（应用数学专业论文）两类混合元方法及其理论分析.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导卜进行的研究 ：作及取得的研究成 果。据我所知，除了艾中特别加以标注和致谢的地方外，沦文中不包岔其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也1 i 包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏叮宅) 或其他教f ，机构的学位或证书使用过的材料。与我同i 作的同志州 本研究所做的任何贞献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论丈作者签名 导师签字 学位论文版权使用授权书 玖夏、弓 寸厶 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保尉并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被奄阅和借阅。本人授权堂 垫可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位沦文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字f = 1 期：2 0 0 6 年月 日 锄擗 彳搿虿 导师签字： fq h 山东师范大学颤士学位论文 两类混合元方法及其理论分析 吴亭亭 山东师范大学数学科学学院，济南，山东， 2 5 0 0 1 4 摘要 本文采用日l - ( ；a l e r k i n 扩展混合元方法数值模拟线性抛物问题 n ) p t v ( n ( r ) v p ) = f ( z ，) ，( z ，t ) cq ( 0 丁1 ， b ) p ( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) d q ( 0 ，丁1 1 ， c ) p ( z ，0 ) = p o ( z ) ： z q 和拟线性抛物问题 r l ( n ) p t v - ( n ( z ) v p ) = ，( p ) ，( z ，t ) n ( 0 ，t ( 6 ) p ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，卅? l ( c ) p ( z ，0 ) = p o e ) ， z q 该方法通过引入两个中间变量，将原问题化为未知函数p ，梯度函数a 和通量函数 u 的一阶方程组，而后将 g a l e r k i n 混合元方法用于此一阶方程组，因而可以同 时得到未知溺数，未知函数的梯度及流量函数的最优逼近该方法的优点在于： 1 允许有限元空间和w 名具有不同的多项式次数，不必满足l b b 稳定性条件； 2 可以用于解决复杂边界和小粘性参数问题通过严格的数学分析，建立了该方 法的最优l 2 模误差分析理论数值例子进一步说明了该方法的有效性 其次讨论了双曲问题 ( a ) p t t d i v ( k ( z ) v p 十b ( z 功) + c ( x ) ( b ) ( k ( z ) v p + b ( z ) p ) n = 0 ， ( c ) p ( x ，0 ) = p o e ) ， ( d ) p t ( x ，0 ) = p l ( z ) ， f ， ( z ，t ) n ( 0 ，t ( z ：t ) a n 0 ，7 1 z n o n 山东师范大学硕十学他论文 在矩形网格剖分下的7 昆合体积元力法该方法在矩形单元上采用丁最低次的r w ，a r t t l l ( ) m a s 混合元空间，得到了近似压力和速度的最优2 馍误差估计 关键词：线性抛物问题；拟线性抛物问题；双曲问题；1 g 蛔跏扩展混合 有限元；混合有限体积元；最优误差估计 分类号：0 2 4 18 2 j 东师范大学碗：上学垃论文 t w om i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n di t s n u i e r i c a la n a l y s i s w u t i n g t i n g s c h o o lo fm a o m m a c i c s ，s h a n d o n gn o r m 础u ni v e r s i t v j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，i r c h i n a a b s t r a c t i nt h ef i r s t p a i to ft h i sp a p e r w i t ha n 爿1 - g a l e z k i nm i x e df i n i t ed e m e n t m e t h o dc o m b i n e dw i t he x p a n d e dm e t h o d lw ec o n s i d e rt h es e c o n d o r d e rl i n e a r p a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) p 一v ( a ( z ) v p ) = f ( x ，t ) ，( 2 5 ，t ) n ( 0 ，7 1 】 6 ) p ( z t ) = 0 ，( - z 1 ，f ) 臼n ( 0 ，t j c ) 】，( 。