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傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 中文摘要 中文摘要 傅里叶变换数字全息术是借助透镜的傅里叶变换性质，以c c d 等光电探测器件 记录全息图，用数值方法再现全息图的数字全息术。它是综合光学全息原理和计算机 技术、电子技术以及数字图像处理技术发展起来的一种新型全息成像技术。 本文从理论和实验两方面探讨了傅里叶变换数字全息及其在信息隐藏方面的应 用。 ( 1 ) 阐述傅里叶变换数字全息的记录与再现基本原理，比较了傅里叶变换数字全息与 菲涅耳数字全息再现算法的不同。 ( 2 ) 提出了实验方案，记录实验结果，结合图像处理的方法消除零级直透光与共轭像， 并进行去噪处理。由于焦平面的光强过于集中，按照信息存储理论进行适当离焦， 采集不同离焦量下的全息图，并计算重构图的相似度及峰值信噪比，得出在本实 验条件下的最佳离焦量。当适当增加物体尺寸时，仍然可得到再现像，但是再现 质量有所下降。 ( 3 ) 利用光学全息的抗撕毁性，研究它在信息隐藏方面的应用。通过计算机来模拟傅 里叶数字全息图的记录与再现过程，将模拟的数字全息图与水印嵌入算法相结 合，提出了一种基于数字全息技术的盲音频水印算法，仿真实验可以看出该算法 对一般的信号破坏如低通滤波、噪声干扰特别是剪裁具有一定的稳健性。 关键词：傅里叶变换数字全息，离焦，数字图像处理，信息隐藏，数字水印 作者：刘薇 指导教师：顾济华 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究英文摘要 a b s t r a c t f o u r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a p h yi sad i g i t a lh o l o g r a p h yt h a tu s e st h ef o u r i e r t r a n s f o r m a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f l e n s ，ac h a r g ec o u p l e dd e v i c e ( c c d ) c a m e r af o rh o l o g r a m r e c o r d i n ga n dan u m e r i c a lm e t h o df o rh o l o g r a mr e c o n s t r u c t i o n i ti san e wi m a g i n g t e c h n i q u et h a tc o m b i n e so p t i c a lh o l o g r a p h y , c o m p u t e rt e c h n o l o g y , e l e c t r o n i ct e c h n o l o g y a n dd i g i t a li m a g e p r o c e s s i n gt e c h n i q u e s t h i sp a p e rp r e s e n t st h ec o n c e p ta n du n d e r l y i n gt h e o r yo ff o a r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a l h o l o g r a p h y , i t se x p e r i m e n ta n di t sa p p l i c a t i o n si ni n f o r m a t i o nh i d i n g ( 1 ) b a s i cr e c o r d i n ga n dr e c o n s t r u c t i o nt h e o r yo f f o u r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a p h yi s d e s c r i b e d t h er e c o n s 栅c t i o na l g o r i t h m so ff o u r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a p h y a n df r e s n e l - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a p h ya r ec o m p a r e d ( 2 ) t h ee x p e r i m e n ti sd e s i g n e d t h er e s u l t so ft h ee x p e r i m e n ta r er e c o r d e d t h ed i g i t a l i m a g ep r o c e s s i n gt e c h n i q u e s a r eu s e dt or e m o v et h ez e r o - o r