o f t h e f u l l q u a n t u m - m e c h a n i c a l t h e o r y . i n t h i s fr a m e w o r k , m o s t o f t h e o r e t i c a l w o r k w a s m a i n l y c o n c e n t r a t e d o n t w o c h i e f fi e l d s , t h a t i s , t h e i n v e s t i g a t i o n s o f q u a n t u m p r o p e r t i e s e a c h f o r e m i s s i o n fi e l d a n d a t o m w h i c h i n t e r a c t i n g w i t h t h i s f i e l d . a s a f u n d a m e n t a l m e a n s o f u n d e r s t a n d i n g t h e u n d e r l y i n g d y n a m i c s i n v o l v e d i n a t o m - f i e l d i n t e r a c t in g s y s t e m s , e m i s s i o n s p e c t r a l s t r u c t u r e s s u c h a s c a v i t y - f i e l d s p e c t r a o f i n t e r a c t i n g s y s t e m , e m i s s i o n s p e c t r a o f a t o m s y s t e m , r e s o n a n t fl u o r e s c e n t s p e c t r a , a t o m i c a b s o r b i n g s p e c t r a , a n d s o o n , h a v e p l a y e d a c e n t r a l r o l e i n q u a n t u m o p t i c s . a l l t h e s e v a r i e t i e s o f s p e c t r a l s t ruc t u r e s c a n e x h i b i t a f e w n e w n o n - c l a s s i c a l f e a t u r e s a b o u t t h e i n t e r a c t i o n s o f a t o m a n d e m i s s i o n f i e l d fr o m d i ff e r e n t a s p e c t s . j a y n e s - c u m m i n g s m o d e l ( j c m) , f o r m a l i z e d b y e .t . j a y n e s a n d f .wc u m m i n g s , i s b y n o w a f a i r l y e s t a b l i s h e d a n d fr e q u e n t l y u s e d m o d e l i n q u a n t u m o p t i c s . a ft e r t h e s u c c e s s f u l d e m o n s t r a t io n o f t h i s m o d e l i n e x p e r i m e n t , i t s t h e o r e t i c a l s i g n i fi c a n c e a n d p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s a r e w e l l s t u d i e d a n d a n u m b e r o f n e w e x t e n d e d j c ms , m o re p a r t i c u l a r ly , t h r e e - l e v e l a t o m m o d e l , a r e a l s o w e l l d e v e l o p e d . b o t h fr o m t h e t h e o ry a n d e x p e r i m e n t , i t i s s h o w n t h a t