，0 ) 一p o ( 。) ， z f 2 a n dt h es e c o n d o r d e rs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp a zt i md i f f e r e n t i a le q u a t i o n n ) p t v ( n ( z ) v p ) = ，( p ) ，( z ，t ) f 2 ( 0 ，t b ) p ( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) 0 9 2 ( 0 ，t e ) p ( z ，0 ) = p o ( z ) ， 。n b yi n t r o d u c i n gt w om e d i a lv a r i a b l e s ，t h i sm e t h o df i r s ts p l i tt h ei n i t i a lp r o b l e m i n t oaf i r s to r d e rs y s t e ma n dt h e na p p r o x i m a t e st h es c a l a ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n t a n di t sf l u x ( t h ec o e f f i c i e n tt i m e st h eg r a d i e n t ) o p t i m a l l ya n ds t i h l u l t a n e o u s l 矿 t h ea p p r o x i m a t i n gf i n i t ee l e m e n ts p a c e s 坛a n dw ha r ea f l o w e dt ob eo fd i f f e r i n g p o l y n o m i a ld e g r e e sf o r t h ep r o p o s e dm e t h o d m o r e o x r ：c o m p l i c a t e db o u n d a r y p r o b l e m sa n ds m a l l p a r a m e t e rp r o b l e m sc a nb es o l v e db yt h i sm e t h o d w eo b t a i n t h eo p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c et h e o r e t i c n l yan u n m r i c a le x a m p l ec o n f o r m st h e e f f i c i e n c yo fo u rm e t h o d 3 一旦查崾蔓壁咝焦兰茎 t h e nw ec o n s i d e rt h eh y p e r h o l i tp r o b l e m ( 血) p t t d i u ( k l 。) v p - _ b ( 。) p ) + q r = 、， 1 r ，f ) i2 ( ( ) ，1 1j ( b ) ( ( 。) v p + b ( x ) p ) n = 0 ， ( z ，) t ，n 0 ，t ( c ) p ( z ，0 ) = p o ( z ) ， f s 1 ( d ) p t ( _ 0 ) = p l ( z ) ， z ( 2 w h i c hi ss t i m u l a t e db vt h em i x e dc o v o h l l l l em e t h o dt h el o w e s to r d mr - tm i x e d e l e m e n ts p a c e0 1 1r e c t a n g l e si su s e d w ep r o v et h eo p t i m a l 厶2 一n o r n le r r o ie s t i m a t e s h ) ra p p r o x i m a t i n gp r e s s u r ea n da p p r o x i m a t i n gv e l o c i t y k e y w o r d s ：t h es e c o