（运筹学与控制论专业论文）弹性系统的稳定性与精确能控性.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 本文1 i j f 究了弹性系统稳定性和精确能控性中如下三个问题 一 一一一。一一一 1 具局部坌塑里星或控制的要擎銎的指数稳定性， 2 弹性梁的边界镇定 3p e t r o v s k y 板方程的精确内部能控性。 在第章绪论中、我们介绍了分布参数系统的若干进展及本文的工作。 在第二章中，我们研究具有局部k e l v i n v o i 舢阻尼的非均质e u l e r b e r n o u l l i 粱 方程利用频域方法和乘子技巧，证明了能量是指数衰减的，这样我们推广了l i u - k 和l i l l z 4 1 1 中的结果。 在第三章中，我们研究一端夹住另一端有弯矩和剪力反馈的非均质t i i 。s l l e n h 梁方程。利用频域方法和乘子技巧，证明了当有弯矩和剪力同时作用时，系统是指数 稳定的。并且证明了当反馈控制充分弱时，系统是倒向适定的。 在第四章中，我们研究具有局部分布反馈控制的非均质t i m o s h e n k o 梁方程。利 用频域方法和乘子技巧，证明了无论两个波速是否相同，系统都是指数稳定的。 在第五章中，我们研究在局部分布控制作用下边界夹住的p e t r o v s k y 板方程。利 用逐片乘子技巧和k 。m o l n i k 模不等式，证明了在任意指定时间内，系统都是精确内 部能控的。在振动板的控制器和阻尼器的位置设计中，这些结论可以提供有价值的参 考信息。 浙江大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ef o u o w i n gt h r e e p r o b l e i n so fs t a b i l i z a t i o n a n dc x a c tc o n t r o l l a b l l i t yf o r ：l a s t i ( s y s t e i n sh w eb e e i ic o n s i d e r e di nt h sp a p e r ： lt h ee x p o n c n t i a ls t a b i l i t yo fe l a s t i cb e a mw i t hl o c a u yd i s t r i b u t e dd a i p l n g 【) rc ) n t r ( ) 1 2t 1 i eb o u i i d a r ys t a b l h z a t i o no fe i a s t i cb e a m 3t h ee x a c ti n t e r n a lc o n t r o l l a b i l i t yo fp e t r o v s k yp l a t ee q l l a i i i i l c h a p t e ro n e ，w er e v i e ws o m ep r o g r e s si n d l s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m t h ( 、( ) r ya n dg i v ea ni n t r o d u c t i o nt oo u rw o r k i nc h a p t e rt w o ，w ep r o v et h a tt h ee n e r g yo ft h ei i o i l u n i f o r me u l e r b e r n o u u l b e a m 拍c a y su n i f o r m l ye x p o n e n t i a l l yw h e t h ek e l v i n v o i g td a m p i n gi s d i s * l r i b u t e ( il o c “l yo na n ys u b i t e r v a lo ft h er e g i o nt h u s 、w eg e n e r a l i z et h er e s u l t l nl i u ，ka n dl i u ，z 4 1 ， t h e e q u e c yd o m 撕nm e t h o da n dt h em u l t i p l i e r t e ( i h n i q u e sa r ea p p l i e d i i ld t a p t e rt h r e e ，w ec o s i d e rt h eb o u n d a r ys t a b i b z a t i o no ft h et i m o s h e n k o f ： 1 1 i a t i o n o fai l 。