t h e t h re e - l e v e l a t o m m o d e l c a n e x h i b i t s o m e m o r e s p e c i a l q u a n t u m e ff e c t s t h a n d o e s t h e j c m w h i c h b a s e d o n t h e t w o - l e v e l a t o m s y s t e m . a s s u c h , t h e i n v e s t i g a t i o n o f q u a n t u m p r o p e r ti e s i n t h r e e - l e v e l a t o m s y s t e m i s a l s o o f g r e a t s i g n i fi c a n c e i n r e a l i t y . i n g e n e r a l , th r e e - l e v e l a t o m m o d e l c a n b e c l a s s i fi e d a s v - , a - , a n d c a s c a d e d - t y p e , w i t h t h e c a s c a d e d - t y p e b e i n g c la s s i fi e d a s e a n d 2 - t y p e . c u r r e n t l y , t h e in t e n s i v e d i s c u s s i o n s f o c u s m a i n l y o n t h e t h r e e - l e v e l a t o m m o d e l s o f v, a - , a n d e - t y p e , b u t f e w i n v e s t i g a t i o n s o f t h e e - t y p e b e i n g i n v o lv e d i n r e c e n t l i t e r a t u r e s . i n t h i s w o r k , w e w i l l i n v e s t i g a t e t h e s t ru c t u r e s o f b o t h a t o m i c e m i s s i o n a n d c a v i ty - fi e l d s p e c t r a b a s e d o n t h e 2 - t y p e m o d e l , a n d t h e i n fl u e n c e s o f ke r r me d i u m o n t h e m. k e y w o r d s : e m i s s i o n s p e c t r a c a v i ty - fi e l d s p e c t r a =- - t y p e t h r e e - l e v e l a t o m m o d e l s i n g l e - m o d e f i e l d 1 绪 论 1 . 1量子光学的发展概况 量子光学是近代物理学中的一个重要分支。量子光学作为一门学科形成于二十世纪 六十年代末，但其发展的鼎盛时期却是二十世纪八、九十年代。 虽然光的量子理论的诞 生要归功于上世纪初普朗克的量子理论和爱因斯坦的光量子理论， 但是应用量子理论全 面而系统地研究光的量子特性以及光和物质的相互作用效应， 并能从实验上加以探讨则 是二十世纪6 0年代产生激光器以后的事。许多光学新效应由于有了激光而能够从量子 层次上揭示出来，形成量子光学的不同课题。随着实验技术的提高，新的光学效应被不 断揭示出来， 进一步充实了量子光学的内容， 促进了量子光学理论的深化和完善，并不 断地拓展其内涵。 全面探讨激光场和原子的相互作用效应是近代量子光学研究的中心内容。在原子和 激光场相互作用系统中， 辐射场和原子都将具有量子特性， 而这些特性在经典物理范围 内是不能揭示出来的。 近代量子光学的 研究表明， 应用全量子理论， 并通过近代光学实 验手段， 人们能够从量子层次上揭示辐射场和原子行为的许多量子特性。 它们表明量子 光学理论的精确性，并显示其重要的实际价值和广阔的应用前景。 近代量子光学的理论研究主要集中在，运用全量子理论探讨光场与原子相互作用系 统的量子特性这一中心上， 其内容包括光场的量子特性和与光场相互作用的原子的量子 特性两个大的方面。 作为获得光场与原子相互作用信息的重要手段， 光谱结构是量子光 学主要研究课题之一。 