n d o i d e r l i n e a rp l r a b o l i cp r o b l e m ：t h es e c o n d o id e r s e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b i e m ：t l l ( 、h v p e r b o l i cp r o b l e m ：h 1 一g a l e * k i nm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o dc o n l b i n e dw i t he x p a n d e dm e t h o d ；m i x e dc o v o l u m em e t ，h o d ；o p t ir n a l e r r o re s t i m a t e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 l8 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言 有限元方法是数值求解偏微分方程的一个重要方法二十世纪四卜年代c o l l r 8 n t 等人最早从事有限元方法的研究国内最早研究有限元方法的是冯康先生，他的研 究成果当时处于世界先进行列：十世纪六十年代初，有限元方法在许多领域开 始广泛应用，包括船舶，巨型建筑的设汁，流体力学以及电磁学等但有限元方法 仅能得到未知函数的近似解无法直接得到流量函数的近似解 二十世纪七十年代初，d u b u g k a i q 和b r e z z i l 在b b 稳定性条件：4 6 i 的基 础上创立了混合有限元方法的一般理论二十世纪八十年代初，f a l k 和o s b o r n 提 出了一种改进的混合元方法【“，扩大了混合有限元方法的适用范围，较标准有限元 方法，混合元方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方 程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利在标准混合元方法的基础上， 陈章新于1 9 9 8 年提出了扩展混合元方法，并将其应用于椭圆型方程的求解“该 方法可以同时逼近未知函数，未知函数的梯度及流量函数( 未知函数的梯度与其系 数之积) 特别地，可以用于解决复杂边界和小粘性参数问题混合有限元解具有 很好的物理意义和物理性能但要求所构造的混合有限元空间必须满足l b b 相容 条件，给有限元空间的选取带来一定的困难 1 9 9 8 年，akp a u l 提出了h 1c a l e r 。k i n 混合有限元方法，该方法一方面降低 了h l _ g a l e r k i n 有限元方法【8 】对有限元空间的c 1 光滑性要求；另一方面，允许 有限元空间坛和w h 具有不同的多项式次数，不必满足l b b 稳定性条件 h 1 一 g a l e r k i n 有限元方法可以同时得到未知函数和通量函数的最优逼近 ak p a n i 已 将其成功运用到线性抛物方程吼积分微分方程 1 。j 及拟线性抛物方程的求解 针对混合有限元方法存在的问题，本文把h 1g a l e ，k i n 混合有限元方法和扩 展混合有限元方法结合，提出了日 g a l e r k i n 扩展混合有限元方法我们的论证 表明该方法保持了h c a l e r k i n 混合有限元方法和扩展混合有限元方法的优点， 即可以同时高精度逼近未知函数，未知函数的梯度和流量函数，而且对有限元空间 的选取不需加l b b 条件限制，给实际的计算带来很大方便，具有很强的实用性 混合体积元方法是r u s s e l l “j 首先引入的，后来j o n e s1 2 ：3 , 2 4 1 通过数值例子验证 得知，此方法是相当好的这种方法的主要技巧是通过引入一个将试探函数空间映 5 山东师范大学硕士学应论文 射到检验嫡数空间去的迁移算子j 将p e t r o g a l e l k i i l 格式与标准有限元g a c r k i n 法或混合元法联系起来由于这种方法不但继承厂有限元法的高精度以及差分法的 计算简单等特点，还具有其独特的保持物理量问的局部守恒性的优点，从f n 泊从此 方法提出以来，已获得厂很大的发展例如c h o u 。m dk w a k i ：s 将其研究推广刮矩 形网格以及一般的四边形网格；k w a k l 2 5 研究了拟线性椭圆问题；芮洪兴：t 8 研究 r 抛物问题在矩形网格下的对称的混合体积元格式；姜子文等 2 1 _ 2 。 研究了s o b0 1 e 。 