d e r d i f f r a c t i o n , t h e c o n j u g a t ei m a g ea n dt h en o i s e d u et ot h ei n t e n s i v el i g h ta tt h ef o c a lp l a n e ，d e f o c u s i n g t e c h n i q u ei su s e dt oi m p r o v et h er e c o r d i n gc o n d i t i o n d i f f e r e n td i g i t a lh o l o g r a m so f d i f f e r e n td e f o c u sd i s t a n c e sa r er e c o r d e d c o r r e s p o n d i n gs i m i l a r i t yr a t i oa n dp e a k s i g n a l t o - n o i s er a t i oa r cc a l c u l a t e d t h eo p t i m a ld e f o c u sd i s t a n c ei sa c q u i r e da c c o r d i n g t ot h em a x i m u m s i m i l a r i t yr a t i oa n dp e a ks i g n a l - t o - n o i s er a t i ou n d e rt h ec o n d i t i o no f t h i se x p e r i m e n t t h eo b j e c ts i z ei n c r e a s e sp r o p e r l y t h er e c o n s t r u c t i o ni m a g ec a ns t i l l b ea c q u i r e d ，a l t h o u g ht h eq u a l i t yo f t h ei m a g ei sd e g r a d e d ( 3 ) b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h eh o l o g r a p h y , i t sa p p l i c a t i o ni ni n f o r m a t i o nh i d i n gi s r e s e a r c h e d ab l i n da u d i ow a t e r m a r ke m b e d d i n ga l g o r i t h mb yah o l o g r a p h i ct e c h n i q u e i sp r o p o s e d t h ep r o c e s so fc o n s t r u c t i n ga n dr e c o n s t r u c t i n gad i g i t a lh o l o g r a ma r c d e s c r i b e do nt h eb a s i so ft h et h e o r yo ff o u r i e ro p t i c sa n ds i m u l a t e db yt h ec o m p u t e r t h ew a t e r m a r k ，i nt h ef o r mo f f o u r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a m ，i se m b e d d e di n t o t h ea u d i os i g n a l b yq u a n t i f i c a t i o np r o c e s s e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tt h e i i 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究英文摘要 a l g o r i t h mi sr o b u s ta g a i n s tc o m m o ns i g n a lm a n i p u l a t i o n sa n da t t a c k s ，s u c ha sg a u s s i a n n o i s e ，l o wp a s sf i l t e ra n dc r o p p i n ge s p e c i a l l y k e yw o r d s ：f o u r i e r - t r a n s f o r m e dd i g i t a lh o l o g r a p h y , d e f o c u sd i s t a n c e ，d i g i t a li m a g e p r o c e s s i n g ，i n f o r m a t i o nm d i n g ，d i g i t a lw a t e r m a r k i i l w r i t t e nb yw e il i u s u p e r v i s e db yj i h u ag u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 9 5 6 7 4 6 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：赵l 整 日期：乏生苎：! 