i l u n i f o r i nb e a n l ，w i t hc l a m p e db o u n d a r yc o n d i t i o na t 。n ee n d a i l dw i t hb e n d i n gm o m e n ta n ds h e a r b r c ec o n t r o l sa tt h eo t h e re n di ti sp r o v e d t h a tt h cs y s t e mi s e x p o n e n “a u ys t a b i b z a b kw h e b e n d i n gm o m e n ta n ds h e a r r ) r c ec o n t r o l sa r es i m i l l t a n e o u s l ya p p l i e d ，】o r e o v e r ，i ti sp r o v e dt h a tt h es y s t e m i sb 氆c k w a 讯w e u p o s e d n e s 8w h e nt h ef e e d b 扯kc o n t t o l s 龃ew e 妇e n o u 幽 i nd i a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i z a t i o no ft h et i m o s h e n k oe q u a t i o no f an o n u n i f o r mb e a mw i t hl o c a l l yd i s t “b u t e df e e d b a c kc o n t r 。l s ，i ti sp r o v e dt h a t t h ( ：s y s t e mi se x p o n e n t i a u ys t a b i l i z a b l e i n ( h a p t e rf i v e ，w ec o n s i d e rt h ep e t r o v s k yp l a t ee q u a t i o nw i t hl 。c a l l y d i s t l l b u t e dc o n t r o la dc l a m p e db o u n d a t yc o n d i t i o i ti sp r o v e dt h a t ，f o ra n yp r e 浙江大学博士学位论文 l l l s ( ：r i b e dt 1 i i l ed u r a t l o n ，t h cs y s t e mi se x a c ti n t e r i l dc o n t r ( ) u a b i l i t yb yt h ep i e c c w i s c 1 l l u l t i p l i e r1 n e t h o ( 1a n d k o m o r n i k sn o r mi n e q u a l i t y 致谢 本文是在导师陈叔平教授的悉心指导下完成的。陈教授知识渊撼治学严谨，要求 严格，使我三年来受益匪浅。无论是在学习上还是生活上，陈教授都给予极大的帮助。 在此谨向陈教授致以最诚挚的谢意。 本文的完成也是与刘康生教授的悉心和耐心指导分不开的。刘教授不仅带领我进 入分布参数系统控制理论这一领域，而且对本文的选题与写作提出了许多建设性的指 导意见。在此一并向刘教授表示深深的谢意。 三年来与诸位师兄弟们建立了深厚的感情。我们共同学习，互攘帮助互裙勉励。 经常进行有益的讨论，对我的学习和认识有很大的促进。