方程以及积分微分方程杨素香 1 9 1 中研究了抛物方程在三角形网络下的混合体积 元方法本文讨论了双曲方程在矩形网格剖分下的混合体积有限元方法，给出_ 厂半 离散和全离散最优l 2 估计 全文的主要内容如下： 第二二章讨论二阶线性抛物线问题 。) p c v ( n ( z ) 审p ) ：f ( x ，氓( z ，) n ( o ，f 6 ) p ( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a q ( o 5 1 1 c ) p ( 上，0 ) = p o ( z ) ，。q 的t i l g a l e r k i n 扩展混合元方法数值模拟到目前为止，很多数值方法已经被应用 于此方程的求解，如有限元方法，标准混合元方法f l = ! 、h 一c a l e r i n 方法我 们提出j ，该方程的日1 一g a l e r k i n 扩展混合元方法的半离散格式和全离散格式，给 出了解的存在唯一陛证明通过严格的数值分析，得到未知函数，未知函数的梯度 及流量函数的最优l 2 模和i - i 。模误差估计数值例子验证了该方法的有效性与可 行性 在第三章中，我们用i - p - g a l e r k i n 扩展混合元方法讨论拟线性抛物方程 。) p 一v ( ( z ) v p ) = ，( p ) ( zt ) f 2 ( 0 ，_ 1 b ) p ( z ，) = 0 ， ( z ，) a q ( 0 ，7 1 1 c ) p ( z ，0 ) = ：p o ( z ) ，z n 我们提出了该方程的h 1 一g a l e r k i n 扩展混合元方法的半离散格式和全离散格 式，利用b r o u w e r 不动点定理，证明了全离散格式解的存在唯一眭并通过了严格 的论证，得到了h 1 一g a l e r k i n 扩展混合元解的最优l 2 模和h 模误差估计， 6 ，j，、j、 ，f，、 山东师范大学硕十学位沦文 本文的第p q 章讨沦了双曲问题 a ) p t t d i v ( k ( x ) v p + b ( x ) p ) 一一c ( x ) = ， b ) ( k ( z ) v p + b ( x ) p ) n 一0 ， c ) p ( z ，0 ) = p o ( z ) ， d ) p t ( z ，0 ) = p l ( z ) ， ( z ，t ) n ( 01 1 ( z ，) 臼q 0 ，t 】 o q 5 9 f 2 的混合体积元方法我们首先提出双曲方程在矩形网格剖分下的混合体积元离散格 式，并在矩形单元上采用了最低次的r a v i a r t t h o m a s 混合元空间通过引入广义 混合体积元椭圆投影，给出了半离散和全离散最优l 2 模估计 对文中出现的记号做一些必要的说明：用“，p ( s ) 表示s o b o l e v 空间，其范数 记为”，s h 。( s ) 一w k , 2 ( s ) ，其范数记为”s 当s = f 2 时将s 省略若 k = 0 、用l 2 ( n ) 表示相应的空间，范数为” 设x 是s o b o l e v 空间，( z ，t ) 在g t a ，b 】上适当光滑，则可定义空间l p ( a ，良x ) 及相应的范数如下 ，6 l p ( a 6 ；x ) 一 ，：i i f ( - ，t ) i p x d t 0 且f ( x ，t ) 关于一致连续，p = 两d p ，1 1 十。c 本文在第二节中给出了问题( 2 1 1 ) 的日1 1 g a e r k i n 扩展混合元的变分形 式和半离散格式，第三节中我们证明了半离散格式解的存在唯一性，第四节将给出 半离散解的l 2 模和h 1 模的最优误差估计，全离散格式和全离散解的驴模和h 1 模的最优误差估计在第五节中给出，在第六节中给出数值例子 2 2 问题( 2 1 _ 1 ) 的变分形式与，1 一c a l e r k i n 扩展混合有限元格式 引入记号： o ( z ) v 芦= 札，v p = a ，并i d _ i e ( z ) = 而1 ，则问题( 2 1 1 ) 可以等 价的转化为一阶微分方程组： ( a ) n ( z ) 唧= u ， f b )v p = a ， ( c ) p t v u = ，( z ，) ( d )p ( z ，t ) = 0 ， ( e )p ( 。，0 ) = p o ( 。) ， ( z ，t ) n ( o ，卅， ( z ，t ) n ( o 7 1 ， ( z ，t ) n ( 0 ，7 1 】， ( 2 2 - 1 ) ( z ，t ) 0 q 0 ，t ， z q 引入散度空间w = g | q ( l 2 ( q ) ) 4 ，vq l 2 ( n ) ) ，其范数定义为 蚓i n ( d 。