量子光学中广泛研究的光谱包括相互作用系统的腔场谱以 及原子 的辐射谱、 共振荧光谱、 原子吸收谱等。 不同种类的光谱各自 从不同侧面反映出原子和 光场相互作用的特性，揭示出了一些新的非经典特性，如辐射真空场 r a b i 分裂、自 发 辐射光谱的增强和抑制效应以 及谱线的 线型压窄等量子特性1 - 7 近代量子光学理论 研究中 使用频率最高的模型是 1 9 6 3年由e .t . j a y n e : 和 f . w . c u m m i n g s 共 同 提出 的j a y n e s - c u m m i n g s 模 型 u( 简 称j c m ) 。 这 一 模 型 是 用 来 描 述 单 模 光场与一个原子的相互作用， 它建立在两个基本假设的基础上: 忽略原子间的相互作用， 即仅讨论一个原子与光场的相互作用;原子只有两个非简并的能级，电磁场诱导原子本 征态间跃迁是原子本征频率与光场频率近似相等的跃迁，即共振。近年来，随着人们对 该模型的实验演示和对真空r a b i 分裂实验观察19 1 的相继成功， 这一模型的理论价值和真 实 物理背景更加得到 重视， 各 种 推广的j c m相 继 提出。 v . b u z e k 和i .j e x 将j c m和k e r r 介质结合在一起考虑， 讨论了 含k e r r 介质的j c m中原子的动力学行为11 8 1 和辐射谱13 1 , s .c . g o u 考察了 存在s t a r k 效应时 双模j c m的 动力学行为i i i ; 彭金生等人研究了 虚光场 对原子反转的 衰变与回复现象、 光场压缩和光子反聚束的影响11 2 - 1 s 1 。 这些研究从不同 侧 面反映了k e r r 效应、s t a r k 效应和虚光场效应对量子特性的影响，有的还给出了新的量 子特性。 j c m的另一类推广是对光场与原子祸合系数的推广， 如考虑到原子的运动和腔 场结构后， 祸合系数是时间和腔场参数的函数、 在没有光场能量损失的无损腔j c m、 存 在光场能量损失的 劣腔j c m、 计及原子间 偶极一 偶极相互作用的双原子j c m等11 一。 这些模型的提出与研究极大的丰富了量子光学的内容， 对认识光场与原子相互作用系统 的非经典特性具有重要意义。 三能级原子模型是j c m的纵向推广。 由于实际原子往往具有许多能级， 因此三能级 原子模型的提出与研究是对实际原子系统认识的进一步深入。实际上，理论研究表明， 三能级原子系统具有一些二能级原子系统所没有的特殊量子效应， 如可产生无粒子数反 转激光、自 感应透明、自 由 感应衰减、 光学章动和量子拍频等现象12 2 -2 5 1 。 三能 级原子模 型可分为v型、 a型和级联型。级联型模型又有e 型 ( 非等间隔能级)和2型 ( 等间 隔能级) 之分。目 前讨论较多的主要是v型、 a型和级联型中的e 型原子模型， 而对三 型模型的讨论还不多见。 量子力学理论研究中有关模型精确解的方法有多种，如直接求解法、修饰态法 ( d r e s s - s t a t e )和修饰变换法 ( d r e s s e d t r a n s f o r m a t io n ) 等.一般情况下，模型解的结果 比 较复杂， 不易直接看出 其规律和所包含的 物理特性， 因 此通常结合数值方法对结果进 行讨论与分析。数值计算方法是量子光学理论研究中经常使用的方法之一。 1 .2主要工作 在已 有的研究成果的基础上， 开展p.型三能级原子模型以 及其推广模型的光谱结构 的理论研究。 ( 1 ) 根据j c m以及相关的三能级原子模型建立2 个f,型三能级原子系统理论模型。 这2 个理论模型分别为e型三能级原子与单模场相互作用系统模型、存在k e r r 介质时 的单模场与三型三能级原子相互作用系统模型。 ( 2 )求解模型主要采用修饰态法 ( d r e s s - s t a t e ) o ( 3 )对结果的讨论采用数值计算和解析式分析相结合的方法进行。 1 .3论文的基本结构 本论文首先介绍了光与原子相互作用的量子化理论( 第二章) ， 并对光场的量子特性 和光谱结构的基本理论做了简单的叙述，建立起相关的理论模型 ( 第三章) ，在此基础 上， 着重研究了昌型三能级原子的辐射谱与腔场谱以 及k e n非线性介质对谱的影响( 第 四章) 。第五章对所得到的结果进行综合比较分析。 2 光与原子相互作用的量子理论 本章将简要阐述后面要用到的有关量子光学的基本概念和基本理论，并讨论三种可 能的基本态函数集性质:f o c k 态或粒子数纯态、相干态和单模压缩真空态。 2 . 