在此向他们表示感谢，诸位 是禹新辉、袁富宇，张维海，孙煜等博士。另外和吴汉忠博士进行了许多有益的讨论 在此表示感谢。 感谢海军航空工程学院数学教研室的领导，他们离瞻远瞩，在教学任务很繁氧。人 于短缺的情况下，让我脱身出来学习。 感谢牵琼老师和刘惠红师母，为了我的学习，辛苦地照看着我的孩子。 感谢我的家人对我的理解和支持。 浙江大学博士学位论文 第一章绪论弗一早殖了匕 l ，1 引言 分布参数系统是指由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程或抽象空间中的微分 ：疗程所描述的无穷维动力系统。与有穷维系统相比较、无穷维系统有其自身的特点，如 解的止则性、有穷维逼近等。近年来分布参数系统控制理论已成为控制理论中最活 跃的领域之。其原因是 1 现实世界的大多数现象是无限维的其中的控制问题要求用分布参数系统来描 述：特别当控制精度要求较高时，不宜简单地化为有限维问题来处理。有限维化只有 建立在无限维分析的基础之上才能合理地引进。 2 与有限维系统相比，在研究分布参数系统控制理论时会遇到许多新的本质的 嗣难，这也进一步激起了许多学者的研究兴趣。 弹性系统的稳定性和精确能控性是分布参数系统控制理论中的莺要研究课题。 在飞机等空间飞行器的设计和制造中，就应用梁的控制理论细长空间飞行器的振动 就可以用耐端自由的弹性粱近似描述。基于振动控制在航天等领域的重要性我国学 者从7 0 年代就 始研究细长体弹性振动系统的建模和振动控制在振动系统的谱分 析、能控性和反馈镇定等方面取得了许多重要成果。此外在单输入单输出无穷维线 性系统的极点配置、无穷维线性系统稳定性的频域判据，无穷维系统的时间最优控 制、一般无穷维系统的极大值原理等方面的研究，我国学者都做出了重要贡献。 我国现代控制理论在空间飞行器控制中的应用仍处于起步阶段，在带有大量燃料 及挠性部件的大型应用卫星控制中，为了解决振型及频率不准确的控制以及部件闭路 系统中优化控制的难题，正在积极开展现代控制理论应用的研究可望在不远的将来 会在空间飞行器上得到实际应用。 材料科学的发展为弹性结构的抑振提供了新的方法，其中方法之一是在基础结构 上贴上片特殊材料制成的补丁做为主动或被动控制器。例如福特汽车公司的工程师 们酲计了种阻尼片贴在弹性板上，以改变结构的材料属性。另外还有用压电陶瓷片 做为传感器和调节器。近年来出现的智能( s m a r t ) 材料使得有可能直接控制材料的结 浙江大学博士学位论文2 构阻尼这对于分布参数系统的控制将产生蘑大影响并在控制方法上引起重大革新。 无限维空间中的稳定化和能控性问题，在数学上是非常有趣的问题在实际中也 是重要的问题。实际例子有机翼振颤中的主动稳定化投术、可变形曲面到指定位形的 精确自b 控性问题等。对于时间可逆的线性系统、精确能控性和一致稳定化反馈以及最 优稳定化反馈设计是密切相关的。 弹性梁的镇定吸引了许多人的注意力。例如，c h c n d e l f 。u rk r a l l 和p a y r e 4 】 c h c n ，k h m t z m a 和w a y n e 【5 3 ，l l u k 和l hz 4 l ，4 2 1 r 5 2 l 及r e l ) a r b c r f 5 5 1 研究的是e l l l ( ：r b c r n o u l l i 梁c h e ml i l l ，k 和l i l lz 8 及r a ( ) 5 3 研究的 是r v l ( ! 培l l 粱k l i i l 和r e i l a t d y 2 3 f e l l g s h i 和z h a n g 1 0 及s h i h 0 1 l 和f e n g 5 8 1 研究的是t m l o s h o l l k o 梁。 关于均质弹性系统的指数镇定有大量参考文献( 参见l i o i l s 3 4 3 5 1 k ( m l 。r 1 1 i k 2 6 1 _ l i uf 3 7 1 及其参考文献) ，但是对于非均质弹性系统的指数镇定只有较少的参考 文献。