n ) = ( 酽+ i i v 洲2 ) ；，并引入积空间a = 二( q iq ( l 2 ( 2 ) ) 4 ) 并 且砩( q ) 和l 2 ( n ) 为我们所熟知的s o b o l e v 空间，( ：) 表示空间l 2 ( q ) 的内积 8 卅 旧刈 2 q 撕 k ，k n 蜒 0 z ， = p妒 “旺 m _ l | f v ” e 置 凤“烈 山东师范大学硕士学位论文 ( 2 21 ) 式中的( a ) ( b ) ( c 0 分别与肛a 砩( 1 2 ) ，“w 作内积，并利用陷 林公式和边界条件，得出与问题( 21 1 ) 等价的h l g a l e 7 k m 扩展混合变分形式： 求( u 、a p ) ( w a 日3 ( q ) ) 满足 n )( n ( z ) a ，p ) = ：( t z ，肛) 、v 一、 6 )( 可_ p ，可u ) = ( a ，可u ) ，v “硎， f 川 c )( 血( r ) u ，山) + ( v “，v - 训) = 一( ，v - ) ， v 3 l 矿 d ) p ( 茁，0 ) = p o ( x ) ， z q 其中，用到一( 仇v 埘) = ( v p “w ) 一( p ，叫n ) i 狮，和p t f a n = 0 为了给出与( 222 ) 相应的盯1g a l e r k i n 扩展半离散混合有限元格式，我们 首先构造空间w a 嘲( q ) 的有限维子空间嘶。a h 如下： w h = q h w i ( q 九) 。l k p r ( ) ，j = l ，一，礼，v k 耳 ， a i 。= a a l ( a ) ；i n p r ( k ) ，i = 1 ，- ，n ，v k 巩) ， 坛= t j h c ( q ) l h l k p k ( k ) ，v ，v h l o f t = 0 其中，m ( ) 为剖分单元k 上的次数不超过s 的多项式全体，d 为空间的维数 并且，n = u k 。n ，h = 7 n n z d i a m ( k ) ，k ) 一般情况下要求剖分为正则 的，h 满足( 0 h 1 ) 有限元空间名，a ，坛分别具有下面的逼近性质： 。删i n f 。 1 1 w 一”h 忡m 一础 1 1 1 ) 墨c h 州r + 1 v ”( h 什1 ( 硝， 、i n ， | | a 一入 | | ) sc 7 十1 i a l va ( h 7 + 1 ( n ) ) 。， i n f 0 ，满足。4 ( “，世) 2 。o 怕慵巾v “w 根据聊( n ) 空间上全范半范的等价性知，( 24 2 ) 式所给出的投影是明( q ) 上的正定的双线性 形式 l 2 投影h ： o ，t 】一a h ，a 满足 ( n ( z ) ( a a h ) ，t z ) = 0 v “h a ， ( 2 43 ) 记p = “一锄，q = p 一厩，f = a a h ，由标准有限元知识知p ， ，r 满足： jp 峙+ j j 见儿c h 叶1 一。( j j “jj r + 1 + j jz t tj j ，1 ) ，j = 0 ，1 ( 2 44 j i q 忆+ | | 仇吣c h 2 + 1 一j ( i ip k + 1 十l lp l i + 1 ) ，= 0 ，1 ( 2 45 ) | | 7 - | | + | | nl l sc h 7 + 1 ( 1 al l ，+ 1 十| l 扎+ - ) ( 2 46 ) 为了便于误差估计，引入记号如下： u 一 = ( “一面 ) + ( 豇 一u ) = p + f ，p p h = ( p 一西。) + ( 2 j h p h ) = r l + ( 一a h = ( a 一天 ) + ( 天 一a h ) = 丁+ e ! 塑遭! ! 皇堕士学位沧文 由1 2 2 2 j ( 22 3 ) 及f 24 、1 1 ( 24 趴并采用卜丽的记号町以得到溟麓方程： i ( n ) l “( z ) e p h ) = ( pl l h ) 十( f 卢 ) ，v 芦 a 、 j ( 6 ) ( v ( ，v u ) = ( f ，v ) + ( e ，v u f 。) ， vu h 既， 1 ( c ) ( 。( z ) 。u ，。；+ 1 ( f ，q 。) = 一( n l 。) p 。嘶。) + a ，( p 。) 十a f f ，。u 。) 、 2 4 7 f、， i口“，- w “ 定理2 1 若。( o ) = i h ( o ) 、则存在不依赖于h 的正常数( 满足： f f “一“ f f + f f a 一、 f f se 凡r + ， i i 。j i ，+ ，+ i i a i i ，+ 。+ 【，。( j i n 。i l i ，。十| | 。_ | i + 。) d ， j ) ， 2 4 8 i f p p 茎c h “+ 1 ，) l l p l l + 1 十j a 忆十i l “| | ，。1 + 厂( f u 。j f ；+ 。+ j f u f i ；+ ，) d r j 2 49 + ( 魄。+ ) d r m 、 证明：利用( 24 4 ) ( 2 4 6 ) 可以得到l l a l l ，l i ”l l ，i i7 - i i 的估计，冈此只需估计1 1 i i ，i f i t 忙 在( 2 4 7 a ) 中取“h = e 得 】je ) j sg ( f j 尸j7 + j jfj i )( 9 4l o ) 在( 2 4 7 b ) 中取= ( 得 1 1v l l | | 7 _ | | + le f 4 1 1 ) 在( 2 4 7 c ) 中取= f 得 ；知。 