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微分方程的几何解与分岐问题的几何研究 摘要 本文研究的内容可分为两个相关而又相对独立的部分第一部分( 第二章和第 三章l 研究韭线性二险偏微分方程缉的丛焦琏质、几何解( 包括几何奇异解) ；第 二部分f ( 第四章j 是关于等变两参数分岐问题的开折理论 f 第二章讨论非线性一阶偏微分方程组的几何奇异解它是文献【5 0 5 2 5 9 】中 有关工作的继续该章给出了判断局部几何解是奇异解的充分必要条件，主要结 果是定理2 , 3 1 ( 参见 6 5 1 ) 第三章在几何框架下研究拟线性一阶偏微分方程组在该章中：( 1 ) 第二节 给出了拟线性一阶偏微分方程组及其光滑解的几何描述，然后证明四个基本的定 理其中前三个推广了【4 3 ，【4 8 ， 4 9 中相应的命题或定理，第四个结论提出了一 个重要的对应关系，它为进一步研究分类问题提供了思想背景( 2 ) 第三节讨论 用分布刻划拟线性一阶偏微分方程组，推广了 3 9 】中的一个主要结论( 3 ) 第四 节围绕稳定几何解的分类定理展开讨论稳定几何解的分类定理即定理3 4 7 是 这一章的主要结论之一就作者所知，即使对单个方程而言。该结果也是新的对 于单个的拟线性一阶偏微分方程，1 9 9 7 年s i z u m i y a 和孙伟志【4 8 】在g i s h i k a w a , 等人【37 】关于向量场的标准形研究的基础上给出了关于方程的一种分类( 4 ) 第 五节证明了一个“实现定理”它说明对于给定的k ，有些类型的几何解必定会 出现在k 一方程组( 3 1 ) 中文献【4 3 】中的主要结果之一研究了单个方程的情形 第四章对等变两参数分岐问题的开折进行研究，得到了一些新的结果；( 1 ) 第二节讨论等变分歧理论中的一类模的结构我们建立了一个代数的结论( 模的 一种分解) 并将其用到等变分岐理论其中的结论推广了文献 2 9 1 7 中相应的结 论，在第四节和第五节中将用到本节的部分结论( 2 ) 第三节研究分岐问题的开 折在所给等价关系下保持不变的某些性质( 3 ) 第四节讨论与万有开折存在性 有关的问题最主要的结果是万有开折定理 7 l 】等文献中相应的结果是本节 结果的特殊情形( 4 ) 第五节讨论万有开折唯一性、稳定性定理是( i o o i 2 9 1 2 6 l 、 中相应的结果的推广 。 、 、) ( 关键词：一阶偏微分方程。拟线性，几何解，奇异解 等变分岐问题，万有开折，不变性，稳定性 2 g e o m e t r i cs t u d yo fg e o m e t r i cs o l u t i o n s a n db i f u r c a t i o np r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h e s u b j e c tm a t t e r s i nt h i sp a p e r m a yb ed i v i d e di n t ot w op a r t sw h i c h a r er e l a t e de a c h o t h e ra n da l s or e l a t i v e l yi n d e p e n d e n t t h ef i r s tp a r t ( t h e c h a p t e r 2a n dt h ec h a p t e r3 ) i sa b o u tt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e s ，g e o m e t r i cs o l u t i o n s ( i n c l u d i n gg e o m e t r i cs i n g u l a r s o l u t i o n s ) o f n o n l i n e a rf i r s t o r d e rp d e s ；t h es e c o n dp a r t ( t h e c h a p t e r4 ) d e a l sw i t h t h eu n f o l d i n gt h e o r yo f e q u i v a r i a n tt w o - p a r a m e t e rb i f u r c a t i o np r o b l e m s i nc h a p t e r2 ，t h eg e o m e t r i cs i n g u l a rs o l u t i o n so fs y s t e m so ff i r s t o r d e rp d e sa r e s t u d i e d t h ed i s c u s s i o ni n s 0 5 2 s 9 】i se x p a n d e di nt h i sc h a p t e r w