l a g 【l ( 一 2 7 1 ，h u 1 5 1 和k i m 2 1 1 研究了带有局部分布有界控制或阻尼的非 均质弦，k l i n 2 2 及s h l 和f e n g 【59 研究了带有局部有界控制或阻尼的非均质梁； l 4 9 i l e s e 2 8 】和w y l e r 6 2 】研究了带有边界反馈阻尼的n 维非均质波方程；l 8 9 n e s e 2 9 】研究了带有边界反馈阻尼的n 维非均质弹性动力学方程；“u 3 7 1 研究了保守系 统的精确能控性和指数稳定性之间的等价性。一般地说，非均质弹性系统研究起来相 对比较困难，且用到的数学知识也比较多，例如y a of 6 3 用黎曼几何研究非均质壳。 对于各种线性板的精确边界能控性，可以参见l 3 9 n e s e 和l i o n s 3 l 】：l i o n s 3 4 ， 3 5 、l a s i e c k a 和t r i g g i a n if 3 2 ，3 3 及z u a z u a 6 9 】。对于简支边界条件的p e t r 。v s k y 板方程已经被广泛地研究，可以参见h a t a u x 1 4 】，j a 骶r d 【1 8 ，k o m o r i l i k 2 5 ，2 6 ， l i o n s 3 5 】及l i u 3 7 】。对于筒支边界条件的k i r c h h o 圩板型方程，可以参见l i u 和 y u1 4 7 。然而就作者所知，边界夹住的p e t r o v s k y 板方程的精确内部能控性，以前没 有人研究过。 本文我们主要研究弹性梁，下面我们给出各种梁的数学模型。对于各种板的模型， 浙江大学博士学位论文 口j 以参见l a g n e s e 【3 0 l 或者l a g n e se ：和l i o n s 【3 1 1 。 5 1 2 各种梁的数学模型 3 下面我们以悬臂梁为例从能量的观点给出各种梁的模型( 参见r 1 1 s s e 】f 5 6 】) 。 我们用p ( 。) 0 ：f l 表示梁的线密度，上表示梁的长度，e ，( z ) 表示梁的弯曲刚 度，( 引表示转动惯量，( 。) 表示弹性模量，口( 。) 表示结构阻尼系数，咖( ) 表示弯 矩，t ( t ) 表示剪力t d ( z ，) 和烈z 、) 分别表示横向位移和转角。 ( 1 ) e l l k i b e m o u l l i 粱方程 保守的e 1 l l e r b e r i l 0 1 l l l i 梁的能量为 e = e ( w 1 魄) ；z l ( p 仲。1 2 + e ，j ，”j 2 ) d z 琏中7 表示对空间变量z 的导数。当有结构阻尼时，能量耗散为 e t 十z 。，f l t ”? l 2 c k = 上。l p ”t ”“+ ( ”：+ e j w ，) ”；， d z 分布积分两次，得 ，_ e 。+ i 叫? j 2 d # ，d = z 。一”：( _ ”：7 + e ，”，) ，j d z 枷撕”；+ e ，”7 圳； = z 。”。胁t + ( 伽：+ e ”z + ”：( q ”：7 + e 川圳： 一w t ( _ ”：+ e j ”) 霄 对应的偏微分方程和力学边界条件为 p 伽“+ ( 叩协：+ e j 铆”) ”= 0 ，( z ，t ) ( 0 ，l ) r + w ( o ，) = t c ，( o ，) = 0 ， 即( l ) 叫：( 五，) + e j ( 三) ”( 三，) = 币( ) ， 一( 警钟? + e j 训”) 7 i 。= l = 芦( 亡) ( 2 ) r ，a y l e i g h 梁方程 浙江大学博士学位论文 r a y l d 曲梁的能量为 e = ；z 。( p l w 妒+ 1 w ：1 2 + e ，| ”1 2 ) d z 磊= z ( 脚桃：+ 厶”越+ 胁”? ) 泌 = = 石。毗汹。+ 忡7 一l 蚶净 + w 。 l ”：一( e j ”) 刮：+ e ，”：”l ： 对应的偏微分方程和力学边界条件为 p “，。+ 【( e ，伽7 7 ) 7 一训缸 7 = o ， 扣：t ) ( o 、l ) l + 叫( o ，) = 埘( o ，t ) = o ， e ( 工) 叫”( 三，) = 妒( ) ， 厶( 1 ) 盆( 上，) 一( e j “) i 。= l 二p ( t ) ( 3 1t l l i l l e n b 粱方程 t i m o s h e n k o 粱的能量为 e = ；z 。