f f f 2 + a ( “) 一一( f ) + a 。( 硝) - a 。( “) 由a ( 丫) 的正定性以及h b l d e r 不等式得 蓑i j “ l 】2 + i j 惦g f j 见f 1 2 + i j p | | 2 + 】i f _ | 2 ) 两边从o 到t 积分，并且注意到( 0 ) = 0 可得到 、，t州 i i ( t ) l i 2 + 川( ，r 珊打sc ( 1 i p t ( r ) 胪十i i p ( t ) i 1 2 ) 打十( ? r ) 1 1 t 打 如j0 io 利用g r o n w a l l 引理，并结合( 244 ) 得 l j ) 旷+ l f ( 7 _ ) 旧d rsc h 2 一+ 1 ( j 【u t ( r ) | | 苒。+ 【| ，u ( r ) l l i “) d r ( 2 4 1 2 ) jd 。，r 】 1 2 山东师范大学硕士学位论文 结合( 2 1 ，i ) ，( 24l o ) ，( 241 2 ) 得 lr ：f | 墨( ，n ( 7 + 1 ( 【u + 。t ( i 忆t ( r ) 博。1 一f i “( r ) i 1 ；+ 1 ) r 打 ! ( 2 41 3 j 0 由( 2 、4 1 1 ) ，( 241 3 ) 及( 2 46 ) 得 l i v - i i 茎c h ( ”1 圳a ( t ) i i t + - 忆( m i 十l “( ( r ) 峨。+ r ) 慨。) 打 、24 r ( 1 4 ) j 0 又因为 0 且p = 鲁，t 0 ，满足a ( u ，u ) 。i l “嗜( 舶) ：讹w 根据拂) 空间上全范半范的等价性知，( 34 2 ) 式所给出的投影是明( q ) 【二的正定的双线性 形式 l 2 投影i 。：【o ，了 一a m 天h 满足 ( 。( 。) ( a 一工h ) ，卢 ) = 0 ，v 肛 a ， ( 34 3 ) 记p ：u 一砒，”；p p h ，r ；a i h ，由标准有限元知识知，) ，q ，r 满足： i ip1 1 ，+ i ip ：l ，sc h r + l 一，( 【 ni i ，+ 1 + i iu c 1 1 ，+ z ) ，j = 。，1 ( 3 4 4 ) 1 j ”1 b + 1 1 日。1 1 j sc h 1 一j l lp5 1 k + l + i ip ti j + 1 ) ，j = o ，1 ( 3 45 ) i iri i + i inl l 冬c h r + - ( 1 1a1 f ，+ l 十i ia ci | ， ) ( 3 46 ) l j 东师范人学硕士学位论文 为_ r 便于误差估计，引入记号如f ： u m = ( “一i ) + ( 5 h 一“ ) = p 十：p p h 一( p 一声 ) + ( j 一p h ) = q 十 a a = ( aa 。) + ( a 一a ) = r + e 由( 3 22 ) ，( 32 3 ) 及( 34 1 ) 一( 34 3 ) 并采用上面的记号可以得到误差方程： ( u ) ( ( i r ) e ，卢h ) = ( p ，卢 ) + ( ，口h ) ， v 芦h a h ， ( 6 ) ( v c 、v v h ) = ( lv ) 4 - ( e ，v ) ， vv h ， ( c ) ( ( z ) 邑w h ) + a ( ，t l j h ) = 一( ( z ) 胁，w h ) 4 - a 1 ( p ， ) + a l ( ，w h ) + ( 乜( z ) ( 厶( p ) u 一厶( p 们7 1 h ) u j ) vu 惦l “ ( 3 4 7 ) 定理3 1 若u h ( o ) = g ( o ) ，“( t ) l 。( n ) 、则存在不依赖于h 的正常数g 满 足； l p p h | j c h m m k ，十1 1 i p f + 1 + i ! a + i + l u l l ，“ + 上( | | u t | | i - + l u | | ir t + i1 _ | ；十l + 1 l p l | ：+ ，) d r 】。) 、348 r c ( ) i m u h | | 十l l a a i sc h r a i n 2 + v + 1 i | “+ 1 + l l a + l r t，( 349 ) + ( 1 i 毗i | 各。