eg e tas u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ral o c a lg e o m e t r i cs o l u t i o nb e i n gas i n g u l a rs o l u t i o n ，t h e m a i nr e s u l ti st h e o r e m 2 3 1 ( c f 【6 5 】) i nc h a p t e r3w es t u d yq u 目s i l i n e a rs y s t e m so ff i r s t o r d e rp d e si naf r a m eo fg e - o m e t r y ( 1 ) w eg i v eag e o m e t r i cd e s c r i p t i o no fq u a s i l i n e a rs y s t e m so ff i r s t - o r d e rp d e s a n dt h e i rg e o m e t r i cs m o o t hs o l u t i o n si ns e c t i o n2 ，a n df o u rf u n d a m e n t a lt h e o r e m s a 2 ep r o v e di nt h i ss e c t i o n t h ef i r s tt h r e eo fw h i c hg e n e r a l i z e dt h er e l e v a n tr e s u l t s i n 4 3 1 1 4 8 4 9 】a n dt h el a s to n es e tu pak e yc o r r e s p o n d i n gb e t w e e nt w oo b j e c t s ，i t s af o u n d a t i o no ft h ec l a s s i f i c a t i o ni nt h ef o l l o w i n gs e c t i o n s ( 2 ) t h es e c t i o n3g i v ea c h a r a c t e r i z a t i o no fq u a s i l i n e a rs y s t e m so ff i r s t o r d e rp d e sw i t ht h e i rd i s t r i b u t i o n ( 3 ) t h et h e o r e mo fc l a s s i f i c a t i o nf o rt h es t a b l eg e o m e t r i cs o l u t i o n so fq u a s i l i n e a rs y s t e m s o f1 s t o r d e rp d e si si nt h e4 t hs e c t i o n e v e ni nt h ec a s eo fs i n g l ee q u a t i o n ，t h er e s u l t i san e wo n e a u t h o rk n o w n i n1 9 9 7 ，s i z u m i y aa n dw z s u n 4 8 】g a v eak i n do f c l a s s i f i c a t i o nf o rt h ee q t m t i o n si nt h ec a s eo f s i n g l ee q u a t i o n ( 4 ) i nt h el a s ts e c t i o nw e p r o v ea “r e a l i z a t i o nt h e o r e m f o rq u a s i l i n e a rs y s t e m so fi s t o r d e rp d e s i tp o i n t s o u ts o m et y p e so fs t a b l eg e o m e t r i cs o l u t i o n sm u s ta p p e a ri ns o m es y s t e m s 够( 3 1 ) 3 o n eo ft h em a i nr e s u l t si n 4 3 】s t u d i e dt h es i m p l e rc a s ef o rs i n g l ee q u a t i o n c h a p t e r4i sc o n c e r n e dw i t ht h eu n f o l d i n g so fe q u l v a l i a n tt w o - p a r a m e t e rb i f u r c a - t i o np r o b l e m s ( 1 ) i ns e c t i