( p l ”中+ l 2 + j 一”个+ e j i 咖个) 如 r d e 。= 陋如。训“+ 也也t + k ( 咖一叫) ( 也一叫：) + e ，烈l d z j 0 = z 。 ”。 删。一( ”，) ，+ ( ) ，1 + 也【“一( 刀，) ，+ ( 曲一”，) ) 如 一”。( j f 曲一k ”圳：+ e j 九? 1 7 f ； 对应的偏微分方程和力学边界条件为 p “一( k ，) ，+ ( k 咖) 7 = o ，( z ，) ( o ，三) r + ， 也。一( e 曲，) ，+ 耳( 一 ) = o ，( z ，) ( o ，三) 虢+ ( 0 ，) = ( 0 ，t ) = 0 ， k ( 三) 陋7 ( 三，t ) 一( 三，) l = p ( ) ， e j ( 三) 妒( 三，) = 妒( t ) 4 浙江大学博士学位论文 1 3 本文的工作 从方法论的观点看，研究弹性系统的稳定性和精确能控性，主要应用下而。种方 法： ( 1 ) 乘子方法：参见h o 1 5 ，l i o n s 3 4 ，3 5 】，k o m o r n i k 2 4 ，2 6 】； f 2 1 微局部分析方法：参见b a r d o s ，l e b e a u 和r a u c h 3 ； f 3 1c a r l e i m n 估计方法：参见k a z e m i 和k 1 i b a n o v 【2 0 】，t a t a r u 6 0 。 一非均质粱方程的稳定性 非均质的弹性梁和均质的弹性粱相比，有本质的不同。对于非均虞的弹性粱通常 的乘子无法应用。最近l i l l ，k 和l i l l z 4 2 在建立只有弯矩反馈的非均质梁的边 界指数镇定时引进了指数类型函数的乘子。在本文中，我们也应用指数类型函数的 乘子、并利用频域方法来证明我们的结论。 在第二章中，我们研究带有k d 订n v “g t 阻尼的非均质e u l e r b e r n o u m 梁方 程( 例如参见c h e n l i u k 和l i u z 8 ”： p w “+ ( p 训+ d b 叫? ) ”= oi n ( o ：三) r + ， ( o ，) = w ( 三t ) = ：= ，( 0 ，t ) = “，7 ( l t ) = ( ) ， t u ( z o ) = t o ( z ) 训t ( z ，o ) = u ，1 ( z ) ，z ( o ：工) 这里风o 是阻尼系数，在i o ，别中的一个真子区间l n ，例上严格为正，在区间 i o ，l 】 n 例上为零。当p 和p 在区间【o ，a u 咿，三 上为常数时，l i u ，k 和l i u ，z 4 1 证明了具有局部k e l v i n 、，0 i g t 阻尼的e u l e r b e r n o u l l i 梁的能量是指数衰减的， 第二章把l i u ，k 和l i u ，z 【4 1 的结果推广到完全非均质的情形a 在系数 假设a ： ( i ) o p g 1 o ，d 】ua 2 a ，卢】ue 1 归，工1 ( i i ) d 6 = oo n 【o ，n ) u ( 卢，二】，o o 条件下无论两个波速是否相同，我们证明了 定理41 在系数的假设c 条件下，能量e ( t ) 满足一致指数衰减性质a 二p “r o v s k y 板方程的精确内部能控性 在第五章中，我们研究带有局部分布控制的p e t r o v s k y 板方程 lu “+ 2 u = x g ( 茹) ( z ，t ) ，( z ，t ) n ( o ，t ) ， = 以u = o ，o nr ( o ，t ) ， ( 1 1 ) i ( 。，o ) = 札o ( z ) ，u c ( z ，o ) = 珏i ( z ) ， z n ， 这里1 1 = a q ，g 是n 的一个子区域，x g ( z ) 是g 的特征函数。设 y = 磷( n ) ，v = ( 五2 如) 5 ， 疗口 o a隹e z 划 ) c扣 o ，记 m ( s ) 2 甚 ：1 一。i 0 ) ， 其中( z ) 是掰2 ，上点z 处的单位外法向量，z 表示z 矿和r ”的内积。 