+ i i ul i i ，+ l l a 恽十1 + | | p i i ：十1 ) d 丁 ) 证明：利用( 344 ) 一( 3 46 ) 可以得到i i p1 1 ，i i , i ，i 的估计，因此只需估计 蚓刮，蚓l 在( 347 a ) 中取m = e 得 忆怪c ( i ipj i + 】l 1 1 ) ( 3 4 - 1 0 ) 在( 3 47 b ) 中取v h = e 得 l | v ( 临| | r 【| + 忙f i ( 3 4 1 1 ) 在( 3 4 7 c ) 中取w h = 得 j 爱| | f | | 24 - a 嬉，f ) = 一( o z p t ：f ) + a 1 ( p ；) 十a - ( ，) + ( n ( z ) ( 厶) “一厶( p n ) 让n ) ，) 由条件并结合( 3 4 1 0 ) ，( 3 4 儿) 及p o i n c d r e 不等式得 山尔师范大学硕- = 学论文 ( “( z ) ( 厶【p ) u 一厶( p h ) 1 1 h ) ，) sl ( 。( z ) ( 厶( p ) 一；( p ) ) u f ) i i ( a ( 。) f ，( p h ) ( n i t h ) f ) ( ? ( m ( t ) jlc 一) ( 1 i d 】+ i l ( j ) i i 十p ( _ | p + l 】) l c i i l l2 十1 , 1 1 12 叫r2 2 由l ( ，1 的正定性以及l t s i d e r 不等式得 知。神+ i 兰g i l p c 2 + i i p i 2 + 俐2 + 1 1 r i l 2 一- e i r 1 2 两边从0 到t 积分，并且注意到( o ) = 0 可得 忙( t ) 】1 2 十r ) 旧d r o f t 墨c ( _ | 凡( 丁) 1 1 2 + l | p ( 丁) 【| 2 + | | 印( 丁) i1 2 + i o 利用g r o n w a l l 引理，并结合( 3 44 ) ( 3 45 ) 得 结合( 34 4 ) ，( 3 4 1 0 ) ，( 341 2 ) 得 由( 3 4 1 1 ) ，( 34 1 3 ) 及( 3 4 6 ) 得 i i v 刊茎c h r a i n r t , k + l i a ( t ) 忆1 + 忆( t ) l + 【( i l 地( 丁) i 悸+ 。+ l i u ( 丁) 孵“+ i i a ( r ) 孵+ 。4 - l 旧( 丁) 噱+ 。) d 7 - j ) j 0 利用( 3 4 4 ) 一( 3 46 ) ，( 3 4 1 2 ) ，( 34 1 3 ) ，p o i n c h r e 不等式即可证得结论 定理3 2 若u h ( o ) = 砒( o ) ，u ( t ) l 。( q ) ：则存在一个不依赖于h 的常数 ：_ 满足 f t 咱) ( 。) 1 1 ，曼g 一1 | 什l + i 札删一- + 黼) 忆眦1 5 1 刊a ( r ) 慨。+ l p ( r ) 1 1 2 + 。) ) 圳j ) 2 打乱 。 3 43 打丁 p + o 件 a + o 件训 h + “ o 件 i h 盯 州 h m i 吼厂厶 s + e 山东师范大学硕士学证论文 f p p hi lsc h7 r i m ( ”1 。 l p ik l 十l a i ，r i + l 训! ，1 。 z t ( 一r ) ! | ：! + 一- r ) 艮。r + 。+ i 一，) 州i ) 1 34 【6j 证明：由( 3 44 ) 可以得到l i p l l 的估计，下i 酊估计1 在( 3 4 7 c ) 中取h = 6 得 l l “j & 俨+ j 袅( 。4 ( f ，) ) = 一( 血见，& ) 4 - a ，( 一毛) + a 。( ，已) + ( 。( z ) ( 厶( p ) u f p ( p l 。) 7 2 , h ) ，) 利用不等式得 幡6 1 1 2 + i 罴( a ( f ，) ) s 2 + c 1 l p l l 2 + r i p , nl l j 2 + ! lr l l l2 + i i c i i 2 】 上式的项被左端吸收，再从0 到t 积分，并注意到矗( o ) = 0 得 ，c i t 川6 ( r ) j 1 2 d 7 + ! l dl ) l l ；c h 州2 一2 似“ 川砜( 训+ j 仆( r ) + i a ( t ) i i i + 。4 - 1 i p ( ，- ) 慨。) ) 打 f 3 41 7 1 利用三角不等式以及( 3 44 ) ，( 34 1 7 ) 可以得到i i ( “一札 ) ( ) l h 的估计 最后，结合( 3 4 5 ) 和( 3 41 4 ) 并利用三角不等式可以证得1 1 ( p p h ) ( 圳1 的估计 3 5 全离散格式及其误差估计 设l 为正整数，时间步长取为a t = t l ，俨= n a t ，0s 7 , l 另外，设 妒= 庐( 伊) ，a 妒= ( 妒一妒_ 1 ) t ，其中西c o o ，t 为连续函数，( ：，棺，p 凡) w h a h 为( u ”， ，p “) 的日1 一g a l e 7 k i n 扩展混合有限元方法全离散格式 解问题( 3 2 2 ) 的全离散格式为：求( u z ，a 2 懿) 计a hxv j 。