o n2 ，a na l g b r a l ct h e o r e ma b o u tt h er e s o l u t i o no fam o d u l e i s g i v e n t h em o d u l e si nt h ee q u l v a r i a n tb i f u r c a t i o nt h e o r ya l es t u d i e db ya p p l y i n g t h i st h e o r e m s o m eo fk n o w nr e s u l t si n 2 9 j i t a r eg e n e r a l i z e di nm o r eg e n e r a lc a s e s ( 2 ) w es t u d i e ds o m eo ft h ei n v a l i a n c e so fu n f o l d i n g su n d e rae q u i v a l e n c ei ns e c t i o n 3 ( 3 ) t h eu n i v e r s a lu n f o l d i n gt h e o r e mi s o n eo ft h em a i nr e s u l t si ns e c t i o n4 ，w e g e n e r a l i z e dt h em a i nt h e o r e mi n 【7 1 】( 4 ) f i n a l l yi nt h el a s ts e c t i o n ，w ed i s c u s st h e u n i q u e n e s st h e o r e ma n ds t a b i l i t yt h e o r e mo fu n f o l d i n g s o m er e s u l t si n 1 0 0 1 1 2 9 2 6 】 a l eg e n e r a l i z e d k e yw o r d s ：1 s t o r d e rp d e ，q u a s i l i n e a r ，g e o m e t r i cs o l u t i o n ，s i n g u l a rs o l u t i o n ， e q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m ，u n i v e r s a lu n f o l d i n g ，i n v a l i a n c e ，s t a b i l i t y 4 第一章绪论 著名数学家r t h o r n 开创的奇点理论，经j n m a t h e r ，v i a r n o l d 等数学家 的杰出工作。在七十年代初已取得很大的成就八十年代以来，奇点理论和应用 奇点理论对分岐问题、非线性微分方程进行的几何研究都得到了迅速发展在英 国w a r w i c k 大学举办的1 9 8 8 1 9 8 9 学术年中，其中一个主要的研讨内容是“应用 奇点理论与分岐和动力学的研究”【8 7 】九十年代几乎每隔两到三年就召开一次 国际研讨会讨论奇点理论及其应用2 0 0 0 年下半年在英国i s a a cn e w t o ni n s t i t u t e 再次举办为期6 个月的奇点理论及其应用的大型学术活动季奇点理论的发展对 映射芽或向量场芽奇点的分类起到了重大的推动作用，r t h o r n 的著名的七种基 本突变是分类的典范，研究扰动( 开折) 是其中的一个关键环节 1 9 7 2 年，r t h o r n 9 l 】对一阶常微分方程的奇异解进行了几何的研究；1 9 7 5 年前后，v v l y c h a g i n 等人借助接触几何( 辛几何) 理论，用奇点理论思想对一 阶非线性偏微分方程展开了几何的研究，得到了关于一阶非线性偏微分方程分类 等问题的一些结果【7 4 1 1 7 5 1 从几何上描述一阶非线性偏微分方程( 组) ，自然地用 到了接触流形的观念而且接触几何( 辛几何) 理论使得对奇点理论的研究与对 一阶非线性偏微分方程及其几何解的奇点分类等研究得以联系起来近年来，这 方面的主要研究内容有： l 一阶非线性偏微分方程( 组) 及其解的奇点与几何性质( c f 4 】 7 4 】 4 2 1 1 3 9 1 1 5 7 ) ； 2 l 一开折理论与一阶非线性偏微分方程( 组) 的可积性( c f 4 7 5 1 】 4 0 5 8 】) ； 3 一阶非线性偏微分方程( 组) 的几何奇异解( c 【2 4 5 4 1 1 5 2 】 5 9 】【6 0 】【6 5 】) ； 4 某些一阶非线性偏微分方程( 组) 的分类( c f 【7 4 7 5 4 5 】 4 8 】) ； 5 某些一阶非线性偏微分方程( 组) 的几何解的实现与分类( c 【4 3 】【3 8 】) 1 9 7 9 年，m g o l u b i s t k y 等人又系统地引入了应用奇点理论与l i e 群等几何 方法研究分岐问题的思想( 2 7 2 8 】这是由于奇点理论的思想、方法适合于研究 分岐理论中的许多问题近二十多年来，人们对这领域的理论和大量的应用( 例如力学、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等应用领域中出现的微分 方程及初边值问题) 进行了广泛地研究在理论研究方面。