壶 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期：迎垄皇：生 日期：2 句乙：f 鱼、 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第一章引言 第一章引言 1 1 光学全息技术的出现和发展 在1 9 4 8 年，英籍匈牙利科学家丹尼斯盖伯( d e n n i sc r a b o r ) 发明了一种能同时再 现光波场的振幅及位相的光学方法”，称为“h o l o g r a p h y ”。“h o l o g r a p h y ”一词来源 于希腊语的“h o l s ”( 意思为“全部的”) 和“g r a p h e i n ”( 意思是“写”) ，它的完整意 思是将全部的信息记录下来，中文翻译为“全息”。它是一种两步成像技术，包括全 息记录和全息再现两个步骤。全息记录是指用照相或其它方法，将物体的散射光和另 外一束参考光之间所形成的干涉条纹记录在银盐干板或其它介质上，记录所得的胶片 称为全息图。构成全息图的干涉条纹一般有很高的空间频率，用肉眼往往难以分辨。 全息再现是指用相干光照射全息图，在全息图附近特定的位置得到原始记录物体再现 像的成像过程。从1 9 4 8 年盖伯提出全息照相的思想开始一直到5 0 年代末期，全息照 相都是采用汞灯作为光源，而且是所谓的同轴全息图，它的1 级衍射波是分不开的， 即存在所谓的“孪生像”问题，不能获得好的全息像，这是当时人们普遍认为全息成 像技术没有发展前途的主要原因之一。当时全息技术不被看重的另外一个原因是缺少 具有高相干性和高亮度的光源。 直到1 9 6 2 年，美国科学家利思( l e i t h ) 和乌帕特尼克斯( u p a t n i e k s ) 将通信理论中的 载频概念推广到空域中，提出了离轴全息术【4 】，全息技术才有了进一步的发展。他们 发现波前再现与通讯二者之间有相似之处，全息图本身就是一个调制的载频系统。以 此为出发点，他们提出一种方法，用很简单的手段完全将孪生的光波分离。即将信号 信息( 物体衍射的光波) 附加在一个载频( 离轴参考光波) 上，则两个再现的光波应当就 是这个过程的边带，因此可以彼此分开。从光学的观点来看，如果使物体衍射的光波 与一个离轴的参考波相干，则所形成的全息图就相当于是一种光栅结构的形式。再现 过程中用相干光照明此光栅结构时，照明波将被衍射出两个光波，分别为光栅的正负 一级衍射，由于这两个光波在空间上是相互分离的，因此彻底排除了孪生波的干扰。 几乎与此同时，激光器的出现解决了制约全息发展的第二个问题，即光源问题。由于 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第一章引言 阻碍全息技术进步的两个问题都在1 9 6 2 年前后得到彻底解决，全息技术从此迈进了 一个迅速的发展阶段，自此以后的多年时间里，全息术几乎成了光学研究中最活跃的 领域，几乎每一年都有新的发现。 电子技术的发展极大地推动了全息技术的进步。全息技术中全息图的产生或再现 完全可以通过计算机的数字计算来完成。前者就是我们所说的计算全息，利用它我们 可以得到一些原本不存在的物体的全息图，并将它们用来解决一些原本难以解决的问 题；后者，即全息图的数字再现，把我们带入了一个崭新的领域数字全息技术。 1 2 数字全息技术的概念 1 9 7 1 年，t h u a n g 在一篇介绍二十世纪6 0 年代到7 0 年代早期数字计算机用于 波场合成分析所取得的进展时，首次提出了“数字全息术”一词【5 】。在这之前，g o o d m a n 等人其实已经提出了用光电视像管采集全息图、用数字计算机再现全息图的想法了。 这之后的相当一段时间内，数值再现全息图的良好构想却一直受到计算机技术和电子 技术相对落后的制约。近年来，计算机和电子图像传感器件的性能有了很大提高，数 字全息术也因此得到了快速的发展。其中一个标志性的事件是，德国人u s c h n a r s 和 w j 0 p t n c r 于1 9 9 4 年首次通过c c d 摄像机成功获取全息图 6 1 。 数字全息的概念是相对于光学全息并针对其不足而提出来的。数字全息技术是全 息术、计算机技术及电子成像技术相结合的产物。它依然是基于光学全息记录理论， 但以c c d 摄像机等电子成像器件作记录介质获取全息图，并将其存入计算机，然后 用数字方法来对此全息图进行再现。归纳起来，数字全息主要分为三部分f h ： 1 数字全息图的记录。将参考光和物光的干涉强度图样直接投射在c c d 等电子 成像器件上，经图像采集卡作模数转换后得到全息图的数字形式，并将其传入、存储 在计算机上。 2 数字全息图的数字再现。这一部分在计算机上进行，包括三个步骤。一是数 字全息图的预处理工作，即对数字全息图在记录过程中所产生的图像畸变进行补偿消 除，如图像几何变形( 电视制式的转换) 、光电探测器转换的非线性、随机噪声等。