1 辐射场的量子化2 6 , 2 7 经典电 动力学里，真空中的电 磁场可采用l a gr a n g i a n 密度l ( m k s 单位) : 一 e 0 f( a a ) ， 一 。 2 (o x a ) 2 一 a t ( 2 . 1 ) 描 述 。 式 中 ， 。 = ， / 弄 丽 j 为 真 空 中 的 光 速 ， e 0 和 p 0 分 别 是 真 空 的 介 电 常 数 和 磁 导 率 ， a 是满足c o u l o m b 规范 ( v - a= 0 ) 的矢量势。( 2 . 1 ) 式代入l a g r a n g i a n 方程 d - 况 _ a l - i -1 一=u, d t “ a a 一o a ( 2 . 2 ) 中， 容易得到电 磁场矢势a ( r , t ) 满足的 波动方程: 一1 a 2 a _ v一 a一一 一 ， ; - =u . c , a t ( 2 . 3 ) 如果假定电 磁场限定于边长为l的立方腔体内( 体积v = l ) ， 且腔体的 墙壁上满足 周期性边界条件，那么波动方程 ( 2 .3 ) 式的解可利用f o u r i e r 级数展开成 a (r, t， 一 去 i a kek expk 一 rokt+ ik 一 ， “ 一 ( 2 .4 ) 其 中 ， k =- ( k x , k y , k , ) 是 波 矢 量 ， w k = c k 是 电 磁 场 波 矢 为 k 的 模 的 频 率 ， e k 是 单 位 偏 振 化 矢 量， 人是一 个 非 矢 量 幅 值。 考虑 到电 磁 波为 横波， 每 一 个k 对应 着电 磁场 两 个 独 立 的 极 化 方 向 e , ( 两 个 极 化 方 向 相 互 正 交 ， 并 与 k 正 交 ) ， 因 此( 2 .4 ) 式 中 的 求 和 应 理 解 为 是 对 气 c j 一 1 ,2 ) 进 行 的 。 如果把矢势a看成广义坐标，则与之共扼的广义动量可由式 ( 2 . 1 )定义为 a l a a a =e -. a a一a t ( 2 . 5 ) 将 ( 2 .4 ) 式代入到 ( 2 . 5 ) ， 可得到广义动量a ( r , t ) 的级数展开式 a 一 ， 一 一 1 y_ co k/ a k/ek/ pv v k,一cokt+ ik -r)+ h .c. ( 2 . 6 ) 在c o u l o m b 规范条件下，电场强度e和磁场强度b可表示为 e = 一 竺。 b _ v x a a t- ( 2 . 7 ) 于是 e 一 ，= i 1 万 w k, a k/ ek, expv k k/一tokt+ ik 二 ， “ 一 ( 2 . 8 ) b ( r , t ) = 赤 i a k/ k x e k, exp(- it)kt + ik - r) + h .c.k/ ( 2 . 9 ) 电 磁 场 的 量 子 化 方 法 是 把 描 述 的 电 磁 场 的 经 典 物 理 量 a , 和 a 、 用 相 应 的 算 符 取 代 ， 并令算符满足一般对易关系: a k, , a k j = ih ts kk 心 引 入 两 个 算 符 a 、 和 a 未 ， 令 ( 2 . 1 0 ) a , , = ( )1/2 a k ,，* * = i( r a k ) 1/2 a +2 k ( 2 . 1 1 ) 显 然 a 、 和 a 右 满 足 对 易 关 系 a k, a k ,. = s kk.f5 y . , a k, y a k , j = a 丸 . a k ， = 0 。 把 ( 2 . 1 1 ) 式代入到 ( 2 .4 ) , ( 2 .6 ) , ( 2 . 8 ) 和 ( 2 .9 )式， 有 a (r _ t) = ， (全 竺 兰 1 1/2 。 二 、 二 e x n (- ic ). t + ik - r ) 十 万 二 .， 万w k 犷 ( 2 . 1 2 ) ( 2 . 1 3 ) a (r ,t ) = - ie p 艺 ( k , 2 d tc 2 tv k ) v z v a k , s k , e x p ( - i o ) k t + ik - r ) + h .c . , ( 2 . 1 4 ) e 一 ，= ， ,(z tczw k ),kj v二 一 (-ta)kt一，一 (一 ，= 菩 2i (2ndic ),ak k x ek exp(-iw kt+ ik -r)+ h .ckl . w kv f i ( 2 . 1 5 ) ( 2 . 1 6 ) 现在考察真空中的h a m i l t o n量。把 ( 2 . 2 )式代入 ( 2 . 1 )式，得知真空中电磁场的 l a g r a n g i a n 密度为 1认e x, 一 l =-a 一一吸 v x ai 2民2 ( 2 . 