下列内容是重要的： 5 1 有限决定性、识别理论( c f 【6 9 7 0 1 0 0 】等) ； 2 开折理论、稳定性( c f 【n 9 0 i 0 1 1 1 1 0 2 】等) ； 3 分类及理论应用( c f 1 9 2 5 8 2 6 1 6 2 等) 本文的内容大体上可分为两个相关而又相对独立的部分在第一部分中我们 研究非线性一阶偏微分方程组的几何奇异解和一阶拟线性偏微分方程组的稳定 几何解的分类等问题解决分类问题的一个基本思路是：在某个接触流形中对方 程( 组) 和解进行几何描述，引入适当的等价关系，然后进行分类；在第二部分中 我们研究等变两参数分岐问题的开折理论无论从理论上还是应用上看，分类 问题和开折问题的研究都是重要的 1 1 非线性一阶偏微分方程组的几何研究 忙_ i = ， 忙_ ：_ 薹 z ， 流形其解自然地就是该子流形中的l e g e n d r e 子流形事实上在近年来的文献 中，上述几何看法已经被用作一阶偏微分方程( 组) 及其解的几何定义，本文将 采用这样的定义接触流形上较丰富的几何结构为一阶偏微分方程( 组) 的几何 研究提供了条件 七十年代以来，非线性偏微分方程的几何研究蓬勃发展起来在人们感兴趣 的、关于一阶方程的研究内容中，有两个是：一阶偏微分方程的奇异解的研究； 一阶偏微分方程或其解的分类 一个有“通解”的微分方程或微分方程组可以有不含于“通解”的解，奇异 解就属于这样的解对于一阶偏微分方程( 包括常微分方程) 的奇异解及解的奇 点的研究可以追溯到1 0 0 多年前m g ，d a z b o u x 的工作【2 0 】，rt h o r n1 9 7 2 年f 9 l 】 对一阶常微分方程研究了奇异解的“一般不存在性”m f u k u d a 和t f u k u d a 1 9 7 7 年【2 4 】推广到高阶情形m k o s s o w s k i1 9 8 6 年 5 4 】初步讨论了一般的一阶 偏微分方程的奇异解此后有s i z u m i y a ，g k o s s i o r i s 等人以及李兵，余建明等在 九十年代的关于单个一阶偏微分方程和一阶偏微分方程组的许多工作( 例如【5 0 】 f 4 4 j 4 i 】【5 9 】( 5 2 】 6 0 j f 6 5 j 等) 基本的思想是把一阶偏微分方程看成某个接触流形( 例 如l - j e t 空间或投影余切丛) 的子流形，其解看成该流形的l e g e n d r e 子流形利用 接触奇异集等几何对象进行讨论从几何上看，奇异解与接触奇异集有着本质的 联系 分类问题一直是数学中最基本、最重要的问题之一在关于一阶偏微分方程 ( 组) 的几何分类研究中，近年来关于方程的奇点、解的奇点、方程或解的分类工作 有不少例如v v l y c h a g i 7 5 ( t 9 7 3 ) 7 4 ( 1 9 7 s ) 用几何方法对非线性一阶偏微分 方程分类、g s h i k a w a 等人 3 7 ( 1 9 9 3 ) 关于子流形上向量场的分类、s k u m i y a ， g k 0 s s i o r i s 4 5 ( 1 9 9 5 ) 关于h a m i l t o n - j a c o b i 方程的几何奇点的半局部分类孙 伟志，s i z u m i y a 4 8 ( 1 9 9 7 ) 对正则的拟线性一阶偏微分方程的分类、s i z u m i y a 【3 8 ( 1 9 9 9 ) 关于一阶偏微分方程解的奇点分类的讨论此外还有v m z a k a l y g i n ， r m r o b e r t s 9 9 】关于某些对称波前集和焦散线的奇点分类等研究工作在对非 线性一阶偏微分方程( 组) 及其解讨论几何分类问题时，常常转化成相应的奇点 理论问题 7 1 2等变两参数分岐问题的开折理论 mg o l u b i s t k y 等人1 9 7 9 年【2 7 2 8 】引入了应用奇点理论和李群等几何方法研 究分岐问题的思想他们研究的分岐问题有函数芽，：( r r ，0 ) _ ( r ，0 ) ( 即带实 分岐参数的直线上的向量场) 和映射芽，：( r 8 r ，0 ) - ( r ”，o ) 此后人们研究了 大量更一般的分岐问题 两个分岐问题等价，是指它们具有某种相同的性质通常定义一个群( 一般 不是l i e 群) ，它作用在分岐问题所构成的某个“空间”上，由这个群作用来描述 一个等价关系其等价类就是该群作用下的轨道称这样的群为一个等价群显 