二 是数字再现，即模拟物光波前在物平面与全息图平面之间的传播过程，需用到频谱滤 2 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第一章引言 波和离散傅里叶变换的相关理论，这是数字全息技术最核心的部分。三是对数字再现 所得图像作各类数字处理，如图像校准、图像增强、图像特征提取等。图像校准用于 消除图像畸变和噪声，图像增强可改善数值再现图像的质量，利于人眼观察和满足各 种测量的需要，图像特征提取用于提取一定的数据，便于测量。 3 输出经数字处理的再现图像及相关实验结果。 从以上可以看出，在数字全息术的整个过程中，数字信号与图像处理技术具有重 要的作用与意义。 数字全息较之传统的光学全息的最大不同是 6 1 ：在数字全息术中，由于全息图由 c c d 器件直接获得而不需要光敏记录介质，得到的物光波信息能够直接传送到计算机 中，参数的计算可以立即进行。 两种方式的主要区别在于： ( 1 ) 数字全息使用c c d 记录干涉光波，可以实时监控并拍摄全息图，拍摄过程简单。 而用光学方法拍摄时使用的全息干板必须遮光保存以防止曝光失效。 ( 2 ) 拍摄后得到的全息图以数字图像的形式存储起来，即所谓的数字全息图，可 直接计算再现。而拍摄得到的全息干板却要通过定影，显影等一系列复杂的暗室处理 才能用于再现过程。 ( 3 ) 数字重现的过程非常简单，输入数字全息图，再调用预先编写好的再现程序， 就可以得到再现的结果。而光学方法再现必须将暗室处理后的干板再放回到原光路 中，准确复位并使用原参考光再现，才能得到无偏差的再现物光波。 ( 4 ) 计算机技术和数字图像处理技术的引入，使数字全息记录和再现过程完全数 字化，因此可以很方便地加入数字处理方法，消除像差、噪声以及干板特性曲线的非 线性等因素带来的影响，提高全息图的质量。数字再现全息图得到的是物光场的复振 幅分布，同时可通过计算得到强度和相位分布，易于实现两个或多个全息图的相加减、 增减背景图像、叠加图像等操作，而这些在光学全息中很难做到，而数字全息术可以 在很短时间内完成，由此也显现了数字全息技术更具实用性。 ( 5 ) 由于受c c d 分辨率的影响，要求形成离轴数字全息图时，物参光的角度非常 小或小物体放在远处。而传统的全息干板具有很高分辨率，物参光的角度可以非常大， 而且物体放置的距离也没有严格的要求。 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第一章引言 由此可见，虽然传统的光学全息术仍存在一些优势，但数字全息的引入使得 繁琐的传统的光学全息方法得到了大大的简化。 1 3 数字全息技术的研究进展 现阶段各国科研人员对数字全息技术的研究成果，大多集中在实验方案改进、再 现算法研究、增强实验显示效果以及提高数字再现像分辨率等方面。 根据不同的记录光路和数值再现方式，目前研究者已提出多种数值再现方法，如 菲涅耳变换法 6 1 s - 9 、相位恢复算法 1 0 q 2 、卷积再现算法【1 3 】、相移法f l 5 1 、波长扫描 数字干涉全息术1 6 】和无透镜数字傅里叶变换全息术【协1 羽等。 s c l l n 淞和j 0 p 恤e r 等首先提出用菲涅耳变换法数值再现离轴全息图。该方法实际上 是数值模拟光学全息的再现过程，它以菲涅耳衍射积分公式为基础，根据采样定理将 菲涅耳积分离散化，并利用快速傅里叶变换获得再现物光波的复振幅分布。为了消除 零级和共轭像的影响，需对全息图进行数字相减或带通滤波等处理。类似技术已用于 飞行光观测，面型测量及相衬成像等方面。 k o d a m a 等人利用菲涅耳相位恢复算法重现了同轴软x 线全息图。该算法是一种在 强度约束条件下的迭代算法，由于能够解析出物场在全息图平面上的相位函数，故能 够消除零级和共扼像对再现图像的影响。但相位恢复算法只适用于平面物体，难以实 现对三维物场的重现，同时该算法需要较大的运算开销。 卷积再现方法的特点是物场的每一断层分布可用全息图强度分布函数与传播函 数共扼的卷积表示，但分层再现三维物场需进行至少三次傅里叶变换。卷积再现算法 与菲涅耳变换法的思路大致相同，都是以计算菲涅耳衍射积分公式为基础的，但卷积 算法的运算量较之菲涅耳算法要繁重。 采用离轴光路记录数字全息图时，要求参物光夹角非常小，而同轴光路记录数字 全息图可以在很大程度上解决满足采样条件的问题。由于同轴全息术不可避免的带来 直透光和孪生像，大大降低了再现像的质量，y a m a g u c h i 等提出利用相移技术再现同 轴全息图。该方法需要改变参考光的相位，并分别记录参考光相位为0 、n 2 、兀和 3 n 2 时的四张全息图，由此解调出物光波在全息图平面上的相位分布。该算法需要记 4 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第一章引言 录参考光相位变化后的多幅全息图，增加了对环境稳定性的要求，也就不利于瞬态过 程的分析。 波长扫描数字干涉全息术利用波长扫描原理，将不同照明光波长下记录的数字全 息图利用菲涅耳衍射原理分别进行数值再现，再现波长与记录波长一致，然后将再现 出的物场组合在一起，形成物场的断层扫描图像。