在关于q 和g 的如下几何条件( 【3 7 ) ： ( 9 ，s 2 )s 2 充分光滑， ( 9 ，g )存在 0 ，域q j q 具有l i p s c l i i t z 边界a n ，和点z 6 吖4 ，1 墨jsj 使得 q inn j = 0 ， lsi o ，存在c = e ( q ，t f ，1z 6 ，f 2 ，g ) ( 14 ) 的每个具有初值( u o ，“1 ) 丸的解u ，满足 e 加( o ) s j ( 7 上坩删g e ( 。) g lsj ，使得对于 ( 1 5 ) 由定理5l ，我们容易推出系统( 11 ) 的精确内部能控性： 定理52 设g 满足( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，那么对于任意的r o 和任给的( u 。u 1 ) h 存在矗l 2 ( q ( o ，t ) ) ，使得( 11 ) 的解满足 ( u ( - ，t ) ，m ( ，r ) ) = o i nh 浙江大学博士学位论文 第二章具有局部k e l v i n v o i 酷阻尼的 非均质e u l e r _ b e r n o u l l i 梁的指数稳定性 2 1 引言及结论 工程上在弹性系统的振动控制中，在系统的某一部分嵌入粘弹性片是一项稳 定技术。考虑一根长度为三的两端夹住的非均质弹性梁，其中梁的一段是由具有 k e l v i n v o i g t 本构关系的粘弹性材料制成。应用k i r c h h o f f 假设，并忽略转动效果，梁 的横截振动可以由下列带有k e l 啊n v o i g t 阻尼和初边值条件的e u l e r b e r n o u l b 梁 方程表示( 例如参见c h e n ，“u ，k 和l i u ，z 【8 ) ： p t 地e + ( p 鲫”+ 仇坩，) “= oi ( o ，三) 疵+ ， w ( o ，t ) = 训( 上，) = ( o ，t ) = 叫( 工，t ) = 0 ， ( 21 ) 训( z ，o ) = o ( 。) ，训c ( 七，o ) = 训l ( 茁) ，z ( o ，三) ， 其中的7 表示对空间变量z 的导数，三，p ( 叫 0 ，p 三e ，( z ) o 分别为梁的横截 位移，长度，密度和弯曲刚度；仇20 是阻尼系数，在f 0 ，翻中的一个真子区间陋：例 上严格为正，在区间 0 ，三】陋，绷上为零。( 21 ) 的解在t 时刻的能量为 即) = ；z 1 p ( 圳”，( 刈扩+ 小) 慨( 州扩卜 ( 22 ) 本文将证明粱的能量是致指数衰减的，即对于某个灿 0 、m21 和所有有限能量 的初值有 e ( t ) s 彳e 一e ( o ) ， o ( 2 3 ) 当p 和p 在区间 o ，a u 归，纠上为常数时，l i u ，k 和l i u ，z 4 1 利用频域方法证 明了能量衰减性质( 2 3 ) 。我们设有 假设a ( i ) o p g 1 o ，口】u e 2 d ，剜u g l 归，三】 ( i i ) d b = oo n o ，) u ( p ，l l ，o d g 陋，p 】 ( i i i ) o o ， 江3 4 ) 式f 22 0 1 就得证。 设 巾) = 剧等啦纵垆警 f 2 。5 ) 类似地，用九( z ) 乘以方程( 2 2 2 ) ，然后在( 卢，上) 积分，同样可以证明式( 2 2 1 ) 由于i i ”。慷+ i l 1 1 2 = l ，a 。一口。在l 2 ( o ，五) 中收敛到零，式( 2 1 4 ) 蕴含着 当n 0 0 时， a 。”。胪和f f 。慷都收敛到j ，进一步由式( 2 1 5 ) 可以得到 热( 序z 。) m 州= 熙( 卜f ) 椭2 如= ；， ( 2 。) 浙江大学博士学位论文 1 7 下面，我们将证明 熙( z 。蚓2 如+ f 训2 如) ：。， 3 7 ) 得到与式1 2 n 6 ) 才眉。 用妒瓦乘以方程( 21 9 l 然后在( o ，( 1 ) 上积分、这里妒= e ”。一l ，q 是以后将要 确定的个正常数最后取实部，得 r “a ：p ，。，。砂瓦d 。+ r 。 “( p 。，) ，妒面。：r e 。p ( 9 。+ a 。 ) 母瓦d z ( 2 3 8 )r a ：p t z ，。砂瓦d z + r e ( p ”) ”妒；刃_ d z = r ef p ( 9 。+ a 。 ) 母 ：d z ( 2 3 8 ) j ( 】j 0 j 0 由于 l f 肼：币诹妇l c m 1 v o z 。眺删瓦如| = 协 妒砺卜z “州删) 7 础 c ( i 厶( a ) 钱”。( n ) 1 + l 1 a 。w 1 1 ) 一。 式f 2 3 8 1 的右边收敛到零。经过直接的分布积分计算，可以推出 ，d r e 碍脚。矽诹如 j 0 r ，e 僻一2 卜z 。a 批妒+ 触川”。1 2 + p ”知蚓如) ( 2 3 9 ) 由式( 21 6 ) 和( 23 9 ) ，得 r e z “a ：脚砂硇z = ；z 。( p 妒+ 鲫川枷。i 2 如+ 。( 1 )( 24 0 ) 由式( 21 6 ) 一( 21 8 ) ，可知 r “ r c ( 删1 】f i 可如 j 0 r e ( p ”：) 7 妒可e f ( p w ：) 妒7 面融一z 。( p 醒) 妒磁如) 一k z 。( p ”w 砷z + z “( p ”珊砰曲+ 。( 1 ) ( 24 1 ) 浙江大学博士学位论文 由式( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 和( 22 6 ) ，可以推出 由于 r e ( p t u ：) 7 妒硬( f ：f ： r e 洳：砂碗一j ( “御协抑z z 8 p w 瓦如) p 掣t7 i ：1 2 d z + o ( 1 )( 24 2 ) b e ( p ”：) 7 妒磁d z r e p 7 砂 蝶| 2 z “p 蟛7 砂礤如) ( 2 4 3 ) r e7 p t u ：7 砂磁如 ，o r e 谢卜“( p 7 妒+ 删川”：| 2 + p ”：妒研， ( 24 4 ) 田瓦【22 uj 删( z 4 4 j ，1 导 r 。厂( p ：，妒硬，z 。：一： “( p ，砂+ p 妒引：iz 如+ 。( 1 ) r c p ：7 妒硬r z z = 一；( p 7 砂+ p 妒引：i 2 如+ d ( 1 ) nj o 由式( 2 4 3 ) 和( 24 5 ) ，可以推出 r 。f “( p ：) ，砂研d z ：；f 。( p ，砂一p 廿川”：i z d z + 。( 1 )r e ( p ：) 砂研d z = ( p 7 砂一p 廿川”：1 2 d z + o ( 1 ) j ( )zj 0 把式( 2 4 2 ) 和( 24 6 ) 代人式( 2 4 1 ) ，得 r e 知均”佩把z 。( 一扣) 谢0 ( 1 ) r e ：) ”妒巧d z = ( ；p 砂7 一；p 妒) | ”引2 d z + d ( 1 ) j 0j o二 式( 23 8 ) ，( 2 4 0 ) 和( 24 7 ) 蕴含着 z 。抄砂例引舢坪蚺f ( 一冲蚓2 拈0 ( 1 ) 取”充分大，使 渺驯，) 1 ；卿，一如 钆 这里c 1 是一个正常数，这样我们证明了 规( z 。+ r 谢如) _ o f 24 5 1 ( 24 6 ) ( 24 7 ) ( 24 8 ) ( 2 4 9 ) 浙江大学博士学位论文 1 9 用( e ，( l 一2 )1 ) 瓦乘以方程( 2 1 9 ) ，然后在( p ，三) 上积分，这里q 是一个充分 大的正常数，类似地可以证明 恕( z 。m 坪如+ r 蚶如) - 0 ( 25 0 ) 从式( 2 4 9 ) 和( 2 5 0 ) 就可以推出式( 23 7 ) 。 这样我们就得到了矛盾。 口 浙江大学博士学位论文 第三章非均质t i m o s h e n k o 梁的边界镇定 及倒向适定性 3 1 引言 我们知道当粱的横截面与长度相比不可忽略时，那么必须考虑转动惯量的效应， 而且由剪力日l 起的形变也不可忽略对，则粱的动力学模型就是t i m o s h e n k o 粱方程。 本章将研究带有边界控制的t i m o s h e n k o 梁的一致镇定及倒向适定性。考虑非均质 t l m 。s h e n k 。梁方程的初边值问题： p i ，聪一( k f 7 7 y + ( k 够) 7 = o ，；n ( o ，1 ) r + ， ，。