然，不同的等价关系对应不同的等价群从而反映不同的性质 分岐问题可能具有某种“对称”性质，即满足某种等变条件例如考虑映射 ( 带分岐参数的向量场) 芽，：( r n 眇，0 ) - ( 舯，o ) ，y = f ( x ， ) 若紧l i e 群r 满 足：( 1 ) r 线性地作用在舯上，( 2 ) f ( - y x ， ) = ，y ，( z ，a ) ，v y r 则称，是r 一等 变的这样的，称为1 1 一等变的分岐问题显然任一分岐问题必为1 一等变的( 其 中l 表示单位群) 因此考虑r 一等变的情形( 其中r 为一般的紧l i e 群) 比不考 虑等变要更一般、更复杂 近二十年来，在等变奇点理论和等变分岐问题研究中，含一个实分岐参数或 多个相互独立的实分岐参数( 因而这些参数可看成一个实向量值参数) 的情形已 取得较丰富的成果( 包括识别、开折、稳定性、分类及应用等等) ，( 参见例如 2 9 2 5 1 9 7 3 】【6 l 】【6 2 】【6 9 】 7 0 】 7 1 】 7 8 j 8 2 】f 8 9 】 1 0 0 】 1 0 1 】等) 然而在微分方程模型和应用问题中常出现含有两组分岐参数的分岐问题 在应用奇点理论和l i e 群方法对相应的分岐问题的研究中，i s t e w a r t 的学生m p e t e r 在他的博士论文中( 参见文献 8 3 ( 1 9 9 1 ) ) 提出了e - 等价群和c ，一等群的作 用( 他考虑了两个实参数情形) ，并在e - 等价群作用的情形下研究了分岐问题的 开折和分类在e 等价群作用下，可将两个独立的分岐参数合并起来看成是一 个向量值参数因此【7 0 】等文献中的等价群d ( r ) 就是等变情形下更一般的弘 等价群但是在p e t e r 所给的c ，- 等价群的作用下，一个分岐参数是独立的而另 一个参数在变化的过程中可依赖于第一个分岐参数当我们对含有两个向量值分 岐参数的分岐问题考虑推广的弘等价群作用时，可以看出弘等价反映了比e 。 8 等价更一般的情形，因为在矿一等价情形中限制一个参数恒为零，就得到e 一等价 情形所以对含有两个向量值分岐参数的分岐问题( 简称两参数分岐问题) 考虑 推广的矿一等价群的作用是有意义的更一般地，我们同时考虑有紧l i e 群r 分 别线性地作用在状态空间上和靶空间上，而两参数分岐问题是r 一等变的于是 我们把矿一等价群作进一步的推广为简便起见这个推广的等价群仍将称为u 一 等价群( 不是幂单群的意思) 可见，等变两参数分岐问题是指含有两组分岐参数的分岐问题，这两组参数 中第一组是独立的而第二组在变化的过程中依赖于第一组，而且这样的分岐问题 ( 例如映射或向量场) 关于某个紧l i e 群是等变的 在等变两参数分岐问题中引进的等价关系是由上述矿一等价群确定的显然 这个等价群可以反映比d ( r ) 一等价更一般的情形，尽管它实际上可看成是某个 v ( r ) 的一个真子群下面的命题和例子说明u 一等价与口( r ) 一等价是不相同的 命题1 2 1 设只g ：( r n r 5xr ，0 ) _ + ( r m ，0 ) 是r 一等变的两参数分岐问题 如果f 和g 是u 一等价的，那么付巴( a ，p ) ( 职x 皿t ，0 ) 看成一个向量值参数 f 和g 是口( r ) 等价的反之不然 证明由定义不难看出等价群“( 见第四章) 是p ( r ) 的一个子群所以第一个结 论显然成立后一个结论，可由下列反例得出口 例1 2 1 ( - - 个反例，设，( z ， ，p ) = z 3 + z + p ，其中z ， ，p ( 畎，o ) 又令 9 ( z ，a ，“) = = 0 3 + z p a 贝i | ： 1 ) j 和g 是d 讧、一专食的泖e 一等偷的) ： ( 2 ) 和g 不是u 一篝喻的 证明( 1 ) 计算得 = l g 9 pi = l 一1 l = l o f 姒9 1 0 1 由 8 3 1 中的判别法即知( 1 ) 成立 ( 2 ) 反设，和g 是u 一等价的则存在光滑函数芽s ( 。， ，p ) ，x ( ，a ，p ) ，a ( a ，p ) ，m ( p ) 使得限x ，a ，m ) “且 9 ( 。， ，p ) 皇s ( z ， ，p ) ，( x ( z ，a ，p ) ，a ( ，p ) ，肘( p ) ) ( 1 3 ) 9 从而 茁3 + z p a = s i x 3 + x - a + m 】，( 1 4 ) 其中s = s ( z ，a ，p ) ，x = x ( x ，a ，肛) ，等等注意由“的定义， s ( o ，0 ，o ) o ，箬( 0 1 0 , 0 ) o 口z 所以可设 x ( x ，a ，0 ) = 口z + a x l ( x ，a ，0 ) ( 1 5 ) 其中a 是非零常数在( 1 4 ) 中令p = 0 ，得 z 3 一a = s ( z ，a ，o ) 【x 3 ( 。