满足，1 n 茎l ， ( a ) ( n ( z ) a ：，p h ) = ( ”z ，p h ) ，v 肛 a ( b ) ( v p 2 ，v u ) = ( a 2 ，v ) ， vv h ( c ) ( ( 。) a “r ，w i t ) + ( v 札2 ，v - w h ) = ( 耻( 。) 厶( p ：) x ，w h ) ： vw h 1 ( d ) u ( o ) = 豆 ( o ) ， z q ， f 3 5 1 1 2 7 由n 够l o r 展式知 ! 堕塑三鎏芝型垦墼 厶( p ：) 一厶( p ”) = j 品( p z ) ( p ：一p ”) ( 3 52 ) 一厂1 其中，矗，( 珑) 一厶，( 珑+ ( 矿一醒) ) 班易知i ，品( 壤) 为n 上的有界函数 i0 用( 3 2 2 ) 一( 3 5 1 ) ，并结合( 3 5 2 ) 得误差方程 ( 。)( n ( z ) ( a “一a 2 ) ，卢 ) 一( t ，一+ u “h 肛 ) 二= 0 、 v ，瓴a _ ( b )( v ( 矿一p z ) ，v v h ) 一( a “一a ：，v o h ) = - ：= 0 ， vv t 。， ( c )( ( z ) a ( “”一“：) ，叫7 。) 十( v ( 7 1 “一“z ) v + 出 ) 一( n ( z ) ( 执e 。“u ? ) u 饥) 斗( “( z ) 厶p ( p ：) ( p ”一p 2 ) t z “h ) + ( ( z ) 厶( p 2 ) ( “一“：) ， i l ：i ：) vi u h i , 1 7 _ ( d ) 7 h ( o ) = 乱 ( o ) 。q ， ( 3 53 1 定义算子西：。a n h ，w h a hx 坛： 中( r “，z 7 “，p “) ：( 矿，萨扩) 其中， ( 矿，y “，扩) 为下列方程的解 ( n )( o ( z ) ( a “一8 ) ，p h ) 一( u “一z “，p h ) = 0 ， v 肛h a ， ( b )( v ( p “一z “) ，v v h ) 一( a “一y “，v v h ) = 0 vu h ， ( c )( ( z ) 魂( u “一z “) ：w h ) 十( vt ( “4 一z “) ，v w h ) = ( 0 = ( z ) ( a “一? ) ，w h ) 十( ( z ) 厶p ( p “) ( p “一p ”) 2 ，i i , i h ) 十( o ( z ) 厶( 。) ( 2 ”一r “) ，w h ) ， vw h w 名， ( d ) z “一1g i v e n ， z q ， ( 354 ) 利用基函数易证( 35d ) 的解存在唯一进一步可知( 351 ) 解的存在唯一性问题可 等价转化为算子垂存在唯一不动点 定理3 3 问题( 3 5 1 ) 算子圣在w 厶a h 一卜有不动点 证明：由b r o u w e r 不动点定理只需证圣将半径为d 的球映到自身即可令 0 d l ，1 丁n 一锻i l 。6 ：1 i 矿一确i s6 ，| | 矿一霸m 6z 一1 给定并满足 山东师范大学颤t 学位沧文 ”1 一z ”1 【| c ( h + ) z o 可取为i “( 】) z “。可取为 差分析中可知这样的扩。满足假定条件进一步可令j f a t 茎由利用( 3 4 1 ) ，( 342 ) ( 3 4 3 ) 呵把( 354 ) 改写为 “：从第五节的误 h ，a t 充分小，满足 ( 。)( n ( z ) ( a z y “) ，p h ) 一( 矗z z “，“h ) = ( u “一面z ) ，vp h a h ( b )( v ( p h 一。“) ，v u ) 一( a “h g “，v v 。) 一( “一a ：，v u h ) vu h 。 ( c ) ( n ( z ) ( i ：一x n ) ， w h ) 十a t ( v ( 面2 一z “) vw h ) = ( d ( ) ( 缸：一“) ，w h ) 十( q ( z ) ( t ，1z ”一1 ) “h j + a t ( a ( z ) ( 孰u “一“? ) ，“协) + & a t ( u “i l ”h ，w ) + ( d ( z ) ，品( 矿) ( p “西x ) 札“， b h ) + ( o ( z ) 昂( p ”) ( “” + t ( o ( z ) 岛( p “) ( 声：一p “) “”，w h ) + ( 血( z ) 厶( p ”) ( 面z ( d ) z “1g i v e n z n ： 豆：) 1 盯 ) p ) ，叫 ) ，v t b h 名 在( 3 5 5 a ) 巾取肌= a ：一y ”得 l i a z 一可”| l 吉【l i 画：一z “l + l “”一面嚣l i 茎：l l 百z x n | | 十鲁 在( 3 55 b ) 中取u h = 群一p ，利用p o i n c d r e 不等式得 i i p ：一z