1 7 ) 于是真空中电磁场的h a m i l t o n函数为 h f = f(a . 8 a 一 l )d r i一a t 豪 ( kj kj， )1/2fek14 v k/ * + ( * ， x k ) . ( e k x k ) / k k ( 2 . 1 8 ) x 介 3 r r a k/ b -iw y/ +ik i 一 h .c . a k , e一 。 .c . 根据矢量的性质，上式进一步简化为 h f = rm k(ak,ak, + 2 ) (2.19) 显然，( 2 . 1 9 )式具有量子谐振子 h a m i l t o n量的形式，其归一化本征态可写为 i in k .j. ( m = 1,2 ，二 升 这 表 明 ， h ; 的 本 征 态 是 由 波 矢 为 k , 、 极 化 为 e k.、 模 式 的 波 色 子 表 示 的 ， 这 些 电 磁 场 的 波 色 子 即 通 常 所 说 的 光 子 ， a 。和a 之 、 分 别 称 为 光 子 数 的 湮 灭 算符和产生算符。 由 ( 2 . 1 2 )式所表示的光子数算符的对易关系不难得知其满足关系: a k.、 一(n ,.1. ) 一n k. i. n kj ,，、 * ，一 ，n k.、 一 1,.) a ,. 、 一(n k.j., n k i, + 不 a k.i. a k. j. i (n k.h 卜n k.i. n k 1j i n k j , , 二 ， 飞 ， + i n k. %. ) ( 2 . 2 0 a ) ( 2 . 2 0 b ) 至此，我们已经实现了辐射场的量子化， ( 2 .2 0 c ) 从而采用光子数的湮灭算符和产生算符 a kn 、 和 a 之 、 来 描 述 光 场 。 光 场 的 几 个 重 要 物 理 量 e ( r , t ) 、 b ( r ,t ) 和 马分 别 列 于( 2 .1 5 ) , ( 2 . 1 6 ) 和( 2 . 1 9 ) 式 ， 湮 刃产 生 算 符 a k . i, / a 毛 、 的 对 易 关 系 和 性 质 分 别 列 于( 2 . 1 2 ) 和 ( 2 . 2 0 )式。 2 . 2描述光场的态函数与量子分布理论2 6 ,2 7 ,2 8 对于光场的许多量子特性，采用不同的态函数描述可以更清楚地展示出来。 描述光 场地态有多种， 如光场的粒子数纯态、 相干态、压缩态、相干压缩态、 相位态以及混沌 态等。 其中热光场态是最为常见的一种混沌态。 这些态中最基本的是粒子数纯态， 其它 的 态 都 可 以 用 粒 子 数 纯 态 矢 集引 n ) 线 性 表 示 出 来 。 下 面 简 要 介 绍 后 面 要 用 到 的 几 种 态 函 数，并讨论由这些态函数描述的光场的量子分布形式。 2 . 2 . 1光场的粒子数纯态 如果只考虑频率为0 w 的单模光场，则光场的h a m i lt o n 量由 ( 2 . 1 9 )式得到 二 二 = h w (a a + 喜 ) ， 乙 式中，a 和a 分别是单模光场的湮灭和产生算符。 相应的本征方程可写成 ( 2 . 2 1 ) 设 能 量 本 征 值e . 的 本 征 态 为 n ， 则 h f i n ) = ” “ + 告 )in ) 一 、 in , ( 2 . 2 2 ) 根 据光子 数算 符n= a a 的 性 质和对易 关系( a , a 卜1 ， 不难求出 能量的 本征 值e e . = 。 。 ( ， + 工 ) . 2 ( 2 . 2 3 ) 能级图如图2 . 1 所示。当光场的能量由 ( 2 .2 3 ) 式给定时，系统处于有n 个光子的激 发 态。 当。 = 。 时。 空间 没 有 光 子 存 在， 系 统 处 于 真空 态， 此时 的 能 量 值e o = h o ) 1 2 称 为 零点能，它不具有实质意义. 光 场 的 能 量 本 征 态 心 同 时 也 是 粒 子 数 算 符 。 。 的 本 征 态 ， 一 般 称 为s to c k 态 或 光 子 ( 粒 子 ) 数 纯 态 。 它 们 构 成 一 套 完 备 的 态 矢 量 集 习 n 艺 in 7 ( n i = 1 ( 2 .2 4 ) 因此，光场的一般纯态可表示为 -p ) = e 。 二 n , ( 2 .2 5 ) 式中， 2 . 2 . 2 9 = ( . 1,p ) 表 征 光 场 处 于 光 子 数 纯 态 种 的 概 率 幅 。 e, ， 二( n + 3 / 2 ) h c o ( n + 1 / 2 ) h m ( 耳 一 1 1 2 ) h r o 5 h a 3 1 2 e , = 3 h o o 1 2 e o = h t o l 2 图2 . 