，a ，o ) + x ( x ，a ，o ) a ( a ，o ) 】( 1 6 ) 将( 1 5 ) 代入( 1 6 ) 得 x 3 一a = s 扛， ，o ) 【q 3 2 3 + 入3 x + 3 ( n ) 2 x 1 + 3 a x ) , 2 x + a x h ( a ，o ) + x l a ( ，o n 7 ) 上式两边对 求导，然后令z = = 0 ，于是得到一l = 0 矛盾口 分岐理论中感兴趣的一个重要研究课题是关于开折的：对于给定的分歧问题 和特定的等价群( 或等价关系) ，在什么条件下它有万有开折? 如果有，又有哪些 性质? 例如是否唯一、是否稳定? 等等我们将对等变两参数分歧问题研究这些 问题 1 3 本文内容简介 本文研究的主要内容可分为两个相关而又相对独立的部分：第一部分包括第 二章和第三章，是关于一阶偏微分方程组的几何理论第二部分是第四章，是关 于等变两参数分岐问题的开折理论 第二章讨论非线性一阶偏微分方程组的几何奇异解它是文献【5 0 5 2 5 9 】中 有关工作的继续该章给出了判断局部几何解是奇异解的充分必要条件，主要结 果是定理2 3 1 ，( 见( 6 5 1 ) 1 0 第三章在几何框架下研究拟线性一阶偏微分方程组在该章中： ( 1 ) 第二节给出拟线性一阶偏微分方程组及其光滑解的几何描述。然后证明四个 基本的结论其中前三个结论推广了【4 3 ， 4 8 1 ，【4 9 】中相应的命题或定理，第四个 结论提出了一个重要的对应关系，它为分类定理提供了思想背景 ( 2 ) 第三节讨论用分布刻划拟线性一阶偏微分方程组，推广了 3 9 】中的一个主要 结论 ( 3 ) 第四节围绕稳定几何解的分类定理展开讨论稳定几何解的分类定理即定理 3 4 7 是这一章的主要结论之一就作者所知，即使对单个方程而言，结果也是新 的对单个拟线性一阶偏微分方程，1 9 9 7 年s i z u m i y a 和孙伟志【4 8 】在g i s h i k a w a 等人 3 7 】关于向量场的标准形研究的基础上给出了关于方程的一种分类 ( 4 ) 第五节证明了一个“实现定理”它说明对于给定的k ，有些类型的几何解必 定会出现在某些方程组( 3 1 ) 中文献【4 3 】中的主要结果之一研究了单个方程的 情形 该章第一节中简单介绍了投影余切丛上的接触结构，由于技术上的原因，我 们用投影余切丛而不是前一章所用的i 一，耐空间作为基本的框架空间 在本章的基础上还可能进行的某些研究； ( 1 ) 对更一般的非线性一阶偏微分方程( 组) 或其几何解研究其性质和分类，可参 考已有的工作 ( 2 ) 对非线性二阶偏微分方程( 组) 或其几何解研究其性质、奇异解、分类等等问 题，由于这时接触结构似乎已不能满足需要，故应探索其他框架所以该问题意 义很大但十分困难 ( 3 ) 研究更一般的“实现定理” ( 4 ) 在已有的理论研究基础上，对实际问题中的方程及其解进行分析 第四章对等变两参数分岐问题的开折进行研究，得到了一些新的结果： ( 1 ) 第二节讨论等变分歧理论中的一类模的结构我们建立了个代数的结论( 模 的一种分解) 并将其用到等变分岐理论其中的结论推广了文献 2 9 1 7 】中相应的 结论，在该章第四、第五节中将用到这里的部分结论 ( 2 ) 第三节首先给出后几节需要的预备知识然后研究分岐问题的开折在所给等 价关系下的不变性质当进一步研究分类问题时，这样的性质是重要的 ( 3 ) 第四节讨论与万有开折存在性有关的问题最主要的结果是万有开折定理 7 l 】等文献中相应的结果是本节结果的特殊情形本章中上述几节的主要结果已 经发表或被录用，见【6 7 6 3 6 6 ( 4 ) 第五节讨论万有开折唯一性、稳定性定理是【1 0 0 2 9 2 6 】中相应的结果的推 广 在本章的基础上还可以对等变两参数分岐问题进行更多的研究例如可以研 究； ( 1 ) 等变两参数分岐问题的识别识别问题也是分岐理论中感兴趣的一类重要问 题( 参见r s t e w a r t 的综述文章( 8 9 】) 对于含一个向量值分岐参数的等变分岐问 题的识别，可参考李养成的工作 7 0 ，其中的等价群是口( r ) 文献 8 】和 2 5 】也是 重要的参考文献 ( 2 ) 在一定的余维条件下进行分类即使不考虑等变情形( 即r 为单位群) ，分类 也是很有意义的还可以考虑比较简单的紧l i e 群r 作者在这一方面已经做了 一些准备工作，仍在进行( 3 ) 与应用联系，把已经得到的理论应用到一些具体 类型的方程中( 如生态与经济系统、化工循环系统、流行病学等领域的问题) 为了叙述方便 n r c r ( b ，b ) l n + s + t ：m ( r ) e z ， “p ( r ) 磁， ，p ( r ) 1 4 主要记号 本文用到下列记号： 自然数集 实数集 复数集 紧l i e 群 流形b 在6 b 处的芽 r 1 等变映射芽之全体， 是不变函数芽环s 。 ，。( r ) 上的模 同上 上述记号中m = n 1 2 e z ， ，p 8 z , a “( r ) 9 j t # , ，p ( r ) a d 。 ，( r ) 。 t 口 t b 时b j 1 ( r “r ) 0 = = d y 一：l p i d x i 。( f ) ，( f ) a ( a ) 4 。( a ) f “，。( r ) 正( 咒) ( ，) t ( g ，甜) 6 0 d f + i d b d z g 上述记号中r 是单位群 r 不变函数芽环 。， ，。( r ) 的唯一极大理想 e 。， “，( r ) 的一个子空间 流形b 上的切丛 流形b 上的余切丛 流形b 上的投影余切丛 舻上函数芽的1 - j e t 空间 j 1 ( 时，r ) 上的典则接触形式 由f 确定的一阶偏微分方程组的接触奇异集 由f 确定的一阶偏微分方程组的”奇点集 子流形n 的接触提升 k - 方程组吼的k 维分布 k 方程组吼的k 维分布在点x 处的空间 由，生成的8 z , a ，。( r ) 的理想 庀等价下，f 处的切空间 弘等价下，g 处的切空间 ( ”r ，。) 在x 处光滑超曲面芽之集 k 一方程组的光滑几何解芽之集 ( ”r ，。o ) 上的实值淹没芽之集 由f 诱导的拉回 流形b 上的恒同 g 对x 的偏导数 1 3 第二章非线性一阶偏微分方程组的几何奇异解 2 1 引言 约2 9 0 年前b r o o kt a y l e r 就已发现了奇异解的第一个例子( c 【3 6 】) 二十年 后a l e xc l a u d ec l a i r a u t 研究了一类具有奇异解的常微分方程【1 4 】该方程现在被 称为c l a i r a u t 方程： = 。罄+ ，( 襄) c l a i r a u t 方程的奇异解的几何结构很 好，它由“通解一直线族v = t z - b f ( t ) ( 其中t 是参数) 的包络构成然而一般 的一阶偏微分方程组的奇异解并不像这样简单。即使是较简单的方程组( 参见例 2 4 2 ，2 4 3 ) 在经典的方程论中( 如【1 1 1 1 1 0 1 5 2 2 2 3 】【3 6 8 4 1 ) 关于奇异解的讨论 ( 包括奇异解的定义) 都不太正式，严密 自然要问：( 1 ) 什么是微分方程( 组) 的奇异解? ( 2 ) 怎样判断微分方程( 组) 存在奇异解? ( 3 ) 怎样判断微分方程( 组) 的一个解是奇异解? 近年来对于上述问题( 1 ) ( 2 ) 的研究，有【2 4 4 2 5 2 5 4 5 9 1 1 6 0 】等，其中多是几 何的研究对上述问题( 3 ) ，文献 5 0 1 对单个非线性一阶偏微分方程进行了研究 在文献【5 2 】 5 9 】的基础上，s i z u m i y a 提出改进的奇异解定义( 见本章定义2 2 4 ) 本章主要对非线性一阶偏微分方程组进行研究，给出了判断局部几何解是奇异解 的充分必要条件，主要结果是定理2 3 1 ，( 见【6 5 】) 第二节简单介绍l j e t 空间的接触结构和一阶偏微分方程组、奇点、奇异 解的几何定义。以及几个有关的命题第三节讨论几何解是奇异解的充要条件 在第四节中我们给出了几个例子我们讨论的方程组和解均为局部的 2 2一阶偏微分方程组及其奇异解的几何描述 舻上的光滑函数的1 一j e t 之集j 1 ( r n ，r ) 构成2 n + 1 维光滑流形，我们也 称之为1 一j e t 空间( 参见【5 3 0 】 4 1 ) 在1 一j 酣空间上有一个自然的接触结构， 它是i ，1 ( 舯，r ) 上的一个切超平面场，且在，1 ( r - ，r ) 的每一点处满足一个非蜕化 条件( 参见【2 】【6 】) 这样的切超平面称为接触超平面j 1 【酞n ，r ) 带上接触结构 成为接触流形 1 5 在取定i ，1 ( 震“，r ) 中的坐标后，接触结构可用，1 ( 渺，r ) 上的1 形式描述设 ( e y ，p ) 是，1 ( 爬“，袋) 中的典则坐标，其中p = 0 - ，陬) ，p i 可理解成是y = ( z ) 对2 7 。的偏导数定义j 1 ( 爬“，r ) 上的1 一形式： n 日= 曲一p i d x i t = l 那么0 的零点集确定了j 1 ( r n ，r ) 上的一个接触结构称0 是j 1 ( r n ，r ) 上的典则 接触形式本文中我们总把j 1 ( ”，酞) 看成带有由上述l 一形式确定的接触结构 的接触流形 设口：j 1 ( r n ，r ) + 畎n r ，( 。