这种波长扫描数字干涉全息术实际 上需计算三维的傅里叶变换，即变换不但包括空间的x ，y 轴还有波长轴 。该算法在 描述三维立体物场方面具有很大的优势，可以获得较高的轴向分辨率，但是其记录过 程中要求多个波长参与，轴向分辨率与所用波长的个数和波长间隔有关。 w a g n e rc 提出的无透镜数字傅里叶变换全息术，采用球面参考光波，从而能够获 得高的横向分辨率，且能够充分利用c c d 的全部空间带宽。从而可以增大记录物体的 尺寸，减小记录距离，明显提高再现像的清晰度和分辨率。与菲涅耳全息、像全息等 离轴全息术相比，无透镜数字傅里叶变换全息术有记录光路简单，光学元件少，可避 免因透镜带来像差等非线性因素的影响的优点。 值得注意的是，每一种再现方法的提出都不是孤立的，而是与其记录光路相对应， 如何寻求与记录光路相对应的效率最高的再现算法是研究者们的一个重要研究方面。 1 4 数字全息的应用概述 和任何其他科学技术一样，随着相关技术理论的发展，数字全息术已从开始的一 般性研究走向了实用化的道路。其应用领域涉及干涉计量【1 9 0 2 0 ，形交分析【2 n 、三维物 体识别阱- 2 3 、粒子与流场分布测定 2 42 5 1 ，光学相干断层成像【1 6 1 1 2 6 1 等方面。 由于数字全息采用c c d 电子方法记录，计算机数字重现。因此，物体三维信息的 所有数据都被直接读入计算机，包括其形状、位置和方向的全部信息。利用这些数据 可以定量分析三维物体的形状及其表面变形，为干涉计量学提供了一种新的方法。数 字全息干涉计量能达到很高的测量精度( 可达2 1 0 0 ) 。数字全息利用高分辨率的c c d 摄像机，可以实现结构复杂的微小物体测量，即无损测量。也可用于工业生产中的构 件缺陷检测，由于数字全息测试具有很高的灵敏度，利用构件在承载或应力下表面的 微量变形的信息，就可判定某些参量，发现缺陷部位，为控制应变，保证产品质量， 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第一章引言 特别是使用中的安全提供了有效手段。它还可用于振动的测量与分析、粒子与流场分 布测定等。 数字全息除了测量方面的应用外，也可用于防伪技术鲫，利用计算机实现数字化， 能够实现图像加密，增强全息图的防伪性能。一般全息图都是高技术产品，原本就具 有防伪性能，实现数字化以后，又能对全息图的颜色和图像的点型加密，使全息图的 防伪性能大大提高，为证件、商标的防伪提供了有利的武器。数字全息还可用于显微 术阱- 2 9 ，数字全息显微术的优点是可以获得比普通显微更大的视场、焦深和优良的像 质，利用数字再现，可以较为快速地获得被观察物体的任意截面的放大像，而且还可 获得其定量的振幅与相位信息。并且也不像普通扫描显微镜那样需要对物体进行机械 或电子扫描，几乎可以做到实时观测。当然，它也能对微小物体进行三维图像识别， 并且灵敏度很高，以及它也可用在医学上，如内窥镜、光学相干层析成像技术等一系 列领域。 虽然数字全息术存在诸多困难，但是，相信随着相关技术与理论的进步，它将得 到更大的发展，并将拥有越来越广阔的应用前景。 1 5 本课题的研究工作 数字全息是近十年来全息技术研究的一个热门方向，目前，提高数字全息的分辨 率和扩大其记录物体尺寸是数字全息术发展和应用中的重要研究内容。 傅里叶变换全息在全息存储中具有独特的优势p o 】，但未见傅里叶变换数字全息相 关内容的报道，本课题就此研究傅里叶变换数字全息技术。由于傅里叶全息图记录的 是物光波的频谱，对于一般的低频物体，频谱非常集中，对于高质量数字全息的记录 具有重要的意义。在满足相同记录采样和再现分离条件下，傅里叶变换全息术可以记 录更大物体的数字全息图。同时傅里叶变换数字全息相对于菲涅耳数字全息而言数值 再现场算法简单，缩短了再现周期，可实现准实时化，而要观察夫琅禾费衍射条件比 较苛刻，无法在近距离观察。 本文各章具体内容如下： 第一章：主要回顾了光学全息和数字全息的发展过程，数字全息的特点及应用情 6 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第一章引言 况，目前国内外的研究概况，以及对本论文的架构作简要说明。 第二章：介绍了傅里叶变换全息技术的基本理论，对光学全息进行概述，介绍了 透镜的傅里叶变换性质，傅里叶变换数字全息的基础理论，并对傅里叶变换数字全息 再现算法与菲涅耳数字全息再现算法做出比较。 第三章：分析了本实验所采用的实验光路，对实验结果进行讨论与分析，利用图 像处理技术改善实验结果，并对不同离焦量下记录的重构图像的质量进行评判，得出 在本实验条件下的最佳离焦量。当适当增加物体尺寸时，仍然可得到再现像，但是再 现质量有所下降。 第四章：利用数字全息的独特优势，用计算机模拟傅里叶变换数字全息图，并将 该全息图作为水印嵌入一段音频信号中，介绍它在信息隐藏方面的应用研究。 第五章：结论与展望，总结本文的一些主要工作与思路，并对后续工作方向提出 一些个人的看法。 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第二章傅里叶变换全息理论 第二章傅里叶变换全息理论 本章主要讨论光学全息的基本理论，一是光学全息概论，如波前记录与波前再现。 二是介绍了透镜的傅里叶变换性质，利用透镜来得到物体的傅里叶频谱。