1单模光场的 本征能语与光于湮灭和产生的跃迁过程 光场的相干态 用粒子数态描述光场时，光子数有确定的值 ，而光子数对应光强 i = ( n le l n ) - 是波动概念 有确定值， h ( o , , 1 . ， ，、 . ， 。、 二 二一。 。 二 。、 1， 。“ 山 二，二山 ， ，、 一( n+一) ，囚 此 儿 5 ! ft 足 明 正 阴 ，一 匕i m a l l n 足 尤 切 训 4 ; +l - 了田 ka 出丁 相 门 +1 e o v一 2 它与粒子数态不能同时确定，因而用粒子数态描述的单模光场， 光子数具 但相位完全不确定。这里要介绍的相千态在描述光场时可以 构成一个波包 其相位有近似确定值，但光子数有较大的不确定度。 理 论 上 把 相 千 态 定 义 为 非h e r m it e 算 符 。 的 本 征 态 矢 ， 记 为 】 a ) ， 即 a la ) 一 a la ) ( 2 . 2 6 ) 由 于a 是非h e r m i t e 算符，所以 本征值a 应是复数。利用算符a 的性质 ( 2 .2 0 a )式、 粒 子数算符的完备性 ( 2 .2 4 )式以及归一化条件，不难求出 ( 2 .2 6 ) 式的解: j h， 杀 a.、 “ ) 一 “ ”击- in j .l- 0 n ! 下面讨论光场相干态的一些重要性质。 ( 1 )相干态不具备正交性。应用 ( 2 .2 7 )式，我们有 ( 2 . 2 7 ) (,6 1a ) = e -qa l.le lv 2 乞 艺 fl . . a ( 2 .2 8 ) . = o祝=on ! n ! (n lm ) 一 exp - 含 (ia la + 1,6 1) + a /3 , 不 口 ( 16 1a ) 一 由此可见， = e x p - (la 一 a le . 对应于不同 本征值。 和9的 两个相干态并不具备正交性。 ( 2 . 2 9 ) 当 。 一 洲 1 时 ， ( 川 a ) 1 - 0 , 所 以 随 着 la 一 洲 的 增 加 ， 它 们 逐 渐 趋 于 正 交 。 ( 2 )相千态具有超完备性。因 刃 a )a a - nx m l揣 ”)(功 l 1n! m ! 介 -ia la * a d a j , r - ld r j d w 一 ， .艺祠。艺祠 .艺间.艺间 作 代 换 、 = ; ， ， 并 应 用 积 分 沁一 、 一n ! , 以 及 2 .2 4 ， 式 ， 则 有 月 a ) (a ld a = i ( 2 . 3 0 ) ( 3 ) 相千态是最小不确定态， 从而是描述光子波动性的最确定态. 谐振子的坐标算 符9 和动量算符p 可以 用粒子算符a 和a + 表示为 。 = ( ) v 2 (。 十 。 ) ， ， 一 俘) 一 (。 一 。 ) ，( 2 . 3 1 ) 并 且9 和p 满足对易 关系 4 , p = i h 。 于 是( 2 .2 1 ) 式描述的 单 模光 场的h a m i l t o n 量 就对 应着质量为1 ,频率为c o 的谐振子的h a m i l t o n 算符: 、 = 喜 (， ， + 。 ， 。 ， ) ， 艺 ( 2 . 3 2 ) 所以 算符9 和p 是 坐标表象中 描 述光场的 正则 坐标和正则 动量算符。 当 光 场 处 于( 2 .2 7 ) 式 描 述 的 相 干 态 哟时 ， 容 易 计 算 。 、 p , 。 ， 和 尸的 期 望 值 ， 并由 此得到9 和p 的均方差涨落分别为 ( a 4 ) 二 、 。 ， ， 一 、 。 2 一 i i , (a p ) 2 = 、 p 2 ， 一 、 ， 2 = 粤 ( 2 . 3 3 ) 所以 幼 匆 = a / 2 .( 2 . 3 4 ) 这正是h e i s e n b e r g 关于粒子坐标和动量不确定关系中 所容许的 最小不确定值。 它说明了 用相干态描述的光场，能够确定一个小的波包，它揭示出了光的波动形态， 这是与用粒 子数态描述光场不同的地方。至于波包的形状和宽度将在下一节讨论。 2 .2 . 3单模压缩真空态 压缩真空态是已经在实验中制备出来了的一种非经典光场 态，其定义为 io ) g = s ( i )lo ) ， 是一种特殊的压缩相干 ( 2 . 3 5 ) 式中 s ( 幻为压缩么 正算符， s ( ， = exp 合 咨 一合 a ) ( 2 . 3 6 ) 其中咨 = r e b 为 任意复数。 在粒子数表象中， 压缩真空 态的 态函 数为 0 = y ，8 . . 