，p ) = ( z ，y ) 为典则投影如果，：黔- 赆是 光滑函数，则其j e t 扩张j 1 ，：r n _ t ，1 ( r n ，r ) 是一个嵌入且满足( j 1 ，) 口= 0 ， n 元一阶偏微分方程组的分析表达式可写成 i ，1 ( ，磬，磬) = o ( 2 1 ) l 【f k ( z t ，鲁，罄) = 0 在几何上它自然地对应着l j e t 空间，1 ( r “，r ) 中的一个子流形下面给出一 阶偏微分方程组的几何定义 定义2 2 ，1 如果f ：( j 1 ( r “，r ) ，z 0 ) _ ( 则，0 ) 是一个淹没( s u b m e r s i o 叫芽， ls d n 则称j 1 ( r n ，r ) 的子流形芽一1 ( o ) ，z o ) 为一个一阶偏镁分方程组简称方 程，如果d = 1 ，则称该方程为单个方程 一阶偏微分方程组( f - 1 ( o ) ，z o ) c ( j 1 ( 豫“，r ，z o ) 也可以表述成f ( $ ，玑p ) = 0 ， 如果在其中用y 对毛的偏导数代替以，就得到上述分析的表达式 定义2 2 2 方程( f - 1 ( o ) ，z 0 ) 的一个几何解f 或l e g e n d r e 解，是一个浸入一m m e r - s 幻叫芽i ：( l ，q o ) _ + ( 1 ，1 ( r “，璁) ，知) ，其中l 是n 维流形芽而i 满足 i 8 = 0 且i ( 工) c f “( 0 ) 仰i ( l j 是含于f - 1 ( o ) 的l e g e n d r e 于流形j 1 6 我们也可以把方程的几何解定义为( j 1 ( r “，r ) ，z 0 ) 的l e g e n d r e 子流形芽有 时，描述( j 1 ( r - ，r ) ，z 0 ) 的子流形芽会更方便些 一阶偏微分方程组的奇异解与方程的接触奇点有密切的联系因此在研究奇 异解时接触几何理论自然地起到了关键的作用 定义2 2 3 仿程的奇点j 设z 是方程( f - 1 ( o ) ，z 0 ) 中的一点如果o ( t f 一1 ( o ) ) = 0 ， 即f _ 1 ( o ) 在。处的切空间疋f 。( o ) 含于点z 处的接触超平面，则称z 为方程 的一个接触奇点方程f _ 1 ( o ) 的接触奇点之集记为e 。( f ) ，称之为方程r 或州 的接触奇异集若z ( f - 1 ( o ) ，z o ) 不是接触奇点，则称之为接触正则点 如果r a n k d ( ”i f t ( o ) ) ：sn ，即d ( 7 r i f 一- ( o ) ) 在点z 处是奇异的，则称z 为方程 f - 1 ( o ) 的”一奇点方程的”一奇点之集记为。( f ) 注意：如果f ：u _ + r 4 是任一定义在j 1 ( r n ，r ) 的开子集矿上的光滑映射， 且它是淹没， f 。( o ) 0 则同样可按上述方式定义f - 1 ( o ) 的子集。( f ) 和 e 。( f ) 命题2 2 1 对于给定的一阶偏微分方程组( f - 1 ( o ) ，z 0 ) c ( j 1 ( r - ，r ，z o ) ，其接触奇 点一定是”一奇点，即。( f ) ce 。( f ) 证明注意d i m f _ 1 ( o ) = 2 n + 1 一d n + 1 ，故r a n kd ( ”i f 叫0 1 ) ：n + i 如果 z = ( z ，g ，p ) e 。( f ) ，那么由于点z 处的接触超平面在d 7 r 下像的维数不超过n ( 由计算知该像含于r 击+ p l 南，击+ p n 南) ) ，所以r a l l kd ( 7 r i f 一( o ) ) z n 口 上述命题的逆是不成立的，反例见第四节下列简单命题给出了判断接触奇 点的方法 命题2 2 2r 参见 4 2 1 1 5 圳z ( f - 1 ( o ) ，如) 是接触奇点当且仅当在z 处 r 。n e ( 鬻蒌等) a 其中乃是f 的第j 个分量函数，j = 1 ，d 注意这个矩阵有加行，d 列 下面定义奇异解等概念 定义2 2 4 “j 称方程( f _ 1 ( 0 ) ，z o ) 是i n v o l u t o r y 的是指t 对v ：( f 一1 ( 0 ) ，知) ，存 在l e g e n d r e 子流形l 与f 一( 0 ) 切干z f 彩方程( f _ 1 ( 0 ) ，z o ) 称为完全可积的是 指在f 一1 ( o ) 上存在由几何解构成的叶状结构( f o l i a t i o n ) ，此时称这样的一个叶状 结构为方程( f 一1 ( o ) ，z 0 ) 的一个通解砂设i ：( l ，q o ) + ( t ，1 ( r “，r ) ， g o ) 是方程 ( f 一1 ( o ) ，铀) 的几何解如果存在芽i 的代表i ：u _ + f “( o ) 满足下述条件( + ) 就 称i 为俨樯意义下的j 奇异解： , f v vc 以；( y ) 不含于方程的任一通解的任一叶中 ( + ) 由于单个方程自动是i n v o l u t o r y 的 ( 即d 2 的情形) 而言的( 参见【7 4 8 1 ) 故此概念实质上是对一阶偏微分方程组 在本章中，以下总假定d 2 命题2 2 3 w ，命题j 6 圳设f = ( f l ，f d ) ：( ，1 ( 舻，豫) ，z o ) - ( r a ，0 ) 是一 个淹没芽，那么方程( f 。( o ) ，z o ) 是i n v o l u t o r y 的当且仅当限，马k = o o