三是介绍了 傅里叶变换全息图的基本理论，最后介绍了数字化的傅里叶数字全息，并对傅里叶变 换数字全息再现算法与菲涅耳数字全息再现算法做出比较。 2 1 光学全息概述 传统光学全息术1 2 1 分为两步：波前记录和波前再现。波前记录是使经物体衍射后 ( 反射或透射) 的物光波与参考光波相干涉，用光化学的方法将干涉条纹记录在全息记 录介质上，成为全息图样。当用记录时的原参考光或其它合适的光波照射全息图时， 光通过全息干板时的衍射和衍射光之间的干涉形成与物体光波相似的光波，即物体波 前的再现，从而构成了物体的再现像。 2 1 1 波前记录 物光波波前信息包括光波的振幅和相位，然而现有的记录介质只能记录光强，因 此，必须把相位信息转换为强度的变化才能记录下物场的所有信息。全息术就是利用 干涉法将空间相位调制转化为空间强度调制从而记录下物光波全部信息。 设全息记录平面上物光波和参考光波分别为 d ( 五y ) = o ( x ，y ) e x p - j 妒o ，y ) 】( 2 1 ) r ( 五y ) = r ( x ，y ) e x p - y “力】( 2 2 ) 则被记录的总光强为 i ( x ，y ) = i r ( x ，力+ d ( x ，y ) 1 2 = i r ( x ，y ) 1 2 + l o ( x ，y ) f 2 + r ( x ，y ) d ( 工，y ) + r ，y ) o ( x ，y ) = i r ( x ，y ) 1 2 + j o ( x ，y ) 1 2 + 2 r ( x ，y ) o ( x ，y ) c o s g v ( x ，力一妒( 工，j ，) 】( 2 3 ) 前两项分别是物光和参考光的强度分布，仅与振幅有关，与相位无关。第三项是 干涉项，包含了物光波的振幅和相位信息。参考光波作为一种高频载波，其振幅和相 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第二章傅里叶变换全息理论 位都受到物光波的调制。参考光波的作用正好完全使物光波波前的相位分布转换成干 涉条纹的强度分布。 记录介质的作用相当于线性变换器，它把曝光时的入射光强线性地变换为显影后 负片的振幅透过率。假定曝光量在胶片f - 耳透过率- 曝光量) 图的线性区内变化，而且 胶片有足够的分辨率，则全息图的振幅透过率可表示为 t b ，协= t o + p i q ，协q 幻 式中，o 和为常数，公式( 2 3 ) 代入( 2 4 ) ，则 t ( x , y ) = t o + ( 1 r | 2 + 1 0 1 2 + r + d + 胄d ) = r 6 + ( f d l 2 + r o + r o ) ( 2 5 ) 式中，屯= t o + p l r l 2 ，表示均匀偏置透过率。 2 1 2 波前再现 用一束相干光波照射全息图，假定它在全息图平面上的复振幅分布为c 阢纠，则 透过全息图的光场为 u ( x ，y ) = c ( x , y ) t ( x ，y ) = t , c + p c l o l 2 + f c o + p r c o = u + + q + u ( 2 6 ) 其中u 是参考光的直透部分，代表物体各点的自相干项，是物光波单独存在 时在底片上造成的强度分布，它是不均匀的，相当于c 波经历f d ( x ，力f 2 分布的底片的 衍射，使照明波多少有些离散而出现杂光，是一种噪声信息。矾和u 2 基本上保留了 照明光波的特性，这一项称为全息图衍射场中的0 级波。 当照明光波是与参考光波完全相同的平面波或球面波时，即c = r ， = 2 0 ( x ，y ) ，除了相差一个常数因子外，是原来物光波波前的准确再现， 这一光波传播到观察者的眼睛里和真实物体的光波完全相同，由于原始物光波是发散 的，所以观察到的是物体的虚像，这一项称之为+ 1 级波。 透射光场的第四项u = r 2 0 + ( x ，y ) ，d 是物光波前的共轭。若原始物光波是发 散的，则共轭光波是会聚的，所以以给出物体的一个实像，但由于r 2 的调制，实像 9 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第二章傅里叶变换全息理论 会变形，这一项为1 级波。只有当照明光波与参考光波均为正入射的平面波时，入射 到全息上的相位可取为零。这时也和u 中的系数均为实数，无附加相位因子，l 级光波才严格镜像对称。 同理，如用参考光的共轭光波照明全息图，即c = r ，则第三、四项分别为 u ( x ，力= p r r o ( x ，y ) ( 2 7 ) 以( x ，y ) = h 2d ( 工，力 ( 2 8 ) 和u 4 仍然正比于物光波前或其共轭波前，分别产生虚像和实像，由于受f f 的调 制，虚像也会产生变形。 2 2 透镜的傅里叶变换性质 透镜是光学系统最基本的元件，透镜除了具有成像性质外，还可以实现物体的傅 里叶变换嘲，正是由于透镜的这一特性，使得傅里叶分析方法在光学中得到如此广泛 的应用。 如图2 1 所示，物体在透镜前方，距离透镜距离为碗，其复振幅透过率为t ( x o ，y o ) 。 在这里假设透镜孔径很大，而且是薄透镜，把只和最平面画一起，位于光轴上的单色 点光源s 与透镜的距离为p ，点光源的共轭像面似) ，与透镜的距离为g 。 ( x ，y 。) 