曰 1 ( - e b tan h r ) n ( 2 n ) l l 2 c o s h rn !2 】n )( 2 . 3 7 ) 上式表明，压缩真空态是由 仅包含偶数个光子的f o c k 态叠加而成的。 处于压缩真空态的光场的平均光子数为 n = ( n ) = s in h 2 r ， 因此， ( 2 . 3 7 ) 式可写为 ( 2 . 3 8 ) 又 了 要 簇 赢 不一t 1 +n)- 一， ( _ e re ) n ( 2 n ) u 2 n ! 2 n )( 2 . 3 9 ) 2 .2 .4概率分布 ( 1 )处于相干场的光子的概率分布 由( 2 .2 7 ) 式 可 知 ， 由 相 干 态 】a ) 描 述 的 光 场 处 于 粒 子 数 纯 态 1n ) 的 概 率 为 p 一 i(n l - )i2 = 一 a l la l2 e 。 ( 2 .4 0 ) 它 表 示 光 场 对 所 有 粒 子 数 纯 态 种的 概 率 分 布 呈 现 形 如图2 .2 所 示 的p o i s s o n 分 布 形 式 。 洲 一 n 二 1 0一 氏以日日川州 86 0八u 2 4 8 8 1 0 日州日公 卜0 o 0o 图2 .2处于 相干场的光于的 棍率分布 从 图 2 .2 中 不 难 看 出 ， 当 la l2 1 时 ， p 却 在 。 = la l， 处 取 得 最 大 值 。 关 于 峰 的 宽 度 ， 即 相 千 态 情 况 下 的 光 子 数 均 方 根 涨 落 可 计 算 如 下:因 、 = (， ) = (a la a la 一 。一 i lal p n - ta l(a a )21a ) = 一 ，“，兵 lal nn ! 一 !a le + la l 1a 12 ( 2 .4 1 幻 ( 2 . 4 1 b ) 所以，光子数的均方根涨落为 、 = v ( a l(a a ) 2 l a ) 一 (a la + a l a ) 2 = la l = -,fw- ( 2 . 4 2 ) 由 此 可 见 ， 在 la l ( 或 振) 很 大 时 ， 光 子 数 的 均 方 根 涨 落 很 大 ， 因 此 用 相 千 态 描 述 的 光 场 ， 其 光 子 数 由 很 大 的 不 确 定 度 。 同 时 ， ( 2 .4 1 ) 式 还 表 明 la l， 是 相 干 光 场 的 平 均 光 子 数 ， 它反映了 光场的强度，而 ( 2 .4 0 ) 式可写为 n一 而 万 ” 气 =已，下 n三 ( 2 .4 3 ) ( 2 ) 处干单模压缩真空态的光场的概率分布 单 模 压 缩 真 空 场 处 于 粒 子 数 纯 态种的 概 率 由( 2 .3 7 ) 或( 2 .3 9 ) 式 得 到 ， 可 得 光 场 的平均光子数为 n ( 2 n ) 1 ( 1 + 司n + 1 1 2 ( n ! ) 2 2 2 ( 2 . 4 4 ) 单模压缩真空场的概率分布曲线如图2 .3 所示， 其轮廓在n 1 时比相干场的要窄些， 而 且峰值始终出现在n = 0 处。这说明光子数涨落较之相干态要小，即涨落得到了压缩。 n _i=1w=101 巨|;日日日曰队一 ，080604吐 图2 .3处于 单 棋真空 场的 光于的 概率分布 3 原子与单模场相互作用模型 本章首先介绍被广泛采用的二能级原子与单模辐射场相互作用系统模型，即所谓的 基于二能级原子的j a y n e s - c u m m i n g s 模型， 然后在此基础上介绍本文主要研究的两个基 本理论模型，即基于三能级原子的相互作用系统的扩展模型。 3 . 1二能级原子与单模场相互作用系统模型2 6 ,2 7 1 3 . 1 . 1二能级原子 实际原子的能级结构是十分复杂的，即使是最简单的氢原子也由一系列分立能级组 成， 而且大部分能级都是简并的。 所以要用全量子理论精确讨论多原子系和光场的相互 作用是不可能的， 哪怕是讨论一个原子与光场的相互作用也必须借助某些假设。 辐射场 在诱导原子不同态间的跃迁时， 最有可能发生的跃迁是原子本征跃迁频率与辐射频率相 等 或 近 似 相 等的 跃 迁， 所以 最自 然的 假 设是 令原 子 只 有 两 个非 简并 能 级e , 和e _ ， 这样 一个原子模型称为二能级原子。二能级原子的能级图如图 3 . 1所示，其本征跃迁频率 co o = ( e ， 一 e _ ) 1 h . + )e , h 叭 一 ) 图3 . 1二能级 原子能级图 二能级原子的h a m i l t o n 量可写成 h , = pm + v (r) ( 3 . 1 ) 其中，p 是电 子的动量，v ( r ) 是电 子与原子实的 相互作用势能。 