也f 一( e ，) 7 + ( 妒一7 ) = 0 ，i n ( 0 ：1 ) t + ， ( o ，) 2 曲( u ) 3o ， f 3 1 1 符( 1 ) ( 1 )耳( 1 凇 ：) = m t ) ， 一曰，( 1 ) ( j ，) = 矗( ) ， ”( z 叫= 7 w 。( ，o ) = “芬( z o ) = 鳄，a ( 。，o ) = 皑：z ( o ，1 ) ， 这里7 表示对空间变量。的导数， ( z ) 、。，印、p ( z ) 、( z ) 、厶( z ) 、e z ) 分别为 横截位移、转角、密度、弹性模量、转动惯量、弯曲两g 度，m ( t ) 和7 ( t ) 为作用在端点 z ：l 处的弯矩和剪力，引进反馈控制 ( 搿) i f = ；) 洛z ， 其中f 是2 2 正定矩阵。我们设有 假设b ：嚣：e ，a l f o ，1 ；p ，：，e ，c 1 o ( 3 1 ) 的解在t 时刻的能量为 e ( ) = ；上1 ( k i 一”甲+ e ，i 1 2 + p 1 w 中+ l i 也l 2 ) d z ( 3 3 ) 本章将证明、在系数假设b 和f 正定的条徉下，梁的能量是指数衰减的，即对于 某个“ 0 ，m l 和所有有限能量的初值，有 e 0 ) 斯e 一州e ( o ) ，2o ， ( 3 4 ) 浙江大学博士学位论文 且当反馈控制充分弱时，系统是倒向适定的。 弹性梁的镇定吸引了许多人的注意力。例如，c h e n ，d e h o u r ，k r a l l 和p a y r e 4 】 c l l e i l ，k 1 a n t z ，m a 和w a y n e 5 】，l i u ，k 和“u z 4 l ，4 2 j r a o 5 2 j 及r e b a l b e r 5 5 研究的是e u l e r b e m o u u i 粱，c h e i l ，l i u ，k ，和l m ，z 8 1 及r a o 瞄3 1 研究的是 r a y l e i 曲梁，础m 和r e n a r d y 2 3j ，f e n g ，s h i 和z h a j l g 1 0 】及s h i ，h o u 和f e n g 5 8 研究的是均质t i m o s h e k o 粱的边界反馈镇定。本章研究的是非均质t i m o s h e n k o 梁的边界反馈镇定，我们将应用乘子技巧和频域方法证明我们的结论。 3 2 预备知识 设w = 日1 ( o ，1 ) i ( o ) = o ，其中日1 ( o ，1 ) 是一阶s o b 0 1 e v 空间( 参见 1 ) 。设 日= 三；( o ，1 ) 三乞( o ，1 ) ， j j ( ”，”：) j | 日= ( z 1 ( p 卜，j 2 + j ”。j 2 ) d z ) ； 和 矿= 彤彬，”。) f f v = ( z 1 ( f ”：一”扩+ e 即如) 5 那么，日和y 都是( 复) i l b e r t 空间，相应的导出内积记作( ，) 日和( ，) y 。定义空 间h = y 日，它的范数为 _ j ( u ，n 。u ：地) j l w = f 眦奶，”。) j i ；+ jj ( 奶，”：) l l 刍) ； 则咒是个( 复) h i l b e r t 空间一有限能量状态空间，其导出内积记作( ，- ) w 。 以下，我们将省略转置符号，用行向量表示实际的列向量。在h 中定义 口( 4 ) = ( ”，曲，”z ，曲：) 1 u 1 ，1 ，叫2 ，2 w ， k w i ，e j 烈日1 ( o ，1 ) ( k ( 1 ) 庐( 1 ) 一( 1 ) w ；( 1 ) ，一e ，( 1 ) ：( 1 ) ) = f ( 叫：( 1 ) ，西：( 1 ) ) 4 ( m - 籼，”z ，妒z ) = ( 奶，z ，； ( 耳以) 7 一( k 西，) ，j 去【( _ e ，舛) 7 一( f 35 ) f 3 6 1 浙江大学博士学位论文 2 2 那么系统( 31 1 可以写成h 中的抽象发展方程 象= 取刈) = 粕 ( 3 7 ) 奠冲z = ( u ，1 ，曲1 1 d 2 ，毋2 ) ， 2 = 1 ，曲2 = 西l t z 。= ( ：