图2 1 物在透镜之前的变换 1 0 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第二章傅里叶变换全息理论 物在透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式为： 啪印唧t 弦翥等端，j f c 础州一弦i 篙等，呶矾亿9 ， 由于照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此公式( 2 9 ) 中的q 由照明光源 决定。当照咀光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，g i 这时观察平面位 于透镜后焦面上。 当输入平面位于透镜前焦面上时，d o = f ，代入公式( 2 9 ) 得到 u ，j ，) = c j 弘( 确，y o ) e x p ( - j k ! 鱼! i 等型) d x o d y o ( 2 1 0 ) 在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里 叶变换关系，并且不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的 关系，始终是f = x 五，7 = y a f 。 当输入面紧贴透镜时，d o = 0 ，代入公式( 2 9 ) 得到 弧j ，) - c 州拈学! 胁删一弦气产) 氐砒 ( 2 1 1 ) 在这种情况下，衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布不是准确的傅里 叶变换关系，有一个二次相位因子，观察面上空间频率与空间坐标的关系是 善= x , z q ，r l = y l a q ，随着q 的不同而不同。 当物在透镜的后方时，同理可得出 u o ，力“e x i 班主毛逼f ( ，儿) e 姒一弦等半) 氐成 2 ) 由此可见，不管衍射物体在何位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面和 观察面之间的关系都是傅里叶变换关系。由此可看出透镜具有傅里叶变换性质。 2 3 傅里叶变换全息的基本原理 傅里叶变换全息的类型一般分为有透镜傅里叶变换全息( 通常简称为傅里叶变换 l l 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第二章傅里叶变换全息理论 全息) 、无透镜傅里叶变换全息和准傅里叶变换全息【3 0 】。 傅里叶变换全息图记录物光波的傅里叶频谱，利用透镜的傅里叶变换性质，将物 体置于透镜的前焦面上，在照明光源的共轭位置即可得到物光波的傅里叶频谱，然后 再引入参考光。这样，在参物光的干涉场中就可以记录物光波的傅里叶变换光场的信 息，即记录一张傅里叶变换全息图。记录原理示意图如图2 2 所示。 l - 霞o ( x o ，y o ) 气 一一一一一一 r z 舻 缓 = f u g ，7 ) 【p _ ，2 ，r ( 善x + 玎y ) 】d 掌咖 = 屯c ；8 ( x ，y ) + c o g ( x o ，) o g ( x o ，y o ) + c o r o g ( x o ，y o 一6 ) + c o r o g ( - x o ，毗一6 ) ( 2 1 9 ) 其中，第一项是万函数，表示直接透射光经透镜会聚在像面中心产生的亮点，第 二项是物分布的自相关函数，形成焦点附近的一种晕轮光，第三项是原始像的复振幅， 第四项是共轭像的复振幅，原始像和共轭像关于中心点对称，且都为实像。 2 4 傅里叶变换数字全息图 在傅里叶变换数字全息术中，用c c d 代替全息干板，全息图经数字采集后传送 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究第二章傅里叶变换全息理论 到计算机内，全息图再现过程完全在计算机上实现，不再需要显影、定影等物理化学 过程。数字全息的记录和再现模型如图2 4 所示。 图2 4 数字全恩的记录和再现模型 如图所示，物体位于砂平面，与全息图平面相距d ，物体的复振幅分布为u ( x ，y ) ， 稿( h ，妇) 是物光和参考光在h 妇平面即全息图平面上的干涉强度分布，并将之离散 化，即为数字全息图。当我们通过计算机模拟某一特定的照明光，如与参考光相同的 照明光，作为再现光照射全息图，则在距离全息面d 的x y 像平面上，经过计算产生 复振幅分布为”。( x ，) 的物光波前数字再现像，并可进一步求出其强度分布和相位 分布。如用参考光照明全息图，当d = d ，则再现得到的是物体的共轭实像，当 d = - d ，则再现得到的是物体的原始虚像。 设傅里叶变换数字全息记录的物光为u ( x ，) ，) ，参考光为r ( x , y ) = r o s ( o ，y + b ) ，经 过傅里叶透镜后的物光波的频谱为【0 ( ，y n ) = f u ( x ，y ) ) ，其中f 为傅里叶变换。 