在s c h r o d i n g e r 绘景中， 二能级原子系统的能量本征方程为 h , 士 ) = e , 士 ) ， ( 3 . 2 ) 而 且 i+ , 一 构 成 完 备 基 。 这 样 二 能 级 原 子 系 统 的h a m i lt o n 算 符 可 写 成 h a = e + i+ y + i + e - 】 一 ) (一 】 .( 3 . 3 幻 ( 3 . 3 a )式的矩阵形式为 h , = e .0 : 、 : : ( 3 . 3 b ) 取e + + e - = 0 , e + 一 e - = h w o ， 并引 进原子鹰自 旋算符 : _ 1112 0 一 告 !: 0,s- 2 ( 3 . 4 ) 则 ( 3 . 3 b ) 式进一步变为 h , = h o o a . ( 3 .5 ) 同时，从 ( 3 .4 )式给出的原子质自 旋算符的定义不难得出它们间遵循的对易关系: s 2 ， 又 = 士 5 * ， s + ， 5 _ 1 二 2 s , s + , s _ + = ， .( 3 .6 ) 3 . 1 .2 j a y n e s - c u n u n i n g s 模型 一个二能级原子在矢势为a ( r , t ) 的 辐射场作用下， 系统的h a m i l t o n 算符可写为 h= h， 十 hf + 凡 ，( 3 . 7 ) 其中， 描述原 子的h a m i l t o n算符h , 和描述自 由 辐 射场的h a m i l t o n算符h f 分别己由 ( 3 -5 ) 和( 2 .1 9 ) 式 给出 ， 而 描 述原 子与 场 相 互 作 用的h a m i lt o n 算符凡为 一e ，. 、e 2， h, = -( p - a+ a- p ) + 二 二 , a - , 冲砚 cz刀孟 亡- ( 3 . 8 ) ( 3 . 8 ) 式中的第二项描述的是不同 辐射振子之间的相互作用， 与第一项相比可忽略不计。 而 且 其 中 的 a 含 有 坐 标 算 符 r ， 因 而 队p $ 0 . 但 考 虑 到 原 子 的 线 度 很 小 ， 一 般 可 认 为 a ( r ,t ) a ( 0 ) ， 从 而 有 卜 , p = 0 。 这 一 近 似 称 为 偶 极 近 似 。 作 了 这 些 近 似 之 后 ， ( 3 .8 ) 式可简化为 h , = 二a ( 0) p .( 3 .9 )a ( 0 ) - p . 刀: c ( 3 .9 ) 式中 的a ( 0 ) 由( 2 . 1 3 ) 式给出， 而 算符p 可写 成 p 二 ( + ip l号 s + + ( 一 】p l + ) s _ , ( 3 .1 0 ) 注意到， h e i s e n b e r g 绘景中 _dd t r = pm 一 1 r h ,ih 卜 与e , i 九 一 e - ) r =- i o ) , r , ( 3 . 1 1 ) 于是 p 一 臀(+ le rl- )s , - (一 ie rl+ )s _ 我们己 令偶极矩 = - - - 0 d ( s , + s - ,( 3 . 1 2 ) 式中 ( + i- 1一(d , d一般来说为实矢量。把 ( 2 . 1 3 )和 ( 3 . 1 2 )式代入到 ( 3 .9 )式，并令 ( 3 . 1 3 ) 2 a , _ 9 k=( -) 叭 k , ， 犷 山k ( 3 . 1 4 ) 则得到一个二能级原子与辐射场的相互作用h a m i l t o n 量: h ， 一 艺 g kf ( a k f + a kf ) ( s . + s _ ) . ( 3 . 1 5 ) 从而，由( 3 . 5 ) , ( 2 . 1 9 ) , ( 3 . 1 5 ) 和 ( 3 .7 ) 式， 得到偶极近似下一个二能级原子与 辐射 场相互作用系统总的h a m i l t o n 量为 h = h m o s , + 艺 h m kf a 屯 a kf + 艺 9 k, ( a 毛 + a kf ) ( s . + s - ) ( 3 . 1 6 ) 对 ( 3 . 1 6 ) 式描述的系统作旋波近似 j a y n e s - c u m m i n g s 模型的h a m i lt o n 量: 并仅考虑单模光场的作用，则可获得所谓的 h= h m o s , + h u k a a + g ( a s - + a s + ) . 这一模型在数学上精确可解，被广泛应用于量子光学、 激光物理、 等的许多问题的研究。 ( 3 . 1 7 ) 核磁共振和量子场论 3 . 2 3 . 2 . 1 日 型三能级原子与单模场相互作用系统模型 三能级原子 二能级原子只是原子的一种理想模型， 实际原子往