参考光在后焦面的场分布为r ( x x ，蜘) = r oe x p j 2 1 r b y 】，则c c d 所接收的强度分布 为： 噜( 勤，蜘) = ，孑+ i u h l 2 + u e x p 【一j 2 7 r b y n + r o u + e x p j 2 z c b t h ( 2 2 0 ) 对c c d 所接收到的强度分布0 ( h ，妇) 做逆傅里叶变换，就可得到再现像的复振幅 分布为 1 4 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第二章傅里叶变换全息理论 ( 1 ，) = f 一1 ( h ，妇) ) = j ( 妇，y h ) e x p j 2 n ( x v x + y h y ) d x d y , v = r 0 2 8 ( x ，y ) + 甜( 1 ，y ) o 甜( x ，y ) + r o u ( x ，y - b ) + ”( 一x ：- y - b ) ( 2 2 1 ) 其中，第一项是占函数，表示直接透射光经透镜会聚在像面中心产生的亮点，第二项 是物分布的自相关函数，形成焦点附近的一种晕轮光，第三项是原始像的复振幅，第 四项是共轭像的复振幅，原始像和共轭像关于中心点对称。 由此可以看到，傅里叶数字全息再现像只需要进行一次逆傅里叶变换，就可以得 到原始像与共轭像，再现算法比较简单，为了作比较，这里给出了菲涅耳数字全息再 现算法的公式【3 1 3 2 】。 按照菲涅耳衍射原理，当用参考光( ，妇) 照明全息图，再现距离d 满足菲涅 耳衍射公式成立的充分条件时，像平面上的复振幅分布为 甜小，y ) - 去e x p ( j 材) e x p j - 寺- d , ( x 2 + y 2 ) 】 j n ( h ，h ) 。( h ，y ) e x p j 每+ 一) 】x e x p - y 若( h x + y h y ) 】机( 2 2 2 ) 其中0 ( h ，蜘) 为c c d 靶面上接收到的强度分布。用原参考光照射，同时d = - d 时， 再现得到的是物体的原始虚像。 用计算机处理必须离散，设在h 一蜥全息平面和x - y 像平面都分别取样n x n 点。则= m a x h ，蜘= 行a h ，x = 七缸，y 。= l a y ，其中缸日，4 ，缸，缈分别为全息平 面及像平面上两个轴向的采样间隔。根据关系式 缸：o ，a y ： ( 2 2 3 )x = ， = t 厶z j j n 缸h jn 姆h 于是可以得到公式( 2 2 2 ) 的离散形式： 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第二章傅里叶变换全息理论 “。加神= 罢铲ae x p 卜，枷靠s x + 志) 一1 n 。叫一 n - i 丢n - i 粕( 蚶) 。( t 一尝(七2缸。2+1)expj1)expj- 1 2 a y ) e x p j 2 ，r 点笋+ 争1 n k = 0 】 粕( | ，( 七， 一百( 七2 缸。2 + 1 ( 三孑+ 百) 】 ，i o mt j m = o 1 一n 1 ；n = o 1 一n - 1 利用快速傅里叶变换原理，上式的菲涅耳衍射数字再现全息图复振幅分布为 f 2 2 4 ) ”加，拧) 刊e x p 一_ ，舰d ( 志+ 斋扫】 f - r h ( k ，) o ( 七，f ) e x p 卜罢( 七2 血2 + ，2 妙2 ) 】 。， ( 2 2 5 ) , c a 其中f 4 ) 为逆傅里叶变换，4 = 竺鲢铲为复常数。当n 为2 的整数次幂时， 就可以利用快速傅里叶变换来求解。在这里我们取d = - d ，可以得到在焦的原始像， 同理可得当d = d 时，上式为正傅里叶变换，得到的是在焦的共轭像。 除了利用傅里叶变换原理计算再现像，还可以利用卷积定理。再现像 ”。( 工，j ，) = 曼坚差笋o ，) 忡妒e x p 【- _ ，去z a ( x ”，2 ) 】 ( 2 2 6 ) 一，朋 将变量离散化，并利用傅里叶变换性质，可得 ”0 ( 七缸，l a y ) = 爿f - l f r h ( k a x ，缈) o ( 七矗，f 缈) 】f e x p 一_ ，寺( 七2 矗2 ，2 砂2 ) 】 ( 2 - 2 7 ) 其中f ) 为傅里叶变换，f 。 ) 为逆傅里叶变换。由公式( 2 2 5 ) 乘i ( 2 2 7 ) 都可以算 出再现像的复振幅分布，都是以计算菲涅耳衍射积分公式为基础的，只是公式( 2 2 7 ) 的卷积算法的运算量较公式( 2 2 5 ) 的菲涅耳再现算法的运算量要繁重一些。 由此可以看出，傅里叶变换数字全息再现算法相对于菲涅耳数字全息再现算法而 言数值再现场算法简单，缩短了再现周期，可实现准实时化。而要观察夫琅禾费衍射 条件比较苛刻，无法在近距离观察。 傅里叶变换数字全息及其信息隐藏应用研究 第三章傅里叶变换数字全息实验 第三章傅里叶变换数字全息实验 本章介绍傅里叶变换数字全息实验光路，并对实验结果进行分析处理。 3 1 记录光路与数字再现 傅里叶变换全息图不是记录物体光波本身，而是记录物体光波的傅里叶频谱。利 用透镜的傅里叶变换性质，将物体置于透镜的前焦面，在透镜后焦面的位置就得到物 光波的傅里叶频谱，再引入参考光与之干涉，通过干涉条纹的振幅和相位调制，在干 涉图样中就记录了物光波傅里叶变换光场的全部信息。 本实验所采用的实验记录光路图如图3 1 所示： ：一 j i 一 | ；鬻i 莲髭霪黔fj j， j